Cos summas. Trigonometriskās pamatidentitātes, to formulējumi un atvasināšana

Turpinām sarunu par trigonometrijā visbiežāk izmantotajām formulām. Vissvarīgākās no tām ir pievienošanas formulas.

1. definīcija

Saskaitīšanas formulas ļauj izteikt starpības vai divu leņķu summas funkcijas, izmantojot šo leņķu trigonometriskās funkcijas.

Sākumā mēs prezentēsim pilns saraksts pievienošanas formulas, tad mēs tās pierādīsim un analizēsim dažus ilustratīvus piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pamatformulas trigonometrijā

Ir astoņas pamatformulas: summas sinuss un divu leņķu starpības sinuss, summas un starpības kosinuss, attiecīgi summas un starpības pieskares un kotangences. Tālāk ir sniegti to standarta formulējumi un aprēķini.

1. Divu leņķu summas sinusu var iegūt šādi:

Mēs aprēķinām pirmā leņķa sinusa reizinājumu ar otrā leņķa kosinusu;

Reiziniet pirmā leņķa kosinusu ar pirmā leņķa sinusu;

Saskaitiet iegūtās vērtības.

Formulas grafiskais raksts izskatās šādi: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Starpības sinusu aprēķina gandrīz tādā pašā veidā, tikai iegūtos produktus nedrīkst saskaitīt, bet atņemt vienu no otra. Tādējādi mēs aprēķinām pirmā leņķa sinusa reizinājumus ar otrā kosinusu un pirmā leņķa kosinusu ar otrā sinusu un atrodam to starpību. Formula ir uzrakstīta šādi: grēks (α - β) = grēks α cos β + grēks α sin β

3. Summas kosinuss. Tam mēs atrodam pirmā leņķa kosinusa reizinājumus attiecīgi ar otrā kosinusu un pirmā leņķa sinusa reizinājumu ar otrā leņķa sinusu, un atrodam to atšķirību: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Kosinusa starpība: kā iepriekš aprēķinām doto leņķu sinusu un kosinusu reizinājumus un saskaitām. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Summas tangenss. Šo formulu izsaka kā daļu, kuras skaitītājā ir vēlamo leņķu pieskares summa, bet saucējā ir vienība, no kuras tiek atņemta vēlamo leņķu pieskares reizinājums. Viss ir skaidrs no viņas grafiskā apzīmējuma: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Atšķirības tangenss. Mēs aprēķinām starpības vērtības un šo leņķu pieskares reizinājumu un rīkojamies ar tiem līdzīgā veidā. Saucējā mēs pievienojam vienam, nevis otrādi: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Summas kotangenss. Aprēķiniem, izmantojot šo formulu, mums ir nepieciešams šo leņķu reizinājums un kotangentu summa, ar kuru mēs rīkojamies šādi: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Starpības kotangenss . Formula ir līdzīga iepriekšējai, bet skaitītājā un saucējā - mīnuss, nevis plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Jūs droši vien pamanījāt, ka šīs formulas ir līdzīgas. Izmantojot zīmes ± (plus-mīnuss) un ∓ (mīnus-pluss), mēs varam tās grupēt, lai atvieglotu apzīmējumu:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β t β t 1 ∓ c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Attiecīgi mums ir viena ierakstīšanas formula katras vērtības summai un starpībai, tikai vienā gadījumā mēs pievēršam uzmanību augšējai zīmei, otrā - zemākajai.

2. definīcija

Mēs varam ņemt jebkurus leņķus α un β , un tiem derēs kosinusa un sinusa saskaitīšanas formulas. Ja mēs varam pareizi noteikt šo leņķu pieskares un kotangenšu vērtības, tad tiem derēs arī pieskares un kotangences saskaitīšanas formulas.

