Kun kuuntelee matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat näkevät materiaalin aksioomana. Samaan aikaan harvat yrittävät päästä pohjaan ja selvittää, miksi "miinus" - "plus" antaa "miinus"-merkin, ja kun kerrotaan kaksi negatiivista lukua, positiivinen tulee ulos.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapsilleen, miksi näin tapahtuu. He olivat oppineet tämän materiaalin perusteellisesti koulussa, mutta he eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt ovat peräisin. Mutta turhaan. Usein nykylapset eivät ole niin herkkäuskoisia, heidän on päästävä asian ytimeen ja ymmärrettävä esimerkiksi, miksi "plus" miinuksen kohdalla antaa "miinuksen". Ja joskus pojat kysyvät tarkoituksella hankalia kysymyksiä nauttiakseen hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on todella katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin ...

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta "-" -merkillä, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakoa. Jos yksi luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-"-merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on tarpeen muotoilla renkaan aksioomat. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa on tapana kutsua rengasta joukkoa, jossa on mukana kaksi operaatiota kahdella elementillä. Mutta on parempi ymmärtää tämä esimerkin avulla.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V = V + C.
• Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei kumonnut sääntöjä, joilla sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisäksi on todettu, että renkaaseen voidaan lisätä erityinen, additioneutraali elementti, jota käyttämällä tulee totta: C + 0 = C. Lisäksi jokaiselle C:lle on vastakkainen elementti, joka voi merkitään (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Hyväksymällä yllä olevat lausunnot voimme vastata kysymykseen: "Plus" miinuksen kohdalla antaa minkä merkin? Kun tiedetään negatiivisten lukujen kertolaskua koskeva aksiooma, on tarpeen varmistaa, että todellakin (-C) x V = -(C x V). Ja myös, että seuraava yhtälö on totta: (-(-C)) = C.

Tätä varten meidän on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa todisteesimerkkiä. Yritetään kuvitella, että kaksi lukua ovat vastakkaisia ​​C - V:lle ja D:lle. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. Siirtymälakien muistaminen ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä hyväksyttiin, on yhtä suuri kuin 0. Siten V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi kuitenkin "plus" "miinuksen" kohdalla antaa "miinuksen", sinun on ymmärrettävä seuraava. Eli elementin (-C) vastakohdat ovat C ja (-(-C)), eli ne ovat keskenään yhtä suuret.

Silloin on selvää, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on vastakohta (-) C x V:lle , mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen varmistaa, että 0 x V = 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tulon 0 x V lisääminen ei muuta asetettua määrää millään tavalla. Loppujen lopuksi tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomit, on mahdollista päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antaa, vaan myös mitä tapahtuu, kun negatiiviset luvut kerrotaan.

Kahden luvun kerto- ja jakolasku "-"-merkillä

Jos et syvenny matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää selittää toimintasäännöt negatiivisilla luvuilla yksinkertaisemmalla tavalla.

Oletetaan, että C - (-V) = D, tämän perusteella C = D + (-V), eli C = D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V = D. Eli C + V = C- (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi muuttaa "plussiksi". Nyt käsitellään kertolaskua.

(-C) x (-V) \u003d D, lausekkeeseen voidaan lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta, mikä ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voimme todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakamisen tulos on positiivinen.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tällainen selitys ei tietenkään sovi alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä katselasin läpi. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta ei olemassa olevat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden lasiesineen kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan nykyhetkeen, eli tuloksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät yritä liian lujasti sukeltaa kaikkiin matemaattisiin vivahteisiin.

Vaikka jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkea-asteen koulutuksen saaneille, monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä sitä, mitä heidän opettajansa heille opettavat, eikä heillä ole vaikeuksia sukeltaa matematiikan monimutkaisuuteen. "Miinus" miinuksella antaa "plussan" - kaikki tietävät tämän poikkeuksetta. Tämä koskee sekä kokonaislukuja että murtolukuja.

Linja UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matematiikka (5-6)

Matematiikka

Miksi miinus kertaa miinus antaa aina plussan?

Luonnollisten lukujen edut

Ensin sukeltakaamme aritmeettisen historian. On aivan luonnollista, että alussa ihmiset käyttivät vain luonnollisia lukuja - yksi, kaksi, kolme ja niin edelleen. Niitä käytettiin laskettaessa tavaroiden todellinen määrä. Juuri niin, kaiken lisäksi numerot olivat turhia, joten alkoi ilmaantua toimintoja, joiden avulla oli mahdollista toimia numeroilla. On täysin loogista, että lisäyksestä on tullut ihmiselle kaikkein tarpeellisin. Tämä toimenpide on yksinkertainen ja luonnollinen - kohteiden lukumäärän laskeminen tuli helpommaksi, nyt ei tarvinnut laskea uudelleen joka kerta - "yksi, kaksi, kolme". Pisteiden korvaaminen on nyt mahdollista "yksi plus kaksi on kolme" -toiminnolla. Luonnolliset luvut lisättiin, vastaus oli myös luonnollinen luku.

Kertominen oli pohjimmiltaan sama summa. Käytännössä nytkin esimerkiksi ostoksia tehdessä käytetään myös yhteen- ja kertolaskua, kuten esi-isämme tekivät kauan sitten. Joskus oli kuitenkin tarpeen suorittaa vähennys- ja jakolaskuja. Ja luvut eivät aina olleet vastaavia - joskus luku, josta ne vähennettiin, oli pienempi kuin vähennetty luku. Sama divisioonan kanssa. Näin ollen murtolukuja ilmestyi.

Negatiivisten lukujen esiintyminen

Tietueita negatiivisista luvuista ilmestyi Intian asiakirjoihin 700-luvulla jKr. Tästä matemaattisesta "faktasta" on vanhempia tietoja kiinalaisissa asiakirjoissa.

Elämässä vähennämme useimmiten pienemmän luvun suuresta. Esimerkiksi: Minulla on 100 ruplaa, leipä ja maito maksavat 65 ruplaa; 100 - 65 = 35 ruplaa muutos. Jos haluan ostaa jonkin muun tuotteen, jonka hinta ylittää jäljellä olevat 35 ruplaani, esimerkiksi yhden maidon lisää, niin vaikka kuinka paljon haluaisin ostaa sitä, minulla ei ole enempää rahaa, joten en t tarvitse negatiivisia lukuja.

Mutta jatkettaessa puhumista nykyelämästä, mainittakoon luottokortit tai matkapuhelinoperaattorin kyky "mentyä miinukseen" puheluita soitettaessa. On mahdollista kuluttaa enemmän rahaa kuin sinulla on, mutta velkaa oleva raha ei katoa, vaan kirjoitetaan velkaan. Ja tässä negatiiviset luvut tulevat jo apuun: kortissa on 100 ruplaa, leipä ja kaksi maitoa maksavat minulle 110 ruplaa; oston jälkeen saldoni kortilla on -10 ruplaa.

