Kolmion kolme kulmaa ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa. Kolmion kulmien summan lause

Lause. Kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa.

Otetaan jokin kolmio ABC (kuva 208). Merkitään sen sisäkulmat 1, 2 ja 3. Todistakaamme se

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Piirretään jonkin kolmion kärjen, esimerkiksi B, läpi AC:n suuntainen suora MN.

Huipussa B meillä on kolme kulmaa: ∠4, ∠2 ja ∠5. Niiden summa on suora kulma, joten se on 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Mutta ∠4 \u003d ∠1 ovat sisäisiä ristikkäisiä kulmia yhdensuuntaisilla viivoilla MN ja AC sekä sekantilla AB.

∠5 = ∠3 ovat sisäisiä poikkimakaavia kulmia yhdensuuntaisilla viivoilla MN ja AC sekä sekantilla BC.

Näin ollen ∠4 ja ∠5 voidaan korvata niiden yhtäläisillä ∠1 ja ∠3.

Siksi ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Lause on todistettu.

2. Kolmion ulkokulman ominaisuus.

Todellakin, kolmiossa ABC (kuva 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, mutta myös ∠BCD, tämän kolmion ulkokulma, joka ei ole ∠1 ja ∠2 vieressä, on myös 180° - ∠3.

Täten:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Siksi ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Kolmion ulkokulman johdettu ominaisuus tarkentaa aiemmin todistetun kolmion ulkokulman lauseen sisältöä, jossa todettiin vain, että kolmion ulkokulma on suurempi kuin jokainen kolmion sisäkulma, joka on ei sen vieressä; nyt on todettu, että ulkokulma on yhtä suuri kuin molempien sen vieressä olevien sisäkulmien summa.

3. Suorakulmaisen kolmion ominaisuus, jonka kulma on 30°.

Päästää sisään suorakulmainen kolmio DIA-kulma B on 30° (kuva 210). Silloin sen toinen terävä kulma on 60°.

Osoitetaan, että jalka AC on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta AB. Jatkamme jalkaa AC kärjen yli oikea kulma C ja aseta sivuun segmentti SM, joka on yhtä suuri kuin segmentti AC. Yhdistämme pisteen M pisteeseen B. Tuloksena oleva kolmio BCM yhtä suuri kuin kolmio DIA. Näemme, että jokainen kolmion AVM kulma on 60°, joten tämä kolmio on tasasivuinen.

AC-haara on yhtä suuri kuin puolet AM:stä, ja koska AM on yhtä suuri kuin AB, AC-haara on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta AB.

Se tosiasia, että "Euklidisen geometrian kolmion kulmien summa on 180 astetta" voidaan helposti muistaa. Jos muistaminen ei ole helppoa, voit suorittaa pari koetta parantaaksesi muistamista.

Kokeile yksi

Piirrä paperille mielivaltaisia ​​kolmioita, esimerkiksi:

• mielivaltaisilla sivuilla;
• tasakylkinen kolmio;
• suorakulmainen kolmio.

Muista käyttää linjaa. Nyt sinun on leikattava tuloksena olevat kolmiot tekemällä se tarkasti piirrettyjä viivoja pitkin. Väritä kunkin kolmion kulmat värikynällä tai huopakynällä. Esimerkiksi ensimmäisessä kolmiossa kaikki kulmat ovat punaisia, toisessa - sinisiä, kolmannessa - vihreitä. http://bit.ly/2gY4Yfz

Leikkaa ensimmäisestä kolmiosta kaikki 3 kulmaa ja yhdistä ne yhdessä pisteessä kärkien kanssa siten, että kunkin kulman lähimmät sivut ovat yhteydessä toisiinsa. Kuten näet, kolmion kolme kulmaa muodostivat suoran kulman, joka on 180 astetta. Tee sama kahdella muulla kolmiolla - tulos on sama. http://bit.ly/2zurCrd

Kokeilu kaksi

Piirrämme mielivaltaisen kolmion ABC. Valitsemme minkä tahansa kärjen (esimerkiksi C) ja vedämme sen läpi suoran DE, joka on yhdensuuntainen vastakkaisen puolen (AB) kanssa. http://bit.ly/2zbYNzq

Saamme seuraavat:

1. Kulmat BAC ja ACD ovat yhtä suuret sisäisesti ristikkäisinä AC:n suhteen;
2. Kulmat ABC ja BCE ovat yhtä suuret sisäisesti ristikkäisinä suhteessa BC:hen;
3. Näemme, että kulmat 1, 2 ja 3 - kolmion kulmat, jotka on yhdistetty yhteen pisteeseen, muodostivat kehittyneen kulman DCE, joka on 180 astetta.

Kolmion summalause sanoo, että minkä tahansa kolmion kaikkien sisäkulmien summa on 180°.

