No pretējās virsotnes) un iegūto reizinājumu sadaliet ar diviem. Formā tas izskatās šādi:

S = ½ * a * h,

kur:
S ir trīsstūra laukums,
a ir tā malas garums,
h ir augstums, kas nolaists uz šo pusi.

Sānu garums un augstums jānorāda vienādās vienībās. Šajā gadījumā trijstūra laukums izrādīsies attiecīgajās "" vienībās.

Piemērs.
20 cm gara skalēna trīsstūra vienā no malām ir nolaists perpendikuls no pretējās virsotnes 10 cm garumā.
Nepieciešams trīsstūra laukums.
Lēmums.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ja zināt skalēnas trīsstūra jebkuru divu malu garumus un leņķi starp tām, izmantojiet formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

kur: a, b ir divu patvaļīgu malu garumi, un γ ir leņķis starp tām.

Praksē, piemēram, mērot zemes gabali, iepriekšminēto formulu izmantošana dažkārt ir sarežģīta, jo tas prasa papildu konstrukcijas un leņķu mērīšanu.

Ja zināt skalēna trijstūra visu trīs malu garumus, izmantojiet Herona formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c ir trijstūra malu garumi,
р – pusperimetrs: p = (a+b+c)/2.

Ja papildus visu malu garumiem ir zināms trijstūrī ierakstītā apļa rādiuss, izmantojiet šādu kompakto formulu:

kur: r ir ierakstītā apļa rādiuss (p ir pusperimetrs).

Lai aprēķinātu ierobežotā apļa mēroga trīsstūra laukumu un tā malu garumu, izmantojiet formulu:

kur: R ir ierobežotā apļa rādiuss.

Ja ir zināms vienas no trijstūra malu un trīs leņķu garums (principā pietiek ar diviem - trešā vērtība tiek aprēķināta no trīsstūra trīs leņķu summas vienādības - 180º), tad izmantojiet formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kur α ir malai a pretēja leņķa vērtība;
β, γ ir atlikušo divu trīsstūra leņķu vērtības.

Nepieciešamība atrast dažādus elementus, tostarp laukumu trīsstūris, parādījās astronomu vidū daudzus gadsimtus pirms mūsu ēras Senā Grieķija. Kvadrāts trīsstūris var aprēķināt Dažādi ceļi izmantojot dažādas formulas. Aprēķina metode ir atkarīga no tā, kuri elementi trīsstūris zināms.

Instrukcija

Ja no nosacījuma mēs zinām abu malu b, c vērtības un to veidoto leņķi?, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = (bcsin?)/2.

Ja no nosacījuma mēs zinām abu malu a, b vērtības un to neveidoto leņķi?, tad laukums trīsstūris ABC ir atrodams šādi:
Atrast leņķi?, grēks? = bsin? / a, tālāk tabulā mēs nosakām pašu leņķi.
Atrodi leņķi? = 180°-?-?.
Atrodiet pašu apgabalu S = (absin?)/2.

Ja no nosacījuma mēs zinām tikai trīs pušu vērtības trīsstūris a, b un c, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , kur p ir pusperimetrs p = (a+b+c)/2

Ja no problēmas stāvokļa mēs zinām augstumu trīsstūris h un puse, uz kuru šis augstums ir pazemināts, tad laukums trīsstūris ABC pēc formulas:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ja mēs zinām pušu vērtības trīsstūris a, b, c un apzīmētā rādiuss pie dotā trīsstūris R, tad šī laukums trīsstūris ABC nosaka pēc formulas:
S = abc/4R.
Ja ir zināmas trīs malas a, b, c un ierakstītā rādiuss, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = pr, kur p ir pusperimetrs, p = (a+b+c)/2.

Ja ABC ir vienādmalu, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = (a^2v3)/4.
Ja trīsstūris ABC ir vienādsānu, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kur c ir trīsstūris.
Ja trijstūris ABC ir taisnleņķa trīsstūris, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = ab/2, kur a un b ir kājas trīsstūris.
Ja trijstūris ABC ir taisnsānu vienādsānu trīsstūris, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = c^2/4 = a^2/2, kur c ir hipotenūza trīsstūris, a=b - kāja.

