Uzdevums atrast dotās funkcijas atvasinājumu ir viens no galvenajiem matemātikas kursā vidusskola un augstāk izglītības iestādēm. Nav iespējams pilnībā izpētīt funkciju, izveidot tās grafiku, neņemot vērā tās atvasinājumu. Funkcijas atvasinājumu var viegli atrast, ja ir zināmi diferenciācijas pamatlikumi, kā arī galveno funkciju atvasinājumu tabula. Izdomāsim, kā atrast funkcijas atvasinājumu.

Funkcijas atvasinājumu sauc par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli.

Šo definīciju ir diezgan grūti saprast, jo robežu jēdziens skolā netiek pilnībā apgūts. Bet, lai atrastu dažādu funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams saprast definīciju, atstāsim to matemātiķu ziņā un ķersimies pie atvasinājuma atrašanas.

Atvasinājuma atrašanas procesu sauc par diferenciāciju. Atšķirot funkciju, mēs iegūsim jaunu funkciju.

Lai tos apzīmētu, mēs izmantosim vēstules f, g utt.

Atvasinājumiem ir daudz dažādu apzīmējumu. Mēs izmantosim insultu. Piemēram, ieraksts g" nozīmē, ka mēs atradīsim funkcijas g atvasinājumu.

Atvasinājumu tabula

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast atvasinājumu, ir jāsniedz galveno funkciju atvasinājumu tabula. Lai aprēķinātu elementāro funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams veikt sarežģītus aprēķinus. Pietiek tikai apskatīt tā vērtību atvasinājumu tabulā.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"=piem
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√ (1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas y=500 atvasinājumu.

Mēs redzam, ka tā ir konstante. Saskaņā ar atvasinājumu tabulu ir zināms, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli (1. formula).

Piemērs 2. Atrodiet funkcijas y=x 100 atvasinājumu.

Šis jaudas funkcija kurā eksponents ir 100 un lai atrastu tā atvasinājumu, funkcija jāreizina ar eksponentu un jāsamazina ar 1 (3. formula).

(x 100)"=100 x 99

Piemērs 3. Atrodiet funkcijas y=5 x atvasinājumu

Šī ir eksponenciāla funkcija, mēs aprēķinām tās atvasinājumu, izmantojot formulu 4.

Piemērs 4. Atrodiet funkcijas y= log 4 x atvasinājumu

Mēs atrodam logaritma atvasinājumu, izmantojot formulu 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Diferencēšanas noteikumi

Tagad izdomāsim, kā atrast funkcijas atvasinājumu, ja tā nav tabulā. Lielākā daļa pētāmo funkciju nav elementāras, bet ir elementāru funkciju kombinācijas, izmantojot visvienkāršākās darbības (saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu un reizināšanu ar skaitli). Lai atrastu to atvasinājumus, jums jāzina diferencēšanas noteikumi. Turklāt burti f un g apzīmē funkcijas, un C ir konstante.

1. No atvasinājuma zīmes var izņemt nemainīgu koeficientu

Piemērs 5. Atrodiet funkcijas y= 6*x 8 atvasinājumu

Izņemam nemainīgo koeficientu 6 un diferencējam tikai x 4 . Šī ir jaudas funkcija, kuras atvasinājumu atrodam pēc atvasinājumu tabulas 3. formulas.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48*x7

2. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu

(f + g)"=f" + g"

Piemērs 6. Atrodiet funkcijas y= x 100 + sin x atvasinājumu

Funkcija ir divu funkciju summa, kuru atvasinājumus mēs varam atrast tabulā. Tā kā (x 100)"=100 x 99 un (sin x)"=cos x. Summas atvasinājums būs vienāds ar šo atvasinājumu summu:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību

(f – g)"=f" - g"

Piemērs 7. Atrodiet funkcijas y= x 100 - cos x atvasinājumu

Šī funkcija ir divu funkciju atšķirība, kuru atvasinājumus mēs varam atrast arī tabulā. Tad starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību un neaizmirstiet mainīt zīmi, jo (cos x) "= - sin x.

(x 100 — cos x) "= 100 x 99 + sin x

Piemērs 8. Atrodiet funkcijas y=e x +tg x– x 2 atvasinājumu.

Šai funkcijai ir gan summa, gan atšķirība, mēs atrodam katra termina atvasinājumus:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tad sākotnējās funkcijas atvasinājums ir:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Produkta atvasinājums

(f * g)"=f" * g + f * g"

9. piemērs. Atrodiet funkcijas y= cos x *e x atvasinājumu

Lai to izdarītu, vispirms atrodiet katra faktora atvasinājumu (cos x)"=–sin x un (e x)"=e x . Tagad visu aizstāsim produkta formulā. Reiziniet pirmās funkcijas atvasinājumu ar otro un pievienojiet pirmās funkcijas reizinājumu ar otrās funkcijas atvasinājumu.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Koeficienta atvasinājums

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

10. piemērs. Atrodiet funkcijas y= x 50 / sin x atvasinājumu

Lai atrastu koeficienta atvasinājumu, vispirms atsevišķi atrodiet skaitītāja un saucēja atvasinājumu: (x 50)"=50 x 49 un (sin x)"= cos x. Formulā aizstājot koeficienta atvasinājumu, mēs iegūstam:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Sarežģītas funkcijas atvasinājums

Sarežģīta funkcija ir funkcija, ko attēlo vairāku funkciju sastāvs. Lai atrastu sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir arī noteikums:

(u(v))"=u"(v)*v"

Apskatīsim, kā atrast šādas funkcijas atvasinājumu. Lai y= u(v(x)) ir kompleksa funkcija. Funkcija u tiks saukta par ārējo, bet v - par iekšējo.