Tāpat kā lielākā daļa algebras jēdzienu, saskaitīšanas formulas var pierādīt. Pirmā formula, ko mēs pierādīsim, ir atšķirības kosinusa formula. Pēc tam jūs varat viegli secināt pārējos pierādījumus.

Noskaidrosim pamatjēdzienus. Mums vajag vienības apli. Tas izrādīsies, ja ņemsim noteiktu punktu A un pagriezīsim ap centru (punktu O) leņķus α un β. Tad leņķis starp vektoriem O A 1 → un O A → 2 būs vienāds ar (α - β) + 2 π z vai 2 π - (α - β) + 2 π z (z ir jebkurš vesels skaitlis). Iegūtie vektori veido leņķi, kas ir vienāds ar α - β vai 2 π - (α - β) , vai arī tas var atšķirties no šīm vērtībām par veselu apgriezienu skaitu. Apskatiet attēlu:

Mēs izmantojām samazināšanas formulas un ieguvām šādus rezultātus:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Apakšējā līnija: leņķa kosinuss starp vektoriem O A 1 → un O A 2 → ir vienāds ar leņķa α - β kosinusu, tāpēc cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Atgādiniet sinusa un kosinusa definīcijas: sinuss ir leņķa funkcija, kas vienāda ar pretējā leņķa kājas attiecību pret hipotenūzu, kosinuss ir papildu leņķa sinuss. Tāpēc punkti A 1 un A2 ir koordinātas (cos α , sin α) un (cos β , sin β) .

Mēs iegūstam sekojošo:

O A 1 → = (cos α , sin α) un O A 2 → = (cos β , sin β)

Ja tas nav skaidrs, apskatiet to punktu koordinātas, kas atrodas vektoru sākumā un beigās.

Vektoru garumi ir vienādi ar 1, jo mums ir viens aplis.

Tagad analizēsim vektoru O A 1 → un O A 2 → skalāro reizinājumu. Koordinātās tas izskatās šādi:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

No tā mēs varam secināt vienlīdzību:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Tādējādi tiek pierādīta atšķirības kosinusa formula.

Tagad mēs pierādīsim šādu formulu - summas kosinusu. Tas ir vieglāk, jo mēs varam izmantot iepriekšējos aprēķinus. Paņemiet attēlojumu α + β = α - (- β) . Mums ir:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Šis ir summas kosinusa formulas pierādījums. Pēdējā rindā tiek izmantota pretējo leņķu sinusa un kosinusa īpašība.

Summas sinusa formulu var iegūt no starpības kosinusa formulas. Ņemsim šī samazināšanas formulu:

no formas sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Tātad
grēks (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + grēks (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Un šeit ir atšķirības sinusa formulas pierādījums:

grēks (α - β) = grēks (α + (- β)) = grēks α cos (- β) + cos α sin (- β) = = grēks α cos β - cos α sin β
Ņemiet vērā pretējo leņķu sinusa un kosinusa īpašību izmantošanu pēdējā aprēķinā.

Tālāk mums ir nepieciešami tangensa un kotangensa saskaitīšanas formulu pierādījumi. Atcerēsimies pamatdefinīcijas (tangenss ir sinusa attiecība pret kosinusu, un kotangenss ir otrādi) un ņemsim jau iepriekš iegūtās formulas. Mēs to pagatavojām:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Mums ir sarežģīta daļa. Tālāk mums ir jāsadala tā skaitītājs un saucējs ar cos α cos β , ņemot vērā, ka cos α ≠ 0 un cos β ≠ 0 , mēs iegūstam:
grēks cos β - sin α sin β cos α cos β

Tagad mēs samazinām daļas un iegūstam formulu šādā formā: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Mēs saņēmām t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Tas ir pieskares pievienošanas formulas pierādījums.

