Ta'rif. Yon yuz- bu uchburchak bo'lib, unda bir burchak piramidaning tepasida joylashgan va uning qarama-qarshi tomoni poydevor tomoniga (ko'pburchak) to'g'ri keladi.

Ta'rif. Yon qovurg'alar yon yuzlarning umumiy tomonlari. Piramidaning ko'pburchakda qancha burchak bor bo'lsa, shuncha qirralari bor.

Ta'rif. piramida balandligi- piramidaning tepasidan poydevoriga tushirilgan perpendikulyar.

Ta'rif. Apothem- bu piramidaning yuqori qismidan poydevor tomoniga tushirilgan piramidaning yon yuzining perpendikulyar qismidir.

Ta'rif. Diagonal qism- bu piramidaning yuqori qismidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan tekislik bilan kesilgan qismi.

Ta'rif. To'g'ri piramida- Bu piramida bo'lib, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, balandligi poydevor markaziga tushadi.

Piramidaning hajmi va sirt maydoni

Formula. piramida hajmi tayanch maydoni va balandligi bo'yicha:

piramidaning xususiyatlari

Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, u holda piramida poydevori atrofida aylana bo'lishi mumkin va poydevorning markazi aylananing markaziga to'g'ri keladi. Shuningdek, yuqoridan tushirilgan perpendikulyar taglikning markazidan (doira) o'tadi.

Agar barcha yon qovurg'alar teng bo'lsa, ular bir xil burchak ostida tayanch tekisligiga moyil bo'ladi.

Yon qovurg'alar poydevor tekisligi bilan hosil bo'lganda tengdir teng burchaklar yoki piramida poydevori atrofida aylana chizilgan bo'lsa.

Agar yon yuzlar poydevor tekisligiga bir burchak ostida qiya bo'lsa, u holda piramida poydevoriga aylana chizilgan bo'lishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiya qilinadi.

Agar yon yuzlar bir burchak ostida asosiy tekislikka moyil bo'lsa, u holda yon yuzlarning apotemlari teng bo'ladi.

Muntazam piramidaning xossalari

1. Piramidaning yuqori qismi poydevorning barcha burchaklaridan bir xil masofada joylashgan.

2. Barcha yon qirralar teng.

3. Barcha yon qovurg'alar poydevorga bir xil burchak ostida moyil.

4. Barcha yon yuzlarning apotemlari teng.

5. Barcha yon yuzlarning maydonlari teng.

6. Barcha yuzlar bir xil dihedral (tekis) burchaklarga ega.

7. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin. Ta'riflangan sharning markazi qirralarning o'rtasidan o'tadigan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

8. Piramida ichiga shar chizilgan bo'lishi mumkin. Yozilgan sharning markazi chekka va poydevor orasidagi burchakdan chiqadigan bissektrisalarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

9. Agar chizilgan sharning markazi chegaralangan sharning markaziga to'g'ri kelsa, u holda cho'qqidagi tekis burchaklar yig'indisi p ga teng yoki aksincha, bir burchak p / n ga teng, bu erda n - son. piramida poydevoridagi burchaklar soni.

Piramidaning shar bilan bog'lanishi

Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramida poydevorida ko'pburchak joylashgan bo'lsa, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin (zarur va etarli shart). Sfera markazi piramidaning yon qirralarining o'rta nuqtalaridan perpendikulyar o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

Sharni har doim har qanday uchburchak yoki muntazam piramida atrofida tasvirlash mumkin.

Agar piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesishsa (zarur va etarli shart) sharni piramidaga yozish mumkin. Bu nuqta sharning markazi bo'ladi.

Piramidaning konus bilan bog'lanishi

Konusning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa va konusning asosi piramida asosiga chizilgan bo'lsa, konus piramidaga chizilgan deyiladi.

Agar piramidaning apotemalari teng bo'lsa, konusni piramidaga yozish mumkin.

Konus piramida atrofida aylanib o'tilgan deyiladi, agar ularning uchlari mos tushsa va konusning asosi piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.

Agar piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramida atrofida tasvirlash mumkin.

Piramidaning silindr bilan ulanishi

Agar piramidaning tepasi silindrning bir poydevorida yotsa, piramidaning asosi esa silindrning boshqa poydevoriga chizilgan bo'lsa, u silindrga yozilgan deb ataladi.

