Kā izvilkt kvadrātu. Kvadrātsakne. Darbības ar kvadrātsaknēm. Modulis. Kvadrātsakņu salīdzinājums

Aprēķins (vai ieguve) kvadrātsakne var ražot vairākos veidos, taču nevar teikt, ka tie visi ir ļoti vienkārši. Vieglāk, protams, ir ķerties pie kalkulatora palīdzības. Bet, ja tas nav iespējams (vai vēlaties saprast kvadrātsaknes būtību), es varu ieteikt jums iet šādu ceļu, tā algoritms ir šāds:

Ja nav spēka, vēlmes vai pacietības tik ilgiem aprēķiniem, varat ķerties pie aptuvenas atlases, kuras pluss ir tas, ka tā ir neticami ātra un ar atbilstošu atjautību precīza. Piemērs:

Kad es mācījos skolā (60. gadu sākumā), mums mācīja ņemt kvadrātsakni no jebkura skaitļa. Tehnika ir vienkārša, ārēji līdzīga kolonnu dalīšanaquot ;, taču, lai to norādītu šeit, būs nepieciešama pusstunda un 4-5 tūkstoši teksta rakstzīmju. Bet kāpēc tev to vajag? Vai jums ir telefons vai cits sīkrīks, ir kalkulators nm. Katrā datorā ir kalkulators. Personīgi es labprātāk veicu šāda veida aprēķinus programmā Excel.

Bieži vien skolā ir jāatrod kvadrātsaknes dažādi skaitļi. Bet, ja esam pieraduši tam visu laiku izmantot kalkulatoru, tad eksāmenos tādas iespējas nebūs, tāpēc jāiemācās meklēt sakni bez kalkulatora palīdzības. Un principā tas ir iespējams.

Algoritms ir šāds:

Vispirms apskatiet sava numura pēdējo ciparu:

Piemēram,

Tagad jums ir jānosaka aptuveni saknes vērtība no vistālāk kreisās grupas

Gadījumā, ja numuram ir vairāk nekā divas grupas, sakne ir jāatrod šādi:

Bet nākamajam skaitlim jābūt tieši lielākajam, tas ir jāizvēlas šādi:

Tagad mums ir jāveido jauns skaitlis A, iepriekš iegūtajam atlikumam pievienojot nākamo grupu.

Mūsu piemēros:

Najna kolonna un, kad vajag vairāk par piecpadsmit rakstzīmēm, tad visbiežāk atpūšas datori un telefoni ar kalkulatoriem. Atliek pārbaudīt, vai metodikas apraksts aizņems 4-5 tūkstošus zīmju.

Berm jebkuru skaitli, no komata mēs saskaitām ciparu pārus pa labi un pa kreisi

Piemēram, 1234567890.098765432100

Ciparu pāris ir kā divciparu skaitlis. Divciparu sakne ir viens pret vienu. Mēs izvēlamies vienvērtīgu, kura kvadrāts ir mazāks par pirmo ciparu pāri. Mūsu gadījumā tas ir 3.

Tāpat kā dalot ar kolonnu, zem pirmā pāra mēs izrakstām šo kvadrātu un atņemam no pirmā pāra. Rezultāts ir pasvītrots. 12 - 9 = 3. Šai starpībai pievienojiet otru ciparu pāri (tas būs 334). Pa kreisi no bermu skaita jau atrastās rezultāta daļas dubultā vērtība tiek papildināta ar ciparu (mums ir 2 * 6 = 6), lai, reizinot ar nesaņemto skaitli, tas nepārsniedz skaitli ar otro ciparu pāri. Mēs iegūstam, ka atrastais skaitlis ir pieci. Atkal atrodam atšķirību (9), nojaucam nākamo ciparu pāri, iegūstot 956, atkal izrakstām rezultāta dubultoto daļu (70), atkal pievienojam vajadzīgo ciparu un tā tālāk, līdz tas apstājas. Vai arī uz nepieciešamo aprēķinu precizitāti.

Pirmkārt, lai aprēķinātu kvadrātsakni, jums labi jāzina reizināšanas tabula. Lielākā daļa vienkārši piemēri ir 25 (5 x 5 = 25) un tā tālāk. Ja skaitļus uztverat sarežģītākus, varat izmantot šo tabulu, kur vienības ir horizontālas un desmiti ir vertikālas.