Nākamā formula, ko mēs pierādīsim, ir atšķirības pieskares formula. Aprēķinos viss ir skaidri parādīts:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Kotangensa formulas tiek pierādītas līdzīgā veidā:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β =t g α c t g β c t g α + c t g β
Tālāk:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g α

- noteikti būs uzdevumi trigonometrijā. Trigonometrija bieži vien nepatīk, jo tai ir jāsabāzts milzīgs daudzums sarežģītu formulu, kas mudž ar sinusiem, kosinusiem, pieskarēm un kotangensiem. Vietne jau savulaik sniedza padomus, kā atcerēties aizmirstu formulu, izmantojot Eilera un Pīla formulu piemēru.

Un šajā rakstā mēs centīsimies parādīt, ka pietiek precīzi zināt tikai piecas vienkāršas trigonometriskās formulas un zināt par pārējām. vispārēja ideja un izņemiet tos ejot. Tas ir tāpat kā ar DNS: tie netiek glabāti molekulā pilni rasējumi pabeigta dzīva būtne. Tā drīzāk satur instrukcijas, kā to savākt no pieejamajām aminoskābēm. Tā tas ir trigonometrijā, zinot dažus visparīgie principi, mēs visu dabūsim nepieciešamās formulas no neliela to kopuma, kas jāpatur prātā.

Mēs paļausimies uz šādām formulām:

No summu sinusa un kosinusa formulām, zinot, ka kosinusa funkcija ir pāra un ka sinusa funkcija ir nepāra, aizstājot b ar -b, iegūstam atšķirības formulas:

1. Starpības sinuss: grēks(a-b) = grēksacos(-b)+cosagrēks(-b) = grēksacosb-cosagrēksb
2. kosinusa starpība: cos(a-b) = cosacos(-b)-grēksagrēks(-b) = cosacosb+grēksagrēksb

Ievietojot a \u003d b vienās un tajās pašās formulās, mēs iegūstam dubultleņķu sinusa un kosinusa formulas:

1. Dubultā leņķa sinuss: grēks2a = grēks(a+a) = grēksacosa+cosagrēksa = 2grēksacosa
2. Dubultā leņķa kosinuss: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grēksagrēksa = cos2a-grēks2a

Formulas citiem vairākiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi:

1. Trīskāršā leņķa sinuss: grēks3a = grēks(2a+a) = grēks2acosa+cos2agrēksa = (2grēksacosa)cosa+(cos2a-grēks2a)grēksa = 2grēksacos2a+grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksa(1-grēks2a)-grēks 3a = 3 grēksa-4grēks 3a
2. Trīskāršā leņķa kosinuss: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grēks2agrēksa = (cos2a-grēks2a)cosa-(2grēksacosa)grēksa = cos 3a- grēks2acosa-2grēks2acosa = cos 3.a-3 grēks2acosa = cos 3a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3.a-3 cosa

Pirms turpināt, apskatīsim vienu problēmu.
Ņemot vērā: leņķis ir akūts.
Atrodi tā kosinusu, ja
Viena studenta sniegtais risinājums:
Jo , tad grēksa= 3,a cosa = 4.
(No matemātiskā humora)

Tātad pieskares definīcija savieno šo funkciju gan ar sinusu, gan kosinusu. Bet jūs varat iegūt formulu, kas dod pieskares savienojumu tikai ar kosinusu. Lai to iegūtu, mēs ņemam pamata trigonometrisko identitāti: grēks 2 a+cos 2 a= 1 un daliet to ar cos 2 a. Mēs iegūstam:

Tātad šīs problēmas risinājums būtu:

(Tā kā leņķis ir akūts, tad, ekstrahējot sakni, tiek ņemta + zīme)

Summas tangensa formula ir vēl viena, kuru ir grūti atcerēties. Izvadīsim to šādi:

nekavējoties izvadīt un

No dubultleņķa kosinusa formulas jūs varat iegūt sinusa un kosinusa formulas pusleņķim. Lai to izdarītu, dubultā leņķa kosinusa formulas kreisajā pusē:
cos2 a = cos 2 a-grēks 2 a
pievienojam vienību, un pa labi - trigonometrisko vienību, t.i. sinusa un kosinusa kvadrātu summa.
cos2a+1 = cos2a-grēks2a+cos2a+grēks2a
2cos 2 a = cos2 a+1
izsakot cosa cauri cos2 a un veicot mainīgo lielumu maiņu, mēs iegūstam:

Zīme tiek ņemta atkarībā no kvadranta.

