Dakle, za originalnu sliku, original ima oblik

Ovaj rezultat se poklapa sa (23).

3. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe
, koji zadovoljava početne uslove y(0) = y"(0) = 0.

Za rješavanje ovog problema koristimo Duhamelov integral. Hajde prvo da nađemo rešenje
diferencijalna jednadžba
. Odgovarajuća operatorska jednačina za sliku
ima oblik

ili
. Odavde nalazimo

. Rezultirajući razlomak predstavljamo kao zbir prostih razlomaka
. Nađimo koeficijente
. Da bismo to učinili, razlomke na desnoj strani svedemo na zajednički nazivnik i dobijemo jednakost brojilaca

Za pronalaženje koeficijenata prvo koristimo metodu parcijalnih vrijednosti. Hajde da stavimo
. Onda dobijamo
. Hajde da stavimo
. Onda dobijamo
. Za određivanje vrijednosti izjednačiti koeficijente na stepenu lijevo i desno u (24):
. dakle,
. Dakle, slika izgleda tako
. Prema tabeli nalazimo odgovarajući original
.. odavde

. (25)

U skladu sa formulom (13), rješenje originalne diferencijalne jednadžbe
je integral

, (26)

- (27)

desnu stranu originalne jednadžbe. Imajte na umu da se u (26) koristi svojstvo simetrije konvolucije dvije funkcije.

Zamjenom (25) i (27) u (26) dobijamo

dakle,

. (28)

Rešimo ovaj problem koristeći Mathcad

Označiti
kroz
(podsjetite se da je u Mathcadu kompleksna varijabla označeno sa )

Hajde da nađemo original
, zatim stavite
i pronađite derivaciju u odnosu na od funkcije

Izračunaj
, gdje
je desna strana originalne jednadžbe.

Desna strana se može pojednostaviti

Ovaj rezultat se poklapa sa ranije dobijenim izrazom (28).

S obzirom da konvolucija dvije funkcije ne ovisi o njihovom redoslijedu, možemo i izračunati
prema formuli (26) u obliku

Rezultat je prilično glomazan izraz. Predstavljamo slične termine u ovom izrazu i pojednostavljujemo rezultat

Ovaj rezultat se također svodi na oblik (28)

4. Riješite Cauchyjev problem koristeći operativnu metodu:

(29)

(30)

Odluka. s obzirom na to,

,

dobijamo operatorsku jednačinu u obliku

Odavde slika

(31)

Polinom
ima korene
,
, a samim tim i izraz za
nakon pojednostavljenja zbira prvog i posljednjeg razlomka, pretvara se u oblik

(32)

Da dobijem original
za sliku
, potrebno je razlomke uključene u (32) rastaviti na jednostavne. Pronađimo ovu ekspanziju koristeći Mathcad

U mnogim problemima matematičke analize razmatraju se situacije u kojima je svaka tačka jednog prostora dodijeljena nekoj tački drugog (ili istog) prostora. Prostori mogu biti apstraktni, u kojima su "tačke" zapravo funkcije. Korespondencija između dvije tačke se uspostavlja pomoću transformacije ili operatora. Zadatak teorije operatora uključuje detaljan opis i klasifikaciju različitih vrsta transformacija i njihovih svojstava, kao i razvoj simboličkih metoda koje omogućavaju minimiziranje i pojednostavljenje proračuna. Obično se teorija operatora primjenjuje na prostore u kojima je dozvoljeno sabiranje ili množenje tačaka, tj. linearni prostori, grupe, prstenovi, polja itd.

Problemi i aplikacije.

Neka bude D i R su realni linearni ili vektorski prostori, koji nisu nužno različiti. Njihovi elementi su vektori, tako da su zbir dva elementa i proizvod elementa na skalar definisani i zadovoljavaju uobičajene uslove za vektore. Postojanje konačnih baza u D i R nije potrebno. Neka bude r, vektor od R, odgovara vektoru d od D. Označavamo ovu korespondenciju T(d) = r ili Td = r. Onda T se naziva operator domene D i domet R. Operater T je distributivna ako

gdje λ i λ" su bilo koji realni brojevi, i d i d"- bilo koji elementi iz D. Ako a D i R su topološki vektorski prostori u kojima λd i d+d" su kontinuirane operacije, onda se distributivni kontinuirani operator naziva linearnim operatorom. Ako a Q sadrži D i R, onda T 2 (d) je definisan kao T(T(d)) i definiran je na sličan način T n(d) ako sve ove operacije imaju smisla.