Käytännössä samoihin tarkoituksiin he alkoivat käyttää negatiivisia lukuja ensimmäistä kertaa. Kiinalaiset käyttivät niitä ensimmäisenä velkojen alaskirjaukseen tai yhtälöiden väliratkaisuissa. Mutta käyttö oli silti vain positiivista (kuten luottokorttimme takaisinmaksu). Negatiivisten lukujen pitkää hylkäämistä helpotti se, että ne eivät ilmaisseet tiettyjä objekteja. Kymmenen kolikkoa on kymmenen kolikkoa, tässä ne ovat, voit koskettaa niitä, voit ostaa niillä tavaroita. Mitä "miinus kymmenen kolikkoa" tarkoittaa? Niitä odotetaan, vaikka se olisi velkaa. Ei tiedetä, palautetaanko tämä velka ja muuttuvatko "talletetut" kolikot oikeiksi. Jos tehtävää ratkaistaessa saatiin negatiivinen luku, katsottiin, että vastaus oli väärä tai vastausta ei ollut ollenkaan. Tämä epäluuloinen asenne säilyi ihmisten keskuudessa pitkään, jopa matematiikassa läpimurron tehnyt Descartes (1600-luku) piti negatiivisia lukuja "väärinä".

Käsikirjan tehtävien avulla voit ehkäistä mahdollisia vaikeuksia matematiikan neljännen vuoden pääaiheiden hallitsemisessa, auttaa kehittämään spatiaalisia esityksiä, opiskelijoiden geometrista havainnointia ja muodostamaan itsehallintataitoja.

Sääntöjen muodostaminen toimille, joissa on negatiivinen luku

Tarkastellaan yhtälöä 9x-12=4x-2. Yhtälön ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä termit tuntemattomilla toiselle puolelle ja tunnetut luvut toiselle puolelle. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla.

Ensimmäinen tapa.

Siirretään yhtälön osaa, jossa on tuntematon, vasemmalle ja muut luvut oikealle. Siitä käy ilmi:

Vastaus löytyi. Emme koskaan turvautuneet negatiivisten lukujen käyttämiseen kaikissa toimissa, jotka meidän piti suorittaa.

Toinen tapa.

Siirretään nyt se osa yhtälöstä, jossa tuntematon on oikealle, ja loput termit vasemmalle. Saamme:

Ratkaisun löytämiseksi meidän on jaettava yksi negatiivinen luku toisella. Olemme kuitenkin saaneet oikean vastauksen jo edellisessä ratkaisussa - tämä on x yhtä suuri kuin kaksi. Tästä syystä on vielä pääteltävä, että (-10)/(-5)=2.

Mitä nämä kaksi tapaa ratkaista sama yhtälö todistavat meille? Ensimmäinen asia, joka selviää, on se, kuinka negatiivisilla luvuilla operoinnin riittävyys pääteltiin - saadun vastauksen tulisi olla sama kuin ratkaistaessa pelkillä luonnollisilla luvuilla. Toinen kohta on se, että sinun ei enää tarvitse ajatella arvoja saadaksesi ei-negatiivisen luvun epäonnistumatta. Voit valita kätevimmän tavan ratkaista erityisesti monimutkaisia ​​yhtälöitä. Ensimmäiset askeleet kohti matematiikan "abstraktiota" tulivat toimet, jotka mahdollistivat joidenkin operaatioiden ajattelemisen (mitä on tehtävä, jotta olisi vain luonnollisia lukuja; mikä luku on suurempi, jotta siitä voitaisiin vähentää jne.). .

Tietenkään kaikkia negatiivisia lukuja sisältäviä toimintasääntöjä ei muodostettu samanaikaisesti. Ratkaisuja kertyi, esimerkkejä yleistettiin, joiden perusteella alettiin vähitellen "piirtää" pääaksioomia. Matematiikan kehittyessä, uusien sääntöjen julkaisemisen myötä, uudet abstraktion tasot ilmestyivät. Esimerkiksi 1800-luvulla todistettiin, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on paljon yhteistä, vaikka ne näyttävätkin erilaisilta. Kaikki ne voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Säännöt, joita he noudattavat, vaikuttavat heihin yhdellä tavalla. Mitä tulee joidenkin kokonaislukujen jakamiseen toisilla, mielenkiintoinen tosiasia "odottaa" täällä - vastaus ei aina ole kokonaisluku. Sama laki pätee polynomeihin.

Sitten paljastettiin monia muita matemaattisten objektien kokoelmia, joille oli mahdollista suorittaa tällaisia ​​​​operaatioita: muodollisia potenssisarjoja, jatkuvia funktioita ... Ajan myötä matemaatikot havaitsivat, että operaatioiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen olisi mahdollista soveltaa tulokset kaikkiin näihin objektikokoelmiin. Sama pätee nykyajan matematiikassa.

Lisää mielenkiintoisia juttuja:

• Matematiikan opettajan työn piirteitä lukuvuonna 2018/2019
• Tyypillisiä virheitä, joita opettajat tekevät opettaessaan matematiikkaa peruskoulussa
• Alakoulun matematiikan opetuksen ulkopuolinen toiminta

Puhtaasti matemaattinen lähestymistapa

Ajan myötä matemaatikot ovat tunnistaneet uuden termin - rengas. Rengas on joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Säännöt (aksioomit), joille teot ovat alistaneet, eivät joukon elementtien luonne, tulevat perustavanlaatuisiksi. Aksioomien käyttöönoton jälkeen syntyvän rakenteen ensisijaisuuden korostamiseksi käytetään yleensä termiä "rengas": kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomien avulla ja niistä edeten voidaan paljastaa sormusten uusia ominaisuuksia.

Muotoilemme renkaan säännöt, jotka ovat samanlaiset kuin kokonaislukuoperaatioiden aksioomat, ja todistamme, että missä tahansa renkaassa miinuksen kertominen miinuksella johtaa plussaan.

Rengas on joukko, jossa on kaksi binäärioperaatiota (kukin operaatio sisältää kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomat:

Rengaselementtien lisääminen noudattaa kommutatiivisia (A + B = B + A kaikille elementeille A ja B) ja kombinaatiolakeja (A + (B + C) = (A + B) + C); renkaassa on erityinen elementti 0 (lisäneutraali) siten, että A + 0 = A, ja mille tahansa A:n elementille on vastakkainen elementti (merkitty (-A)) siten, että A + (-A) = 0;

Kertominen noudattaa yhdistelmälakia: A (B C) = (A B) C;

Yhteen- ja kertolaskuun liittyvät seuraavat hakasulkeiden laajennussäännöt:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Selvennetään, että renkaat eivät yleisimmässä konstruktiossa vaadi kertolaskua, eivätkä sen käännettävyyttä (jakooperaatio ei aina ole mahdollista), eikä yksikön - kertomisen suhteen neutraalin elementin - olemassaoloa. Jos esittelemme nämä aksioomit, saamme muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki pätevät lauseet on todistettu renkaille.

Matematiikka. 6. luokka. Työkirja numero 1.

Työkirja sisältää erilaisia ​​tehtäviä uuden materiaalin hallintaan ja lujittamiseen, luonteeltaan kehittäviä tehtäviä, erilaista oppimista mahdollistavia lisätehtäviä. Muistikirjaa käytetään yhdessä oppikirjan "Matematiikka. Luokka 6 "(toim. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), joka sisältyy koulutus- ja metodologisten sarjojen järjestelmään" Menestyksen algoritmi ".

Seuraava vaihe on todistaa, että mikä tahansa mielivaltaisen renkaan elementti A ja B pitää paikkansa: (-A) B = -(A B) ja (-(-A)) = A.