Piemēram:

y=sin (x 3) ir sarežģīta funkcija.

Tad y=sin(t) ir ārējā funkcija

t=x 3 - iekšējais.

Mēģināsim aprēķināt šīs funkcijas atvasinājumu. Saskaņā ar formulu ir nepieciešams reizināt iekšējo un ārējo funkciju atvasinājumus.

(sin t)"=cos (t) — ārējās funkcijas atvasinājums (kur t = x 3)

(x 3)"=3x 2 - iekšējās funkcijas atvasinājums

Tad (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ir kompleksās funkcijas atvasinājums.

Pirmais līmenis

Funkcijas atvasinājums. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Iedomājieties taisnu ceļu, kas iet cauri kalnainai vietai. Tas ir, tas iet uz augšu un uz leju, bet negriežas ne pa labi, ne pa kreisi. Ja ass ir vērsta horizontāli gar ceļu un vertikāli, tad ceļa līnija būs ļoti līdzīga kādas nepārtrauktas funkcijas grafikam:

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis, dzīvē mēs izmantojam jūras līmeni kā to.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, arī mēs virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (virzās pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (virzās pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa "stāvumu"? Kāda varētu būt šī vērtība? Ļoti vienkārši: cik ļoti mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa abscisu asi) vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsimies par dažāda summa metri attiecībā pret jūras līmeni (gar y asi).

Mēs apzīmējam progresu uz priekšu (lasiet "delta x").

Grieķu burtu (delta) matemātikā parasti izmanto kā prefiksu, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir lieluma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, izmēra maiņa.

Svarīgi: izteiksme ir viena entītija, viens mainīgais. Nekad nevajadzētu noraut "deltu" no "x" vai jebkura cita burta! Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, tālāk. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā, un pēc pārvietošanas bijām augstumā, tad. Ja beigu punkts izrādījās zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs - tas nozīmē, ka mēs nevis augam, bet gan lejupejam.

Atpakaļ uz "stāvumu": šī ir vērtība, kas norāda, cik daudz (strauji) palielinās augstums, virzoties uz priekšu attāluma vienībā:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties par km, ceļš paceļas par km uz augšu. Tad stāvums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nogrimtu par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tagad apsveriet kalna virsotni. Ja paņem posma sākumu puskilometru līdz augšai, bet beigas - puskilometru pēc tās, var redzēt, ka augstums ir gandrīz vienāds.

Tas ir, saskaņā ar mūsu loģiku, izrādās, ka slīpums šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas acīmredzami nav taisnība. Daudz kas var mainīties tikai dažu kilometru attālumā. Lai iegūtu adekvātāku un precīzāku stāvuma novērtējumu, ir jāapsver mazākas platības. Piemēram, ja mērīsit augstuma izmaiņas, pārvietojoties vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Taču arī ar šo precizitāti mums var nepietikt – galu galā, ja ceļa vidū ir stabs, varam tam vienkārši izslīdēt. Kādu attālumu tad izvēlēties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir labāk!

IN īsta dzīve attāluma mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija bija bezgala mazs, tas ir, moduļa vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. Un tā tālāk. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka vērtība ir bezgalīgi maza, mēs rakstām šādi: (lasām “x tendence uz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav vienāds ar nulli! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka to var iedalīt.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir lielāks modulī nekā jebkurš skaitlis, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl vairāk. Un bezgalība ir pat vairāk nekā tas, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lieli un bezgalīgi mazi ir apgriezti viens otram, tas ir, pie un otrādi: at.

Tagad atpakaļ uz mūsu ceļu. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Atzīmēju, ka ar bezgala mazu pārvietojumu arī augstuma izmaiņas būs bezgala mazas. Bet atgādināšu, ka bezgalīgi mazs nenozīmē nulle. Ja bezgalīgi mazus skaitļus dalāt savā starpā, varat iegūt, piemēram, pilnīgi parastu skaitli. Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši divreiz lielāka par citu.

Kāpēc tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs nebraucam uz ralliju, bet mācāmies matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazā argumenta pieaugumā.

Pieaugums matemātikā sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik daudz arguments () ir mainījies, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un apzīmē ar Cik daudz ir mainījusies funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu, tiek izsaukts funkcijas pieaugums un ir atzīmēts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir saistība ar kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar vēzienu no augšējās labās puses: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Bet vai atvasinājums ir vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Patiešām, augstums nemaz nemainās. Tātad ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir nulle jebkurai.

Ņemsim piemēru kalna galā. Izrādījās, ka segmenta galus bija iespējams sakārtot virsotnes pretējās pusēs tā, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu virsotnei, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (nav tendence, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast šādi: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi izmaina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no augšas funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs jau noskaidrojām iepriekš, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc starp negatīvo un pozitīvas vērtības jābūt. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz ieleju (apgabals, kurā funkcija samazinās kreisajā pusē un palielinās labajā pusē):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tātad mēs mainām argumentu uz vērtību. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko viņš (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Pēc tam veicam to pašu pieaugumu: palieliniet koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli: . Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, tur iet funkcija: . Kā ar funkciju pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

1. Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā ar argumenta pieaugumu, kas vienāds ar.
2. Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos ar vienādu argumenta pieaugumu funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir savs (par to mēs runājām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkciju sauc par funkciju, kurā arguments zināmā mērā ir (loģisks, vai ne?).

