Orta seviye

Sağ üçgen. Komple resimli rehber (2019)

SAĞ ÜÇGEN. İLK SEVİYE.

Problemlerde, dik açı hiç gerekli değildir - sol alt köşe, bu nedenle bu formda bir dik üçgeni nasıl tanıyacağınızı öğrenmeniz gerekir,

ve böyle

ve böyle

Bir dik üçgen hakkında iyi olan nedir? Şey... her şeyden önce, özel şeyler var. güzel isimler onun tarafları için.

Çizime dikkat!

Unutmayın ve karıştırmayın: bacaklar - iki ve hipotenüs - sadece bir(tek, benzersiz ve en uzun)!

İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor teoremi.

Pisagor teoremi.

Bu teorem, aşağıdakileri içeren birçok problemi çözmenin anahtarıdır. sağ üçgen. Pisagor bunu mükemmel bir şekilde kanıtladı çok eski zaman ve o zamandan beri onu tanıyanlara birçok fayda sağladı. Ve onunla ilgili en iyi şey, basit olmasıdır.

Böyle, Pisagor teoremi:

“Pisagor pantolonları her tarafta eşittir!” Şakasını hatırlıyor musunuz?

Bu çok Pisagor pantolonunu çizelim ve onlara bakalım.

Gerçekten şort gibi mi görünüyor? Peki, hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremi ile, daha doğrusu Pisagor'un kendisinin teoremini formüle etme şekli ile bağlantılıdır. Ve bunu şöyle formüle etti:

"toplam kareler alanı, bacaklar üzerine inşa edilmiş, eşittir kare alan hipotenüs üzerine inşa edilmiştir.

Kulağa biraz farklı gelmiyor, değil mi? Ve böylece, Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde, tam da böyle bir resim ortaya çıktı.

Bu resimde küçük karelerin alanları toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlamaları için, esprili biri Pisagor pantolonlarıyla ilgili bu şakayı icat etti.

Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?

Pisagor acı çekti ve kareler hakkında konuştu mu?

Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir yoktu! Herhangi bir işaret vs. yoktu. Yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle ezberlemelerinin ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Pisagor teoreminin basit bir formülasyonuna sahip olduğumuz için mutlu olabiliriz. Daha iyi hatırlamak için tekrar edelim:

Şimdi kolay olmalı:

hipotenüsün karesi toplamına eşittir kare ayaklar.

Bir dik üçgenle ilgili en önemli teorem tartışıldı. Nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, sonraki teori seviyelerini okuyun ve şimdi trigonometrinin karanlık ormanına ... geçelim! İle korkunç sözler sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant.

Aslında, her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın "gerçek" tanımına bakılmalıdır. Ama gerçekten istemiyorsun, değil mi? Sevinebiliriz: bir dik üçgenle ilgili sorunları çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Neden her şey köşeyle ilgili? köşe nerede? Bunu anlamak için 1 - 4 arasındaki ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bak, anla ve hatırla!

1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:

Peki açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşı bacak (köşe için)? Elbette var! Bu bir katet!

Ama açı ne olacak? Yakından bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki, kedi. Böylece, açı için bacak bitişiktir ve

Ve şimdi, dikkat! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar harika olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi nasıl kelimelere dökelim? Köşeye göre bacak nedir? Karşısında, elbette - köşenin karşısında "yatar". Ve katet? Köşeye bitişik. Peki ne elde ettik?

Pay ve paydanın nasıl ters çevrildiğini gördün mü?

Ve şimdi yine köşeler ve değiş tokuş yapıldı:

Özet

Öğrendiklerimizi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olabilirsiniz, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Nasıl kanıtlayacaksın? Eski Yunanlılar gibi yapalım. Kenarları olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara böldüğümüzü görüyorsunuz ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak resme kendiniz bakın ve nedenini düşünün.

Daha büyük karenin alanı nedir? Doğru şekilde, . Peki ya daha küçük alan? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tanesini alıp hipotenüslerle birbirine yaslandığımızı düşünün. Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani, "kesimler" alanı eşittir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Sinüs dar açı karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir

Dar açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Dar açının tanjantı, karşı bacağın bitişik bacağa oranına eşittir.

Dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.

Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:

Çok rahat!

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri

I. İki ayak üzerinde

II. Bacak ve hipotenüs ile

III. Hipotenüs ve dar açı ile

IV. Bacak ve dar açı boyunca

a)

b)

Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:

O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı akut açıya sahip olmalarına rağmen.

gerek her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde - zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden nasıl farklı olduğunu fark ettiniz mi? “Konuya bakın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için, üç öğesinin eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki taraf ve aralarında bir açı, iki açı ve aralarında bir taraf veya üç taraf. Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece iki karşılık gelen eleman yeterlidir. Harika, değil mi?

Sağ üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Akut köşe

II. iki ayak üzerinde

III. Bacak ve hipotenüs ile

Bir dik üçgende medyan

Neden böyle?

Bir dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim - köşegenlerin kesişme noktası. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun?

Ve bundan ne çıkar?

öyle oldu yani

1. - ortanca:

Bu gerçeği hatırla! Çok yardımcı olur!

Daha da şaşırtıcı olan, bunun tersinin de doğru olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olması gerçeğinden ne fayda sağlayabilir? resime bakalım

Yakından bak. Şunlara sahibiz: , yani noktadan tüm noktalara olan mesafeler üç zirveüçgenler eşittir. Ama bir üçgende sadece bir nokta vardır, o üçgenin üç köşesinin yaklaşık olarak eşit olduğu mesafeler ve bu tarif edilen ÇEVRİMİN MERKEZİ'dir. Peki ne oldu?

O halde bu "ayrıca..." ile başlayalım.

i'ye bakalım.

Ama benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu "üçlü" benzerlikten ne yararlanılabilir?

Peki, örneğin - bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazıyoruz:

Yüksekliği bulmak için oranı çözeriz ve ilk formül "Bir dik üçgende yükseklik":

Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .

Ne olacak şimdi?

Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalıdır ve hangisinin uygulanması daha uygundur. Onları tekrar yazalım.

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri:

• iki ayak üzerinde:
• bacak ve hipotenüs boyunca: veya
• bacak ve bitişik dar açı boyunca: veya
• bacak boyunca ve zıt dar açı boyunca: veya
• hipotenüs ve dar açı ile: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri:

• bir keskin köşe: veya
• iki bacağın orantılılığından:
• bacak ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant

• Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, bitişik bacağın zıt tarafa oranıdır:.

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende, tepe noktasından çizilen medyan dik açı, hipotenüsün yarısına eşittir: .

Bir dik üçgenin alanı:

• kateterler aracılığıyla:

Sinüs bir dik üçgenin dar açısı α oranıdır zıt hipotenüse kateter.
Şu şekilde gösterilir: sin α.

Kosinüs bir dik üçgenin dar açısı a, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Aşağıdaki gibi gösterilir: cos α.

Teğet dar açı α, karşı bacağın bitişik bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: tg α.

Kotanjant dar açı α, bitişik bacağın karşıdakine oranıdır.
Şu şekilde belirtilir: ctg α.

Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı sadece açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tüzük:

Ana trigonometrik kimlikler bir dik üçgende:

(α - bacağın karşısındaki dar açı b ve bacağın yanında a . Yan ile - hipotenüs. β - ikinci dar açı).

b sinüs = - c	günah 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 a = -- çünkü 2 α
b tga = - a	1 1 + ctg 2 α = -- günah2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α günah 2 α
sinα tga = -- cosα

Dar açı arttıkçasinα vetg α artışı veçünkü α azalır.

Herhangi bir dar açı α için:

günah (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = günah α

açıklayıcı örnek:

ABC dik üçgeninde olsun
AB = 6,
M.Ö. = 3,
A açısı = 30º.

A açısının sinüsünü ve B açısının kosinüsünü bulun.

Karar .

