>> Matriisit

4.1 Matriisit. Matriisioperaatiot

Suorakaidematriisi, jonka koko on mxn, on kokoelma mxn-lukuja, jotka on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Kirjoitamme sen lomakkeeseen

tai lyhennettynä A = (a i j) (i = ; j = ), numeroita a i j kutsutaan sen alkioiksi; ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numeroon, toinen indeksi sarakkeen numeroon. Samankokoisia A = (a i j) ja B = (b i j) kutsutaan yhtäläisiksi, jos niiden samoissa paikoissa olevat alkiot ovat pareittain yhtä suuret, eli A = B, jos a i j = b i j .

Yhdestä rivistä tai yhdestä sarakkeesta koostuvaa matriisia kutsutaan -rivi- tai sarakevektoriksi. Sarakevektoreita ja rivivektoreita kutsutaan yksinkertaisesti vektoreiksi.

Yhdestä numerosta koostuva matriisi tunnistetaan tällä numerolla. A:ta, jonka koko on mxn, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan nollaksi ja merkitään 0:lla. Elementtejä, joilla on samat indeksit, kutsutaan päädiagonaalin elementeiksi. Jos rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, eli m = n, niin matriisin sanotaan olevan kertaluvun n neliö. Neliömatriiseja, joissa vain päädiagonaalin alkiot eivät ole nollia, kutsutaan diagonaalimatriiseiksi ja ne kirjoitetaan seuraavasti:

.

Jos kaikki lävistäjän elementit a i i ovat yhtä suuria kuin 1, sitä kutsutaan yksiköksi ja merkitään kirjaimella E:

.

Neliömatriisia kutsutaan kolmiomaiseksi, jos kaikki elementit päälävistäjän yläpuolella (tai alapuolella) ovat nolla. Transpositio on muunnos, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan ja niiden numerot säilyvät. Transponointi on merkitty T-kirjaimella yläosassa.

Jos kohdassa (4.1) järjestämme rivit uudelleen sarakkeineen, niin saamme

,

joka transponoidaan A:n suhteen. Erityisesti sarakevektorin transponointi johtaa rivivektoriin ja päinvastoin.

A:n tulo luvulla b on matriisi, jonka alkiot saadaan A:n vastaavista alkioista kertomalla luvulla b: b A = (b a i j).

Samankokoisten A = (a i j) ja B = (b i j) summa on samankokoinen C = (c i j), jonka alkiot määritetään kaavalla c i j = a i j + b i j .

Tulo AB määritellään olettaen, että A:n sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin B:n rivien määrä.

AB:n tulo, jossa A = (a i j) ja B = (b j k), jossa i = , j= , k= , annettuna tietyssä järjestyksessä AB, on C = (c i k), jonka alkiot määräytyvät seuraava sääntö:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Toisin sanoen tulon AB elementti määritellään seuraavasti: i:nnen rivin ja k:nnen sarakkeen C alkio on yhtä kuin i:nnen rivin A alkioiden tulojen summa k:nnen sarakkeen B vastaavat elementit.

Esimerkki 2.1. Etsi AB:n ja .

Päätös. Meillä on: A, jonka koko on 2x3, B on kokoa 3x3, niin tulo AB = C on olemassa ja C:n alkiot ovat yhtä suuret

С 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, с 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, с 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

, ja tuotetta BA ei ole olemassa.

Esimerkki 2.2. Taulukossa näkyy päivittäin meijereistä 1 ja 2 myymälöihin M 1, M 2 ja M 3 lähetettyjen tuotteiden määrä ja tuotantoyksikön toimitus kustakin meijeristä varastoon M 1 maksaa 50 den. yksikköä, kaupassa M 2 - 70 ja M 3 - 130 den. yksiköitä Laske kunkin tehtaan päivittäiset kuljetuskustannukset.

meijeri

Päätös. Merkitse A:lla meille ehdossa annettu matriisi ja
B - matriisi, joka kuvaa tuotantoyksikön myymälöihin toimittamisen kustannuksia, ts.

,

Sitten kuljetuskustannusmatriisi näyttää tältä:

.

Ensimmäinen laitos kuluttaa siis 4750 den päivittäin kuljetuksiin. yksikköä, toinen - 3680 den.un.