Līdzīgi, atņemot vienu no vienādības kreisās puses un sinusa un kosinusa kvadrātu summu no labās puses, mēs iegūstam:
cos2a-1 = cos2a-grēks2a-cos2a-grēks2a
2grēks 2 a = 1-cos2 a

Un visbeidzot, lai trigonometrisko funkciju summu pārvērstu produktā, mēs izmantojam šādu triku. Pieņemsim, ka mums ir jāattēlo sinusu summa kā reizinājums grēksa+grēksb. Ieviesīsim mainīgos x un y tā, lai a = x+y, b+x-y. Tad
grēksa+grēksb = grēks(x+y)+ grēks(x-y) = grēks x cos y+ cos x grēks y+ grēks x cos y- cos x grēks y=2 grēks x cos y. Tagad izteiksim x un y a un b izteiksmē.

Tā kā a = x+y, b = x-y, tad . Tātad

Jūs varat nekavējoties izņemt

1. Sadalījuma formula sinusa un kosinusa produkti iekšā summa: grēksacosb = 0.5(grēks(a+b)+grēks(a-b))

Mēs iesakām vingrināties un atvasināt formulas sinusu starpības un kosinusu summas un starpības reizinājuma pārvēršanai reizinājumā, kā arī sinusu un kosinusu reizinājumu sadalīšanai summā. Izpildījis šos vingrinājumus, Tu pamatīgi apgūsi trigonometrisko formulu atvasināšanas prasmi un nepazudīsi pat visgrūtākajā kontrolē, olimpiādē vai testēšanā.

Viena no matemātikas nozarēm, ar kuru skolēni tiek galā ar vislielākajām grūtībām, ir trigonometrija. Nav brīnums: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangentus, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast aprēķinos izmantot skaitli pi. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot pielietot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja izsecināt sarežģītas loģiskās ķēdes.

Trigonometrijas izcelsme

Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāizdomā, ko trigonometrija dara kopumā.

Vēsturiski taisnleņķa trīsstūri ir bijuši galvenais šīs matemātikas zinātnes sadaļas izpētes objekts. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu aplūkojamās figūras parametru vērtības, izmantojot divas malas un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.

Pirmais posms

Sākotnēji cilvēki runāja par leņķu un malu attiecībām tikai uz piemēru taisnie trīsstūri. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt izmantošanas robežas Ikdienašī matemātikas nozare.

Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem iegūtās zināšanas skolēni izmanto fizikā un abstraktu trigonometrisko vienādojumu risināšanā, ar kuriem darbs sākas vidusskolā.

Sfēriskā trigonometrija

Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur darbojas dažādi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Šo sadaļu skolā nemācās, bet par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc zemes virsma, un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs "loka formas" trīsdimensiju telpā.

Paņemiet globusu un diegu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Pievērsiet uzmanību - tas ir ieguvis loka formu. Tieši ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.

Taisns trīsstūris

Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.

Pirmais solis ir saprast jēdzienus, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Viņa ir garākā. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.

Piemēram, ja divas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.

Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt jāatceras, ka trijstūra leņķu summa taisnstūra koordinātu sistēmā ir 180 grādi.

Definīcija

Visbeidzot, labi izprotot ģeometrisko pamatu, mēs varam pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.

Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir garākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāk par vienu. Tādējādi, ja uzdevuma atbildē iegūstat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.

Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Tas pats rezultāts dos sinusa dalījumu ar kosinusu. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam dalām ar otrās malas garumu un reizinim ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādu pašu attiecību kā pieskares definīcijā.