Silindrni piramida atrofida aylana bo'lishi mumkin, agar piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.

Ta'rif. Kesilgan piramida (piramidal prizma)- Bu piramida asosi va poydevorga parallel kesma tekisligi o'rtasida joylashgan ko'pburchak. Shunday qilib, piramida katta asosga ega va kattaroqqa o'xshash kichikroq asosga ega. Yon tomonlari trapezoiddir.

Ta'rif. Uchburchak piramida (tetraedr)- bu piramida bo'lib, uning uchta yuzi va asosi ixtiyoriy uchburchaklardir.

Tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta cho'qqisi va oltita qirrasi bor, bu erda har qanday ikkita qirraning umumiy uchlari yo'q, lekin tegmaydi.

Har bir cho'qqi hosil bo'lgan uchta yuz va qirralardan iborat uchburchak burchak.

Tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi tetraedrning medianasi(GM).

Bimedian tegmaydigan qarama-qarshi qirralarning o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment deyiladi (KL).

Tetraedrning barcha bimedianlari va medianalari bir nuqtada (S) kesishadi. Bunday holda, bimedianlar yarmiga bo'linadi va medianlar yuqoridan boshlab 3: 1 nisbatda bo'linadi.

Ta'rif. moyil piramida piramida boʻlib, uning qirralaridan biri asosi bilan oʻtmas burchak (b) hosil qiladi.

Ta'rif. To'rtburchaklar piramida yon yuzlaridan biri poydevorga perpendikulyar bo'lgan piramidadir.

Ta'rif. O'tkir burchakli piramida piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan ko'p bo'ladi.

Ta'rif. o'tkir piramida- piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan kam bo'ladi.

Ta'rif. muntazam tetraedr To'rtta yuzi teng qirrali uchburchaklar bo'lgan tetraedr. Bu beshta muntazam ko'pburchaklardan biridir. Muntazam tetraedrda barcha ikki burchakli burchaklar (yuzlar orasidagi) va uchburchak burchaklar (cho'qqidagi) tengdir.

Ta'rif. To'rtburchaklar tetraedr Tetraedr deyiladi, uning uchi uchi o'rtasida to'g'ri burchakka ega (qirralari perpendikulyar). Uchta yuz hosil bo'ladi to'rtburchaklar uchburchak burchak va qirralari to'g'ri uchburchaklar, asosi esa ixtiyoriy uchburchakdir. Har qanday yuzning apothemi apotem tushadigan poydevorning yarmiga teng.

Ta'rif. Izoedral tetraedr Tetraedr deyiladi, uning yon tomonlari bir-biriga teng, asosi esa muntazam uchburchakdir. Bunday tetraedrning yuzlari teng yonli uchburchaklardir.

Ta'rif. Ortosentrik tetraedr Tetraedr deyiladi, unda yuqoridan qarama-qarshi yuzga tushirilgan barcha balandliklar (perpendikulyarlar) bir nuqtada kesishadi.

Ta'rif. yulduz piramidasi Bazasi yulduz bo'lgan ko'pburchak deyiladi.

Ta'rif. Bipiramida- ikki xil piramidadan tashkil topgan ko'pburchak (piramidalar ham kesilishi mumkin) ega umumiy asos, va uchlari asos tekisligining qarama-qarshi tomonlarida yotadi.

Bu erda piramidalar va tegishli formulalar va tushunchalar haqida asosiy ma'lumotlar to'plangan. Ularning barchasi imtihonga tayyorgarlik ko'rishda matematikadan repetitor bilan birga o'rganiladi.

Bir tekislikni, ko'pburchakni ko'rib chiqing unda yotgan va unda yotmagan nuqta S. S ni ko‘pburchakning barcha uchlariga ulang. Olingan ko'pburchak piramida deb ataladi. Segmentlar lateral qirralar deb ataladi. Ko'pburchak asosi, S nuqtasi esa piramidaning tepasi deb ataladi. n soniga qarab piramida uchburchak (n=3), to‘rtburchak (n=4), beshburchak (n=5) va hokazo deb ataladi. Muqobil ism uchburchak piramida - tetraedr. Piramidaning balandligi uning cho'qqisidan tayanch tekisligiga chizilgan perpendikulyardir.

