Kā ir sakne. Pētnieciskais darbs par tēmu: "Kvadrātsakņu iegūšana no lieliem skaitļiem bez kalkulatora"

Skolēni vienmēr jautā: “Kāpēc es nevaru izmantot kalkulatoru matemātikas eksāmenā? Kā bez kalkulatora iegūt skaitļa kvadrātsakni? Mēģināsim atbildēt uz šo jautājumu.

Kā izvilkt skaitļa kvadrātsakni bez kalkulatora palīdzības?

Darbība kvadrātsaknes ekstrakcija pretstats kvadrātēšanai.

√81= 9 9 2 =81

Ja ņemam kvadrātsakni no pozitīva skaitļa un rezultātu kvadrātā, mēs iegūstam tādu pašu skaitli.

No nē lieli cipari, kas ir precīzi naturālu skaitļu kvadrāti, piemēram, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadrātsaknes var izvilkt mutiski. Parasti skolā viņi māca naturālu skaitļu kvadrātu tabulu līdz divdesmit. Zinot šo tabulu, ir viegli iegūt kvadrātsaknes no skaitļiem 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. No skaitļiem, kas ir lielāki par 400, varat izvilkt, izmantojot atlases metodi, izmantojot dažus padomus. Mēģināsim izmantot piemēru, lai apsvērtu šo metodi.

Piemērs: Izvelciet skaitļa 676 sakni.

Mēs pamanām, ka 20 2 \u003d 400 un 30 2 \u003d 900, kas nozīmē 20< √676 < 900.

Precīzi naturālu skaitļu kvadrāti beidzas ar 0; viens; 4; 5; 6; deviņi.
Skaitlis 6 tiek dots ar 4 2 un 6 2 .
Tātad, ja sakne tiek ņemta no 676, tad tā ir vai nu 24, vai 26.

Atliek pārbaudīt: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atbilde: √676 = 26 .

Vairāk piemērs: √6889 .

Kopš 80 2 \u003d 6400 un 90 2 \u003d 8100, tad 80< √6889 < 90.
Skaitlis 9 tiek dots ar 3 2 un 7 2, tad √6889 ir vai nu 83, vai 87.

Pārbaudiet: 83 2 = 6889.

Atbilde: √6889 = 83 .

Ja jums ir grūti atrisināt ar atlases metodi, varat faktorizēt saknes izteiksmi.

Piemēram, atrast √893025.

Faktorizēsim skaitli 893025, atcerieties, jūs to izdarījāt sestajā klasē.

Mēs iegūstam: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Vairāk piemērs: √20736. Faktorizēsim skaitli 20736:

Mēs iegūstam √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Protams, faktorings prasa zināšanas par dalāmības kritērijiem un faktoringa iemaņas.

Un visbeidzot, ir kvadrātsaknes noteikums. Apskatīsim šo noteikumu ar piemēru.

Aprēķināt √279841.

Lai iegūtu vairāku ciparu vesela skaitļa sakni, mēs to sadalām no labās puses uz kreiso skaldnēs, kurās katrā ir 2 cipari (kreisajā galējā skalā var būt viens cipars). Rakstiet šādi 27'98'41

Lai iegūtu saknes pirmo ciparu (5), mēs izņemam kvadrātsakni no lielākā precīzā kvadrāta, kas atrodas pirmajā kreisajā pusē (27).
Tad no pirmās skaldnes tiek atņemts saknes pirmā cipara kvadrāts (25) un starpībai tiek attiecināta (nojaukta) nākamā skaldne (98).
Pa kreisi no saņemtā skaitļa 298 viņi ieraksta saknes divciparu (10), dala ar to visu iepriekš iegūtā skaitļa desmitu skaitu (29/2 ≈ 2), izbauda koeficientu (102 ∙ 2 = 204 nedrīkst būt lielāks par 298) un ierakstiet (2) aiz saknes pirmā cipara.
Tad iegūtais koeficients 204 tiek atņemts no 298, un nākamais aspekts (41) tiek attiecināts (nojaukts) uz starpību (94).
Pa kreisi no iegūtā skaitļa 9441 viņi raksta saknes ciparu dubultreizinājumu (52 ∙ 2 = 104), dala ar šo reizinājumu visu skaitļa 9441 desmitnieku skaitu (944/104 ≈ 9), pieredze koeficientam (1049 ∙ 9 = 9441) jābūt 9441 un pierakstiet to (9) aiz saknes otrā cipara.

