To'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensi. Funktsiya hosilasi. Hosilning geometrik ma'nosi

Matematikada toʻgʻri chiziqning Dekart koordinata tekisligidagi oʻrnini tavsiflovchi parametrlardan biri qiyalik bu to'g'ri chiziq. Bu parametr to'g'ri chiziqning x o'qiga qiyaligini tavsiflaydi. Nishabni qanday topishni tushunish uchun birinchi navbatda XY koordinata tizimidagi to'g'ri chiziq tenglamasining umumiy shaklini eslang.

Umuman olganda, har qanday chiziq ax+by=c ifodasi bilan ifodalanishi mumkin, bunda a, b va c ixtiyoriy haqiqiy sonlar, lekin a 2 + b 2 ≠ 0 bo‘lishi shart.

Oddiy o'zgartirishlar yordamida bunday tenglamani y=kx+d ko'rinishga keltirish mumkin, bunda k va d haqiqiy sonlardir. K soni qiyalik bo‘lib, bunday turdagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi qiyalikli tenglama deyiladi. Ma’lum bo‘lishicha, qiyalikni topish uchun asl tenglamani yuqoridagi ko‘rinishga keltirish kifoya. Yaxshiroq tushunish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing:

Topshiriq: 36x - 18y = 108 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Dastlabki tenglamani o‘zgartiramiz.

Javob: Bu chiziqning kerakli qiyaligi 2 ga teng.

Agar tenglamani o'zgartirish jarayonida biz x = const tipidagi ifodani olgan bo'lsak va buning natijasida y ni x ning funksiyasi sifatida ifodalay olmasak, u holda biz X o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bilan ishlaymiz. bunday to'g'ri chiziq cheksizlikka teng.

Y = const kabi tenglama bilan ifodalangan chiziqlar uchun qiyalik nolga teng. Bu x o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar uchun xosdir. Misol uchun:

Topshiriq: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Asl tenglamani umumiy shaklga keltiramiz

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Olingan ifodadan y ni ifodalash mumkin emas, shuning uchun bu chiziqning qiyaligi cheksizlikka teng va chiziqning o'zi Y o'qiga parallel bo'ladi.

geometrik ma'no

Yaxshiroq tushunish uchun rasmga qaraylik:

Rasmda y = kx turdagi funksiya grafigini ko'ramiz. Soddalashtirish uchun c = 0 koeffitsientini olamiz. OAB uchburchakda BA tomonining AO ga nisbati qiyalik k ga teng bo'ladi. Shu bilan birga, VA / AO nisbati tangens hisoblanadi o'tkir burchak a in to'g'ri uchburchak OAV. Ma’lum bo‘lishicha, to‘g‘ri chiziqning qiyaligi bu to‘g‘ri chiziq koordinata panjarasining x o‘qi bilan yasagan burchak tangensiga teng.

To'g'ri chiziqning qiyaligini qanday topish masalasini yechib, u bilan koordinata to'rining x o'qi orasidagi burchakning tangensini topamiz. Ko'rib chiqilayotgan chiziq koordinata o'qlariga parallel bo'lgan chegara holatlari yuqoridagilarni tasdiqlaydi. Haqiqatan ham, y=const tenglama bilan tasvirlangan to'g'ri chiziq uchun u bilan abscissa o'qi orasidagi burchak. nol. Nol burchakning tangensi ham nolga teng, qiyaligi ham nolga teng.

X o'qiga perpendikulyar bo'lgan va x=const tenglama bilan tavsiflangan to'g'ri chiziqlar uchun ular bilan x o'qi orasidagi burchak 90 gradusga teng. Tangent to'g'ri burchak cheksizlikka teng, o'xshash to'g'ri chiziqlarning qiyaligi esa cheksizlikka teng, bu esa yuqorida yozilganlarni tasdiqlaydi.

Tangens Nishab

Amalda tez-tez uchrab turadigan keng tarqalgan vazifa, shuningdek, biron bir nuqtada funktsiya grafigiga teginish qiyaligini topishdir. Tangens to'g'ri chiziqdir, shuning uchun unga nishab tushunchasi ham tegishli.