1) İlk önce, B açısının değerini buluyoruz. Burada her şey basit: çünkü bir dik üçgende dar açıların toplamı 90º, sonra B açısı \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Günah A'yı hesaplayın. Sinüs'ün karşı bacağın hipotenüse oranına eşit olduğunu biliyoruz. A açısı için, karşı bacak BC tarafıdır. Böyle:

MÖ 3 1
günah A = -- = - = -
AB 6 2

3) Şimdi cos B'yi hesaplıyoruz. Kosinüsün bitişik bacağın hipotenüse oranına eşit olduğunu biliyoruz. B açısı için, bitişik bacak aynı BC kenarıdır. Bu, BC'yi tekrar AB'ye bölmemiz gerektiği anlamına gelir - yani, A açısının sinüsünü hesaplarken olduğu gibi aynı eylemleri gerçekleştirin:

MÖ 3 1
çünkü B = -- = - = -
AB 6 2

Sonuç:
günah A = çünkü B = 1/2.

günah 30º = cos 60º = 1/2.

Bundan, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünün başka bir dar açının kosinüsüne eşit olduğu ve bunun tersi olduğu sonucu çıkar. Bu tam olarak iki formülümüzün anlamı:
günah (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = günah α

Tekrar kontrol edelim:

1) α = 60º olsun. α'nın değerini sinüs formülüyle değiştirerek şunu elde ederiz:
günah (90º - 60º) = cos 60º.
günah 30º = cos 60º.

2) α = 30º olsun. α değerini kosinüs formülüne koyarak şunu elde ederiz:
cos (90° - 30°) = günah 30°.
çünkü 60° = günah 30°.

(Trigonometri hakkında daha fazla bilgi için Cebir bölümüne bakın)

Ders: Sinüs, kosinüs, tanjant, keyfi bir açının kotanjantı

Sinüs, keyfi bir açının kosinüsü

ne olduğunu anlamak için trigonometrik fonksiyonlar, birim yarıçaplı bir daireye dönüyoruz. verilen daire koordinat düzleminde orijinde ortalanır. Verilen fonksiyonları belirlemek için yarıçap vektörünü kullanacağız. VEYA, dairenin merkezinden başlar ve nokta R daire üzerinde bir noktadır. Bu yarıçap vektörü, eksenle bir alfa açısı oluşturur. AH. Çemberin yarıçapı bire eşit olduğundan, o zaman VEYA = R = 1.

Eğer noktadan R eksen üzerinde bir dikey bırakın AH, sonra hipotenüsü bire eşit olan bir dik üçgen elde ederiz.

Yarıçap vektörü saat yönünde hareket ederse, bu yöne denir. olumsuz, ancak saat yönünün tersine hareket ederse - pozitif.

Bir açının sinüsü VEYA, noktanın koordinatıdır R bir daire üzerinde vektörler.

Yani, belirli bir alfa açısının sinüsünün değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. saat yüzeyde.

nasıl verilen değer teslim alındı? Bir dik üçgende keyfi bir açının sinüsünün, karşı bacağın hipotenüse oranı olduğunu bildiğimiz için, şunu elde ederiz:

Dan beri R=1, o zamanlar günah(α) = y 0 .

Birim çemberde ordinat değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

Sinüs kabul eder pozitif değer birim çemberin birinci ve ikinci çeyreğinde ve üçüncü ve dördüncü çeyreğinde negatif.

bir açının kosinüsü yarıçap vektörü tarafından oluşturulan verilen daire VEYA, noktanın apsisi R bir daire üzerinde vektörler.

Yani, belirli bir alfa açısının kosinüs değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. X yüzeyde.

Bir dik üçgende keyfi bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır, bunu elde ederiz.

Dan beri R=1, o zamanlar cos(α) = x 0 .

Birim çemberde apsisin değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

Kosinüs, birim çemberin birinci ve dördüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve üçüncü çeyreğinde ise negatiftir.

teğetkeyfi açı sinüsün kosinüs oranına oranı hesaplanır.

Bir dik üçgen düşünürsek, bu karşı bacağın bitişik olana oranıdır. Eğer Konuşuyoruz birim çember hakkında, o zaman bu, ordinatın apsise oranıdır.

Bu ilişkilere bakılarak, apsisin değeri sıfırsa, yani 90 derecelik bir açıyla tanjantın var olamayacağı anlaşılabilir. Tanjant diğer tüm değerleri alabilir.

Teğet birim çemberin birinci ve üçüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve dördüncü çeyreğinde negatiftir.

