Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie aus den Punkten. Allgemeine Geradengleichung: Beschreibung, Beispiele, Problemlösung

Gegeben seien zwei Punkte M(X 1 ,Bei 1) und N(X 2,j 2). Finden wir die Gleichung der geraden Linie, die durch diese Punkte geht.

Da diese Gerade durch den Punkt geht M, dann hat ihre Gleichung nach Formel (1.13) die Form

Bei – Y 1 = K(X-x 1),

Wo K ist die unbekannte Steigung.

Der Wert dieses Koeffizienten wird aus der Bedingung bestimmt, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt verläuft N, was bedeutet, dass seine Koordinaten Gleichung (1.13) erfüllen

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Von hier aus können Sie die Steigung dieser Linie finden:

,

Oder nach Umbau

(1.14)

Formel (1.14) definiert Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht M(X 1, Y 1) und N(X 2, Y 2).

Im besonderen Fall, wenn die Punkte M(EIN, 0), N(0, B), ABER ¹ 0, B¹ 0, auf den Koordinatenachsen liegen, nimmt Gleichung (1.14) eine einfachere Form an

Gleichung (1.15) genannt Gleichung einer Geraden in Segmenten, hier ABER und B bezeichnen Segmente, die durch eine gerade Linie auf den Achsen abgeschnitten sind (Abbildung 1.6).

Abbildung 1.6

Beispiel 1.10. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht M(1, 2) und B(3, –1).

. Nach (1.14) hat die Gleichung der gesuchten Geraden die Form

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Wenn wir alle Terme auf die linke Seite übertragen, erhalten wir schließlich die gewünschte Gleichung

3X + 2Y – 7 = 0.

Beispiel 1.11. Schreibe eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt geht M(2, 1) und dem Schnittpunkt der Geraden X+ Y- 1 = 0, X-y+ 2 = 0.

. Wir finden die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien, indem wir diese Gleichungen gemeinsam lösen

Wenn wir diese Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir 2 X+ 1 = 0, woher . Wenn wir den gefundenen Wert in eine beliebige Gleichung einsetzen, finden wir den Wert der Ordinate Bei:

Schreiben wir nun die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte (2, 1) und verläuft:

oder .

Daher oder -5( Y – 1) = X – 2.

Schließlich erhalten wir die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form X + 5Y – 7 = 0.

Beispiel 1.12. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch Punkte geht M(2.1) und N(2,3).

Mit Formel (1.14) erhalten wir die Gleichung

Es macht keinen Sinn, weil der zweite Nenner Null ist. Aus der Problemstellung ist ersichtlich, dass die Abszissen beider Punkte den gleichen Wert haben. Daher ist die erforderliche Linie parallel zur Achse OY und seine Gleichung lautet: x = 2.

Kommentar . Wenn sich beim Schreiben der Geradengleichung nach Formel (1.14) herausstellt, dass einer der Nenner gleich Null ist, dann erhält man die gewünschte Gleichung, indem man den entsprechenden Zähler mit Null gleichsetzt.

Betrachten wir andere Möglichkeiten, eine gerade Linie auf einer Ebene festzulegen.

1. Ein von Null verschiedener Vektor sei senkrecht zu einer gegebenen Linie L, und der Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie (Abbildung 1.7).

Abbildung 1.7

Bezeichnen M(X, Y) ein beliebiger Punkt auf der Linie L. Vektoren und Senkrecht. Unter Verwendung der Orthogonalitätsbedingungen für diese Vektoren erhalten wir bzw ABER(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Wir haben die Gleichung einer geraden Linie erhalten, die durch einen Punkt geht M 0 steht senkrecht auf dem Vektor . Dieser Vektor heißt Normaler Vektor zu einer geraden Linie L. Die resultierende Gleichung kann umgeschrieben werden als

Oh + Wu + AUS= 0, wo AUS = –(ABERX 0 + Durch 0), (1.16),

Wo ABER und BEI sind die Koordinaten des Normalenvektors.

Wir erhalten die allgemeine Geradengleichung in parametrischer Form.

2. Eine Linie auf einer Ebene kann wie folgt definiert werden: Ein Nicht-Null-Vektor sei parallel zu einer gegebenen Linie L und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt M(X, y) auf einer Geraden (Abbildung 1.8).

