Järjestelmän yleinen ja erityinen ratkaisu. Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä? Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt, joissa on ääretön määrä ratkaisuja

Päätös. A= . Etsi r(A). Kuten matriisi A:lla on järjestys 3x4, silloin alaikäisten korkein järjestys on 3. Tässä tapauksessa kaikki kolmannen asteen alaikäiset ovat nolla (tarkista itse). Keinot, r(А)< 3. Возьмем главный alaikäinen = -5-4 = -9 ≠ 0. Siten r(A) =2.

Harkitse matriisi Kanssa = .

Pieni kolmas Tilaus ≠ 0. Näin ollen r(C) = 3.

Koska r(A) ≠ r(C) , järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Esimerkki 2 Selvitä yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus

Ratkaise tämä järjestelmä, jos se on yhteensopiva.

Päätös.

A = , C = . Ilmeisesti r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Koska detC = 0, niin r(C)< 4. Harkitse alaikäinen kolmas Tilaus, joka sijaitsee matriisin A ja C vasemmassa yläkulmassa: = -23 ≠ 0. Näin ollen r(A) = r(C) = 3.

Määrä tuntematon järjestelmässä n=3. Järjestelmällä on siis ainutlaatuinen ratkaisu. Tässä tapauksessa neljäs yhtälö on kolmen ensimmäisen summa, ja se voidaan jättää huomiotta.

Cramerin kaavojen mukaan saamme x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matriisimenetelmä. Gaussin menetelmä

järjestelmä n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntemattomat voidaan ratkaista matriisimenetelmä kaavan X \u003d A -1 B mukaisesti (jos Δ ≠ 0), joka saadaan kohdasta (2) kertomalla molemmat osat arvolla A -1 .

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

matriisimenetelmällä (kohdassa 2.2 tämä järjestelmä ratkaistiin käyttämällä Cramer-kaavoja)

Päätös. Δ = 10 ≠ 0 A = - ei-singulaarinen matriisi.

= (Varmista tämä itse tekemällä tarvittavat laskelmat).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Vastaus: .

Käytännön näkökulmasta matriisimenetelmä ja kaavat Kramer liittyvät suureen määrään laskentaa, joten etusija annetaan Gaussin menetelmä, joka koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta. Tätä varten yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaavaksi järjestelmäksi kolmiomaisella lisätyllä matriisilla (kaikki päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat nolla). Näitä toimia kutsutaan suoraksi liikkeeksi. Tuloksena olevasta kolmiojärjestelmästä muuttujat löydetään käyttämällä peräkkäisiä substituutioita (taaksepäin).

Esimerkki 2. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä

(Tämä järjestelmä on ratkaistu yllä käyttämällä Cramer-kaavaa ja matriisimenetelmää).

Päätös.

Suora liike. Kirjoitamme lisätyn matriisin ja saatamme sen kolmiomuotoon alkeismuunnoksilla:

~ ~ ~ ~ .

Saada järjestelmä

Käänteinen liike. Viimeisestä yhtälöstä löydämme X 3 = -6 ja korvaa tämä arvo toiseen yhtälöön:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Vastaus: .

2.5. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä = b i(i=). Olkoon r(A) = r(C) = r, ts. järjestelmä on yhteistyökykyinen. Mikä tahansa nollasta poikkeava molli kertaluvun r on alaikäinen. Yleisyyttä menettämättä oletetaan, että perusmolli sijaitsee matriisin A ensimmäisellä r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rivillä ja sarakkeella. Hylkäämällä järjestelmän viimeiset m-r-yhtälöt, kirjoitetaan lyhennetty järjestelmä:

joka vastaa alkuperäistä. Nimetään tuntemattomat x 1,….x r perus, ja x r +1 ,…, x r vapauta ja siirrä vapaat tuntemattomat sisältävät termit katkaistun järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle. Saamme järjestelmän perus tuntemattomien suhteen:

joka kullekin vapaiden tuntemattomien arvojoukolle x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r on ainoa ratkaisu x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), löydetty Cramerin säännöllä.

Sopiva ratkaisu lyhennetty, joten alkuperäisen järjestelmän muoto on:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - järjestelmän yleinen ratkaisu.

Jos yleisessä ratkaisussa vapaille tuntemattomille annetaan joitain numeerisia arvoja, niin saadaan lineaarisen järjestelmän ratkaisu, jota kutsutaan yksityiseksi.

Esimerkki. Luo yhteensopivuus ja löydä järjestelmän kokonaisratkaisu

Päätös. A = , С = .

