W praktyce często znalezienie sumy szeregu nie jest tak ważne, jak odpowiedź na pytanie o zbieżność szeregu. W tym celu stosuje się kryteria zbieżności oparte na właściwościach wspólnego terminu szeregu.

Niezbędne kryterium zbieżności szeregu

TWIERDZENIE 1

Jeśli rządzbiega się, to jego wspólny termin dąży do zera w
, tych.
.

Krótko: jeśli szereg jest zbieżny, to jego wspólny wyraz dąży do zera.

Dowód. Niech szereg jest zbieżny, a jego suma będzie równa . Dla kazdego suma częściowa

.

Następnie .

Z udowodnionego niezbędnego kryterium konwergencji wynika: wystarczające kryterium rozbieżności szeregu: jestem gruby
wspólny termin szeregu nie dąży do zera, wtedy szereg jest rozbieżny.

Przykład 4

W przypadku tej serii wspólny termin
oraz
.

Dlatego ta seria jest rozbieżna.

Przykład 5 Zbadaj szereg zbieżności

Jest oczywiste, że wspólny termin z tej serii, którego forma nie jest wskazana ze względu na kłopotliwe wyrażenie, ma tendencję do zera w
, tj. konieczne kryterium zbieżności szeregu jest spełnione, ale szereg ten jest rozbieżny, ponieważ jego suma dąży do nieskończoności.

Seria znaków dodatnich

Szereg liczb, których wszystkie elementy są dodatnie, nazywa się znak pozytywny.

TWIERDZENIE 2 (Kryterium zbieżności szeregu dodatniego)

Aby szereg dodatni był zbieżny, konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie jego sumy częściowe były ograniczone powyżej przez tę samą liczbę.

Dowód. Ponieważ dla każdego
, to znaczy podciąg
- monotonicznie wzrastające, zatem dla istnienia granicy konieczne i wystarczające jest ograniczenie ciągu z góry o pewną liczbę.

Twierdzenie to jest bardziej teoretyczne niż praktyczne. Poniżej znajdują się inne bardziej przydatne kryteria zbieżności.

Warunki dostateczne dla zbieżności szeregów znak-dodatnich

TWIERDZENIE 3 (Pierwszy test porównawczy)

Niech podane zostaną dwie serie dodatnie:

(1)

(2)

i zaczynając od jakiejś liczby
, dla kazdego
nierówności
Następnie:

Schematyczny zapis pierwszego znaku porównania:

zejście  zejście.

przepływ przepływ

Dowód. 1) Ponieważ eliminacja skończonej liczby wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność, udowodnimy twierdzenie dla przypadku
. Niech dla każdego
mamy

, (3)

gdzie
oraz
są sumami częściowymi odpowiednio serii (1) i (2).

Jeżeli szereg (2) jest zbieżny, to istnieje liczba
. Od sekwencji
- rosnący, jego limit jest większy niż którykolwiek z jego członków, tj.
dla kazdego . Stąd z nierówności (3) wynika
. Zatem wszystkie sumy cząstkowe szeregu (1) są ograniczone od góry przez liczbę . Zgodnie z Twierdzeniem 2, szereg ten jest zbieżny.

2) Rzeczywiście, jeśli szereg (2) jest zbieżny, to szereg (1) byłby również zbieżny przez porównanie.

Aby zastosować tę cechę, często stosuje się takie standardowe szeregi, których zbieżność lub rozbieżność jest z góry znana, na przykład:

3) - Seria Dirichleta (zbiega się w
i odbiega w
).

Ponadto często stosuje się szeregi, które można uzyskać za pomocą następujących oczywistych nierówności:

,

,
,
.

Rozważmy, używając konkretnych przykładów, schemat badania serii znaków dodatnich pod kątem zbieżności przy użyciu pierwszego kryterium porównania.

Przykład 6 Poznaj numer
dla konwergencji.

Krok 1. Sprawdźmy pozytywny znak serii:
dla

Krok 2. Sprawdźmy spełnienie niezbędnego kryterium zbieżności szeregu:
. Jak
, następnie

(jeśli obliczenie limitu jest trudne, ten krok można pominąć).

Krok 3. Używamy pierwszego znaku porównania. W tym celu wybieramy standardową serię dla tej serii. Jak
, to standardowo możemy przyjąć szereg
, tj. Wiersz Dirichleta. Ta seria jest zbieżna, ponieważ wykładnik
. Dlatego też, zgodnie z pierwszym kryterium porównania, badane szeregi również są zbieżne.

Przykład 7 Poznaj numer
dla konwergencji.

1) Ta seria jest znak-dodatnia, ponieważ
dla

2) Niezbędne kryterium zbieżności szeregu jest spełnione, ponieważ

3) Wybierzmy standard seryjny. Jak
, to jako standard możemy przyjąć szereg geometryczny

. Szereg ten jest zbieżny, zatem zbieżny jest również szereg badany.

TWIERDZENIE 4 (Drugi test porównawczy)

Jeśli dla serii znak-dodatnich oraz istnieje niezerowa granica skończona
, następnie wiersze zbiegają się lub rozchodzą w tym samym czasie.

Dowód. Niech szeregi (2) są zbieżne; Udowodnijmy, że wtedy szereg (1) również jest zbieżny. Wybierzmy jakiś numer , więcej niż . Z warunku
istnienie takiej liczby to dla wszystkich
nierówności
, lub, co jest tym samym,

(4)

Odrzucanie w rzędach (1) i (2) pierwszy terminów (co nie wpływa na zbieżność), możemy założyć, że nierówność (4) obowiązuje dla wszystkich
Ale seria ze wspólnym terminem
jest zbieżny dzięki zbieżności szeregu (2). Zgodnie z pierwszym kryterium porównania nierówność (4) implikuje zbieżność szeregu (1).

Teraz niech szeregi (1) są zbieżne; Udowodnijmy zbieżność szeregu (2). Aby to zrobić, po prostu odwróć role w danych wierszach. Jak

wtedy, jak udowodniono powyżej, zbieżność szeregu (1) powinna implikować zbieżność szeregu (2).

Jeśli
w
(niezbędne kryterium zbieżności), a następnie z warunku
, wynika z tego oraz są nieskończenie małymi tego samego rzędu małości (odpowiednik at
). Dlatego jeśli podano serię , gdzie
w
, wtedy dla tej serii możemy wziąć serię standardową , gdzie wspólny termin ma taki sam rząd małości jak wspólny wyraz danej serii.

Wybierając serię referencyjną, możesz skorzystać z poniższej tabeli równoważnej nieskończenie małej dla
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Przykład 8 Zbadaj szereg zbieżności

.

dla kazdego
.