Olkoon kolmion sisäkulmat a, b ja c, niin:

a + b + c = 180°.

Tästä teoriasta voimme päätellä, että minkä tahansa kolmion kaikkien ulkokulmien summa on 360 °. Koska ulkokulma on sisäkulman vieressä, niiden summa on 180°. Olkoon kolmion sisäkulmat a, b ja c, jolloin ulkokulmat näissä kulmissa ovat 180° - a, 180° - b ja 180° - c.

Etsi kolmion ulkokulmien summa:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Vastaus: kolmion sisäkulmien summa on 180°; kolmion ulkokulmien summa on 360°.

Tämä lause muotoiltiin myös L.S. Atanasyanin oppikirjassa. , ja oppikirjassa Pogorelov A.V. . Tämän lauseen todistukset näissä oppikirjoissa eivät eroa merkittävästi, ja siksi esitämme sen todisteen esimerkiksi Pogorelov A.V.:n oppikirjasta.

Lause: Kolmion kulmien summa on 180°

Todiste. Olkoon ABC annettu kolmio. Piirrä viiva kärjen B kautta yhdensuuntaisesti linjan AC kanssa. Merkitse siihen piste D siten, että pisteet A ja D ovat suoran BC vastakkaisilla puolilla (kuva 6).

Kulmat DBC ja ACB ovat yhtä suuria kuin sisäinen poikkileikkaus, jonka muodostaa sekantti BC yhdensuuntaisilla suorilla AC ja BD. Siksi kolmion kulmien summa pisteiden B ja C kohdalla on yhtä suuri kuin kulma ABD. Ja kolmion kaikkien kolmen kulman summa on yhtä suuri kuin kulmien ABD ja BAC summa. Koska nämä kulmat ovat sisäpuolisia yhdensuuntaisille AC:lle ja BD:lle ja sekantille AB, niiden summa on 180°. Lause on todistettu.

Tämän todisteen ideana on yhdensuuntainen viiva ja haluttujen kulmien yhtäläisyyden merkintä. Rekonstruoimme ajatuksen tällaisesta lisäkonstruktiosta todistamalla tämän lauseen käyttämällä ajatuskokeilun käsitettä. Lauseen todistus ajatuskokeella. Joten ajatuskokeilumme aiheena ovat kolmion kulmat. Asetetaan se henkisesti sellaisiin olosuhteisiin, joissa sen olemus voidaan paljastaa erityisen varmasti (vaihe 1).

Tällaisia ​​ehtoja ovat sellainen kolmion kulmien järjestely, jossa niiden kaikki kolme kärkeä yhdistetään yhdessä pisteessä. Tällainen yhdistelmä on mahdollista, jos sallimme mahdollisuuden "siirtää" kulmia kolmion sivujen liikkeen avulla muuttamatta kaltevuuskulmaa (kuva 1). Tällaiset liikkeet ovat olennaisesti myöhempiä henkisiä muutoksia (vaihe 2).

Määrittämällä kolmion kulmat ja sivut (kuva 2), "liikkeen" aikana saadut kulmat, muodostamme siten henkisesti ympäristön, kytkentäjärjestelmän, johon asetamme ajatuskohteen (vaihe 3).

Suoraa AB "liikkuva" pitkin linjaa BC eikä muutta kaltevuuskulmaa siihen, muuntaa kulman 1 kulmaksi 5 ja "liikkuvaksi" linjaa AC pitkin kulman 2 kulmaksi 4. Koska sellaisella "liikkeellä" suora AB ei muuta kaltevuuskulmaa suorille AC ja BC, niin johtopäätös on ilmeinen: säteet a ja a1 ovat samansuuntaisia ​​AB:n kanssa ja kulkevat toistensa sisään ja säteet b ja b1 ovat sivujen BC jatkoja ja AC, vastaavasti. Koska kulma 3 ja säteiden välinen kulma at ja at1 ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Näiden kulmien summa on yhtä suuri kuin laajennettu kulma aa1 - mikä tarkoittaa 180°.

PÄÄTELMÄ

AT opinnäytetyö Joidenkin koulujen geometristen teoreemojen "konstruoituja" todisteita tehtiin ajatuskokeilun rakennetta käyttäen, mikä vahvisti muotoiltua hypoteesia.

Esitetyt todisteet perustuivat sellaisiin visuaalisesti aistillisiin idealisaatioihin: "pakkaus", "venyttely", "liukuminen", mikä mahdollisti alkuperäisen geometrisen esineen muuntamisen erityisellä tavalla ja korostaa sen ajatukselle tyypillisiä oleellisia ominaisuuksia. koe. Jossa ajatuskokeilu toimii tiettynä "luovana työkaluna", joka edistää geometrisen tiedon syntymistä (esimerkiksi noin keskiviiva puolisuunnikkaan tai kolmion kulmien ympäri). Tällaiset idealisoinnit antavat mahdollisuuden ymmärtää ajatus todisteesta kokonaisuutena, ajatus "lisäkonstruktion" toteuttamisesta, mikä antaa meille mahdollisuuden puhua mahdollisuudesta saada koululaiset ymmärtämään muodollisen prosessin tietoisempia. geometristen lauseiden deduktiivinen todistus.

