Kreisgleichung. Gleichung eines Kreises und einer Geraden Zeigen Sie, dass diese Gleichung online einen Kreis definiert

Klasse: 8

Das Ziel des Unterrichts: führen Sie die Kreisgleichung ein, bringen Sie den Schülern bei, eine Kreisgleichung nach einer fertigen Zeichnung zu erstellen, bauen Sie einen Kreis nach einer gegebenen Gleichung.

Ausrüstung: interaktive Tafel.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment - 3 min.
2. Wiederholung. Organisation der geistigen Aktivität - 7 min.
3. Erklärung des neuen Materials. Herleitung der Kreisgleichung - 10 min.
4. Konsolidierung des studierten Materials - 20 min.
5. Zusammenfassung der Lektion - 5 min.

Während des Unterrichts

2. Wiederholung:

− (Anhang 1 Folie 2) Schreiben Sie die Formel auf, um die Koordinaten der Mitte des Segments zu finden.

− (Folie 3) Z Schreiben Sie die Formel für den Abstand zwischen Punkten (die Länge des Segments).

3. Erläuterung des neuen Materials.

(Folien 4 - 6) Definiere die Kreisgleichung. Leiten Sie die Gleichungen eines Kreises her, der in einem Punkt zentriert ist ( a;b) und am Ursprung zentriert.

(X – a ) 2 + (bei – b ) 2 = R 2 − Kreisgleichung mit Mittelpunkt AUS (a;b) , Radius R , X und bei – Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis .

X 2 + j 2 = R 2 ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung.

(Folie 7)

Um die Kreisgleichung zu schreiben, benötigst du:

• die Koordinaten des Zentrums kennen;
• die Länge des Radius kennen;
• setze die Koordinaten des Mittelpunkts und die Länge des Radius in die Kreisgleichung ein.

4. Problemlösung.

Stellen Sie in den Aufgaben Nr. 1 - Nr. 6 die Gleichungen des Kreises gemäß den fertigen Zeichnungen auf.

(Folie 14)

№ 7. Fülle die Tabelle aus.

(Folie 15)

№ 8. Konstruieren Sie Kreise im Notizbuch, die durch die Gleichungen gegeben sind:

a) ( X – 5) 2 + (bei + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (bei– 7) 2 = 7 2 .

(Folie 16)

№ 9. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und die Länge des Radius, wenn AB ist der Durchmesser des Kreises.

Gegeben:		Lösung:
		R	Koordinaten zentrieren
1	ABER(0 ; -6) BEI(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	ABER(0; -6) BEI(0 ; 2) AUS(0 ; – 2) – Center
2	ABER(-2 ; 0) BEI(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	ABER (-2;0) BEI (4 ;0) AUS(1 ; 0) – Center

(Folie 17)

№ 10. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist und der durch den Punkt geht Zu(-12;5).

Lösung.

R2 = Okay 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Kreisgleichung: x 2 + y 2 = 169 .

(Folie 18)

№ 11. Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis, der durch den Ursprung geht und am Punkt zentriert ist AUS(3; - 1).

Lösung.

R2= Betriebssystem 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Kreisgleichung: ( X - 3) 2 + (ja + 1) 2 = 10.

(Folie 19)

№ 12. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt ABER(3;2) durch BEI(7;5).

Lösung.

1. Der Mittelpunkt des Kreises - ABER(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Kreisgleichung ( X – 3) 2 + (bei − 2) 2 = 25.

(Folie 20)

№ 13. Überprüfen Sie, ob Punkte liegen ABER(1; -1), BEI(0;8), AUS(-3; -1) auf dem durch die Gleichung ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

Lösung.

ich. Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes ABER(1; -1) in die Kreisgleichung:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - Gleichheit ist falsch, was bedeutet ABER(1; -1) lügt nicht auf dem durch die Gleichung ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

II. Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes BEI(0;8) in die Kreisgleichung:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
BEI(0;8)Lügen X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

III. Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes AUS(-3; -1) in die Kreisgleichung:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - Gleichheit ist wahr, also AUS(-3; -1) Lügen auf dem durch die Gleichung ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

Zusammenfassung der Lektion.

1. Wiederholung: Kreisgleichung, Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung.
2. (Folie 21) Hausaufgaben.

Umfang ist die Menge von Punkten in der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Wenn Punkt C der Mittelpunkt des Kreises ist, R sein Radius ist und M ein beliebiger Punkt auf dem Kreis ist, dann ist dies per Definition ein Kreis

Gleichheit (1) ist Kreisgleichung Radius R zentriert bei Punkt C.

Ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem (Abb. 104) und ein Punkt C ( a; b) ist der Mittelpunkt eines Kreises mit Radius R. Sei Ì( X; bei) ist ein beliebiger Punkt dieses Kreises.

Da |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), dann kann Gleichung (1) wie folgt geschrieben werden:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Gleichung (2) wird aufgerufen die allgemeine Kreisgleichung oder die Gleichung eines Kreises mit Radius R zentriert um den Punkt ( a; b). Zum Beispiel die Gleichung

(x - l) 2 + ( j + 3) 2 = 25

ist die Gleichung eines Kreises mit Radius R = 5, dessen Mittelpunkt der Punkt (1; -3) ist.

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprung zusammenfällt, dann nimmt Gleichung (2) die Form an

x 2 + bei 2 = R2 . (3)

Gleichung (3) wird aufgerufen die kanonische Kreisgleichung .

Aufgabe 1. Schreiben Sie die Gleichung für einen Kreis mit Radius R = 7, der im Ursprung zentriert ist.

Durch direktes Einsetzen des Radiuswertes in Gleichung (3) erhalten wir

x 2 + bei 2 = 49.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichung für einen Kreis mit Radius R = 9, dessen Mittelpunkt der Punkt C(3; -6) ist.

Setzen wir den Wert der Koordinaten des Punktes C und den Wert des Radius in Formel (2) ein, erhalten wir

(X - 3) 2 + (bei- (-6)) 2 = 81 oder ( X - 3) 2 + (bei + 6) 2 = 81.

Aufgabe 3. Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises

(X + 3) 2 + (bei-5) 2 =100.

Wenn wir diese Gleichung mit der allgemeinen Kreisgleichung (2) vergleichen, sehen wir das a = -3, b= 5, R = 10. Daher ist С(-3; 5), R = 10.

Aufgabe 4. Beweisen Sie, dass die Gleichung

x 2 + bei 2 + 4X - 2j - 4 = 0

ist die Kreisgleichung. Finden Sie seinen Mittelpunkt und Radius.

Transformieren wir die linke Seite dieser Gleichung:

x 2 + 4X + 4- 4 + bei 2 - 2bei +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (bei - 1) 2 = 9.

Diese Gleichung ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-2; 1); der Radius des Kreises ist 3.

Aufgabe 5. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Punkt C(-1; -1) ist und der die gerade Linie AB berührt, wenn A (2; -1), B(-1; 3).

Schreiben wir die Gleichung der Geraden AB:

oder 4 X + 3j-5 = 0.

Da der Kreis eine Tangente an die gegebene Linie ist, steht der zum Berührungspunkt gezeichnete Radius senkrecht zu dieser Linie. Um den Radius zu finden, müssen Sie den Abstand vom Punkt C (-1; -1) - dem Mittelpunkt des Kreises - zur geraden Linie 4 ermitteln X + 3j-5 = 0:

Lassen Sie uns die Gleichung des gewünschten Kreises schreiben

(x +1) 2 + (j +1) 2 = 144 / 25

Gegeben sei ein Kreis in einem rechtwinkligen Koordinatensystem x 2 + bei 2 = R2 . Betrachten Sie seinen beliebigen Punkt M( X; bei) (Abb. 105).

Lassen Sie den Radiusvektor Om> Punkt M bildet einen Betragswinkel t mit der positiven Richtung der O-Achse X, dann ändern sich Abszisse und Ordinate des Punktes M in Abhängigkeit von t

(0 t x und y durch t, wir finden

x= RCcos t ; j= R Sünde t , 0 t

Gleichungen (4) aufgerufen werden parametrische Gleichungen eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung.

Aufgabe 6. Der Kreis ist durch die Gleichungen gegeben

x= \(\sqrt(3)\)cos t, j= \(\sqrt(3)\)sünde t, 0 t

Schreiben Sie die kanonische Gleichung für diesen Kreis.

Es folgt aus der Bedingung x 2 = 3 cos 2 t, bei 2 = 3 Sünde 2 t. Wenn wir diese Gleichheiten Term für Term addieren, erhalten wir

x 2 + bei 2 = 3(cos 2 t+ Sünde 2 t)

oder x 2 + bei 2 = 3

Unterrichtsthema: Kreisgleichung

Unterrichtsziele:

Lehrreich: Leiten Sie die Kreisgleichung her und betrachten Sie die Lösung dieses Problems als eine der Anwendungsmöglichkeiten der Koordinatenmethode.