Abbildung 1.8

Vektoren und kollinear.

Schreiben wir die Bedingung der Kollinearität dieser Vektoren auf: , wo T ist eine beliebige Zahl, die als Parameter bezeichnet wird. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinaten:

Diese Gleichungen werden aufgerufen Parametrische Gleichungen Gerade. Lassen Sie uns aus diesen Gleichungen den Parameter ausschließen T:

Diese Gleichungen können in der Form geschrieben werden

. (1.18)

Die resultierende Gleichung wird aufgerufen Die kanonische Gleichung einer Geraden. Vektoranruf Richtungsvektor gerade .

Kommentar . Es ist leicht zu sehen, dass if der Normalenvektor zur Geraden ist L, dann kann sein Richtungsvektor der Vektor sein, da , also .

Beispiel 1.13. Schreibe die Gleichung einer Geraden auf, die durch einen Punkt geht M 0(1, 1) parallel zu Zeile 3 X + 2Bei– 8 = 0.

Lösung . Der Vektor ist der Normalenvektor zu den gegebenen und gewünschten Linien. Verwenden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft M 0 mit gegebenem Normalenvektor 3( X –1) + 2(Bei– 1) = 0 oder 3 X + 2 Jahre- 5 \u003d 0. Wir haben die Gleichung der gewünschten geraden Linie erhalten.

Die Gerade soll durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k In Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 \u003d x 2, dann ist die gerade Linie, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, parallel zur y-Achse. Seine Gleichung ist x = x 1 .

Wenn y 2 \u003d y I, dann kann die Gleichung der geraden Linie geschrieben werden als y \u003d y 1, die gerade Linie M 1 M 2 ist parallel zur x-Achse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die gerade Linie die Ox-Achse am Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - am Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
diese.
. Diese Gleichung heißt die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, weil die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Gerade auf den Koordinatenachsen abschneidet.

Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Finden Sie die Gleichung der geraden Linie, die durch sie hindurchgeht gegebener Punkt Mo (x O; y o) steht senkrecht auf dem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B).

Nimm einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachte den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B) senkrecht zur Geraden heißt normal Normalenvektor dieser Linie .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C \u003d -Ax o - Vu o - freies Mitglied. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb.2).

Abb.1 Abb.2

Kanonische Gleichungen der Geraden

,

Wo
sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und
- Richtungsvektor.

Kurven zweiter Ordnung Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Kanonische Gleichung eines Radiuskreises R auf einen Punkt zentriert
:

Wenn insbesondere der Mittelpunkt des Einsatzes mit dem Ursprung zusammenfällt, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten und , die Foci genannt werden, ist ein konstanter Wert
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Ursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
G de a die Länge der großen Halbachse; b ist die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Es gibt unendlich viele Linien, die durch jeden Punkt gezogen werden können.

Durch zwei beliebige Punkte, die nicht zusammenfallen, gibt es nur eine Gerade.

Zwei nicht zusammenfallende Linien in der Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im 3D-Raum gibt es drei Optionen. relative Position zwei Geraden:

• Linien schneiden sich;

• gerade Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie- algebraische Kurve erster Ordnung: im kartesischen Koordinatensystem eine Gerade

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung gerade.

Definition. Jede Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ah + Wu + C = 0,

und konstant A, B gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung wird aufgerufen Allgemeines

Gerade Gleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und AUS Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- Die Linie geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Geradengleichung lässt sich darstellen in verschiedene Formen je nach Vorgabe

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Linie

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt geht A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Lassen Sie uns bei A \u003d 3 und B \u003d -1 die Gleichung der geraden Linie zusammenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Um den Koeffizienten C zu finden

wir setzen die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein und erhalten somit: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die gewünschte Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) und M2 (x 2, y 2 , z 2), dann Gerade Gleichung,

diese Punkte durchlaufen:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. Auf der

Ebene wird die oben geschriebene Geradengleichung vereinfacht:

wenn x1 ≠ x2 und x = x 1, wenn x1 = x2 .

Fraktion = k genannt Neigungsfaktor gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und eine Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung einer geraden Linie Ah + Wu + C = 0 ins Formular bringen:

und benennen , dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Die Gleichung einer Geraden auf einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Analog zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 genannt Richtungsvektor der Geraden.

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit dem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) geht.