Jak
, to jako szereg odniesienia przyjmujemy szereg harmoniczny rozbieżny
. Ponieważ granica stosunku wspólnych terminów oraz jest skończony i różny od zera (jest równy 1), to na podstawie drugiego kryterium porównania szereg ten jest rozbieżny.

Przykład 9
na dwóch podstawach porównania.

Ta seria jest pozytywna, ponieważ
, oraz
. O ile
, to szereg harmoniczny można traktować jako szereg odniesienia . Szereg ten jest rozbieżny, a zatem, zgodnie z pierwszym znakiem porównania, szeregi badane również są rozbieżne.

Ponieważ dla danej serii i serii odniesienia warunek
(tutaj stosuje się pierwszą godną uwagi granicę), a następnie w oparciu o drugie kryterium porównania, szereg
- rozbieżne.

TWIERDZENIE 5 (próba d'Alemberta)

istnieje skończona granica
, to seria zbiega się w
i odbiega w
.

Dowód. Zostawiać
. Weźmy dowolną liczbę , zawarta pomiędzy i 1:
. Z warunku
wynika z tego, że zaczynając od pewnej liczby nierówności

;
;
(5)

Rozważ serię

Zgodnie z (5), wszystkie wyrazy szeregu (6) nie przekraczają odpowiednich wyrazów nieskończonego postępu geometrycznego
O ile
, ten postęp jest zbieżny. Stąd, na mocy pierwszego znaku porównania, następuje zbieżność szeregu

Wydarzenie
rozważ sam.

Uwagi :

wynika z tego, że pozostała część serii

.

Test d'Alemberta jest wygodny w praktyce, gdy wspólny wyraz szeregu zawiera funkcję wykładniczą lub silnię.

Przykład 10 Zbadaj szereg zbieżności według d'Alemberta.

Ta seria jest pozytywna i

.

(Tutaj w obliczeniach zasada L'Hopitala jest stosowana dwukrotnie).

następnie ta seria zbiega się w teście d'Alemberta.

Przykład 11..

Ta seria jest pozytywna i
. O ile

następnie seria zbiega się.

TWIERDZENIE 6 (test Cauchy'ego)

Jeśli dla serii znak-dodatniej istnieje skończona granica
, potem w
seria zbiega się i
rząd się rozchodzi.

Dowód jest podobny do Twierdzenia 5.

Uwagi :

Przykład 12. Zbadaj szereg zbieżności
.

Ta seria jest pozytywna, ponieważ
dla kazdego
. Od wyliczenia limitu
powoduje pewne trudności, pomijamy weryfikację wykonalności niezbędnego kryterium zbieżności szeregu.

wtedy podana seria jest rozbieżna zgodnie z kryterium Cauchy'ego.

TWIERDZENIE 7 (Test całkowy dla zbieżności Maclaurina-Cauchy'ego)

Niech zostanie podany wiersz

których warunki są pozytywne i nie rosną:

Niech dalej
jest funkcją zdefiniowaną dla wszystkich rzeczywistych
, jest ciągła, nie wzrasta, oraz

Przed przystąpieniem do pracy z tym tematem radzę zajrzeć do działu z terminologią dla serii liczb. Szczególnie warto zwrócić uwagę na pojęcie wspólnego terminu serialu. Jeśli masz wątpliwości co do prawidłowego wyboru znaku zbieżności, radzę zajrzeć do tematu „Wybór znaku zbieżności szeregu liczbowego”.

Niezbędne kryterium zbieżności szereg liczb ma proste sformułowanie: wspólny wyraz szeregu zbieżnego dąży do zera. Możesz napisać tę funkcję bardziej formalnie:

Jeśli szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest zbieżny, to $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Często w literaturze zamiast frazy „niezbędne kryterium zbieżności” piszą „niezbędny warunek zbieżności”. Ale przejdźmy do rzeczy: co oznacza ten znak? A to oznacza: jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, to szereg może skupiać. Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (lub granica po prostu nie istnieje), to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest rozbieżny.

Warto zauważyć, że równość $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ wcale nie oznacza, że ​​szereg jest zbieżny. Szeregi mogą być zbieżne lub rozbieżne. Ale jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to szereg jest rozbieżny. Jeśli te niuanse wymagają szczegółowych wyjaśnień, otwórz notatkę.

Co oznacza wyrażenie „warunek konieczny”? Pokaż ukryj

Wyjaśnijmy pojęcie warunku koniecznego na przykładzie. Kupić długopis dla studenta niezbędny mieć 10 rubli. Można to napisać w następujący sposób: jeśli student kupi długopis, to ma 10 rubli. Obecność dziesięciu rubli jest niezbędnym warunkiem zakupu długopisu.

Niech ten warunek zostanie spełniony, tj. Student ma dziesięć. Czy to oznacza, że ​​kupi długopis? Zupełnie nie. Może kupić długopis lub odłożyć pieniądze na później. Lub kup coś innego. Albo podaruj je komuś - opcji jest bardzo dużo :) Innymi słowy spełnienie warunku zakupu długopisu (czyli posiadanie pieniędzy) nie gwarantuje zakupu tego długopisu.

Podobnie warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ wcale nie gwarantuje zbieżności samego szeregu. Prosta analogia: jeśli są pieniądze, student może kupić długopis lub nie. Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, szereg może być zbieżny lub rozbieżny.

Co się jednak stanie, jeśli nie zostanie spełniony warunek konieczny do zakupu długopisu, czyli brak pieniędzy? Wtedy uczeń na pewno nie kupi długopisu. To samo dotyczy szeregów: jeśli konieczny warunek zbieżności nie jest spełniony, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, wtedy szeregi na pewno się rozejdą.

Krótko mówiąc, jeśli konieczny warunek zostanie spełniony, konsekwencja może, ale nie musi, wystąpić. Jeśli jednak warunek konieczny nie zostanie spełniony, konsekwencja na pewno nie nastąpi.

Dla jasności podam przykład dwóch serii: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ i $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac(1)(n^2)$. Wyraz wspólny pierwszego szeregu $u_n=\frac(1)(n)$ i wyraz wspólny drugiego szeregu $v_n=\frac(1)(n^2)$ dążą do zera, tj.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Jednak szereg harmoniczny $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ jest rozbieżny, podczas gdy szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ jest zbieżny. Spełnienie koniecznego warunku zbieżności wcale nie gwarantuje zbieżności szeregu.

Na podstawie niezbędnego warunku zbieżności szeregu możemy sformułować wystarczający znak rozbieżności Numer linii:

Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest rozbieżny.