In der Lage sein:

– Erkennen Sie die Kreisgleichung gemäß der vorgeschlagenen Gleichung, bringen Sie den Schülern bei, eine Kreisgleichung gemäß einer fertigen Zeichnung zu erstellen, und bauen Sie einen Kreis gemäß einer bestimmten Gleichung.

Lehrreich : Bildung von kritischem Denken.

Lehrreich : Entwicklung der Fähigkeit, algorithmische Vorschriften zu machen und in Übereinstimmung mit dem vorgeschlagenen Algorithmus zu handeln.

In der Lage sein:

– Sehen Sie das Problem und planen Sie Lösungswege.

– Fassen Sie Ihre Gedanken mündlich und schriftlich zusammen.

Unterrichtstyp: Assimilation von neuem Wissen.

Ausrüstung : PC, Multimedia-Projektor, Leinwand.

Unterrichtsplan:

1. Eröffnungsrede - 3 min.

2. Wissen aktualisieren - 2 min.

3. Problemstellung und Lösung -10 min.

4. Frontale Befestigung des neuen Materials - 7 min.

5. Eigenständiges Arbeiten in Gruppen - 15 min.

6. Präsentation der Arbeit: Diskussion - 5 min.

7. Das Ergebnis der Lektion. Hausaufgaben - 3 Min.

Während des Unterrichts

Der Zweck dieser Phase: Psychische Stimmung der Studenten; Einbeziehung aller Schüler in den Lernprozess, Schaffung einer Erfolgssituation.

1. Zeit organisieren.

3 Minuten

Leute! Sie haben den Kreis in der 5. und 8. Klasse kennengelernt. Was weißt du über sie?

Sie wissen viel, und diese Daten können zur Lösung geometrischer Probleme verwendet werden. Aber um Probleme zu lösen, bei denen die Koordinatenmethode verwendet wird, reicht dies nicht aus.Wieso den?

Absolut richtig.

Daher ist das Hauptziel der heutigen Lektion, die Kreisgleichung aus den geometrischen Eigenschaften einer gegebenen Linie abzuleiten und sie zur Lösung geometrischer Probleme anzuwenden.

Lassen Sie es gehenMotto des Unterrichts die Worte des zentralasiatischen Wissenschaftler-Enzyklopädisten Al-Biruni werden: „Wissen ist der beste aller Besitztümer. Alle streben danach, aber es kommt nicht von alleine.“

Schreiben Sie das Thema der Lektion in ein Heft.

Definition eines Kreises.

Radius.

Durchmesser.

Akkord. Usw.

Die allgemeine Form der Kreisgleichung kennen wir noch nicht.

Die Schüler listen alles auf, was sie über den Kreis wissen.

Folie 2

Folie 3

Ziel der Stufe ist es, sich ein Bild von der Lernqualität der Schüler des Stoffes zu machen, das Grundwissen zu ermitteln.

2. Wissensaktualisierung.

2 Minuten

Bei der Ableitung der Kreisgleichung Sie benötigen die bereits bekannte Definition eines Kreises und eine Formel, mit der Sie den Abstand zwischen zwei Punkten anhand ihrer Koordinaten ermitteln können.Erinnern wir uns an diese Tatsachen /PWiederholung des Stoffes zuvor studiert/:

– Schreiben Sie die Formel auf, um die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu finden.

– Schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors auf.

– Schreiben Sie die Formel auf, um den Abstand zwischen Punkten zu ermitteln (Länge des Segments).

Datensätze bearbeiten...

Geometrisches Training.

Gegebene PunkteA (-1; 7) undIn (7; 1).

Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke AB und ihre Länge.

Überprüft die Richtigkeit der Ausführung, korrigiert Berechnungen ...

Ein Schüler an der Tafel, der Rest schreibt Formeln in Hefte

Ein Kreis ist eine geometrische Figur, die aus allen Punkten besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Berechnen: C (3; 4)

| AB | = 10

AUS lag 4

Folie 5

3. Bildung von neuem Wissen.

12 Minuten

Zweck: die Bildung des Konzepts - die Gleichung des Kreises.

Das Problem lösen:

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird ein Kreis mit Mittelpunkt A(x; y) konstruiert. M(x; y) - beliebiger Punkt des Kreises. Finde den Radius des Kreises.

Werden die Koordinaten irgendeines anderen Punktes diese Gleichheit erfüllen? Wieso den?

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.Als Ergebnis haben wir:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² ist die Gleichung des Kreises, wobei (x; y) die Koordinaten des Kreismittelpunkts sind, (x; y) die Koordinaten eines beliebigen Punkt, der auf dem Kreis liegt, r ist der Radius des Kreises.