Operativni račun omogućava izvođenje apstraktnih formulacija problema i generalizaciju grana matematičke analize kao što su teorija diferencijalnih i integralnih jednačina. Moderni problemi kvantne teorije postali su snažan poticaj za razvoj teorije operatora. Najpotpuniji rezultati dobijeni su za distributivne operatere u tzv. Hilbertov prostor. Interes za ovu oblast je u velikoj meri povezan sa predstavljanjem ovakvih operatora integralnim transformacijama.

Dva važna distributivna operatora su operatori diferencijacije str i integraciju str-jedan. Elementi linearnih prostora D i R u ovom slučaju će postojati funkcije varijable x. Imamo

gdje m i n su nenegativni cijeli brojevi. Pošto integracija dovodi do pojave proizvoljne konstante, str –1 str nije nužno ista operacija str 0 . Formalna pravila za kombinovanje takvih operatora sežu do J. Boolea (1815–1864); Na primjer,

U Heavisideovom računu, koji je razvio O. Heaviside (1850–1925), prostor D ograničen na opseg funkcija f(x), identično jednak nuli za negativ x. Glavnu ulogu igra funkcija 1( x), jednako 0 za negativan x i 1 za nenegativan x. Evo nekih "pravila" Hevisajdovog računa:

Ako a n! zamijeni gama funkciju G( n+ 1), tada prvo od pravila ostaje važeće za necijeli broj n(definicija gama funkcije cm. FUNKCIJA).

Glavnim rezultatom operativnog računa smatra se teorema o kompoziciji, odnosno konvoluciji, prema kojoj, ako F 1 (str)1(x) = f 1 (x) i F 2 (str)1(x) = f 2 (x), onda

Primjena teoreme konvolucije na p a at a≠ 0, –1, –2,..., može se definisati frakciona integracija ili diferencijacija. Na primjer, razmotrite izraz

gdje je funkcija y(x) i njegov prvi n– 1 izvedenica nestaje kada x= 0. Neka y(x) = Y(str)1(x), g(x) = G(str)1(x). Prihvati

Pretvarajmo se to f(x) = F(str) –1 1(x). Onda

Standardna pravila uključuju različite algoritme koji se odnose na proširenja elementarnih razlomaka racionalnih funkcija asimptotskih redova, itd. Na praksi y(x) = Y(str)1(x) se često piše kao y(x) ~ Y(str) ili .

Teorija funkcija zatvorenog ciklusa W. Volterre (1860–1940) dovodi do istih općih rezultata. Slične teorije su konstruirane i za druge operatore, na primjer za x(d/dx) i za općenitije situacije s nekoliko operacija, Volterra, Pinkerle i dr. Za primijenjene matematičare, glavna prednost Heavisideovog operativnog računa je smanjenje transcendentalnih problema sa nezavisnom varijablom x na algebarske probleme za funkcije u zavisnosti od str. Heaviside metoda se najčešće koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima, razlika jednadžbi i integralnih jednadžbi s jezgrom K(x, t) = K(x – t). U opštem slučaju, kada se metode operativnog računa prošire na složenije jednačine, gubi se karakter "čiste algebraizacije".

Rigorozno opravdanje omjera F(str)1(x) = f (x) je dat u terminima Laplaceove ili Fourierove integralne transformacije, ili apstraktno, u terminima operatora na određenim linearnim topološkim prostorima, kao što je Hilbertov prostor. Ovaj pristup je omogućio da se utvrde uslovi za primenljivost heurističkih pravila.

Kako riješiti diferencijalnu jednačinu
operativni račun?