Ajatuskoe on yksi perusmenetelmistä geometristen lauseiden saamiseksi ja löytämiseksi. On tarpeen kehittää metodologia menetelmän siirtämiseksi opiskelijalle. Kysymys menetelmän "hyväksymiseen" hyväksyttävästä opiskelijan iästä jää avoimeksi. sivuvaikutukset tällä tavalla esitetyistä todisteista.

Nämä kysymykset vaativat lisätutkimusta. Mutta joka tapauksessa ei ole epäilystäkään yhdestä asiasta: ajatuskoe kehittää teoreettista ajattelua koululaisissa, on sen perusta, ja siksi kykyä henkiseen kokeiluun on kehitettävä.

Lause kolmion sisäkulmien summasta

Kolmion kulmien summa on 180°.

Todiste:

• Kolmio ABC on annettu.
• Piirrä viiva DK kärjen B läpi kantan AC suuntaisesti.
• \kulma CBK= \kulma C sisäisenä poikittain makaavana yhdensuuntaisena DK:n ja AC:n kanssa ja sekantti BC.
• \angle DBA = \angle Sisäinen poikittainen DK \rinnakkaissuuntainen AC ja sekantti AB. Kulma DBK on suora ja yhtä suuri kuin
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Koska suorakulma on 180 ^\circ , ja \angle CBK = \angle C ja \angle DBA = \angle A , saamme 180 ^\circ = \kulma A + \kulma B + \kulma C.

Lause todistettu

Kolmion kulmien summan lauseen seuraukset:

1. Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa on 90°.
2. Tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa jokainen terävä kulma on 45°.
3. Tasasivuisessa kolmiossa jokainen kulma on 60°.
4. Missä tahansa kolmiossa joko kaikki kulmat ovat teräviä tai kaksi kulmaa ovat teräviä ja kolmas on tylpä tai suora.
5. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.

Kolmion ulkokulman lause

Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden jäljellä olevan kulman summa, jotka eivät ole kyseisen ulkokulman vieressä.

Todiste:

• Kolmio ABC on annettu, jossa BCD on ulkokulma.
• \kulma BAC + \kulma ABC +\kulma BCA = 180^0
• Tasa-arvoista kulma \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Saamme \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Päämäärät ja tavoitteet:

Koulutuksellinen:

• toistaa ja yleistää tietoa kolmiosta;
• todista kolmion summalause;
• käytännössä tarkistaa lauseen muotoilun oikeellisuus;
• oppia soveltamaan hankittua tietoa ongelmien ratkaisussa.

Kehitetään:

• kehittää geometrista ajattelua, kiinnostusta aihetta kohtaan, kognitiivista ja luovaa toimintaa opiskelijat, matemaattinen puhe, kyky itsenäiseen hankkia tietoa.

Koulutuksellinen:

• kehittää henkilökohtaiset ominaisuudet opiskelijat, kuten määrätietoisuus, pitkäjänteisyys, tarkkuus, kyky työskennellä ryhmässä.

Laitteet: multimediaprojektori, kolmiot värillisestä paperista, opetusmateriaalit "Live Mathematics", tietokone, näyttö.

Valmisteluvaihe: Opettaja neuvoo opiskelijaa valmistautumaan historiallinen viittaus noin kolmion kulmien summan lause.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Terveisiä. Opiskelijoiden psykologinen asenne työhön.

II. Lämmitellä

Tapasimme geometrisen hahmon "kolmion" edellisillä tunneilla. Toistetaan, mitä tiedämme kolmiosta?

Oppilaat työskentelevät ryhmissä. Heille annetaan mahdollisuus kommunikoida keskenään, kukin rakentaa itsenäisesti kognitioprosessia.

Mitä tapahtui? Jokainen ryhmä tekee ehdotuksensa ja opettaja kirjoittaa ne taululle. Tuloksista keskustellaan:

Kuva 1

III. Muotoilemme oppitunnin tehtävän

Joten tiedämme jo paljon kolmiosta. Mutta eivät kaikki. Jokaisella teistä on kolmiot ja astelevyt pöydälläsi. Mitä mieltä olette, minkä tehtävän voimme muotoilla?

Oppilaat muotoilevat oppitunnin tehtävän - löytää kolmion kulmien summa.

