Wenn der Winkel spitz ist, dann der Koeffizient. Die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Im vorigen Kapitel wurde gezeigt, dass wir durch die Wahl eines bestimmten Koordinatensystems in der Ebene die geometrischen Eigenschaften, die die Punkte der betrachteten Linie charakterisieren, durch die Gleichung zwischen den aktuellen Koordinaten analytisch ausdrücken können. Damit erhalten wir die Geradengleichung. In diesem Kapitel werden die Geradengleichungen betrachtet.

Um die Gleichung einer geraden Linie in kartesischen Koordinaten zu formulieren, müssen Sie irgendwie die Bedingungen festlegen, die ihre Position relativ zu den Koordinatenachsen bestimmen.

Zunächst führen wir das Konzept der Steigung einer Geraden ein, die eine der Größen ist, die die Lage einer Geraden in einer Ebene charakterisieren.

Nennen wir den Neigungswinkel der Linie zur Ochsenachse den Winkel, um den die Ochsenachse gedreht werden muss, damit sie mit der gegebenen Linie zusammenfällt (oder sich als parallel dazu herausstellt). Wie üblich betrachten wir den Winkel unter Berücksichtigung des Vorzeichens (das Vorzeichen wird durch die Drehrichtung bestimmt: gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn). Da eine zusätzliche Drehung der Ochsenachse um einen Winkel von 180° diese wieder mit der Geraden verbindet, kann der Neigungswinkel der Geraden zur Achse mehrdeutig (bis zu einem Vielfachen von ) gewählt werden.

Der Tangens dieses Winkels ist eindeutig bestimmt (da eine Änderung des Winkels in seinen Tangens nicht ändert).

Der Tangens des Neigungswinkels einer Geraden an die x-Achse heißt Steigung der Geraden.

Neigung kennzeichnet die Richtung der Geraden (hier wird nicht zwischen zwei einander entgegengesetzten Richtungen der Geraden unterschieden). Wenn der Hang gerade ist Null, dann ist die Linie parallel zur x-Achse. Bei positiver Steigung ist der Neigungswinkel der Geraden zur x-Achse spitz (wir betrachten hier den kleinsten positiver Wert Neigungswinkel) (Abb. 39); In diesem Fall ist der Neigungswinkel zur Ochsenachse umso größer, je größer die Neigung ist. Bei negativer Steigung ist der Neigungswinkel der Geraden zur x-Achse stumpf (Abb. 40). Beachten Sie, dass eine gerade Linie senkrecht zur x-Achse keine Steigung hat (die Tangente eines Winkels existiert nicht).

Die Linie y \u003d f (x) wird den in der Abbildung gezeigten Graphen am Punkt x0 tangieren, wenn sie durch den Punkt mit den Koordinaten (x0; f (x0)) verläuft und eine Steigung f "(x0) hat. Finden Ein solcher Koeffizient ist bei Kenntnis der Merkmale der Tangente nicht schwierig.

Du wirst brauchen

• - mathematisches Nachschlagewerk;
• - ein einfacher Bleistift;
• - Notizbuch;
• - Winkelmesser;
• - Kompass;
• - Griff.

Anweisung

Existiert der Wert f‘(x0) nicht, dann gibt es entweder keine Tangente oder sie verläuft senkrecht. In Anbetracht dessen ist das Vorhandensein der Ableitung der Funktion am Punkt x0 auf das Vorhandensein einer nicht vertikalen Tangente zurückzuführen, die den Graphen der Funktion am Punkt (x0, f(x0)) berührt. In diesem Fall ist die Steigung der Tangente gleich f "(x0). Somit wird es klar geometrische bedeutung Ableitung - Berechnung der Steigung der Tangente.

Zeichnen Sie zusätzliche Tangenten an, die den Funktionsgraphen an den Punkten x1, x2 und x3 berühren würden, und markieren Sie auch die Winkel, die diese Tangenten mit der Abszissenachse bilden (ein solcher Winkel wird in positiver Richtung von der Achse nach gezählt). die Tangente). Beispielsweise ist der Winkel α1 spitz, der zweite (α2) stumpf und der dritte (α3) null, da die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft. In diesem Fall ist der Tangens eines stumpfen Winkels negativ, der Tangens eines spitzen Winkels positiv und für tg0 ist das Ergebnis Null.

beachten Sie

Bestimme den von der Tangente gebildeten Winkel richtig. Verwenden Sie dazu einen Winkelmesser.