Tangensning qiyaligini qanday topishni bilish uchun hosila tushunchasini esga olishimiz kerak. Har qanday funktsiyaning qaysidir nuqtadagi hosilasi bu funksiya grafigiga koʻrsatilgan nuqtadagi tangens bilan abscissa oʻqi oʻrtasida hosil boʻladigan burchak tangensiga son jihatdan teng boʻlgan doimiy miqdordir. Ma'lum bo'lishicha, x 0 nuqtadagi tangensning qiyaligini aniqlash uchun biz ushbu nuqtadagi k \u003d f "(x 0) asl funktsiyaning hosilasi qiymatini hisoblashimiz kerak. Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

Topshiriq: x = 0,1 da y = 12x 2 + 2xe x funksiyaga teguvchi chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Asl funktsiyaning umumiy shakldagi hosilasini toping

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Javob: x \u003d 0,1 nuqtasida kerakli nishab 4,831 ga teng

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusining davomi algebra darslaridan to'g'ri chiziqni o'rganishga asoslangan. Ushbu maqolada qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusi bo'yicha umumlashtirilgan ma'lumotlar berilgan. Ta'riflarni ko'rib chiqing, tenglamaning o'zini oling, boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqani oching. Hamma narsa muammoni hal qilish misollarida muhokama qilinadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bunday tenglamani yozishdan oldin to'g'ri chiziqning O x o'qiga qiyalik burchagini ularning qiyaligi bilan aniqlash kerak. Dekart koordinata sistemasi O x tekislikda berilgan deb faraz qilaylik.

Ta'rif 1

To'g'ri chiziqning o'qiga og'ish burchagi O x, tekislikda dekart koordinatalar tizimida joylashgan O x y, bu musbat yo'nalish O x to'g'ri chiziqqa soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadigan burchakdir.

Chiziq Ox ga parallel bo'lganda yoki unda tasodif sodir bo'lganda, moyillik burchagi 0 ga teng. Keyin berilgan to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi a [ 0 , p) oraliqda aniqlanadi.

Ta'rif 2

To'g'ri chiziqning qiyaligi berilgan chiziq qiyaligining tangensi.

Standart belgi - k. Ta'rifdan biz k = t g a ni olamiz. Chiziq Oxga parallel bo'lsa, qiyalik mavjud emas deb aytiladi, chunki u cheksizlikka boradi.

Funksiya grafigi ortib borayotganida nishab musbat va aksincha. Rasmda koeffitsient qiymati bilan koordinata tizimiga nisbatan to'g'ri burchakning joylashishining turli xil o'zgarishlari ko'rsatilgan.

Bu burchakni topish uchun qiyalik koeffitsienti ta'rifini qo'llash va tekislikdagi qiyalik burchagi tangensini hisoblash kerak.

Qaror

Shartdan biz a = 120 ° ga egamiz. Ta'rifga ko'ra, siz nishabni hisoblashingiz kerak. Uni k = t g a = 120 = - 3 formuladan topamiz.

Javob: k = - 3 .

Agar burchak koeffitsienti ma'lum bo'lsa, lekin x o'qiga moyillik burchagini topish kerak bo'lsa, u holda burchak koeffitsientining qiymatini hisobga olish kerak. Agar k > 0 bo'lsa, to'g'ri burchak o'tkirdir va a = a r c t g k formulasi bilan topiladi. Agar k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2-misol

Nishab 3 ga teng bo'lgan O x ga berilgan to'g'ri chiziqning og'ish burchagini aniqlang.

Qaror

Bizda mavjud bo'lgan shartdan nishab musbat, ya'ni O x ga moyillik burchagi 90 darajadan kam. Hisob-kitoblar a = a r c t g k = a r c t g 3 formulasi bo'yicha amalga oshiriladi.

Javob: a = a r c t g 3 .

3-misol

Nishab = - 1 3 bo'lsa, to'g'ri chiziqning O x o'qiga og'ish burchagini toping.