Saistītie video

Avoti:

• kā izmērīt trīsstūra laukumu

3. padoms: kā atrast trīsstūra laukumu, ja zināt leņķi

Lai atrastu apgabalu, nepietiek, zinot tikai vienu parametru (leņķa vērtību). tre kvadrāts . Ja ir kādi papildus izmēri, tad laukuma noteikšanai var izvēlēties kādu no formulām, kurā kā vienu no zināmajiem mainīgajiem tiek izmantota arī leņķa vērtība. Tālāk ir norādītas dažas no visbiežāk izmantotajām formulām.

Instrukcija

Ja papildus leņķim (γ), ko veido abas malas tre kvadrāts , ir zināmi arī šo malu garumi (A un B), tad kvadrāts(S) skaitļus var definēt kā pusi no malu garuma un šī zināmā leņķa sinusa reizinājuma: S=½×A×B×sin(γ).

Trijstūra laukums - problēmas risināšanas formulas un piemēri

Zemāk ir formulas patvaļīga trīsstūra laukuma atrašanai kas ir piemēroti jebkura trīsstūra laukuma atrašanai neatkarīgi no tā īpašībām, leņķiem vai izmēriem. Formulas ir attēlotas attēla veidā, šeit sniegti skaidrojumi to pielietojumam vai to pareizības pamatojums. Tāpat atsevišķā attēlā parādīta burtu simbolu atbilstība formulās un grafisko simbolu zīmējumā.

Piezīme . Ja trīsstūrim ir īpašas īpašības (vienādsānu, taisnstūrveida, vienādmalu), varat izmantot tālāk norādītās formulas, kā arī papildus īpašas formulas, kas attiecas tikai uz trijstūriem ar šādām īpašībām:

• "Formulas vienādmalu trīsstūra laukumam"

Trijstūra laukuma formulas

Formulu skaidrojumi:
a, b, c- trijstūra malu garumi, kuru laukumu vēlamies atrast
r- trijstūrī ierakstītā apļa rādiuss
R- ierobežotā apļa rādiuss ap trīsstūri
h- trīsstūra augstums, nolaists uz sāniem
lpp- trijstūra pusperimetrs, 1/2 no tā malu summas (perimetrs)
α - leņķis, kas atrodas trijstūra pretējā pusē a
β - leņķis pret trijstūra malu b
γ - leņķis pret trijstūra malu c
h a, h b , h c- trijstūra augstums, nolaists uz sāniem a, b, c

Lūdzu, ņemiet vērā, ka dotais apzīmējums atbilst iepriekš redzamajam attēlam, lai, risinot reālu ģeometrijas uzdevumu, jums būtu vieglāk vizuāli aizstāt pareizās vietas formulas pareizas vērtības.

• Trijstūra laukums ir puse no trijstūra augstuma un tās malas garuma reizinājuma, uz kuras šis augstums ir pazemināts(Formula 1). Šīs formulas pareizību var saprast loģiski. Augstums, kas pazemināts līdz pamatnei, sadalīs patvaļīgu trīsstūri divos taisnstūrveida veidos. Ja mēs katru no tiem pabeigsim līdz taisnstūrim ar izmēriem b un h, tad acīmredzot šo trīsstūru laukums būs vienāds ar tieši pusi no taisnstūra laukuma (Spr = bh)
• Trijstūra laukums ir puse no tā divu malu un leņķa sinusa reizinājuma starp tām(Formula 2) (skatiet tālāk piemēru problēmas risināšanai, izmantojot šo formulu). Neskatoties uz to, ka tas šķiet atšķirīgs no iepriekšējā, to var viegli pārveidot par to. Ja pazemina augstumu no leņķa B uz malu b, izrādās, ka malas a un leņķa γ sinusa reizinājums saskaņā ar sinusa īpašībām taisnleņķa trijstūrī ir vienāds ar trijstūra augstumu, ko uzzīmē mums, kas dos mums iepriekšējo formulu
• Var atrast patvaļīga trīsstūra laukumu cauri strādāt puse no apļa rādiusa, kas tajā ierakstīts ar visu tā malu garumu summu(Formula 3), citiem vārdiem sakot, jums jāreizina trijstūra pusperimetrs ar ierakstītā apļa rādiusu (šādā veidā ir vieglāk atcerēties)
• Patvaļīga trīsstūra laukumu var atrast, dalot visu tā malu reizinājumu ar 4 ap to apzīmētā apļa rādiusiem (4.
• Formula 5 nosaka trijstūra laukumu tā malu garuma un pusperimetra izteiksmē (puse no visu tā malu summas)
• Gārņa formula(6) ir vienas un tās pašas formulas attēlojums, neizmantojot pusperimetra jēdzienu, tikai caur malu garumiem
• Patvaļīga trīsstūra laukums ir vienāds ar trijstūra malas kvadrāta un šai malai blakus esošo leņķu sinusu reizinājumu, kas dalīts ar šai malai pretējā leņķa dubultsinusu (7.
• Patvaļīga trīsstūra laukumu var atrast kā divu ap to apvilkta apļa kvadrātu un katra tā leņķa sinusa reizinājumu. (Formula 8)
• Ja ir zināms vienas malas garums un divu tai blakus esošo leņķu lielums, tad trijstūra laukumu var atrast kā šīs malas kvadrātu, dalītu ar šo malu kotangenšu dubulto summu. leņķi (Formula 9)
• Ja ir zināms tikai katra trijstūra augstuma garums (Formula 10), tad šāda trijstūra laukums ir apgriezti proporcionāls šo augstumu garumiem, kā to nosaka Herona formula.
• 11. formula ļauj aprēķināt trijstūra laukums atbilstoši tā virsotņu koordinātām, kas katrai virsotnei ir dotas kā (x;y) vērtības. Lūdzu, ņemiet vērā, ka iegūtā vērtība ir jāņem modulo, jo atsevišķu (vai pat visu) virsotņu koordinātas var atrasties negatīvo vērtību apgabalā.