Lösung. Wir suchen die Gleichung der gewünschten geraden Linie in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x=1, y=2 wir bekommen C/A = -3, d.h. Gewünschte Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der geraden Linie Ah + Wu + C = 0 C≠0, dann erhalten wir durch Teilen durch -C:

oder wo

geometrischen Sinn Koeffizienten dadurch, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, a b- die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser geraden Linie in Segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ah + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren , Was heisst

normalisierender Faktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ * C< 0.

R- die Länge der vom Ursprung zur Linie fallenden Senkrechten,

a φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Gegeben sei die allgemeine Geradengleichung 12x - 5y - 65 = 0. Zum Schreiben erforderlich verschiedene Typen Gleichungen

diese Gerade.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)

Gleichung einer geraden Linie:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Zu beachten ist, dass nicht jede Gerade durch eine Streckengleichung dargestellt werden kann, z. B. Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung gehend.

Winkel zwischen Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2. Zwei Gerade Linien sind senkrecht,

wenn k1 \u003d -1 / k2 .

Satz.

Direkte Ah + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Wenn auch С 1 \u003d λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft, steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden.

Definition. Eine Linie, die durch einen Punkt verläuft M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt vergeben wird M(x 0, y 0), dann die Entfernung zur Linie Ah + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- Die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt ab M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 und 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

gegebene Zeile. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme zum Finden der Ableitung mit einem gegebenen Funktionsgraphen und einer Tangente an diesen Graphen zu analysieren. Wir werden diese Methode in untersuchen , nicht verpassen! Warum nächste?

Tatsache ist, dass dort die Formel der Gleichung einer geraden Linie verwendet wird. Natürlich könnte man diese Formel einfach zeigen und dir raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Es ist notwendig! Wenn Sie es vergessen haben, stellen Sie es schnell wieder herwird nicht schwierig sein. Alles ist unten detailliert. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) wird eine gerade Linie durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel:

*Das heißt, wenn wir die spezifischen Koordinaten der Punkte ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

** Wenn diese Formel einfach „auswendig gelernt“ wird, dann besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass man sie mit Indizes verwechselt X. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF sind ähnlich scharfe Ecke(das erste Zeichen der Ähnlichkeit rechtwinklige Dreiecke). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich wird es keinen Fehler geben, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (die Hauptsache ist, die Korrespondenz beizubehalten):

Das Ergebnis ist die gleiche Gleichung einer geraden Linie. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, finden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie.

Die Formel kann anhand der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, aber das Prinzip der Ableitung ist dasselbe, da wir über die Proportionalität ihrer Koordinaten sprechen werden. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung verständlicher)).

Ausgabe über Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Es sei eine Gerade auf der Koordinatenebene konstruiert, die durch zwei gegebene Punkte A (x 1; y 1) und B (x 2; y 2) geht. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( x; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf einer Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

- wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten:

Betrachten Sie ein Beispiel:

Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie können nicht einmal die Leitung selbst bauen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie die Korrespondenz bei der Erstellung der Quote erfassen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 geht y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie sie unbedingt - ersetzen Sie die Datenkoordinaten in der Bedingung der Punkte. Sie sollten korrekte Gleichheiten erhalten.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene fort: Wir werden eine solche Art von Gleichung als allgemeine Gleichung einer geraden Linie betrachten. Lassen Sie uns ein Theorem definieren und seinen Beweis geben; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie man Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie macht. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und der Lösung praktischer Probleme festigen.

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Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y in der Ebene.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C \u003d 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine gerade Linie in ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Jede Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die die Form A x + B y + C = 0 für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C hat.

Nachweisen

Dieser Satz besteht aus zwei Punkten, wir werden jeden von ihnen beweisen.

1. Lassen Sie uns beweisen, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Linie in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt Ì 0 (x 0 , y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C \u003d 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, wir erhalten eine neue Gleichung, die wie A aussieht (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es ist äquivalent zu A x + B y + C = 0 .

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Die Punktmenge M (x, y) definiert also in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B) . Wir können davon ausgehen, dass dies nicht so ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht, und die Gleichheit A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 eine bestimmte Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene und daher die äquivalente Gleichung A x + B y + C \u003d 0 definiert dieselbe Zeile. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

1. Beweisen wir, dass jede gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 gegeben werden kann.

Setzen wir eine Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene; Punkt M 0 (x 0 , y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Geraden n → = (A , B) .