Mēs saņēmām atbildi √279841 = 529.

Līdzīgi ekstrakts decimāldaļu saknes. Tikai radikālais skaitlis ir jāsadala sejās tā, lai komats būtu starp sejām.

Piemērs. Atrodiet vērtību √0,00956484.

Vienkārši atcerieties to, ja decimāldaļai ir nē pāra skaitlis decimālzīmes, precīza kvadrātsakne no tā netiek iegūta.

Tātad, tagad esat redzējis trīs veidus, kā iegūt sakni. Izvēlieties sev piemērotāko un praktizējiet. Lai uzzinātu, kā atrisināt problēmas, tās ir jāatrisina. Un, ja jums ir kādi jautājumi,.

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ir pienācis laiks izjaukt sakņu ekstrakcijas metodes. Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo ​​īpaši uz vienlīdzību, kas ir spēkā jebkuram ne negatīvs skaitlis b.

Tālāk mēs savukārt apsvērsim galvenās sakņu ieguves metodes.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu – sakņu izvilkšanu no naturāliem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu u.c. nav pie rokas, ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver saknes skaitļa sadalīšanu vienkāršos faktoros.

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie tā, kas ir iespējams saknēm ar nepāra eksponentiem.

Visbeidzot, apsveriet metodi, kas ļauj secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Vienkāršākajos gadījumos kvadrātu, kubu uc tabulas ļauj iegūt saknes. Kas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 (ieskaitot) sastāv no divām zonām. Tabulas pirmā zona atrodas uz pelēka fona, atlasot noteiktu rindu un noteiktu kolonnu, tā ļauj izveidot skaitli no 0 līdz 99. Piemēram, atlasīsim rindu ar 8 desmitiem un kolonnu ar 3 vienībām, ar to mēs nofiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra tā šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustpunktā un satur atbilstošā skaitļa kvadrātu no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitnieku rindas un viena 3. kolonnas krustpunktā atrodas šūna ar skaitli 6889, kas ir skaitļa 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturto pakāpju tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tās otrajā zonā satur kubus, ceturtās pakāpes utt. atbilstošos skaitļus.

Kvadrātu, kubu, ceturtās pakāpes tabulas utt. ļauj iegūt kvadrātsaknes, kubsaknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Izskaidrosim to pielietošanas principu sakņu ieguvē.

Pieņemsim, ka no skaitļa a ir jāizvelk n-tās pakāpes sakne, savukārt skaitlis a ir ietverts n-to grādu tabulā. Saskaņā ar šo tabulu mēs atrodam skaitli b tādu, ka a=b n . Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tās pakāpes sakne.

Kā piemēru parādīsim, kā 19683. gada kuba sakne tiek iegūta, izmantojot kuba tabulu. Mēs atrodam kubu tabulā skaitli 19 683, no tā secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Skaidrs, ka n-to grādu tabulas ir ļoti ērtas, iegūstot saknes. Taču tās bieži vien nav pa rokai, un to sastādīšana prasa noteiktu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos ir jāizmanto citas sakņu iegūšanas metodes.

Saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros

Diezgan ērts veids, kā iegūt sakni no naturālā skaitļa (ja, protams, sakne ir iegūta), ir sadalīt saknes skaitli pirmfaktoros. Viņa būtība ir šāda: pēc tam ir diezgan viegli attēlot to kā grādu ar vēlamo indikatoru, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Paskaidrosim šo punktu.

No naturāla skaitļa a izņem n-tās pakāpes sakni, un tā vērtība ir vienāda ar b. Šajā gadījumā vienādība a=b n ir patiesa. Skaitli b kā jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā visu tā pirmfaktoru p 1 , p 2 , …, p m reizinājumu formā p 1 p 2 … p m , un saknes skaitli a šajā gadījumā attēlo kā (p 1 p 2 ... p m) n . Tā kā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros ir unikāla, tad saknes skaitļa a sadalīšana pirmfaktoros izskatīsies šādi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kas ļauj aprēķināt saknes vērtību kā .

Ņemiet vērā, ka, ja saknes skaitļa a faktorizāciju nevar attēlot formā (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tad n-tās pakāpes sakne no šāda skaitļa a netiek pilnībā izvilkta.

