Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) määrättyyn suuntaan kaltevuustekijä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa on annettu kaltevuusyhtälöillä

y = k 1 x + B 1 ,

Tämä artikkeli paljastaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön johdosta suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, joka sijaitsee tasossa. Johdetaan yhtälö suorasta suorasta, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Näytämme ja ratkaisemme visuaalisesti useita esimerkkejä käsiteltyyn materiaaliin liittyen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin saadaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, on tarpeen kiinnittää huomiota joihinkin tosiasioihin. On olemassa aksiooma, joka sanoo, että kahden ei-yhteensaman pisteen kautta tasossa on mahdollista piirtää suora ja vain yksi. Toisin sanoen tason kaksi annettua pistettä määritetään näiden pisteiden läpi kulkevalla suoralla.

Jos taso on annettu suorakaiteen muotoisella koordinaattijärjestelmällä Oxy, niin mikä tahansa siinä kuvattu suora vastaa tason suoran yhtälöä. Myös suoran suuntavektoriin on yhteys, jotka riittävät kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön muodostamiseen.

Harkitse esimerkkiä samanlaisen ongelman ratkaisemisesta. On tarpeen muodostaa yhtälö suorasta a, joka kulkee kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa olevien pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) kautta.

Tason suoran kanonisessa yhtälössä, jonka muoto on x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y määritetään suoralla, joka leikkaa sen pisteessä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1) ohjausvektorilla a → = (a x , a y) .

On tarpeen laatia kanoninen yhtälö viiva a, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) .

Suoralla a on suuntavektori M 1 M 2 → ja koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1), koska se leikkaa pisteet M 1 ja M 2. Olemme saaneet tarvittavat tiedot kanonisen yhtälön muuntamiseksi suuntavektorin M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatteilla ja niillä olevien pisteiden M 1 koordinaatteilla. (x 1, y 1) ja M2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Laskennan jälkeen kirjoitetaan suoran parametriset yhtälöt tasoon, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) . Saamme yhtälön muodossa x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ tai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tarkastellaanpa muutamaa esimerkkiä tarkemmin.

Esimerkki 1

Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka kulkee 2 annetun pisteen kautta koordinaattein M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Päätös

Kanoninen yhtälö suoralle, joka leikkaa kahdessa pisteessä, jonka koordinaatit ovat x 1, y 1 ja x 2, y 2, on muotoa x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Ongelman ehdon mukaan meillä on x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Tarve korvata numeerisia arvoja yhtälöön x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Tästä saadaan, että kanoninen yhtälö on muotoa x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Vastaus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jos on tarpeen ratkaista ongelma toisen tyyppisellä yhtälöllä, voit aluksi siirtyä kanoniseen yhtälöön, koska siitä on helpompi päästä mihin tahansa muuhun.

Esimerkki 2

Säveltää yleinen yhtälö suora, joka kulkee O x y -koordinaatistossa olevien pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2).

Päätös

Ensin sinun on kirjoitettava muistiin tietyn suoran kanoninen yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen kautta. Saadaan yhtälö muotoa x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Tuomme kanonisen yhtälön haluttuun muotoon, niin saamme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastaus: x - 3 y + 2 = 0 .

Esimerkkejä tällaisista tehtävistä pohdittiin koulun oppikirjoissa algebratunneilla. Koulutehtävät erosivat siinä, että kaltevuuskertoimella varustetun suoran yhtälö tunnettiin muotoa y \u003d k x + b. Jos sinun on löydettävä kulmakertoimen k ja luvun b arvo, jossa yhtälö y \u003d k x + b määrittää O x y -järjestelmässä suoran, joka kulkee pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M kautta 2 (x 2, y 2) , jossa x 1 ≠ x 2 . Kun x 1 = x 2 , niin kulmakerroin saa äärettömän arvon ja suora M 1 M 2 määritellään yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä muotoa x - x 1 = 0 .

Koska pisteet M 1 ja M 2 ovat suoralla, niin niiden koordinaatit täyttävät yhtälön y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. On tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k:n ja b:n suhteen.

Tätä varten löydämme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Tällaisilla k:n ja b:n arvoilla tietyn kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on muodossa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Tällaisen valtavan määrän kaavojen muistaminen kerralla ei toimi. Tätä varten on tarpeen lisätä toistojen määrää ongelmien ratkaisemisessa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle kulmakertoimelle, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Päätös

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa, jonka kaltevuus on muotoa y \u003d k x + b. Kertoimien k ja b tulee saada sellainen arvo, että annettu yhtälö vastasi suoraa, joka kulkee kahden pisteen läpi koordinaatilla M 1 (- 7 , - 5) ja M 2 (2 , 1) .

pisteitä M 1 ja M 2 jotka sijaitsevat suoralla, niin niiden koordinaattien tulee kääntää yhtälö y = k x + b oikea yhtälö. Tästä saadaan, että - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Yhdistetään yhtälö järjestelmään - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja ratkaistaan.