Un - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir, ja eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerieties atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinājums ir:

Atvasinājums ir:

b) Tagad apsveriet kvadrātfunkciju (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un tāpēc nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mums ir vēl viens noteikums:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekava, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai sadaliet visu izteiksmi faktoros, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats jebkurā no ieteiktajiem veidiem.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atcerēsimies to vēlreiz. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Jūs varat formulēt noteikumu ar vārdiem: "pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazinās par".

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

1. (divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - skaitot funkcijas pieaugumu);

1. . Ticiet vai nē, šī ir jaudas funkcija. Ja jums ir jautājumi, piemēram, “Kā ir? Un kur ir grāds? ”, Atcerieties tēmu“ ”!
   Jā, jā, arī sakne ir pakāpe, tikai daļēja:.
   Tātad mūsu Kvadrātsakne ir tikai grāds ar eksponentu:
   .
   Mēs meklējam atvasinājumu, izmantojot nesen apgūto formulu:

   Ja šajā brīdī atkal kļuva neskaidrs, atkārtojiet tēmu "" !!! (apmēram grāds ar negatīvu rādītāju)

2. . Tagad eksponents:

   Un tagad, izmantojot definīciju (vai jūs jau esat aizmirsis?):
   ;
   .
   Tagad, kā parasti, mēs neņemam vērā terminu, kas satur:
   .

3. . Iepriekšējo gadījumu kombinācija: .

trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Kad izteiksme.

Pierādījumus apgūsit institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, ir labi jānokārto eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek caurdurts. Bet, jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk funkcija ir.

Turklāt šo noteikumu varat pārbaudīt, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam pie eksāmena.

Tātad mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka ir koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, mēs atrodam tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību reizinājumā. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu ""):.

Tagad atvasinājums:

Veiksim aizstāšanu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu vērtību.

Tātad mēs saņemam nākamais noteikums:sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, bet tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

1. Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

1. Vispirms mēs atrodam atvasinājumu iekšā vispārējs skats, un pēc tam aizstājiet to ar tā vērtību:
   ;
   .
2. Šeit mums ir kaut kas līdzīgs jaudas funkcijai. Mēģināsim viņu pievest
   normāls skats:
   .
   Labi, tagad varat izmantot formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Kas tas ir????

Labi, jums ir taisnība, mēs joprojām nezinām, kā atrast šādus atvasinājumus. Šeit mums ir vairāku veidu funkciju kombinācija. Lai strādātu ar viņiem, jums jāapgūst vēl daži noteikumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir tāda funkcija, kuras atvasinājums jebkuram ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību tam pašam. To sauc par "eksponentu", un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas bāze ir konstante – tā ir bezgalīga decimālzīme, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad noteikums ir šāds:

To ir ļoti viegli atcerēties.

Nu, mēs netiksim tālu, mēs nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kāda ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisko”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Kas ir vienāds ar? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponents un naturālais logaritms ir funkcijas, kas ir unikāli vienkāršas atvasinājuma ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, par kuru mēs runāsim vēlāk, pēc iesim cauri noteikumiem diferenciācija.

Diferencēšanas noteikumi

Kādi noteikumi? Atkal jauns termins?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tikai un viss. Kāds ir vēl viens vārds šim procesam? Nav proizvodnovanie... Matemātikas diferenciāli sauc par pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Ļaujiet, vai vieglāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: mēs ieviešam jaunu funkciju un atrodam tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju atvasinājumus un;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentu (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim ieviest mūsu funkciju jaunā bāzē:

Šim nolūkam mēs izmantojam vienkāršs noteikums: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: kā bija, tā paliek, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, nav iespējams to pierakstīt vairāk vienkārša forma. Tāpēc atbildē tas ir atstāts šādā formā.

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit tas ir līdzīgi: jūs jau zināt naturālā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu no logaritma ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jānoved uz bāzi. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā mēs rakstīsim:

Saucējs izrādījās tikai konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Eksponenta un logaritmisko funkciju atvasinājumi eksāmenā gandrīz nekad netiek atrasti, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un loka tangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja logaritms jums šķiet grūts, izlasiet tēmu "Logaritmi" un viss izdosies), taču matemātikas ziņā vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijeru: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais šokolādes tāfelīti ietin iesaiņojumā, bet otrais sasien ar lenti. Izrādās tāds salikts objekts: šokolādes tāfelīte ietīta un pārsieta ar lentīti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic pretējās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu, un tad iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, viņi dod mums skaitli (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam vēl vienu darbību ar to, kas notika pirmās darbības rezultātā.

Mēs varam veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu:. Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Svarīga īpašība sarežģītas funkcijas: mainot darbību secību, funkcija mainās.