Ar to nodarbosimies, risinot piemērus.

Piemērs.

Paņemiet kvadrātsakni no 144 .

Lēmums.

Ja pievēršamies iepriekšējā rindkopā dotajai kvadrātu tabulai, skaidri redzams, ka 144=12 2 , no kuras ir skaidrs, ka 144 kvadrātsakne ir 12 .

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakne tiek iegūta, sadalot saknes numuru 144 primārajos faktoros. Apskatīsim šo risinājumu.

Sadalīsimies 144 uz galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144=2 2 2 2 3 3 . Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas pārvērtības: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Tāpēc .

Izmantojot sakņu pakāpes un īpašību īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk: .

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet vēl divu piemēru risinājumus.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Lēmums.

Saknes skaitļa 243 pirmfaktorizācija ir 243=3 5 . Tādējādi .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Lēmums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros un pārbaudīsim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768=2 3 3 6 7 2 . Iegūtais sadalījums nav attēlots kā vesela skaitļa kubs, jo pakāpe galvenais faktors 7 nav reizināts ar trīs. Tāpēc kuba sakne 285 768 netiek ņemta pilnībā.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, kā sakne tiek iegūta no daļskaitļa. Daļējās saknes skaitli rakstīsim kā p/q . Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību šāda vienādība ir patiesa. No šīs vienlīdzības izriet frakcijas saknes noteikums: Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes dalījuma ar saucēja sakni.

Apskatīsim piemēru saknes iegūšanai no frakcijas.

Piemērs.

Kas ir kvadrātsakne no kopējā frakcija 25/169 .

Lēmums.

Saskaņā ar kvadrātu tabulu mēs atklājam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir 5, bet saucēja kvadrātsakne ir 13. Tad . Tas pabeidz saknes ekstrakciju no parastās frakcijas 25/169.

Atbilde:

Decimāldaļas vai jaukta skaitļa sakne tiek iegūta pēc saknes skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Ņemiet decimāldaļas 474.552 kubsakni.

Lēmums.

Sākotnējo decimāldaļu attēlosim kā parasto datni: 474.552=474552/1000 . Tad . Atliek izvilkt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Kā 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 un 1 000 = 10 3 , tad un . Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes izvilkšana

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var atrasties negatīvs skaitlis. Mēs piešķīrām šādiem apzīmējumiem šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra eksponentam saknes 2 n−1, mums ir . Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai izvilktu negatīva skaitļa sakni, jāizvelk pretējā pozitīvā skaitļa sakne un rezultāta priekšā jāievieto mīnusa zīme.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Lēmums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi tā, lai zem saknes zīmes parādītos pozitīvs skaitlis: . Tagad jaukto skaitli aizstājam ar parastu daļskaitli: . Mēs piemērojam noteikumu par saknes izņemšanu no parastās frakcijas: . Atliek aprēķināt saknes iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

.

Bitu pagrieziena saknes vērtības atrašana

Vispārīgā gadījumā zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš apspriestos paņēmienus, nevar attēlot kā jebkura skaitļa n-to pakāpi. Bet tajā pašā laikā ir jāzina dotās saknes vērtība vismaz līdz noteiktai zīmei. Šajā gadījumā, lai iegūtu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj konsekventi iegūt pietiekamu skaitu vēlamā skaitļa ciparu vērtību.

Pirmais šī algoritma solis ir noskaidrot, kas ir vissvarīgākais saknes vērtības bits. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100, ... secīgi paaugstina līdz pakāpei n, līdz tiek iegūts skaitlis, kas pārsniedz saknes skaitli. Tad skaitlis, ko iepriekšējā solī paaugstinājām līdz pakāpei n, norādīs atbilstošo augstāko secību.

Piemēram, apsveriet šo algoritma darbību, iegūstot kvadrātsakni no pieci. Mēs ņemam skaitļus 0, 10, 100, ... un saliekam tos kvadrātā, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 5 . Mums ir 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , kas nozīmē, ka nozīmīgākais cipars būs vienību cipars. Šī bita, kā arī zemāko bitu vērtība tiks atrasta nākamajās sakņu ekstrakcijas algoritma darbībās.