Tur ir labs veids kā atrast skaitļa sakni bez kalkulatoru palīdzības. Lai to izdarītu, jums būs nepieciešams lineāls un kompass. Būtība ir tāda, ka uz lineāla atrodat vērtību, kas atrodas zem saknes. Piemēram, ievietojiet atzīmi pie 9. Tavs uzdevums ir sadalīt šo skaitli vienādā skaitā segmentu, tas ir, divās rindās pa 4,5 cm katra un pāra segmentā. Ir viegli uzminēt, ka galu galā jūs iegūsit 3 segmentus pa 3 centimetriem.

Metode nav viegla un lieli cipari nav piemērots, bet tiek uzskatīts bez kalkulatora.

gadā bez kalkulatora palīdzības tika mācīta kvadrātsaknes iegūšanas metode Padomju laiki skolā 8. klasē.

Lai to izdarītu, jums ir jāsadala vairāku ciparu skaitlis no labās uz kreiso pusi 2 ciparu formātā :

Saknes pirmais cipars ir visa kreisās puses sakne, šajā gadījumā 5.

Atņemiet 5 kvadrātā no 31, 31-25 = 6 un pievienojiet nākamo seju sešiniekam, mums ir 678.

Nākamais cipars x ir izvēlēts, lai dubultotu piecus tā, lai

10x*x bija maksimālais, bet mazāks par 678.

x=6, jo 106*6=636,

tagad mēs aprēķinām 678 - 636 = 42 un pievienojam nākamo skalu 92, mums ir 4292.

Atkal mēs meklējam maksimālo x, lai 112x*x lt; 4292.

Atbilde: sakne ir 563

Tātad jūs varat turpināt tik ilgi, cik vēlaties.

Dažos gadījumos varat mēģināt paplašināt saknes skaitli divos vai vairākos kvadrātfaktoros.

Ir arī lietderīgi atcerēties tabulu (vai vismaz kādu tās daļu) - naturālo skaitļu kvadrātus no 10 līdz 99.



Es piedāvāju variantu, kā kvadrātsakni izvilkt kolonnā, kuru es izgudroju. Tas atšķiras no labi zināmā, izņemot skaitļu atlasi. Bet, kā es uzzināju vēlāk, šī metode jau pastāvēja daudzus gadus pirms manas dzimšanas. Lielais Īzaks Ņūtons to aprakstīja savā grāmatā Vispārējā aritmētika vai grāmatā par aritmētisko sintēzi un analīzi. Tāpēc šeit es prezentēju savu redzējumu un pamatojumu Ņūtona metodes algoritmam. Algoritms nav jāiegaumē. Ja nepieciešams, attēlā redzamo diagrammu varat vienkārši izmantot kā vizuālu palīglīdzekli.







Ar tabulu palīdzību jūs varat nevis aprēķināt, bet atrast kvadrātsaknes tikai no skaitļiem, kas ir tabulās. Vienkāršākais veids, kā aprēķināt saknes, ir ne tikai kvadrātveida, bet arī citas pakāpes, izmantojot secīgu tuvinājumu metodi. Piemēram, mēs aprēķinām kvadrātsakni no 10739, aizstājam pēdējos trīs ciparus ar nullēm un izņemam sakni no 10000, mēs iegūstam 100 ar mīnusu, tāpēc ņemam skaitli 102 un kvadrātā, iegūstam 10404, kas arī ir mazāks. nekā norādītais, mēs atkal ņemam 103*103=10609 ar mīnusu, ņemam 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, ņemam vēl vairāk 103,6 * 103,6 \u003d 10732, mēs ņemam 103,6 * 103,6 \u003d 10732, mēs ņemam 103,6 * 103,6 \u003d 10732, mēs ņemam 103,5 * 103,5 \u003d \u003d jau 103.0 lieko. Varat pieņemt, ka kvadrātsakne no 10739 ir aptuveni vienāda ar 103,6. Precīzāk 10739=103.629... . . Līdzīgi mēs aprēķinām kuba sakni, vispirms no 10 000 iegūstam aptuveni 25 * 25 * 25 = 15625, kas ir pāri, ņemam 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, mēs ņemam nedaudz vairāk par 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, kas ir ļoti tuvu dotajam.

sakne n naturāla skaitļa pakāpe a numurs tiek izsaukts n kura th jauda ir vienāda ar a. Sakni apzīmē šādi: . Tiek izsaukts simbols √ saknes zīme vai radikāļu zīme, numurs a - saknes numurs, n - saknes eksponents.

