Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl. Was ist eine quadratwurzel

11.10.2019

Vor dem Aufkommen von Taschenrechnern haben Schüler und Lehrer Quadratwurzeln von Hand berechnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten zur Berechnung Quadratwurzel Zahlen manuell. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Zerlege die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Zum Beispiel sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratische Faktoren sind Faktoren , die Quadratzahlen sind. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (manuell). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu zerlegen. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar - das ist eine Quadratzahl. Wenn Sie 400 durch 25 teilen, erhalten Sie 16. Die Zahl 16 ist auch eine Quadratzahl. Somit kann 400 in Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt von Quadratwurzeln aus jedem Term, also √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel und ziehen Sie die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors und multiplizieren Sie die Ergebnisse, um die Antwort zu finden.
- Ziehe in unserem Beispiel die Quadratwurzel aus 25 und 16.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), werden Sie die genaue Antwort nicht als ganze Zahl finden können. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehst du die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehst die Wurzel aus dem gewöhnlichen Faktor.
- Berechnen Sie zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 kann nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt werden, aber sie kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 49 und 3. Lösen Sie die Aufgabe wie folgt:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Werten Sie ggf. den Wert der Wurzel aus. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel auswerten (einen ungefähren Wert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln von Quadratzahlen vergleichen, die (auf beiden Seiten des Zahlenstrahls) der Wurzelzahl am nächsten sind. Sie erhalten den Wert der Wurzel als Dezimalbruch, die mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.
- Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Die Wurzelzahl ist 3. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Wenn Sie die Berechnungen auf einem Taschenrechner durchführen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
  - Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher an 6 liegt als an 5 (weil 35 nur um 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als ist 6. Die Überprüfung mit einem Taschenrechner gibt uns die Antwort 5,92 - wir hatten Recht.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. aufschreiben Hauptfaktoren in einer Reihe und finde Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden.
- Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Wurzelzahl in Primfaktoren: 45 \u003d 9 x 5 und 9 \u003d 3 x 3. Also √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kann aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 abschätzen.
- Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikator 2s; nimm ein paar davon und nimm sie aus dem Zeichen der Wurzel heraus.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können wir √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.
Quadratwurzel manuell berechnen