Tanjant (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğetler ve kotanjantlar, türevler, integraller, seri açılımları tablosu. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

geometrik tanım

|BD| - A noktasında ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

teğet ( tga) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, karşı ayağın uzunluğunun oranına |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

kotanjant ( ctgα) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, komşu ayağın uzunluğunun oranına |AB| karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Neresi n- tüm.

AT Batı edebiyatı tanjant aşağıdaki gibi tanımlanır:
.
;
;
.

Tanjant fonksiyonunun grafiği, y = tg x

Kotanjant

Neresi n- tüm.

Batı literatüründe, kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki gösterim de kabul edilmiştir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Tanjant ve kotanjantın özellikleri

periyodiklik

fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.

parite

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Tanjant ve kotanjant işlevleri tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Tanjant ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( n- tamsayı).

	y= tg x	y= ctg x
Kapsam ve süreklilik
Değer aralığı	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
artan		-
Azalan	-
aşırılıklar	-	-
sıfırlar, y= 0
y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0	y= 0	-

formüller

Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farkın tanjantı ve kotanjantı için formüller

Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin

teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir.

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

;
;

türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n. mertebenin türevi:
.
Tanjant için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >

integraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden genişlemesini elde etmek için, genişlemenin birkaç terimini güç serisi fonksiyonlar için günah x ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.

.

.
nerede ben- Bernoulli sayıları. Bunlar, yineleme bağıntısından belirlenir:
;
;
nerede .
Veya Laplace formülüne göre:

ters fonksiyonlar

Tanjant ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve ark kotanjanttır.

arktanjant, arktg

, nerede n- tüm.

Ark tanjantı, arkctg

, nerede n- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Araştırmacılar ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Bu yazımızda kapsamlı bir inceleme yapacağız. Temel trigonometrik özdeşlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bir ilişki kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birini bilinen bir diğeri aracılığıyla bulmanızı sağlayan eşitliklerdir.

Bu yazıda analiz edeceğimiz ana trigonometrik kimlikleri hemen listeliyoruz. Bunları bir tabloya yazıyoruz ve aşağıda bu formüllerin türetilmesini ve gerekli açıklamaları veriyoruz.

Sayfa gezintisi.

Bir açının sinüs ve kosinüsü arasındaki ilişki

Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tür . Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, temel trigonometrik özdeşliğin her iki parçasının sırasıyla ve ile bölünmesinden sonra elde edilir ve eşitlikler ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak tartışacağız.

Yani, ana trigonometrik kimliğin adı verilen, özellikle ilgi çekici olan eşitliktir.

Temel trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce, formülünü veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi kanıtlayalım.

Temel trigonometrik özdeşlik çok sık kullanılır. trigonometrik ifadelerin dönüşümü. Bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesini sağlar. Daha az sıklıkta, temel trigonometrik kimlik ters sırada kullanılır: birim, herhangi bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı ile değiştirilir.

Sinüs ve kosinüs yoluyla tanjant ve kotanjant

Tanjant ve kotanjantı, formun bir açısının sinüs ve kosinüsüne bağlayan kimlikler ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından hemen takip edin. Aslında, tanım gereği, sinüs y'nin ordinatıdır, kosinüs x'in apsisidir, tanjant, ordinatın apsise oranıdır, yani, ve kotanjant, apsisin ordinata oranıdır, yani, .

Kimliklerin bu açıklığı ve genellikle tanjant ve kotanjant tanımları apsis ve ordinatın oranıyla değil, sinüs ve kosinüsün oranıyla verilir. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır.

Bu bölümü bitirmek için, kimliklerin ve içlerindeki trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm bu açılar için tutun. Yani formül (aksi takdirde payda sıfır olacaktır ve biz sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - herkes için, z'nin herhangi olduğu yerden farklıdır.

tanjant ve kotanjant arasındaki ilişki

Önceki ikisinden daha da belirgin bir trigonometrik özdeşlik, formun bir açısının tanjantını ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir. . dışında herhangi bir açı için gerçekleştiği açıktır, aksi takdirde tanjant veya kotanjant tanımlanmaz.

Formülün kanıtı Çok basit. Tanım gereği ve nereden . Kanıt biraz farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. beri ve , o zamanlar .

Yani, mantıklı oldukları bir açının tanjantı ve kotanjantı.