Lassen Sie es auch einen Punkt M (x , y) geben - einen Gleitpunkt der Linie. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A , B) und M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben wir die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren C: C = - A x 0 - B y 0 und erhalten schließlich die Gleichung A x + B y + C = 0 .

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes bewiesen, und wir haben den ganzen Satz als Ganzes bewiesen.

Bestimmung 1

Eine Gleichung, die aussieht wie A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Geradengleichung auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemO x y .

Basierend auf dem bewiesenen Satz können wir schließen, dass eine gerade Linie, die in einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, und ihre allgemeine Gleichung untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die ursprüngliche Linie entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Geradengleichung entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + gegeben ist C = 0 .

Betrachten Sie ein spezifisches Beispiel der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer geraden Linie in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Linie ist der Vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Zeichne eine vorgegebene gerade Linie in die Zeichnung.

Man kann auch argumentieren: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, ist durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen Gerade dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ A x + λ B y + λ C = 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit der Zahl λ multiplizieren, nicht Null. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe Linie in der Ebene.

Bestimmung 2

Vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden- eine solche allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, in der die Zahlen A, B, C nicht Null sind. Ansonsten ist die Gleichung unvollständig.

Analysieren wir alle Varianten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung.

1. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, wird die allgemeine Gleichung zu B y + C \u003d 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert eine gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y, die parallel zur O x -Achse ist, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt -C.B. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, wenn A \u003d 0, B ≠ 0, definiert den Ort von Punkten (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind -C.B.
2. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, wird die allgemeine Gleichung zu y \u003d 0. Eine solche unvollständige Gleichung definiert die x-Achse O x .
3. Wenn A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C \u003d 0, die eine gerade Linie parallel zur y-Achse definiert.
4. Sei A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x \u003d 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
5. Wenn schließlich A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ist, nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form A x + B y \u003d 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0 , 0) der Gleichheit A x + B y = 0 , da A · 0 + B · 0 = 0 .

Lassen Sie uns alle oben genannten Arten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass die gegebene Gerade parallel zur y-Achse ist und durch den Punkt 2 7 , -11 geht. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Eine gerade Linie parallel zur y-Achse ist durch eine Gleichung der Form A x + C \u003d 0 gegeben, wobei A ≠ 0 ist. Die Bedingung gibt auch die Koordinaten des Punktes an, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes entsprechen den Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0 , d.h. Gleichheit ist richtig:

A 2 7 + C = 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem A ein Wert ungleich Null gegeben wird, zum Beispiel A = 7 . In diesem Fall erhalten wir: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die benötigte Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antworten: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die ersten Daten zur Lösung des Problems leicht zu entnehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die angegebene Linie parallel zur O x -Achse ist und durch den Punkt (0 , 3) ​​​​geht.

Die zur Abszisse parallele Gerade wird durch die unvollständige allgemeine Gleichung B y + С = 0 bestimmt. Finden Sie die Werte von B und C . Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + С = 0, dann gilt die Gleichheit: В · 3 + С = 0. Lassen Sie uns B auf einen anderen Wert als Null setzen. Nehmen wir an, B \u003d 1, in diesem Fall können wir aus der Gleichheit B · 3 + C \u003d 0 C finden: C \u003d - 3. Wir gebrauchen bekannte Werte B und C erhalten wir die erforderliche Geradengleichung: y - 3 = 0.

Antworten: y - 3 = 0 .

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit gilt: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahiere die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite des Generals vollständige Gleichung gerade. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) und hat a Normalvektor n → \u003d (A, B) .

Das erhaltene Ergebnis ermöglicht es, die allgemeine Geradengleichung für bekannte Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und die Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden zu schreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt M 0 (- 3, 4), durch den die Gerade verläuft, und der Normalenvektor dieser Geraden n → = (1 , - 2) . Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die erforderlichen Daten zum Erstellen der Gleichung zu erhalten: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte auch anders gelöst werden können. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form A x + B y + C = 0 . Der gegebene Normalenvektor ermöglicht es Ihnen, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Finden Sie nun den Wert von C mit durch die Bedingung gegeben Problempunkt M 0 (-3, 4), durch den die Gerade verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 · y + C = 0 , d.h. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Also C = 11. Die erforderliche Geradengleichung hat die Form: x - 2 · y + 11 = 0 .