Citiem vārdiem sakot, Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Pēdējā darbība, ko veiksim, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura ir iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo lielumu maiņai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms mēs aprēķinām sinusu, un tikai tad mēs to paaugstinām kubā. Tātad tā ir iekšēja funkcija, nevis ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Nu, tagad mēs izvilksim savu šokolādi - meklējiet atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Sākotnējā piemērā tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet, ka viss ir vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējā: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(tikai tagad nemēģiniet samazināt! No zem kosinusa nekas netiek izņemts, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka šeit ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā šī jau ir sarežģīta funkcija pati par sevi, un mēs joprojām no tās izvelkam sakni, tas ir, mēs veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: vienalga, mēs “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo "ārēja" būs atbilstošā funkcija. Darbību secība - tāpat kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sinuss. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu ar bezgalīgi mazu argumenta pieaugumu:

Pamata atvasinājumi:

Diferencēšanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes:

Summas atvasinājums:

Atvasināts produkts:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam "iekšējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam "ārējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Uz kuriem mēs analizējām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažām atvasinājumu atrašanas metodēm. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietnam noskaņojumam - materiāls nav viegls, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Tabulā mēs aplūkojam noteikumu (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Mēs saprotam. Vispirms apskatīsim apzīmējumu. Šeit mums ir divas funkcijas - un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālos izteicienus "ārējā funkcija", "iekšējā" funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Zem sinusa mums ir ne tikai burts "x", bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, bet fakts ir tāds, ka sinusu nav iespējams “saplēst”:

Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau ir intuitīvi skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija un polinoms ir iekšējā funkcija(iegulšana) un - ārēja funkcija.

Pirmais solis, kas jāveic, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Vienkāršu piemēru gadījumā šķiet skaidrs, ka polinoms ir ligzdots zem sinusa. Bet ko darīt, ja tas nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es ierosinu izmantot šādu paņēmienu, ko var veikt garīgi vai pēc melnraksta.

Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība ar kalkulatoru (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķinām vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt jums būs jāatrod, tāpēc sinuss - būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs SAPRAST ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot salikto funkciju diferenciācijas noteikumu .

Sākam lemt. No nodarbības Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma dizains vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:

Vispirms atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas pat tad, ja "x" ir aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:

Ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas rezultāts tīrs izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet lēmumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs rakstām:

Mēs noskaidrojam, kur mums ir ārēja funkcija un kur ir iekšēja. Lai to izdarītu, mēs cenšamies (garīgi vai uzmetumā) aprēķināt izteiksmes vērtību . Kas vispirms jādara? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko bāze ir vienāda:, kas nozīmē, ka polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai tad tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Pēc formulas , vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam vēlamo formulu:. Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai "x", bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikuma piemērošanas rezultāts Nākamais:

Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, iekšējā funkcija nemainās:

Tagad atliek atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz “ķemmēt” rezultātu:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās).

Lai nostiprinātu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, saprātu, kur ir ārējā un kur ir iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti tā?

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā pakāpe. Tādējādi mēs vispirms ieviešam funkciju pareizajā diferenciācijas formā:

Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet kāpināšana ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu :

Pakāpe atkal tiek attēlota kā radikāls (sakne), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

Gatavs. Varat arī apvienot izteiksmi ar kopsaucēju iekavās un rakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja tiek iegūti apgrūtinoši garie atvasinājumi, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikuma vietā var izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , taču šāds risinājums izskatīsies pēc perversijas neparasti. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , bet daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam atvasinājuma mīnusa zīmi un paaugstinām kosinusu līdz skaitītājam:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu :

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu, atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt ar noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās).

Līdz šim mēs esam apsvēruši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos bieži var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā tiek ligzdotas uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs saprotam šīs funkcijas pielikumus. Mēs cenšamies novērtēt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību . Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums jāatrod, kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā ligzda:

Pēc tam šis vienotības arkasins jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot, mēs paceļam septiņus spēkā:

Tas nozīmē, ka šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas ligzdošanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sākam lemt

Saskaņā ar noteikumu vispirms jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tāda, ka "x" vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad, kompleksas funkcijas diferenciācijas noteikuma piemērošanas rezultāts Nākamais.

Kā atrast atvasinājumu, kā ņemt atvasinājumu? Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā atrast funkciju atvasinājumus. Bet pirms šīs lapas izpētes ļoti iesaku iepazīties ar metodisko materiālu.Karstas formulas skolas kurss matemātika. Atsauces rokasgrāmatu var atvērt vai lejupielādēt no lapas Matemātiskās formulas un tabulas . Arī no turienes mums vajagAtvasinājumu tabula, labāk to izdrukāt, bieži nāksies uz to atsaukties, turklāt ne tikai tagad, bet arī bezsaistē.

Ēst? Sāksim. Man jums ir divas ziņas: laba un ļoti laba. Labā ziņa ir tā, ka, lai uzzinātu, kā atrast atvasinājumus, nemaz nav nepieciešams zināt un saprast, kas ir atvasinājums. Turklāt funkcijas atvasinājuma definīciju, atvasinājuma matemātisko, fizisko, ģeometrisko nozīmi ir lietderīgāk sagremot vēlāk, jo teorijas kvalitatīvai izpētei, manuprāt, ir nepieciešams izpētīt vairākas citas tēmas, kā arī zināma praktiska pieredze.

Un tagad mūsu uzdevums ir tehniski apgūt tieši šos atvasinājumus. Ļoti labā ziņa ir tā, ka iemācīties ņemt atvasinājumus nav tik grūti, ir diezgan skaidrs algoritms šī uzdevuma risināšanai (un izskaidrošanai), integrāļus vai limitus, piemēram, ir grūtāk apgūt.