Niin kuten r(A)= r(C) = 2 (katso itse), niin alkuperäinen järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on ääretön määrä ratkaisuja (koska r< 4).

Matriisimenetelmä SLAU:n ratkaisut käytetään ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä vastaa tuntemattomien määrää. Menetelmä soveltuu parhaiten matalan järjestyksen järjestelmien ratkaisemiseen. Matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi perustuu matriisin kertolaskujen ominaisuuksien soveltamiseen.

Tällä tavalla, toisin sanoen käänteismatriisimenetelmä, kutsutaan niin, koska ratkaisu pelkistetään tavalliseen matriisiyhtälöön, jonka ratkaisulle sinun on löydettävä käänteinen matriisi.

Matriisiratkaisumenetelmä SLAE, jonka determinantti on suurempi tai pienempi kuin nolla, on seuraava:

Oletetaan, että on olemassa SLE (lineaaristen yhtälöiden järjestelmä). n tuntematon (satunnaisen kentän yli):

Joten se on helppo kääntää matriisimuotoon:

AX=B, missä A on järjestelmän päämatriisi, B ja X- järjestelmän vapaiden jäsenten ja ratkaisujen sarakkeet:

Kerro tämä vasemmalla oleva matriisiyhtälö luvulla A -1- käänteismatriisista matriisiin A: A -1 (AX) = A -1 B.

Koska A −1 A=E, tarkoittaa, X=A −1 B. Yhtälön oikea puoli antaa alkujärjestelmän ratkaisusarakkeen. Matriisimenetelmän sovellettavuuden ehto on matriisin rappeutumattomuus A. Välttämätön ja riittävä ehto tälle on, että matriisin determinantti A:

detA≠0.

varten homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, eli jos vektori B = 0, päinvastainen sääntö pätee: järjestelmä AX=0 on ei-triviaali (eli ei ole yhtä suuri kuin nolla) ratkaisu vain silloin, kun detA = 0. Tätä yhteyttä homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisujen välillä kutsutaan vaihtoehto Fredholmille.

Siten SLAE:n ratkaisu matriisimenetelmällä tehdään kaavan mukaan . Tai SLAE-ratkaisu löytyy käyttämällä käänteinen matriisi A -1.

Tiedetään, että neliömatriisi MUTTA Tilaus n päällä n on käänteinen matriisi A -1 vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Järjestelmä siis n lineaariset algebralliset yhtälöt n Tuntemattomat ratkaistaan ​​matriisimenetelmällä vain, jos järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla.

Huolimatta siitä, että tämän menetelmän käytölle on rajoituksia ja suurille kertoimien arvoille ja korkealuokkaisille järjestelmille on laskentavaikeuksia, menetelmä voidaan helposti toteuttaa tietokoneella.

Esimerkki epähomogeenisen SLAE:n ratkaisemisesta.

Ensin tarkistetaan, onko tuntemattomien SLAE:iden kertoimien matriisin determinantti nolla.

Nyt löydämme liittoumamatriisi, transponoi se ja korvaa se käänteismatriisin määrittämiskaavalla.

Korvaamme muuttujat kaavassa:

Nyt löydämme tuntemattomat kertomalla käänteismatriisi ja vapaiden termien sarake.

Niin, x = 2; y = 1; z = 4.

Kun siirryt tavallisesta SLAE-muodosta matriisimuotoon, ole varovainen tuntemattomien muuttujien järjestyksen kanssa järjestelmäyhtälöissä. esimerkiksi:

ÄLÄ kirjoita seuraavasti:

Ensin on tarpeen järjestää tuntemattomat muuttujat jokaisessa järjestelmän yhtälössä ja vasta sen jälkeen edetä matriisimerkintään:

Lisäksi sinun on oltava varovainen tuntemattomien muuttujien nimeämisessä sen sijaan x 1, x 2, …, x n voi olla muitakin kirjaimia. Esimerkiksi:

matriisimuodossa kirjoitamme:

Matriisimenetelmällä on parempi ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 yhtälöä, käänteismatriisin löytäminen vaatii enemmän laskennallista työtä, joten tässä tapauksessa on suositeltavaa käyttää Gaussin menetelmää ratkaisemiseen.

Kaksi muuta tapausta ovat kuitenkin yleisiä käytännössä:

– Järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja);
Järjestelmä on johdonmukainen ja siinä on äärettömän monta ratkaisua.