Qaror

Nishab belgisi sifatida k harfini oladigan bo'lsak, u holda a - berilgan to'g'ri chiziqqa O x musbat yo'nalishdagi moyillik burchagi. Demak, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

a = p - a r c t g - 1 3 = p - a r c t g 1 3 = p - p 6 = 5 p 6 .

Javob: 5 pi 6.

y \u003d k x + b ko'rinishdagi tenglama, bu erda k - qiyalik va b - qandaydir haqiqiy son, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi. Tenglama O y o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq uchun xosdir.

Agar y = k · x + b ga o'xshash qiyalikli tenglama bilan berilgan, qo'zg'almas koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqni batafsil ko'rib chiqsak. Bu holda, bu chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari tenglamaga mos kelishini anglatadi. Agar M, M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalarini y \u003d k x + b tenglamasiga almashtirsak, bu holda chiziq shu nuqtadan o'tadi, aks holda nuqta nuqtaga tegishli emas. chiziq.

4-misol

Nishab y = 1 3 x - 1 bo'lgan to'g'ri chiziq berilgan. M 1 (3 , 0) va M 2 (2 , - 2) nuqtalar berilgan chiziqqa tegishli ekanligini hisoblang.

Qaror

Berilgan tenglamaga M 1 (3, 0) nuqtaning koordinatalarini qo'yish kerak, keyin 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ni olamiz. Tenglik to'g'ri, shuning uchun nuqta chiziqqa tegishli.

Agar M 2 (2, - 2) nuqtaning koordinatalarini almashtirsak, u holda - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 ko'rinishdagi noto'g'ri tenglikni olamiz. M 2 nuqta chiziqqa tegishli emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob: M 1 chiziqqa tegishli, lekin M 2 yo'q.

Ma'lumki, to'g'ri chiziq M 1 (0 , b) dan o'tuvchi y = k · x + b tenglama bilan aniqlanadi, almashtirish b = k · 0 + b ⇔ b = b ko'rinishdagi tenglikni berdi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, tekislikdagi qiyaligi y = k · x + b bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi 0, b nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi. U O x o'qining musbat yo'nalishi bilan a burchak hosil qiladi, bu erda k = t g a .

Misol uchun, y = 3 · x - 1 ko'rinishida berilgan qiyalik yordamida aniqlangan to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. Ox o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab qiyaligi a = a r c t g 3 = p 3 radian bo'lgan to'g'ri chiziq koordinatasi 0, - 1 bo'lgan nuqtadan o'tishini olamiz. Bundan ko'rinib turibdiki, koeffitsient 3 ga teng.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi

M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan o'tuvchi berilgan qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasini olish zarur bo'lgan masalani hal qilish kerak.

y 1 = k · x + b tengligini haqiqiy deb hisoblash mumkin, chunki chiziq M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan o'tadi. B raqamini olib tashlash uchun chap va o'ng tomondan nishab koeffitsienti bilan tenglamani olib tashlash kerak. Bundan kelib chiqadiki, y - y 1 = k · (x - x 1) . Bu tenglik M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalaridan o'tuvchi, qiyalik berilgan k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi deb ataladi.

5-misol

Koordinatalari (4, - 1), qiyaligi - 2 ga teng bo'lgan M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

Qaror

Shartga ko'ra, bizda x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2 bor. Bu yerdan to‘g‘ri chiziq tenglamasi shu tarzda yoziladi y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x. + 7.

Javob: y = - 2 x + 7.

6-misol

y \u003d 2 x - 2 to'g'ri chiziqqa parallel koordinatalari (3, 5) bilan M 1 nuqtadan o'tadigan qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror

Shartga ko'ra, biz parallel chiziqlar bir-biriga mos keladigan moyillik burchaklariga ega, shuning uchun qiyalik koeffitsientlari tengdir. Nishabni topish uchun berilgan tenglama, uning asosiy formulasini esga olish kerak y = 2 x - 2, bundan k = 2 kelib chiqadi. Nishab koeffitsienti bilan tenglama tuzamiz va olamiz:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Javob: y = 2 x - 1 .