Esimerkki 2.3. Ompeluyritys valmistaa talvitakkeja, puolikausitakkeja ja sadetakkeja. Vuosikymmenen suunniteltua tuottoa kuvaa vektori X = (10, 15, 23). Kangastyyppejä käytetään neljää: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Taulukossa näkyvät kunkin tuotteen kankaan kulutusmäärät (metreinä). Vektori C = (40, 35, 24, 16) määrittää kunkin tyypin kangasmetrin hinnan ja vektori P = (5, 3, 2, 2) - kunkin kangasmetrin kuljetuskustannukset. tyyppi.

	Kankaan kulutus
Talvitakki
Demi takki

1. Kuinka monta metriä kutakin kangastyyppiä tarvitaan suunnitelman suorittamiseen?

2. Selvitä kunkin tuotetyypin räätälöintiin käytetyn kankaan hinta.

3. Määritä suunnitelman suorittamiseen tarvittavan kankaan hinta.

Päätös. Merkitään A:lla meille ehdossa annettu matriisi, ts.

,

sitten löytääksesi suunnitelman suorittamiseen tarvittavan kangasmetrimäärän, sinun on kerrottava vektori X matriisilla A:

Kunkin tyyppisen tuotteen räätälöintiin käytetyn kankaan hinta saadaan kertomalla matriisi A ja vektori C T:

.

Suunnitelman loppuun saattamiseen tarvittavan kankaan hinta määräytyy kaavan mukaan:

Lopuksi, kun otetaan huomioon kuljetuskustannukset, koko summa on yhtä suuri kuin kankaan hinta, eli 9472 den. yksikköä plus arvo

X A P T =
.

Joten, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. yksikköä).

MATRIISIN MÄÄRITELMÄ. MATRIISIT TYYPIT

Matriisin koko m× n kutsutaan kokonaisuudeksi m n numerot on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon m linjat ja n sarakkeita. Tämä taulukko on yleensä sulkeissa. Esimerkiksi matriisi voi näyttää tältä:

Lyhyyden vuoksi matriisi voidaan merkitä yhdellä isolla kirjaimella, esim. MUTTA tai AT.

Yleensä koon matriisi m× n kirjoittaa näin

.

Matriisin muodostavia lukuja kutsutaan matriisielementtejä. On kätevää toimittaa matriisielementtejä kahdella indeksillä aij: Ensimmäinen osoittaa rivin numeron ja toinen osoittaa sarakkeen numeron. Esimerkiksi, a 23– elementti on 2. rivillä, 3. sarakkeella.

Jos matriisin rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, matriisi on ns. neliö-, ja sen rivien tai sarakkeiden lukumäärää kutsutaan järjestyksessä matriiseja. Yllä olevissa esimerkeissä toinen matriisi on neliö - sen järjestys on 3 ja neljäs matriisi - sen järjestys on 1.

Kutsutaan matriisi, jossa rivien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä suorakulmainen. Esimerkeissä tämä on ensimmäinen matriisi ja kolmas.

On myös matriiseja, joissa on vain yksi rivi tai yksi sarake.

Kutsutaan matriisia, jossa on vain yksi rivi matriisi - rivi(tai merkkijono) ja matriisi, jossa on vain yksi sarake, matriisi - sarake.

Kutsutaan matriisi, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla tyhjä ja sitä merkitään (0) tai yksinkertaisesti 0:lla. Esimerkiksi

.

päädiagonaali Neliömatriisi on diagonaali, joka kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.

Kutsutaan neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat nolla kolmion muotoinen matriisi.

.

Neliömatriisia, jossa kaikki alkiot, paitsi ehkä päälävistäjän alkiot ovat nolla, kutsutaan nimellä diagonaalinen matriisi. Esimerkiksi tai.

Kutsutaan diagonaalimatriisi, jossa kaikki diagonaalit ovat yhtä suuria kuin yksi yksittäinen matriisi ja sitä merkitään kirjaimella E. Esimerkiksi 3. asteen identiteettimatriisilla on muoto .