Najczęściej w standardowych przykładach niezbędne kryterium zbieżności jest sprawdzane, jeśli wspólny wyraz szeregu jest reprezentowany przez ułamek, którego licznikiem i mianownikiem są niektóre wielomiany. Na przykład $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (patrz przykład #1). Lub mogą istnieć pierwiastki z wielomianów (patrz przykład nr 2). Istnieją przykłady, które są nieco poza tym schematem, ale jest to rzadkie w przypadku standardowych testów (zobacz przykłady w drugiej części tego tematu). Podkreślam najważniejsze: za pomocą niezbędnego kryterium nie można udowodnić zbieżności serii. To kryterium stosuje się, gdy konieczne jest udowodnienie, że szeregi są rozbieżne.

Przykład 1

Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Znajdź granicę wspólnego terminu serii:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

„Granica stosunku dwóch wielomianów”. Ponieważ granica wspólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Dlatego seria jest rozbieżna.

Rozwiązanie się skończyło, jednak wierzę, że czytelnik będzie miał dość rozsądne pytanie: skąd w ogóle widzieliśmy, że konieczne jest sprawdzenie spełnienia warunku koniecznej zbieżności? Istnieje wiele oznak zbieżności szeregów liczbowych, więc dlaczego przyjęli ten? To pytanie wcale nie jest bezczynne. Ale ponieważ odpowiedź na nie może nie być interesująca dla wszystkich czytelników, ukryłem ją pod notatką.

Dlaczego zaczęliśmy stosować niezbędne kryterium zbieżności? Pokaż ukryj

Mówiąc luźno, kwestia zbieżności tej serii rozstrzygana jest jeszcze przed formalnym studium. Nie będę poruszał takiego tematu jak kolejność wzrostu, po prostu podam jakieś ogólne rozumowanie. Przyjrzyjmy się bliżej wspólnemu wyrażeniu $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Spójrzmy najpierw na licznik. Liczbę (-1) znajdującą się w liczniku można od razu odrzucić: jeśli $n\to\infty$, to ta liczba będzie nieistotna w porównaniu z resztą terminów.

Spójrzmy na potęgi $n^2$ i $n$ w liczniku. Pytanie: który element ($n^2$ lub $n$) będzie rósł szybciej niż inne?

Odpowiedź jest prosta: to $n^2$ będzie najszybciej zwiększać swoje wartości. Na przykład, gdy $n=100$, to $n^2=10\;000$. A ta różnica między $n$ a $n^2$ będzie się powiększać. Dlatego mentalnie odrzucimy wszystkie terminy, z wyjątkiem tych, które zawierają $n^2$. Po takim "upuszczeniu" licznik będzie miał 3n^2$. A po przeprowadzeniu podobnej procedury dla mianownika, pozostanie tam 5n^2$. A ułamek $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ stanie się teraz: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Tych. w nieskończoności wspólny termin oczywiście nie będzie dążył do zera. Pozostaje tylko pokazać to formalnie, co zostało zrobione powyżej.

Często w zapisie wspólnego elementu szeregu używane są takie elementy jak np. $\sin\alpha$ lub $\arctg\alpha$ i tym podobne. Trzeba tylko pamiętać, że wartości takich wielkości nie mogą wykraczać poza pewne granice liczbowe. Na przykład, bez względu na wartość $\alpha$, wartość $\sin\alpha$ pozostanie w granicach $-1≤\sin\alpha≤ 1$. To znaczy, na przykład, możemy napisać, że $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Teraz wyobraź sobie, że notacja wspólnego wyrazu szeregu zawiera wyrażenie takie jak $5n+\sin(n!e^n)$. Czy sinus, który może „oscylować” tylko w zakresie od -1 do 1, odegra jakąkolwiek znaczącą rolę? W końcu wartości $n$ pędzą do nieskończoności, a sinus nie może nawet przekroczyć jednego! Dlatego we wstępnym rozważaniu wyrażenia $5n+\sin(n!e^n)$ sinus można po prostu odrzucić.

Lub na przykład weź arcus tangens. Niezależnie od wartości argumentu $\alpha$, wartości $\arctg\alpha$ spełnią nierówność $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Aby określić, które elementy można „odrzucić”, a które nie, potrzebujesz trochę umiejętności. Najczęściej kwestię zbieżności szeregu można rozwiązać jeszcze przed formalnym badaniem. A badanie formalne na standardowych przykładach służy jedynie jako potwierdzenie intuicyjnie uzyskanego wyniku.

Odpowiedź: seria jest rozbieżna.

Przykład #2

Sprawdź szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ pod kątem zbieżności.

Ponieważ dolna granica sumowania jest równa 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Znajdź granicę wspólnego terminu serii:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Jeśli metoda rozwiązania tego limitu rodzi pytania, radzę zapoznać się z tematem „Granice z irracjonalnością. Część trzecia” (przykład nr 7). Ponieważ granica wspólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Dlatego seria jest rozbieżna.

Porozmawiajmy trochę z pozycji intuicyjnego rozumowania. W zasadzie jest tu wszystko, co zostało powiedziane w nocie do rozwiązania przykładu nr 1. Jeśli w myślach „odrzucimy” wszystkie „nieistotne” wyrazy w liczniku i mianowniku wspólnego wyrazu szeregu, to ułamek $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ przyjmie postać: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Tych. nawet przed formalnym badaniem staje się jasne, że dla $n\do\infty$ wspólny wyraz szeregu nie będzie dążył do zera. Do nieskończoności - stanie się, do zera - nie. Dlatego pozostaje tylko pokazać to ściśle, co zostało zrobione powyżej.

Odpowiedź: seria jest rozbieżna.

Przykład #3

Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Ponieważ dolna granica sumowania jest równa 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Znajdź granicę wspólnego terminu serii:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(wyrównane)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

Ponieważ granica wspólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Dlatego seria jest rozbieżna.

Kilka słów o przekształceniach, które zostały przeprowadzone przy obliczaniu limitu. Wyrażenie $5^n$ zostało umieszczone w liczniku, dzięki czemu wyrażenia zarówno w liczniku, jak iw mianowniku stają się nieskończenie małe. Tych. dla $n\to\infty$ mamy: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ i $\frac(1)(5^n)\to 0$. A jeśli mamy stosunek nieskończenie mały, możemy bezpiecznie zastosować formuły wskazane w dokumencie „Równoważne funkcje nieskończenie małe” (patrz tabela na końcu dokumentu). Według jednej z tych formuł, jeśli $x\to 0$, to $\sin x\sim x$. I mamy akurat taki przypadek: skoro $\frac(8)(3^n)\to 0$, to $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Innymi słowy, po prostu zastępujemy wyrażenie $\sin\frac(8)(3^n)$ wyrażeniem $\frac(8)(3^n)$.