Piezīme. Tālāk ir sniegti ģeometrijas problēmu risināšanas piemēri, lai atrastu trīsstūra laukumu. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kurai līdzīga šeit nav - rakstiet par to forumā. Risinājumos simbola "" vietā Kvadrātsakne" var izmantot funkciju sqrt(), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbols, bet radikālā izteiksme ir norādīta iekavās.Dažreiz simbolu var izmantot vienkāršām radikālām izteiksmēm √

Uzdevums. Atrodiet laukumu, kuram ir dotas divas malas, un leņķi starp tām

Trijstūra malas ir 5 un 6 cm. Leņķis starp tām ir 60 grādi. Atrodiet trīsstūra laukumu.

Lēmums.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulu numur divi no nodarbības teorētiskās daļas.
Trijstūra laukumu var atrast caur divu malu garumiem un leņķa sinusu starp tām, un tas būs vienāds ar
S=1/2 ab sin γ

Tā kā mums ir visi risinājumam nepieciešamie dati (saskaņā ar formulu), mēs varam tikai aizstāt problēmas no formulējuma vērtības formulā:
S=1/2*5*6*sin60

Vērtību tabulā trigonometriskās funkcijas atrast un aizstāt izteiksmē sinusa vērtību 60 grādi. Tas būs vienāds ar trīs ar divi sakni.
S = 15 √3/2

Atbilde: 7,5 √3 (atkarībā no skolotāja prasībām, iespējams, var atstāt 15 √3/2)

Uzdevums. Atrodiet vienādmalu trīsstūra laukumu

Atrodiet vienādmalu trīsstūra laukumu, kura mala ir 3 cm.

Lēmums.

Trijstūra laukumu var atrast, izmantojot Herona formulu:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Tā kā a \u003d b \u003d c, vienādmalu trīsstūra laukuma formulai būs šāda forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Atbilde: 9 √3 / 4.

Uzdevums. Laukuma maiņa, mainot sānu garumu

Cik reizes palielināsies trijstūra laukums, ja malas ir četrkāršotas?

Lēmums.

Tā kā trijstūra malu izmēri mums nav zināmi, lai atrisinātu uzdevumu, pieņemsim, ka malu garumi ir attiecīgi vienādi ar patvaļīgiem skaitļiem a, b, c. Tad, lai atbildētu uz problēmas jautājumu, mēs atrodam šī trijstūra laukumu, un pēc tam atrodam trīsstūra laukumu, kura malas ir četras reizes lielākas. Šo trīsstūru laukumu attiecība sniegs mums atbildi uz problēmu.

Tālāk mēs sniedzam problēmas risinājuma teksta skaidrojumu pa soļiem. Taču pašās beigās tas pats risinājums tiek pasniegts uztverei ērtākā grafiskā formā. Tie, kas vēlas, var nekavējoties nomest risinājumu.