Huomautus : termi "yhtenäisyys" tarkoittaa, että järjestelmällä on ainakin jokin ratkaisu. Useissa tehtävissä on tutkittava alustavasti järjestelmän yhteensopivuus, miten tämä tehdään - katso artikkeli matriisin arvo.

Näissä järjestelmissä käytetään yleisintä kaikista ratkaisumenetelmistä - Gaussin menetelmä. Itse asiassa "koulu"-menetelmä johtaa myös vastaukseen, mutta korkeammassa matematiikassa on tapana käyttää Gaussin menetelmää tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin. Ne, jotka eivät tunne Gauss-menetelmän algoritmia, tutkikaa ensin oppitunti gauss-menetelmä tuteille.

Itse alkeismatriisimuunnokset ovat täsmälleen samat, ero on ratkaisun lopussa. Harkitse ensin paria esimerkkiä, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Esimerkki 1

Mikä tässä järjestelmässä pistää heti silmään? Yhtälöiden määrä on pienempi kuin muuttujien määrä. Jos yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, niin voimme heti sanoa, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on äärettömän monta ratkaisua. Ja se jää vain selville.

Ratkaisun alku on melko tavallinen - kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

(1) Vasemmassa yläkulmassa meidän on saatava +1 tai -1. Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole tällaisia ​​numeroita, joten rivien uudelleenjärjestely ei toimi. Yksikkö on organisoitava itsenäisesti, ja tämä voidaan tehdä monella tavalla. Tein näin: Lisää ensimmäiselle riville kolmas rivi kerrottuna -1:llä.

(2) Nyt saamme kaksi nollaa ensimmäiseen sarakkeeseen. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna 3:lla. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna 5:llä.

(3) Kun muunnos on tehty, on aina suositeltavaa katsoa, ​​onko mahdollista yksinkertaistaa tuloksena olevia merkkijonoja? Voi. Jaamme toisen rivin 2:lla ja saamme samalla halutun -1:n toisessa vaiheessa. Jaa kolmas rivi -3:lla.

(4) Lisää toinen rivi kolmanteen riviin.

Todennäköisesti kaikki kiinnittivät huomiota huonoon linjaan, joka paljastui alkeellisten muutosten seurauksena: . On selvää, että näin ei voi olla. Todellakin, kirjoitamme tuloksena olevan matriisin uudelleen takaisin lineaariyhtälöjärjestelmään:

Jos alkeismuunnosten tuloksena saadaan muotoinen merkkijono, jossa on nollasta poikkeava luku, niin järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja) .

Kuinka tallentaa tehtävän loppu? Piirretään valkoisella liidulla: "alkeismuunnosten tuloksena saadaan muodon viiva, missä" ja annetaan vastaus: järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Jos järjestelmän yhteensopivuutta edellytetään ehdon mukaan TUTKIMUSTA, niin on tarpeen antaa konseptiin liittyvä ratkaisu vanhemmalla tyylillä matriisiranka ja Kronecker-Capellin lause.

Huomaa, että tässä ei ole Gaussin algoritmin käänteistä liikettä - ei ole ratkaisuja eikä yksinkertaisesti löydy mitään.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muistutan jälleen, että ratkaisupolkusi voi poiketa minun ratkaisupolustani, Gaussin algoritmilla ei ole vahvaa "jäykkyyttä".

Vielä yksi ratkaisun tekninen piirre: alkeismuunnokset voidaan pysäyttää Heti, heti kun rivi kuten , missä . Tarkastellaan ehdollista esimerkkiä: oletetaan, että ensimmäisen muunnoksen jälkeen saamme matriisin . Matriisia ei ole vielä pelkistetty porrastettuun muotoon, mutta muita alkeismuunnoksia ei tarvita, koska muotoon on ilmestynyt rivi, jossa . On heti vastattava, että järjestelmä ei ole yhteensopiva.

Kun lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, tämä on melkein lahja, koska saadaan lyhyt ratkaisu, joskus kirjaimellisesti 2-3 vaiheessa.

Mutta kaikki tässä maailmassa on tasapainossa, ja ongelma, johon järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua, on vain pidempi.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Yhtälöitä on 4 ja tuntematonta 4, joten järjestelmällä voi olla joko yksi ratkaisu tai ei ratkaisuja tai siinä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Olipa se mikä tahansa, mutta Gaussin menetelmä joka tapauksessa johtaa meidät vastaukseen. Siinä piilee sen monipuolisuus.

Alku on taas vakio. Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Siinä kaikki, ja sinä pelkäsit.