Hilfreicher Rat

Zwei schräge Linien sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind; senkrecht, wenn das Produkt der Steigungen dieser Tangenten -1 ist.

Quellen:

• Tangente an den Funktionsgraphen

Der Kosinus wird wie der Sinus als "direkte" trigonometrische Funktionen bezeichnet. Der Tangens (zusammen mit dem Kotangens) wird zu einem anderen Paar namens "Ableitungen" hinzugefügt. Es gibt mehrere Definitionen dieser Funktionen, die es ermöglichen, den durch gegebenen Tangens zu finden bekannter Wert Kosinus des gleichen Wertes.

Anweisung

Subtrahieren Sie den Quotienten von der Einheit durch den Kosinus des angegebenen Winkels, der auf den Wert erhöht ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Ergebnis - dies ist der Wert der Tangente aus dem Winkel, ausgedrückt durch seinen Kosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Beachten Sie dabei, dass in der Formel der Kosinus im Nenner des Bruchs steht. Die Unmöglichkeit, durch Null zu teilen, schließt die Verwendung dieses Ausdrucks für Winkel gleich 90° sowie Abweichungen von diesem Wert durch Vielfache von 180° (270°, 450°, -90° usw.) aus.

Es gibt auch alternativer Weg Berechnen des Tangens aus dem bekannten Wert des Kosinus. Es kann verwendet werden, wenn es keine Einschränkung für die Verwendung von other gibt. Um diese Methode zu implementieren, bestimmen Sie zunächst den Wert des Winkels aus dem bekannten Wert des Kosinus - dies kann mit der Arcuscosinus-Funktion erfolgen. Berechnen Sie dann einfach den Tangens für den Winkel des resultierenden Werts. Allgemein kann dieser Algorithmus wie folgt geschrieben werden: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Es gibt eine weitere exotische Option, die die Definition von Kosinus und Tangens durch die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet. Der Kosinus in dieser Definition entspricht dem Verhältnis der Länge des an den betrachteten Winkel angrenzenden Schenkels zur Länge der Hypotenuse. Wenn Sie den Wert des Kosinus kennen, können Sie die Längen dieser beiden Seiten entsprechend auswählen. Wenn zum Beispiel cos(α) = 0,5 ist, dann kann das Angrenzende gleich 10 cm und die Hypotenuse gleich 20 cm genommen werden. Spezifische Zahlen spielen hier keine Rolle - Sie erhalten dieselben und korrigieren alle Werte, die dieselben haben. Bestimmen Sie dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge der fehlenden Seite - des gegenüberliegenden Beins. Sie wird gleich sein Quadratwurzel aus der Differenz der Längen der quadrierten Hypotenuse und des bekannten Schenkels: √(20²-10²)=√300. Per Definition entspricht der Tangens dem Verhältnis der Längen des gegenüberliegenden und des benachbarten Beins (√300/10) - berechnen Sie es und erhalten Sie den ermittelten Tangenswert mit der klassischen Definition des Kosinus.

Quellen:

• Kosinus durch Tangens Formel

Einer von trigonometrische Funktionen, meist mit den Buchstaben tg bezeichnet, obwohl auch die Bezeichnungen tan vorkommen. Am einfachsten ist es, den Tangens als Verhältnis des Sinus darzustellen Winkel zu seinem Kosinus. Dies ist eine ungerade periodische und nicht kontinuierliche Funktion, deren jeder Zyklus ist gleich der Zahl Pi, und der Haltepunkt entspricht der Hälfte dieser Zahl.

In der Mathematik ist einer der Parameter, der die Lage einer Geraden auf der kartesischen Koordinatenebene beschreibt, die Steigung dieser Geraden. Dieser Parameter charakterisiert die Steigung der Geraden zur x-Achse. Um zu verstehen, wie man die Steigung findet, erinnern Sie sich zunächst an die allgemeine Form der Gleichung einer geraden Linie im XY-Koordinatensystem.

Im Allgemeinen kann jede Linie durch den Ausdruck ax+by=c dargestellt werden, wobei a, b und c beliebige reelle Zahlen sind, aber notwendigerweise a 2 + b 2 ≠ 0.