Kotangenss attiecīgi ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, vienību dalot ar tangensu.

Tātad, mēs esam apsvēruši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam tikt galā ar formulām.

Vienkāršākās formulas

Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Un tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.

Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja vēlaties uzzināt leņķa, nevis sānu vērtību.

Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: galu galā tas ir tas pats apgalvojums, kas pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka vienkārša matemātiska darbība trigonometrisko formulu padara pavisam neatpazīstamu. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, konvertēšanas noteikumi un daži pamata formulas Jūs jebkurā laikā varat pats parādīt vajadzīgās sarežģītākās formulas uz papīra lapas.

Dubultā leņķa formulas un argumentu pievienošana

Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar sinusa un kosinusa vērtībām leņķu summai un starpībai. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinuss un kosinuss tiek reizināti abas reizes, bet otrajā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.

Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi vienāds ar leņķi beta.

Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārvērst, lai pazeminātu sinusa, kosinusa un tangensa alfa pakāpi.

Teorēmas

Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.

Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trijstūra malas garumu ar pretējā leņķa vērtību, mēs iegūstam vienādu skaitli. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.

Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar tām blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.

Kļūdas neuzmanības dēļ

Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, iepazīsimies ar populārākajām no tām.

Pirmkārt, jums nevajadzētu pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās, kamēr nav iegūts gala rezultāts - atbildi varat atstāt formā kopējā frakcija ja vien nosacījumā nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā uzdevuma posmā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit laiku nevajadzīgām lietām matemātiskās operācijas. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs vai divu sakne, jo tās rodas uzdevumos ik uz soļa. Tas pats attiecas uz "neglīto" skaitļu noapaļošanu.

Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja jūs kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta neizpratni. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.

Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.

Pieteikums

Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās lietišķo nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, pateicoties kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu, nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.

Beidzot

Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.

Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar to, ka nezināmie parametri ir jāaprēķina no zināmajiem trijstūra parametriem. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garumi un trīs leņķu lielumi. Visa uzdevumu atšķirība ir tajā, ka tiek doti dažādi ievades dati.

Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju garumiem vai hipotenūzu. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, galvenais mērķis parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas sakņu atrašana kļūst par trigonometrisku problēmu. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.

Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī tangenss un kotangenss akūts leņķis. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.

Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.

Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.

Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.

Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas pretī asiem stūriem.

Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.

Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):

Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.

Pierādīsim dažus no tiem.

Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?

Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat to visu atrast trigonometriskās funkcijas saskaņā ar īpašām tabulām. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.

Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.

Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Ciktāl , .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.

Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.

Problēma atrisināta.

Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!

Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! AT IZMANTOT opcijas matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi laba kvalitāte un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas nosacījumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pāriet uz augstāk atalgotu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Kopumā jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts un ārvalstu augstskolu izsniegto dokumentu datubāze. dažādi gadi izdošanu. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, jums ir tiesības neizņemt diplomu, un jums par konstatētajiem trūkumiem ir jānorāda personīgi kurjeram vai rakstiski, nosūtot vēstuli uz e-pasts.
AT tik drīz cik vien iespējams Izlabosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas nosūtām uz klienta pastu topošā dokumenta maketu pārbaudei un galīgās versijas apstiprināšanai. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu mēs arī uzņemam papildu fotoattēlu un video (arī ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūsit.

Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko apliecību u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Aleksejs:

Man vajadzēja iegūt diplomu, lai iegūtu darbu par vadītāju. Un pats galvenais, man ir gan pieredze, gan prasmes, bet bez dokumenta es nevaru, es dabūšu darbu jebkur. Atrodoties jūsu vietnē, es joprojām nolēmu iegādāties diplomu. Diploms tika noformēts 2 dienās! Tagad man ir darbs, par kuru iepriekš nebiju sapņojis!! Paldies!