(1) Huomaa, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella, joten 2 on hyvä vasemmassa yläkulmassa. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -4:llä. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Neljännelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -1:llä.

Huomio! Monet voivat joutua kiusaukseen neljänneltä riviltä vähentää ensimmäinen linja. Tämä voidaan tehdä, mutta se ei ole välttämätöntä, kokemus osoittaa, että virheiden todennäköisyys laskelmissa kasvaa useita kertoja. Laske vain yhteen: Lisää neljännelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -1 - tarkalleen!

(2) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä voidaan poistaa.

Tässä on taas pakko näyttää lisääntynyt huomio, mutta ovatko viivat todella verrannollisia? Jälleenvakuutuksessa (etenkin teekannulle) ei olisi tarpeetonta kertoa toinen rivi -1:llä ja jakaa neljäs rivi 2:lla, jolloin saadaan kolme identtistä riviä. Ja vasta sen jälkeen poista niistä kaksi.

Alkuainemuunnosten seurauksena järjestelmän laajennettu matriisi pelkistyy porrastettuun muotoon:

Kun teet tehtävää muistikirjaan, on suositeltavaa tehdä samat muistiinpanot lyijykynällä selvyyden vuoksi.

Kirjoitamme vastaavan yhtälöjärjestelmän uudelleen:

Järjestelmän "tavallinen" ainoa ratkaisu ei haise täällä. Ei ole myöskään huonoa linjaa. Tämä tarkoittaa, että tämä on kolmas jäljellä oleva tapaus - järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua. Joskus ehdon mukaan on tarpeen tutkia järjestelmän yhteensopivuutta (eli todistaa, että ratkaisu on olemassa), voit lukea tästä artikkelin viimeisestä kappaleesta. Kuinka löytää matriisin sijoitus? Mutta nyt, puretaan perusasiat:

Järjestelmän ääretön ratkaisujoukko kirjoitetaan lyhyesti ns yleinen järjestelmäratkaisu .

Löydämme järjestelmän yleisen ratkaisun käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä.

Ensin meidän on määritettävä, mitä muuttujia meillä on perus, ja mitkä muuttujat vapaa. Lineaarialgebran termien kanssa ei tarvitse vaivautua, riittää, kun muistaa, että sellaisia ​​on perusmuuttujat ja vapaat muuttujat.

Perusmuuttujat "istuvat" aina tiukasti matriisin portailla.
Tässä esimerkissä perusmuuttujat ovat ja

Vapaat muuttujat ovat kaikki kaikessa jäljelle jäänyt muuttujat, jotka eivät saaneet askelta. Meidän tapauksessamme niitä on kaksi: - vapaat muuttujat.

Nyt tarvitset kaikki perusmuuttujat ilmaista vain läpi vapaat muuttujat.

Gaussin algoritmin käänteinen liike toimii perinteisesti alhaalta ylöspäin.
Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaisemme perusmuuttujan:

Katso nyt ensimmäistä yhtälöä: . Ensin korvataan löydetty lauseke siihen:

On vielä ilmaista perusmuuttuja vapailla muuttujilla:

Tulos on mitä tarvitset - kaikki perusmuuttujat ( ja ) ilmaistaan vain läpi vapaat muuttujat:

Itse asiassa yleinen ratkaisu on valmis:

Kuinka kirjoittaa yleinen ratkaisu?
Vapaat muuttujat kirjoitetaan yleisratkaisuun "itsekseen" ja tiukasti paikoilleen. Tässä tapauksessa vapaat muuttujat tulee kirjoittaa toiseen ja neljänteen paikkaan:
.

Tuloksena olevat lausekkeet perusmuuttujille ja se on luonnollisesti kirjoitettava ensimmäiseen ja kolmanteen kohtaan:

Ilmaisten muuttujien antaminen mielivaltaiset arvot, niitä on äärettömän monta yksityisiä päätöksiä. Suosituimmat arvot ovat nollia, koska tietty ratkaisu on helpoin saada. Korvaa yleisratkaisussa:

on yksityinen päätös.

Yksi on toinen suloinen pari, korvataanpa yleisellä ratkaisulla:

on toinen erityinen ratkaisu.

On helppo nähdä, että yhtälöjärjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua(koska voimme antaa vapaita muuttujia minkä tahansa arvot)

Jokainen tietyn ratkaisun on tyydyttävä jokaiselle järjestelmän yhtälö. Tämä on perusta ratkaisun oikeellisuuden "nopealle" tarkastukselle. Otetaan esimerkiksi tietty ratkaisu ja korvataan se kunkin yhtälön vasemmalla puolella alkuperäisessä järjestelmässä:

Kaiken on tultava yhteen. Ja minkä tahansa tietyn ratkaisun kanssa, kaiken pitäisi myös lähentyä.