Tästä saamme lausumia yksiköistä:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Seuraavaksi meidän on todistettava joitain kohtia. Ensinnäkin on tarpeen vahvistaa vain yhden vastakohdan olemassaolo jokaiselle elementille. Oletetaan, että elementillä A on kaksi vastakkaista elementtiä: B ja C. Eli A + B \u003d 0 \u003d A + C. Analysoidaan summa A + B + C. Kommutatiivisten ja assosiatiivisten lakien sekä ominaisuuksien avulla nolla, saamme, että summa on yhtä suuri:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Siksi B = C.

Huomaa, että sekä A että (-(-A)) ovat vastapäätä elementtiä (-A). Tästä päätämme, että elementtien A ja (-(-A)) on oltava yhtä suuret.

nuo. (-A) B on A B:n vastakohta, joten se on yhtä suuri kuin -(A B).

Huomaa, että 0 · B = 0 mille tahansa B:n elementille.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

joten 0 B:n lisääminen ei muuta summaa. Osoittautuu, että tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Todellakin, miksi? Helpoin vastaus on: "Koska nämä ovat negatiivisten lukujen kanssa työskentelyn säännöt." Säännöt, joita opimme koulussa ja joita sovelletaan koko elämämme ajan. Oppikirjoissa ei kuitenkaan selitetä, miksi säännöt ovat sellaisia ​​kuin ne ovat. Muistimme - siinä se, emmekä enää kysy kysymystä.

Ja kysytään...

Kauan sitten ihmiset tunsivat vain luonnolliset luvut: 1, 2, 3, ... Niitä käytettiin laskemaan välineitä, saalista, vihollisia jne. Mutta itse luvut ovat melko hyödyttömiä - sinun on osattava käsitellä niitä. Yhteenlasku on selkeää ja ymmärrettävää, ja lisäksi kahden luonnollisen luvun summa on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu yhteenlaskuoperaatiossa). Kertominen on itse asiassa sama summa, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä teemme usein näihin kahteen operaatioon liittyviä toimia (esimerkiksi ostoksia tehdessämme lisäämme ja kerromme), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat niitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi yhteen- ja kertolaskua hyvin pitkään. sitten. Usein on tarpeen jakaa yksi määrä toisella, mutta tässä tulosta ei aina ilmaista luonnollisella luvulla - näin murtoluvut ilmestyivät.

Vähennys on tietysti myös välttämätöntä. Mutta käytännössä meillä on tapana vähentää pienempi luku suuremmasta, eikä negatiivisia lukuja tarvitse käyttää. (Jos minulla on 5 karkkia ja annan 3 siskolleni, minulla on 5 - 3 = 2 karkkia, mutta en voi antaa hänelle 7 karkkia kaikesta halustani.) Tämä voi selittää, miksi ihmiset eivät käyttäneet negatiivisia lukuja pitkään aikaan.


Negatiiviset numerot esiintyvät Intian asiakirjoissa 7. vuosisadalta jKr. kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä vähän aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen selvittämiseen tai välilaskuissa yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi - se oli vain väline myönteisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset, eivät ilmaise minkään kokonaisuuden läsnäoloa, herätti vahvaa epäluottamusta. Ihmiset sanan kirjaimellisessa merkityksessä välttelivät negatiivisia lukuja: jos ongelma sai kielteisen vastauksen, he uskoivat, ettei vastausta ollut ollenkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin pitkään, ja jopa Descartes, yksi modernin matematiikan "perustajista", kutsui niitä "vääriksi" (1600-luvulla!).

Harkitse esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 \u003d 2x - 2. Se voidaan ratkaista seuraavasti: siirrä termit tuntemattomalla vasemmalle puolelle ja loput oikealle, saat 7x - 2x \u003d 17 - 2 , 5x \u003d 15, x \u003d 3. Tällä emme löytäneet ratkaisussa edes negatiivisia lukuja.

Mutta se olisi voitu tehdä toisin: siirrä termit tuntemattomilla oikealle puolelle ja saat 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Tuntemattoman löytämiseksi sinun on jaettava yksi negatiivinen luku toisella: x = (-15)/(-5). Mutta oikea vastaus tiedetään, ja on vielä pääteltävä, että (-15)/(-5) = 3.

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin tulee selväksi logiikka, joka määritti negatiivisten lukujen toimien säännöt: näiden toimien tulosten on vastattava vastauksia, jotka on saatu eri tavalla, ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon ikävästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suurella määrällä termejä) ratkaisupolun etsimisestä, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisille luvuille. Lisäksi emme voi enää joka kerta ajatella muunnettavien suureiden mielekkyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Negatiivisia lukuja koskevia toimia koskevia sääntöjä ei muodostettu heti, vaan niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Yleisesti ottaen matematiikan kehitys voidaan jakaa ehdollisesti vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uudella abstraktiotasolla objektien tutkimuksessa. Joten 1800-luvulla matemaatikot ymmärsivät, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on kaikista ulkoisista eroistaan ​​huolimatta paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Nämä operaatiot noudattavat samoja lakeja - sekä lukujen että polynomien tapauksessa. Mutta kokonaislukujen jakaminen keskenään niin, että tuloksena saadaan jälleen kokonaislukuja, ei ole aina mahdollista. Sama pätee polynomeihin.

Sitten löydettiin muita matemaattisten objektien kokoelmia, joille tällaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa: muodolliset potenssisarjat, jatkuvat funktiot ... Lopulta tuli ymmärrys, että jos tutkii itse operaatioiden ominaisuuksia, niin tuloksia voidaan soveltaa kaikkiin näihin. esinekokoelmia (tämä lähestymistapa on tyypillinen kaikelle modernille matematiikalle).

Tämän seurauksena ilmestyi uusi konsepti: sormus. Se on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Perussäännöt ovat tässä vain sääntöjä (niitä kutsutaan aksioomiksi), jotka ovat toimien alaisia, eivätkä joukon elementtien luonnetta (tässä se on abstraktion uusi taso!). Halutaen korostaa, että juuri aksioomien käyttöönoton jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä, matemaatikot sanovat: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voidaan johtaa muita renkaiden ominaisuuksia.

Muotoilemme renkaan aksioomit (jotka ovat tietysti samanlaisia ​​kuin kokonaislukuoperaatioiden säännöt), ja sitten todistamme, että missä tahansa renkaassa miinuksen kertominen miinuksella johtaa plussaan.

Rengas on joukko kahdella binäärioperaatiolla (eli jokaisessa operaatiossa on mukana kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomat:

Rengaselementtien lisääminen noudattaa kommutatiivisia (A + B = B + A kaikille elementeille A ja B) ja kombinaatiolakeja (A + (B + C) = (A + B) + C); renkaassa on erityinen elementti 0 (lisäneutraali) siten, että A + 0 = A, ja mille tahansa A:n elementille on vastakkainen elementti (merkitty (-A)) siten, että A + (-A) = 0;
- kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A (B C) = (A B) C;
yhteen- ja kertolasku liittyvät toisiinsa seuraavilla hakasulkeiden laajennussäännöillä: (A + B) C = A C + B C ja A (B + C) = A B + A C.

Huomaamme, että yleisimmässä rakenteessa renkaat eivät vaadi kertomista ollakseen muuttuvia, eikä se ole käännettävissä (eli ei aina ole mahdollista jakaa), eikä se vaadi yksikön, neutraalin elementin olemassaoloa. kertomisen suhteen. Jos nämä aksioomit otetaan käyttöön, saadaan muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki renkaille todistetut lauseet ovat totta niissä.

