Գտե՛ք հավասարման ածանցյալը. Առցանց հաշվիչ. Գտեք (լուծմամբ) ֆունկցիայի ածանցյալը
Տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու առաջադրանքը մաթեմատիկայի դասընթացում հիմնականներից է. ավագ դպրոցև ավելի բարձր ուսումնական հաստատություններ. Անհնար է ամբողջությամբ ուսումնասիրել ֆունկցիան, կառուցել դրա գրաֆիկը՝ առանց դրա ածանցյալը վերցնելու: Ֆունկցիայի ածանցյալը կարելի է հեշտությամբ գտնել, եթե գիտեք տարբերակման հիմնական կանոնները, ինչպես նաև հիմնական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը:
Ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է արգումենտի աճին, երբ փաստարկի աճը ձգտում է զրոյի:
Բավականին դժվար է հասկանալ այս սահմանումը, քանի որ սահմանի հասկացությունը դպրոցում ամբողջությամբ չի ուսումնասիրվում: Բայց տարբեր ֆունկցիաների ածանցյալներ գտնելու համար պետք չէ հասկանալ սահմանումը, թողնենք մաթեմատիկոսներին և անմիջապես անցնենք ածանցյալը գտնելուն։
Ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակում։ Ֆունկցիան տարբերակելիս մենք կստանանք նոր ֆունկցիա։
Դրանք նշելու համար կօգտագործենք նամակներզ, գ և այլն:
Ածանցյալների համար շատ տարբեր նշումներ կան: Մենք կօգտագործենք կաթվածը. Օրինակ, g» մուտքը նշանակում է, որ մենք կգտնենք g ֆունկցիայի ածանցյալը:
Ածանցյալ աղյուսակ
Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես գտնել ածանցյալը, անհրաժեշտ է տրամադրել հիմնական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ չէ կատարել բարդ հաշվարկներ։ Բավական է միայն նայել դրա արժեքը ածանցյալների աղյուսակում։
- (sinx)"=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (նախկին)"=նախ
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Օրինակ 1. Գտե՛ք y=500 ֆունկցիայի ածանցյալը:
Մենք տեսնում ենք, որ դա հաստատուն է։ Ըստ ածանցյալների աղյուսակի՝ հայտնի է, որ հաստատունի ածանցյալը հավասար է զրոյի (բանաձև 1)։
Օրինակ 2. Գտե՛ք y=x 100 ֆունկցիայի ածանցյալը:
Սա հզորության գործառույթորի ցուցիչը 100 է, և դրա ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիան բազմապատկել ցուցիչով և իջեցնել այն 1-ով (բանաձև 3):
(x 100)"=100 x 99
Օրինակ 3. Գտե՛ք y=5 x ֆունկցիայի ածանցյալը
Սա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա է, մենք հաշվարկում ենք դրա ածանցյալը՝ օգտագործելով 4-րդ բանաձևը:
Օրինակ 4. Գտե՛ք y= log 4 x ֆունկցիայի ածանցյալը
Մենք գտնում ենք լոգարիթմի ածանցյալը՝ օգտագործելով 7-րդ բանաձևը:
(log 4 x)"=1/x log 4
Տարբերակման կանոններ
Եկեք հիմա պարզենք, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, եթե այն չկա աղյուսակում: Հետազոտված ֆունկցիաների մեծ մասը տարրական չեն, այլ տարրական ֆունկցիաների համակցություններ են՝ օգտագործելով ամենապարզ գործողությունները (գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և բազմապատկում թվով): Նրանց ածանցյալները գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարբերակման կանոնները։ Ավելին, f և g տառերը նշանակում են ֆունկցիաներ, իսկ C-ն հաստատուն է:
1. Ածանցյալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործակից
Օրինակ 5. Գտե՛ք y= 6*x 8 ֆունկցիայի ածանցյալը
Մենք հանում ենք հաստատուն գործակիցը 6 և տարբերում ենք միայն x 4: Սա հզորության ֆունկցիա է, որի ածանցյալը գտնում ենք ըստ ածանցյալների աղյուսակի 3-րդ բանաձևի։
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին
(զ + գ)"=զ" + գ"
Օրինակ 6. Գտե՛ք y= x 100 + sin x ֆունկցիայի ածանցյալը
Ֆունկցիան երկու ֆունկցիաների գումարն է, որոնց ածանցյալները կարող ենք գտնել աղյուսակից։ Քանի որ (x 100)"=100 x 99 և (sin x)"=cos x. Գումարի ածանցյալը հավասար կլինի այս ածանցյալների գումարին.
(x 100 + մեղք x)» = 100 x 99 + cos x
3. Տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների տարբերությանը
(f – g)"=f" – g"
Օրինակ 7. Գտե՛ք y= x 100 - cos x ֆունկցիայի ածանցյալը
Այս ֆունկցիան երկու ֆունկցիաների տարբերությունն է, որոնց ածանցյալները կարող ենք գտնել նաև աղյուսակից։ Այնուհետև տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների տարբերությանը և մի մոռացեք փոխել նշանը, քանի որ (cos x) «= - sin x.
(x 100 - cos x) «= 100 x 99 + մեղք x
Օրինակ 8. Գտե՛ք y=e x +tg x– x 2 ֆունկցիայի ածանցյալը:
Այս ֆունկցիան ունի և՛ գումար, և՛ տարբերություն, մենք գտնում ենք յուրաքանչյուր անդամի ածանցյալները.
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x: Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալն է.
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Արտադրանքի ածանցյալ
(f * g)"=f" * g + f * g"
Օրինակ 9. Գտե՛ք y= cos x *e x ֆունկցիայի ածանցյալը
Դա անելու համար նախ գտեք յուրաքանչյուր գործոնի ածանցյալը (cos x)"=–sin x և (e x)"=e x: Հիմա եկեք ամեն ինչ փոխարինենք արտադրանքի բանաձևով: Առաջին ֆունկցիայի ածանցյալը բազմապատկել երկրորդով և ավելացնել առաջին ֆունկցիայի արտադրյալը երկրորդի ածանցյալով:
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Քաղորդի ածանցյալ
(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2
Օրինակ 10. Գտե՛ք y= x 50 / sin x ֆունկցիայի ածանցյալը
Քաղորդի ածանցյալը գտնելու համար նախ առանձին-առանձին գտե՛ք համարիչի և հայտարարի ածանցյալը՝ (x 50)"=50 x 49 և (sin x)"= cos x: Բանաձևում փոխարինելով գործակիցի ածանցյալը՝ ստանում ենք.
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
Բաղադրյալ ֆունկցիայի ածանցյալ
Կոմպլեքս ֆունկցիան մի ֆունկցիա է, որը ներկայացված է մի քանի ֆունկցիաների կազմով: Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար կա նաև կանոն.
(u(v))"=u"(v)*v"
Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է գտնել նման ֆունկցիայի ածանցյալը։ Թող y= u(v(x)) լինի բարդ ֆունկցիա: u ֆունկցիան կանվանվի արտաքին, իսկ v՝ ներքին։
Օրինակ:
y=sin (x 3) բարդ ֆունկցիա է:
Ապա y=sin(t) արտաքին ֆունկցիան է
t=x 3 - ներքին.