Agar piramida to'g'ri deb ataladi muntazam ko'pburchak va piramida balandligining asosi (perpendikulyar asos) uning markazidir.

O'qituvchining sharhi:
"muntazam piramida" va "muntazam tetraedr" tushunchalarini chalkashtirmang. Muntazam piramidada yon qirralarning asosning chetlariga teng bo'lishi shart emas, lekin oddiy tetraedrda qirralarning barcha 6 qirrasi tengdir. Bu uning ta'rifi. Tenglik ko'pburchakning markazi P ekanligini ko'rsatishini isbotlash oson balandligi asosi bilan, shuning uchun muntazam tetraedr muntazam piramidadir.

Apotema nima?
Piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir. Agar piramida muntazam bo'lsa, unda uning barcha apotemalari tengdir. Buning aksi haqiqat emas.

Matematika o'qituvchisi uning terminologiyasi haqida: piramidalar bilan ishlash 80% ikki turdagi uchburchaklar orqali qurilgan:
1) SK apotemini va SP balandligini o'z ichiga oladi
2) Yan qirrasi SA va uning proyeksiyasi PAni o'z ichiga oladi

Ushbu uchburchaklarga havolalarni soddalashtirish uchun matematika o'qituvchisi ulardan birinchisini nomlashi qulayroqdir. apotemik, va ikkinchi kosta. Afsuski, bu atamalarni hech qaysi darslikda uchratmaysiz va o‘qituvchi uni bir tomonlama kiritishi kerak.

Piramida hajmi formulasi:
1) , bu erda piramida poydevorining maydoni va piramidaning balandligi
2) , bu erda chizilgan sharning radiusi va piramidaning umumiy sirt maydoni.
3) , bu erda MN - har qanday ikkita kesishgan qirralarning masofasi va qolgan to'rtta qirralarning o'rta nuqtalaridan hosil bo'lgan parallelogrammning maydoni.

Piramida balandligi asosi xususiyati:

P nuqtasi (rasmga qarang), agar quyidagi shartlardan biri bajarilgan bo'lsa, piramida tagidagi chizilgan doiraning markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha apotemalar tengdir
2) Barcha yon yuzlar asosga teng darajada moyil
3) Barcha apotemalar piramida balandligiga teng darajada moyil
4) Piramidaning balandligi barcha yon tomonlarga teng darajada moyil

Matematika o'qituvchisining sharhi: barcha elementlar bitta tomonidan birlashtirilganligini unutmang umumiy mulk: u yoki bu tarzda, yon yuzlar hamma joyda ishtirok etadi (apotemlar ularning elementlari). Shuning uchun repetitor yodlash uchun kamroq aniq, ammo qulayroq formulani taklif qilishi mumkin: P nuqtasi, agar uning lateral yuzlari haqida teng ma'lumot mavjud bo'lsa, piramidaning poydevori, chizilgan doira markaziga to'g'ri keladi. Buni isbotlash uchun barcha apotemik uchburchaklar teng ekanligini ko'rsatish kifoya.

Agar uchta shartdan biri to'g'ri bo'lsa, P nuqtasi piramida poydevoriga yaqin joylashgan aylana markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha yon qirralar teng
2) Barcha yon qovurg'alar asosga teng ravishda moyil
3) Barcha yon qovurg'alar balandlikka teng ravishda moyil

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida ko'pburchak deyiladi, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy cho'qqisi bo'lgan uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .

Yon qovurg'a piramida yon yuzning asosga tegishli bo'lmagan tomoni deb ataladi Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng, barcha yon tomonlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . diagonal qism Piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita yon chetidan o'tuvchi tekislik deyiladi.

Yon sirt maydoni piramida barcha yon yuzlar maydonlarining yig'indisi deb ataladi. To'liq sirt maydoni barcha yon yuzlar va poydevorning maydonlarining yig'indisidir.

Teoremalar

1. Agar piramidada barcha yon qirralarning asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.

2. Agar piramidada barcha lateral qirralarning uzunligi teng bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

3. Agar piramidada barcha yuzlar asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun formula to'g'ri:

qayerda V- hajm;

S asosiy- tayanch maydoni;

H piramidaning balandligi.

Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

qayerda p- poydevorning perimetri;

h a- apotema;

H- balandligi;

S to'la

S tomoni

S asosiy- tayanch maydoni;

V muntazam piramidaning hajmi.

kesilgan piramida piramidaning asosi va kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi piramida asosiga parallel deb ataladi (17-rasm). To'g'ri kesilgan piramida oddiy piramidaning asos va piramida poydevoriga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.

asoslar kesilgan piramida - o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoid. Balandligi kesilgan piramida uning asoslari orasidagi masofa deb ataladi. Diagonal Kesilgan piramida - bu uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. diagonal qism Kesilgan piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon chetidan o'tuvchi tekislik deyiladi.

Kesilgan piramida uchun formulalar amal qiladi:

(4)

qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;

S to'la umumiy sirt maydoni;

S tomoni lateral sirt maydoni;

H- balandligi;

V- kesilgan piramidaning hajmi.

Oddiy kesilgan piramida uchun quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:

qayerda p 1 , p 2 - asosiy perimetrlar;

h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.

1-misol Muntazam uchburchakli piramidada asosdagi dihedral burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.

Qaror. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).

Piramida muntazamdir, ya'ni asosi teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak - piramidaning yon yuzining poydevor tekisligiga moyillik burchagi. Chiziqli burchak burchak bo'ladi a ikki perpendikulyar o'rtasida: ya'ni. Piramidaning ustki qismi uchburchakning markazida (cheklangan doira markazi va uchburchakda chizilgan doira) proyeksiyalangan. ABC). Yon qovurg'aning egilish burchagi (masalan SB) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun SB bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO va OB. Segment uzunligi bo'lsin BD 3 hisoblanadi a. nuqta O chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: Biz topamiz:

Javob:

2-misol Oddiy kesilgan to‘rtburchak piramidaning asoslarining diagonallari sm va sm, balandligi 4 sm bo‘lsa, uning hajmini toping.

Qaror. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Asoslarning maydonlarini topish uchun ularning diagonallarini bilgan holda, asosiy kvadratlarning tomonlarini topish kerak. Poydevorlarning yon tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:

Javob: 112 sm3.

3-misol Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi esa 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesikli piramidaning lateral yuzining maydonini toping.

Qaror. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).

Ushbu piramidaning yon tomoni teng yonli trapesiyadir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shart bilan berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Uni qayerdan toping LEKIN 1 E nuqtadan perpendikulyar LEKIN 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar LEKIN 1 da AC. LEKIN 1 E\u003d 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topish uchun DE biz qo'shimcha rasm chizamiz, unda biz yuqori ko'rinishni tasvirlaymiz (20-rasm). Nuqta O- yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan OK chizilgan aylana radiusi va OM chizilgan aylana radiusi:

MK=DE.

dan Pifagor teoremasiga ko'ra

Yon yuz maydoni:

Javob:

4-misol Piramidaning negizida teng yonli trapetsiya yotadi, uning asoslari a va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.

Qaror. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapetsiyaning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.

Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng darajada moyil bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta O- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asosiy tekislikka. Yassi figuraning ortogonal proyeksiyasining maydoni haqidagi teoremaga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday, bu degani Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Trapezoidni chizish A B C D alohida (22-rasm). Nuqta O trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazidir.

Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasi bo'yicha bizda mavjud

Geometrik masalalarda tez-tez uchraydigan uch o'lchamli figura piramidadir. Bu sinfning barcha figuralari ichida eng oddiyi uchburchakdir. Ushbu maqolada biz to'g'rining asosiy formulalari va xususiyatlarini batafsil tahlil qilamiz

Shaklning geometrik tasvirlari

Muntazam uchburchak piramidaning xususiyatlarini ko'rib chiqishdan oldin, keling, qaysi raqam haqida gapirayotganimizni batafsil ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, uch o'lchamli fazoda ixtiyoriy uchburchak mavjud. Biz bu fazoda uchburchak tekisligida yotmaydigan har qanday nuqtani tanlaymiz va uni uchburchakning uchta uchiga bog'laymiz. Bizda uchburchak piramida bor.

U 4 tomondan iborat bo'lib, ularning barchasi uchburchakdir. Uchta yuzning uchrashadigan nuqtalari cho'qqilar deb ataladi. Rasmda ulardan to'rttasi ham bor. Ikki yuzning kesishish chiziqlari qirralardir. Ko'rib chiqilayotgan piramida 6 ta qovurg'aga ega.Quyidagi rasmda bu rasmning namunasi ko'rsatilgan.