Tiek izsaukta darbība, ar kuru tiek atrasta noteiktās pakāpes sakne sakņu ekstrakcija.

Tā kā saskaņā ar saknes jēdziena definīciju n th grāds

tad sakņu ekstrakcija- darbība, paaugstināšanas pretstats, ar kuras palīdzību pēc dotās pakāpes un pēc dotā eksponenta tiek atrasta pakāpes bāze.

Kvadrātsakne

Skaitļa kvadrātsakne a ir skaitlis, kura kvadrāts ir a.

Darbību, ar kuru aprēķina kvadrātsakni, sauc par kvadrātsaknes pieņemšanu.

Kvadrātsaknes izvilkšana- pretēja darbība kvadrātā (vai skaitļa paaugstināšana līdz otrajai pakāpei). Saliekot skaitli kvadrātā, jāatrod tā kvadrāts. Izvelkot kvadrātsakni, ir zināms skaitļa kvadrāts, no tā jāatrod pats skaitlis.

Tāpēc, lai pārbaudītu veiktās darbības pareizību, jūs varat pacelt atrasto sakni līdz otrajai pakāpei, un, ja pakāpe ir vienāda ar saknes skaitli, tad sakne tika atrasta pareizi.

Apsveriet kvadrātsaknes izvilkšanu un tās pārbaudi, izmantojot piemēru. Mēs aprēķinām vai (saknes eksponents ar vērtību 2 parasti netiek rakstīts, jo 2 ir mazākais eksponents un jāatceras, ka, ja virs saknes zīmes nav eksponenta, tad tiek domāts eksponents 2), šim nolūkam mums ir nepieciešams lai atrastu skaitli, paaugstinot līdz otrajam, pakāpe būs 49. Acīmredzot šis skaitlis ir 7, jo

7 7 = 7 2 = 49.

Kvadrātsaknes aprēķināšana

Ja dotais skaitlis ir 100 vai mazāks, tad tā kvadrātsakni var aprēķināt, izmantojot reizināšanas tabulu. Piemēram, kvadrātsakne no 25 ir 5, jo 5 x 5 = 25.

Tagad apsveriet veidu, kā atrast jebkura skaitļa kvadrātsakni, neizmantojot kalkulatoru. Piemēram, ņemsim skaitli 4489 un sāksim aprēķināt soli pa solim.

1. Nosakīsim, no kuriem cipariem jāsastāv vēlamajai saknei. Tā kā 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 un 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, kļūst skaidrs, ka vēlamajai saknei jābūt lielākai par 10 un mazākai par 100, t.i. sastāv no desmitiem un vieniniekiem.
2. Atrodiet saknes desmitnieku skaitu. Reizinot desmitus, iegūstam simtus, mūsu skaitlis ir 44, tātad saknē jāsatur tik daudz desmitnieku, lai desmitnieku kvadrātā būtu aptuveni 44 simti. Tāpēc saknē jābūt 6 desmitiem, jo ​​60 2 \u003d 3600 un 70 2 \u003d 4900 (tas ir pārāk daudz). Tādējādi mēs noskaidrojām, ka mūsu saknē ir 6 desmiti un vairāki, jo tas ir diapazonā no 60 līdz 70.
3. Reizināšanas tabula palīdzēs noteikt vienību skaitu saknē. Aplūkojot skaitli 4489, redzam, ka pēdējais cipars tajā ir 9. Tagad skatāmies reizināšanas tabulu un redzam, ka 9 vienības var iegūt, tikai saliekot kvadrātā skaitļus 3 un 7. Tātad skaitļa sakne būs 63. vai 67.
4. Mēs pārbaudām iegūtos skaitļus 63 un 67, sadalot tos kvadrātā: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Skolēni vienmēr jautā: “Kāpēc es nevaru izmantot kalkulatoru matemātikas eksāmenā? Kā bez kalkulatora iegūt skaitļa kvadrātsakni? Mēģināsim atbildēt uz šo jautājumu.