Փորձենք հաշվել այս ֆունկցիայի ածանցյալը։ Ըստ բանաձևի՝ անհրաժեշտ է բազմապատկել ներքին և արտաքին ֆունկցիաների ածանցյալները։
(sin t)"=cos (t) - արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալ (որտեղ t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - ներքին ֆունկցիայի ածանցյալ
Այնուհետեւ (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 բարդ ֆունկցիայի ածանցյալն է։
Առաջին մակարդակ
Ֆունկցիայի ածանցյալ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)
Պատկերացրեք ուղիղ ճանապարհ, որն անցնում է լեռնոտ տարածքով: Այսինքն՝ բարձրանում-իջնում է, բայց չի շրջվում աջ ու ձախ։ Եթե առանցքը ուղղվում է ճանապարհի երկայնքով հորիզոնական և ուղղահայաց, ապա ճանապարհի գիծը շատ նման կլինի ինչ-որ շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկին.
Առանցքը զրոյական բարձրության որոշակի մակարդակ է, կյանքում մենք օգտագործում ենք ծովի մակարդակը:
Նման ճանապարհով առաջ շարժվելով՝ մենք նույնպես շարժվում ենք վեր կամ վար։ Կարող ենք նաև ասել՝ երբ արգումենտը փոխվում է (շարժվելով աբսցիսայի առանցքով), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է (շարժվելով օրդինատների առանցքով)։ Հիմա եկեք մտածենք, թե ինչպես կարելի է որոշել մեր ճանապարհի «զառիթափությունը»: Ինչ կարող է լինել այս արժեքը: Շատ պարզ է՝ ինչքա՞ն կփոխվի բարձրությունը որոշակի տարածություն առաջ շարժվելիս։ Իրոք, ճանապարհի տարբեր հատվածներում, մեկ կիլոմետր առաջ շարժվելով (աբսցիսայի առանցքով)՝ կբարձրանանք կամ կիջնենք. տարբեր քանակությամբմետր ծովի մակարդակի համեմատ (y առանցքի երկայնքով):
Մենք նշում ենք առաջընթացը (կարդացեք «delta x»):
Հունարեն տառը (դելտա) սովորաբար օգտագործվում է մաթեմատիկայի մեջ որպես նախածանց, որը նշանակում է «փոփոխություն»: Այսինքն - սա մեծության փոփոխություն է, - փոփոխություն; ապա ինչ է դա Ճիշտ է, չափի փոփոխություն:
Կարևոր է. արտահայտությունը մեկ ամբողջություն է, մեկ փոփոխական: Դուք երբեք չպետք է պոկեք «դելտան» «x»-ից կամ որևէ այլ տառից: Այսինքն, օրինակ, .
Այսպիսով, մենք առաջ ենք շարժվել՝ հորիզոնական, առաջ: Եթե ճանապարհի գիծը համեմատենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ, ապա ինչպե՞ս ենք նշանակում բարձրացումը։ Անշուշտ,. Այսինքն՝ առաջ գնալիս մենք ավելի բարձր ենք բարձրանում։
Արժեքը հեշտ է հաշվարկել՝ եթե սկզբում բարձրության վրա էինք, իսկ շարժվելուց հետո բարձրության վրա, ապա. Եթե վերջնակետը պարզվեց, որ սկզբնական կետից ցածր է, ապա այն բացասական կլինի, սա նշանակում է, որ մենք ոչ թե բարձրանում ենք, այլ իջնում ենք:
Վերադառնալ «կտրուկին». սա մի արժեք է, որը ցույց է տալիս, թե որքան (կտրուկ) աճում է բարձրությունը մեկ միավորի հեռավորության վրա առաջ շարժվելիս.
Ենթադրենք, որ ճանապարհի ինչ-որ հատվածում կմ-ով առաջ գնալիս ճանապարհը բարձրանում է կմ-ով։ Այնուհետև այս վայրում զառիթափությունը հավասար է: Իսկ եթե ճանապարհը մ-ով առաջ գնալիս կմ-ով խորտակվի՞։ Այնուհետեւ թեքությունը հավասար է:
Հիմա հաշվի առեք բլրի գագաթը: Եթե հատվածի սկիզբը հասցնեք կես կիլոմետր դեպի վերև, իսկ վերջը` կես կիլոմետր հետո, կարող եք տեսնել, որ բարձրությունը գրեթե նույնն է։
Այսինքն, ըստ մեր տրամաբանության, ստացվում է, որ այստեղ թեքությունը գրեթե հավասար է զրոյի, ինչը ակնհայտորեն ճիշտ չէ։ Շատ բան կարող է փոխվել ընդամենը մի քանի մղոն հեռավորության վրա: Ավելի փոքր տարածքները պետք է դիտարկվեն թեքության ավելի համարժեք և ճշգրիտ գնահատման համար: Օրինակ, եթե չափեք բարձրության փոփոխությունը մեկ մետր շարժվելիս, արդյունքը շատ ավելի ճշգրիտ կլինի։ Բայց նույնիսկ այս ճշգրտությունը մեզ կարող է չբավականացնել. ի վերջո, եթե ճանապարհի մեջտեղում սյուն կա, մենք կարող ենք պարզապես սայթաքել դրա միջով: Այդ դեպքում ի՞նչ հեռավորություն պետք է ընտրենք։ սանտիմետրը? Միլիմետր? Ավելի քիչ, ավելի լավ!
AT իրական կյանքչափել հեռավորությունը մոտակա միլիմետրին ավելի քան բավարար է: Սակայն մաթեմատիկոսները միշտ ձգտում են կատարելության։ Հետեւաբար, հայեցակարգը եղել է անսահման փոքր, այսինքն՝ մոդուլի արժեքը փոքր է ցանկացած թվից, որը մենք կարող ենք անվանել։ Օրինակ, դուք ասում եք. մեկ տրիլիոներորդ! Որքա՞ն պակաս: Եվ դուք այս թիվը բաժանում եք - և այն էլ ավելի քիչ կլինի: և այլն: Եթե ուզում ենք գրել, որ արժեքը անսահման փոքր է, գրում ենք այսպես. (կարդում ենք «x-ը ձգտում է զրոյի»): Շատ կարևոր է հասկանալ որ այս թիվը հավասար չէ զրոյի!Բայց դրան շատ մոտ: Սա նշանակում է, որ այն կարելի է բաժանել.
Անսահման փոքր հասկացությունը անսահման մեծ է (): Դուք հավանաբար արդեն հանդիպել եք դրան, երբ աշխատում էիք անհավասարությունների վրա. Եթե դուք գտնում եք հնարավոր ամենամեծ թիվը, պարզապես այն բազմապատկեք երկուով և կստանաք ավելին: Եվ անսահմանությունը նույնիսկ ավելին է, քան այն, ինչ տեղի է ունենում: Իրականում անսահման մեծն ու անսահման փոքրը հակադարձ են միմյանց, այսինքն՝ ժամը, և հակառակը՝ ժամը։
Հիմա վերադառնանք մեր ճանապարհին: Իդեալական հաշվարկված թեքությունը ուղու անսահման փոքր հատվածի համար հաշվարկված թեքությունն է, այսինքն.