Shakl to'rt tomondan tuzilganligi sababli, u tetraedr deb ham ataladi.

To'g'ri piramida

Yuqorida uchburchak asosli ixtiyoriy shakl ko'rib chiqildi. Endi piramidaning yuqori qismidan poydevoriga perpendikulyar chiziq chizamiz deylik. Ushbu segment balandlik deb ataladi. 4 ta sarflash mumkinligi aniq turli balandliklar raqam uchun. Agar balandlik uchburchak asosni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday piramida to'g'ri piramida deb ataladi.

Poydevori teng tomonli uchburchak bo'lgan to'g'ri piramida muntazam piramida deyiladi. Uning uchun uchta uchburchak hosil bo'ladi yon yuzasi raqamlar teng yon tomonli va bir-biriga teng. Muntazam piramidaning alohida holati to'rt tomoni teng qirrali bir xil uchburchaklar bo'lgan holatdir.

Muntazam uchburchak piramidaning xususiyatlarini ko'rib chiqing va uning parametrlarini hisoblash uchun tegishli formulalarni bering.

Asosiy tomoni, balandligi, lateral qirrasi va apothem

Ro'yxatda keltirilgan parametrlarning har ikkisi boshqa ikkita xususiyatni yagona tarzda aniqlaydi. Nomlangan miqdorlarni bog’lovchi formulalar beramiz.

Faraz qilaylik, muntazam uchburchak piramida asosining tomoni a. Uning yon chetining uzunligi b ga teng. Muntazam uchburchak piramida va uning apotemasining balandligi qanday bo'ladi?

h balandligi uchun quyidagi ifodani olamiz:

Ushbu formula Pifagor teoremasidan kelib chiqadi, buning uchun poydevorning yon tomoni, balandligi va balandligining 2/3 qismi.

Piramidaning apothemi har qanday lateral uchburchak uchun balandlikdir. Apotema uzunligi a b:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

Ushbu formulalardan ko'rinib turibdiki, uchburchak muntazam piramida poydevorining tomoni va uning lateral chetining uzunligi qanday bo'lishidan qat'i nazar, apotema har doim shunday bo'ladi. ko'proq balandlik piramidalar.

Taqdim etilgan ikkita formula to'rttasini o'z ichiga oladi chiziqli xarakteristikalar ko'rib chiqilayotgan raqam. Shuning uchun, ularning ma'lum ikkitasidan tizimni yozma tengliklardan yechish orqali qolganini topishingiz mumkin.

raqam hajmi

Mutlaqo har qanday piramida (shu jumladan qiyalik) uchun u bilan chegaralangan bo'shliq hajmining qiymatini rasmning balandligi va poydevorining maydonini bilish orqali aniqlash mumkin. Tegishli formula quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu ifodani ko'rib chiqilayotgan rasmga qo'llash orqali biz quyidagi formulani olamiz:

Muntazam uchburchak piramidaning balandligi h va asos tomoni a ga teng.

Tetraedr hajmining formulasini olish qiyin emas, uning barcha tomonlari bir-biriga teng va teng tomonli uchburchaklarni ifodalaydi. Bunday holda, raqamning hajmi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ya'ni, u a tomonining uzunligi bilan yagona aniqlanadi.

Sirt maydoni

Biz uchburchak muntazam piramidaning xususiyatlarini ko'rib chiqishni davom ettiramiz. umumiy maydoni figuraning barcha yuzlari uning sirt maydoni deb ataladi. Tegishli rivojlanishni hisobga olgan holda ikkinchisini o'rganish qulay. Quyidagi rasmda oddiy uchburchak piramida qanday ko'rinishi ko'rsatilgan.

Faraz qilaylik, biz h balandligini va figuraning a asosining tomonini bilamiz. Keyin uning asosining maydoni teng bo'ladi:

Har bir talaba uchburchakning maydonini qanday topishni eslasa, shuningdek, teng tomonli uchburchakning balandligi ham bissektrisa va mediana ekanligini hisobga olsa, bu ifodani olishi mumkin.

