Trapeces viduslīnijas pazīmes. Trapeces viduslīnija

Trapeces viduslīnijas jēdziens

Vispirms atcerēsimies, kādu figūru sauc par trapecveida formu.

1. definīcija

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, nevis paralēlas - par trapeces malām.

2. definīcija

Trapeces viduslīnija ir līnijas segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Trapeces viduslīnijas teorēma

Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektoru metodi.

1. teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatiem un vienāda ar pusi to summas.

Pierādījums.

Dosim mums trapeci $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ ir šīs trapeces viduslīnija (1. att.).

1. attēls. Trapeces viduslīnija

Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūru likumu vektoru pievienošanai. No vienas puses, mēs to saņemam

Citā pusē

Saskaitot pēdējās divas vienādības, mēs iegūstam

Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces malu viduspunkti, mums ir

Mēs iegūstam:

Līdz ar to

No tās pašas vienlīdzības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāras), mēs iegūstam, ka $MN||AD$.

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevumu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu

1. piemērs

Trapeces malas ir attiecīgi $15\cm$ un $17\cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.

Lēmums.

Trapeces viduslīniju apzīmē ar $n$.

Malu summa ir

Tāpēc, tā kā perimetrs ir $ 52\ cm $, bāzu summa ir

Tādējādi ar 1. teorēmu iegūstam

Atbilde:$10\cm$.

2. piemērs

Apļa diametra gali ir attiecīgi $9$ cm un $5$ cm no tā pieskares Atrodiet šī apļa diametru.

Lēmums.

Dosim mums apli ar centru $O$ un diametru $AB$. Uzzīmējiet tangensu $l$ un izveidojiet attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).

2. attēls.

Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tātad $OH | \left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam savākt dažāda informācija tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam arī izmantot personas informāciju iekšējiem mērķiem, piemēram, auditam, datu analīzei un dažādi pētījumi lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedības kārtībā, in tiesvedība, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Trapeces laukums. Sveiciens! Šajā publikācijā mēs apsvērsim šo formulu. Kāpēc tas tā ir un kā to saprast? Ja ir izpratne, tad tā nav jāmācās. Ja vēlaties tikai redzēt šo formulu un to, kas ir steidzams, varat nekavējoties ritināt lapu uz leju))

Tagad detalizēti un kārtībā.

Trapece ir četrstūris, šī četrstūra divas malas ir paralēlas, pārējās divas nav. Tie, kas nav paralēli, ir trapeces pamati. Pārējās divas sauc par pusēm.

Ja malas ir vienādas, tad trapeci sauc par vienādsānu. Ja viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm, tad šādu trapecveida formu sauc par taisnstūrveida.

Klasiskā formā trapecveida forma ir attēlota šādi - lielāka pamatne ir apakšā, attiecīgi mazāka ir augšpusē. Taču neviens neliedz to attēlot un otrādi. Šeit ir skices:

Nākamais svarīgais jēdziens.

Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno malu viduspunktus. Vidējā līnija ir paralēla trapeces pamatiem un ir vienāda ar to pussummu.

Tagad iedziļināsimies dziļāk. Kāpēc tieši?

Apsveriet trapecveida formu ar pamatnēm a un b un ar vidējo līniju l, un veiciet dažas papildu konstrukcijas: velciet taisnas līnijas caur pamatnēm un perpendikulu caur viduslīnijas galiem, līdz tās krustojas ar pamatnēm:

*Virsotņu un citu punktu burtu apzīmējumi netiek ievadīti ar nolūku, lai izvairītos no liekiem apzīmējumiem.

Paskaties, trijstūri 1 un 2 ir vienādi saskaņā ar otro trijstūra vienādības zīmi, trijstūri 3 un 4 ir vienādi. No trīsstūru vienādības izriet elementu, proti, kāju, vienlīdzība (tās ir norādītas attiecīgi zilā un sarkanā krāsā).

Tagad uzmanību! Ja mēs garīgi “nogriezīsim” zilos un sarkanos segmentus no apakšējās pamatnes, tad mums būs segments (tā ir taisnstūra mala), kas vienāds ar viduslīniju. Tālāk, ja nogrieztos zilos un sarkanos segmentus “pielīmēsim” pie trapeces augšējās pamatnes, tad iegūsim arī segmentu (tā ir arī taisnstūra mala), kas vienāds ar trapeces viduslīniju.