Նշում եմ, որ անսահման փոքր տեղաշարժի դեպքում բարձրության փոփոխությունը նույնպես անսահման փոքր կլինի։ Բայց հիշեցնեմ, որ անսահման փոքրը չի նշանակում զրո. Եթե դուք բաժանեք անվերջ փոքր թվեր միմյանց վրա, ապա կարող եք ստանալ միանգամայն սովորական թիվ, օրինակ. Այսինքն՝ մեկ փոքր արժեքը կարող է ճիշտ երկու անգամ մեծ լինել մյուսից։
Ինչո՞ւ այս ամենը։ Ճանապարհը, զառիթափը... Մենք հանրահավաքի չենք գնում, այլ մաթեմատիկա ենք սովորում։ Իսկ մաթեմատիկայում ամեն ինչ նույնն է, միայն այլ կերպ է կոչվում։
Ածանցյալ հասկացությունը
Ֆունկցիայի ածանցյալը արգումենտի անվերջ փոքր աճի դեպքում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունն է փաստարկի աճին:
Ավելացումմաթեմատիկայի մեջ կոչվում է փոփոխություն։ Թե որքանով է փոխվել () արգումենտը առանցքի երկայնքով շարժվելիս կոչվում է փաստարկի ավելացումև նշանակվում է նրանով, թե որքանով է փոխվել ֆունկցիան (բարձրությունը), երբ առանցքի երկարությամբ առաջ շարժվելը կոչվում է. ֆունկցիայի ավելացումև նշվում է.
Այսպիսով, ֆունկցիայի ածանցյալը երբ-ի հետ կապն է: Ածանցյալը նշում ենք ֆունկցիայի հետ նույն տառով, միայն վերևի աջից մի շարժումով. կամ պարզապես։ Այսպիսով, եկեք գրենք ածանցյալ բանաձևը՝ օգտագործելով հետևյալ նշումները.
Ինչպես ճանապարհի անալոգիայում, այստեղ, երբ ֆունկցիան մեծանում է, ածանցյալը դրական է, իսկ երբ նվազում է՝ բացասական։
Բայց արդյոք ածանցյալը հավասար է զրոյի: Անշուշտ։ Օրինակ, եթե մենք վարում ենք հարթ հորիզոնական ճանապարհով, զառիթափությունը զրոյական է: Իսկապես, բարձրությունը ընդհանրապես չի փոխվում։ Այսպիսով, ածանցյալի հետ՝ հաստատուն ֆունկցիայի (հաստատուն) ածանցյալը հավասար է զրոյի.
քանի որ նման ֆունկցիայի աճը ցանկացածի համար զրո է։
Եկեք վերցնենք բլրի գագաթի օրինակը: Պարզվեց, որ հնարավոր է հատվածի ծայրերը դասավորել գագաթի հակառակ կողմերում այնպես, որ ծայրերում բարձրությունը նույնն է, այսինքն՝ հատվածը զուգահեռ է առանցքին.
Բայց մեծ հատվածները ոչ ճշգրիտ չափման նշան են: Մենք մեր հատվածը կբարձրացնենք իրեն զուգահեռ, այնուհետև դրա երկարությունը կնվազի։
Ի վերջո, երբ մենք անսահման մոտ լինենք գագաթին, հատվածի երկարությունը կդառնա անսահման փոքր։ Բայց միևնույն ժամանակ այն մնաց առանցքին զուգահեռ, այսինքն՝ նրա ծայրերում բարձրության տարբերությունը հավասար է զրոյի (չի ձգտում, բայց հավասար է)։ Այսպիսով, ածանցյալը
Սա կարելի է հասկանալ հետևյալ կերպ. երբ մենք կանգնած ենք հենց վերևում, մի փոքր տեղաշարժ դեպի ձախ կամ աջ աննշանորեն փոխում է մեր հասակը։
Կա նաև զուտ հանրահաշվական բացատրություն՝ վերևի ձախ մասում ֆունկցիան մեծանում է, իսկ աջում՝ նվազում։ Ինչպես ավելի վաղ պարզել ենք, երբ ֆունկցիան մեծանում է, ածանցյալը դրական է, իսկ երբ նվազում է՝ բացասական։ Բայց փոխվում է սահուն, առանց թռիչքների (քանի որ ճանապարհը ոչ մի տեղ կտրուկ չի փոխում թեքությունը)։ Հետևաբար, բացասական և դրական արժեքներպետք է լինի. Դա կլինի այնտեղ, որտեղ ֆունկցիան ոչ մեծանում է, ոչ էլ նվազում է` գագաթային կետում:
Նույնը վերաբերում է հովտին (տարածքը, որտեղ ֆունկցիան նվազում է ձախից և մեծանում աջ կողմում).
Մի փոքր ավելին ավելացումների մասին:
Այսպիսով, մենք փոխում ենք փաստարկը արժեքի: Ի՞նչ արժեքից ենք փոխվում։ Ի՞նչ է նա (փաստարկ) հիմա դարձել: Մենք կարող ենք ընտրել ցանկացած կետ, և հիմա մենք կպարենք դրանից։
Դիտարկենք կոորդինատով կետ: Նրանում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է։ Այնուհետև մենք կատարում ենք նույն աճը. մեծացնում ենք կոորդինատը: Հիմա ո՞րն է փաստարկը։ Շատ հեշտ: . Ո՞րն է այժմ ֆունկցիայի արժեքը: Այնտեղ, որտեղ արգումենտն է գնում, ֆունկցիան գնում է այնտեղ. Ինչ վերաբերում է ֆունկցիայի ավելացմանը: Նորություն չկա. սա դեռ այն գումարն է, որով փոխվել է ֆունկցիան.
Սովորեք գտնել ավելացումներ.
- Գտե՛ք ֆունկցիայի աճը մի կետում, որի արգումենտի աճը հավասար է:
- Նույնը մի կետում գտնվող ֆունկցիայի համար:
Լուծումներ:
Տարբեր կետերում, փաստարկի նույն աճով, ֆունկցիայի աճը տարբեր կլինի: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր կետում ածանցյալն ունի իր սեփականը (մենք դա քննարկել ենք հենց սկզբում. տարբեր կետերում ճանապարհի զառիթափությունը տարբեր է): Հետևաբար, երբ մենք գրում ենք ածանցյալ, մենք պետք է նշենք, թե որ կետում.
Power ֆունկցիա.
Հզորության ֆունկցիան կոչվում է այն ֆունկցիան, որտեղ արգումենտը որոշ չափով (տրամաբանական չէ՞):
Եվ ցանկացած չափով.
Ամենապարզ դեպքն այն է, երբ ցուցիչը հետևյալն է.
Գտնենք դրա ածանցյալը մի կետում։ Հիշեք ածանցյալի սահմանումը.
Այսպիսով, փաստարկը փոխվում է մինչև: Ո՞րն է ֆունկցիայի աճը:
Ավելացումն է. Բայց ֆունկցիան ցանկացած կետում հավասար է իր փաստարկին: Այսպիսով.