Myślę, że może pojawić się pytanie, dlaczego przekształciliśmy wyrażenie $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ do postaci ułamka, ponieważ zamiana mogłaby się odbyć bez takiej transformacji. Odpowiedź brzmi: można dokonać wymiany, ale czy będzie to legalne? Twierdzenie o równoważnych funkcjach nieskończenie małych daje jednoznaczną wskazówkę, że takie zamiany są możliwe tylko w wyrażeniach postaci $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (podczas gdy $\alpha(x)$ i $ \beta (x)$ - nieskończenie mała) znajdująca się pod znakiem limitu. Przekształciliśmy więc nasze wyrażenie do postaci ułamka, dopasowując je do wymagań twierdzenia.

Odpowiedź: seria jest rozbieżna.

Przykład #4

Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Ponieważ dolna granica sumowania jest równa 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. W rzeczywistości kwestię zbieżności tej serii można łatwo rozwiązać za pomocą znaku D „Alembert. Można jednak również zastosować niezbędny znak zbieżności.

Przyjrzyjmy się bliżej wspólnemu terminowi serialu. Licznik zawiera wyrażenie $3^n$, które rośnie znacznie szybciej wraz ze wzrostem $n$ niż w mianowniku $n^2$. Porównaj sam: na przykład, jeśli $n=10$, to 3^n=59049$, a $n^2=100$. A ta przepaść szybko rośnie wraz ze wzrostem $n.

Logiczne jest założenie, że jeśli $n\to\infty$, to $u_n$ nie będzie dążyło do zera, tj. konieczny warunek konwergencji nie jest spełniony. Pozostaje tylko przetestować tę prawdopodobną hipotezę i obliczyć $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Jednak przed obliczeniem tego limitu znajdźmy limit pomocniczy funkcji $y=\frac(3^x)(x^2)$ dla $x\to +\infty$, czyli oblicz $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Dlaczego to robimy: faktem jest, że w wyrażeniu $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametr $n$ przyjmuje tylko wartości naturalne ($n=1,2,3, \ldots$) , a argument $x$ funkcji $y=\frac(3^x)(x^2)$ przyjmuje wartości rzeczywiste. Wyszukując $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ możemy zastosować regułę L'Hopitala:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (zastosuj reguła) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(zastosuj regułę L'Hopitala)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Ponieważ $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, to $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Ponieważ $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, tj. podana seria jest rozbieżna.

Odpowiedź: seria jest rozbieżna.

Inne przykłady szeregów, których zbieżność sprawdza się za pomocą niezbędnego testu zbieżności, znajdują się w drugiej części tego tematu.

Rzędy na czajniki. Przykłady rozwiązań

Wszystkich ocalałych witamy w drugim roku! W tej lekcji, a raczej w serii lekcji, nauczymy się zarządzać rzędami. Temat nie jest bardzo trudny, ale aby go opanować będziesz potrzebować wiedzy z pierwszego kursu, w szczególności musisz zrozumieć jaki jest limit? i być w stanie znaleźć najprostsze ograniczenia. Jest jednak w porządku, w trakcie wyjaśnień podam odpowiednie linki do niezbędnych lekcji. Dla niektórych czytelników temat ciągów matematycznych, sposobów rozwiązywania, znaków, twierdzeń może wydawać się osobliwy, a nawet pretensjonalny, absurdalny. W tym przypadku nie trzeba dużo „ładować”, akceptujemy fakty takimi, jakie są i po prostu uczymy się rozwiązywać typowe, typowe zadania.

1) Rzędy na czajniki, a na samowary od razu zadowolone :)

Do ultraszybkiego przygotowania na temat istnieje kurs ekspresowy w formacie pdf, za pomocą którego naprawdę można „podnieść” praktykę w ciągu zaledwie jednego dnia.

Pojęcie szeregu liczb

Ogólnie seria liczb można napisać tak:
Tutaj:
- matematyczna ikona sumy;
– wspólny termin serii(zapamiętaj ten prosty termin);
- zmienna - "licznik". Zapis oznacza, że ​​sumowanie odbywa się od 1 do „plus nieskończoność”, czyli najpierw mamy, potem, i tak dalej – do nieskończoności. Zmienna lub jest czasami używana zamiast zmiennej. Sumowanie niekoniecznie zaczyna się od jednego, w niektórych przypadkach może zaczynać się od zera, od dwóch lub od dowolnego Liczba naturalna.

Zgodnie ze zmienną „licznik” można szczegółowo pomalować dowolną serię:
– i tak dalej w nieskończoność.

Warunki - Ten LICZBY, które nazywają się członkowie wiersz. Jeśli wszystkie są nieujemne (większe lub równe zero), wtedy taka seria nazywa się dodatnia linia liczbowa.

Przykład 1

Nawiasem mówiąc, jest to już zadanie „bojowe” - w praktyce dość często wymagane jest nagranie kilku członków serii.

Najpierw, potem:
Wtedy wtedy:
Wtedy wtedy:

Proces może być kontynuowany w nieskończoność, ale zgodnie z warunkiem należało napisać pierwsze trzy terminy serii, więc zapisujemy odpowiedź:

Zwróć uwagę na podstawową różnicę od sekwencja liczb,
w którym terminy nie są sumowane, lecz traktowane jako takie.

Przykład 2

Zapisz pierwsze trzy terminy serii

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

Nawet dla pozornie złożonej serii nietrudno opisać ją w rozszerzonej formie:

Przykład 3

Zapisz pierwsze trzy terminy serii

W rzeczywistości zadanie wykonuje się ustnie: substytut mentalny w potocznym określeniu serii najpierw , potem i . Ostatecznie:

Zostaw odpowiedź w ten sposób lepiej nie upraszczać uzyskanych warunków serii, tj nie przestrzegaj działania: , , . Czemu? Odpowiedz w formularzu znacznie łatwiejsze i wygodniejsze dla nauczyciela sprawdzenie.

Czasami jest na odwrót

Przykład 4

Nie ma tutaj jasnego algorytmu rozwiązania. po prostu musisz zobaczyć wzór.
W tym przypadku:

W celu weryfikacji powstałe serie można „odmalować” w rozszerzonej formie.

Ale przykład jest trochę trudniejszy dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Wpisz sumę w postaci zwiniętej ze wspólnym wyrazem serii

Sprawdź ponownie, pisząc serię w rozwiniętej formie

Zbieżność szeregów liczb

Jednym z kluczowych celów tematu jest badanie szeregu pod kątem zbieżności. W takim przypadku możliwe są dwa przypadki:

1) Wierszrozbieżne. Oznacza to, że nieskończona suma jest równa nieskończoności: albo sumuje się ogólnie nie istnieje, jak na przykład w serii
(nawiasem mówiąc, oto przykład szeregu z wyrazami ujemnymi). Dobry przykład rozbieżnej serii liczb pojawił się na początku lekcji: . Tutaj jest dość oczywiste, że każdy kolejny wyraz szeregu jest większy od poprzedniego, a zatem szereg jest rozbieżny. Jeszcze bardziej trywialny przykład: .