Mit Hilfe einfacher Umformungen lässt sich eine solche Gleichung auf die Form y=kx+d bringen, wobei k und d reelle Zahlen sind. Die Zahl k ist eine Steigung, und die Gleichung einer solchen Geraden heißt Gleichung mit Steigung. Es stellt sich heraus, dass Sie, um die Steigung zu finden, nur die ursprüngliche Gleichung in die obige Form bringen müssen. Betrachten Sie zum besseren Verständnis ein konkretes Beispiel:

Aufgabe: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 36x - 18y = 108 gegeben ist

Lösung: Transformieren wir die ursprüngliche Gleichung.

Antwort: Die gewünschte Steigung dieser Geraden ist 2.

Wenn wir bei der Umformung der Gleichung einen Ausdruck vom Typ x = const erhalten haben und deshalb y nicht als Funktion von x darstellen können, dann haben wir es mit einer Geraden parallel zur X-Achse zu tun eine solche gerade Linie ist gleich unendlich.

Für Linien, die durch eine Gleichung wie y = const ausgedrückt werden, ist die Steigung null. Dies ist typisch für Geraden parallel zur x-Achse. Zum Beispiel:

Aufgabe: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 gegeben ist

Lösung: Wir bringen die ursprüngliche Gleichung auf eine allgemeine Form

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es ist unmöglich, y aus dem resultierenden Ausdruck auszudrücken, daher ist die Steigung dieser Linie gleich unendlich und die Linie selbst wird parallel zur Y-Achse verlaufen.

geometrischen Sinn

Schauen wir uns zum besseren Verständnis das Bild an:

In der Abbildung sehen wir einen Graphen einer Funktion vom Typ y = kx. Zur Vereinfachung nehmen wir den Koeffizienten c = 0. Im Dreieck OAB ist das Verhältnis der Seiten BA zu AO gleich der Steigung k. Gleichzeitig ist das Verhältnis VA/AO der Tangens eines spitzen Winkels α in rechtwinkliges Dreieck OAV. Es stellt sich heraus, dass die Steigung einer Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den diese Gerade mit der x-Achse des Koordinatengitters bildet.

Um das Problem zu lösen, wie man die Steigung einer geraden Linie findet, finden wir die Tangente des Winkels zwischen ihr und der x-Achse des Koordinatengitters. Die Grenzfälle, wenn die betrachtete Linie parallel zu den Koordinatenachsen ist, bestätigen das Obige. Tatsächlich ist für eine gerade Linie, die durch die Gleichung y = const beschrieben wird, der Winkel zwischen ihr und der x-Achse gleich Null. Der Tangens des Nullwinkels ist ebenfalls Null und die Steigung ist ebenfalls Null.

Für Geraden senkrecht zur x-Achse und beschrieben durch die Gleichung x=const beträgt der Winkel zwischen ihnen und der x-Achse 90 Grad. Tangente rechter Winkel ist gleich unendlich, und die Steigung ähnlicher gerader Linien ist gleich unendlich, was das oben Geschriebene bestätigt.

Tangentensteigung

Eine gängige, in der Praxis oft anzutreffende Aufgabe ist es auch, irgendwann die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen zu finden. Die Tangente ist eine gerade Linie, daher ist das Konzept der Steigung auch auf sie anwendbar.

Um herauszufinden, wie man die Steigung einer Tangente findet, müssen wir uns an das Konzept einer Ableitung erinnern. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einem bestimmten Punkt ist numerisch eine Konstante gleich Tangente der Winkel, der zwischen der Tangente am angegebenen Punkt an den Graphen dieser Funktion und der Abszissenachse gebildet wird. Es stellt sich heraus, dass wir zur Bestimmung der Steigung der Tangente am Punkt x 0 den Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt berechnen müssen k \u003d f "(x 0). Betrachten wir ein Beispiel:

Aufgabe: Finde die Steigung der Tangente an die Funktion y = 12x 2 + 2xe x bei x = 0,1.