U ovoj lekciji, tipičan i široko rasprostranjen zadatak kompleksne analize biće detaljno analiziran - pronalaženje određenog rješenja DE 2. reda sa konstantnim koeficijentima metodom operativnog računa. Iznova i iznova vas oslobađam predrasude da je materijal nezamislivo složen i nepristupačan. Smiješno je, ali da biste savladali primjere, možda nećete moći razlikovati, integrirati, pa čak i ne znati šta kompleksni brojevi. Zahtijeva vještinu primjene metoda neodređenih koeficijenata, o čemu se detaljno govori u članku Integracija frakcionih racionalnih funkcija. U stvari, kamen temeljac zadatka su uobičajene algebarske operacije, a siguran sam da je materijal dostupan čak i školarcu.

Prvo, sažete teorijske informacije o dijelu matematičke analize koji se razmatra. Glavna tačka operativni račun sastoji se od sljedećeg: funkcija validan varijabla koristeći tzv Laplasove transformacije prikazano u funkcija integrisan varijabla :

Terminologija i notacija:
funkcija je pozvana original;
funkcija je pozvana slika;
veliko slovo označava Laplaceova transformacija.

Jednostavno rečeno, prema određenim pravilima, realna funkcija (original) mora se pretvoriti u složenu funkciju (sliku). Strelica označava ovu transformaciju. I sama "određena pravila" jesu Laplaceova transformacija, koje ćemo razmatrati samo formalno, što će biti sasvim dovoljno za rješavanje problema.

Inverzna Laplaceova transformacija je također izvodljiva, kada se slika konvertuje u original:

Zašto je sve ovo potrebno? U nizu zadataka više matematike može biti vrlo korisno prelazak s originala na slike, jer je u ovom slučaju rješenje problema uvelike pojednostavljeno (šalim se). I samo jedan od ovih problema ćemo razmotriti. Ako ste doživjeli da vidite operativni račun, onda bi vam formulacija trebala biti poznata:

Naći određeno rješenje nehomogene jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima za date početne uslove.

Bilješka: ponekad diferencijalna jednadžba može biti homogena: , za njega je u gornjoj formulaciji također primjenjiv metoda operativnog računa. Međutim, u praktičnim primjerima homogena DE 2. reda je izuzetno rijetka, a dalje ćemo govoriti o nehomogenim jednačinama.

A sada će biti analizirana treća metoda - rješenje DE korištenjem operativnog računa. Još jednom naglašavam činjenicu da radi se o pronalaženju određenog rješenja, osim toga, početni uslovi imaju striktno oblik("X" su jednaki nuli).

Usput, o "X". Jednačina se može prepisati u sljedećem obliku:
, gdje je "x" nezavisna varijabla, a "y" je funkcija. Ne govorim o tome slučajno, jer se u problemu koji se razmatra najčešće koriste druga slova:

Odnosno, ulogu nezavisne varijable igra varijabla "te" (umjesto "x"), a ulogu funkcije ima varijabla "x" (umjesto "y")

Razumijem da je to nezgodno, naravno, ali bolje je držati se notacije koja se nalazi u većini problemskih knjiga i priručnika.

Dakle, naš zadatak sa ostalim slovima je napisan na sledeći način:

Pronađite određeno rješenje nehomogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima za date početne uslove .

Značenje zadatka se uopće nije promijenilo, promijenila su se samo slova.

Kako riješiti ovaj problem metodom operativnog računa?

Prije svega, trebat će vam tabela originala i slika. Ovo je ključni alat za odlučivanje i bez njega ne možete. Stoga, ako je moguće, pokušajte odštampati navedeni referentni materijal. Odmah ću objasniti šta znači slovo "pe": kompleksna varijabla (umjesto uobičajenog "ze"). Iako ova činjenica nije od posebne važnosti za rješavanje problema, “pe” je tako “pe”.

Koristeći tabelu, originale je potrebno pretvoriti u neke slike. Nakon toga slijedi niz tipičnih radnji, a koristi se inverzna Laplaceova transformacija (također u tabeli). Tako će se pronaći željeno konkretno rješenje.

Svi zadaci, što je lijepo, rješavaju se po prilično rigidnom algoritmu.

Primjer 1

, ,

Odluka: U prvom koraku prelazimo sa originala na odgovarajuće slike. Koristimo lijevu stranu.