Todistakaamme nyt, että mielivaltaisen renkaan mille tahansa elementille A ja B ensinnäkin (-A) B = -(A B) ja toiseksi (-(-A)) = A. Tämä tarkoittaa helposti lauseita yksiköistä: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 ja (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Tätä varten meidän on vahvistettava joitain tosiasioita. Ensin todistetaan, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Olkoonkin elementillä A kaksi vastakkaista: B ja C. Eli A + B = 0 = A + C. Tarkastellaan summaa A + B + C. Assosiatiivisia ja kommutatiivisia lakeja sekä nollan ominaisuutta käyttämällä saada, että toisaalta summa on yhtä suuri kuin B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja toisaalta se on yhtä suuri kuin C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Näin ollen B = C.

Huomaa nyt, että sekä A että (-(-A)) ovat saman elementin (-A) vastakohtia, joten niiden on oltava yhtä suuret.

Ensimmäinen tosiasia saadaan seuraavasti: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, eli (-A) B on vastakohta A B:lle, joten se on yhtä kuin -(A B) ).

Ollaksemme matemaattisesti tarkkoja, selitetään myös, miksi 0·B = 0 mille tahansa B:n alkiolle. Todellakin, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Eli 0 B:n lisääminen ei muuta summaa. Tämä tuote on siis nolla.

Ja se tosiasia, että renkaassa on täsmälleen yksi nolla (aksioomit sanovat, että sellainen elementti on olemassa, mutta sen ainutlaatuisuudesta ei sanota mitään!), jätämme lukijalle yksinkertaisena harjoituksena.

Jevgeni Epifanov

Miinus ja plus ovat merkkejä negatiivisista ja positiivisista luvuista matematiikassa. He ovat vuorovaikutuksessa itsensä kanssa eri tavoin, joten suoritettaessa mitä tahansa toimintoja numeroilla, esimerkiksi jako, kertominen, vähennys, yhteenlasku jne., on otettava huomioon allekirjoittaa säännöt. Ilman näitä sääntöjä et koskaan pysty ratkaisemaan edes yksinkertaisinta algebrallista tai geometrista ongelmaa. Ilman näiden sääntöjen tuntemusta et voi opiskella paitsi matematiikkaa, myös fysiikkaa, kemiaa, biologiaa ja jopa maantiedettä.

Tarkastellaanpa yksityiskohtaisemmin merkkien perussääntöjä.

Division.

Jos jaamme "plussan" "miinuksella", saamme aina "miinuksen". Jos jaamme "miinuksen" "plussalla", saamme aina myös "miinuksen". Jos jaamme "plus":n "plussalla", saamme "plussan". Jos jaamme "miinuksen" "miinuksella", niin kummallista kyllä, saamme myös "plussin".

Kertominen.

Jos kerromme "miinus" ja "plus", saamme aina "miinus". Jos kerromme "plussan" "miinuksella", saamme aina myös "miinuksen". Jos kerromme "plus":lla "plus", saamme positiivisen luvun, eli "plus". Sama koskee kahta negatiivista lukua. Jos kerromme "miinus" "miinus", saamme "plus".

Vähennys ja yhteenlasku.

Ne perustuvat muihin periaatteisiin. Jos negatiivinen luku on absoluuttisesti suurempi kuin positiivinen lukumme, tulos on tietysti negatiivinen. Varmasti ihmettelet, mikä moduuli on ja miksi se ylipäätään on täällä. Kaikki on hyvin yksinkertaista. Modulus on luvun arvo, mutta ilman etumerkkiä. Esimerkiksi -7 ja 3. Modulo -7 on vain 7 ja 3 pysyy 3:na. Tämän seurauksena näemme, että 7 on suurempi, eli käy ilmi, että negatiivinen lukumme on suurempi. Joten se tulee ulos -7 + 3 \u003d -4. Se voidaan tehdä vielä helpommaksi. Laita vain positiivinen luku ensin, ja 3-7 = -4 tulee ulos, ehkä se on jollekin ymmärrettävämpää. Vähennys toimii täsmälleen samalla tavalla.

Vahvistaa kykyä kertoa luonnollisia lukuja, tavallisia ja desimaalilukuja;

Opi kertomaan positiiviset ja negatiiviset luvut;

Kehitä kykyä työskennellä ryhmässä

Kehittää uteliaisuutta, kiinnostusta matematiikkaa kohtaan; kyky ajatella ja puhua aiheesta.

Laitteet: lämpömittareiden ja talojen mallit, kortit henkiseen laskemiseen ja testityöhön, juliste, jossa on kertolaskumerkkien säännöt.

Motivaatio

Opettaja . Tänään aletaan tutkia uutta aihetta. Aiomme rakentaa uutta taloa. Kerro minulle, mikä määrittää talon vahvuuden?

Tarkastetaan nyt, mikä on perustamme, eli tietomme vahvuus. En kertonut sinulle oppitunnin aihetta. Se on koodattu, toisin sanoen piilotettu suullisen laskennan tehtävään. Ole tarkkaavainen ja tarkkaavainen. Tässä kortit esimerkkeineen. Ratkaisemalla ne ja yhdistämällä kirjaimen vastaukseen saat selville oppitunnin aiheen nimen.

Opettaja. Joten tuo sana on kertolasku. Mutta kertolasku on meille jo tuttu. Miksi meidän pitää opiskella sitä? Mitä numeroita olet tavannut viime aikoina?

[Positiivisella ja negatiivisella.]

Voimmeko monistaa ne? Siksi oppitunnin aihe on "Positiivisten ja negatiivisten lukujen kertominen".

Ratkaisit esimerkit nopeasti ja oikein. Hyvä perusta on luotu. ( Opettaja mallitalossa « asettaa» perusta.) Uskon, että talo on kestävä.

Uutta aihetta tutkimassa

Opettaja . Nyt rakennetaan seiniä. Ne yhdistävät lattian ja katon, eli vanhan teeman uuteen. Nyt työskentelet ryhmissä. Jokaiselle ryhmälle annetaan ongelma ratkaistavaksi yhdessä ja selitetään sitten ratkaisu luokalle.

1. ryhmä

Ilman lämpötila laskee 2 astetta joka tunti. Nyt lämpömittari näyttää nollaa. Mitä lämpötilaa se näyttää 3 tunnin kuluttua?

Ryhmäpäätös. Koska lämpötila on nyt 0 ja joka tunti lämpötila laskee 2°, on selvää, että 3 tunnin kuluttua lämpötila on -6°. Merkitään lämpötilan laskua -2° ja aikaa +3 tuntia. Silloin voidaan olettaa, että (–2) 3 = –6.

Opettaja . Ja mitä tapahtuu, jos järjestän tekijät uudelleen, eli 3 (–2)?

Opiskelijat. Vastaus on sama: -6, koska käytetään kertolaskuominaisuutta.

Ilman lämpötila laskee 2 astetta joka tunti. Nyt lämpömittari näyttää nollaa. Mitä ilman lämpötilaa lämpömittari näytti 3 tuntia sitten?

Ryhmäpäätös. Koska lämpötila laski 2° joka tunti, ja nyt se on 0, on selvää, että 3 tuntia sitten oli +6°. Merkitään lämpötilan laskua -2° ja kulunutta aikaa -3 tuntia. Sitten voidaan olettaa, että (–2) (–3) = 6.