Lösung: Finden Sie die Ableitung der ursprünglichen Funktion in allgemeiner Form

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Antwort: Die gewünschte Steigung am Punkt x \u003d 0,1 beträgt 4,831

Die Fortsetzung des Themas der Gleichung einer Geraden in einer Ebene basiert auf dem Studium einer Geraden aus dem Algebraunterricht. Dieser Artikel gibt verallgemeinerte Informationen zum Thema Geradengleichung mit Steigung. Betrachten Sie die Definitionen, erhalten Sie die Gleichung selbst, zeigen Sie die Verbindung mit anderen Arten von Gleichungen auf. Alles wird an Beispielen zur Problemlösung besprochen.

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Vor dem Schreiben einer solchen Gleichung ist es notwendig, den Neigungswinkel einer Geraden zur O x -Achse mit ihrer Steigung zu definieren. Nehmen wir an, in der Ebene sei ein kartesisches Koordinatensystem O x gegeben.

Bestimmung 1

Der Neigungswinkel der Geraden zur Achse O x, im kartesischen Koordinatensystem O x y auf der Ebene gelegen, ist dies der Winkel, der von der positiven Richtung O x zur Geraden gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird.

Wenn eine Linie parallel zu Ox verläuft oder darin Koinzidenz auftritt, ist der Neigungswinkel 0. Dann ist der Neigungswinkel der gegebenen Geraden α auf dem Intervall [ 0 , π) definiert.

Bestimmung 2

Steigung einer Geraden ist der Tangens der Steigung der gegebenen Geraden.

Die Standardnotation ist k. Aus der Definition erhalten wir, dass k = t g α . Wenn die Linie parallel zu Ox ist, wird gesagt, dass die Steigung nicht existiert, weil sie ins Unendliche geht.

Die Steigung ist positiv, wenn der Graph der Funktion ansteigt und umgekehrt. Die Abbildung zeigt verschiedene Variationen der Position des rechten Winkels relativ zum Koordinatensystem mit dem Wert des Koeffizienten.

Um diesen Winkel zu finden, ist es notwendig, die Definition des Neigungskoeffizienten anzuwenden und den Tangens des Neigungswinkels in der Ebene zu berechnen.

Entscheidung

Aus der Bedingung haben wir, dass α = 120 °. Per Definition müssen Sie die Steigung berechnen. Finden wir es anhand der Formel k = t g α = 120 = - 3 .

Antworten: k = - 3 .

Wenn der Winkelkoeffizient bekannt ist, aber der Neigungswinkel zur x-Achse ermittelt werden muss, sollte der Wert des Winkelkoeffizienten berücksichtigt werden. Wenn k > 0, dann ist der rechte Winkel spitz und wird durch die Formel α = a r c t g k gefunden. Wenn k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der gegebenen Geraden zu O x mit einer Steigung gleich 3.

Entscheidung

Aus der Bedingung folgt, dass die Steigung positiv ist, was bedeutet, dass der Neigungswinkel zu O x kleiner als 90 Grad ist. Die Berechnung erfolgt nach der Formel α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Antwort: α = a r c t g 3 .

Beispiel 3

Finden Sie den Neigungswinkel der Geraden zur O x -Achse, wenn die Steigung = - 1 3 ist.

Entscheidung

Nehmen wir als Bezeichnung der Steigung den Buchstaben k, so ist α der Neigungswinkel zur gegebenen Geraden in positiver Richtung O x. Also k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - ein r c t g - 1 3 = π - ein r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Antworten: 5 Pi 6 .

Eine Gleichung der Form y \u003d k x + b, wobei k eine Steigung und b eine reelle Zahl ist, wird als Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung bezeichnet. Die Gleichung ist typisch für jede gerade Linie, die nicht parallel zur O y -Achse ist.

Betrachten wir im Detail eine Gerade auf einer Ebene in einem festen Koordinatensystem, die durch eine Gleichung mit einer Steigung gegeben ist, die wie folgt aussieht: y = k · x + b . In diesem Fall bedeutet dies, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie der Gleichung entsprechen. Wenn wir die Koordinaten des Punktes M, M 1 (x 1, y 1) in die Gleichung y \u003d k x + b einsetzen, verläuft die Linie in diesem Fall durch diesen Punkt, andernfalls gehört der Punkt nicht zu dem Linie.

Beispiel 4

Gegeben sei eine Gerade mit Steigung y = 1 3 x - 1 . Berechne, ob die Punkte M 1 (3 , 0) und M 2 (2 , - 2) zu der gegebenen Linie gehören.