Pozabavimo se prvo lijevom stranom originalne jednadžbe. Za Laplaceovu transformaciju, pravila linearnosti, tako da zanemarimo sve konstante i odvojeno radimo sa funkcijom i njenim derivatima.

Prema tabličnoj formuli br. 1, transformiramo funkciju:

Prema formuli br.2 , uzimajući u obzir početni uslov , okrećemo izvod:

Prema formuli br. 3, s obzirom na početne uslove, okrećemo drugi izvod:

Nemojte da vas zbune znakovi!

Priznajem da je ispravnije reći ne "formule", već "transformacije", ali radi jednostavnosti, s vremena na vrijeme ću punjenje tablice zvati formulama.

Sada se pozabavimo desnom stranom, koja sadrži polinom. Zbog istog pravila linearnosti Laplasove transformacije, radimo sa svakim pojmom posebno.

Gledamo prvi pojam: - ovo je nezavisna varijabla "te", pomnožena konstantom. Zanemarite konstantu i, koristeći stavku br. 4 tabele, izvršite transformaciju:

Gledamo drugi termin: -5. Kada se konstanta pronađe sama, tada je više nije moguće preskočiti. S jednom konstantom rade ovo: radi jasnoće, može se predstaviti kao proizvod: , a transformacija se primjenjuje na jedinicu:

Dakle, za sve elemente (originale) diferencijalne jednadžbe, koristeći tablicu, nalaze se odgovarajuće slike:

Zamijenite pronađene slike u originalnoj jednadžbi:

Sljedeći zadatak je izraziti odluka operatera kroz sve ostalo, odnosno kroz jedan razlomak. U tom slučaju preporučljivo je slijediti sljedeću proceduru:

Prvo otvorite zagrade na lijevoj strani:

Slične termine dajemo na lijevoj strani (ako ih ima). U ovom slučaju dodajte brojeve -2 i -3. Lubenice toplo preporučuju da ne preskačete ovu fazu:

Na lijevoj strani ostavljamo pojmove u kojima je prisutan, preostale pojmove prenosimo na desno sa promjenom predznaka:

Na lijevoj strani vadimo rješenje operatora, na desnoj strani dovodimo izraz do zajedničkog nazivnika:

Polinom na lijevoj strani treba biti faktorisan (ako je moguće). Rješavamo kvadratnu jednačinu:

ovako:

Vraćamo se na imenilac desne strane:

Cilj je postignut - operatorsko rješenje je izraženo u jednom razlomku.

Akcija dva. Koristeći metoda neodređenih koeficijenata, operatorsko rješenje jednadžbe treba proširiti u zbir elementarnih razlomaka:

Izjednačite koeficijente na odgovarajućim potencijama i riješite sistem:

Ako postoje poteškoće sa molimo vas da pratite članke Integracija frakciono-racionalne funkcije i Kako riješiti sistem jednačina? Ovo je vrlo važno jer je frakcioniranje u suštini najvažniji dio problema.

Dakle, pronađeni su koeficijenti: , i rješenje operatora se pojavljuje pred nama u rastavljenom obliku:

Imajte na umu da se konstante ne pišu u brojiocima razlomaka. Ovaj oblik pisanja je bolji od . I to je isplativije, jer će se konačna radnja odvijati bez zabune i grešaka:

Poslednji korak zadatka je prelazak sa slika na odgovarajuće originale koristeći inverznu Laplasovu transformaciju. Koristite desnu kolonu tabele originala i slika.

Možda ne razumiju svi transformaciju. Ovdje se koristi formula paragrafa br. 5 tabele:. Ako detaljnije: . Zapravo, za slične slučajeve, formula se može modificirati: . Da, i sve tabelarne formule paragrafa br. 5 vrlo je lako prepisati na sličan način.

Nakon obrnutog prijelaza, na srebrnom tanjiru s plavim rubom dobija se željeno posebno rješenje DE:

Bilo je:

Postalo je:

odgovor: privatno rješenje:

Kada vrijeme dozvoljava, uvijek je preporučljivo izvršiti provjeru. Provjera se izvodi prema standardnoj šemi, koja je već razmotrena u lekciji. Nehomogene diferencijalne jednadžbe 2. reda. da ponovimo:

Provjerimo ispunjenost početnog uslova:
- gotovo.