TOIMENPITEET MATRIISEISSA

Matriisin tasa-arvo. Kaksi matriisia A ja B sanotaan olevan yhtä suuria, jos niillä on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret aij = b ij. Niin jos ja , sitten A=B, jos a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 ja a 22 = b 22.

osaksi kansallista lainsäädäntöä. Harkitse mielivaltaista matriisia A alkaen m linjat ja n sarakkeita. Se voidaan liittää seuraavaan matriisiin B alkaen n linjat ja m sarakkeita, joissa jokainen rivi on matriisin sarake A samalla numerolla (josta jokainen sarake on matriisin rivi A samalla numerolla). Niin jos , sitten .

Tämä matriisi B nimeltään siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä matriisi A, ja siirtyminen A kohtaan B transponointi.

Siten transponointi on matriisin rivien ja sarakkeiden roolien vaihtoa. Matriisi transponoitu matriisiin A, yleensä merkitty A T.

Viestintä matriisin välillä A ja sen transponoitu voidaan kirjoittaa muodossa .

Esimerkiksi. Etsi matriisi transponoituna annettuun matriisi.

Matriisin lisäys. Anna matriisien A ja B koostuvat samasta määrästä rivejä ja samasta määrästä sarakkeita, ts. omistaa samat koot. Sitten matriisien lisäämiseksi A ja B tarve matriisoida elementtejä A lisää matriisielementtejä B seisovat samoissa paikoissa. Siis kahden matriisin summa A ja B kutsutaan matriisiksi C, joka määräytyy säännön mukaan, esim.

Esimerkkejä. Etsi matriisien summa:

On helppo tarkistaa, että matriisilisäys noudattaa seuraavia lakeja: kommutatiivinen A+B=B+A ja assosiatiivinen ( A+B)+C=A+(B+C).

Matriisin kertominen luvulla. Matriisin kertominen A numeroa kohti k tarvitsevat matriisin jokaisen elementin A kerro sillä numerolla. Matriisituote siis A numeroa kohti k on uusi matriisi, joka määräytyy säännön mukaan tai .

Kaikille numeroille a ja b ja matriiseja A ja B tasa-arvo täyttyy:

Esimerkkejä.

Matriisi kertominen. Tämä toimenpide suoritetaan erityisen lain mukaan. Ensinnäkin todetaan, että matriisitekijöiden kokojen on oltava yhdenmukaisia. Voit kertoa vain ne matriisit, joiden ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä vastaa toisen matriisin rivien lukumäärää (eli ensimmäisen rivin pituus on yhtä suuri kuin toisen sarakkeen korkeus). tehdä työtä matriiseja A ei matriisi B nimeltään uusi matriisi C=AB, jonka elementit koostuvat seuraavasti:

Siten esimerkiksi saadakseen tuotteen (eli matriisiin C) 1. rivin ja 3. sarakkeen elementti alkaen 13, sinun on otettava 1. rivi 1. matriisista, 3. sarake toisesta ja kerrotaan sitten rivin elementit vastaavilla sarakkeen elementeillä ja lisätään tuloksena saadut tuotteet. Ja muut tulomatriisin elementit saadaan käyttämällä samanlaista ensimmäisen matriisin rivien tuloa toisen matriisin sarakkeilla.

Yleensä, jos kerromme matriisin A = (aij) koko m× n matriisiin B = (ja) koko n× s, niin saamme matriisin C koko m× s, jonka alkiot lasketaan seuraavasti: elementti c ij saadaan alkuaineiden tulon tuloksena i matriisin rivi A asiaan liittyvistä elementeistä j-matriisin sarake B ja niiden summaus.

Tästä säännöstä seuraa, että voit aina kertoa kaksi saman kertaluvun neliömatriisia, jolloin saamme saman kertaluvun neliömatriisin. Erityisesti neliömatriisi voidaan aina kertoa itsestään, ts. neliötä ylöspäin.

Toinen tärkeä tapaus on matriisirivin kertominen matriisisarakkeella, ja ensimmäisen leveyden tulee olla yhtä suuri kuin toisen korkeus, jolloin saadaan ensimmäisen kertaluvun matriisi (eli yksi alkio). Todella,

.

Esimerkkejä.

Siten nämä yksinkertaiset esimerkit osoittavat, että matriisit eivät yleisesti ottaen liiku keskenään, ts. A∙B ≠ B∙A . Siksi, kun kerrot matriiseja, sinun on seurattava huolellisesti tekijöiden järjestystä.

Voidaan varmistaa, että matriisikertominen noudattaa assosiatiivisia ja distributiivisia lakeja, ts. (AB)C=A(BC) ja (A+B)C=AC+BC.