Entscheidung

Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes M 1 (3, 0) in die gegebene Gleichung einzusetzen, dann erhalten wir 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Die Gleichheit ist wahr, also gehört der Punkt zur Linie.

Wenn wir die Koordinaten des Punktes M 2 (2, - 2) ersetzen, erhalten wir eine falsche Gleichheit der Form - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Wir können schlussfolgern, dass der Punkt M 2 nicht zur Linie gehört.

Antworten: M 1 gehört zur Linie, M 2 jedoch nicht.

Es ist bekannt, dass die Gerade durch die Gleichung y = k · x + b definiert ist, die durch M 1 (0 , b) verläuft, die Substitution ergab eine Gleichheit der Form b = k · 0 + b ⇔ b = b . Daraus können wir schließen, dass die Geradengleichung mit der Steigung y = k · x + b in der Ebene eine Gerade definiert, die durch den Punkt 0, b geht. Sie bildet einen Winkel α mit der positiven Richtung der O x -Achse, wobei k = t g α ist.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine gerade Linie vor, die durch eine Steigung der Form y = 3 · x - 1 definiert ist. Wir erhalten, dass die gerade Linie durch den Punkt mit den Koordinaten 0, - 1 mit einer Steigung von α = a r c t g 3 = π 3 Bogenmaß entlang der positiven Richtung der O x -Achse verläuft. Daraus ist ersichtlich, dass der Koeffizient 3 ist.

Die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, die durch einen bestimmten Punkt verläuft

Es ist notwendig, ein Problem zu lösen, bei dem es notwendig ist, die Gleichung einer geraden Linie mit einer gegebenen Steigung zu erhalten, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Die Gleichheit y 1 = k · x + b kann als gültig angesehen werden, da die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1 , y 1) verläuft. Um die Zahl b zu entfernen, muss die Gleichung mit dem Steigungskoeffizienten von der linken und rechten Seite subtrahiert werden. Daraus folgt, dass y - y 1 = k · (x - x 1) . Diese Gleichheit wird die Gleichung einer geraden Linie mit einer gegebenen Steigung k genannt, die durch die Koordinaten des Punktes M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Beispiel 5

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie zusammen, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (4, - 1) und einer Steigung von - 2 verläuft.

Entscheidung

Durch die Bedingung haben wir das x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Von hier aus wird die Geradengleichung folgendermaßen geschrieben: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Antworten: y = - 2 x + 7 .

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (3, 5) parallel zur geraden Linie y \u003d 2 x - 2 verläuft.

Entscheidung

Als Bedingung haben wir, dass parallele Linien zusammenfallende Neigungswinkel haben, daher sind die Steigungskoeffizienten gleich. So finden Sie die Steigung ab gegebene Gleichung, ist es notwendig, sich an seine Grundformel y = 2 x - 2 zu erinnern, woraus folgt, dass k = 2 . Wir erstellen eine Gleichung mit einem Steigungskoeffizienten und erhalten:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Antworten: y = 2 x - 1 .

Der Übergang von der Gleichung einer geraden Linie mit Steigung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie und umgekehrt

Eine solche Gleichung ist nicht immer zum Lösen von Problemen anwendbar, da sie eine nicht sehr bequeme Notation hat. Dazu muss es in anderer Form dargestellt werden. Beispielsweise erlaubt eine Gleichung der Form y = k · x + b nicht, die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden oder die Koordinaten des Normalenvektors aufzuschreiben. Dazu müssen Sie lernen, wie man Gleichungen anderer Art darstellt.

Wir können die kanonische Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene erhalten, indem wir die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung verwenden. Wir erhalten x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es ist notwendig, den Term b auf die linke Seite zu verschieben und durch den Ausdruck der resultierenden Ungleichung zu dividieren. Dann erhalten wir eine Gleichung der Form y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Die Gleichung einer Geraden mit Steigung ist zur kanonischen Gleichung einer gegebenen Geraden geworden.

Beispiel 7

Bringen Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung y = - 3 x + 12 auf kanonische Form.

Entscheidung

Wir berechnen und stellen in Form einer kanonischen Geradengleichung dar. Wir erhalten eine Gleichung der Form:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Antwort: x 1 = y - 12 - 3.