Nađimo prvi izvod:

Provjerimo ispunjenost drugog početnog uslova:
- gotovo.

Nađimo drugi izvod:

Zamena , i na lijevu stranu originalne jednadžbe:

Dobije se desna strana originalne jednadžbe.

Zaključak: zadatak je ispravno obavljen.

Mali primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 2

Koristeći operativni račun, pronaći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe za date početne uvjete.

Primjer završnog zadatka na kraju lekcije.

Najčešći gost u diferencijalnim jednadžbama, kao što su mnogi odavno primijetili, su eksponenti, pa pogledajmo nekoliko primjera s njima, rođaci:

Primjer 3

, ,

Odluka: Uz pomoć tablice Laplace transformacije (lijeva strana tablice) prelazimo s originala na odgovarajuće slike.

Pogledajmo prvo lijevu stranu jednačine. Ne postoji prvi izvod. Pa, pa šta? U redu. Manje posla. S obzirom na početne uslove, prema tabelarnim formulama br. 1,3 nalazimo slike:

Sada gledamo desnu stranu: - proizvod dvije funkcije. Da biste iskoristili prednost svojstva linearnosti Laplasova transformacija, potrebno je da otvorite zagrade: . S obzirom da su konstante u proizvodima, na njima vršimo bodovanje i pomoću grupe br. 5 tabelarnih formula nalazimo slike:

Zamijenite pronađene slike u originalnu jednačinu:

Podsjećam vas da je sljedeći zadatak izraziti rješenje operatora u jednom razlomku.

Na lijevoj strani ostavljamo termine u kojima je prisutan, preostale termine prenosimo na desnu stranu. Istovremeno, na desnoj strani počinjemo polako dovoditi razlomke do zajedničkog nazivnika:

Stavimo ga iz zagrada lijevo, desno dovodimo izraz do zajedničkog nazivnika:

Na lijevoj strani se dobija nerazložljivi polinom. Ako se polinom ne rastavlja na faktore, onda se on, jadnik, mora odmah baciti na dno desne strane, betonirajući noge u lavor. A u brojiocu otvorite zagrade i dajte slične pojmove:

Najmukotrpnija faza je došla: metoda nesigurnih koeficijenata proširujemo operatorsko rješenje jednadžbe u zbir elementarnih razlomaka:


ovako:

Obratite pažnju na to kako se razlomak razlaže: Uskoro ću objasniti zašto je to tako.

Završetak: pređite sa slika na odgovarajuće originale, koristite desnu kolonu tabele:

U dvije niže transformacije korišćene su formule br. 6 i 7 tabele, a razlomak je prethodno dekomponovan samo radi „prilagođavanja“ transformacijama tabele.

Kao rezultat, određeno rješenje:

odgovor:željeno konkretno rješenje:

Sličan primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 4

Metodom operativnog računa pronaći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe.

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U primjeru 4, jedan od početnih uslova je nula. Ovo svakako pojednostavljuje rješenje, a najidealnija opcija je kada su oba početna uslova nula: . U ovom slučaju, derivati ​​se pretvaraju u slike bez repova:

Kao što je već napomenuto, najteži tehnički aspekt problema je proširenje razlomka metoda nesigurnih koeficijenata, a na raspolaganju imam dosta dugotrajne primjere. Ipak, neću nikoga zastrašivati ​​čudovištima, razmotrimo još nekoliko tipičnih varijanti jednadžbe:

Primjer 5

Koristeći metodu operativnog računa, pronaći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava date početne uslove.
, ,

Odluka: Koristeći tablicu Laplaceove transformacije, prijeđimo s originala na odgovarajuće slike. S obzirom na početne uslove :

Nema problema ni sa desnom stranom:

(Podsjećam vas da se konstante množitelja zanemaruju)

Zamijenite rezultirajuće slike u originalnu jednačinu i izvršite standardne radnje, koje ste, nadam se, već dobro razradili:

Izvadimo konstantu u nazivniku izvan razlomka, što je najvažnije, onda ne zaboravite na to:

Razmišljao sam da li da izvadim dodatnu dvojku iz brojilaca, međutim, procijenivši, došao sam do zaključka da ovaj korak praktično neće pojednostaviti dalju odluku.