Visas sekojošās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu precizēšanu, jo tiek atrastas vēlamās saknes vērtības nākamo ciparu vērtības, sākot no augstākās un pārejot uz zemāko. . Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī ir 2 , otrajā - 2,2 , trešajā - 2,23 un tā tālāk 2,236067977 ... . Aprakstīsim, kā tiek atrastas bitu vērtības.

Ciparu atrašana tiek veikta, tos uzskaitot iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., 9. Šajā gadījumā paralēli tiek aprēķinātas atbilstošo skaitļu n-tās pakāpes, un tās tiek salīdzinātas ar saknes skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tad tiek uzskatīts, ka ir atrasta iepriekšējai vērtībai atbilstošā cipara vērtība, un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli, ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9 .

Izskaidrosim visus šos punktus, izmantojot to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no pieci.

Vispirms atrodiet vienību cipara vērtību. Mēs atkārtosim vērtības 0, 1, 2, …, 9, attiecīgi aprēķinot 0 2 , 1 2 , …, 9 2, līdz iegūsim vērtību, kas ir lielāka par radikālo skaitli 5. Visi šie aprēķini ir ērti parādīti tabulas veidā:

Tātad vienību cipara vērtība ir 2 (jo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pāriesim pie desmitās vietas vērtības atrašanas. Šajā gadījumā skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 salīdzināsim kvadrātā, salīdzinot iegūtās vērtības ar saknes skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tad desmitās vietas vērtība ir 2 . Varat turpināt simtdaļas vērtības atrašanu:

Tātad tiek atrasta nākamā pieci saknes vērtība, tā ir vienāda ar 2,23. Un tāpēc jūs varat turpināt atrast vērtības tālāk: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Pirmkārt, mēs definējam vecāko ciparu. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 2151.186 . Mums ir 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tātad nozīmīgākais cipars ir desmiti cipars.

Definēsim tā vērtību.

Kopš 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , tad desmitcipara vērtība ir 1 . Pāriesim pie vienībām.

Tādējādi vienas vietas vērtība ir 2 . Pāriesim pie desmit.

Tā kā pat 12.9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151.186 , tad desmitās vietas vērtība ir 9 . Atliek veikt pēdējo algoritma soli, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta līdz simtdaļām: .

Noslēdzot šo rakstu, es vēlos teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs pētījām iepriekš.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj, ir viena no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tie bija elementārās matemātikas gabali, kas ļāva saistīt skaitļus ar to fiziskajām izpausmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas pašlaik tiek apzīmēta kā √, tika ierakstīta Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta objekts tika pētīts arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modeli - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ir ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Mūsdienu izskatam pazīstamā “ērce” √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, tad ir dažādas, sausos aprēķinos neizpaužas pieķeršanās izpausmes pret to. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Tātad nākamreiz šie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pat vienāds ar nulli. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Nākamais nepāra skaitlis ir 11, atlikušais ir: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažkārt tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.

Kā izvilkt sakni no numura. Šajā rakstā mēs uzzināsim, kā ņemt kvadrātsakni no četriem un piecciparu skaitļiem.

Par piemēru ņemsim 1936. gada kvadrātsakni.

Tāpēc .

Pēdējais cipars 1936. gadā ir 6. Kvadrāts 4 un 6 beidzas ar 6. Tāpēc 1936 var būt kvadrāts 44 vai 46. Tas vēl ir jāpārbauda, ​​izmantojot reizināšanu.

nozīmē,

Ņemsim kvadrātsakni no skaitļa 15129.

Tāpēc .

Pēdējais cipars 15129 ir 9. 9 beidzas ar 3 un 7 kvadrātu. Tāpēc 15129 var būt kvadrāts ar 123 vai 127. Pārbaudīsim ar reizināšanu.

nozīmē,

Kā sakņot - video

Un tagad es iesaku jums noskatīties Annas Denisovas video - "Kā iegūt sakni ", vietnes autors" vienkārša fizika", kurā viņa paskaidro, kā izvilkt kvadrātsaknes un kubsaknes bez kalkulatora.

Videoklipā ir apskatīti vairāki veidi, kā iegūt saknes:

1. Vienkāršākais veids, kā iegūt kvadrātsakni.

2. Saskaņošana, izmantojot summas kvadrātu.

3. Babilonijas ceļš.

4. Kvadrātsaknes iegūšanas metode kolonnā.

5. Ātrs veids, kā iegūt kuba sakni.

6. Metode kuba saknes iegūšanai kolonnā.