Antworten: x - 2 y + 11 = 0 .

Beispiel 4

Gegeben sei eine Linie 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Linie liegender Punkt M 0 . Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und sie ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Lösung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes M 0 als x 0 und y 0 . Die Anfangsdaten zeigen an, dass x 0 \u003d - 3. Da der Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Linie. Dann gilt folgende Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiere y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antworten: - 5 2

Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Arten von Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen derselben Geraden in der Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige auszuwählen, die für ihre Lösung bequemer ist. Hier erweist sich die Fähigkeit, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln, als sehr praktisch.

Betrachten wir zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ist A ≠ 0, dann übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Auf der linken Seite entfernen wir A aus Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y .

Diese Gleichheit kann als Verhältnis geschrieben werden: x + C A - B = y A .

Wenn B ≠ 0, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, wir übertragen die anderen auf die rechte Seite, wir erhalten: A x \u003d - B y - C. Wir nehmen - B aus Klammern heraus, dann: A x \u003d - B y + C B.

Schreiben wir die Gleichheit als Proportion um: x - B = y + C B A .

Natürlich müssen Sie sich die resultierenden Formeln nicht merken. Es reicht aus, den Aktionsalgorithmus beim Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Linie 3 y - 4 = 0 ist gegeben. Es muss in eine kanonische Gleichung umgewandelt werden.

Lösung

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 = 0 . Als nächstes verfahren wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir - 3 aus Klammern heraus; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Verhältnis: x - 3 = y - 4 3 0 . Damit haben wir eine Gleichung der kanonischen Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Geradengleichung in parametrische umzuwandeln, geht man zunächst zu über kanonische Form, und dann der Übergang von der kanonischen Geradengleichung zu parametrischen Gleichungen.

Beispiel 6

Die Gerade ist gegeben durch die Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0 . Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen dieser Geraden auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nehmen wir nun beide Teile der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antworten:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in die Gleichung einer geraden Linie mit der Steigung y \u003d k x + b umgewandelt werden, jedoch nur, wenn B ≠ 0. Für den Übergang auf der linken Seite lassen wir den Term B y stehen, der Rest wird nach rechts verlegt. Wir erhalten: B y = - A x - C . Lassen Sie uns beide Teile der resultierenden Gleichheit durch B dividieren, das von Null verschieden ist: y = - A B x - C B .

Beispiel 7

Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben: 2 x + 7 y = 0 . Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Lassen Sie uns die erforderlichen Aktionen gemäß dem Algorithmus ausführen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antworten: y = - 2 7 x .

Aus der allgemeinen Geradengleichung genügt es, einfach eine Segmentgleichung der Form x a + y b = 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang zu machen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Teile der resultierenden Gleichheit durch - С und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der geraden Linie x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Lassen Sie uns 1 2 auf die rechte Seite verschieben: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zu den allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und die Gleichung mit einer Steigung lassen sich leicht in eine allgemeine umwandeln, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammenfasst:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in die allgemeine umgewandelt:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um vom Parametrischen überzugehen, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen durchgeführt:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind die Parametergleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Linie aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Gehen wir von kanonisch zu allgemein über:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antworten: y - 4 = 0

Beispiel 10

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in Segmenten x 3 + y 1 2 = 1. Es ist notwendig, den Übergang zu machen Gesamtansicht Gleichungen.

Lösung:

Schreiben wir einfach die Gleichung in der erforderlichen Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Aufstellen einer allgemeinen Geradengleichung

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, geschrieben werden kann. Eine solche Gerade ist durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiert. An gleicher Stelle haben wir das entsprechende Beispiel analysiert.

Schauen wir uns jetzt mehr an komplexe Beispiele, bei der zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Gegeben sei eine Linie parallel zur Linie 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Bekannt ist auch der Punkt M 0 (4 , 1), durch den die gegebene Gerade verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden soll, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Geradengleichung aufzustellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Beispiel 12

Die gegebene Gerade geht durch den Ursprung senkrecht zur Geraden x - 2 3 = y + 4 5 . Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie zu schreiben.

Lösung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 = y + 4 5 .

Dann ist n → = (3 , 5) . Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0) . Lassen Sie uns die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antworten: 3 x + 5 y = 0 .

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