Karakteristika zadatka je rezultujući razlomak. Čini se da će njegovo razlaganje biti dugo i teško, ali utisak je varljiv. Naravno, ima teških stvari, ali u svakom slučaju samo naprijed, bez straha i sumnje:

Činjenica da su se neki koeficijenti pokazali kao razlomci ne bi trebala biti neugodna, ova situacija nije neuobičajena. Samo da tehnika računanja ne zakaže. Osim toga, uvijek je moguće provjeriti odgovor.

Kao rezultat, rješenje operatera:

Pređimo sa slika na odgovarajuće originale:

Dakle privatno rješenje:

OPERATIVNI RAČUN- skup metoda primijenjene matematičke analize, koji omogućavaju ekonomično i direktno dovode do cilja dobijanja rješenja linearnih diferencijalnih jednačina, kao i razlika i nekih vrsta integralnih jednačina. U tom smislu, metode operativnog računa imaju široku primjenu u mehanici, elektrotehnici, automatizaciji i drugim vrlo raznolikim granama nauke i tehnologije. Operativni račun se temelji na ideji funkcionalne transformacije: funkcija realne varijable t, definirana za pozitivne vrijednosti argumenta, nazvana početna funkcija ili original, povezana je s funkcijom druge varijable p, tzv. sliku, koristeći linearnu integralnu transformaciju. Slična transformacija "original - slika" može se izvesti tako da operacije diferencijacije i integracije početnih funkcija odgovaraju algebarskim operacijama u području slike. To omogućava pronalaženje, korištenjem najjednostavnijih algebarskih operacija, slika rješenja originalnih diferencijalnih jednadžbi, zatim traženje odgovarajuće početne funkcije, tj. slike koje se često pojavljuju. U složenijim zadacima potrebno je pribjeći inverznoj funkcionalnoj transformaciji: slika je original. Prvi radovi posvećeni operativnom proračunu pojavili su se sredinom prošlog veka. Ruski matematičar M. E. Vaščenko-Zaharčenko u monografiji „Simbolički račun i njegova primena na integraciju linearnih diferencijalnih jednačina“, objavljenoj u Kijevu 1862. godine, postavio je i delimično rešio glavne probleme metode, koja je kasnije postala poznata kao operativna. . Sistematska primena operativnog računa za rešavanje fizičkih i tehničkih problema počela je pojavom 1892. godine rada engleskog naučnika O. Hevisajda. Suština operativnog računa može se ilustrirati primjerom s klasom početnih djelomično-kontinuiranih funkcija f(t) realne varijable t, koje se najčešće susreću u primijenjenim problemima, definiranim na tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o su brojevi nezavisni od t. Ako je p=s+iσ neki kompleksni broj, onda pod naznačenim ograničenjima nametnutim funkciji f(t), integral

postoji i predstavlja regularnu funkciju p u poluravni Re p>s o, nazvanu Laplaceov integral funkcije f(t).
Funkcija F (p) uvedena zakonom:

naziva se slika početne funkcije ili originalna f(t). Brojna svojstva slike (**), na primjer, slika derivacije f’ (t):

i slike integrala

učiniti očiglednim da transformacija (*) prevodi operacije diferencijacije i integracije u operacije množenja i dijeljenja kompleksnom varijablom p. Koristeći osnovna svojstva slike, sastavljaju se slike nekih od najjednostavnijih funkcija - "katalog" slika. "Katalog" slika najjednostavnijih funkcija i Heavisideove teoreme dekompozicije, koje omogućavaju pronalaženje početne funkcije kada je slika F (p) polinom ili omjer dva polinoma, omogućavaju najjednostavniji način pronalaženja rješenja za velika grupa običnih linearnih diferencijalnih i razlika jednadžbi sa konstantnim koeficijentima. Ali brojni zadaci dovode do slika koje se ne mogu svesti na one u "katalogu". Postoji opći način za konstruiranje početne funkcije iz njene slike - takozvana Riemann-Melin inverzija formula.