Mutta tiukasti ottaen tietyn ratkaisun todentaminen joskus pettää; jokin tietty ratkaisu voi täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön, ja itse yleinen ratkaisu löytyy itse asiassa väärin.

Siksi yleisen ratkaisun todentaminen on perusteellisempaa ja luotettavampaa. Kuinka tarkistaa tuloksena oleva yleinen ratkaisu ?

Se on helppoa, mutta melko tylsää. Meidän on otettava ilmaisuja perus muuttujat, tässä tapauksessa ja , ja korvaa ne järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella.

Järjestelmän ensimmäisen yhtälön vasemmalla puolella:

Järjestelmän toisen yhtälön vasemmalla puolella:


Alkuperäisen yhtälön oikea puoli saadaan.

Esimerkki 4

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä. Etsi yleinen ratkaisu ja kaksi yksityistä ratkaisua. Tarkista kokonaisratkaisu.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tässä muuten yhtälöiden määrä on taas pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, mikä tarkoittaa, että on heti selvää, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Mikä on tärkeää itse päätösprosessissa? Huomio ja vielä kerran huomio. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ja vielä pari esimerkkiä materiaalin vahvistamiseksi

Esimerkki 5

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Jos järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua, etsi kaksi tiettyä ratkaisua ja tarkista yleinen ratkaisu

Päätös: Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja tuodaan se alkeismuunnosten avulla askelmuotoon:

(1) Lisää ensimmäinen rivi toiselle riville. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla.
(2) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna -5:llä. Neljännelle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -7:llä.
(3) Kolmas ja neljäs rivi ovat samat, poistamme yhden niistä.

Tässä on tällainen kaunotar:

Perusmuuttujat istuvat portailla, joten ne ovat perusmuuttujia.
On vain yksi vapaa muuttuja, joka ei saanut askelta:

Käänteinen liike:
Ilmaisemme perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:
Kolmannesta yhtälöstä:

Harkitse toista yhtälöä ja korvaa löydetty lauseke sillä:

Harkitse ensimmäistä yhtälöä ja korvaa löydetyt lausekkeet ja siihen:

Kyllä, tavallisia murtolukuja laskeva laskin on edelleen kätevä.

Joten yleinen ratkaisu on:

Vielä kerran, miten se tapahtui? Vapaa muuttuja on yksinään oikeutetulla neljännellä sijalla. Tuloksena saadut lausekkeet perusmuuttujille sijoittivat myös järjestysjärjestyksessä.

Tarkastetaan heti yleinen ratkaisu. Työskentele mustille, mutta olen jo tehnyt sen, joten ota kiinni =)

Korvaamme kolme sankaria , , järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalle puolelle:

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, joten yleinen ratkaisu löytyy oikein.

Nyt löydetystä yleisratkaisusta saamme kaksi erityistä ratkaisua. Kokki on täällä ainoa vapaa muuttuja. Sinun ei tarvitse murtaa päätäsi.

Anna sitten on yksityinen päätös.
Anna sitten on toinen erityinen ratkaisu.

Vastaus: Yhteinen päätös: , erityisiä ratkaisuja: , .

Minun ei olisi pitänyt muistaa mustia täällä ... ... koska kaikenlaisia ​​sadistisia motiiveja tuli mieleeni ja mieleeni tuli tuttu fotozhaba, jossa Ku Klux Klansmen valkoisissa haalareissa juoksee kentän poikki mustan jalkapallon jälkeen. pelaaja. Istun ja hymyilen hiljaa. Tiedätkö kuinka häiritsevää…

Suuri osa matematiikasta on haitallista, joten samanlainen lopullinen esimerkki itsenäiselle ratkaisulle.

Esimerkki 6

Etsi lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu.

Olen jo tarkistanut yleisen ratkaisun, vastaukseen voi luottaa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani, pääasia, että yleiset ratkaisut täsmäävät.

Luultavasti monet ovat huomanneet ratkaisuissa epämiellyttävän hetken: hyvin usein Gauss-menetelmän käänteisen kurssin aikana jouduimme viuluttamaan tavallisia murtolukuja. Käytännössä tämä on totta, tapaukset, joissa murtolukuja ei ole, ovat paljon harvinaisempia. Valmistaudu henkisesti ja mikä tärkeintä, teknisesti.