Opettaja . Et vielä osaa kertoa positiivisia ja negatiivisia lukuja. Mutta he ratkaisivat ongelmia, joissa oli tarpeen kertoa tällaiset numerot. Yritä itse johtaa säännöt positiivisten ja negatiivisten lukujen, kahden negatiivisen luvun kertomiseen. ( Oppilaat yrittävät selvittää sääntöä.) Hyvä. Nyt avataan oppikirjat ja luetaan säännöt positiivisten ja negatiivisten lukujen kertomisesta. Vertaa sääntöäsi siihen, mitä oppikirjassa on kirjoitettu.

Sääntö 1 Jos haluat kertoa kaksi numeroa eri merkillä, sinun on kerrottava näiden numeroiden moduulit ja asetettava "-" -merkki tuloksena olevan tuotteen eteen.

Sääntö 2. Jos haluat kertoa kaksi numeroa samoilla merkeillä, sinun on kerrottava näiden numeroiden moduulit ja asetettava "+" -merkki tuloksena olevan tuotteen eteen.

Opettaja. Kuten näit perustusta rakentaessasi, sinulla ei ole ongelmaa kertoa luonnollisia ja murtolukuja. Ongelmia voi syntyä kertomalla positiivisia ja negatiivisia lukuja. Miksi?

Muistaa! Kun kerrotaan positiiviset ja negatiiviset luvut:

1) määrittää merkki;
2) etsi moduulien tulo.

Opettaja . Kertoliemelle on olemassa muistosäännöt, jotka on erittäin helppo muistaa. Lyhyesti ne on muotoiltu seuraavasti:

"+" "+" \u003d "+" - plus plussalla antaa plussan;
"-" "+" = "-" - miinus plus antaa miinuksen;
"+" "-" \u003d "-" - plus miinus antaa miinuksen;
“–” · “–” = “+” - miinus kertaa miinus antaa plussan.

(Oppilaat kirjoittavat muistivihkoon merkkien säännön.)

Opettaja . Jos pidämme itseämme ja ystäviämme positiivisina ja vihollisiamme negatiivisina, voimme sanoa tämän:

Ystäväni ystävä on minun ystäväni.
Ystäväni vihollinen on viholliseni.
Viholliseni ystävä on viholliseni.
Viholliseni vihollinen on ystäväni.

Opiskelun ensisijainen ymmärtäminen ja soveltaminen

Esimerkkejä oraaliliuoksesta taululla. Oppilaat sanovat säännön:

Opettaja . Selvä? Ei kysymyksiä? Seinät on siis rakennettu. ( Opettaja pystyttää seinät.) Mitä nyt rakennamme?

(Neljä opiskelijaa kutsutaan lautakunnalle.)

Opettaja. Onko katto valmis?

(Opettaja laittaa mallitalolle katon.)

Oppilaat suorittavat työn yhdessä versiossa.

Työn suoritettuaan he vaihtavat muistikirjoja naapurin kanssa. Opettaja raportoi oikeat vastaukset ja opiskelijat antavat arvosanat toisilleen.

Yhteenveto oppitunnista. Heijastus

Opettaja. Mikä oli tavoitteemme oppitunnin alussa? Oletko oppinut kertomaan positiiviset ja negatiiviset luvut? ( He toistavat sääntöjä.) Kuten näit tällä oppitunnilla, jokainen uusi aihe on talo, jota on rakennettava pääomallisesti vuosia. Muuten kaikki rakennuksesi romahtavat lyhyen ajan kuluttua. Siksi kaikki riippuu sinusta. Toivon, kaverit, että onni hymyilee sinulle aina, menestystä tiedon hallitsemisessa.

Allekirjoita säännöt

allekirjoittaa säännöt

Tarkastellaanpa yksityiskohtaisemmin merkkien perussääntöjä.

Jos jaamme "plussan" "miinuksella", saamme aina "miinuksen". Jos jaamme "miinuksen" "plussalla", saamme aina myös "miinuksen". Jos jaamme "plus":n "plussalla", saamme "plussan". Jos jaamme "miinuksen" "miinuksella", niin kummallista kyllä, saamme myös "plussin".

Jos kerromme "miinus" ja "plus", saamme aina "miinus". Jos kerromme "plussan" "miinuksella", saamme aina myös "miinuksen". Jos kerromme "plus":lla "plus", saamme positiivisen luvun, eli "plus". Sama koskee kahta negatiivista lukua. Jos kerromme "miinus" "miinus", saamme "plus".

Ne perustuvat muihin periaatteisiin. Jos negatiivinen luku on absoluuttisesti suurempi kuin positiivinen lukumme, tulos on tietysti negatiivinen. Varmasti ihmettelet, mikä moduuli on ja miksi se ylipäätään on täällä. Kaikki on hyvin yksinkertaista. Modulus on luvun arvo, mutta ilman etumerkkiä. Esimerkiksi -7 ja 3. Modulo -7 on vain 7 ja 3 pysyy 3:na. Tämän seurauksena näemme, että 7 on suurempi, eli käy ilmi, että negatiivinen lukumme on suurempi. Joten se tulee ulos -7 + 3 \u003d -4. Se voidaan tehdä vielä helpommaksi. Laita vain positiivinen luku ensin, ja 3-7 = -4 tulee ulos, ehkä se on jollekin ymmärrettävämpää. Vähennys toimii täsmälleen samalla tavalla.

Miksi miinus kertaa miinus on yhtä suuri kuin plus?

"Viholliseni vihollinen on ystäväni."

Kauan sitten ihmiset tunsivat vain luonnolliset luvut: 1, 2, 3, . Niitä käytettiin laskemaan astioita, ryöstöä, vihollisia jne. Mutta itse numerot ovat melko hyödyttömiä - sinun täytyy pystyä käsittelemään niitä. Yhteenlasku on selkeää ja ymmärrettävää, lisäksi kahden luonnollisen luvun summa on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu summausoperaatiossa). Kertominen on itse asiassa sama summa, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä teemme usein näihin kahteen operaatioon liittyviä toimia (esimerkiksi ostoksia tehdessämme lisäämme ja kerromme), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat niitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi yhteen- ja kertolaskua hyvin pitkään. sitten. Usein on tarpeen jakaa yksi määrä toisella, mutta tässä tulosta ei aina ilmaista luonnollisena lukuna - näin murtoluvut ilmestyivät.

Negatiiviset numerot esiintyvät Intian asiakirjoissa 7. vuosisadalta jKr. kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä vähän aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen selvittämiseen tai välilaskuissa yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi - se oli vain väline myönteisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset, eivät ilmaise minkään kokonaisuuden läsnäoloa, herätti vahvaa epäluottamusta. Ihmiset sanan kirjaimellisessa merkityksessä välttelivät negatiivisia lukuja: jos ongelma sai kielteisen vastauksen, he uskoivat, ettei vastausta ollut ollenkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin pitkään, ja jopa Descartes - yksi modernin matematiikan "perustajista" - kutsui niitä "vääriksi" (1600-luvulla!).

7x - 17 = 2x - 2. Se voidaan ratkaista näin: siirrä termit tuntemattomalla vasemmalle puolelle ja loput oikealle, niin käy 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Mutta sen voisi vahingossa tehdä toisin: siirtää termit tuntemattomalla oikealle puolelle ja saada 2-17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5)x. Tuntemattoman löytämiseksi sinun on jaettava yksi negatiivinen luku toisella: x = (–15)/(–5). Mutta oikea vastaus tiedetään, ja se on vielä pääteltävä (–15)/(–5) = 3 .

. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon ikävästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suurella määrällä termejä) ratkaisupolun etsimisestä, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisille luvuille. Lisäksi emme voi enää joka kerta ajatella muunnettavien suureiden mielekkyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Negatiivisia lukuja koskevia toimia koskevia sääntöjä ei muodostettu heti, vaan niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Yleisesti ottaen matematiikan kehitys voidaan jakaa ehdollisesti vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uudella abstraktiotasolla objektien tutkimuksessa. Joten 1800-luvulla matemaatikot ymmärsivät, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on kaikista ulkoisista eroistaan ​​huolimatta paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Nämä operaatiot noudattavat samoja lakeja - sekä lukujen että polynomien tapauksessa. Mutta kokonaislukujen jakaminen keskenään niin, että tuloksena saadaan jälleen kokonaislukuja, ei ole aina mahdollista. Sama pätee polynomeihin.

rengas aksioomia

rengas

• A + B = B + A mille tahansa elementille A ja B) ja assosiatiivinen ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, ja mille tahansa elementille A (-A)), mitä A + (–A) = 0 ;
• kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A (B C) = (A B) C ;

Huomaa, että renkaat eivät yleisimmässä rakenteessa vaadi kertomista ollakseen muuttuvia, eikä se ole käännettävissä (eli ei aina ole mahdollista jakaa), eikä se vaadi yksikön olemassaoloa - neutraali elementti suhteessa. kertomiseen. Jos nämä aksioomit otetaan käyttöön, saadaan muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki renkaille todistetut lauseet ovat totta niissä.

A on kaksi vastakohtaa: B ja FROM. Tuo on A + B = 0 = A + C. Harkitse summaa A+B+C B: C: . tarkoittaa, B=C .

Pankaamme nyt merkille se A, ja (–(–A)) (-A)

Ensimmäinen tosiasia saadaan seuraavasti: eli (–A) B vastapäätä A B, joten se on yhtä suuri kuin – (A B) .

0 B = 0 mille tahansa elementille B. Todellakin, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Eli lisäys 0 B

Säännöt miinuksen kertomisesta miinuksella





Pienellä venyttelyllä sama selitys sopii tuotteelle 1-5, jos oletetaan, että yksittäisen "summa"

termi on sama kuin tämä termi. Mutta tuloa 0 5 tai (-3) 5 ei voi selittää tällä tavalla: mitä tarkoittaa nollan tai miinus kolmen termin summa?

Tekijöitä on kuitenkin mahdollista järjestää uudelleen

Jos haluamme, että tulo ei muutu, kun tekijät järjestetään uudelleen - kuten se oli positiivisten lukujen kohdalla - meidän on siten oletettava, että

Siirrytään nyt tuotteeseen (-3) (-5). Mitä se on: -15 tai +15? Molemmat vaihtoehdot ovat järkeviä. Toisaalta miinus yhdessä tekijässä tekee tuotteesta jo negatiivisen - sitäkin enemmän sen pitäisi olla negatiivinen, jos molemmat tekijät ovat negatiivisia. Toisaalta taulukossa. 7:llä on jo kaksi miinusta, mutta vain yksi plus, ja "melko" (-3)-(-5) on +15. Joten mitä pidät parempana?



Tietenkään tällaiset keskustelut eivät hämmenny: koulun matematiikan kurssista opit lujasti, että miinus miinuksella antaa plussan. Mutta kuvittele, että nuorempi veljesi tai sisaresi kysyy sinulta: miksi? Mikä se on - opettajan mielijohteesta, viittauksesta korkeampiin auktoriteettiin vai lause, joka voidaan todistaa?

Yleensä negatiivisten lukujen kertomista koskeva sääntö selitetään taulukossa esitetyn kaltaisilla esimerkeillä. kahdeksan.



Se voidaan selittää toisella tavalla. Kirjoitetaan numerot peräkkäin

Nyt kirjoitetaan samat luvut kerrottuna 3:lla:

On helppo nähdä, että jokainen luku on 3 enemmän kuin edellinen. Kirjoitetaan nyt samat luvut käänteisessä järjestyksessä (alkaen esimerkiksi 5:stä ja 15:stä):



Samaan aikaan numero -15 osoittautui luvun -5 alle, joten 3 (-5) \u003d -15: plus miinuksella antaa miinuksen.

Toistetaan nyt sama toimenpide kertomalla luvut 1,2,3,4,5. -3:lla (tiedämme jo, että plus kertaa miinus on yhtä suuri kuin miinus):

Jokainen alarivin seuraava numero on 3:lla pienempi kuin edellinen. Kirjoitetaan numerot käänteisessä järjestyksessä



Luku -5 osoittautui 15:ksi, joten (-3) (-5) = 15.

Ehkä nämä selitykset tyydyttäisivät nuoremman veljesi tai sisaresi. Mutta sinulla on oikeus kysyä, miten asiat todella ovat ja onko mahdollista todistaa, että (-3) (-5) = 15?

Vastaus tähän on, että voidaan todistaa, että (-3) (-5) on yhtä suuri kuin 15, jos vain haluamme, että tavanomaiset yhteen-, vähennys- ja kertolaskuominaisuudet pysyvät todellisina kaikille luvuille, myös negatiivisille luvuille. Tämän todisteen pääpiirteet ovat seuraavat.

Osoitetaan ensin, että 3 (-5) = -15. Mikä on -15? Tämä on 15:n vastakohta, eli luku, joka laskee yhteen 15:stä nollaan. Meidän on siis todistettava, että

(Sulkeissa 3 olemme käyttäneet distributiivista lakia ab + ac = a(b + c) -oletamme sen olevan totta kaikille luvuille, myös negatiivisille.) Joten, (Huolellinen lukija kysyy meiltä Miksi. Myönnämme rehellisesti: tämän tosiasian todistamisen - kuten keskustelun siitä, mikä nolla on yleensä - ohitamme.)

Todistakaamme nyt, että (-3) (-5) = 15. Tätä varten kirjoitamme



ja kerro yhtälön molemmat puolet arvolla -5:

Avataan vasemmalla puolella olevat sulut:

eli (-3) (-5) + (-15) = 0. Luku on siis luvun -15 vastakohta, eli yhtä suuri kuin 15. (Tässä päättelyssä on myös aukkoja: olisi tarpeen todistaa, että ja että -15:tä vastapäätä on vain yksi luku.)

Negatiivinen sääntö. Miksi miinus kertaa miinus on yhtä suuri kuin plus

Kun kuuntelee matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat näkevät materiaalin aksioomana. Samaan aikaan harvat yrittävät päästä pohjaan ja selvittää, miksi "miinus" - "plus" antaa "miinus"-merkin, ja kun kerrotaan kaksi negatiivista lukua, positiivinen tulee ulos.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapsilleen, miksi näin tapahtuu. He olivat oppineet tämän materiaalin perusteellisesti koulussa, mutta he eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt ovat peräisin. Mutta turhaan. Usein nykylapset eivät ole niin herkkäuskoisia, heidän on päästävä asian ytimeen ja ymmärrettävä esimerkiksi, miksi "plus" miinuksen kohdalla antaa "miinuksen". Ja joskus pojat kysyvät tarkoituksella hankalia kysymyksiä nauttiakseen hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on todella katastrofi, jos nuori opettaja joutuu sotkuun.