Se on myös helppo tarkistaa neliömatriisia kertomalla A identiteettimatriisiin E samassa järjestyksessä, saamme jälleen matriisin A, lisäksi AE=EA=A.

Seuraava mielenkiintoinen tosiasia voidaan huomioida. Kuten tiedetään, kahden nollasta poikkeavan luvun tulo ei ole yhtä suuri kuin 0. Matriiseille tämä ei välttämättä ole niin, ts. kahden nollasta poikkeavan matriisin tulo voi olla yhtä suuri kuin nollamatriisi.

esimerkiksi, jos , sitten

.

MÄÄRITTÄJIEN KÄSITE

Olkoon annettu toisen asteen matriisi - kahdesta rivistä ja kahdesta sarakkeesta koostuva neliömatriisi .

Toisen asteen determinantti tätä matriisia vastaava luku on seuraava: klo 11-22-12-21.

Determinantti on merkitty symbolilla .

Joten toisen asteen determinantin löytämiseksi sinun on vähennettävä toisen lävistäjän elementtien tulo päädiagonaalin elementtien tulosta.

Esimerkkejä. Laske toisen asteen determinantit.

Vastaavasti voimme tarkastella kolmannen asteen matriisia ja sitä vastaavaa determinanttia.

Kolmannen asteen determinantti, joka vastaa annettua kolmannen asteen neliömatriisia, on numero, joka merkitään ja saadaan seuraavasti:

.

Siten tämä kaava antaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennuksen ensimmäisen rivin elementtien suhteen 11, 12, 13 ja vähentää kolmannen asteen determinantin laskennan toisen asteen determinanttien laskemiseen.

Esimerkkejä. Laske kolmannen asteen determinantti.

Vastaavasti voidaan ottaa käyttöön neljännen, viidennen jne. determinanttien käsitteet. tilauksia, alentamalla niiden järjestystä laajentamalla 1. rivin elementtejä, kun taas termien merkit "+" ja "-" vuorottelevat.

Joten toisin kuin matriisi, joka on lukutaulukko, determinantti on luku, joka on määrätty tietyllä tavalla matriisiin.

Lineaarinen algebra 1

Matriisit 1

Matriisioperaatiot 2

Matriisideterminantit 6

Käänteinen matriisi 13

Matrix sijoitus 16

Lineaarinen itsenäisyys 21

Lineaariyhtälöjärjestelmät 24

Menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi 27

Käänteismatriisimenetelmä 27

Menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi neliömatriisilla käyttämällä Cramerin kaavoja 29

Gaussin menetelmä (muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä) 31

Lineaariset algebramatriisit

Matriisi koko mxn on suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Matriisin muodostavia lukuja kutsutaan matriisielementeiksi.

Matriisit merkitään yleensä latinalaisilla isoilla kirjaimilla ja elementit samoilla, mutta pienillä kirjaimilla kaksoisindeksillä.

Tarkastellaan esimerkiksi 2 x 3 -matriisia A:

Tässä matriisissa on kaksi riviä (m= 2) ja kolme saraketta (n= 3), ts. se koostuu kuudesta elementistä a ij , jossa i on rivin numero, j on sarakkeen numero. Tässä tapauksessa se ottaa arvot 1 - 2 ja yhdestä kolmeen (kirjoitettu
). Nimittäin a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Kutsutaan matriiseja A ja B, jotka ovat samankokoisia (mxn). yhtä suuri, jos ne kohtaavat elementti kerrallaan, eli a ij =b ij for
, eli mille tahansa ii:lle ja j:lle (voit kirjoittaa i, j).

rivimatriisi on matriisi, jossa on yksi rivi, ja sarakematriisi on matriisi, jossa on yksi sarake.

Esimerkiksi,
on rivimatriisi ja
.

neliömatriisi n. kertaluku on matriisi, rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä ja on yhtä suuri kuin n.

Esimerkiksi,
on toisen kertaluvun neliömatriisi.

Diagonaalinen matriisielementit ovat elementtejä, joiden rivinumero on yhtä suuri kuin sarakkeen numero (a ij ,i=j). Nämä elementit muodostuvat päädiagonaali matriiseja. Edellisessä esimerkissä alkiot a 11 = 3 ja a 22 = 5 muodostavat päädiagonaalin.