Ածանցյալն է.
Ածանցյալն է.
բ) Այժմ դիտարկենք քառակուսի ֆունկցիան ():
Հիմա հիշենք դա. Սա նշանակում է, որ աճի արժեքը կարող է անտեսվել, քանի որ այն անսահման փոքր է և, հետևաբար, աննշան մեկ այլ տերմինի ֆոնի վրա.
Այսպիսով, մենք ունենք մեկ այլ կանոն.
գ) Շարունակում ենք տրամաբանական շարքը.
Այս արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել տարբեր ձևերով՝ բացել առաջին փակագիծը՝ օգտագործելով գումարի խորանարդի կրճատ բազմապատկման բանաձևը, կամ տարանջատել ամբողջ արտահայտությունը գործոնների՝ օգտագործելով խորանարդների տարբերության բանաձևը։ Փորձեք դա անել ինքներդ ձեզ առաջարկվող եղանակներից որևէ մեկով։
Այսպիսով, ես ստացա հետևյալը.
Եվ կրկին, հիշեք դա. Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք անտեսել բոլոր տերմինները, որոնք պարունակում են.
Մենք ստանում ենք.
դ) Նմանատիպ կանոններ կարելի է ձեռք բերել մեծ հզորությունների համար.
ե) Ստացվում է, որ այս կանոնը կարող է ընդհանրացվել ուժային ֆունկցիայի համար կամայական ցուցիչով, նույնիսկ ոչ ամբողջ թվով.
| (2) |
Կանոնը կարող եք ձևակերպել հետևյալ բառերով. «աստիճանը առաջ է բերվում որպես գործակից, այնուհետև նվազում է»:
Այս կանոնը մենք կապացուցենք ավելի ուշ (գրեթե ամենավերջում): Այժմ նայենք մի քանի օրինակների։ Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալը.
- (երկու ձևով. բանաձևով և ածանցյալի սահմանման միջոցով - ֆունկցիայի աճը հաշվելով);
- . Հավատում եք, թե ոչ, սա ուժային ֆունկցիա է: Եթե ունեք հարցեր, ինչպիսիք են «Ինչպե՞ս է դա: Իսկ որտե՞ղ է աստիճանը: Հիշեք թեման« »:
Այո, այո, արմատը նույնպես աստիճան է, միայն կոտորակային:
Այսպիսով, մեր Քառակուսի արմատընդամենը աստիճան է ցուցիչով.
.
Մենք փնտրում ենք ածանցյալ՝ օգտագործելով վերջերս սովորած բանաձևը.Եթե այս պահին նորից անհասկանալի դարձավ, ապա կրկնեք թեման «» !!! (բացասական ցուցանիշով աստիճանի մասին)
- . Այժմ ցուցանիշը.
Եվ հիմա սահմանման միջոցով (արդեն մոռացե՞լ եք):
;
.
Այժմ, ինչպես միշտ, մենք անտեսում ենք տերմինը, որը պարունակում է.
. - . Նախորդ դեպքերի համակցություն.
եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.
Այստեղ մենք կօգտագործենք բարձրագույն մաթեմատիկայի մեկ փաստ.
Երբ արտահայտությունը.
Ապացույցը կիմանաք ինստիտուտի առաջին կուրսում (իսկ այնտեղ հասնելու համար անհրաժեշտ է քննությունը լավ հանձնել)։ Այժմ ես պարզապես ցույց կտամ այն գրաֆիկորեն.
Մենք տեսնում ենք, որ երբ ֆունկցիան գոյություն չունի, գրաֆիկի կետը ծակվում է: Բայց որքան մոտ է արժեքին, այնքան մոտ է ֆունկցիան, սա հենց «ձգտում» է:
Բացի այդ, դուք կարող եք ստուգել այս կանոնը հաշվիչի միջոցով: Այո, այո, մի ամաչեք, վերցրեք հաշվիչ, մենք դեռ քննության չենք։
Այսպիսով, եկեք փորձենք.
Մի մոռացեք հաշվիչը միացնել Radians ռեժիմին:
և այլն: Մենք տեսնում ենք, որ որքան փոքր է, այնքան մոտ է հարաբերակցության արժեքը։
ա) Դիտարկենք ֆունկցիան. Ինչպես սովորաբար, մենք գտնում ենք դրա աճը.
Սինուսների տարբերությունը վերածենք ապրանքի։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (հիշեք «» թեման):
Այժմ ածանցյալը.
Կատարենք փոխարինում. Ապա անսահման փոքրի համար այն նաև անսահման փոքր է. For արտահայտությունն ունի հետևյալ ձևը.
Եվ հիմա մենք դա հիշում ենք արտահայտությամբ. Եվ նաև, ինչ կլինի, եթե գումարում (այսինքն, ժամը) կարելի է անտեսել անսահման փոքր արժեքը:
Այսպիսով, մենք ստանում ենք հաջորդ կանոնը:սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսին:
Սրանք հիմնական («աղյուսակ») ածանցյալներ են: Ահա դրանք մեկ ցուցակում.
Ավելի ուշ դրանց կավելացնենք ևս մի քանիսը, բայց դրանք ամենակարևորներն են, քանի որ դրանք առավել հաճախ են օգտագործվում։
Պրակտիկա:
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում;
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Լուծումներ:
- Սկզբում մենք գտնում ենք ածանցյալը ընդհանուր տեսարան, և այնուհետև դրա արժեքը փոխարինեք.
;
. - Այստեղ մենք ունենք հզորության ֆունկցիայի նման մի բան: Եկեք փորձենք բերել նրան
նորմալ տեսք.
.
Լավ, այժմ կարող եք օգտագործել բանաձևը.
.
. - . Էէէէէէ….. Ինչ է դա????
Լավ, դու ճիշտ ես, մենք դեռ չգիտենք, թե ինչպես գտնել նման ածանցյալներ: Այստեղ մենք ունենք մի քանի տեսակի գործառույթների համադրություն: Նրանց հետ աշխատելու համար դուք պետք է սովորեք ևս մի քանի կանոն.
Ցուցանիշ և բնական լոգարիթմ.
Մաթեմատիկայում կա այնպիսի ֆունկցիա, որի ածանցյալը ցանկացածի համար հավասար է բուն ֆունկցիայի արժեքին նույնի համար։ Այն կոչվում է «ցուցանիշ» և էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիա է
Այս ֆունկցիայի հիմքը հաստատուն է՝ այն անսահման է տասնորդական, այսինքն՝ իռացիոնալ թիվ (օրինակ)։ Այն կոչվում է «Էյլերի թիվ», ինչի պատճառով էլ այն նշվում է տառով։
Այսպիսով, կանոնը հետևյալն է.
Շատ հեշտ է հիշել:
Դե, մենք հեռու չենք գնա, անմիջապես կդիտարկենք հակադարձ ֆունկցիան։ Որքա՞ն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձը: Լոգարիթմ:
Մեր դեպքում հիմքը մի թիվ է.
Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։
Ինչի՞ն է հավասար. Իհարկե, .
Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.
Օրինակներ.