Kā izvilkt skaitļa kvadrātsakni bez kalkulatora palīdzības?

Darbība kvadrātsaknes ekstrakcija pretstats kvadrātēšanai.

√81= 9 9 2 =81

Ja ņemam kvadrātsakni no pozitīva skaitļa un rezultātu kvadrātā, mēs iegūstam tādu pašu skaitli.

No maziem skaitļiem, kas ir precīzi naturālu skaitļu kvadrāti, piemēram, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadrātsaknes var izvilkt verbāli. Parasti skolā viņi māca naturālu skaitļu kvadrātu tabulu līdz divdesmit. Zinot šo tabulu, ir viegli iegūt kvadrātsaknes no skaitļiem 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. No skaitļiem, kas ir lielāki par 400, varat izvilkt, izmantojot atlases metodi, izmantojot dažus padomus. Mēģināsim izmantot piemēru, lai apsvērtu šo metodi.

Piemērs: Izvelciet skaitļa 676 sakni.

Mēs pamanām, ka 20 2 \u003d 400 un 30 2 \u003d 900, kas nozīmē 20< √676 < 900.

Precīzi naturālu skaitļu kvadrāti beidzas ar 0; viens; četri; 5; 6; 9.
Skaitlis 6 tiek dots ar 4 2 un 6 2 .
Tātad, ja sakne tiek ņemta no 676, tad tā ir vai nu 24, vai 26.

Atliek pārbaudīt: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atbilde: √676 = 26 .

Vairāk piemērs: √6889 .

Kopš 80 2 \u003d 6400 un 90 2 \u003d 8100, tad 80< √6889 < 90.
Skaitlis 9 tiek dots ar 3 2 un 7 2, tad √6889 ir vai nu 83, vai 87.

Pārbaudiet: 83 2 = 6889.

Atbilde: √6889 = 83 .

Ja jums ir grūti atrisināt ar atlases metodi, varat faktorizēt saknes izteiksmi.

Piemēram, atrast √893025.

Faktorizēsim skaitli 893025, atcerieties, jūs to izdarījāt sestajā klasē.

Mēs iegūstam: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Vairāk piemērs: √20736. Faktorizēsim skaitli 20736:

Mēs iegūstam √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Protams, faktorings prasa zināšanas par dalāmības kritērijiem un faktoringa iemaņas.

Un visbeidzot, ir kvadrātsaknes noteikums. Apskatīsim šo noteikumu ar piemēru.

Aprēķināt √279841.

Lai iegūtu vairāku ciparu vesela skaitļa sakni, mēs to sadalām no labās puses uz kreiso skaldnēs, kurās katrā ir 2 cipari (kreisajā galējā skalā var būt viens cipars). Rakstiet šādi 27'98'41

Lai iegūtu saknes pirmo ciparu (5), mēs izņemam kvadrātsakni no lielākā precīzā kvadrāta, kas atrodas pirmajā kreisajā pusē (27).
Tad no pirmās skaldnes tiek atņemts saknes pirmā cipara kvadrāts (25), un starpībai tiek attiecināta (nojaukta) nākamā skaldne (98).
Pa kreisi no saņemtā skaitļa 298 viņi ieraksta saknes divciparu (10), dala ar to visu iepriekš iegūtā skaitļa desmitu skaitu (29/2 ≈ 2), izbauda koeficientu (102 ∙ 2 = 204 nedrīkst būt lielāks par 298) un ierakstiet (2) aiz saknes pirmā cipara.
Tad iegūtais koeficients 204 tiek atņemts no 298, un nākamais aspekts (41) tiek attiecināts (nojaukts) uz starpību (94).
Pa kreisi no iegūtā skaitļa 9441 viņi raksta saknes ciparu dubultreizinājumu (52 ∙ 2 = 104), dala ar šo reizinājumu visu skaitļa 9441 desmitnieku skaitu (944/104 ≈ 9), pieredze koeficientam (1049 ∙ 9 = 9441) jābūt 9441 un pierakstiet to (9) aiz saknes otrā cipara.

Mēs saņēmām atbildi √279841 = 529.

Līdzīgi ekstrakts decimāldaļu saknes. Tikai radikālais skaitlis ir jāsadala sejās tā, lai komats būtu starp sejām.