Korvaamalla saamme sen

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nyt arvot k = 2 3 ja b = - 1 3 korvataan yhtälöllä y = k x + b . Saamme, että haluttu yhtälö, joka kulkee annettujen pisteiden läpi, on yhtälö, jonka muoto on y = 2 3 x - 1 3 .

Tämä ratkaisutapa määrää kulutuksen suuri numero aika. On olemassa tapa, jolla tehtävä ratkaistaan ​​kirjaimellisesti kahdessa vaiheessa.

Kirjoitamme M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) kautta kulkevan suoran kanonisen yhtälön, jonka muoto on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Siirrytään nyt kaltevuusyhtälöön. Saamme, että x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Vastaus: y = 2 3 x - 1 3 .

Jos kolmiulotteisessa avaruudessa on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on kaksi annettua ei-yhdenmukaista pistettä, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), Niiden läpi kulkeva suora viiva M 1 M 2, on tarpeen saada tämän suoran yhtälö.

Meillä on, että kanoniset yhtälöt muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parametriset yhtälöt x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ovat pystyy asettamaan suoran O x y z -koordinaatistossa, joka kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x 1, y 1, z 1) ohjausvektorilla a → = (a x, a y, a z) .

Suora M 1 M 2 sillä on suuntavektori muotoa M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) , jossa suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1, z) kautta 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), joten kanoninen yhtälö voi olla muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 puolestaan ​​parametrinen x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tarkastellaan kuvaa, joka esittää 2 annettua pistettä avaruudessa ja suoran yhtälöä.

Esimerkki 4

Kirjoita kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään O x y z määritellyn suoran yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen läpi koordinaatilla M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Päätös

Meidän on löydettävä kanoninen yhtälö. Kuten me puhumme noin kolmiulotteisesta avaruudesta, mikä tarkoittaa, että kun suora kulkee annettujen pisteiden läpi, haluttu kanoninen yhtälö on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Ehdolla meillä on, että x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Tästä seuraa, että tarvittavat yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastaus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

3D-tilassa on kolme vaihtoehtoa. suhteellinen sijainti kaksi suoraa viivaa:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja Kanssa Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää muodossa useita muotoja riippuen mistä tahansa

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Päätös. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä nolla, vastaava osoittaja tulee asettaa nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Päätös. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

geometrinen tunne kertoimet siten, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Pakollinen kirjoittamiseen Erilaisia ​​tyyppejä yhtälöt

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten terävä kulma näiden rivien välissä

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi suorat viivat ovat kohtisuorassa,

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on läpi kulkevan suoran yhtälö annettu piste M 0 kohtisuorassa

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Yhtälöä (10.8) kutsutaan tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Yhtälö paraabelit on neliöfunktio. Tämän yhtälön laatimiseen on useita vaihtoehtoja. Kaikki riippuu siitä, mitkä parametrit esitetään ongelman tilassa.

Ohje

Paraabeli on käyrä, joka muistuttaa muodoltaan kaaria ja on kaavio tehotoiminto. Riippumatta siitä, onko paraabelilla ominaisuuksia, tämä on tasainen. Tällaista funktiota kutsutaan parilliseksi, y kaikille argumentin arvoille määritelmästä, kun argumentin etumerkki muuttuu, arvo ei muutu: f (-x) \u003d f (x) Aloita yksinkertaisimmalla funktiolla : y \u003d x ^ 2. Sen muodosta voimme päätellä, että se on sekä positiivinen että negatiiviset arvot argumentti x. Piste, jossa x=0 ja samalla y =0, katsotaan pisteeksi.

Alla on kaikki tärkeimmät vaihtoehdot tämän funktion ja sen rakentamiseen. Ensimmäisenä esimerkkinä alla on funktio muotoa: f(x)=x^2+a, missä a on kokonaisluku Tämän funktion kuvaajaa varten on tarpeen siirtää funktion f(x) kuvaajaa. yksikön toimesta. Esimerkki on funktio y=x^2+3, jossa funktiota siirretään y-akselia pitkin kahdella yksiköllä. Jos annetaan funktio, jolla on päinvastainen etumerkki, esimerkiksi y=x^2-3, niin sen kuvaaja siirtyy alaspäin y-akselia pitkin.

Toinen funktio, jolle voidaan antaa paraabeli, on f(x)=(x + a)^2. Tällaisissa tapauksissa kuvaajaa päinvastoin siirretään abskissaa (x-akselia) pitkin yksikön verran. Harkitse esimerkiksi funktioita: y=(x +4)^2 ja y=(x-4)^2. Ensimmäisessä tapauksessa, jossa on plusmerkkinen funktio, kuvaaja siirretään x-akselia pitkin vasemmalle ja toisessa tapauksessa oikealle. Kaikki nämä tapaukset on esitetty kuvassa.