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
- Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:
Պատասխանները: Ցուցանիշը և բնական լոգարիթմը ֆունկցիաներ են, որոնք ածանցյալի առումով եզակի պարզ են: Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը մենք կքննարկենք ավելի ուշ՝ հետո. եկեք անցնենք կանոնների միջովտարբերակում.
Տարբերակման կանոններ
Ի՞նչ կանոններ: Եվս մեկ նոր տերմին, էլի՞...
Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։
Միայն և ամեն ինչ: Ի՞նչ այլ բառ է այս գործընթացի համար: Ոչ proizvodnovanie... Մաթեմատիկայի դիֆերենցիալը կոչվում է ֆունկցիայի բուն աճ: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.
Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու ֆունկցիա, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.
Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.
հաստատունը հանվում է ածանցյալի նշանից։
Եթե - ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.
Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.
Եկեք ապացուցենք դա։ Թույլ տվեք, կամ ավելի հեշտ:
Օրինակներ.
Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.
- կետում;
- կետում;
- կետում;
- կետում։
Լուծումներ:
- (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):
Արտադրանքի ածանցյալ
Այստեղ ամեն ինչ նման է. մենք ներկայացնում ենք նոր գործառույթ և գտնում ենք դրա աճը.
Ածանցյալ:
Օրինակներ.
- Գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները և;
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:
Լուծումներ:
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ
Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչը (մոռացե՞լ եք, թե դա ինչ է դեռ):
Այսպիսով, որտեղ է որոշ թվեր:
Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան բերել նոր հիմքի.
Դրա համար մենք օգտագործում ենք պարզ կանոն: Ապա.
Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:
Տեղի է ունեցել?
Ահա, ստուգեք ինքներդ.
Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործոնը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։
Օրինակներ.
Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.
Պատասխանները:
Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ այն ավելին գրելու հնարավորություն չկա։ պարզ ձև. Ուստի պատասխանում թողնում ենք այս տեսքով.
Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
Այստեղ դա նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.
Հետևաբար, լոգարիթմից կամայական գտնել այլ հիմքով, օրինակ.
Մենք պետք է այս լոգարիթմը բերենք հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.
Միայն հիմա փոխարեն մենք կգրենք.
Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը շատ պարզ է.
Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալները գրեթե երբեք չեն գտնում քննության ժամանակ, սակայն դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։
Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և աղեղային շոշափող չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ դժվար է թվում, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և ամեն ինչ կստացվի), բայց մաթեմատիկայի առումով «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»։
Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են կատարում որոշ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Ստացվում է այսպիսի կոմպոզիտային առարկա՝ ժապավենով փաթաթված և կապած շոկոլադե սալիկ։ Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է հակառակ քայլերն անել հակառակ հերթականությամբ։
Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը կկտրենք։ Այսպիսով, նրանք մեզ տալիս են մի թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), իսկ հետո դուք քառակուսի եք կազմում իմ ստացածը (կապում եք ժապավենով): Ինչ է պատահել? Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո ևս մեկ երկրորդ գործողություն՝ առաջինի արդյունքում տեղի ունեցածի հետ:
Մենք կարող ենք նույն գործողությունները կատարել հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը. Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր է լինելու։ Կարևոր հատկանիշբարդ ֆունկցիաներ. երբ փոխում եք գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է:
Այլ կերպ ասած, Կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .
Առաջին օրինակի համար.
Երկրորդ օրինակը (նույնը): .
Վերջին գործողությունը, որը մենք անում ենք, կկոչվի «արտաքին» գործառույթը, և առաջինը կատարված գործողությունը, համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):
Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.
Պատասխանները:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխվող փոփոխականներին. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ
- Ի՞նչ քայլեր ենք ձեռնարկելու առաջին հերթին: Սկզբում մենք հաշվարկում ենք սինուսը, և միայն դրանից հետո այն բարձրացնում ենք խորանարդի: Այսպիսով, դա ներքին գործառույթ է, ոչ թե արտաքին:
Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է. - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն: - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն: - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն: - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն:
փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։
Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադը - փնտրեք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի համար այն ունի հետևյալ տեսքը.
Մեկ այլ օրինակ.
Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.
Ամեն ինչ պարզ է թվում, չէ՞:
Եկեք ստուգենք օրինակներով.
Լուծումներ:
1) Ներքին՝ ;
Արտաքին:
2) ներքին՝ ;
(ուղղակի մի փորձեք նվազեցնել մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ չի հանվում, հիշում եք):
3) ներքին՝ ;
Արտաքին:
Միանգամից պարզ է դառնում, որ այստեղ եռաստիճան բարդ ֆունկցիա կա. չէ՞ որ սա ինքնին արդեն բարդ ֆունկցիա է, և մենք դեռ արմատն ենք հանում դրանից, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթայի մեջ։ և ժապավենով պայուսակի մեջ): Բայց վախենալու պատճառ չկա. ամեն դեպքում, մենք այս գործառույթը «կբացենք» սովորական հերթականությամբ՝ վերջից։
Այսինքն՝ սկզբում տարբերում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:
Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք գործողություններ կատարելու այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.
Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը - ինչպես նախկինում.
Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.
1. Արմատական արտահայտություն. .
2. Արմատ. .
3. Սինուս. .
4. Քառակուսի. .
5. Բոլորը միասին դնելով.
ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ
Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի ավելացմանը՝ փաստարկի անվերջ փոքր աճով.
Հիմնական ածանցյալներ.
Տարբերակման կանոններ.
հաստատունը հանվում է ածանցյալի նշանից.
Գումարի ածանցյալը:
Ածանցյալ արտադրանք.
Գործակիցի ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.
- Սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան, գտնում դրա ածանցյալը։
- Սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան, գտնում դրա ածանցյալը։
- Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները։
Որի վրա մենք վերլուծեցինք ամենապարզ ածանցյալները, ինչպես նաև ծանոթացանք տարբերակման կանոններին և ածանցյալներ գտնելու որոշ տեխնիկայի: Այսպիսով, եթե դուք այնքան էլ լավ չեք տիրապետում գործառույթների ածանցյալներին կամ այս հոդվածի որոշ կետեր լիովին պարզ չեն, ապա նախ կարդացեք վերը նշված դասը: Խնդրում եմ ներդաշնակվեք լուրջ տրամադրությամբ. նյութը հեշտ չէ, բայց ես դեռ կփորձեմ ներկայացնել այն պարզ և պարզ:
Գործնականում շատ հաճախ պետք է գործ ունենալ բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի հետ, նույնիսկ ես կասեի գրեթե միշտ, երբ քեզ առաջադրանքներ են տալիս գտնել ածանցյալներ։
Աղյուսակում մենք նայում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնին (թիվ 5).
Մենք հասկանում ենք. Նախ, եկեք նայենք նշագրությանը: Այստեղ մենք ունենք երկու ֆունկցիա՝ և, և ֆունկցիան, պատկերավոր ասած, գտնվում է ֆունկցիայի մեջ: Այս տեսակի ֆունկցիան (երբ մի ֆունկցիան տեղադրված է մյուսի մեջ) կոչվում է կոմպլեքս ֆունկցիա:
Ես կկանչեմ գործառույթը արտաքին ֆունկցիաև ֆունկցիան - ներքին (կամ բնադրված) գործառույթ.