Die allgemeine Geradengleichung erhält man am einfachsten aus y = k x + b, erfordert aber Umformungen: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Von der allgemeinen Geradengleichung wird auf Gleichungen anderer Art übergegangen.

Beispiel 8

Gegeben ist eine Geradengleichung der Form y = 1 7 x - 2. Herausfinden, ob der Vektor mit den Koordinaten a → = (- 1 , 7) ein normaler Geradenvektor ist?

Entscheidung

Um es zu lösen, muss man zu einer anderen Form dieser Gleichung wechseln, dafür schreiben wir:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Die Koeffizienten vor den Variablen sind die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden. Schreiben wir es so n → = 1 7 , - 1 , also 1 7 x - y - 2 = 0 . Es ist klar, dass der Vektor a → = (- 1 , 7) kollinear zum Vektor n → = 1 7 , - 1 ist, da wir eine faire Beziehung a → = - 7 · n → haben. Daraus folgt, dass der ursprüngliche Vektor a → = – 1, 7 ein Normalenvektor der Geraden 1 7 x – y – 2 = 0 ist, was bedeutet, dass er als Normalenvektor für die Geraden y = 1 7 x – 2 betrachtet wird.

Antworten: Ist ein

Lösen wir das Problem umgekehrt zu diesem.

Ausziehen müssen Gesamtansicht Gleichung A x + B y + C = 0 , wobei B ≠ 0 , zur Steigungsgleichung. Dazu lösen wir die Gleichung nach y auf. Wir erhalten A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Das Ergebnis ist eine Gleichung mit einer Steigung gleich -A B .

Beispiel 9

Gegeben ist eine Geradengleichung der Form 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Ermitteln Sie die Gleichung einer gegebenen Geraden mit Steigung.

Entscheidung

Basierend auf der Bedingung muss nach y aufgelöst werden, dann erhalten wir eine Gleichung der Form:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Antwort: y = 1 6 x + 1 4 .

Auf ähnliche Weise wird eine Gleichung der Form x a + y b \u003d 1 gelöst, die als Gleichung einer geraden Linie in Segmenten oder als kanonische Form x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y bezeichnet wird. Es ist notwendig, es in Bezug auf y zu lösen, nur dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Steigung:

x ein + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x ein ⇔ y = - b ein x + b .

Die kanonische Gleichung lässt sich auf eine Form mit Steigung zurückführen. Dafür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

Beispiel 10

Es gibt eine gerade Linie, die durch die Gleichung x 2 + y – 3 = 1 gegeben ist. Bringen Sie es auf die Form einer Gleichung mit Steigung.

Entscheidung.

Basierend auf der Bedingung muss transformiert werden, dann erhalten wir eine Gleichung der Form _Formel_. Beide Seiten der Gleichung sollten mit -3 multipliziert werden, um die erforderliche Steigungsgleichung zu erhalten. Durch Transformation erhalten wir:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Antworten: y = 3 2 x - 3 .

Beispiel 11

Die Geradengleichung der Form x - 2 2 \u003d y + 1 5 wird mit einer Steigung in die Form gebracht.

Entscheidung

Es ist notwendig, den Ausdruck x - 2 2 = y + 1 5 als Verhältnis zu berechnen. Wir erhalten, dass 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Jetzt müssen Sie es vollständig aktivieren, dafür:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Antwort: y = 5 2 x - 6 .

Um solche Aufgaben zu lösen, sollte man parametrische Gleichungen der Geraden x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ aufbringen kanonische gleichung gerade Linie, erst danach können Sie mit der Gleichung mit dem Steigungskoeffizienten fortfahren.

Beispiel 12

Ermitteln Sie die Steigung der Geraden, wenn sie durch parametrische Gleichungen x = λ y = - 1 + 2 · λ gegeben ist.

Entscheidung

Sie müssen von der parametrischen Ansicht zur Neigung wechseln. Dazu finden wir die kanonische Gleichung aus der gegebenen parametrischen:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nun gilt es, diese Gleichheit nach y aufzulösen, um die Gleichung einer Geraden mit Steigung zu erhalten. Dazu schreiben wir so:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Daraus folgt, dass die Steigung der Geraden gleich 2 ist. Dies wird als k = 2 geschrieben.