Piemērs. Atrodiet vērtību √0,00956484.

Jums tikai jāatceras, ka, ja decimālzīme Tā ir nepāra skaitlis decimālzīmes, precīza kvadrātsakne no tā netiek iegūta.

Tātad, tagad esat redzējis trīs veidus, kā iegūt sakni. Izvēlieties sev piemērotāko un praktizējiet. Lai uzzinātu, kā atrisināt problēmas, tās ir jāatrisina. Un, ja jums ir kādi jautājumi,.

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

1. fakts.
\(\bullet\) Paņemiet dažus ne negatīvs skaitlis\(a\) (t.i., \(a\geqslant 0\) ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \(a\) tiek izsaukts šāds nenegatīvs skaitlis \(b\), kuru kvadrātā iegūstam skaitli \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie ierobežojumi ir svarīgs kvadrātsaknes pastāvēšanas nosacījums, un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, \(100^2=10000\geqslant 0\) un \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kas ir \(\sqrt(25)\)? Mēs zinām, ka \(5^2=25\) un \((-5)^2=25\) . Tā kā pēc definīcijas mums ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, \(-5\) nav piemērots, tāpēc \(\sqrt(25)=5\) (jo \(25=5^2\) ).
Vērtības \(\sqrt a\) atrašanu sauc par skaitļa \(a\) kvadrātsakni, bet skaitli \(a\) sauc par saknes izteiksmi.
\(\bullet\) Pamatojoties uz definīciju, izteicieni \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) u.c. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt naturālo skaitļu kvadrātu tabulu no \(1\) līdz \(20\) : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Ko var izdarīt ar kvadrātsaknēm?
\(\lode\) Summa vai starpība kvadrātsaknes NAV VIENĀRDS ar summas vai starpības kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tātad, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tad sākotnēji jāatrod vērtības \(\sqrt(25)\) un \(\sqrt (49)\ ) un pēc tam saskaitiet tos. Sekojoši, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a\) vai \(\sqrt b\) nevar atrast, pievienojot \(\sqrt a+\sqrt b\), tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mēs varam atrast \(\sqrt(49)\) - tas ir \(7\) , bet \(\sqrt 2\) nevar būt jebkādā veidā pārveidots, tāpēc \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Turklāt šo izteicienu diemžēl nekādā veidā nevar vienkāršot.\(\bullet\) Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienādības daļām ir jēga)
Piemērs: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Izmantojot šīs īpašības, ir ērti atrast lielu skaitļu kvadrātsaknes, tos faktorējot.
Apsveriet piemēru. Atrodiet \(\sqrt(44100)\) . Kopš \(44100:100=441\) , tad \(44100=100\cdot 441\) . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis \(441\) dalās ar \(9\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc \(441:9=49\) , tas ir, \(441=9\ cdot 49\) .
Tādējādi mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \(5\sqrt2\) piemēru (saīsinājums no izteiksmes \(5\cdot \sqrt2\) ). Kopš \(5=\sqrt(25)\) , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim ar 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli \(\sqrt2\) . Iedomājieties, ka \(\sqrt2\) ir kāds skaitlis \(a\) . Attiecīgi izteiksme \(\sqrt2+3\sqrt2\) nav nekas cits kā \(a+3a\) (viens cipars \(a\) plus vēl trīs tādi paši skaitļi \(a\) ). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \(a\) , tas ir, \(4\sqrt2\) .