IV. Uuden materiaalin selitys

Käytännön osa(edistää tiedon ja itsetuntemustaitojen toteutumista) Mittaa kulmat astetta ja laske niiden summa. Kirjoita tulokset muistivihkoon (kuuntele saadut vastaukset). Selvitämme, että kulmien summa osoittautui kaikille erilaiseksi (tämä voi tapahtua, koska astemittaria on käytetty epätarkasti, laskenta suoritettiin huolimattomasti jne.).

Taita katkoviivoja pitkin ja selvitä, mitä muuta kolmion kulmien summa on yhtä suuri:

a)
Kuva 2

b)
Kuva 3

sisään)
Kuva 4

G)
Kuva 5

e)
Kuva 6

Käytännön suoritettuaan opiskelija muotoilee vastauksen: Kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin tutkinnon mitta laajennettu kulma, eli 180°.

Opettaja: Matematiikassa käytännön työ mahdollistaa vain jonkinlaisen lausunnon, mutta se on todistettava. Lauseeksi kutsutaan väitettä, jonka pätevyys todistetaan. Minkä lauseen voimme muotoilla ja todistaa?

Opiskelijat: Kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Historian viite: Kolmion kulmien summan ominaisuus määritettiin vuonna Muinainen Egypti. Nykyaikaisissa oppikirjoissa annetut todisteet löytyvät Prokloksen kommenteista Euklidesin elementeistä. Proklos väittää, että tämän todisteen (kuva 8) löysivät pythagoralaiset (5. vuosisadalla eKr.). Ensimmäisessä Elements-kirjassa Eukleides esittää toisen todisteen kolmion kulmien summan lauseesta, joka on helppo ymmärtää piirustuksen avulla (kuva 7):

Kuva 7

Kuva 8

Piirustukset näytetään valkokankaalla projektorin kautta.

Opettaja tarjoutuu todistamaan lauseen piirustusten avulla.

Sitten todistus suoritetaan käyttämällä CMD "Live Mathematics". Opettaja tietokoneella projisoi lauseen todistuksen.

Kolmion kulmien summa -lause: "Kolmion kulmien summa on 180°"

Kuva 9

Todiste:

a)

Kuva 10

b)

Kuva 11

sisään)

Kuva 12

Opiskelijat kirjaavat muistikirjaan lyhyesti lauseen todistuksen:

Lause: Kolmion kulmien summa on 180°.

Kuva 13

Annettu:Δ ABC

Todistaa: A + B + C = 180°.

Todiste:

Mitä piti todistaa.

V. Phys. minuutti.

VI. Uuden materiaalin selitys (jatkuu)

Lauseen seurauksen kolmion kulmien summasta oppilaat johtavat itse, mikä edistää kyvyn muotoilla omaa näkökulmaa, ilmaista ja perustella sitä:

Missä tahansa kolmiossa joko kaikki kulmat ovat teräviä tai kaksi terävät kulmat, ja kolmas tylppä tai suora.

Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, sitä kutsutaan teräväkulmainen.

Jos yksi kolmion kulmista on tylppä, sitä kutsutaan tylppä.

Jos yksi kolmion kulmista on suora, sitä kutsutaan suorakulmainen.

Kolmion kulman summalauseen avulla voit luokitella kolmiot paitsi sivujen, myös kulmien mukaan. (Kolmiotyyppien esittelyn aikana opiskelijat täyttävät taulukon)

pöytä 1

Kolmionäkymä	Tasakylkinen	Tasasivuinen	Monipuolinen
Suorakulmainen
tylppä
teräväkulmainen

VII. Tutkitun aineiston konsolidointi.

1. Ratkaise ongelmat suullisesti:

(piirustukset näkyvät näytöllä projektorin kautta)

Tehtävä 1. Etsi kulma C.

Kuva 14

Tehtävä 2. Etsi kulma F.

Kuva 15

Tehtävä 3. Etsi kulmat K ja N.

Kuva 16

Tehtävä 4. Etsi kulmat P ja T.

Kuva 17

1. Ratkaise ongelma itse nro 223 (b, d).
2. Ratkaise tehtävä taululla ja opiskelijan nro 224 vihkoissa.
3. Kysymykset: Voiko kolmiossa olla: a) kaksi suoraa kulmaa; b) kaksi tylppää kulmaa; c) yksi suora ja yksi tylppä kulma.
4. (suullisesti suoritettuna) Kunkin pöydän korteissa on erilaisia ​​kolmioita. Määritä silmällä kunkin kolmion muoto.

Kuva 18

1. Laske kulmien 1, 2 ja 3 summa.

Kuva 19

VIII. Yhteenveto oppitunnista.

Opettaja: Mitä opimme? Päteekö lause mihin tahansa kolmioon?

IX. Heijastus.

Antakaa minulle mielialanne kaverit! Kanssa kääntöpuoli kolmio kuvaa ilmeitäsi.

Kuva 20

Kotitehtävät: s.30 (osa 1), kysymys 1 ch. Oppikirjan IV sivu 89; nro 223 (a, c), nro 225.