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta "-" -merkillä, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakoa. Jos yksi luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-"-merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on tarpeen muotoilla renkaan aksioomat. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa on tapana kutsua rengasta joukkoa, jossa on mukana kaksi operaatiota kahdella elementillä. Mutta on parempi ymmärtää tämä esimerkin avulla.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V = V + C.
• Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei kumonnut sääntöjä, joilla sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisäksi on todettu, että renkaaseen voidaan lisätä erityinen, additioneutraali elementti, jota käyttämällä tulee totta: C + 0 = C. Lisäksi jokaiselle C:lle on vastakkainen elementti, joka voi merkitään (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Hyväksymällä yllä olevat lausunnot voimme vastata kysymykseen: "" Plus "on" miinus "antaa minkä merkin?" Kun tiedetään negatiivisten lukujen kertolaskua koskeva aksiooma, on tarpeen varmistaa, että todellakin (-C) x V = -(C x V). Ja myös, että seuraava yhtälö on totta: (-(-C)) = C.

Tätä varten meidän on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa todisteesimerkkiä. Yritetään kuvitella, että kaksi lukua ovat vastakkaisia ​​C - V:lle ja D:lle. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. Siirtymälakien muistaminen ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä hyväksyttiin, on yhtä suuri kuin 0. Siten V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi kuitenkin "plus" "miinuksen" kohdalla antaa "miinuksen", sinun on ymmärrettävä seuraava. Eli elementin (-C) vastakohdat ovat C ja (-(-C)), eli ne ovat keskenään yhtä suuret.

Silloin on selvää, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on vastakohta (-) C x V:lle , mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen varmistaa, että 0 x V = 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tulon 0 x V lisääminen ei muuta asetettua määrää millään tavalla. Loppujen lopuksi tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomit, on mahdollista päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antaa, vaan myös mitä tapahtuu, kun negatiiviset luvut kerrotaan.

Kahden luvun kerto- ja jakolasku "-"-merkillä

Jos et syvenny matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää selittää toimintasäännöt negatiivisilla luvuilla yksinkertaisemmalla tavalla.

Oletetaan, että C - (-V) = D, tämän perusteella C = D + (-V), eli C = D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V = D. Eli C + V = C- (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi muuttaa "plussiksi". Nyt käsitellään kertolaskua.

(-C) x (-V) \u003d D, lausekkeeseen voidaan lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta, mikä ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voimme todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakamisen tulos on positiivinen.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tällainen selitys ei tietenkään sovi alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä katselasin läpi. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta ei olemassa olevat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden lasiesineen kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan nykyhetkeen, eli tuloksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät yritä liian lujasti sukeltaa kaikkiin matemaattisiin vivahteisiin.

Vaikka jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkea-asteen koulutuksen saaneille, monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä sitä, mitä heidän opettajansa heille opettavat, eikä heillä ole vaikeuksia sukeltaa matematiikan monimutkaisuuteen. "Miinus" miinuksella antaa "plussan" - kaikki tietävät tämän poikkeuksetta. Tämä koskee sekä kokonaislukuja että murtolukuja.

Miinus ja plus ovat merkkejä negatiivisista ja positiivisista luvuista matematiikassa. He ovat vuorovaikutuksessa itsensä kanssa eri tavoin, joten suoritettaessa mitä tahansa toimintoja numeroilla, esimerkiksi jako, kertominen, vähennys, yhteenlasku jne., on otettava huomioon allekirjoittaa säännöt. Ilman näitä sääntöjä et koskaan pysty ratkaisemaan edes yksinkertaisinta algebrallista tai geometrista ongelmaa. Ilman näiden sääntöjen tuntemusta et voi opiskella paitsi matematiikkaa, myös fysiikkaa, kemiaa, biologiaa ja jopa maantiedettä.

Vähennys ja yhteenlasku.

Kaksi negatiivista tekee myöntävän- Tämä on sääntö, jonka opimme koulussa ja sovellamme koko elämämme. Kuka meistä ihmetteli miksi? Tietenkin on helpompi muistaa tämä lausunto ilman lisäkysymyksiä ja olla syventämättä asian ydintä. Nyt on jo tarpeeksi tietoa, joka on "sulatettava". Mutta niille, jotka ovat edelleen kiinnostuneita tästä kysymyksestä, yritämme selittää tämän matemaattisen ilmiön.

Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat käyttäneet positiivisia luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nautakarja, viljat, viholliset jne. laskettiin numeroiden avulla. Kun lasketaan yhteen ja kerrotaan kaksi positiivista lukua, ne saivat aina positiivisen luvun, kun jaettuna joitain määriä toisilla, he eivät aina saaneet luonnollisia lukuja - näin murtoluvut ilmestyivät. Entä vähennys? Lapsuudesta lähtien tiedämme, että on parempi lisätä pienempi suurempaan ja vähentää pienempi suuresta, kun taas emme käytä negatiivisia lukuja. Osoittautuu, että jos minulla on 10 omenaa, voin antaa jollekin vain alle 10 tai 10. En voi antaa 13 omenaa, koska minulla ei ole yhtään. Negatiivisia lukuja ei tarvittu pitkään aikaan.

Vasta 700-luvulta jKr. negatiivisia lukuja käytettiin joissakin laskentajärjestelmissä apuarvoina, mikä mahdollisti positiivisen luvun saamisen vastaukseen.

Harkitse esimerkkiä, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Vastauksen löytämiseksi on välttämätöntä jättää termit tuntemattomilla vasemmalle puolelle ja loput oikealle: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kun ratkaisemme tämän yhtälön, meillä ei edes ole negatiivisia lukuja. Voisimme siirtää termejä, joissa on tuntemattomia oikealle puolelle ja ilman tuntemattomia - vasemmalle: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kun jaetaan negatiivinen luku negatiivisella, saadaan positiivinen vastaus: x \u003d 7.

Negatiivisia lukuja sisältävien toimien pitäisi johtaa meidät samaan vastaukseen kuin toimien, joissa on vain positiivisia lukuja. Emme voi enää ajatella toimien käytännön sopimattomuutta ja mielekkyyttä - ne auttavat ratkaisemaan ongelman paljon nopeammin, ilman, että yhtälöä pelkistetään muotoon vain positiivisilla luvuilla. Esimerkissämme emme käyttäneet monimutkaisia ​​laskelmia, mutta suurella termillä laskelmat negatiivisilla luvuilla voivat helpottaa työtämme.

Ajan mittaan pitkien kokeiden ja laskelmien jälkeen oli mahdollista tunnistaa säännöt, joita kaikki numerot ja niihin liittyvät toimet noudattavat (matematiikassa niitä kutsutaan aksioomeiksi). Sieltä se tuli aksiooma, joka sanoo, että kun kerrot kaksi negatiivista lukua, saat positiivisen luvun.

www.sivusto, kopioitaessa materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

1) Miksi miinus yksi kertaa miinus yksi on plus yksi?
2) Miksi miinus yksi kertaa plus yksi on yhtä kuin miinus yksi?

"Viholliseni vihollinen on ystäväni."

Helpoin vastaus on: "Koska nämä ovat negatiivisten lukujen kanssa työskentelyn säännöt." Säännöt, joita opimme koulussa ja joita sovelletaan koko elämämme ajan. Oppikirjoissa ei kuitenkaan selitetä, miksi säännöt ovat sellaisia ​​kuin ne ovat. Yritämme ensin ymmärtää tämän aritmetiikan kehityshistoriasta, ja sitten vastaamme tähän kysymykseen modernin matematiikan näkökulmasta.