! Այս սահմանումները տեսական չեն և չպետք է հայտնվեն առաջադրանքների վերջնական ձևավորման մեջ: Ես օգտագործում եմ «արտաքին ֆունկցիա», «ներքին» ֆունկցիա ոչ ֆորմալ արտահայտությունները միայն նյութը հասկանալը հեշտացնելու համար։
Իրավիճակը պարզաբանելու համար հաշվի առեք.
Օրինակ 1
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Սինուսի տակ մենք ունենք ոչ միայն «x» տառը, այլ ամբողջ արտահայտությունը, ուստի աղյուսակից անմիջապես ածանցյալը գտնելը չի աշխատի: Մենք նաև նկատում ենք, որ այստեղ անհնար է կիրառել առաջին չորս կանոնները, կարծես թե տարբերություն կա, բայց փաստն այն է, որ անհնար է «պոկել» սինուսը.
Այս օրինակում իմ բացատրություններից արդեն ինտուիտիվորեն պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան բարդ ֆունկցիա է, իսկ բազմանդամը՝ ներքին գործառույթը(ներկառուցում), և - արտաքին գործառույթ:
Առաջին քայլը, որը պետք է կատարվի բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ժամանակ հասկանալ, թե որ գործառույթն է ներքին և որը արտաքին.
Պարզ օրինակների դեպքում պարզ է թվում, որ սինուսի տակ բազմանդամ է բույն դրված։ Բայց ինչ անել, եթե դա ակնհայտ չէ: Ինչպե՞ս ճիշտ որոշել, թե որ ֆունկցիան է արտաքին և որը ներքին: Դա անելու համար ես առաջարկում եմ օգտագործել հետևյալ տեխնիկան, որը կարող է իրականացվել մտավոր կամ սևագրի վրա:
Պատկերացնենք, որ արտահայտության արժեքը պետք է հաշվարկել հաշվիչով (մեկի փոխարեն կարող է լինել ցանկացած թիվ)։
Ի՞նչ ենք մենք առաջինը հաշվարկում: Հիմնականումդուք պետք է կատարեք հետևյալ գործողությունը՝ , ուստի բազմանդամը կլինի ներքին ֆունկցիա. 
Երկրորդդուք պետք է գտնեք, ուստի սինուսը կլինի արտաքին գործառույթ. 
Մեզնից հետո ՀԱՍԿԱՑԵՔներքին և արտաքին ֆունկցիաներով ժամանակն է կիրառել բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը 
.
Մենք սկսում ենք որոշել. Դասից Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:մենք հիշում ենք, որ ցանկացած ածանցյալի լուծման ձևավորումը միշտ սկսվում է այսպես.
Սկզբումգտնում ենք արտաքին ֆունկցիայի (սինուսի) ածանցյալը, նայում տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակին և նկատում, որ . Բոլոր աղյուսակային բանաձևերը կիրառելի են, նույնիսկ եթե «x»-ը փոխարինվի բարդ արտահայտությամբ, այս դեպքում:
Նշենք, որ ներքին ֆունկցիան չի փոխվել, մենք դրան չենք դիպչում.
Դե, դա միանգամայն ակնհայտ է
Բանաձեւի կիրառման արդյունքը 
մաքուր տեսքը հետևյալն է.
Մշտական գործոնը սովորաբար դրվում է արտահայտության սկզբում.
Եթե որևէ թյուրիմացություն կա, որոշումը գրեք թղթի վրա և նորից կարդացեք բացատրությունները։
Օրինակ 2
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Օրինակ 3
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Ինչպես միշտ գրում ենք. 
Մենք պարզում ենք, թե որտեղ ունենք արտաքին ֆունկցիա, որտեղ՝ ներքին։ Դա անելու համար մենք փորձում ենք (մտավոր կամ սևագրի վրա) հաշվարկել արտահայտության արժեքը . Ի՞նչ է պետք առաջին հերթին անել: Նախ պետք է հաշվարկել, թե ինչի է հավասար հիմքը, ինչը նշանակում է, որ բազմանդամը ներքին ֆունկցիան է՝ 
Եվ միայն դրանից հետո է կատարվում աստիճանավորումը, հետևաբար, հզորության ֆունկցիան արտաքին ֆունկցիա է. 
Ըստ բանաձևի 
, նախ պետք է գտնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այս դեպքում՝ աստիճանը։ Մենք փնտրում ենք ցանկալի բանաձևը աղյուսակում. Կրկին կրկնում ենք. ցանկացած աղյուսակային բանաձև վավեր է ոչ միայն «x», այլև բարդ արտահայտության համար. Այսպիսով, բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի կիրառման արդյունքը 
հաջորդը՝
Կրկին շեշտում եմ, որ երբ վերցնում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, ներքին ֆունկցիան չի փոխվում. 
Այժմ մնում է գտնել ներքին ֆունկցիայի շատ պարզ ածանցյալ և մի փոքր «սանրել» արդյունքը.
Օրինակ 4
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Սա ինքնալուծման օրինակ է (պատասխանը դասի վերջում):
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի ըմբռնումը համախմբելու համար առանց մեկնաբանության օրինակ կբերեմ, փորձեք ինքնուրույն պարզել, պատճառաբանել, որտեղ է արտաքինը, որտեղ ներքինը, ինչու են առաջադրանքները լուծվում այդպես:
Օրինակ 5
ա) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
բ) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Օրինակ 6
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը 
Այստեղ մենք ունենք արմատ, և արմատը տարբերելու համար այն պետք է ներկայացվի որպես աստիճան։ Այսպիսով, մենք նախ ֆունկցիան բերում ենք համապատասխան ձևի տարբերակման համար.
Գործառույթը վերլուծելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ երեք անդամների գումարը ներքին ֆունկցիա է, իսկ հզորացումը՝ արտաքին: Կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը 
:
Աստիճանը կրկին ներկայացված է որպես ռադիկալ (արմատ), իսկ ներքին ֆունկցիայի ածանցյալի համար մենք կիրառում ենք գումարը տարբերակելու պարզ կանոն.
Պատրաստ. Կարող եք նաև փակագծերում արտահայտությունը բերել ընդհանուր հայտարարի և ամեն ինչ գրել մեկ կոտորակի տեսքով: Դա, իհարկե, գեղեցիկ է, բայց երբ ձեռք են բերվում ծանրաբեռնված երկար ածանցյալներ, ավելի լավ է դա չանել (հեշտ է շփոթվել, անհարկի սխալ թույլ տալ, և ուսուցչի համար անհարմար կլինի ստուգել):
Օրինակ 7
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Սա ինքնալուծման օրինակ է (պատասխանը դասի վերջում):
Հետաքրքիր է նշել, որ երբեմն բարդ ֆունկցիան տարբերելու կանոնի փոխարեն կարելի է օգտագործել գործակիցը տարբերելու կանոնը. 
, բայց նման լուծումը այլասերվածության տեսք կունենա անսովոր։ Ահա տիպիկ օրինակ.