Diagonaalinen matriisi on neliömatriisi, jossa kaikki diagonaalista poikkeavat elementit ovat yhtä suuria kuin nolla. Esimerkiksi,
on kolmannen asteen diagonaalimatriisi. Jos kaikki diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin yksi, matriisia kutsutaan yksittäinen(merkitty yleensä E-kirjaimella). Esimerkiksi,
on kolmannen asteen identiteettimatriisi.

Matriisia kutsutaan tyhjä jos sen kaikki alkiot ovat nolla.

Neliömatriisia kutsutaan kolmion muotoinen jos kaikki sen elementit päädiagonaalin alapuolella (tai yläpuolella) ovat nolla. Esimerkiksi,
on kolmannen asteen kolmiomatriisi.

Matriisioperaatiot

Voit suorittaa seuraavat toiminnot matriiseille:

1. Matriisin kertominen numerolla. Matriisin A tulo luvulla  on matriisi B = A, jonka alkiot ovat b ij = a ij mille tahansa ii:lle ja j:lle.

Esimerkiksi jos
, sitten
.

2. Matriisin lisäys. Kahden samankokoisen m x n matriisin A ja B summa on matriisi C \u003d A + B, jonka alkiot ovat ij \u003d a ij + b ij arvolla i,j.

Esimerkiksi jos
sitten

.

Huomaa, että aiempien toimintojen avulla voimme määrittää matriisivähennys sama koko: ero A-B \u003d A + (-1) * B.

3. Matriisi kertominen. Matriisin A, jonka koko on mxn, tulo matriisin B kanssa, jonka koko on nxp, on sellainen matriisi C, jonka jokainen alkio ij:n kanssa on yhtä suuri kuin matriisin A i:nnen rivin alkioiden tulojen summa. matriisin B j:nnen sarakkeen vastaavat elementit, ts.
.

Esimerkiksi jos

, niin tuotematriisin koko on 2 x 3 ja se näyttää tältä:

Tässä tapauksessa matriisin A sanotaan olevan yhdenmukainen matriisin B kanssa.

Neliömatriisien kertolaskuoperaation perusteella operaatio määritellään eksponentiointi. Neliömatriisin A kokonaisluku positiivinen potenssi A m (m > 1) on m matriisin tulo, joka on yhtä suuri kuin A, ts.

Korostamme, että matriisien yhteenlaskua (vähennyslaskua) ja kertolaskua ei ole määritelty millekään kahdelle matriisille, vaan vain niille, jotka täyttävät tietyt vaatimukset mitoiltaan. Matriisien summan tai eron löytämiseksi niiden koon on oltava sama. Matriisien tulon löytämiseksi niistä ensimmäisen sarakkeiden lukumäärän on vastattava toisen rivien lukumäärää (sellaisia ​​matriiseja kutsutaan ns. sovittu).

Tarkastellaan joitain tarkasteltujen operaatioiden ominaisuuksia, jotka ovat analogisia lukuoperaatioiden ominaisuuksien kanssa.

1) Kommutatiivinen (siirtymä) summauslaki:

A + B = B + A

2) Assosiatiivinen (assosiatiivinen) summauslaki:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributiivinen (jakauma) kertolaskulaki summauksen suhteen:

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Assosiatiivinen (assosiatiivinen) kertolasku:

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

Korostamme, että matriisien kommutatiivisen kertolaskulain yleisessä tapauksessa EI täyty, ts. AB BA. Lisäksi AB:n olemassaolo ei välttämättä tarkoita BA:n olemassaoloa (matriisit eivät ehkä ole johdonmukaisia, ja silloin niiden tuloa ei ole määritelty ollenkaan, kuten yllä olevassa matriisikertomisen esimerkissä). Mutta vaikka molemmat teokset olisivat olemassa, ne ovat yleensä erilaisia.

Tietyssä tapauksessa minkä tahansa neliömatriisin A ja samaa kertaluokkaa olevan identiteettimatriisin tulolla on kommutatiivinen laki, ja tämä tulo on yhtä suuri kuin A (identiteettimatriisilla kertominen on tässä samanlainen kuin yhdellä kertominen numeroita kerrottaessa):

AE = EA = A

Todellakin,

Korostetaan vielä yhtä eroa matriisikertomisen ja numeron kertomisen välillä. Lukujen tulo voi olla yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos vähintään yksi niistä on nolla. Tätä ei voi sanoa matriiseista, ts. nollasta poikkeavien matriisien tulo voi olla yhtä suuri kuin nollamatriisi. Esimerkiksi,

Jatketaan matriisioperaatioiden tarkastelua.