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan to'g'ri chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish va aksincha.

Bunday tenglama har doim ham muammolarni hal qilishda qo'llanilmaydi, chunki u juda qulay belgiga ega emas. Buning uchun u boshqa shaklda taqdim etilishi kerak. Masalan, y = k · x + b ko'rinishdagi tenglama to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini yoki normal vektorning koordinatalarini yozishga imkon bermaydi. Buning uchun siz boshqa turdagi tenglamalarni ifodalashni o'rganishingiz kerak.

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib, tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini olishimiz mumkin. Biz x - x 1 a x = y - y 1 a y ni olamiz. b atamasini chap tomonga siljitish va olingan tengsizlik ifodasiga bo'lish kerak. Keyin y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k ko'rinishdagi tenglamani olamiz.

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga aylandi.

7-misol

Nishab y = - 3 x + 12 bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasini kanonik ko'rinishga keltiring.

Qaror

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi ko'rinishida hisoblab chiqamiz va ifodalaymiz. Formaning tenglamasini olamiz:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Javob: x 1 = y - 12 - 3.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini y = k x + b dan olish eng oson, ammo bu o'zgartirishlarni talab qiladi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. O'tish dan amalga oshiriladi umumiy tenglama to'g'ridan-to'g'ri boshqa turdagi tenglamalarga.

8-misol

y = 1 7 x - 2 ko`rinishdagi to`g`ri chiziq tenglamasi berilgan. Koordinatalari a → = (- 1 , 7) bo‘lgan vektor normal to‘g‘ri chiziqli vektor ekanligini aniqlang?

Qaror

Uni hal qilish uchun ushbu tenglamaning boshqa shakliga o'tish kerak, buning uchun biz yozamiz:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

O'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlar to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari. Buni shunday yozamiz n → = 1 7 , - 1 , demak 1 7 x - y - 2 = 0 . A → = (- 1, 7) vektori n → = 1 7, - 1 vektoriga kollinear ekanligi aniq, chunki bizda a → = - 7 · n → adolatli munosabat mavjud. Bundan kelib chiqadiki, asl a → = - 1, 7 vektori 1 7 x - y - 2 = 0 chiziqning normal vektori bo'lib, u y = 1 7 x - 2 chiziq uchun normal vektor hisoblanadi.

Javob: Bu an

Keling, muammoni bu masalaga teskari hal qilaylik.

dan ko'chirish kerak umumiy ko'rinish tenglama A x + B y + C = 0, bu erda B ≠ 0, qiyalik tenglamasiga. Buning uchun y uchun tenglamani yechamiz. Biz A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B ni olamiz.

Natijada - A B ga teng qiyalikli tenglama olinadi.

9-misol

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. Nishab bilan berilgan chiziq tenglamasini oling.

Qaror

Shartga asoslanib, y uchun yechish kerak, keyin biz quyidagi shakldagi tenglamani olamiz:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.

Javob: y = 1 6 x + 1 4 .

X a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi tenglama shunga o'xshash tarzda echiladi, bu segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi deb ataladi yoki kanonik shakl x - x 1 a x = y - y 1 a y. Uni y ga nisbatan yechish kerak, shundan keyingina nishabli tenglamani olamiz:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b.

Kanonik tenglamani qiyalikli shaklga keltirish mumkin. Buning uchun:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x 1 +y

10-misol

x 2 + y - 3 = 1 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq mavjud. Nishab bilan tenglama shakliga keltiring.

Qaror.

Shartga asoslanib, uni o'zgartirish kerak, keyin _formula_ ko'rinishdagi tenglamani olamiz. Kerakli nishab tenglamasini olish uchun tenglamaning ikkala tomonini -3 ga ko'paytirish kerak. O'zgartirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.

Javob: y = 3 2 x - 3.

11-misol

X - 2 2 \u003d y + 1 5 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi qiyalik bilan shaklga keltiriladi.

Qaror

X - 2 2 = y + 1 5 ifodasini proporsiya sifatida hisoblash kerak. Biz 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ni olamiz. Endi siz uni to'liq yoqishingiz kerak, buning uchun:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Javob: y = 5 2 x - 6 .