Pysähdyn joihinkin ratkaisun ominaisuuksiin, joita ei löytynyt ratkaistuista esimerkeistä.

Järjestelmän yleinen ratkaisu voi joskus sisältää vakion (tai vakioita), esimerkiksi: . Tässä yksi perusmuuttujista on yhtä suuri kuin vakioluku: . Tässä ei ole mitään eksoottista, sitä tapahtuu. Ilmeisesti tässä tapauksessa mikä tahansa ratkaisu sisältää viisi ensimmäisessä asemassa.

Harvoin, mutta on olemassa järjestelmiä, joissa yhtälöiden määrä on suurempi kuin muuttujien lukumäärä. Gauss-menetelmä toimii ankarimmissa olosuhteissa, järjestelmän laajennettu matriisi on saatava rauhallisesti porrastettuun muotoon standardialgoritmin mukaan. Tällainen järjestelmä voi olla epäjohdonmukainen, sillä voi olla äärettömän monta ratkaisua, ja kummallista kyllä, sillä voi olla ainutlaatuinen ratkaisu.

Gaussin menetelmällä on useita haittoja: on mahdotonta tietää, onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ennen kuin kaikki Gaussin menetelmässä tarvittavat muunnokset on suoritettu; Gaussin menetelmä ei sovellu kirjainkertoimien järjestelmiin.

Harkitse muita menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Nämä menetelmät käyttävät matriisin asteen käsitettä ja pelkistävät minkä tahansa yhteisjärjestelmän ratkaisun sellaisen järjestelmän ratkaisuksi, johon Cramerin sääntö pätee.

Esimerkki 1 Etsi seuraavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu pelkistetyn homogeenisen järjestelmän perusratkaisujen ja epähomogeenisen järjestelmän erityisratkaisun avulla.

1. Teemme matriisin A ja järjestelmän lisätty matriisi (1)

2. Tutustu järjestelmään (1) yhteensopivuuden vuoksi. Tätä varten löydämme matriisien rivit A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jos käy ilmi , niin järjestelmä (1) yhteensopimaton. Jos saamme sen , tämä järjestelmä on johdonmukainen ja me ratkaisemme sen. (Johdonmukaisuustutkimus perustuu Kronecker-Capellin lauseeseen).

a. Löydämme rA.

Löytää rA, tarkastelemme peräkkäin matriisin ensimmäisen, toisen jne. kertaluvun nollasta poikkeavia sivuja A ja heitä ympäröivät alaikäiset.

M1=1≠0 (1 on otettu matriisin vasemmasta yläkulmasta MUTTA).

Reunustava M1 tämän matriisin toinen rivi ja toinen sarake. . Jatkamme rajaa M1 toinen rivi ja kolmas sarake..gif" width="37" height="20 src=">. Nyt rajataan nollasta poikkeava sivu М2′ toinen tilaus.

Meillä on: (koska kaksi ensimmäistä saraketta ovat samat)

(koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia).

Näemme sen rA=2, ja on matriisin perusmolli A.

b. Löydämme .

Riittävän perustason sivuaine М2′ matriiseja A reunustaa vapaiden jäsenten sarakkeella ja kaikilla riveillä (meillä on vain viimeinen rivi).

. Tästä seuraa, että М3′′ jää matriisin perusmolliksi https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kuten М2′- matriisin perusmolli A järjestelmät (2) , silloin tämä järjestelmä vastaa järjestelmää (3) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (2) (for М2′ on matriisin A kahdella ensimmäisellä rivillä).

(3)

Koska perus-molli on https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Tässä järjestelmässä kaksi vapaata tuntematonta ( x2 ja x4 ). Niin FSR järjestelmät (4) koostuu kahdesta ratkaisusta. Niiden löytämiseksi annamme ilmaisia ​​tuntemattomia (4) arvot ensin x2=1 , x4=0 , ja sitten - x2=0 , x4=1 .

klo x2=1 , x4=0 saamme:

.

Tämä järjestelmä on jo olemassa ainoa asia ratkaisu (se voidaan löytää Cramerin säännöllä tai millä tahansa muulla menetelmällä). Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan:

Hänen päätöksensä tulee olemaan x1= -1 , x3 = 0 . Arvot huomioiden x2 ja x4 , jonka olemme antaneet, saamme järjestelmän ensimmäisen perusratkaisun (2) : .

Nyt laitetaan sisään (4) x2=0 , x4=1 . Saamme:

.

Ratkaisemme tämän järjestelmän käyttämällä Cramerin lausetta:

.