Lai atrisinātu, mēs izmantojam Herona formulu (skatiet iepriekš nodarbības teorētiskajā daļā). Tas izskatās šādi:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(skatiet zemāk esošā attēla pirmo rindiņu)

Patvaļīga trīsstūra malu garumus nosaka ar mainīgajiem a, b, c.
Ja malas tiek palielinātas 4 reizes, tad jaunā trīsstūra c laukums būs:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b - 4c))
(skatiet zemāk redzamā attēla otro rindiņu)

Kā redzat, 4 ir kopīgs faktors, ko var izņemt no iekavām no visām četrām izteiksmēm saskaņā ar vispārīgie noteikumi matemātika.
Tad

S 2 = 1/4 kvadrāts (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - attēla trešajā rindā
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ceturtā rinda

No skaitļa 256 kvadrātsakne ir lieliski izvilkta, tāpēc mēs to izņemsim no saknes apakšas
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadrātmetri ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
(skatiet zemāk esošā attēla piekto rindiņu)

Lai atbildētu uz uzdevumā uzdoto jautājumu, mums pietiek ar iegūtā trīsstūra laukumu dalīt ar sākotnējā trīsstūra laukumu.
Mēs nosakām laukumu attiecības, sadalot izteiksmes savā starpā un samazinot iegūto daļu.

Instrukcija

ballītes un stūri tiek uzskatīti par pamatelementiem a. Trīsstūri pilnībā nosaka kāds no tā pamatelementiem: vai nu trīs malas, vai viena mala un divi leņķi, vai divas malas un leņķis starp tām. Par eksistenci trīsstūris ko nosaka trīs malas a, b, c, ir nepieciešams un pietiekami, lai nevienādības, ko sauc par nevienādībām trīsstūris:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Celtniecībai trīsstūris uz trim malām a, b, c, no nogriežņa CB=a punkta C nepieciešams, kā ar kompasu uzzīmēt apli ar rādiusu b. Pēc tam līdzīgi no punkta B uzvelciet apli ar rādiusu, kas vienāds ar malu c. To krustošanās punkts A ir vēlamā trešā virsotne trīsstūris ABC, kur AB=c, CB=a, CA=b - malas trīsstūris. Problēma ir , ja malas a, b, c apmierina nevienlīdzības trīsstūris norādīts 1. darbībā.

S laukums ir izveidots šādā veidā trīsstūris ABC ar zināmās partijas a, b, c aprēķina pēc Herona formulas:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kur a, b, c ir malas trīsstūris, p ir pusperimetrs.
p = (a+b+c)/2

Ja trīsstūris ir vienādmalu, tas ir, visas tā malas ir vienādas (a=b=c). Laukums trīsstūris aprēķina pēc formulas:
S=(a^2 v3)/4

Ja trīsstūris ir taisnleņķa, tas ir, viens no tā leņķiem ir 90 °, un malas, kas to veido, ir kājas, trešā mala ir hipotenūza. Šajā gadījumā kvadrāts ir vienāds ar kāju reizinājumu, kas dalīts ar divi.
S=ab/2

Atrast kvadrāts trīsstūris, varat izmantot vienu no daudzajām formulām. Izvēlieties formulu atkarībā no tā, kādi dati jau ir zināmi.

Jums būs nepieciešams

• zināšanas par formulām trijstūra laukuma atrašanai

Instrukcija

Ja zināt vienas malas vērtību un no pretējā stūra uz šo pusi nolaistā augstuma vērtību, tad laukumu var atrast, izmantojot sekojošo: S = a*h/2, kur S ir laukums no ​​trijstūris, a ir viena no trijstūra malām, un h - augstums uz a malu.

Ir zināms veids, kā noteikt trīsstūra laukumu, ja ir zināmas trīs tā malas. Viņa ir Herona formula. Lai vienkāršotu tā ierakstīšanu, tiek ieviesta starpvērtība - pusperimetrs: p \u003d (a + b + c) / 2, kur a, b, c - . Tad Herona formula ir šāda: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponenci.

Pieņemsim, ka zināt vienu no trijstūra malām un trīs leņķus. Tad ir viegli atrast trīsstūra laukumu: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kur β ir leņķis, kas atrodas pretējā pusē a, un α un γ ir leņķi, kas atrodas blakus malai.

Saistītie video

Piezīme

Vispārīgākā formula, kas ir piemērota visiem gadījumiem, ir Herona formula.