Kauan sitten ihmiset tunsivat vain luonnolliset luvut: 1, 2, 3, . Niitä käytettiin laskemaan välineitä, ryöstöä, vihollisia jne. Mutta itse numerot ovat melko hyödyttömiä - sinun täytyy osata käsitellä niitä. Yhteenlasku on selkeää ja ymmärrettävää, ja lisäksi kahden luonnollisen luvun summa on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu yhteenlaskuoperaatiossa). Kertominen on itse asiassa sama summa, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä teemme usein näihin kahteen operaatioon liittyviä toimia (esimerkiksi ostoksia tehdessämme lisäämme ja kerromme), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat niitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi yhteen- ja kertolaskua hyvin pitkään. sitten. Usein on tarpeen jakaa yksi määrä toisella, mutta tässä tulosta ei aina ilmaista luonnollisella luvulla - näin murtoluvut ilmestyivät.

Vähennys on tietysti myös välttämätöntä. Mutta käytännössä meillä on tapana vähentää pienempi luku suuremmasta, eikä negatiivisia lukuja tarvitse käyttää. (Jos minulla on 5 karkkia ja annan 3 siskolleni, minulla on 5 - 3 = 2 karkkia, mutta en voi antaa hänelle 7 karkkia kaikesta halustani.) Tämä voi selittää, miksi ihmiset eivät käyttäneet negatiivisia lukuja pitkään aikaan.

Negatiiviset numerot esiintyvät Intian asiakirjoissa 7. vuosisadalta jKr. kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä vähän aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen selvittämiseen tai välilaskuissa yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi - se oli vain väline myönteisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset, eivät ilmaise minkään kokonaisuuden läsnäoloa, herätti vahvaa epäluottamusta. Ihmiset sanan kirjaimellisessa merkityksessä välttelivät negatiivisia lukuja: jos ongelma sai kielteisen vastauksen, he uskoivat, ettei vastausta ollut ollenkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin pitkään, ja jopa Descartes, yksi modernin matematiikan "perustajista", kutsui niitä "vääriksi" (1600-luvulla!).

Harkitse esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 = 2x - 2. Se voidaan ratkaista näin: siirrä termit tuntemattomalla vasemmalle puolelle ja loput oikealle, niin käy 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Tällä ratkaisulla emme edes tavanneet negatiivisia lukuja.

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin tulee selväksi logiikka, joka määritti negatiivisten lukujen toimien säännöt: näiden toimien tulosten on vastattava vastauksia, jotka on saatu eri tavalla, ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon ikävästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suurella määrällä termejä) ratkaisupolun etsimisestä, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisille luvuille. Lisäksi emme voi enää joka kerta ajatella muunnettavien suureiden mielekkyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Negatiivisia lukuja koskevia toimia koskevia sääntöjä ei muodostettu heti, vaan niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Yleisesti ottaen matematiikan kehitys voidaan jakaa ehdollisesti vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uudella abstraktiotasolla objektien tutkimuksessa. Joten 1800-luvulla matemaatikot ymmärsivät, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on kaikista ulkoisista eroistaan ​​huolimatta paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Nämä operaatiot noudattavat samoja lakeja - sekä lukujen että polynomien tapauksessa. Mutta kokonaislukujen jakaminen keskenään niin, että tuloksena saadaan jälleen kokonaislukuja, ei ole aina mahdollista. Sama pätee polynomeihin.

Sitten löydettiin muita matemaattisten objektien kokoelmia, joille voidaan suorittaa tällaisia ​​​​toimintoja: muodollinen potenssisarja, jatkuvat funktiot. Lopulta tuli ymmärrys, että jos tutkii itse operaatioiden ominaisuuksia, niin tuloksia voidaan sitten soveltaa kaikkiin näihin objektikokoelmiin (tämä lähestymistapa on tyypillinen kaikelle nykyaikaiselle matematiikalle).

Tämän seurauksena ilmestyi uusi konsepti: rengas. Se on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Perussäännöt tässä ovat vain sääntöjä (niitä kutsutaan aksioomia), joille teot ovat alaisia, eivät joukon elementtien luonne (tässä se on, abstraktion uusi taso!). Halutaen korostaa, että juuri aksioomien käyttöönoton jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä, matemaatikot sanovat: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voidaan johtaa muita renkaiden ominaisuuksia.

Muotoilemme renkaan aksioomit (jotka ovat tietysti samanlaisia ​​kuin kokonaislukuoperaatioiden säännöt), ja sitten todistamme, että missä tahansa renkaassa miinuksen kertominen miinuksella johtaa plussaan.

rengas on joukko kahdella binäärioperaatiolla (eli jokaisessa operaatiossa on mukana kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomit:

• rengaselementtien lisäys noudattaa kommutatiivista ( A + B = B + A mille tahansa elementille A ja B) ja assosiatiivinen ( A + (B + C) = (A + B) + C) lait; rengas sisältää erikoiselementin 0 (lisäyksenä neutraali elementti) siten, että A + 0 = A, ja mille tahansa elementille A on vastakkainen elementti (merkitty (-A)), mitä A + (–A) = 0 ;
• yhteen- ja kertolasku liittyvät seuraaviin sulkeisiin laajennussäännöihin: (A + B) C = A C + B C ja A (B + C) = A B + A C .

Huomaamme, että yleisimmässä rakenteessa renkaat eivät vaadi kertomista ollakseen muuttuvia, eikä se ole käännettävissä (eli ei aina ole mahdollista jakaa), eikä se vaadi yksikön, neutraalin elementin olemassaoloa. kertomisen suhteen. Jos nämä aksioomit otetaan käyttöön, saadaan muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki renkaille todistetut lauseet ovat totta niissä.

Todistamme sen nyt kaikille elementeille A ja B mielivaltainen rengas on totta, ensinnäkin (–A) B = – (A B), ja toiseksi (–(–A)) = A. Tästä seuraa helposti lausunnot yksiköistä: (–1) 1 = – (1 1) = –1 ja (–1) (–1) = – ((–1) 1) = – (–1) = 1 .

Tätä varten meidän on vahvistettava joitain tosiasioita. Ensin todistetaan, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Todellakin, anna elementin A on kaksi vastakohtaa: B ja FROM. Tuo on A + B = 0 = A + C. Harkitse summaa A+B+C. Käyttämällä assosiatiivisia ja kommutatiivisia lakeja sekä nollan ominaisuutta saadaan, että toisaalta summa on yhtä suuri B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja toisaalta se on yhtä suuri kuin C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. tarkoittaa, B=C .

Pankaamme nyt merkille se A, ja (–(–A)) ovat saman elementin vastakohtia (-A), joten niiden on oltava samanarvoisia.

Ensimmäinen fakta menee näin: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tuo on (–A) B vastapäätä A B, joten se on yhtä suuri kuin – (A B) .

Ollaksemme matemaattisesti tarkkoja, selitetään miksi 0 B = 0 mille tahansa elementille B. Todellakin, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Eli lisäys 0 B ei muuta määrää. Tämä tuote on siis nolla.

Ja se tosiasia, että renkaassa on täsmälleen yksi nolla (aksioomit sanovat, että sellainen elementti on olemassa, mutta sen ainutlaatuisuudesta ei sanota mitään!), jätämme lukijalle yksinkertaisena harjoituksena.