Spaltenteilung verwenden
1. Diese Methode beinhaltet einen ähnlichen Prozess wie die lange Division und gibt eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und ziehen Sie dann eine horizontale Linie nach rechts und etwas unterhalb der oberen Kante des Blatts zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Wurzelzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Bruchteil nach dem Komma. Die Nummer 79520789182.47897 wird also geschrieben als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.
  - Lassen Sie uns zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14 berechnen. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie die Zahl oben links als "7 80, 14". Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel der gegebenen Zahl) wird oben rechts geschrieben.
2. Gegeben das erste Zahlenpaar (oder eine Zahl) von links, finde die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem fraglichen Zahlenpaar (oder einer Zahl) ist. Mit anderen Worten, finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl; Sie erhalten die Zahl n. Schreibe das gefundene n oben rechts und das Quadrat n unten rechts auf.
  - In unserem Fall ist die erste Zahl links die Zahl 7. Als nächstes 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Subtrahiere das Quadrat der Zahl n, die du gerade gefunden hast, vom ersten Zahlenpaar (oder einer Zahl) von links. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).
  - Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7, um 3 zu erhalten.
4. Notieren Sie das zweite Zahlenpaar und schreiben Sie es neben den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Verdoppeln Sie dann die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".
  - In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreibe "80" nach der 3. Verdoppele dann die Zahl von oben rechts, ergibt 4. Schreibe "4_×_=" von unten rechts.
5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.
  - Wenn wir in unserem Fall anstelle von Bindestrichen die Zahl 8 eingeben, dann 48 x 8 \u003d 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 ist in Ordnung. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 \u003d 329. Schreiben Sie 7 von oben rechts - dies ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.
6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl auf der linken Seite, finden Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter die subtrahierte.
  - Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 329 von 380, was 51 entspricht.
7. Wiederholen Sie Schritt 4. Wenn das abgebrochene Zahlenpaar der Bruchteil der ursprünglichen Zahl ist, setzen Sie das Trennzeichen (Komma) der ganzen Zahl und des Bruchteils in die gewünschte Quadratwurzel von rechts oben. Tragen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".
  - In unserem Beispiel ist das nächste zu zerlegende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14, also setzen Sie das Trennzeichen der ganzen Zahl und des Bruchteils in die gewünschte Quadratwurzel von oben rechts. Reisse 14 ab und schreibe unten links auf. Das Doppelte oben rechts (27) ist 54, schreibe also "54_×_=" unten rechts.
8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Finden Sie die größte Zahl anstelle von Bindestrichen auf der rechten Seite (statt Bindestrichen müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Multiplikationsergebnis kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.
  - In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, also kleiner als die aktuelle Zahl auf der linken Seite (5114). Schreiben Sie oben rechts 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.
9. Wenn Sie mehr Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein Paar Nullen neben die aktuelle Zahl auf der linken Seite und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Genauigkeit der gewünschten Antwort erhalten (Anzahl von Nachkommastellen).
Den Prozess verstehen
1. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (Sa = 7 in unserem Beispiel) und finden Sie seine Quadratwurzel. In diesem Fall wird die erste Ziffer A des gesuchten Werts der Quadratwurzel eine solche Ziffer sein, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (d. h. wir suchen ein solches A, das die Ungleichung A² erfüllt ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; Hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die, wenn sie mit 7 multipliziert wird, einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Stellen Sie sich im Geiste das Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, dh der Seitenlänge eines Quadrats mit der Fläche S. A, B, C sind Zahlen in der Zahl L. Sie können es anders schreiben: 10A + B \u003d L (für eine Zwei -stellige Zahl) oder 100A + 10B + C \u003d L (für dreistellige Zahl) und so weiter.
  - Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der B für Einsen und A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann entspricht 10A+B der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Quadrats, 100A² ist die Fläche des großen inneren Quadrats, B² ist die Fläche des kleinen inneren Quadrats, 10A×B ist die Fläche von jedem der beiden Rechtecke. Wenn Sie die Flächen der beschriebenen Figuren addieren, finden Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.

Tatsache 1.
\(\bullet\) Nimm einige nicht eine negative Zahl\(a\) (also \(a\geqslant 0\) ). Dann (rechnen) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) wird eine solche nicht-negative Zahl \(b\) genannt, beim Quadrieren erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(wie )\quad a=b^2\] Aus der Definition folgt, dass \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Quadratwurzel und sollten beachtet werden!
Denken Sie daran, dass jede Zahl quadriert ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) ? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nicht-negative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, also \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Das Finden des Werts \(\sqrt a\) wird als Ziehen der Quadratwurzel der Zahl \(a\) bezeichnet, und die Zahl \(a\) wird als Wurzelausdruck bezeichnet.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition können die Ausdrücke \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. keinen Sinn machen.

Tatsache 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Tabelle der Quadrate natürlicher Zahlen von \(1\) bis \(20\) zu lernen: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Tatsache 3.
Was kann man mit Quadratwurzeln machen?
\(\Patrone\) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz, d.h. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte \(\sqrt(25)\) und \(\sqrt (49)\ ) und dann addieren. Folglich, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Wenn beim Hinzufügen von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter konvertiert und bleibt so wie er ist. Zum Beispiel können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) \(\sqrt(49)\) finden - das ist \(7\) , aber \(\sqrt 2\) kann es nicht sein in irgendeiner Weise umgewandelt, deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Außerdem kann dieser Ausdruck leider in keiner Weise vereinfacht werden.\(\bullet\) Das Produkt/der Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d.h. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sofern beide Teile der Gleichheit sinnvoll sind)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Unter Verwendung dieser Eigenschaften ist es bequem, die Quadratwurzeln von zu finden große Zahlen indem man sie faktorisiert.
Betrachten Sie ein Beispiel. Finden Sie \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Nach dem Teilbarkeitskriterium ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da ihre Quersumme 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\) , das heißt \(441=9\ cdot 49\) .
Somit haben wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) (kurz für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\) ) zeigen wir, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt. Da \(5=\sqrt(25)\) dann \ Beachten Sie auch, dass bspw.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Warum so? Lassen Sie uns mit Beispiel 1) erklären. Wie Sie bereits verstanden haben, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie konvertieren. Stellen Sie sich vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\) ). Und wir wissen, dass dies gleich vier solcher Zahlen \(a\) ist, also \(4\sqrt2\) .