Avoti:

3. padoms: kā atrast trīsstūra laukumu, ņemot vērā trīs malas

Trijstūra laukuma atrašana ir viens no visizplatītākajiem uzdevumiem skolas planimetrija. Zinot trīsstūra trīs malas, pietiek, lai noteiktu jebkura trijstūra laukumu. Īpašos gadījumos un vienādmalu trīsstūros pietiek zināt attiecīgi divu un vienas malas garumus.

Jums būs nepieciešams

• trijstūra malu garumi, Herona formula, kosinusa teorēma

Instrukcija

Herona formula trijstūra laukumam ir šāda: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ja krāsojat pusperimetru p, tad iegūstat: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Trijstūra laukuma formulu var iegūt arī no apsvērumiem, piemēram, izmantojot kosinusa teorēmu.

Saskaņā ar kosinusu likumu AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Izmantojot ieviesto apzīmējumu, tie var būt arī šādā formā: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Tādējādi cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Trijstūra laukumu nosaka arī pēc formulas S = a*c*sin(ABC)/2 caur divām malām un leņķi starp tām. Leņķa ABC sinusu var izteikt tā izteiksmē, izmantojot pamata trigonometriskā identitāte: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Aizvietojot sinusu laukuma formulā un krāsojot to, mēs varam nonākt pie trijstūra ABC laukuma formulas.

Saistītie video

Priekš remontdarbi var būt nepieciešams izmērīt kvadrāts sienas. Vienkāršāk ir aprēķināt nepieciešamo krāsas vai tapešu daudzumu. Mērījumu veikšanai vislabāk ir izmantot mērlenti vai centimetru lenti. Mērījumi jāveic pēc sienas ir saskaņoti.

Jums būs nepieciešams

• -rulete;
• - kāpnes.

Instrukcija

Saskaitīt kvadrāts sienas, jums tas ir jāzina precīzs augstums griestiem, kā arī izmērīt garumu gar grīdu. Tas tiek darīts šādi: paņemiet centimetru, uzlieciet to virs cokola. Parasti visam garumam nepietiek ar centimetru, tāpēc piestipriniet to stūrī, pēc tam atritiniet līdz maksimālajam garumam. Šajā brīdī atzīmējiet ar zīmuli, pierakstiet rezultātu un veiciet turpmāko mērījumu tādā pašā veidā, sākot no plkst. pēdējais punkts mērīšana.

Standarta griesti tipiski - 2 metri 80 centimetri, 3 metri un 3 metri 20 centimetri, atkarībā no mājas. Ja māja celta pirms 50. gadiem, tad visticamāk faktiskais augstums ir nedaudz zemāks par norādīto. Ja jūs rēķināties kvadrāts remontdarbiem, tad neliela rezerve nekaitēs - apsveriet, pamatojoties uz standartu. Ja jums joprojām ir jāzina īstais augums - veiciet mērījumus. Princips ir līdzīgs garuma mērīšanai, taču jums būs nepieciešamas kāpnes.

Reiziniet iegūtos skaitļus - tas ir kvadrāts jūsu sienas. Tiesa, krāsošanas darbiem vai tam ir jāatņem kvadrāts durvju un logu ailas. Lai to izdarītu, nolieciet centimetru gar atveri. Ja mēs runājam par durvīm, kuras pēc tam mainīsit, pēc tam veiciet ar noņemtu durvju rāmi, ņemot vērā tikai kvadrāts pati atvēršana. Loga laukums tiek aprēķināts pa tā rāmja perimetru. Pēc kvadrāts Aprēķinot logu un durvju aili, atņemiet rezultātu no kopējās iegūtās telpas platības.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka telpas garuma un platuma mērījumi tiek veikti kopā, ir vieglāk salabot centimetru vai mērlenti un attiecīgi iegūt precīzāku rezultātu. Veiciet vienu un to pašu mērījumu vairākas reizes, lai pārliecinātos, ka iegūtie skaitļi ir precīzi.

Saistītie video

Trijstūra tilpuma atrašana patiešām ir nenozīmīgs uzdevums. Fakts ir tāds, ka trīsstūris ir divdimensiju figūra, t.i. tas pilnībā atrodas vienā plaknē, kas nozīmē, ka tam vienkārši nav tilpuma. Protams, jūs nevarat atrast kaut ko tādu, kas neeksistē. Bet nepadosimies! Mēs varam izdarīt šādu pieņēmumu - divdimensiju figūras tilpums, tas ir tā laukums. Mēs meklējam trīsstūra laukumu.