Bunday vazifalarni hal qilish uchun x \u003d x 1 + a x l y \u003d y 1 + a y l ko'rinishidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga keltirilishi kerak, shundan keyingina siz quyidagiga o'tishingiz mumkin. qiyalik bilan tenglama.

12-misol

To'g'ri chiziqning qiyaligini toping, agar u x = l y = - 1 + 2 · l parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa.

Qaror

Parametrik ko'rinishdan nishabga o'tishingiz kerak. Buning uchun berilgan parametrikdan kanonik tenglamani topamiz:

x = l y = - 1 + 2 l ⇔ l = x l = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2.

Endi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini olish uchun bu tenglikni y ga nisbatan yechish kerak. Buning uchun biz shunday yozamiz:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri chiziqning qiyaligi 2 ga teng. Bu k = 2 shaklida yoziladi.

Javob: k = 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Nishab koeffitsienti to'g'ri. Ushbu maqolada biz matematikadan imtihonga kiritilgan koordinata tekisligi bilan bog'liq vazifalarni ko'rib chiqamiz. Bular uchun topshiriqlar:

- to'g'ri chiziqdan o'tadigan ikkita nuqta ma'lum bo'lganda uning qiyaligini aniqlash;
- tekislikdagi ikkita chiziqning kesishish nuqtasining abscissa yoki ordinatasini aniqlash.

Nuqtaning abtsissasi va ordinatasi nima ekanligi ushbu bobda tasvirlangan. Unda biz koordinata tekisligi bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqdik. Ko'rib chiqilayotgan vazifalar turi uchun nimani tushunish kerak? Bir oz nazariya.

Koordinata tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda k – bu to'g'ri chiziqning qiyaligi.

Keyingi daqiqa! To'g'ri chiziqning qiyaligi tangensga teng to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi. Bu berilgan chiziq va eksa orasidagi burchakoh.

U 0 dan 180 daraja oralig'ida joylashgan.

Ya'ni, to'g'ri chiziq tenglamasini shaklga keltirsak y = kx + b, keyin biz har doim k koeffitsientini (qiyalik koeffitsientini) aniqlashimiz mumkin.

Shuningdek, agar shart asosida to'g'ri chiziq qiyaligining tangensini aniqlay olsak, u holda uning qiyaligini topamiz.

Keyingi nazariy lahza!Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.Formula quyidagicha ko'rinadi:

Muammolarni ko'rib chiqing (o'xshash ochiq bank topshiriqlar):

(–6; 0) va (0; 6) koordinatali nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

Bu masalada buni yechishning eng oqilona usuli x o'qi va berilgan to'g'ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topishdir. Ma'lumki, u burchak koeffitsientiga teng. To'g'ri chiziq va x va y o'qlaridan tashkil topgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

To'g'ri burchakli uchburchakdagi burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbati:

* Ikkala oyoq ham oltitaga teng (bu ularning uzunligi).

Albatta, bu vazifa berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini topish formulasi yordamida yechish mumkin. Ammo bu uzoqroq yechim yo'li bo'ladi.

Javob: 1

(5;0) va (0;5) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

Bizning nuqtalarimiz (5;0) va (0;5) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Formulani shaklga keltiramiz y = kx + b

Biz burchak koeffitsientini oldik k = – 1.

Javob: -1

To'g'riga a(0;6) va (8;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0;10) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a b aks bilan ho'kiz.

Ushbu masalada siz to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin a, buning uchun nishabni aniqlang. To'g'ri chiziq b ular parallel bo'lgani uchun qiyaligi bir xil bo'ladi. Keyinchalik, to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin b. Keyin unga y = 0 qiymatini qo'yib, abscissani toping. LEKIN!

Bunday holda, uchburchakning o'xshashlik xususiyatidan foydalanish osonroq.

Berilgan (parallel) koordinata chiziqlari bilan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchaklar o'xshashdir, ya'ni ularning tegishli tomonlari nisbatlari tengdir.