4. Matriisitransponointi on siirtymäoperaatio matriisista A, jonka koko on mxn, matriisiin A T, jonka koko on nxm, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan:

%.

Transponointitoiminnon ominaisuudet:

1) Määritelmästä seuraa, että jos matriisi transponoidaan kahdesti, palataan alkuperäiseen matriisiin: (A T) T = A.

2) Vakiokerroin voidaan ottaa pois transponointimerkistä: (А) T =А T .

3) Transponointi on distributiivinen matriisin kertolasku- ja yhteenlaskennan suhteen: (AB) T =B T A T ja (A+B) T =B T +A T .

Tämä opas auttaa sinua oppimaan, miten matriisioperaatiot: matriisien yhteenlasku (vähennys), matriisin transponointi, matriisien kertolasku, matriisin käänteisluvun löytäminen. Kaikki materiaali esitetään yksinkertaisessa ja helposti saatavilla olevassa muodossa, asiaankuuluvia esimerkkejä annetaan, joten valmistautumatonkin voi oppia suorittamaan toimintoja matriiseilla. Itsehallintaa ja itsetestausta varten voit ladata matriisilaskimen ilmaiseksi >>>.

Pyrin minimoimaan teoreettisia laskelmia, joissain paikoissa selitykset "sormilla" ja epätieteellisten termien käyttö ovat mahdollisia. Kiinteän teorian ystävät, älkää antako kritiikkiä, meidän tehtävämme on oppia työskentelemään matriisien kanssa.

SUPERNOPEAAN valmistautumiseen aiheesta (kuka "polttaa") on intensiivinen pdf-kurssi Matriisi, determinantti ja offset!

Matriisi on joidenkin suorakaiteen muotoinen taulukko elementtejä. Kuten elementtejä tarkastelemme lukuja, eli numeerisia matriiseja. ELEMENTTI on termi. Termi on hyvä muistaa, se tulee usein esiin, ei ole sattumaa, että käytin lihavointia korostaessani sitä.

Nimitys: matriisit merkitään yleensä isoilla latinalaisilla kirjaimilla

Esimerkki: Harkitse kaksi kertaa kolme matriisia:

Tämä matriisi koostuu kuudesta elementtejä:

Kaikki matriisin sisällä olevat luvut (alkiot) ovat olemassa itsestään, eli mistään vähennyksestä ei ole kysymys:

Se on vain numerotaulukko (joukko)!

Olemme myös samaa mieltä älä järjestä uudelleen numero, ellei selityksessä toisin mainita. Jokaisella numerolla on oma sijaintinsa, etkä voi sekoittaa niitä!

Kyseisessä matriisissa on kaksi riviä:

ja kolme saraketta:

STANDARDI: kun puhutaan matriisin mitoista, niin ensiksi ilmoittaa rivien lukumäärä ja vasta sitten - sarakkeiden lukumäärä. Olemme juuri hajottaneet kaksi kertaa kolme -matriisin.

Jos matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama, matriisia kutsutaan neliö-, Esimerkiksi: on kolme kertaa kolme matriisi.

Jos matriisissa on yksi sarake tai yksi rivi, niin tällaisia ​​matriiseja kutsutaan myös vektorit.

Itse asiassa olemme tunteneet matriisin käsitteen koulusta lähtien, harkitse esimerkiksi pistettä, jonka koordinaatit "x" ja "y": . Pohjimmiltaan pisteen koordinaatit kirjoitetaan yksi kerrallaan matriisiin. Muuten, tässä on sinulle esimerkki siitä, miksi numeroiden järjestyksellä on merkitystä: ja ovat kaksi täysin erilaista tason pistettä.

Siirrytään nyt tutkimukseen. matriisioperaatiot:

1) Toimi yksi. Miinuksen poistaminen matriisista (Miinuksen lisääminen matriisiin).