Tatsache 4.
\(\bullet\) Es wird oft gesagt „kann die Wurzel nicht ziehen“, wenn es nicht möglich ist, das Zeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Radikal) loszuwerden, wenn man den Wert einer Zahl findet. Beispielsweise können Sie die Zahl \(16\) rooten, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber die Wurzel aus der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, ist unmöglich, weil es keine solche Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational ist. Und zusammen alle rational und alle irrationale Zahlen bilden eine Menge namens Menge reeller (reeller) Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Dies bedeutet, dass alle Zahlen, die sind dieser Moment wir wissen, werden reelle Zahlen genannt.

Tatsache 5.
\(\bullet\) Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der reellen Zahl Linie. Beispielsweise sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) gleich sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) .
Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sie sagen, dass das Modul für negative Zahlen das Minus „frisst“ und positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) das Modul unverändert lässt.
ABER diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck so: \(|x|\) . \(\bullet\) Es gelten folgende Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Der folgende Fehler wird oft gemacht: Sie sagen, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) dasselbe sind. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist das nicht wahr. Es genügt, ein solches Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\). Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (weil er existiert unmöglich, unter dem Wurzelzeichen negative Zahlen einzugeben!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Weil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dann \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (der Ausdruck \(2n\) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn die Wurzel aus einer Zahl gezogen wird, die in einem gewissen Grad ist, wird dieser Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (beachten Sie, dass, wenn das Modul nicht gesetzt ist, sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25 ist \) ; aber wir erinnern uns , was dies per Definition der Wurzel nicht sein kann: Beim Wurzelziehen sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl mit gerader Potenz nicht negativ ist)

Tatsache 6.
Wie vergleicht man zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Wahr für Quadratwurzeln: wenn \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aBeispiel:
1) vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Zuerst transformieren wir den zweiten Ausdruck in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seit \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\) ?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergleiche \(\sqrt 2-1\) und \(0,5\) . Angenommen \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((addiere eins auf beiden Seiten))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((Quadrat beider Teile))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung ihr Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl ändert ebenfalls ihr Vorzeichen nicht, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung können NUR quadriert werden, WENN beide Seiten nicht negativ sind. Bei der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel können Sie beispielsweise beide Seiten quadrieren, bei der Ungleichung \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Beachte das \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, hilft Ihnen beim Zahlenvergleich! \(\bullet\) Um die Wurzel (falls sie gezogen wird) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle steht, müssen Sie zuerst bestimmen, zwischen welchen „Hunderten“ sie liegt, dann zwischen welchen „Zehnern“. und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie es funktioniert.
Nimm \(\sqrt(28224)\) . Wir wissen, dass \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) und so weiter. Beachten Sie, dass \(28224\) zwischen \(10\,000\) und \(40\,000\) liegt. Daher liegt \(\sqrt(28224)\) zwischen \(100\) und \(200\) .
Lassen Sie uns nun feststellen, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also beispielsweise zwischen \(120\) und \(130\) ). Wir wissen auch aus der Quadrattabelle, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen beim Quadrieren am Ende \ (4 \) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns das überprüfen. Finden Sie \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Also \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Um die Prüfung in Mathematik adäquat zu lösen, ist es zunächst notwendig, den theoretischen Stoff zu studieren, der zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. vorstellt. Auf den ersten Blick mag dies recht einfach erscheinen. Allerdings ist es eine ziemlich schwierige Aufgabe, eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende jeder Vorbereitungsstufe einfach und verständlich dargestellt wird. Schulbücher können nicht immer zur Hand sein. Und auch im Internet kann es schwierig sein, die Grundformeln für die Prüfung in Mathematik zu finden.