Kerakli abscissa 40/3.

Javob: 40/3

To'g'riga a(0;8) va (–12;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0; -12) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a. Chiziqning kesishgan nuqtasining abtsissasini toping b aks bilan ho'kiz.

Ushbu muammoni hal qilishning eng oqilona usuli uchburchaklarning o'xshashlik xususiyatidan foydalanishdir. Ammo biz buni boshqa yo'l bilan hal qilamiz.

Biz chiziq o'tadigan nuqtalarni bilamiz a. To'g'ri chiziq tenglamasini yozishimiz mumkin. Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Shartga ko'ra, nuqtalar (0;8) va (-12;0) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b:

Bu burchakni oldim k = 2/3.

*Burchak koeffitsientini oyoqlari 8 va 12 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchak tangensi orqali topish mumkin edi.

Biz bilamizki, parallel chiziqlar teng qiyaliklarga ega. Demak (0;-12) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Qiymat toping b Biz tenglamaga abscissa va ordinatani qo'yishimiz mumkin:

Shunday qilib, chiziq quyidagicha ko'rinadi:

Endi chiziqning x o'qi bilan kesishish nuqtasining kerakli abtsissasini topish uchun siz y \u003d 0 ni almashtirishingiz kerak:

Javob: 18

O'qning kesishish nuqtasining ordinatasini toping oy va B(10;12) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq va koordinata boshi va A(10;24) nuqtadan o’tuvchi parallel chiziq.

(0;0) va (10;24) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Bizning nuqtalarimiz (0;0) va (10;24) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b

Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng. Demak, B (10; 12) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ma'nosi b B (10; 12) nuqtaning koordinatalarini ushbu tenglamaga almashtirib topamiz:

Biz to'g'ri chiziq tenglamasini oldik:

Ushbu chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini topish uchun OU topilgan tenglamaga almashtirilishi kerak X= 0:

* Eng oson yechim. Parallel tarjima yordamida biz bu chiziqni eksa bo'ylab pastga siljitamiz OU nuqtaga (10;12). Shishish 12 birlik bilan sodir bo'ladi, ya'ni A(10;24) nuqta B(10;12) nuqtaga "o'tdi" va O(0;0) nuqta (0;–12) nuqtaga "o'tdi". Shunday qilib, hosil bo'lgan chiziq o'qni kesib o'tadi OU nuqtada (0;–12).

Istalgan ordinata -12.

Javob: -12

Tenglama bilan berilgan chiziqning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6, eksa bilan Oy.

Berilgan chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU shaklga ega (0; da). Tenglamadagi abtsissani almashtiring X= 0 va ordinatani toping:

Chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining ordinati OU 3 ga teng.

* Tizim hal qilinmoqda:

Javob: 3

Tenglamalar orqali berilgan chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6 va y = - x.

Ikkita chiziq berilganda va savol ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topish haqida ketsa, ushbu tenglamalar tizimi echiladi:

Birinchi tenglamada biz almashtiramiz - X ning o'rniga da:

Ordinata minus olti.

Javob: – 6

Koordinatalari (–2; 0) va (0; 2) boʻlgan nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

(2;0) va (0;2) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

a chiziq koordinatalari (0;4) va (6;0) bo'lgan nuqtalardan o'tadi. b chiziq koordinatalari (0;8) bo'lgan nuqtadan o'tadi va a chiziqqa parallel. b to‘g‘rining x o‘qi bilan kesishgan nuqtasining absissasini toping.

Y o‘qining kesishish nuqtasi va B nuqtadan o‘tuvchi chiziq (6;4) va koordinata boshi va A nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziqning ordinatasini toping.

1. To'g'ri chiziqning qiyaligi to'g'ri chiziq qiyaligi tangensiga teng ekanligini aniq tushunish kerak. Bu sizga ushbu turdagi ko'plab muammolarni hal qilishda yordam beradi.

2. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni topish formulasini tushunish kerak. Uning yordami bilan siz har doim to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin, agar uning ikkita nuqtasining koordinatalari berilgan bo'lsa.

3. Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng ekanligini unutmang.

4. Siz tushunganingizdek, ba'zi masalalarda uchburchaklarning o'xshashlik belgisini qo'llash qulay. Muammolar amaliy jihatdan og'zaki hal qilinadi.

5. Ikki chiziq berilgan va ularning kesishish nuqtasining absissa yoki ordinatasini topish talab qilinadigan topshiriqlarni grafik usulda yechish mumkin. Ya'ni, ularni koordinatali tekislikda (hujayradagi varaqda) qurish va kesishish nuqtasini ingl. * Ammo bu usul har doim ham qo'llanilmaydi.

6. Va oxirgisi. Agar to'g'ri chiziq va uning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalari berilgan bo'lsa, bunday masalalarda hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchakning tangensini topib, burchak koeffitsientini topish qulay. Samolyotdagi turli xil chiziqlar uchun ushbu uchburchakni qanday "ko'rish" sxematik tarzda quyida ko'rsatilgan:

>> Chiziqning egilish burchagi 0 dan 90 darajagacha<<

>> To'g'ri chiziq burchagi 90 dan 180 darajagacha<<

Hammasi shu. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Funktsiyaning hosilasi maktab o'quv dasturidagi eng qiyin mavzulardan biridir. Har bir bitiruvchi lotin nima degan savolga javob bermaydi.

Ushbu maqola lotin nima ekanligini va nima uchun kerakligini sodda va aniq tushuntiradi.. Endi biz taqdimotning matematik qat'iyligiga intilmaymiz. Eng muhimi, ma'noni tushunishdir.

Keling, ta'rifni eslaylik:

Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligi.

Rasmda uchta funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Sizningcha, qaysi biri tez o'sadi?

Javob aniq - uchinchisi. U eng yuqori o'zgarish tezligiga ega, ya'ni eng katta hosilaga ega.

Mana yana bir misol.

Kostya, Grisha va Matvey bir vaqtning o'zida ishga joylashdilar. Keling, ularning daromadlari yil davomida qanday o'zgarganini ko'rib chiqaylik:

Grafikdagi hamma narsani darhol ko'rishingiz mumkin, shunday emasmi? Kostyaning daromadi olti oy ichida ikki baravar oshdi. Grishaning daromadi ham oshdi, lekin biroz. Va Metyuning daromadi nolga kamaydi. Boshlanish shartlari bir xil, ammo funktsiyaning o'zgarish tezligi, ya'ni. hosila, - har xil. Matveyga kelsak, uning daromadining hosilasi odatda salbiy.

Intuitiv ravishda biz funktsiyaning o'zgarish tezligini osongina taxmin qilishimiz mumkin. Lekin buni qanday qilamiz?

Biz haqiqatda ko'rib chiqayotgan narsa bu funktsiya grafigining qanchalik keskin ko'tarilishi (yoki pastga). Boshqacha qilib aytganda, y x bilan qanchalik tez o'zgaradi. Shubhasiz, turli nuqtalarda bir xil funktsiya hosilaning boshqa qiymatiga ega bo'lishi mumkin - ya'ni u tezroq yoki sekinroq o'zgarishi mumkin.

Funksiyaning hosilasi bilan belgilanadi.

Keling, grafik yordamida qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz.

Ayrim funksiyaning grafigi chiziladi. Unga abscissa bilan nuqta qo'ying. Bu nuqtada funksiya grafigiga teginish chizing. Biz funktsiya grafigi qanchalik keskin ko'tarilishini baholamoqchimiz. Buning uchun qulay qiymat tangens qiyaligining tangensi.

Funksiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangens qiyaligi tangensiga teng.

E'tibor bering - tangensning moyillik burchagi sifatida biz tangens va o'qning ijobiy yo'nalishi o'rtasidagi burchakni olamiz.

Ba'zan o'quvchilar funktsiya grafigiga teginish nima ekanligini so'rashadi. Bu bizning rasmimizda ko'rsatilganidek, ushbu bo'limdagi grafik bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir. Bu aylanaga teguvchiga o'xshaydi.