2) Wierszzbiega się. Oznacza to, że nieskończona suma jest równa pewnym ostateczna liczba: . Zapraszamy: Szereg ten jest zbieżny i jego suma wynosi zero. Bardziej znaczącym przykładem jest nieskończenie malejąca progresja geometryczna, znana nam od czasów szkolnych: . Suma elementów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest obliczana według wzoru: , gdzie jest pierwszym elementem postępu i jest jego podstawą, która z reguły jest zapisywana jako prawidłowy ułamki. W tym przypadku: , . W ten sposób: Otrzymuje się liczbę skończoną, co oznacza, że ​​szereg jest zbieżny, co wymagało udowodnienia.

Jednak w zdecydowanej większości przypadków znajdź sumę szeregu nie jest takie proste, dlatego w praktyce do badania zbieżności serii stosuje się znaki specjalne, które zostały udowodnione teoretycznie.

Istnieje kilka oznak zbieżności szeregu: niezbędne kryterium zbieżności szeregu, kryteria porównawcze, kryterium d'Alemberta, kryteria Cauchy'ego, znak Leibniza i kilka innych znaków. Kiedy zastosować jaki znak? Zależy to od wspólnego terminu serialu, mówiąc w przenośni - od „nadziewania” serialu. I już niedługo wszystko odłożymy na półki.

! Do dalszej nauki potrzebujesz dobrze rozumiem, jaka jest granica i dobrze jest umieć ujawnić niepewność formy. Aby powtórzyć lub przestudiować materiał, zapoznaj się z artykułem Granice. Przykłady rozwiązań.

Niezbędne kryterium zbieżności szeregu

Jeśli szereg jest zbieżny, to jego wspólny wyraz dąży do zera: .

Odwrotność nie jest prawdziwa w przypadku ogólnym, tj. jeśli , to szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. A więc ten znak służy do uzasadnienia rozbieżność wiersz:

Jeśli wspólny termin serii nie spada do zera, to seria się rozchodzi

Lub w skrócie: jeśli , to seria jest rozbieżna. W szczególności możliwa jest sytuacja, gdy limit w ogóle nie istnieje, jak np. limit. Tutaj od razu uzasadnili rozbieżność jednej serii :)

Ale znacznie częściej granica szeregu rozbieżnego jest równa nieskończoności, podczas gdy zamiast „x” działa jako zmienna „dynamiczna”. Odświeżmy naszą wiedzę: granice ze znakiem „x” nazywamy granicami funkcji, a granice ze zmienną „en” – granicami ciągów liczbowych. Oczywista różnica polega na tym, że zmienna „en” przyjmuje dyskretne (nieciągłe) wartości naturalne: 1, 2, 3 itd. Ale fakt ten ma niewielki wpływ na metody rozwiązywania ograniczeń i metody ujawniania niepewności.

Udowodnijmy, że szereg z pierwszego przykładu jest rozbieżny.
Członek wspólny serii:

Wniosek: wiersz rozbieżne

Niezbędna funkcja jest często wykorzystywana w rzeczywistych praktycznych zadaniach:

Przykład 6

W liczniku i mianowniku mamy wielomiany. Ten, który uważnie przeczytał i zrozumiał metodę ujawniania niepewności w artykule Granice. Przykłady rozwiązań, na pewno to złapałem kiedy najwyższe potęgi licznika i mianownika równy, wtedy limit wynosi ostateczna liczba .

Podziel licznik i mianownik przez

Seria studiów rozbieżne, ponieważ konieczne kryterium zbieżności szeregu nie jest spełnione.

Przykład 7

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji

Tak więc, gdy otrzymamy DOWOLNĄ serię liczb, głównie sprawdzamy (w myślach lub na szkicu): czy jego wspólny termin ma tendencję do zera? Jeśli nie dąży, opracowujemy rozwiązanie na wzór przykładów nr 6, 7 i udzielamy odpowiedzi, że serie są rozbieżne.

Jakie typy pozornie rozbieżnych serii braliśmy pod uwagę? Od razu widać, że wiersze są podobne lub rozbieżne. Serie z przykładów nr 6, 7 również się różnią: gdy licznik i mianownik zawierają wielomiany, a najwyższy stopień licznika jest większy lub równy najwyższemu stopniowi mianownika. We wszystkich tych przypadkach przy rozwiązywaniu i projektowaniu przykładów posługujemy się niezbędnym kryterium zbieżności szeregu.

Dlaczego znak nazywa się niezbędny? Zrozum w najbardziej naturalny sposób: aby serie były zbieżne, niezbędny tak, że jego wspólny termin ma tendencję do zera. I wszystko byłoby dobrze, ale to niewystarczająco. Innymi słowy, jeśli wspólny wyraz szeregu dąży do zera, NIE OZNACZA TO, że szereg jest zbieżny- może zarówno zbiegać się, jak i rozchodzić!

Spotykać się:

Ten wiersz nazywa się szereg harmoniczny. Proszę pamiętaj! Wśród serii liczbowych jest primabaleriną. Dokładniej, baletnica =)

Łatwo to zauważyć , ALE. W teorii analizy matematycznej udowodniono, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Należy również pamiętać o koncepcji uogólnionego szeregu harmonicznego:

1) Ten rząd rozbieżne w . Na przykład serie rozchodzą się, , .
2) Ten rząd zbiega się w . Na przykład seria , , . Jeszcze raz podkreślam, że w prawie wszystkich praktycznych zadaniach nie ma dla nas żadnego znaczenia, jaka jest suma np. serii, ważny jest sam fakt jej zbieżności.

Są to elementarne fakty z teorii szeregów, które zostały już udowodnione, a rozwiązując jakiś praktyczny przykład, można śmiało odwołać się np. do rozbieżności szeregu lub zbieżności szeregu.

Ogólnie rzecz biorąc, rozważany materiał jest bardzo podobny do badanie całek niewłaściwych, a osobom, które studiowały ten temat, będzie to łatwiejsze. Cóż, dla tych, którzy nie studiowali, jest to podwójnie łatwiejsze :)

Co więc zrobić, jeśli wspólny termin serii ZOSTANIE do zera? W takich przypadkach, aby rozwiązać przykłady, trzeba skorzystać z innych, wystarczający oznaki zbieżności / dywergencji:

Kryteria porównania szeregu liczb dodatnich

zwracam twoją uwagęże tutaj mówimy tylko o dodatnich szeregach liczbowych (z nieujemnymi członkami).