Es iesaku tēmu pētīt šādā secībā: pirmkārt, Šis raksts. Tad jums jāizlasa vissvarīgākā mācība Sarežģītas funkcijas atvasinājums . Šīs divas pamatklases ļaus jums uzlabot savas prasmes no nulles. Turklāt rakstā būs iespējams iepazīties ar sarežģītākiem atvasinājumiem. kompleksi atvasinājumi.

logaritmisks atvasinājums. Ja latiņa ir pārāk augsta, vispirms izlasiet vienumu Vienšūņi tipiski uzdevumi ar atvasinājumu. Papildus jaunajam materiālam nodarbībā tika apskatīts arī cits, vairāk vienkārši veidi atvasinājumi, un ir lieliska iespēja uzlabot savu diferenciācijas tehniku. Turklāt iekšā kontroles darbs gandrīz vienmēr ir uzdevumi, lai atrastu netieši vai parametriski norādītu funkciju atvasinājumus. Tam ir arī apmācība: Implicītu un parametriski definētu funkciju atvasinājumi.

Mēģināšu pieejamā formā soli pa solim iemācīt atrast funkciju atvasinājumus. Visa informācija ir sniegta detalizēti, vienkāršiem vārdiem.

Patiesībā nekavējoties apsveriet piemēru: 1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu Risinājums:

Šis vienkāršākais piemērs, lūdzu, atrodiet to elementāro funkciju atvasinājumu tabulā. Tagad apskatīsim risinājumu un analizēsim notikušo? Un notika sekojošais:

mums bija funkcija , kas risinājuma rezultātā pārvērtās par funkciju.

Pavisam vienkārši, lai atrastu atvasinājumu

funkcijas, jums tas jāpārvērš par citu funkciju saskaņā ar noteiktiem noteikumiem . Paskatieties vēlreiz uz atvasinājumu tabulu - tur funkcijas pārvēršas par citām funkcijām. vienīgais

izņēmums ir eksponenciālā funkcija, kas

pārvēršas par sevi. Atvasinājuma atrašanas operāciju saucdiferenciācija.

Apzīmējums: Atvasinājumu apzīmē vai.

UZMANĪBU, SVARĪGI! Aizmirst uzlikt triepienu (kur nepieciešams) vai uzzīmēt papildus triepienu (kur tas nav nepieciešams) ir LIELA KĻŪDA! Funkcija un tās atvasinājums ir divas dažādas funkcijas!

Atgriezīsimies pie mūsu atvasinājumu tabulas. No šīs tabulas ir vēlams iegaumēt: dažu elementāru funkciju diferenciācijas noteikumi un atvasinājumi, jo īpaši:

konstantes atvasinājums:

Kur ir konstants skaitlis; jaudas funkcijas atvasinājums:

It īpaši:,,.

Kāpēc iegaumēt? Šīs zināšanas ir elementāras zināšanas par atvasinājumiem. Un, ja jūs nevarat atbildēt uz skolotāja jautājumu “Kāds ir skaitļa atvasinājums?”, tad studijas universitātē jums var beigties (es personīgi pazīstu divus reāli gadījumi no dzīves). Turklāt šīs ir visizplatītākās formulas, kuras mums nākas izmantot gandrīz katru reizi, kad sastopamies ar atvasinājumiem.

IN Patiesībā vienkārši tabulas piemēri ir reti, parasti, meklējot atvasinājumus, vispirms tiek izmantoti diferenciācijas noteikumi un pēc tam elementāro funkciju atvasinājumu tabula.

IN Šajā sakarā mēs pievēršamies izskatīšanaidiferenciācijas noteikumi:

1) No atvasinājuma zīmes var (un vajag) izņemt konstantu skaitli

Kur ir konstants skaitlis (konstante) 2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu. Kosinusa atvasinājums ir, bet mums ir .

Ir pienācis laiks izmantot noteikumu, mēs izņemam konstanto faktoru ārpus atvasinājuma zīmes:

Un tagad mēs pagriežam savu kosinusu saskaņā ar tabulu:

Nu, vēlams rezultātu nedaudz “ķemmēt” - pirmajā vietā ielieciet mīnusu, vienlaikus atbrīvojoties no iekavām:

2) Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs izlemjam. Kā jūs droši vien jau pamanījāt, pirmā darbība, kas vienmēr tiek veikta, meklējot atvasinājumu, ir tāda, ka visu izteiksmi ievietojam iekavās un velkam augšējā labajā stūrī:

Mēs piemērojam otro noteikumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka diferencēšanai visas saknes, pakāpes ir jāattēlo kā , un, ja tās atrodas saucējā, tad

pārvietot tos uz augšu. Kā to izdarīt, ir runāts manos metodiskajos materiālos.

Tagad mēs atceramies pirmo diferenciācijas noteikumu - mēs izņemam nemainīgos faktorus (skaitļus) ārpus atvasinājuma zīmes:

Parasti risinājuma laikā šie divi noteikumi tiek piemēroti vienlaikus (lai vēlreiz nepārrakstītu garu izteiksmi).

Visas funkcijas zem domuzīmēm ir elementāras tabulas funkcijas, izmantojot tabulu, mēs veicam transformāciju:

Jūs varat atstāt visu šajā formā, jo nav vairāk sitienu, un atvasinājums ir atrasts. Tomēr šādi izteicieni parasti vienkāršo:

Visas sugas pakāpes vēlams atkal attēlot kā saknes,

grādi ar negatīviem eksponentiem — atiestatīt uz saucēju. Lai gan jūs to nevarat izdarīt, tā nebūs kļūda.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēģiniet pats atrisināt šo piemēru (atbildiet nodarbības beigās).