Jums būs nepieciešams

• papīra lapa, zīmulis, lineāls, kalkulators

Instrukcija

Zīmējiet uz papīra lapas ar lineālu un zīmuli. Rūpīgi izpētot trīsstūri, jūs varat pārliecināties, ka tā patiešām nav, jo tas ir uzzīmēts plaknē. Apzīmējiet trīsstūra malas: vienai malai jābūt pusei "a", otrai malai "b" un trešā malai "c". Apzīmējiet trīsstūra virsotnes ar burtiem "A", "B" un "C".

Izmēriet jebkuru trijstūra malu ar lineālu un pierakstiet rezultātu. Pēc tam no pretējās virsotnes atjauno perpendikulu uz izmērīto malu, šāds perpendikuls būs trijstūra augstums. Attēlā redzamajā gadījumā perpendikulārs "h" tiek atjaunots uz pusi "c" no virsotnes "A". Izmēriet iegūto augstumu ar lineālu un pierakstiet mērījuma rezultātu.

Var gadīties, ka jums būs grūti atjaunot precīzu perpendikulu. Šajā gadījumā jums vajadzētu izmantot citu formulu. Izmēriet visas trīsstūra malas ar lineālu. Pēc tam aprēķiniet trīsstūra "p" pusperimetru, saskaitot iegūtos malu garumus un dalot to summu uz pusēm. Ja jūsu rīcībā ir pusperimetra vērtība, varat izmantot Herona formulu. Lai to izdarītu, jums ir jāņem kvadrātsakne no sekojošā: p(p-a)(p-b)(p-c).

Jūs esat ieguvis vēlamo trīsstūra laukumu. Trijstūra tilpuma atrašanas problēma nav atrisināta, taču, kā minēts iepriekš, apjoms nav . Jūs varat atrast skaļumu, kas būtībā ir trīsstūris 3D pasaulē. Ja iedomājamies, ka mūsu sākotnējais trīsstūris ir kļuvis par trīsdimensiju piramīdu, tad šādas piramīdas tilpums būs tās pamatnes garuma un iegūtā trīsstūra laukuma reizinājums.

Piezīme

Aprēķini būs precīzāki, jo rūpīgāk veiksiet mērījumus.

Avoti:

• Viss pret visiem kalkulators — uzziņu portāls
• trīsstūra apjoms 2019. gadā

Trīs punkti, kas unikāli definē trīsstūri Dekarta koordinātu sistēmā, ir tā virsotnes. Zinot to atrašanās vietu attiecībā pret katru koordinātu asi, varat aprēķināt jebkurus šīs plakanās figūras parametrus, ieskaitot to, ko ierobežo tā perimetrs. kvadrāts. To var izdarīt vairākos veidos.

Instrukcija

Lai aprēķinātu laukumu, izmantojiet Herona formulu trīsstūris. Tas ietver attēla trīs malu izmērus, tāpēc sāciet aprēķinus ar. Katras malas garumam jābūt vienādam ar tās projekciju garumu kvadrātu summas sakni uz koordinātu asīm. Ja apzīmē koordinātas A(X1,Y₁,Z₁), B(X2,Y2,Z2) un C(X3,Y3,Z3), to malu garumus var izteikt šādi: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Lai vienkāršotu aprēķinus, ievadiet papildu mainīgo - pusperimetru (P). No tā šī ir puse no visu malu garumu summas: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Kā jūs, iespējams, atceraties no skolas mācību programmas ģeometrijā, trīsstūris ir figūra, kas veidota no trim segmentiem, kas savienoti ar trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Trīsstūris veido trīs leņķus, tāpēc arī figūras nosaukums. Definīcija var būt atšķirīga. Trijstūri var saukt arī par daudzstūri ar trim stūriem, atbilde būs tikpat patiesa. Trijstūri tiek sadalīti pēc vienādu malu skaita un leņķu lieluma skaitļos. Tātad atšķiriet tādus trīsstūrus kā vienādsānu, vienādmalu un skalu, kā arī attiecīgi taisnstūrveida, akūtu leņķu un neasu leņķi.