4. fakts.
\(\bullet\) Bieži tiek teikts "nevar izvilkt sakni", ja, atrodot kāda skaitļa vērtību, nav iespējams atbrīvoties no saknes (radikāla) zīmes \(\sqrt () \ \). Piemēram, varat sakņot skaitli \(16\), jo \(16=4^2\) , tātad \(\sqrt(16)=4\) . Bet izvilkt sakni no skaitļa \(3\) , tas ir, atrast \(\sqrt3\) , nav iespējams, jo nav tāda skaitļa, kas kvadrātā dotu \(3\) .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \(\pi\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \(3,14\) ), \(e\) (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, aptuveni vienāds ar \(2) ,7\) ) utt.
\(\bullet\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionāli un viss iracionāli skaitļi veido kopu ar nosaukumu reālo (reālo) skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu \(\mathbb(R)\) .
Tas nozīmē, ka visi skaitļi, kas ir Šis brīdis mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\(\bullet\) Reālā skaitļa modulis \(a\) ir nenegatīvs skaitlis \(|a|\), kas vienāds ar attālumu no punkta \(a\) līdz \(0\) reālajā skaitļā. līnija. Piemēram, \(|3|\) un \(|-3|\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \(3\) un \(-3\) līdz \(0\) ir vienāds un vienāds ar \(3 \) .
\(\bullet\) Ja \(a\) ir nenegatīvs skaitlis, tad \(|a|=a\) .
Piemērs: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad \(|a|=-a\) .
Piemērs: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, un pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \(0\) modulis atstāj nemainīgu.
BETšis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem moduļa zīmes ir nezināms \(x\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \(|x|\) , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, vienāds ar nulli vai negatīvs, tad atbrīvoties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek šāda: \(|x|\) . \(\bullet\) Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\] Bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \(\sqrt(a^2)\) un \((\sqrt a)^2\) ir viena un tā pati lieta. Tas ir spēkā tikai tad, ja \(a\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. Ņemsim skaitli \(-1\), nevis \(a\). Tad \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet izteiksme \((\sqrt (-1))^2\) vispār nepastāv (jo tā ir neiespējami zem saknes zīmes ielieciet negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \(\sqrt(a^2)\) nav vienāds ar \((\sqrt a)^2\) ! Piemērs: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jo \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kopš \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme \(2n\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ņemiet vērā, ka, ja modulis nav iestatīts, tad izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar \(-25) \) ; bet mēs atceramies , kas pēc saknes definīcijas tas nevar būt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
\(\bullet\) Patiess kvadrātsaknēm: ja \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)\) un \(6\sqrt2\) . Pirmkārt, mēs pārveidojam otro izteiksmi par \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tādējādi kopš \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kuriem veseliem skaitļiem ir \(\sqrt(50)\)?
Kopš \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) un \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdziniet \(\sqrt 2-1\) un \(0,5\) . Pieņemsim, ka \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abas daļas kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Reizinot/dalot abas nevienādības puses ar pozitīvu skaitli, arī tās zīme nemainās, bet reizinot/dalot ar negatīvu skaitli, nevienādības zīme tiek apgriezta!
Abas vienādojuma/nevienādības puses var būt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra abas puses var kvadrātā, nevienādībā \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Ņemiet vērā, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! \(\bullet\) Lai izvilktu sakni (ja tā ir izvilkta) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms ir jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas ir, tad starp kuriem “desmitiem”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Paņemiet \(\sqrt(28224)\) . Mēs zinām, ka \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) un tā tālāk. Ņemiet vērā, ka \(28224\) ir starp \(10\,000\) un \(40\,000\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) ir starp \(100\) un \(200\) .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” ir mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp \(120\) un \(130\) ). No kvadrātu tabulas mēs arī zinām, ka \(11^2=121\) , \(12^2=144\) utt., tad \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Tātad mēs redzam, ka \(28224\) ir starp \(160^2\) un \(170^2\) . Tāpēc skaitlis \(\sqrt(28224)\) ir starp \(160\) un \(170\) .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādus viencipara skaitļus kvadrātā dod beigās \ (4 \) ? Tie ir \(2^2\) un \(8^2\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atrodiet \(162^2\) un \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tādējādi \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, pirmkārt, ir nepieciešams apgūt teorētisko materiālu, kas ievada daudzas teorēmas, formulas, algoritmus utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkāda līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi apgūt teoriju matemātikā, ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

1. Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apguve matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas iegūt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
2. Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot izziņas materiālus eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādus uzdevumus, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja izglītības materiālu sistematizēšanai un prezentēšanai.

Sava pirmā izdevuma “Atjautības valstībā” (1908) priekšvārdā E. I. Ignatjevs raksta: Rezultāti ir ticami tikai tad, ja ievads matemātikas zināšanu jomā ir veikts vieglā un patīkamā veidā, uz priekšmetiem un ikdienas un sadzīvisku situāciju piemēriem, kas atlasīti ar atbilstošu asprātību un jautrību.