Saamme järjestelmän toisen perusratkaisun (2) : .

Ratkaisut β1 , β2 ja meikkaamaan FSR järjestelmät (2) . Sitten sen yleinen ratkaisu on

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tässä C1 , C2 ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

4. Etsi sellainen yksityinen päätös heterogeeninen järjestelmä(1) . Kuten kappaleessa 3 , järjestelmän sijaan (1) harkitse vastaavaa järjestelmää (5) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (1) .

(5)

Siirrämme vapaat tuntemattomat oikealle puolelle x2 ja x4.

(6)

Annetaan tuntemattomia ilmaiseksi x2 ja x4 mielivaltaiset arvot, esim. x2=2 , x4=1 ja liitä ne (6) . Otetaan systeemi

Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (koska sen määräävä tekijä М2′0). Ratkaisemalla sen (käyttäen Cramer-lausetta tai Gaussin menetelmää) saamme x1=3 , x3=3 . Kun otetaan huomioon vapaiden tuntemattomien arvot x2 ja x4 , saamme erityinen ratkaisu epähomogeeniselle järjestelmälle(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nyt on jäljellä kirjoittaa epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu α(1) : se on yhtä suuri kuin summa yksityinen päätös tämä järjestelmä ja sen pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Se tarkoittaa: (7)

6. Tutkimus. Tarkistaaksesi, oletko ratkaissut järjestelmän oikein (1) , tarvitsemme yleisen ratkaisun (7) korvata sisään (1) . Jos jokaisesta yhtälöstä tulee identiteetti ( C1 ja C2 tulee tuhota), niin ratkaisu löytyy oikein.

Me korvaamme (7) esimerkiksi vain järjestelmän viimeisessä yhtälössä (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saamme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Missä -1=-1. Meillä on identiteetti. Teemme tämän kaikkien muiden järjestelmän yhtälöiden kanssa (1) .

Kommentti. Todentaminen on yleensä melko hankalaa. Voimme suositella seuraavaa "osittaista varmennusta": järjestelmän kokonaisratkaisussa (1) anna joitain arvoja mielivaltaisille vakioille ja korvaa tuloksena saatu tietty ratkaisu vain hylättyihin yhtälöihin (eli niihin yhtälöihin (1) joita ei sisälly (5) ). Jos saat identiteetit, niin todennäköisemmin, järjestelmän ratkaisu (1) löydetty oikein (mutta tällainen tarkistus ei anna täyttä takuuta oikeellisuudesta!). Esimerkiksi jos sisään (7) laittaa C2=- 1 , C1 = 1, niin saamme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Korvaamalla järjestelmän (1) viimeiseen yhtälöön, meillä on: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , eli –1=–1. Meillä on identiteetti.

Esimerkki 2 Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) , joka ilmaisee tärkeimmät tuntemattomat ilmaisina.

Päätös. Kuten sisällä esimerkki 1, muodostaa matriiseja A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> näistä matriiseista. Jätetään nyt vain ne järjestelmän yhtälöt (1) , joiden kertoimet sisältyvät tähän perus-molliin (eli meillä on kaksi ensimmäistä yhtälöä) ja tarkastelemme niistä koostuvaa järjestelmää, joka vastaa järjestelmää (1).

Siirretään vapaat tuntemattomat näiden yhtälöiden oikealle puolelle.

järjestelmä (9) ratkaisemme Gaussin menetelmällä, pitäen oikeat osat vapaina jäseninä.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Vaihtoehto 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Vaihtoehto 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Vaihtoehto 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Vaihtoehto 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on n lineaarisen yhtälön liitto, joista jokainen sisältää k muuttujaa. Se on kirjoitettu näin:

Monet, kun he kohtaavat korkeamman algebran ensimmäistä kertaa, uskovat virheellisesti, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin muuttujien lukumäärä. Koulualgebrassa näin yleensä on, mutta korkeamman algebran kohdalla tämä ei yleisesti ottaen pidä paikkaansa.

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on lukujono (k 1 , k 2 , ..., k n ), joka on ratkaisu järjestelmän jokaiselle yhtälölle, ts. kun tähän yhtälöön korvataan muuttujien x 1 , x 2 , ..., x n sijaan, saadaan oikea numeerinen yhtälö.