Das Problem lösen:

Wie lautet die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung?

Was müssen Sie also wissen, um die Gleichung eines Kreises zu schreiben?

Schlagen Sie einen Algorithmus zur Erstellung der Kreisgleichung vor.

Fazit: ... in ein Notizbuch schreiben.

Ein Radius ist eine Strecke, die den Mittelpunkt eines Kreises mit einem beliebigen auf dem Kreis liegenden Punkt verbindet. Daher ist r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Jeder Punkt auf einem Kreis liegt auf diesem Kreis.

Die Schüler schreiben in Hefte.

(0;0)-Koordinaten des Kreismittelpunktes.

x² + y² = r², wobei r der Radius des Kreises ist.

Die Koordinaten des Kreismittelpunkts, der Radius, ein beliebiger Punkt auf dem Kreis...

Sie schlagen einen Algorithmus vor...

Schreibe den Algorithmus in ein Heft.

Folie 6

Folie 7

Folie 8

Der Lehrer schreibt die Gleichung an die Tafel.

Folie 9

4. Primärbefestigung.

23 Minuten

Ziel:Reproduktion des gerade wahrgenommenen Materials durch die Schüler, um den Verlust der gebildeten Ideen und Konzepte zu verhindern. Konsolidierung von neuem Wissen, Ideen, Konzepten auf deren GrundlageAnwendungen.

ZUN-Steuerung

Wenden wir das erworbene Wissen bei der Lösung der folgenden Probleme an.

Eine Aufgabe: Nennen Sie aus den vorgeschlagenen Gleichungen die Nummern derjenigen, die die Gleichungen des Kreises sind. Und wenn die Gleichung die Gleichung eines Kreises ist, dann nenne die Koordinaten des Mittelpunkts und gib den Radius an.

Nicht jede Gleichung zweiten Grades mit zwei Variablen definiert einen Kreis.

4x² + y² \u003d 4-Ellipsengleichung.

x²+y²=0-Punkt.

x² + y² \u003d -4-diese Gleichung definiert keine Figur.

Leute! Was muss man wissen, um eine Gleichung für einen Kreis zu schreiben?

Das Problem lösen Nr. 966 S. 245 (Lehrbuch).

Der Lehrer ruft den Schüler an die Tafel.

Reichen die in der Aufgabenstellung angegebenen Daten aus, um eine Gleichung für einen Kreis aufzustellen?

Eine Aufgabe:

Schreibe die Gleichung für einen Kreis auf, der im Ursprung zentriert ist und einen Durchmesser von 8 hat.

Eine Aufgabe : zeichnet einen Kreis.

Zentrum hat Koordinaten?

Bestimmen Sie den Radius ... und bauen Sie

Aufgabe auf Seite 243 (Lehrbuch) wird mündlich verstanden.

Lösen Sie das Problem anhand des Problemlösungsplans von S. 243:

Schreiben Sie die Kreisgleichung mit Mittelpunkt A(3;2), wenn der Kreis durch Punkt B(7;5) verläuft.

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - Kreisgleichung; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - Kreisgleichung; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - Kreisgleichung; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- Kreisgleichung; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 ist keine Kreisgleichung.

6) x² + y² = 0- ist keine Kreisgleichung.

7) x² + y² = -4- ist keine Kreisgleichung.

Kenne die Koordinaten des Kreismittelpunktes.

Radiuslänge.

Setze die Koordinaten des Mittelpunkts und die Länge des Radius in die allgemeine Kreisgleichung ein.

Lösen Sie Aufgabe Nr. 966 S. 245 (Lehrbuch).

Genug Daten.

Sie lösen das Problem.

Da der Durchmesser eines Kreises doppelt so groß ist wie sein Radius, ist r=8÷2=4. Daher ist x² + y² = 16.

Führen Sie die Konstruktion von Kreisen durch

Lehrbucharbeit. Aufgabe auf Seite 243.

Gegeben: A (3; 2) - der Mittelpunkt des Kreises; Â(7;5)є(А;r)

Suche: Kreisgleichung

Lösung: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² = (7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Antwort: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Folie 10-13

Typische Probleme lösen, indem die Lösung in einer lauten Rede ausgesprochen wird.

Der Lehrer ruft einen Schüler auf, die resultierende Gleichung aufzuschreiben.

Zurück zu Folie 9

Diskussion eines Plans zur Lösung dieses Problems.

Gleiten. fünfzehn. Der Lehrer ruft einen Schüler an die Tafel, um dieses Problem zu lösen.