Uchta bir xil yon tomonli uchburchaklar hosil qilgan lateral yuzaning maydoni:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Bu tenglik piramida apotemasining asosning balandligi va uzunligi bo'yicha ifodalanishidan kelib chiqadi.

Rasmning umumiy sirt maydoni:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

E'tibor bering, to'rt tomoni bir xil teng tomonli uchburchaklar bo'lgan tetraedr uchun S maydoni quyidagilarga teng bo'ladi:

Muntazam kesilgan uchburchak piramidaning xossalari

Agar ko'rib chiqilayotgan uchburchak piramidaning tepasi poydevorga parallel tekislik bilan kesilsa, qolgan qismi Pastki qism kesilgan piramida deb ataladi.

Uchburchak asosda tasvirlangan kesma usuli natijasida yangi uchburchak olinadi, u ham teng qirrali, lekin taglik tomoniga qaraganda kichikroq tomon uzunligiga ega. Kesilgan uchburchak piramida quyida ko'rsatilgan.

Biz bu raqam allaqachon ikkita uchburchak asos va uchta teng yonli trapezoid bilan cheklanganligini ko'ramiz.

Faraz qilaylik, natijada olingan rasmning balandligi h, pastki va yuqori asoslar tomonlari uzunligi mos ravishda a 1 va a 2, apotem (trapetsiya balandligi) a b ga teng. Keyin kesilgan piramidaning sirt maydonini quyidagi formula bo'yicha hisoblash mumkin:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Bu erda birinchi atama lateral yuzaning maydoni, ikkinchi a'zo uchburchak asoslar maydoni.

Shaklning hajmi quyidagicha hisoblanadi:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Kesilgan piramidaning xususiyatlarini aniq aniqlash uchun uning yuqoridagi formulalar bilan ko'rsatilgan uchta parametrini bilish kerak.

Kirish

Stereometrik raqamlarni o'rganishni boshlaganimizda, biz "Piramida" mavzusiga to'xtaldik. Bizga ushbu mavzu yoqdi, chunki piramida arxitekturada juda tez-tez ishlatiladi. Va bizdan beri kelajak kasbi arxitektor, bu figuradan ilhomlanib, bizni buyuk loyihalarga undaydi deb o'ylaymiz.

Arxitektura inshootlarining mustahkamligi, ularning eng muhim sifati. Kuchni, birinchidan, ular yaratilgan materiallar bilan, ikkinchidan, xususiyatlar bilan bog'lash konstruktiv yechimlar, ma'lum bo'lishicha, strukturaning mustahkamligi uning uchun asosiy bo'lgan geometrik shaklga bevosita bog'liq.

Boshqa so'z bilan, gaplashamiz tegishli me'moriy shaklning modeli sifatida qaralishi mumkin bo'lgan o'sha geometrik figura haqida. Ma’lum bo‘lishicha, geometrik shakl me’moriy inshootning mustahkamligini ham belgilaydi.

Misr piramidalari qadimdan eng mustahkam meʼmoriy inshoot hisoblangan. Ma'lumki, ular muntazam to'rtburchak piramidalar shakliga ega.

Aynan shu geometrik shakl katta tayanch maydoni tufayli eng katta barqarorlikni ta'minlaydi. Boshqa tomondan, piramidaning shakli erdan balandlikning oshishi bilan massaning kamayishini ta'minlaydi. Aynan shu ikki xususiyat piramidani barqaror va shuning uchun tortishish sharoitida kuchli qiladi.

Loyihaning maqsadi: piramidalar haqida yangi narsalarni bilib oling, bilimlarni chuqurlashtiring va amaliy dasturlarni toping.

Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalarni hal qilish kerak edi:

Piramida haqidagi tarixiy ma'lumotlarni bilib oling

Piramidani geometrik shakl sifatida ko'rib chiqing

Hayotda va arxitekturada qo'llanilishini toping

Joylashgan piramidalar oʻrtasidagi oʻxshashlik va farqlarni toping turli qismlar Sveta

Nazariy qism

Tarixiy ma'lumotlar

Piramida geometriyasining boshlanishi Qadimgi Misr va Bobilda qo'yilgan, ammo u faol rivojlangan. Qadimgi Gretsiya. Piramidaning hajmi nimaga teng ekanligini birinchi bo'lib Demokrit aniqlagan va Knidlik Evdoks buni isbotlagan. Qadimgi yunon matematigi Evklid o'zining "Boshlanishlari" ning XII jildida piramida haqidagi bilimlarni tizimlashtirgan va piramidaning birinchi ta'rifini ham keltirgan: bir tekislikdan bir nuqtada yaqinlashadigan tekisliklar bilan chegaralangan tana figurasi.