Warum ist das Theoriestudium in Mathematik nicht nur für Examen so wichtig?

Weil es den Horizont erweitert. Das Studium von theoretischem Material in der Mathematik ist für alle nützlich, die Antworten auf eine Vielzahl von Fragen zur Welterkenntnis erhalten möchten. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
Weil es den Intellekt entwickelt. Durch das Studium von Referenzmaterialien für die Prüfung in Mathematik sowie durch das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken richtig und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

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Wie man die Wurzel extrahiert aus der Nummer. In diesem Artikel lernen wir, wie man die Quadratwurzel von vier- und fünfstelligen Zahlen zieht.

Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 1936.

Folglich, .

Die letzte Ziffer in 1936 ist 6. Das Quadrat von 4 und 6 endet bei 6. Daher kann 1936 das Quadrat von 44 oder 46 sein. Es bleibt durch Multiplikation zu überprüfen.

Meint,

Lassen Sie uns die Quadratwurzel aus der Zahl 15129 ziehen.

Folglich, .

Die letzte Ziffer in 15129 ist 9. Die 9 endet mit dem Quadrat von 3 und 7. Daher kann 15129 das Quadrat von 123 oder 127 sein. Überprüfen wir es mit der Multiplikation.

Meint,

Wie man rootet - Video

Und jetzt schlage ich vor, dass Sie sich das Video von Anna Denisova ansehen - "Wie man die Wurzel extrahiert ", Seitenautor " einfache Physik“, in dem sie erklärt, wie man Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Taschenrechner zieht.

Das Video diskutiert verschiedene Möglichkeiten, Wurzeln zu extrahieren:

1. Der einfachste Weg, die Quadratwurzel zu ziehen.

2. Matching mit dem Quadrat der Summe.

3. Babylonischer Weg.

4. Eine Methode zum Ziehen einer Quadratwurzel in einer Spalte.

5. Ein schneller Weg, um die Kubikwurzel zu extrahieren.

6. Die Methode zum Ziehen der Kubikwurzel in einer Spalte.

Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation der Potenzierung. Das heißt, wenn wir die Wurzel aus der Zahl X ziehen, erhalten wir eine Zahl, die quadriert dieselbe Zahl X ergibt.

Das Extrahieren der Wurzel ist eine ziemlich einfache Operation. Eine Tabelle mit Quadraten kann die Extraktionsarbeit erleichtern. Weil es unmöglich ist, sich alle Quadrate und Wurzeln auswendig zu merken, und die Zahlen können groß sein.

Ziehen der Wurzel aus einer Zahl

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl ist einfach. Darüber hinaus kann dies nicht sofort, sondern schrittweise erfolgen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √256. Anfangs ist es für eine unwissende Person schwierig, sofort eine Antwort zu geben. Dann werden wir die Schritte unternehmen. Zuerst teilen wir nur durch die Zahl 4, aus der wir das ausgewählte Quadrat als Wurzel ziehen.

Unentschieden: √(64 4), dann entspricht es 2√64. Und wie Sie wissen, ist laut Einmaleins 64 = 8 8. Die Antwort lautet 2*8=16.

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Komplexe Wurzelextraktion

Die Quadratwurzel kann nicht aus negativen Zahlen berechnet werden, weil jede Zahl zum Quadrat eine positive Zahl ist!

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl i, deren Quadrat -1 ist. Das ist i2=-1.

In der Mathematik gibt es eine Zahl, die man erhält, indem man die Wurzel aus der Zahl -1 zieht.

Das heißt, es ist möglich, die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen, aber dies gilt bereits für die höhere Mathematik, nicht für die Schule.