Są dwie oznaki porównania, jedną z nich po prostu zadzwonię znak porównania, jeszcze jeden - ograniczający znak porównania.

Najpierw rozważ znak porównania, a raczej jego pierwsza część:

Rozważmy dwie dodatnie serie liczbowe i . Jeśli jest znany, że rząd jest zbiega się, a wychodząc od pewnej liczby , zachodzi nierówność, a następnie szereg zbiega się też.

Innymi słowy: Zbieżność szeregu z większymi wyrazami implikuje zbieżność szeregu z mniejszymi wyrazami. W praktyce nierówność jest często zaspokajana na ogół dla wszystkich wartości :

Przykład 8

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Najpierw sprawdzamy(psychicznie lub na szkicu) wykonanie:
, co oznacza, że ​​nie można było „odejść z małą ilością krwi”.

Zaglądamy do „pakietu” uogólnionego szeregu harmonicznego i skupiając się na najwyższym stopniu, znajdujemy podobny szereg: Z teorii wiadomo, że jest zbieżny.

Dla wszystkich liczb naturalnych oczywista nierówność zachodzi:

a większe mianowniki odpowiadają mniejszym ułamkom:
, co oznacza, że ​​według kryterium porównania badane szeregi zbiega się razem z obok .

Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, to nierówności zawsze można szczegółowo namalować! Zapiszmy skonstruowaną nierówność dla kilku liczb „en”:
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
….
a teraz jest całkiem jasne, że nierówności obowiązuje dla wszystkich liczb naturalnych „en”.

Przeanalizujmy kryterium porównania i rozwiązany przykład z nieformalnego punktu widzenia. Dlaczego jednak serie się zbiegają? Dlatego. Jeśli szereg jest zbieżny, to ma pewne finał ilość : . A ponieważ wszyscy członkowie serii mniejszy odpowiadających członów szeregu, wtedy kikut jest jasne, że suma szeregu nie może być większa od liczby , a tym bardziej nie może być równa nieskończoności!

Podobnie możemy udowodnić zbieżność szeregów „podobnych”: , , itp.

! Uwagaże we wszystkich przypadkach mamy „plusy” w mianownikach. Obecność co najmniej jednego minusa może poważnie skomplikować użycie rozważanego funkcja porównawcza. Na przykład, jeśli szereg jest porównywany w ten sam sposób z szeregiem zbieżnym (zapisz kilka nierówności dla pierwszych wyrazów), to warunek w ogóle nie zostanie spełniony! Tutaj można zrobić unik i wybrać do porównania inną zbieżną serię, na przykład , ale pociągnie to za sobą niepotrzebne zastrzeżenia i inne niepotrzebne trudności. Dlatego, aby udowodnić zbieżność szeregu, znacznie łatwiej jest użyć marginalne kryterium porównania(patrz następny akapit).

Przykład 9

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

I w tym przykładzie proponuję zastanowić się nad sobą druga część funkcji porównania:

Jeśli jest znany, że rząd jest rozbieżne i zaczynając od jakiejś liczby (często od samego początku) utrzymuje się nierówność, a następnie szereg również się rozbiega.

Innymi słowy: Rozbieżność szeregu z mniejszymi wyrazami implikuje rozbieżność szeregu z większymi wyrazami.

Co powinno być zrobione?
Należy porównać badany szereg z szeregiem rozbieżnym. Aby lepiej zrozumieć, skonstruuj pewne konkretne nierówności i upewnij się, że nierówność jest prawdziwa.

Rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji.

Jak już wspomniano, w praktyce omawiana funkcja porównawcza jest rzadko używana. Prawdziwym „koniem roboczym” serii liczb jest marginalne kryterium porównania, a pod względem częstotliwości użytkowania, tylko znak d'Alembert.

Znak graniczny porównania liczbowych szeregów dodatnich

Rozważmy dwie dodatnie serie liczbowe i . Jeżeli granica stosunku wspólnych członków tych szeregów jest równa liczba skończona niezerowa: , wtedy obie serie zbiegają się lub rozchodzą w tym samym czasie.

Kiedy stosuje się kryterium porównania limitów? Znak graniczny porównania jest używany, gdy „wypychaniem” szeregu są wielomiany. Albo jeden wielomian w mianowniku, albo wielomiany w liczniku i mianowniku. Opcjonalnie wielomiany mogą znajdować się pod pierwiastkami.

Zajmijmy się serią, dla której poprzedni znak porównania utknął w martwym punkcie.

Przykład 10

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Porównaj ten szereg z szeregiem zbieżnym . Używamy granicznego testu porównania. Wiadomo, że serie są zbieżne. Jeśli możemy pokazać, że tak jest końcowe niezerowe liczba, zostanie udowodnione, że szeregi również są zbieżne.

Uzyskuje się liczbę skończoną, niezerową, co oznacza, że ​​badany szereg zbiega się razem z obok .

Dlaczego seria została wybrana do porównania? Gdybyśmy wybrali jakikolwiek inny szereg z „klipu” uogólnionego szeregu harmonicznego, to nie udałoby się nam osiągnąć granicy końcowe niezerowe liczby (możesz eksperymentować).

Notatka: gdy korzystamy z funkcji porównania marginalnego, nieistotny, w jakiej kolejności układać się będą stosunki członków wspólnych, w rozważanym przykładzie stosunek można by odwrócić: - nie zmieniłoby to istoty sprawy.