Takaisin matriisiin . Kuten luultavasti huomasit, tässä matriisissa on liian monta negatiivista lukua. Tämä on erittäin hankalaa erilaisten toimintojen suorittamisen kannalta matriisin kanssa, on hankalaa kirjoittaa niin monia miinuksia, ja se näyttää vain rumalta suunnittelussa.

Siirretään miinus matriisin ulkopuolelle muuttamalla matriisin JOKAisen elementin etumerkkiä:

Nollassa, kuten ymmärrät, merkki ei muutu, nolla - se on myös nolla Afrikassa.

Käänteinen esimerkki: . Näyttää rumalta.

Lisäämme matriisiin miinusmerkin muuttamalla matriisin JOKAINEN elementti:

No, se on paljon kauniimpi. Ja mikä tärkeintä, matriisin avulla on HELPPOA suorittaa kaikki toimet. Koska on olemassa tällainen matemaattinen kansanmerkki: mitä enemmän miinuksia - sitä enemmän sekaannusta ja virheitä.

2) Toimenpide kaksi. Matriisin kertominen numerolla.

Esimerkki:

Se on yksinkertaista, jotta voit kertoa matriisin numerolla, tarvitset kaikki kerro matriisin elementti annetulla luvulla. Tässä tapauksessa kolme.

Toinen hyödyllinen esimerkki:

– matriisin kertominen murtoluvulla

Katsotaan ensin mitä tehdä EI TARVETTA:

Matriisiin EI TARVITSE syöttää murtolukua, ensinnäkin se vain vaikeuttaa jatkotoimenpiteitä matriisin kanssa ja toiseksi opettajan on vaikea tarkistaa ratkaisua (varsinkin jos - tehtävän lopullinen vastaus).

Ja erityisesti, EI TARVETTA jaa jokainen matriisin elementti miinus seitsemällä:

Artikkelista Matematiikka nukkeille tai mistä aloittaa, muistamme, että korkeamman matematiikan desimaalimurtolukuja pilkulla pyritään kaikin mahdollisin tavoin välttämään.

Ainoa asia toivottavaa tässä esimerkissä lisätään miinus matriisiin:

Mutta jos KAIKKI matriisielementit jaettiin seitsemällä jälkeä jättämättä, silloin olisi mahdollista (ja tarpeellista!) jakaa.

Esimerkki:

Tässä tapauksessa voit TARVE kerro kaikki matriisin alkiot luvulla, koska kaikki matriisin luvut ovat jaollisia kahdella jälkeä jättämättä.

Huomaa: korkeamman matematiikan teoriassa ei ole koulukäsitettä "jaosta". Ilmauksen "tämä on jaettu tällä" sijasta voit aina sanoa "tämä kerrotaan murtoluvulla". Toisin sanoen jako on kertolaskun erikoistapaus.

3) Toimi kolme. Matriisitransponointi.

Transponoidaksesi matriisin, sinun on kirjoitettava sen rivit transponoidun matriisin sarakkeisiin.

Esimerkki:

Transponoi matriisi

Tässä on vain yksi rivi ja säännön mukaan se on kirjoitettava sarakkeeseen:

on transponoitu matriisi.

Transponoitu matriisi on yleensä merkitty yläindeksillä tai viivalla oikeassa yläkulmassa.

Esimerkki askel askeleelta:

Transponoi matriisi

Ensin kirjoitetaan ensimmäinen rivi uudelleen ensimmäiseksi sarakkeeksi:

Sitten kirjoitamme toisen rivin toiseen sarakkeeseen:

Ja lopuksi kirjoitamme kolmannen rivin uudelleen kolmanteen sarakkeeseen:

Valmis. Karkeasti sanottuna transponointi tarkoittaa matriisin kääntämistä kyljelleen.

4) Toimi neljä. Matriisien summa (erotus)..

Matriisien summa on yksinkertainen operaatio.
KAIKKI MATRIISIT EI VOI TAITTAA. Matriisien yhteenlasku (vähennys) suorittamiseksi on välttämätöntä, että ne ovat SAMAKOKOJA.

Esimerkiksi, jos annetaan kaksi kertaa kaksi matriisi, se voidaan lisätä vain kaksi kertaa kaksi matriisiin, ei muuta!