Antworten: k = 2 .

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Die Abbildung zeigt den Neigungswinkel der Geraden und den Wert des Steigungskoeffizienten für verschiedene Optionen für die Lage der Geraden relativ zum rechtwinkligen Koordinatensystem.

Es bereitet keine Schwierigkeiten, die Steigung einer Geraden bei bekanntem Neigungswinkel zur Ox-Achse zu finden. Dazu genügt es, sich an die Definition des Neigungskoeffizienten zu erinnern und den Tangens des Neigungswinkels zu berechnen.

Beispiel.

Finden Sie die Steigung der Linie, wenn der Winkel ihrer Neigung zur x-Achse gleich ist.

Entscheidung.

Nach Bedingung. Dann berechnen wir per Definition die Steigung der Geraden .

Antworten:

Etwas schwieriger ist die Aufgabe, den Neigungswinkel einer Geraden zur x-Achse mit bekannter Steigung zu finden. Hierbei ist das Vorzeichen des Steigungskoeffizienten zu berücksichtigen. Wenn der Neigungswinkel der Geraden spitz ist und als gefunden wird. Wenn der Neigungswinkel einer Geraden stumpf ist und durch die Formel bestimmt werden kann .

Beispiel.

Bestimmen Sie den Neigungswinkel einer Geraden zur x-Achse, wenn ihre Steigung 3 beträgt.

Entscheidung.

Da die Steigung bedingt positiv ist, ist der Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse scharf. Wir berechnen es nach der Formel.

Antworten:

Beispiel.

Die Steigung der Geraden ist . Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Geraden zur Achse Ox.

Entscheidung.

Bezeichnen k ist die Steigung der Geraden, ist der Neigungswinkel dieser Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse. Als , dann verwenden wir die Formel zum Ermitteln des Neigungswinkels einer Geraden der folgenden Form . Wir ersetzen die Daten aus der Bedingung darin: .

Antworten:

Gleichung einer Geraden mit einer Steigung.

Liniengleichung mit Steigung hat die Form , wobei k die Steigung der Geraden ist, b eine reelle Zahl ist. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung kann jede Gerade angeben, die nicht parallel zur Oy-Achse ist (bei einer Geraden parallel zur y-Achse ist die Steigung nicht definiert).

Schauen wir uns die Bedeutung des Satzes an: "Eine Linie auf einer Ebene in einem festen Koordinatensystem ist durch eine Gleichung mit einer Steigung der Form gegeben". Dies bedeutet, dass die Gleichung durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie erfüllt wird und nicht durch die Koordinaten eines anderen Punktes auf der Ebene. Wenn also beim Ersetzen der Koordinaten eines Punktes die richtige Gleichheit erreicht wird, dann verläuft die Gerade durch diesen Punkt. Andernfalls liegt der Punkt nicht auf einer Linie.

Beispiel.

Die Gerade ist durch eine Gleichung mit Steigung gegeben. Gehören die Punkte auch zu dieser Linie?

Entscheidung.

Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die ursprüngliche Gleichung einer Geraden mit Steigung ein: . Wir haben die richtige Gleichheit erhalten, daher liegt der Punkt M 1 auf einer geraden Linie.

Wenn wir die Koordinaten des Punktes ersetzen, erhalten wir die falsche Gleichheit: . Somit liegt der Punkt M2 nicht auf einer geraden Linie.

Antworten:

Punkt M 1 gehört zur Linie, M 2 nicht.

Es sollte beachtet werden, dass die gerade Linie, die durch die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung definiert ist, durch den Punkt verläuft, da wir beim Einsetzen ihrer Koordinaten in die Gleichung die richtige Gleichheit erhalten: .

Somit bestimmt die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung eine gerade Linie auf einer Ebene, die durch einen Punkt verläuft und einen Winkel mit der positiven Richtung der Abszissenachse bildet, und .

Als Beispiel wollen wir eine Gerade zeichnen, die durch die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung der Form definiert ist. Diese Gerade geht durch den Punkt und hat eine Steigung Bogenmaß (60 Grad) zur positiven Richtung der Ox-Achse. Seine Steigung beträgt .

Die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, die durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Jetzt werden wir ein sehr wichtiges Problem lösen: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie mit einer gegebenen Steigung k erhalten und durch den Punkt gehen.