Misr fir'avnlarining qabrlari. Ulardan eng kattasi - Al-Gizadagi Xeops, Xafre va Mikerin piramidalari qadimda dunyoning yetti mo'jizasidan biri hisoblangan. Piramidaning o'rnatilishi, unda yunonlar va rimliklar misli ko'rilmagan shohlar va shafqatsizlikning g'ururiga yodgorlikni ko'rgan, bu butun Misr xalqini bema'ni qurilishga mahkum qilgan, eng muhim diniy harakat edi va aftidan, mamlakat va uning hukmdorining tasavvufiy o'ziga xosligi. Qishloq xoʻjaligi ishlaridan boʻshagan davrda mamlakat aholisi maqbara qurilishida mehnat qilgan. Qator matnlar podshohlarning o‘zlari (keyinroq bo‘lsa ham) qabrini qurish va uni quruvchilarga ko‘rsatgan e’tibor va g‘amxo‘rlikdan dalolat beradi. Bundan tashqari, piramidaning o'zi bo'lgan maxsus diniy sharaflar haqida ham ma'lum.

Asosiy tushunchalar

Piramida Ko'pburchak deyiladi, uning asosi ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir.

Apothem- muntazam piramidaning yuqori qismidan chizilgan yon yuzining balandligi;

Yon yuzlar- tepada yaqinlashuvchi uchburchaklar;

Yon qovurg'alar- yon yuzlarning umumiy tomonlari;

piramidaning tepasi- yon qirralarni bog'laydigan va poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta;

Balandligi- piramidaning tepasi orqali uning asosi tekisligiga chizilgan perpendikulyar segmenti (bu segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyar asosidir);

Piramidaning diagonal kesmasi- piramidaning tepadan va poydevor diagonalidan o'tuvchi kesimi;

Baza- piramidaning tepasiga tegishli bo'lmagan ko'pburchak.

To'g'ri piramidaning asosiy xususiyatlari

Yon qirralar, yon yuzlar va apotemlar mos ravishda tengdir.

Poydevordagi dihedral burchaklar teng.

Yon qirralarning dihedral burchaklari tengdir.

Har bir balandlik nuqtasi barcha asosiy cho'qqilardan bir xil masofada joylashgan.

Har bir balandlik nuqtasi barcha yon yuzlardan bir xil masofada joylashgan.

Asosiy piramida formulalari

Piramidaning lateral va to'liq yuzasining maydoni.

Piramidaning lateral yuzasining maydoni (to'liq va kesilgan) uning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi, umumiy sirt maydoni uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

Teorema: Muntazam piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor perimetri va piramida apotemasining ko'paytmasining yarmiga teng.

p- poydevorning perimetri;

h- apotema.

Kesilgan piramidaning lateral va to'liq yuzalarining maydoni.

p1, p 2 - asosiy perimetrlar;

h- apotema.

R- muntazam kesilgan piramidaning umumiy sirt maydoni;

S tomoni- muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydoni;

S1 + S2- tayanch maydoni

Piramida hajmi

Shakl Ovoz shkalasi har qanday turdagi piramidalar uchun ishlatiladi.

H piramidaning balandligi.

Piramidaning burchaklari

Piramidaning yon yuzi va poydevoridan hosil bo'lgan burchaklar piramidaning poydevoridagi ikki burchakli burchaklar deb ataladi.

Ikki burchakli burchak ikkita perpendikulyardan hosil bo'ladi.

Ushbu burchakni aniqlash uchun siz ko'pincha uchta perpendikulyar teoremadan foydalanishingiz kerak.

Yon qirra va uning asos tekisligiga proyeksiyasidan hosil bo'lgan burchaklar deyiladi lateral qirrasi va poydevor tekisligi orasidagi burchaklar.

Ikki yon yuzdan hosil bo'lgan burchak deyiladi piramidaning lateral chetidagi ikki burchakli burchak.