3) Funkciju reizinājuma atvasinājums

Šķiet, ka pēc analoģijas formula pati par sevi liecina ...., bet pārsteigums ir tas, ka:

Šis neparastais noteikums(kā patiesībā citi) izriet no atvasinājuma definīcijas. Bet pagaidām pagaidīsim ar teoriju - tagad svarīgāk ir iemācīties atrisināt:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir divu funkciju produkts atkarībā no . Vispirms piemērojam mūsu dīvaino noteikumu un pēc tam pārveidojam funkcijas saskaņā ar atvasinājumu tabulu:

Grūti? Nemaz, diezgan pieņemama cena pat tējkannai.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šī funkcija satur divu funkciju summu un reizinājumu - kvadrātveida trinomu un logaritmu. No skolas mēs atceramies, ka reizināšana un dalīšana ir svarīgāka par saskaitīšanu un atņemšanu.

Šeit ir tas pats. VISPIRMS mēs izmantojam produktu diferenciācijas noteikumu:

Tagad iekavās mēs izmantojam pirmos divus noteikumus:

Piemērojot diferenciācijas noteikumus zem sitieniem, mums ir palikušas tikai elementāras funkcijas, kuras saskaņā ar atvasinājumu tabulu pārvēršam par citām funkcijām:

Ar zināmu pieredzi atvasinājumu atrašanā, šķiet, ka vienkārši atvasinājumi nav jāapraksta tik detalizēti. Parasti tās parasti tiek atrisinātas mutiski, un tas uzreiz tiek fiksēts .

Atrodiet funkcijas atvasinājumu Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās)

4) Privāto funkciju atvasinājums

Griestos ir atvērusies lūka, nebaidieties, tā ir kļūme. Un lūk, skarbā realitāte:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kas šeit nav - summa, starpība, reizinājums, daļa .... Ar ko man jāsāk?! Ir šaubas, nav šaubu, bet JEBKĀRĀ GADĪJUMĀ vispirms ievelciet iekavas un ievietojiet trieku augšējā labajā stūrī:

Tagad mēs skatāmies uz izteiksmi iekavās, kā mēs to vienkāršotu? Šajā gadījumā mēs pamanām faktoru, kuru saskaņā ar pirmo noteikumu ir ieteicams izņemt no atvasinājuma zīmes:

Tajā pašā laikā mēs atbrīvojamies no iekavām skaitītājā, kas vairs nav vajadzīgas. Vispārīgi runājot, pastāvīgie faktori atvasinājuma atrašanā