Esimerkki:

Lisää matriiseja ja

Jos haluat lisätä matriiseja, sinun on lisättävä niitä vastaavat elementit:

Matriisien erolle sääntö on samanlainen, on tarpeen löytää vastaavien elementtien ero.

Esimerkki:

Etsi matriisien ero ,

Ja kuinka ratkaista tämä esimerkki helpommin, jotta se ei hämmentyisi? On suositeltavaa päästä eroon tarpeettomista miinuksista, tätä varten lisäämme matriisiin miinuksen:

Huomaa: korkeamman matematiikan teoriassa ei ole koulun käsitettä "vähennys". Ilmauksen "vähennä tämä tästä" sijasta voit aina sanoa "lisää tähän negatiivinen luku". Eli vähennys on erityinen yhteenlaskutapaus.

5) Toimi viisi. Matriisi kertominen.

Mitä matriiseja voidaan kertoa?

Jotta matriisi kerrotaan matriisilla, niin, että matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin rivien lukumäärä.

Esimerkki:
Onko mahdollista kertoa matriisi matriisilla?

Joten voit kertoa matriisin tiedot.

Mutta jos matriisit järjestetään uudelleen, tässä tapauksessa kertominen ei ole enää mahdollista!

Siksi kertominen on mahdotonta:

Ei ole harvinaista, että tehtävissä on temppu, kun opiskelijaa pyydetään kertomaan matriiseja, joiden kertominen on ilmeisen mahdotonta.

On huomattava, että joissain tapauksissa on mahdollista kertoa matriiseja molemmilla tavoilla.
Esimerkiksi matriiseille sekä kerto- että kertolasku ovat mahdollisia

Joten palvelut matriisien ratkaisemiseen verkossa:

Matriisipalvelun avulla voit suorittaa matriisien perusmuunnoksia.
Jos sinulla on tehtävä tehdä monimutkaisempi muunnos, tätä palvelua tulisi käyttää rakentajana.

Esimerkki. Matriisitiedot A ja B, täytyy löytää C = A -1 * B + B T ,

1. Sinun pitäisi ensin löytää käänteinen matriisiA1 = A-1, käyttämällä palvelua käänteismatriisin etsimiseen;
2. Lisäksi matriisin löytämisen jälkeen A1 tee se matriisin kertolaskuA2 = A1 * B, käyttämällä palvelua matriisin kertomiseen;
3. Tehdään se matriisin transponointiA3 = B T (palvelu transponoidun matriisin löytämiseksi);
4. Ja viimeinen - etsi matriisien summa Kanssa = A2 + A3(palvelu matriisien summan laskentaan) - ja saamme vastauksen yksityiskohtaisimmalla ratkaisulla!;

Matriisien tulo

Tämä on online-palvelu kaksi askelta:

• Syötä ensimmäinen tekijämatriisi A
• Syötä toinen tekijämatriisi tai sarakevektori B

Matriisin kertominen vektorilla

Matriisin kertominen vektorilla löytyy palvelun avulla Matriisi kertominen
(Ensimmäinen tekijä on annettu matriisi, toinen tekijä on sarake, joka koostuu annetun vektorin alkioista)

Tämä on online-palvelu kaksi askelta:

• Syötä matriisi A, jolle sinun on löydettävä käänteismatriisi
• Saat vastauksen yksityiskohtaisella ratkaisulla käänteismatriisin löytämiseen

Matriisideterminantti

Tämä on online-palvelu yksi askel:

• Syötä matriisi A, jolle sinun on löydettävä matriisin determinantti

Matriisitransponointi

Täällä voit seurata matriisin transponointialgoritmia ja oppia ratkaisemaan tällaiset ongelmat itse.
Tämä on online-palvelu yksi askel:

• Syötä matriisi A, joka on siirrettävä osaksi kansallista lainsäädäntöä

Matrix-arvo

Tämä on online-palvelu yksi askel:

• Syötä matriisi A, jolle sinun on löydettävä sijoitus

Matriisin ominaisarvot ja matriisin ominaisvektorit

Tämä on online-palvelu yksi askel:

• Syötä matriisi A, joille sinun on löydettävä ominaisvektorit ja ominaisarvot (ominaisarvot)

Matriisin eksponentio

Tämä on online-palvelu kaksi askelta:

• Syötä matriisi A, joka nostetaan valtaan
• Syötä kokonaisluku q- tutkinto