Piramidaning bir yuzining ikki yon chetidan hosil bo'lgan burchak deyiladi piramidaning yuqori qismidagi burchak.

Piramidaning bo'limlari

Piramidaning yuzasi ko'pburchakning yuzasi. Uning har bir yuzi tekislikdir, shuning uchun piramidaning sekant tekislik tomonidan berilgan kesimi alohida to'g'ri chiziqlardan iborat siniq chiziqdir.

Diagonal qism

Piramidaning bir yuzida yotmaydigan ikkita lateral chetidan oʻtuvchi tekislik kesimi deyiladi. diagonal qism piramidalar.

Parallel bo'limlar

Teorema:

Agar piramida asosga parallel bo'lgan tekislik bilan kesib o'tilsa, u holda piramidaning yon qirralari va balandliklari shu tekislik bilan proporsional qismlarga bo'linadi;

Bu tekislikning kesmasi asosga o'xshash ko'pburchakdir;

Bo'lim va poydevorning maydonlari yuqoridan ularning masofalarining kvadratlari sifatida bir-biriga bog'langan.

Piramida turlari

To'g'ri piramida- piramida, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan.

To'g'ri piramidada:

1. yon qovurg'alar teng

2. yon yuzlari teng

3. apotemalar teng

4. asosdagi ikki burchakli burchaklar teng

5. yon qirralarning dihedral burchaklari teng

6. har bir balandlik nuqtasi barcha tayanch cho'qqilaridan teng masofada joylashgan

7. har bir balandlik nuqtasi barcha yon yuzlardan teng masofada joylashgan

Kesilgan piramida- piramidaning asosi va poydevorga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi.

Kesilgan piramidaning asosi va mos kesimi deyiladi kesilgan piramidaning asoslari.

Bir asosning istalgan nuqtasidan boshqasining tekisligiga o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi kesilgan piramidaning balandligi.

Vazifalar

№ 1. O'ngda to'rtburchak piramida O nuqta asosning markazi, SO=8 sm, BD=30 sm.Yon chetini SA toping.

Muammoni hal qilish

№ 1. DA to'g'ri piramida barcha yuzlar va qirralar teng.

Keling, OSBni ko'rib chiqaylik: OSB-to'rtburchaklar to'rtburchaklar, chunki.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Arxitekturada piramida

Piramida - oddiy muntazam geometrik piramida ko'rinishidagi monumental inshoot, unda tomonlar bir nuqtada birlashadi. Funktsional maqsadiga ko'ra, qadimgi davrlarda piramidalar dafn qilinadigan yoki ibodat qilinadigan joy bo'lgan. Piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak yoki ko'p burchakli bo'lishi mumkin, ammo ularning eng keng tarqalgan versiyasi to'rtburchak asosdir.

Ko'p sonli piramidalar ma'lum, qurilgan turli madaniyatlar qadimgi dunyo asosan ibodatxonalar yoki yodgorliklar sifatida. Eng katta piramidalar Misr piramidalaridir.

Butun er yuzida siz piramidalar ko'rinishidagi me'moriy inshootlarni ko'rishingiz mumkin. Piramida binolari qadim zamonlarni eslatadi va juda chiroyli ko'rinadi.

Misr piramidalari eng buyuk arxitektura yodgorliklari qadimgi Misr, ular orasida "Dunyoning etti mo''jizasi" dan biri Xeops piramidasidir. Oyoqdan tepaga qadar u 137,3 m ga etadi va cho'qqini yo'qotmasdan oldin uning balandligi 146,7 m edi.

Slovakiya poytaxtidagi teskari piramidaga o'xshagan radiostansiya binosi 1983 yilda qurilgan. Ofis va xizmat xonalaridan tashqari, Slovakiyadagi eng yirik organlardan biriga ega bo'lgan keng kontsert zali mavjud. .

“Piramidadek jim va mahobatli” Luvr dunyodagi eng buyuk muzeyga aylangunga qadar asrlar davomida ko‘p o‘zgarishlarga uchradi. U 1190 yilda Filipp Avgust tomonidan qurilgan qal'a sifatida tug'ilgan va u tez orada qirollik qarorgohiga aylangan. 1793 yilda saroy muzeyga aylandi. To'plamlar vasiyat qilish yoki sotib olish orqali boyitiladi.