Pieteikums

Vietnes atvasinājuma risinājums, lai konsolidētu studentu un skolēnu aptverto materiālu. Funkcijas atvasinājuma aprēķināšana dažu sekunžu laikā nav grūta, ja izmantojat mūsu tiešsaistes problēmu risināšanas pakalpojumu. Svins detalizēta analīze rūpīga izpēte praktiskā nodarbība katrs trešais students var. Bieži pie mums vēršas attiecīgās nodaļas nodaļa matemātikas veicināšanai valsts izglītības iestādēs. Kā šajā gadījumā nemaz nerunājot par atvasinājuma tiešsaistes risinājumu slēgtai ciparu secību telpai. Daudziem bagātiem cilvēkiem ir atļauts paust savu apjukumu. Bet tikmēr matemātiķi nesēž uz vietas un smagi strādā. Mainot ievades parametrus, izmantojot lineārie raksturlielumi pieņems atvasinājumu kalkulatoru galvenokārt kubu dilstošo pozīciju pārākuma dēļ. Rezultāts ir neizbēgams kā virsma. Kā sākotnējie dati, tiešsaistes atvasinājums novērš nepieciešamību veikt nevajadzīgas darbības. Izņemot fiktīvos mājasdarbus. Papildus tam, ka atvasinājumu risinājums tiešsaistē ir nepieciešams un svarīgs aspekts studējot matemātiku, skolēni bieži vien neatceras agrāk veiktos uzdevumus. Students kā slinks radījums to saprot. Bet skolēni ir smieklīgi cilvēki! Vai nu dariet to saskaņā ar noteikumiem, vai arī funkcijas atvasinājums slīpā plaknē var dot paātrinājumu materiālam punktam. Novirzīsim lejupejošā telpiskā stara vektoru kaut kur. Vēlamajā atbildē atvasinājuma atrašana šķiet abstrakts teorētisks virziens matemātiskās sistēmas nestabilitātes dēļ. Padomājiet par skaitļu attiecību kā neizmantotu opciju secību. Sakaru kanāls tika papildināts ar piekto līniju pa dilstošo vektoru no kuba slēgtās bifurkācijas punkta. Izliektu telpu plaknē atvasinājuma atrisināšana tiešsaistē noved pie secinājuma, kas pagājušajā gadsimtā lika domāt lielākajiem planētas prātiem. Matemātikas jomas notikumu gaitā publiskajā apspriešanā tika nosaukti pieci principiāli svarīgi faktori, kas veicina mainīgā lieluma izvēles pozīcijas uzlabošanos. Tātad punktu likumā ir teikts, ka tiešsaistes atvasinājums ne vienmēr tiek aprēķināts detalizēti, izņēmums var būt tikai lojāli progresējošs brīdis. Prognoze mūs noveda pie jauna kārta attīstību. Mums ir vajadzīgs rezultāts. Matemātiskā slīpuma līnijā, kas iziet zem virsmas, režīma atvasinājumu kalkulators atrodas lieces komplekta produktu krustpunkta zonā. Atliek analizēt funkcijas diferenciāciju tās neatkarīgajā punktā netālu no epsilona apkārtnes. To katrs var redzēt praksē. Rezultātā nākamajā programmēšanas posmā būs par ko izlemt. Studentam kā vienmēr ir nepieciešams tiešsaistes atvasinājums neatkarīgi no iedomātajām studijām. Izrādās, ka funkcija, kas reizināta ar konstanti, nemaina atvasinājuma atrisinājumu tiešsaistē vispārējs virziens materiāla punkta kustība, bet raksturo ātruma palielināšanos taisnā līnijā. Šajā ziņā būs lietderīgi izmantot mūsu atvasināto kalkulatoru un aprēķināt visas funkcijas vērtības visā tās definīcijas komplektā. Vienkārši nav nepieciešams pētīt gravitācijas lauka spēka viļņus. Tiešsaistes atvasinātais risinājums nekādā gadījumā neparādīs izejošā stara slīpumu, bet tikai retos gadījumos, kad tas patiešām ir nepieciešams, augstskolu studenti to var iedomāties. Mēs izmeklējam direktoru. Mazākā rotora vērtība ir paredzama. Piesakies rezultātam pa labi vērstās līnijas, kas raksturo bumbu, bet tiešsaistes kalkulators atvasinājumi, tas ir pamats skaitļiem ar īpašu stiprumu un nelineāru atkarību. Matemātikas projekta atskaite ir gatava. Personiskās īpašības mazāko skaitļu starpība un funkcijas atvasinājums pa y asi paaugstinās vienas un tās pašas funkcijas ieliekumu. Ir virziens - ir secinājums. Teoriju ir vieglāk īstenot praksē. Ir studentu priekšlikums par studiju uzsākšanas laiku. Vajag skolotāja atbildi. Atkal, tāpat kā iepriekšējā pozīcijā, matemātiskā sistēma netiek regulēta, pamatojoties uz darbību, kas palīdzēs atrast atvasinājumu.Tāpat kā apakšējā puslineārā versija, tiešsaistes atvasinājums detalizēti norādīs risinājuma identifikāciju saskaņā ar deģenerēts nosacījuma likums. Vienkārši izvirziet ideju par formulu aprēķināšanu. Funkcijas lineārā diferenciācija noraida risinājuma patiesumu, vienkārši izliekot nebūtiskas pozitīvas variācijas. Salīdzināšanas zīmju nozīme tiks uzskatīta par nepārtrauktu funkcijas pārtraukumu gar asi. Pēc studenta domām, tas ir apzinātākā secinājuma nozīme, kurā tiešsaistes atvasinājums ir kaut kas cits, nevis lojāls matemātiskās analīzes piemērs. Gluži pretēji, izliekta apļa rādiuss Eiklīda telpā deva atvasinājumu kalkulatoram dabisku priekšstatu par izšķirošo problēmu apmaiņu pret stabilitāti. labākā metode atrasts. Bija vieglāk izlīdzināt uzdevumu. Ļaujiet neatkarīgās starpības proporcijas piemērojamībai novest pie atvasinājumu risinājuma tiešsaistē. Risinājums griežas ap x asi, aprakstot apļa figūru. Ir izeja, un tās pamatā ir augstskolu studentu teorētiski atbalstīti pētījumi, no kuriem visi mācās, un pat tajos laika momentos ir funkcijas atvasinājums. Mēs atradām veidu, kā virzīties uz priekšu, un skolēni to apstiprināja. Mēs varam atļauties atrast atvasinājumu, nepārsniedzot nedabisku pieeju matemātiskās sistēmas pārveidošanai. Kreisā proporcionalitātes zīme aug līdz ar ģeometrisko secību kā matemātiskais attēlojums tiešsaistes atvasinājumu kalkulators, kas saistīts ar nezināmu lineāro faktoru bezgalīgās y ass