Sapratu? Izrādās, ka bāzu summa būs vienāda ar divām trapeces mediānām:

Skatiet citu skaidrojumu

Rīkosimies šādi - izveidosim taisni, kas iet cauri trapeces apakšējai pamatnei, un taisni, kas iet caur punktiem A un B:

Mēs iegūstam trijstūri 1 un 2, tie ir vienādi sānu un blakus leņķos (otra trijstūra vienādības zīme). Tas nozīmē, ka iegūtais segments (skicē tas ir atzīmēts zilā krāsā) ir vienāds ar trapeces augšējo pamatni.

Tagad apsveriet trīsstūri:

*Šīs trapeces viduslīnija un trijstūra viduslīnija sakrīt.

Ir zināms, ka trīsstūris ir vienāds ar pusi no pamatnes, kas ir paralēla tam, tas ir:

Labi, sapratu. Tagad par trapeces laukumu.

Trapeces laukuma formula:

Viņi saka: trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas.

Tas ir, izrādās, ka tas ir vienāds ar viduslīnijas un augstuma reizinājumu:

Jūs droši vien jau pamanījāt, ka tas ir acīmredzams. Ģeometriski to var izteikt šādi: ja mēs garīgi nogriežam no trapeces trijstūri 2 un 4 un novietojam tos attiecīgi uz trijstūriem 1 un 3:

Tad mēs iegūstam taisnstūri laukumā vienāds ar laukumu mūsu trapece. Šī taisnstūra laukums būs vienāds ar viduslīnijas un augstuma reizinājumu, tas ir, mēs varam rakstīt:

Bet jēga šeit, protams, nav rakstīšanā, bet gan izpratnē.

Lejupielādēt (skatīt) raksta materiālu *pdf formātā

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs.

Tiek saukts četrstūris, kuram ir tikai divas paralēlas malas trapece.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatojums, un tās malas, kas nav paralēlas, sauc puses. Ja malas ir vienādas, tad šāda trapece ir vienādsānu. Attālumu starp pamatnēm sauc par trapeces augstumu.

Trapeces viduslīnija

Vidējā līnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem.

Teorēma:

Ja taisne, kas krusto vienas malas viduspunktu, ir paralēla trapeces pamatiem, tad tā sadala otro pusi sānu puse trapecveida.

Teorēma:

Viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko

MN viduslīnija, AB un CD - pamatnes, AD un BC - malas

MN=(AB+DC)/2

Teorēma:

Trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko.

Galvenais uzdevums: Pierādīt, ka trapeces viduslīnija sadala uz pusēm segmentu, kura gali atrodas trapeces pamatu vidū.

Trīsstūra vidējā līnija

Līnijas posmu, kas savieno trijstūra abu malu viduspunktus, sauc par trijstūra viduslīniju. Tas ir paralēls trešajai malai, un tā garums ir puse no trešās malas garuma.
Teorēma: Ja taisne, kas krusto trijstūra vienas malas viduspunktu, ir paralēla dotā trijstūra otrai malai, tad tā sadala trešo malu uz pusēm.

AM = MC un BN = NC =>

Trīsstūra un trapecveida viduslīnijas īpašību pielietošana

Segmenta sadalīšana noteiktā skaitā vienādās daļās.
Uzdevums: Sadaliet segmentu AB 5 vienādās daļās.
Lēmums:
Lai p ir nejaušs stars, kura sākumpunkts ir punkts A un kas neatrodas uz taisnes AB. Mēs secīgi noliekam malā 5 vienādus segmentus uz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Mēs savienojam A 5 ar B un novelkam līnijas caur A 4 , A 3 , A 2 un A 1, kas ir paralēlas A 5 B. Tās krustojas AB attiecīgi B 4 , B 3 , B 2 un B 1 . Šie punkti sadala segmentu AB 5 vienādās daļās. Patiešām, no trapeces BB 3 A 3 A 5 mēs redzam, ka BB 4 = B 4 B 3 . Tādā pašā veidā no trapeces B 4 B 2 A 2 A 4 iegūstam B 4 B 3 = B 3 B 2

Kamēr no trapeces B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tad no B 2 AA 2 izriet, ka B 2 B 1 = B 1 A. Noslēgumā mēs iegūstam:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ir skaidrs, ka, lai sadalītu segmentu AB citā vienādās daļās, mums ir jāprojicē vienāds skaits vienādu segmentu uz staru p. Un pēc tam turpiniet iepriekš aprakstītajā veidā.