Vastaavasti yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen joukon löytämistä tai sen osoittamista, että tämä joukko on tyhjä. Koska yhtälöiden määrä ja tuntemattomien määrä eivät välttämättä ole samat, kolme tapausta on mahdollista:

1. Järjestelmä on epäjohdonmukainen, ts. kaikkien ratkaisujen joukko on tyhjä. Melko harvinainen tapaus, joka havaitaan helposti riippumatta siitä, millä menetelmällä järjestelmä ratkaistaan.
2. Järjestelmä on johdonmukainen ja määritelty, ts. on täsmälleen yksi ratkaisu. Klassinen versio, tunnettu koulusta asti.
3. Järjestelmä on johdonmukainen ja määrittelemätön, ts. on äärettömän monta ratkaisua. Tämä on vaikein vaihtoehto. Ei riitä, että todetaan, että "järjestelmällä on ääretön joukko ratkaisuja" - on tarpeen kuvata, kuinka tämä joukko on järjestetty.

Muuttujaa x i kutsutaan sallituksi, jos se sisältyy vain yhteen järjestelmän yhtälöön ja kertoimella 1. Toisin sanoen, muissa yhtälöissä muuttujan x i kertoimen on oltava nolla.

Jos valitsemme kustakin yhtälöstä yhden sallitun muuttujan, saamme joukon sallittuja muuttujia koko yhtälöjärjestelmälle. Itse järjestelmää, joka on kirjoitettu tähän muotoon, kutsutaan myös sallituksi. Yleisesti ottaen yksi ja sama alkujärjestelmä voidaan pelkistää erilaisiksi sallituiksi järjestelmiksi, mutta tämä ei nyt koske meitä. Tässä on esimerkkejä sallituista järjestelmistä:

Molemmat järjestelmät ovat sallittuja muuttujien x 1 , x 3 ja x 4 suhteen . Samalla menestyksellä voidaan kuitenkin väittää, että toinen järjestelmä on sallittu x1:n, x3:n ja x5:n suhteen. Riittää, kun uusin yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon x 5 = x 4 .

Harkitse nyt yleisempää tapausta. Oletetaan, että meillä on yhteensä k muuttujaa, joista r on sallittu. Sitten kaksi tapausta on mahdollista:

1. Sallittujen muuttujien lukumäärä r on yhtä suuri kuin muuttujien kokonaismäärä k: r = k. Saadaan k yhtälöjärjestelmä, jossa r = k sallittua muuttujaa. Tällainen järjestelmä on yhteistyökykyinen ja määrätietoinen, koska x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Sallittujen muuttujien määrä r on pienempi kuin muuttujien kokonaismäärä k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Joten yllä olevissa järjestelmissä muuttujat x 2 , x 5 , x 6 (ensimmäiselle järjestelmälle) ja x 2 , x 5 (toiselle) ovat vapaita. Tapaus, jossa on vapaita muuttujia, on parempi muotoilla lauseena:

Huomaa: tämä on erittäin tärkeä kohta! Riippuen siitä, miten kirjoitat lopullisen järjestelmän, sama muuttuja voi olla sekä sallittu että vapaa. Useimmat edistyneemmät matematiikan opettajat suosittelevat muuttujien kirjoittamista leksikografisessa järjestyksessä, ts. nouseva indeksi. Sinun ei kuitenkaan tarvitse noudattaa tätä neuvoa ollenkaan.

Lause. Jos n yhtälöjärjestelmässä muuttujat x 1 , x 2 , ..., x r ovat sallittuja ja x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ovat vapaita, niin:

1. Jos asetamme vapaiden muuttujien arvot (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), ja sitten etsimme arvot x 1 , x 2 , . .., x r , saamme yhden ratkaisuista.
2. Jos kahdessa ratkaisussa vapaiden muuttujien arvot ovat samat, niin myös sallittujen muuttujien arvot ovat samat, ts. ratkaisut ovat tasa-arvoisia.

Mikä tämän lauseen merkitys on? Sallitun yhtälöjärjestelmän kaikkien ratkaisujen saamiseksi riittää, että erotetaan vapaat muuttujat. Sitten antamalla eri arvoja vapaille muuttujille, saamme valmiita ratkaisuja. Siinä kaikki - tällä tavalla saat kaikki järjestelmän ratkaisut. Muita ratkaisuja ei ole.

Johtopäätös: sallittu yhtälöjärjestelmä on aina johdonmukainen. Jos yhtälöiden lukumäärä sallitussa järjestelmässä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, järjestelmä on määrällinen, jos vähemmän, se on määrittelemätön.

Ja kaikki olisi hyvin, mutta herää kysymys: kuinka saada ratkaistu alkuperäisestä yhtälöjärjestelmästä? Tätä varten on