Załącznik

Serwis internetowy pomoże Ci znaleźć sumę serii online zarówno sekwencji liczbowej, jak i serii funkcjonalnej. Suma szeregu jest dla matematyków czymś wyjątkowym w zrozumieniu analizy wielkości liczbowych i przejścia do granicy. W ciągu ostatnich kilku stuleci na temat ogólnego rozwiązania serii napisano i powiedziano wiele przydatnych prac. Dla każdego nauczyciela osobiście ważnym obowiązkiem jest przekazanie nagromadzonej wiedzy matematycznej ostatniemu słuchaczowi, czyli uczniowi. Łatwiej jest znaleźć taką sumę szeregu 1/n. W krótkiej notacji zostanie Ci przedstawiona suma szeregu 1/n^2 Wraz z wyznaczeniem sumy szeregu internetowego ciągu liczbowego strona może znaleźć tak zwaną cząstkową sumę szeregu online. To z pewnością pomoże w reprezentacjach analitycznych, gdy suma szeregu online musi zostać wyrażona i znaleziona jako rozwiązanie granicy ciągu liczbowego sum cząstkowych szeregu. W swej istocie suma szeregu jest niczym innym jak odwrotną operacją rozwinięcia funkcji w szereg. Operacje mają niemal wzajemny charakter. Tak się złożyło, że zbieżność szeregu bada się po zaliczeniu wykładu z analizy matematycznej po granicach. Znalezione rozwiązanie szeregu oznacza wynik jego badania pod kątem zbieżności lub dywergencji. Ten wynik jest jednoznacznie określony. W porównaniu z analogami strona ma niezaprzeczalne zalety, ponieważ jest w stanie znaleźć sumę szeregu online zarówno szeregu liczbowego, jak i funkcjonalnego, co pozwala jednoznacznie określić obszar zbieżności początkowego szeregu , wykorzystując prawie całą znaną nauce metodologię. W oparciu o teorię szeregów warunkiem koniecznym zbieżności ciągu liczbowego w każdym czasie będzie równość do zera granicy wspólnego wyrazu szeregu liczbowego w nieskończoności. Warunek ten nie jest jednak wystarczający przy ustalaniu zbieżności szeregu liczbowego online. Odejdźmy trochę od naglącego problemu i spierajmy się z innym stanowiskiem filozoficznym na temat szeregów w matematyce. Dla Ciebie to rozwiązanie serii online stanie się najlepszym kalkulatorem i asystentem na co dzień. To wcale nie jest chęć przesiedzenia pięknych zimowych dni na lekcjach, kiedy suma rzędu liczy się w dwóch rachunkach na twoich oczach. Jeśli ktoś potrzebuje określić przebieg samego rzędu, to zajmie to kilka sekund po wstępnym wprowadzeniu poprawnych danych. Podczas gdy podobne strony wymagają wynagrodzenia za swoje usługi, staramy się być użyteczni dla każdego, kto chce spróbować samodzielnie rozwiązywać przykłady za pomocą naszej prostej usługi. Według uznania możemy zaprezentować rozwiązanie serii online na dowolnym nowoczesnym urządzeniu, czyli w dowolnej przeglądarce, więc znalezienie i udowodnienie, że suma serii 1/n rozchodzi się w nieskończoność, będzie prostym zadaniem. Zawsze pamiętaj, jak suma szeregu 1/n^2 jest zbieżna i ma ogromne znaczenie semantyczne w matematyce. Ale suma końcowych szeregów jest zwykle wyznaczana po zastosowaniu np. znaku całki lub znaku Raabe, o którym niewiele osób wie na zwykłych uniwersytetach. Określając zbieżność szeregów online, naukowcy wyprowadzili różne wystarczające oznaki zbieżności lub rozbieżności szeregów. Bardziej znanymi i częściej stosowanymi z tych metod są znaki D”Alemberta, znak zbieżności Cauchy'ego, znak zbieżności Raabe, znak porównania szeregu liczbowego oraz znak całki zbieżności szeregu liczbowego. Taka liczba na szczególną uwagę zasługują szeregi, w których znaki terminów muszą ściśle przechodzić jeden po drugim od minus do plus i odwrotnie, a wartości bezwzględne tych szeregów liczbowych maleją monotonicznie, czyli równomiernie. W praktyce badanie szeregów okazało się, że dla takich szeregów liczbowych wystarczające jest konieczne kryterium zbieżności szeregu przemiennego znaków w trybie online, czyli granica wyrazu wspólnego jest równa zero ciągów liczbowych w nieskończoności. Suma szeregu znalezionych w ten sposób jest odpowiednikiem innych stosowanych metod. Zbieżność szeregów zajmuje ogromną stratę czasu, ponieważ sam proces obejmuje pełne badanie funkcji. Istnieje wiele różnych witryn, które świadczą usługi obliczania sumy szeregów online, na przykład a także rozwijanie funkcji z rzędu w dir mieć online w dowolnym momencie z dziedziny definicji badanej funkcji. W tych usługach łatwo jest rozwinąć funkcję w szereg online, ponieważ używany jest funkcjonał do obliczania pochodnej, ale operacja odwrotna - aby znaleźć sumę szeregów funkcyjnych online, których członkami nie są liczby, ale funkcje , często jest to niemożliwe w praktyce ze względu na trudności wynikające z braku niezbędnych zasobów obliczeniowych. Skorzystaj z naszego zasobu, aby obliczyć sumę szeregów online, sprawdzić i utrwalić swoją wiedzę. Jeśli suma serii się rozejdzie, to nie otrzymamy oczekiwanego rezultatu dla dalszych działań w jakimś wspólnym zadaniu. Można tego uniknąć z góry, wykorzystując swoją wiedzę specjalistyczną. Wreszcie nie sposób nie wspomnieć, że suma szeregu 1/n jest najprostsza w wyrażeniu i często jest przytaczana jako przykład. Nawet jeśli chcą wykazać jakąś oznakę zbieżności w przypadku, to udowadniają to dla sumy szeregu 1/n^2, bo taka reprezentacja jest dla uczniów przejrzysta i uczniowie się nie mylą. Ponieważ mamy wyrażenie na złożony wyraz ogólny szeregu, to suma szeregu skończonego byłaby użyteczna, gdyby dla szeregu majorizującego (w stosunku do pierwotnego) udowodniono, że jest on zbieżny. Z drugiej strony zbieżność szeregu wystąpi niezależnie od początkowych warunków problemu. Tylko nasz serwis może zaoferować najlepsze rozwiązanie rzędów, ponieważ tylko my gwarantujemy oszczędność czasu porównując koszt kalkulacji z użytecznością i dokładnością wyniku. Ponieważ pożądaną sumę szeregu można w większości przypadków przedstawić jako szereg główny, po prostu bardziej celowe jest jej zbadanie. Stąd zbieżność szeregu z kierunkowego terminu ogólnego jednoznacznie wskaże zbieżność wyrażenia głównego, a problem zostanie natychmiast rozwiązany. praca ich kadetów. W niektórych przypadkach sumę szeregu można obliczyć w zadaniu z fizyki, chemii lub dyscypliny stosowanej, nie tkwiąc w rutynowych obliczeniach, aby