Betrachten Sie ein Beispiel für ein solches Wurzelziehen: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root-Rechner online

Mit Hilfe unseres Rechners können Sie das Ziehen einer Zahl aus der Quadratwurzel berechnen:

Konvertieren von Ausdrücken, die die Operation zum Extrahieren der Wurzel enthalten

Die Essenz der Transformation von Radikalausdrücken besteht darin, die Radikalzahl in einfachere zu zerlegen, aus denen die Wurzel gezogen werden kann. Wie 4, 9, 25 und so weiter.

Nehmen wir ein Beispiel, √625. Wir dividieren den Wurzelausdruck durch die Zahl 5. Wir erhalten √(125 5), wiederholen wir die Operation √(25 25), aber wir wissen, dass 25 52 ist. Die Antwort ist also 5*5=25.

Aber es gibt Zahlen, für die die Wurzel nicht mit dieser Methode berechnet werden kann und Sie müssen nur die Antwort wissen oder eine Tabelle mit Quadraten zur Hand haben.

√289=√(17*17)=17

Ergebnis

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Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was einen umgibt, liegt einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage zugrunde. Zuerst waren dies Teilchen der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verbinden, später wurden die Schlussfolgerungen nur noch theoretisch präsentiert (wegen ihrer Abstraktheit), aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: " Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen auftauchten." Das Konzept der "Quadratwurzel" entstand zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.

Wie alles begann

Die Wurzel, die heute mit √ bezeichnet wird, wurde erstmals in den Schriften der babylonischen Mathematiker erwähnt, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich sahen sie ein wenig aus wie die heutige Form – die Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie entwickelten eine ungefähre Berechnungsformel, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, in den babylonische Wissenschaftler den Ausgabeprozess √2 gemeißelt haben, und es stellte sich als so richtig heraus, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn es notwendig war, die Seite eines Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, die anderen beiden waren bekannt. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.

Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch in der chinesischen Arbeit "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis ergibt .

Der Ursprung dieses Begriffs hängt mit der arabischen Darstellung der Zahl zusammen: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (man kann ein Muster verfolgen - alles, was eine semantische "Wurzel"-Ladung hat, ist konsonant, sei es Rettich oder Ischias).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel aus einer beliebigen Zahl a gezogen wird, schrieben sie beispielsweise im 15. Jahrhundert R 2 a. Das dem modernen Look vertraute „Häkchen“ √ tauchte erst im 17. Jahrhundert dank René Descartes auf.

Unsere Tage

Mathematisch gesehen ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. Diese Definition ist jedoch nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

Allgemein, was für die Bestimmung einer algebraischen Wurzel gilt, kann der Wert eines Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, haben wir also: √y=±z oder √y=|z|.

Aufgrund der Tatsache, dass die Liebe zur Mathematik erst mit der Entwicklung der Wissenschaft zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Zuneigung dafür, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so interessanten Ereignissen wie dem Tag von Pi auch die Feiertage der Quadratwurzel gefeiert. Sie werden neun Mal in hundert Jahren gefeiert und nach folgendem Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat in der Reihenfolge bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Körper R

Fast alle mathematischen Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, dieses Schicksal ist nicht passiert und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) Von der Zahl, deren Wurzel wir brauchen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert - bis der Rest der Ausgabe kleiner als die subtrahierte Eins oder gerade gleich Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich zur gewünschten Anzahl. Zum Beispiel die Berechnung der Quadratwurzel von 25:

Die nächste ungerade Zahl ist 11, der Rest ist: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylorreihenentwicklung:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt

+∞ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z=√y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Ihr Diagramm sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und kreuzt notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus unendlich (Null ist wieder enthalten).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch die Nullstelle dieser Funktion.

8. Die Funktion z=√y wächst ständig.

9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y

In der Mathematik wird zur Erleichterung der Berechnung komplexer Ausdrücke manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differenzierung mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten geometrischen Formeln ist, die für Berechnungen erforderlich sind. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Die Quadratwurzel im komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Gebiets der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, wie man eine gerade Gradwurzel aus einer negativen Zahl erhält. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: Ihr Quadrat ist -1. Dank dessen haben quadratische Gleichungen und mit negativer Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Beschränkungen für den Wurzelausdruck aufgehoben werden.