Օրինակ 8
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Այստեղ կարող եք օգտագործել գործակիցի տարբերակման կանոնը 
, բայց շատ ավելի ձեռնտու է գտնել ածանցյալը բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի միջոցով.
Մենք ֆունկցիան պատրաստում ենք տարբերակման համար. հանում ենք ածանցյալի մինուս նշանը և կոսինուսը բարձրացնում ենք համարիչին.
Կոսինուսը ներքին ֆունկցիա է, հզորացումը՝ արտաքին ֆունկցիա։
Եկեք օգտագործենք մեր կանոնը 
:
Մենք գտնում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալը, վերականգնում ենք կոսինուսը.
Պատրաստ. Դիտարկված օրինակում կարևոր է չշփոթվել նշաններում։ Ի դեպ, փորձեք լուծել այն կանոնով 
, պատասխանները պետք է համընկնեն։
Օրինակ 9
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Սա ինքնալուծման օրինակ է (պատասխանը դասի վերջում):
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք դեպքեր, երբ բարդ ֆունկցիայի մեջ ունեցել ենք միայն մեկ բույն: Գործնական առաջադրանքների ժամանակ հաճախ կարելի է գտնել ածանցյալներ, որտեղ, ինչպես բնադրող տիկնիկները, մեկը մյուսի մեջ, միանգամից 3 կամ նույնիսկ 4-5 ֆունկցիաներ են դրված։
Օրինակ 10
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Մենք հասկանում ենք այս ֆունկցիայի հավելվածները: Մենք փորձում ենք գնահատել արտահայտությունը՝ օգտագործելով փորձարարական արժեքը: Ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել հաշվիչի վրա:
Նախ պետք է գտնել, ինչը նշանակում է, որ արկսինը ամենախորը բնադրումն է.
Այնուհետև միասնության այս աղեղը պետք է քառակուսի դրվի.
Եվ վերջապես, մենք յոթը բարձրացնում ենք իշխանության. 
Այսինքն՝ այս օրինակում մենք ունենք երեք տարբեր ֆունկցիաներ և երկու բույն, մինչդեռ ամենաներքին ֆունկցիան աղեղն է, իսկ ամենաարտաքինը՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան։
Մենք սկսում ենք որոշել
Ըստ կանոնի 
նախ պետք է վերցնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը: Մենք նայում ենք ածանցյալների աղյուսակին և գտնում էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը. Միակ տարբերությունն այն է, որ «x»-ի փոխարեն ունենք բարդ արտահայտություն, որը չի ժխտում այս բանաձևի վավերականությունը։ Այսպիսով, բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի կիրառման արդյունքը 
հաջորդ.
Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, ինչպե՞ս վերցնել ածանցյալը: Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները: Բայց մինչ այս էջն ուսումնասիրելը, խստորեն խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ մեթոդական նյութին։Թեժ բանաձեւեր դպրոցական դասընթացՄաթեմատիկա. Հղման ձեռնարկը կարելի է բացել կամ ներբեռնել էջիցՄաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ . Նաև այնտեղից մեզ անհրաժեշտ էԱծանցյալ աղյուսակ, ավելի լավ է տպեք, հաճախ ստիպված կլինեք անդրադառնալ դրան և ոչ միայն հիմա, այլ նաև օֆլայն։
Կա? Եկեք սկսենք. Երկու նորություն ունեմ ձեզ համար՝ լավ և շատ լավ։ Լավ նորությունն այն է, որ ածանցյալներ գտնել սովորելու համար ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ իմանալ և հասկանալ, թե ինչ է ածանցյալը: Ավելին, ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը, ածանցյալի մաթեմատիկական, ֆիզիկական, երկրաչափական նշանակությունը ավելի նպատակահարմար է հետագայում մարսել, քանի որ տեսության որակական ուսումնասիրությունը, իմ կարծիքով, պահանջում է մի շարք այլ թեմաների ուսումնասիրություն. ինչպես նաև որոշակի գործնական փորձ:
Եվ հիմա մեր խնդիրն է տեխնիկապես տիրապետել հենց այս ածանցյալներին։ Շատ լավ նորությունն այն է, որ ածանցյալներ վերցնել սովորելը այնքան էլ դժվար չէ, այս խնդիրը լուծելու (և բացատրելու) բավականին հստակ ալգորիթմ կա, օրինակ ինտեգրալները կամ սահմանները ավելի դժվար են տիրապետում:
Ես խորհուրդ եմ տալիս թեմայի ուսումնասիրության հետևյալ հաջորդականությունը. Այս հոդվածը. Այնուհետև պետք է կարդալ ամենակարևոր դասըԲաղադրյալ ֆունկցիայի ածանցյալ . Այս երկու հիմնական դասերը թույլ կտան զրոյից բարձրացնել ձեր հմտությունները: Ավելին, հոդվածում հնարավոր կլինի ծանոթանալ ավելի բարդ ածանցյալների հետ:բարդ ածանցյալներ.
լոգարիթմական ածանցյալ. Եթե նշագիծը չափազանց բարձր է, նախ կարդացեք նյութը Նախակենդանիներ բնորոշ առաջադրանքներածանցյալով. Բացի նոր նյութից, դասը ընդգրկեց այլ, ավելին պարզ տեսակներածանցյալներ, և մեծ հնարավորություն կա բարելավելու ձեր տարբերակման տեխնիկան: Բացի այդ, ին վերահսկողական աշխատանքԳրեթե միշտ կան գործառույթների ածանցյալներ գտնելու առաջադրանքներ, որոնք նշված են անուղղակիորեն կամ պարամետրականորեն: Դրա համար կա նաև ձեռնարկ. Իմպլիցիտ և պարամետրականորեն սահմանված ֆունկցիաների ածանցյալներ.
Ես կփորձեմ մատչելի ձևով քայլ առ քայլ սովորեցնել, թե ինչպես գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները։ Ամբողջ տեղեկատվությունը ներկայացված է մանրամասն, պարզ բառերով:
Փաստորեն, անմիջապես հաշվի առեք օրինակ. Օրինակ 1
Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը Լուծում. 
Սա ամենապարզ օրինակը, խնդրում ենք գտնել այն տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակում։ Հիմա նայենք լուծումն ու վերլուծենք տեղի ունեցածը։ Եվ տեղի ունեցավ հետևյալը.
մենք ունեինք ֆունկցիա, որը լուծման արդյունքում վերածվեց ֆունկցիայի։
Շատ պարզ,ածանցյալը գտնելու համար
գործառույթը, դուք պետք է այն վերածեք մեկ այլ ֆունկցիայի՝ ըստ որոշակի կանոնների . Նորից նայեք ածանցյալների աղյուսակին. այնտեղ ֆունկցիաները վերածվում են այլ ֆունկցիաների: միակ
բացառություն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, որը
վերածվում է ինքն իրեն. Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում էտարբերակում.
Նշում. ածանցյալը նշվում է կամ.
ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ, ԿԱՐԵՎՈՐ! Մոռանալը ինսուլտ դնել (որտեղ դա անհրաժեշտ է), կամ լրացուցիչ հարված անելը (որտեղ դա անհրաժեշտ չէ) ՎԱՏ ՍԽԱԼ է: Ֆունկցիան և նրա ածանցյալը երկու տարբեր ֆունկցիաներ են:
Վերադառնանք մեր ածանցյալների աղյուսակին։ Այս աղյուսակից ցանկալի է անգիր անելՏարրական որոշ ֆունկցիաների տարբերակման կանոններ և ածանցյալներ, հատկապես.
հաստատունի ածանցյալ.
Որտեղ է հաստատուն թիվը; հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ.
Մասնավորապես:,,.
Ինչու՞ անգիր անել: Այս գիտելիքները տարրական գիտելիքներ են ածանցյալների մասին: Եվ եթե չկարողանաք պատասխանել ուսուցչի «Ո՞րն է թվի ածանցյալը» հարցին, ապա ձեր ուսումը համալսարանում կարող է ավարտվել ձեզ համար (ես անձամբ գիտեմ երկուսը. իրական դեպքերկյանքից): Բացի այդ, սրանք ամենատարածված բանաձևերն են, որոնք մենք պետք է օգտագործենք գրեթե ամեն անգամ, երբ հանդիպում ենք ածանցյալների:
AT Իրականում պարզ աղյուսակային օրինակները հազվադեպ են, սովորաբար ածանցյալներ գտնելիս սկզբում օգտագործվում են տարբերակման կանոնները, իսկ հետո տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը:
AT Այս կապակցությամբ մենք դիմում ենք նկատառմանըտարբերակման կանոններ:
1) հաստատուն թիվը կարելի է (և պետք է) հանել ածանցյալի նշանից
Որտեղ է հաստատուն թիվ (հաստատուն) Օրինակ 2
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Մենք նայում ենք ածանցյալների աղյուսակին: Կոսինուսի ածանցյալը կա, բայց մենք ունենք .
Ժամանակն է օգտագործել կանոնը, մենք հանում ենք հաստատուն գործոնը ածանցյալի նշանից այն կողմ.
Եվ հիմա մենք շրջում ենք մեր կոսինուսը ըստ աղյուսակի.
Դե, արդյունքը ցանկալի է մի փոքր «սանրել»՝ առաջին տեղում դնել մինուսը՝ միևնույն ժամանակ ազատվել փակագծերից.
2) Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Մենք որոշում ենք. Ինչպես հավանաբար արդեն նկատել եք, առաջին գործողությունը, որը միշտ կատարվում է ածանցյալը գտնելիս, այն է, որ մենք ամբողջ արտահայտությունը դնում ենք փակագծերում և վերևի աջ կողմում դնում ենք գծիկ.
Մենք կիրառում ենք երկրորդ կանոնը.
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տարբերակման համար բոլոր արմատները, աստիճանները պետք է ներկայացվեն որպես , և եթե դրանք գտնվում են հայտարարի մեջ, ապա
տեղափոխել դրանք վերև: Ինչպես դա անել, քննարկվում է իմ մեթոդական նյութերում:
Այժմ մենք հիշում ենք տարբերակման առաջին կանոնը. մենք հանում ենք հաստատուն գործոնները (թվերը) ածանցյալի նշանից դուրս.
Սովորաբար լուծման ժամանակ այս երկու կանոնները կիրառվում են միաժամանակ (որպեսզի երկար արտահայտությունը ևս մեկ անգամ չվերագրվի)։
Նկարների տակ գտնվող բոլոր գործառույթները աղյուսակի տարրական գործառույթներ են, օգտագործելով աղյուսակը մենք կատարում ենք փոխակերպումը.
Դուք կարող եք ամեն ինչ թողնել այս ձևով, քանի որ այլևս հարվածներ չկան, և ածանցյալը գտնվել է: Այնուամենայնիվ, նման արտահայտությունները սովորաբար պարզեցնում են.
Ցանկալի է տեսակների բոլոր աստիճանները կրկին ներկայացնել որպես արմատներ,
աստիճաններ բացասական ցուցիչներով - զրոյացնել հայտարարին: Չնայած դուք չեք կարող դա անել, դա սխալ չի լինի:
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը 
Փորձեք ինքներդ լուծել այս օրինակը (պատասխանեք դասի վերջում):
3) ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ
Թվում է, թե, անալոգիայով, բանաձևն ինքն իրեն հուշում է…, բայց զարմանքն այն է, որ.
Այս անսովոր կանոնը(ինչպես, ըստ էության, մյուսները) հետևում է ածանցյալի սահմանումները. Բայց մենք առայժմ կսպասենք տեսությանը, հիմա ավելի կարևոր է սովորել, թե ինչպես լուծել.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Այստեղ մենք ունենք երկու ֆունկցիայի արտադրյալ՝ կախված . Սկզբում մենք կիրառում ենք մեր տարօրինակ կանոնը, այնուհետև փոխակերպում ենք ֆունկցիաները՝ ըստ ածանցյալների աղյուսակի.
Բարդ? Ամենևին, բավականին մատչելի նույնիսկ թեյնիկի համար։
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Այս ֆունկցիան պարունակում է երկու ֆունկցիաների գումարը և արտադրյալը՝ քառակուսի եռանդամը և լոգարիթմը։ Մենք դպրոցից հիշում ենք, որ բազմապատկումն ու բաժանումը գերակայում են գումարման և հանման նկատմամբ:
Նույնն է այստեղ։ Սկզբում մենք օգտագործում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը.
Այժմ փակագծի համար մենք օգտագործում ենք առաջին երկու կանոնները.
Հարվածների տակ տարբերակման կանոնների կիրառման արդյունքում մեզ մնում են միայն տարրական ֆունկցիաներ, ըստ ածանցյալների աղյուսակի դրանք վերածում ենք այլ ֆունկցիաների.
Ածանցյալներ գտնելու որոշակի փորձ ունենալով՝ պարզ ածանցյալները, կարծես, կարիք չունեն այդքան մանրամասն նկարագրելու: Ընդհանրապես դրանք սովորաբար լուծվում են բանավոր, և անմիջապես արձանագրվում է, որ 
.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը 
Սա ինքնորոշման օրինակ է (պատասխանը դասի վերջում)
4) մասնավոր ֆունկցիաների ածանցյալ
Առաստաղի մեջ լյուկ է բացվել, մի վախեցեք, խափանում է։ Եվ ահա դաժան իրականությունը.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Այն, ինչ չկա այստեղ՝ գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը, կոտորակը…. Որտեղ սկսել?! Կասկածներ կան, կասկածներ չկան, բայց, ԱՄԵՆ ԴԵՊՔՈՒՄ, սկզբի համար, փակագծեր քաշեք և վերևի աջ կողմում մի հարված դրեք.
Հիմա նայում ենք փակագծերում դրված արտահայտությունին, ինչպե՞ս կպարզեցնենք այն։ Այս դեպքում մենք նկատում ենք մի գործոն, որը, ըստ առաջին կանոնի, նպատակահարմար է այն հանել ածանցյալի նշանից.
Միաժամանակ մենք ազատվում ենք համարիչի փակագծերից, որոնք այլեւս կարիք չունեն։ Ընդհանուր առմամբ, ածանցյալը գտնելու մշտական գործոնները