Trijstūra laukuma aprēķināšanai ir daudz formulu. Izvēlieties, kā atrast trīsstūra laukumu, t.i. kuru formulu izmantot, tikai jūs. Bet ir vērts atzīmēt tikai dažus apzīmējumus, kas tiek izmantoti daudzās formulās trijstūra laukuma aprēķināšanai. Tāpēc atcerieties:

S ir trīsstūra laukums,

a, b, c ir trijstūra malas,

h ir trijstūra augstums,

R ir ierobežotā apļa rādiuss,

p ir pusperimetrs.

Šeit ir pamata apzīmējumi, kas var noderēt, ja esat pilnībā aizmirsis ģeometrijas kursu. Tālāk tiks sniegtas saprotamākās un nesarežģītākās iespējas, kā aprēķināt nezināmo un noslēpumaino trijstūra laukumu. Tas nav grūti un noderēs gan mājsaimniecības vajadzībām, gan palīdzot bērniem. Atcerēsimies, kā aprēķināt trīsstūra laukumu tikpat viegli kā bumbieru lobīšanu:

Mūsu gadījumā trīsstūra laukums ir: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv.cm. Atcerieties, ka laukums tiek mērīts kvadrātcentimetros (kvadrātcentimetros).

Taisns trīsstūris un tā laukums.

Taisnstūris ir trijstūris, kura viens leņķis ir vienāds ar 90 grādiem (tāpēc to sauc par taisnleņķa trīsstūri). Taisnu leņķi veido divas perpendikulāras līnijas (trijstūra gadījumā divi perpendikulāri segmenti). Taisnā trijstūrī var būt tikai viens taisns leņķis, jo jebkura trijstūra visu leņķu summa ir 180 grādi. Izrādās, ka atlikušos 90 grādus savā starpā vajadzētu sadalīt 2 citiem leņķiem, piemēram, 70 un 20, 45 un 45 utt. Tātad, jūs atcerējāties galveno, atliek noskaidrot, kā atrast teritoriju taisnleņķa trīsstūris. Iedomājieties, ka mums priekšā ir šāds taisnleņķa trīsstūris, un mums jāatrod tā laukums S.

1. Vienkāršākais veids, kā noteikt taisnleņķa trijstūra laukumu, tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:

Mūsu gadījumā taisnleņķa trīsstūra laukums ir: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv.cm.

Principā vairs nav nepieciešams pārbaudīt trīsstūra laukumu citos veidos, jo ikdienā tas noderēs un palīdzēs tikai šis. Bet ir arī iespējas izmērīt trīsstūra laukumu caur akūtiem leņķiem.

2. Citām aprēķina metodēm jums ir jābūt kosinusu, sinusu un tangenšu tabulai. Spriediet paši, šeit ir dažas iespējas, kā aprēķināt taisnleņķa trīsstūra laukumus, kurus joprojām varat izmantot:

Mēs nolēmām izmantot pirmo formulu un ar maziem blotiņiem (zīmējām piezīmju grāmatiņā un izmantojām vecais valdnieks un transportieri), bet mēs saņēmām pareizo aprēķinu:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Saņēmām šādus rezultātus 3,6=3,7, bet ņemot vērā šūnu nobīdi, šo niansi varam piedot.

Vienādsānu trīsstūris un tā laukums.

Ja jūs saskaraties ar uzdevumu aprēķināt vienādsānu trīsstūra formulu, tad vienkāršākais veids ir izmantot galveno un, kā tiek uzskatīts, klasisko formulu trijstūra laukumam.

Bet vispirms, pirms mēs atrodam vienādsānu trīsstūra laukumu, mēs noskaidrosim, kāda veida figūra tas ir. Vienādsānu trīsstūris ir trijstūris, kura divas malas ir vienāda garuma. Šīs divas puses sauc par malām, trešo pusi sauc par pamatni. Nejaukt vienādsānu trīsstūri ar vienādmalu trijstūri, t.i. vienādmalu trīsstūris, kura visas trīs malas ir vienādas. Šādā trijstūrī nav īpašu tendenču uz leņķiem vai drīzāk to lielumu. Tomēr leņķi pie pamatnes vienādsānu trīsstūrī ir vienādi, bet atšķiras no leņķa starp vienādām malām. Tātad, jūs jau zināt pirmo un galveno formulu, atliek noskaidrot, kādas citas formulas ir zināmas vienādsānu trijstūra laukuma noteikšanai:

Trijstūris ir tāda ģeometriska figūra, kas sastāv no trim taisnām līnijām, kas savienojas punktos, kas neatrodas uz vienas taisnes. Līniju savienojuma punkti ir trijstūra virsotnes, kuras ir apzīmētas ar latīņu burtiem(piemēram, A, B, C). Trijstūra savienojošās taisnās līnijas sauc par segmentiem, kurus arī parasti apzīmē ar latīņu burtiem. Ir šādi trīsstūri:

• Taisnstūrveida.
• stulbs.
• Akūts leņķis.
• Daudzpusīgs.
• Vienādmalu.
• Vienādsānu.