1911. gada izdevuma “Atmiņas loma matemātikā” priekšvārdā E.I. Ignatjevs raksta "... matemātikā jāatceras nevis formulas, bet gan domāšanas process."

Lai iegūtu kvadrātsakni, ir divciparu skaitļu kvadrātu tabulas, jūs varat sadalīt skaitļus primārajos faktoros un iegūt kvadrātsakni no reizinājuma. Ar kvadrātu tabulu nepietiek, saknes izvilkšana ar faktoringu ir laikietilpīgs uzdevums, kas arī ne vienmēr noved pie vēlamā rezultāta. Mēģināt izvilkt kvadrātsakni no skaitļa 209764? Sadalījums primārajos faktoros dod reizinājumu 2 * 2 * 52441. Ar izmēģinājumu un kļūdu, atlasi - to, protams, var izdarīt, ja esat pārliecināts, ka tas ir vesels skaitlis. Veids, kā es vēlos ieteikt, ļauj jebkurā gadījumā ņemt kvadrātsakni.

Reiz institūtā (Permas Valsts pedagoģiskajā institūtā) mēs tikām iepazīstināti ar šo metodi, par kuru es tagad gribu runāt. Es nekad neesmu domājis par to, vai šai metodei ir pierādījums, tāpēc tagad man pašam bija jāizsecina daži pierādījumi.

Šīs metodes pamatā ir skaitļa = sastāvs.

=&, t.i. &2=596334.

1. Sadaliet skaitli (5963364) pāros no labās puses uz kreiso (5`96`33`64)

2. Mēs izņemam kvadrātsakni no pirmās grupas kreisajā pusē ( - numurs 2). Tātad mēs iegūstam skaitļa & pirmo ciparu.

3. Atrodiet pirmā cipara kvadrātu (2 2 \u003d 4).

4. Atrodiet atšķirību starp pirmo grupu un pirmā cipara kvadrātu (5-4=1).

5. Nojaucam nākamos divus ciparus (saņēmām skaitli 196).

6. Divkāršojam pirmo atrasto skaitli, pierakstām to pa kreisi aiz līnijas (2*2=4).

7. Tagad jums ir jāatrod skaitļa otrais cipars &: mūsu atrastais dubultotais pirmais cipars kļūst par skaitļa desmitiem ciparu, reizinot ar vienību skaitu, jums jāiegūst skaitlis, kas ir mazāks par 196 ( šis ir skaitlis 4, 44 * 4 = 176). 4 ir & otrais cipars.

8. Atrodi atšķirību (196-176=20).

9. Nojaucam nākamo grupu (iegūstam numuru 2033).

10. Dubultojiet skaitli 24, iegūstam 48.

11,48 desmiti skaitļā, reizinot ar vienību skaitu, mums vajadzētu iegūt skaitli, kas ir mazāks par 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Mūsu atrastais vienību cipars (4) ir skaitļa & trešais cipars.

Es sniedzu pierādījumus šādiem gadījumiem:

1. Trīsciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana;

2. Četrciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.

Aptuvenās kvadrātsaknes iegūšanas metodes (neizmantojot kalkulatoru).

1. Senie babilonieši izmantoja šādu metodi, lai atrastu sava x skaitļa kvadrātsaknes aptuveno vērtību. Viņi attēloja skaitli x kā summu a 2 + b, kur a 2 ir vistuvāk x precīzajam naturālā skaitļa a kvadrātam (a 2 ? x), un izmantoja formulu. . (1)

Izmantojot formulu (1), mēs izņemam kvadrātsakni, piemēram, no skaitļa 28:

Rezultāts, iegūstot 28 sakni, izmantojot MK 5.2915026.

Kā redzat, Babilonijas metode sniedz labu tuvinājumu precīzai saknes vērtībai.

2. Īzaks Ņūtons izstrādāja kvadrātsaknes metodi, kas datēta ar Aleksandrijas Heronu (ap 100. gadu pēc Kristus). Šī metode (pazīstama kā Ņūtona metode) ir šāda.

Ļaujiet a 1- skaitļa pirmais tuvinājums (kā 1 varat ņemt naturāla skaitļa kvadrātsaknes vērtības - precīzs kvadrāts, kas nepārsniedz X) .

Nākamais, precīzāks tuvinājums a 2 cipariem atrasts pēc formulas .