nie zbaczać z głównego kierunku podczas badania jakiegoś naturalnego procesu. Na początek najczęściej zapisują, że nie mogą zjeść uproszczonego wyrażenia w postaci sumy szeregu 1/n i takie podejście jest uzasadnione. Liczba Pi jest obecna w wielu operacjach obliczeniowych, ale sumę szeregu 1/n^2 można uznać za klasyczny przykład zbieżności szeregu harmonicznego w nieskończoności. Co w ogóle oznacza wyrażenie „suma szeregu skończonego”? A to oznacza po prostu, że jest zbieżny i granica jego sum cząstkowych ma określoną wartość liczbową. Jeśli zbieżność szeregu zostanie potwierdzona i wpłynie to na ostateczną stabilność systemu, to można zmienić parametry wejściowe problemu i spróbować zrobić to ponownie. Na koniec chcemy udzielić porady, która na pierwszy rzut oka jest dorozumiana, ale bardzo przydatna w praktyce. Nawet jeśli masz wystarczające doświadczenie w rozwiązywaniu szeregów i nie potrzebujesz takich usług do rozwiązywania szeregów online, sugerujemy rozpoczęcie obliczania sumy szeregu od wyznaczenia zbieżności szeregu. Poświęć chwilę na tę akcję, korzystając ze strony, aby podczas obliczania sumy serii pamiętaj o tym fakcie. Nie będzie zbędny! Wiele napisano o sumie serii w Internecie na stronach matematycznych, dołączono wiele ilustracji, ponieważ w ubiegłym stuleciu naukowcy oznaczali wyrażenia na sumę serii symbolami. W zasadzie niewiele się zmieniło, ale są ciekawe momenty. Jeśli zbieżność serii online wydaje się niemożliwa, wystarczy sprawdzić wprowadzone dane i spokojnie powtórzyć żądanie. Mimo wszystko lepiej jest najpierw dwukrotnie sprawdzić wspólny termin serii. A każde rozwiązanie serii online pojawi się natychmiast na stronie, nie musisz klikać dodatkowych linków, aby uzyskać odpowiedź na zadanie. Najlepsze, zdaniem ekspertów, sprawia, że ​​studenci są bardziej wymagający w wyborze kalkulatora rozwiązań szeregowych. Pojęcie zbieżności szeregów, czyli istnienie skończonej sumy, jest inwestowane w sumę szeregu jako usługę online. Wraz z tą sekcją wprowadzane są podstawowe zagadnienia, takie jak całki i pochodne, ponieważ wszystkie są ze sobą ściśle powiązane. Porozmawiajmy z nami, jak suma szeregu 1/n rozchodzi się, gdy zmienna dąży do nieskończoności. Jednak inna suma takiego szeregu jak 1/n^2 zbiegnie się i przyjmie skończone wyrażenie liczbowe. Interesujące jest badanie przypadków, w których suma szeregu skończonego jest przedstawiana stopniowo jako pośrednie sumy cząstkowe szeregu ze stopniowym wzrostem zmiennej o jedną, a może kilka jednostek na raz. Zalecamy sprawdzenie zbieżności serii online po własnych rozwiązaniach zadań. Pozwoli ci to szczegółowo zrozumieć temat i zwiększyć poziom wiedzy. Nie zapominaj o tym nigdy, staramy się tylko dla Ciebie. Na lekcji nauczyciel pokazał rozwiązanie serialu online z wykorzystaniem technologii komputerowej. Muszę powiedzieć, że wszystkim się to podobało. Po tym incydencie kalkulator był poszukiwany przez cały okres studiów matematycznych. Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, jak suma serii jest obliczana przez kalkulator online w kilka sekund po zażądaniu wyświetlenia wyniku. Od razu stanie się jasne, w jakim kierunku warto utrzymać kierunek rozwiązania problemu. Ponieważ w niektórych drogich podręcznikach niewiele jest napisane o zbieżności serii, lepiej pobrać z Internetu kilka dobrych raportów wybitnych naukowców i odbyć kurs ich metodologii. Wynik będzie dobry. Przy rozwiązywaniu szeregów nie można wykluczyć pierwszej oznaki zbieżności, a mianowicie tendencji do zerowania granicy ich wspólnego wyrazu. Chociaż nie jest to warunek wystarczający, zawsze jest konieczny. Integralność rozwiązanego przykładu wywołuje u ucznia przyjemne uczucie, gdy rozumie, że suma serii została obliczona bez uciekania się do podpowiedzi. Podręczniki mają służyć jako przewodnik, jak wykorzystać swoje umiejętności w praktyce. Jak zapomnisz omówionego materiału, musisz poświęcić co najmniej pięć minut w każdy czwartek na pobieżne przeglądanie wykładów, w przeciwnym razie zapomnisz o wszystkim na początku sesji, a jeszcze bardziej zapomnisz, jak oblicza się zbieżność serii . Zacznij od razu, a potem pokonaj swoje lenistwo. Nic dziwnego, że nauczyciele są zmuszeni udowadniać, w jaki sposób suma szeregu 1/n będzie się różnić. Jeśli jednak suma szeregu 1/n^2 zostanie przedstawiona jako szereg przemienny, to nic strasznego się nie wydarzy - w końcu szereg bezwzględny jest wtedy zbieżny! I oczywiście suma skończonych serii może Cię szczególnie zainteresować, gdy będziesz samodzielnie studiować tę dyscyplinę. Lwia część przykładów jest rozwiązywana metodą d'Alemberta, a rozwiązanie szeregu sprowadza się w tym przypadku do obliczenia granic jako ilorazu sąsiednich członów, czyli następnego do poprzedniego. Dlatego życzymy powodzenia w rozwiązywaniu matematyki i nigdy nie popełniaj błędów! Za podstawę przyjmijmy tzw. rozwiązanie serii online w kierunku rozbieżności badawczej, zaangażowania fundamentalnych zasad i naukowych kierunków interdyscyplinarnych. Znajdźmy dla ciebie odpowiedź i powiemy ci twierdząco, że sumę szeregu rozwiązuje się kilkoma zasadniczo różnymi metodami, ale ostatecznie wynik jest taki sam. Sugestia dotycząca zbieżności serii nie zawsze jest dla uczniów oczywista, nawet jeśli wcześniej udziela się im odpowiedzi, choć oczywiście to z pewnością skłania ich do właściwego rozwiązania. Abstrakcja w matematyce, choć wychodzi na wierzch lokalnie, jest jednak poparta teorią i w migiem dowodzi pewnych niepodważalnych faktów. Przy rozwiązywaniu szeregów online nie sposób pominąć takiego aspektu, jak przydatność lub niestosowalność podstawowych zasad teoretycznych zbieżności szeregu liczbowego oraz przedstawienie złożonej sumy szeregu w jakiejś uproszczonej wersji dla ładniejszego wyglądu. Ale zdarzają się przypadki, kiedy suma szeregu 1/n będzie zbieżna i nie będziemy Wam przeszkadzać tym incydentem, bo wystarczy podstawić jakąś liczbę całkowitą zamiast symbolu nieskończoności i wtedy cała suma zostanie zredukowana do zwykłe szeregi arytmetyczne. Szereg harmoniczny jest sumą szeregu 1/n^2, to sieć ma dowolną podniesioną moc.