Keling, topamiz. To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbatiga teng ekanligini eslaymiz. Uchburchakdan:

Biz funktsiya formulasini bilmagan holda grafik yordamida hosila topdik. Bunday vazifalar ko'pincha matematikadan imtihonda raqam ostida topiladi.

Yana bir muhim bog'liqlik mavjud. Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan

Ushbu tenglamadagi miqdor deyiladi to'g'ri chiziqning qiyaligi. U to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensiga teng.

.

Biz buni tushunamiz

Keling, ushbu formulani eslaylik. Bu hosilaning geometrik ma'nosini ifodalaydi.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.

Boshqacha qilib aytganda, hosila tangens qiyaligining tangensiga teng.

Biz allaqachon bir xil funktsiyaning turli nuqtalarda turli hosilalarga ega bo'lishi mumkinligini aytdik. Keling, hosilaning funktsiya harakati bilan qanday bog'liqligini ko'rib chiqaylik.

Keling, qandaydir funksiyaning grafigini chizamiz. Bu funksiya ba'zi sohalarda ko'paysin, boshqalarida kamaysin va har xil stavkalarda. Va bu funksiya maksimal va minimal nuqtalarga ega bo'lsin.

Bir nuqtada funktsiya ortib bormoqda. Nuqtada chizilgan grafaga teginish o'tkir burchak hosil qiladi; musbat o'q yo'nalishi bilan. Shunday qilib, hosila nuqtada ijobiydir.

Ayni paytda bizning funktsiyamiz pasaymoqda. Bu nuqtadagi tangens o'tmas burchak hosil qiladi; musbat o'q yo'nalishi bilan. O'tkir burchakning tangensi manfiy bo'lgani uchun nuqtadagi hosila manfiy bo'ladi.

Mana nima sodir bo'ladi:

Agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, uning hosilasi ijobiy bo'ladi.

Agar u pasaysa, uning hosilasi salbiy hisoblanadi.

Va maksimal va minimal nuqtalarda nima bo'ladi? Biz (maksimal nuqta) va (minimal nuqta) da tangens gorizontal ekanligini ko'ramiz. Demak, bu nuqtalarda tangens qiyaligining tangensi nolga teng, hosilasi ham nolga teng.

Nuqta maksimal nuqtadir. Bu vaqtda funksiyaning ortishi kamayish bilan almashtiriladi. Binobarin, hosila belgisi nuqtada "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgaradi.

Nuqtada - minimal nuqta - hosila ham nolga teng, lekin uning belgisi "minus" dan "ortiqcha" ga o'zgaradi.

Xulosa: lotin yordamida siz funktsiyaning harakati haqida bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishingiz mumkin.

Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya ortib bormoqda.

Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya kamayadi.

Maksimal nuqtada hosila nolga teng va belgini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.

Minimal nuqtada hosila ham nolga teng va belgini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi.

Ushbu topilmalarni jadval shaklida yozamiz:

Keling, ikkita kichik aniqlik kiritaylik. Muammoni hal qilishda sizga ulardan biri kerak bo'ladi. Boshqasi - birinchi yilda, funktsiyalar va lotinlarni jiddiyroq o'rganish bilan.

Funksiyaning qaysidir nuqtada hosilasi nolga teng bo‘lganda, funksiyaning bu nuqtada na maksimal, na minimal bo‘lishi mumkin. Bu shunday deyiladi :

Bir nuqtada grafikning tangensi gorizontal, hosilasi esa nolga teng. Biroq, nuqtadan oldin funktsiya ortdi va nuqtadan keyin u o'sishda davom etadi. Hosilning belgisi o'zgarmaydi - u avvalgidek ijobiy bo'lib qoldi.

Bundan tashqari, maksimal yoki minimal nuqtada hosila mavjud emas. Grafikda bu ma'lum bir nuqtada tangensni chizish mumkin bo'lmaganda keskin tanaffusga to'g'ri keladi.

Ammo funktsiya grafik emas, balki formula bilan berilgan bo'lsa, hosila qanday topiladi? Bunday holda, u amal qiladi