apstākli. Matemātiķi visā pasaulē ir izrādījušies izcili ražošanas process. Apļa iekšpusē ir mazākais kvadrāts saskaņā ar teorijas aprakstu. Atkal tiešsaistes atvasinājums precizēs mūsu minējumu par to, kas varētu būt ietekmējis teorētiski precizēto viedokli. Bija viedokļi, kas atšķiras no mūsu analizētā ziņojuma. Atsevišķa uzmanība var nenotikt mūsu fakultāšu studentiem, bet tikai ne gudriem un progresīviem matemātiķiem, kuriem funkcijas diferencēšana ir tikai attaisnojums. Atvasinājuma mehāniskā nozīme ir ļoti vienkārša. celšanas spēks tiek aprēķināts kā tiešsaistes atvasinājums no laika gaitā nepārtraukti lejupejošām telpām. Acīmredzot atvasinājumu kalkulators ir stingrs process, lai aprakstītu mākslīgās transformācijas kā amorfa ķermeņa deģenerācijas problēmu. Pirmais atvasinājums runā par materiāla punkta kustības izmaiņām. Trīsdimensiju telpa acīmredzami tiek novērota īpaši apmācītu tehnoloģiju kontekstā atvasinājumu risināšanai tiešsaistē, faktiski tā ir katrā kolokvijā par matemātikas disciplīnu. Otrais atvasinājums raksturo materiāla punkta ātruma izmaiņas un nosaka paātrinājumu. Meridiānu pieeja, kas balstās uz afīnās transformācijas izmantošanu, pārceļ funkcijas atvasinājumu punktā no šīs funkcijas definīcijas jomas uz jaunu līmeni. Tiešsaistes atvasinājumu kalkulators nevar iztikt bez skaitļiem un simboliskiem apzīmējumiem atsevišķos gadījumos pēc pareizā izpildāmā momenta, izņemot uzdevuma lietu transformējamo izkārtojumu. Pārsteidzoši ir otrs materiāla punkta paātrinājums, kas raksturo paātrinājuma izmaiņas. Īsumā laika rāmji Sāksim pētīt atvasinājuma risinājumu tiešsaistē, bet, tiklīdz būs sasniegts zināms pavērsiens zināšanās, mūsu students apturēs šo procesu. Labākais līdzeklis tīklošana ir dzīva saziņa par matemātisku tēmu. Ir principi, kurus nedrīkst pārkāpt nekādā gadījumā, lai cik grūts uzdevums būtu. Ir noderīgi tiešsaistē atrast atvasinājumu laikā un bez kļūdām. Tas novedīs pie jaunas matemātiskās izteiksmes pozīcijas. Sistēma ir stabila. fiziskā nozīme atvasinājums nav tik populārs kā mehānisks. Maz ticams, ka kāds atcerēsies, kā tiešsaistes atvasinājums plaknē detalizēti atklāja funkcijas līniju kontūru uz normālu no trīsstūra, kas atrodas blakus x asij. Cilvēks ir pelnījis lielu lomu pagājušā gadsimta pētniecībā. Veiksim funkcijas diferenciāciju punktos trīs elementārajos posmos gan no definīcijas apgabala, gan bezgalībā. Būs rakstiski tikai studiju jomā, bet var ieņemt galvenā vektora vietu matemātikā un skaitļu teorijā, tiklīdz tas, kas notiks, sasaistīs tiešsaistes atvasinājumu kalkulatoru ar problēmu. Būtu iemesls, bet būs iemesls sastādīt vienādojumu. Ir ļoti svarīgi paturēt prātā visus ievades parametrus. Labākais ne vienmēr tiek uztverts ar galvu, aiz tā slēpjas milzīgs labāko prātu darba apjoms, kuri zināja, kā tiešsaistes atvasinājums tiek aprēķināts kosmosā. Kopš tā laika izliekums tiek uzskatīts par nepārtrauktas funkcijas īpašību. Tomēr labāk ir vispirms noteikt atvasināto instrumentu risināšanas problēmu tiešsaistē tik drīz cik vien iespējams. Tādējādi risinājums būs pilnīgs. Papildus neizpildītajām normām tas nav uzskatāms par pietiekamu. Sākotnēji gandrīz katrs students ierosina piedāvāt vienkāršu metodi par to, kā funkcijas atvasinājums izraisa pretrunīgu izaugsmes algoritmu. Augošā stara virzienā. Tam ir jēga kā vispārējā nostāja. Iepriekš tie iezīmēja konkrētas matemātiskas darbības pabeigšanas sākumu, bet šodien būs otrādi. Iespējams, atvasinājuma tiešsaistes risinājums aktualizēs jautājumu vēlreiz un skolotāju sanāksmes diskusijā pieņemsim kopīgu viedokli par tā saglabāšanu. Ceram uz sapratni no visām sanāksmes dalībnieku pusēm. Loģiskā nozīme ir ietverta skaitļu rezonanses atvasinājumu kalkulatora aprakstā par problēmas domas izklāsta secību, uz kuru pagājušajā gadsimtā atbildēja lielie pasaules zinātnieki. Tas palīdzēs iegūt sarežģītu mainīgo no pārveidotās izteiksmes un tiešsaistē atrast atvasinājumu, lai veiktu masveida tāda paša veida darbību. Patiesība ir daudz labāka nekā minējumi. Zemākā vērtība tendencē. Rezultāts nebūs ilgi jāgaida, izmantojot unikālu pakalpojumu visprecīzākajai atrašanās vietai, kurai ir detalizēts tiešsaistes atvasinājums. Netieši, bet līdz galam, kā teica kāds gudrinieks, tiešsaistes atvasinājumu kalkulators tika izveidots pēc daudzu studentu pieprasījuma no dažādām savienības pilsētām. Ja ir atšķirība, tad kāpēc lemt divreiz. Dotais vektors atrodas tajā pašā pusē, kur parastais vektors. Pagājušā gadsimta vidū funkcijas diferenciācija nekādā ziņā netika uztverta tā, kā tā ir mūsdienās. Pateicoties notiekošajai attīstībai, ir parādījusies tiešsaistes matemātika. Laika gaitā skolēni aizmirst pieskaitīt matemātikas disciplīnas. Atvasinātā tiešsaistes risinājums izaicinās mūsu disertāciju, kas pamatoti balstās uz teorijas pielietojumu, ko atbalsta praktiskas zināšanas. Tiks tālāk esošo vērtību prezentācijas faktoru un skaidri uzrakstiet funkcijas formulu. Gadās, ka atvasinājums ir jāatrod tiešsaistē tūlīt, neizmantojot kalkulatoru, taču vienmēr varat ķerties pie studenta viltības un joprojām izmantot šādu pakalpojumu kā vietni. Tādējādi students ietaupīs daudz laika, kopējot piemērus no piezīmju grāmatiņas uzmetuma galīgajā formā. Ja nav pretrunu, izmantojiet soli pa solim risinājumu pakalpojumu šādiem sarežģītiem piemēriem.