Vispārīgas formulas trijstūra laukuma aprēķināšanai

Trijstūra laukuma formula garumam un augstumam

S=a*h/2,
kur a ir tās trīsstūra malas garums, kuras laukums ir jāatrod, h ir augstuma garums, kas novilkts līdz pamatnei.

Gārņa formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
kur √ ir kvadrātsakne, p ir trijstūra pusperimetrs, a,b,c ir katras trīsstūra malas garums. Trijstūra pusperimetru var aprēķināt, izmantojot formulu p=(a+b+c)/2.

Trijstūra laukuma formula segmenta leņķa un garuma izteiksmē

S = (a*b*sin(α))/2,
kur b, c ir trijstūra malu garums, sin (α) ir leņķa sinuss starp abām malām.

Trijstūra laukuma formula, ņemot vērā ierakstītā apļa rādiusu un trīs malas

S=p*r,
kur p ir tā trīsstūra pusperimetrs, kura laukums ir jāatrod, r ir šajā trijstūrī ierakstītā riņķa rādiuss.

Formula trijstūra laukuma trīs malām un ap to apzīmētā riņķa rādiusam

S= (a*b*c)/4*R,
kur a,b,c ir katras trijstūra malas garums, R ir ierobežotā apļa rādiuss ap trijstūri.

Trijstūra laukuma formula punktu Dekarta koordinātēs

Punktu Dekarta koordinātas ir koordinātas xOy sistēmā, kur x ir abscisa un y ir ordināta. Dekarta koordinātu sistēmu xOy plaknē sauc par savstarpēji perpendikulārās skaitliskās asis Ox un Oy ar kopīgu sākumu punktā O. Ja punktu koordinātas šajā plaknē ir norādītas formā A (x1, y1), B ( x2, y2) un C (x3, y3), tad jūs varat aprēķināt trīsstūra laukumu, izmantojot šādu formulu, kas iegūta no divu vektoru krustojuma reizinājuma.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kur || apzīmē moduli.

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu

Taisnstūris ir trīsstūris, kura viens leņķis ir 90 grādi. Trīsstūrim var būt tikai viens šāds leņķis.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam uz divām kājām

S=a*b/2,
kur a,b ir kāju garums. Kājas sauc par malām, kas atrodas blakus taisnajam leņķim.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam, ņemot vērā hipotenūzu un akūto leņķi

S = a*b*sin(α)/2,
kur a, b ir trijstūra kājas, un sin(α) ir sinuss leņķim, kurā taisnes a, b krustojas.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam pēc kājas un pretējā leņķa

S = a*b/2*tg(β),
kur a, b ir trijstūra kājas, tg(β) ir leņķa tangenss, pie kura ir savienotas kājas a, b.

Kā aprēķināt vienādsānu trīsstūra laukumu

Vienādsānu trīsstūris ir tāds, kuram ir divas vienādas malas. Šīs malas sauc par malām, bet otra puse ir pamatne. Lai aprēķinātu vienādsānu trīsstūra laukumu, varat izmantot kādu no šīm formulām.

Pamatformula vienādsānu trīsstūra laukuma aprēķināšanai

S=h*c/2,
kur c ir trijstūra pamatne, h ir trijstūra augstums, kas nolaists līdz pamatnei.

Formula vienādsānu trīsstūra sānu malai un pamatnei

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kur c ir trijstūra pamatne, a ir vienādsānu trīsstūra vienas malas vērtība.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu

Vienādmalu trīsstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas. Lai aprēķinātu vienādmalu trīsstūra laukumu, varat izmantot šādu formulu:
S = (√3*a*a)/4,
kur a ir vienādmalu trijstūra malas garums.

Iepriekš minētās formulas ļaus jums aprēķināt nepieciešamo trīsstūra laukumu. Svarīgi atcerēties, ka, lai aprēķinātu trijstūra atstatumu, jāņem vērā trijstūra veids un pieejamie dati, ko var izmantot aprēķinam.