Da die Gerade durch den Punkt geht, gilt die Gleichheit . Die Zahl b ist uns unbekannt. Um es loszuwerden, subtrahieren wir vom linken und rechten Teil der Gleichung einer geraden Linie mit Steigung jeweils den linken und rechten Teil der letzten Gleichheit. Dabei bekommen wir . Diese Gleichheit ist Gleichung einer Geraden mit gegebener Steigung k, die durch einen gegebenen Punkt geht.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt geht, die Steigung dieser geraden Linie ist -2.

Entscheidung.

Von dem Zustand, den wir haben . Dann nimmt die Gleichung einer Geraden mit Steigung die Form an.

Antworten:

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass sie durch einen Punkt verläuft und der Neigungswinkel zur positiven Richtung der Ox-Achse beträgt.

Entscheidung.

Zuerst berechnen wir die Steigung der Geraden, deren Gleichung wir suchen (wir haben ein solches Problem im vorherigen Absatz dieses Artikels gelöst). A-Priorat . Jetzt haben wir alle Daten, um die Gleichung einer Geraden mit Steigung zu schreiben:

Antworten:

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft.

Entscheidung.

Es ist offensichtlich, dass die Neigungswinkel paralleler Linien zur Achse Ox zusammenfallen (siehe ggf. den Artikel parallele Linien), daher sind die Neigungskoeffizienten paralleler Linien gleich. Dann ist die Steigung der Geraden, deren Gleichung wir erhalten müssen, gleich 2, da die Steigung der Geraden 2 ist. Jetzt können wir die erforderliche Geradengleichung mit Steigung aufstellen:

Antworten:

Der Übergang von der Gleichung einer geraden Linie mit einem Steigungskoeffizienten zu anderen Arten der Gleichung einer geraden Linie und umgekehrt.

Bei aller Vertrautheit ist die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung bei weitem nicht immer bequem zu verwenden, um Probleme zu lösen. In manchen Fällen lassen sich Probleme leichter lösen, wenn die Geradengleichung in anderer Form dargestellt wird. Beispielsweise erlaubt die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung nicht, die Koordinaten des Richtungsvektors der geraden Linie oder die Koordinaten des normalen Vektors der geraden Linie sofort aufzuschreiben. Daher sollte man lernen, von der Gleichung einer Geraden mit Steigung zu anderen Arten der Gleichung dieser Geraden überzugehen.

Aus der Gleichung einer Geraden mit Steigung lässt sich leicht die kanonische Gleichung einer Geraden auf einer Ebene der Form gewinnen . Dazu übertragen wir den Term b von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen und dividieren dann beide Teile der resultierenden Gleichheit durch die Steigung k:. Diese Vorgänge führen uns von der Geradengleichung mit Steigung zur kanonischen Geradengleichung.

Beispiel.

Geben Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung an zur kanonischen Form.

Entscheidung.

Lassen Sie uns die notwendigen Transformationen durchführen: .

Antworten:

Beispiel.

Die Gerade ergibt sich aus der Geradengleichung mit Steigung . Ist der Vektor ein Normalenvektor dieser Geraden?

Entscheidung.

Um dieses Problem zu lösen, gehen wir von der Gleichung einer Geraden mit Steigung zur allgemeinen Gleichung dieser Geraden über: . Wir wissen, dass die Koeffizienten vor den Variablen x und y in der allgemeinen Geradengleichung die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors dieser Geraden, also des Normalenvektors der Geraden sind . Offensichtlich ist der Vektor kollinear zum Vektor , da die Beziehung wahr ist (siehe ggf. den Artikel). Somit ist der ursprüngliche Vektor auch ein Normalenvektor der Linie , und ist daher ein normaler Vektor und die ursprüngliche Linie .

Antworten:

Ja ist es.

Und jetzt lösen wir das umgekehrte Problem - das Problem, die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene auf die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung zu bringen.

Aus der allgemeinen Geradengleichung , wobei es sehr einfach ist, auf die Steigungsgleichung überzugehen. Dazu benötigen Sie allgemeine Gleichung direkte Auflösung in Bezug auf y . Gleichzeitig bekommen wir. Die resultierende Gleichheit ist die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung gleich .