Folie 16.

Folie 17.

5. Zusammenfassung der Lektion.

5 Minuten

Reflexion der Aktivitäten im Unterricht.

Hausaufgaben: §3, Punkt 91, Kontrollfragen Nr. 16,17.

Probleme Nr. 959 (b, d, e), 967.

Aufgabe zur zusätzlichen Bewertung (Problemaufgabe): Konstruieren Sie einen durch die Gleichung gegebenen Kreis

x² + 2x + y² -4y = 4.

Worüber haben wir im Unterricht gesprochen?

Was wollten Sie erhalten?

Was war das Ziel des Unterrichts?

Welche Aufgaben können durch unsere „Entdeckung“ gelöst werden?

Wer von Ihnen glaubt, dass Sie das vom Lehrer im Unterricht gesetzte Ziel zu 100% erreicht haben, zu 50%; Ziel nicht erreicht...?

Benotung.

Hausaufgaben aufschreiben.

Die Schüler beantworten die Fragen des Lehrers. Führen Sie eine Selbsteinschätzung der eigenen Leistung durch.

Die Schüler müssen das Ergebnis und die Möglichkeiten, es zu erreichen, in einem Wort ausdrücken.

Gleichung einer Linie in einer Ebene

Führen wir zunächst das Konzept der Geradengleichung in einem zweidimensionalen Koordinatensystem ein. Es sei eine beliebige Linie $L$ im kartesischen Koordinatensystem konstruiert (Abb. 1).

Abbildung 1. Beliebige Linie im Koordinatensystem

Bestimmung 1

Eine Gleichung mit zwei Variablen $x$ und $y$ heißt eine Gleichung der Geraden $L$, wenn diese Gleichung durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden $L$ erfüllt wird und nicht durch einen Punkt, der nicht der Geraden angehört Zeile $L.$

Kreisgleichung

Lassen Sie uns die Kreisgleichung im kartesischen Koordinatensystem $xOy$ herleiten. Der Mittelpunkt des Kreises $C$ habe die Koordinaten $(x_0,y_0)$ und der Radius des Kreises sei gleich $r$. Der Punkt $M$ mit den Koordinaten $(x,y)$ sei ein beliebiger Punkt dieses Kreises (Abb. 2).

Abbildung 2. Kreis in kartesischen Koordinaten

Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zum Punkt $M$ wird wie folgt berechnet

Da aber $M$ auf dem Kreis liegt, erhalten wir $CM=r$. Dann bekommen wir folgendes

Gleichung (1) ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $(x_0,y_0)$ und dem Radius $r$.

Insbesondere dann, wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprung zusammenfällt. Dann hat die Kreisgleichung die Form

Gleichung einer geraden Linie.

Lassen Sie uns die Gleichung der Geraden $l$ im kartesischen Koordinatensystem $xOy$ herleiten. Die Punkte $A$ und $B$ haben die Koordinaten $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ bzw. $\(x_2,\ y_2\)$ und die Punkte $A$ und $B $ werden so gewählt, dass die Gerade $l$ die Mittelsenkrechte zur Strecke $AB$ ist. Wir wählen einen beliebigen Punkt $M=\(x,y\)$, der zur Geraden $l$ gehört (Abb. 3).

Da die Linie $l$ die Mittelsenkrechte zum Segment $AB$ ist, ist der Punkt $M$ von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt, d. h. $AM=BM$.

Ermitteln Sie die Längen dieser Seiten mit der Formel für den Abstand zwischen Punkten:

Folglich

Bezeichnen Sie mit $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Wir erhalten, dass die Geradengleichung im kartesischen Koordinatensystem folgende Form hat:

Ein Beispiel für ein Problem zum Auffinden der Geradengleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem

Beispiel 1

Finde die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Punkt $(2,\ 4)$ ist. Durch den Ursprung und eine gerade Linie parallel zur $Ox,$-Achse, die durch ihren Mittelpunkt verläuft.

Lösung.

Lassen Sie uns zuerst die Gleichung des gegebenen Kreises finden. Dazu verwenden wir die allgemeine Kreisgleichung (oben hergeleitet). Da der Mittelpunkt des Kreises im Punkt $(2,\ 4)$ liegt, erhalten wir

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Ermitteln Sie den Radius des Kreises als Abstand vom Punkt $(2,\ 4)$ zum Punkt $(0,0)$

Wir erhalten die Gleichung des Kreises hat die Form:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Lassen Sie uns nun die Kreisgleichung unter Verwendung des Spezialfalls 1 finden. Wir erhalten