Bir fonksiyon grafiğinin bir parabolünün tepe noktası nasıl bulunur? Bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur: üç formül

Herkes parabolün ne olduğunu bilir. Ancak, çeşitli pratik problemleri çözmede yetkin bir şekilde nasıl kullanılacağını aşağıda anlayacağız.

Öncelikle cebir ve geometrinin bu terime verdiği temel kavramları belirtelim. her şeyi düşün olası türler bu çizelge.

Bu fonksiyonun tüm ana özelliklerini öğreniyoruz. Bir eğri (geometri) oluşturmanın temellerini anlayalım. Bu tür grafiğin üst, diğer temel değerlerini nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Şunları öğreneceğiz: denkleme göre gerekli eğrinin nasıl doğru bir şekilde oluşturulduğu, nelere dikkat etmeniz gerektiği. ana görelim pratik kullanım insan hayatındaki bu eşsiz değer.

Parabol nedir ve neye benziyor

Cebir: Bu terim, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini ifade eder.

Geometri: Bu, bir dizi spesifik özelliği olan ikinci dereceden bir eğridir:

kanonik parabol denklemi

Şekil bir dikdörtgen koordinat sistemini (XOY), bir ekstremumu, apsis ekseni boyunca dalları çizen fonksiyonun yönünü göstermektedir.

Kanonik denklem:

y 2 \u003d 2 * p * x,

burada p katsayısı parabolün (AF) odak parametresidir.

Cebirde farklı yazılır:

y = a x 2 + b x + c (tanınabilir model: y = x 2).

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Özellikleri ve Grafiği

Fonksiyonun bir simetri ekseni ve bir merkezi (ekstremum) vardır. Tanım alanı, x ekseninin tüm değerleridir.

- (-∞, M) veya (M, +∞) fonksiyonunun değer aralığı, eğri dallarının yönüne bağlıdır. Buradaki M parametresi, satırın en üstündeki fonksiyonun değeri anlamına gelir.

Bir parabolün dallarının nereye yönlendirildiği nasıl belirlenir

Bir ifadeden bu tür bir eğrinin yönünü bulmak için cebirsel ifadenin ilk parametresinin önündeki işareti belirtmeniz gerekir. ˃ 0 ise, yukarı doğru yönlendirilirler. Aksi takdirde, aşağı.

Formülü kullanarak bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur

Ekstremumu bulmak, birçok pratik problemin çözümünde ana adımdır. tabiki özel açabilirsiniz çevrimiçi hesap makineleri ama bunu kendin yapabilmek daha iyi.

Nasıl tanımlanır? Özel bir formülü var. b 0'a eşit olmadığında, bu noktanın koordinatlarını aramalıyız.

En tepeyi bulmak için formüller:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Misal.

y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 işlevi var. Bu işlevin köşelerini bulalım.

Böyle bir hat için:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Köşenin koordinatlarını alıyoruz (-2, -41).

parabol ofset

Klasik durum, ikinci dereceden bir fonksiyonda y = a x 2 + b x + c olduğunda, ikinci ve üçüncü parametreler 0 ve = 1 - tepe noktası (0; 0) noktasındadır.

Apsis veya ordinat eksenleri boyunca hareket, sırasıyla b ve c parametrelerindeki bir değişiklikten kaynaklanmaktadır. Düzlemdeki çizginin kayması, tam olarak parametrenin değerine eşit olan birim sayısı ile gerçekleştirilecektir.

Misal.

Şunlara sahibiz: b = 2, c = 3.

Bu, eğrinin klasik görünümünün apsis ekseni boyunca 2 birim parça ve ordinat ekseni boyunca 3 birim kayacağı anlamına gelir.

İkinci dereceden bir denklem kullanarak bir parabol nasıl oluşturulur

Okul çocuklarının verilen parametrelere göre bir parabolün nasıl doğru çizileceğini öğrenmeleri önemlidir.

İfadeleri ve denklemleri analiz ederek aşağıdakileri görebilirsiniz:

1. İstenen doğrunun ordinat vektörüyle kesişme noktası c'ye eşit bir değere sahip olacaktır.
2. Grafiğin tüm noktaları (x ekseni boyunca), fonksiyonun ana uç noktasına göre simetrik olacaktır.

Ek olarak, böyle bir fonksiyonun diskriminantı (D) bilinerek OX ile kesişimler bulunabilir:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Bunu yapmak için ifadeyi sıfıra eşitlemeniz gerekir.

Parabol köklerinin varlığı sonuca bağlıdır:

• D ˃ 0, sonra x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, sonra x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, o zaman OX vektörü ile kesişme noktası yoktur.

Bir parabol oluşturmak için algoritmayı elde ederiz:

• dalların yönünü belirlemek;
• köşenin koordinatlarını bulun;
• y ekseni ile kesişimi bulun;
• x ekseni ile kesişimi bulun.

örnek 1

y \u003d x 2 - 5 * x + 4 işlevi verildi. Bir parabol oluşturmak gerekir. Algoritmaya göre hareket ediyoruz:

1. a \u003d 1, bu nedenle, dallar yukarı doğru yönlendirilir;
2. ekstremum koordinatları: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. y = 4 değerinde y ekseni ile kesişir;
4. diskriminantı bulun: D = 25 - 16 = 9;
5. kök aramak

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (on).

Örnek 2

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 işlevi için bir parabol oluşturmanız gerekir. Yukarıdaki algoritmaya göre hareket ediyoruz:

1. a \u003d 3, bu nedenle, dallar yukarı doğru yönlendirilir;
2. ekstremum koordinatları: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y ekseni ile y \u003d -1 değerinde kesişecektir;
4. ayrımcıyı bulun: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Yani kökler:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Elde edilen noktalardan bir parabol oluşturabilirsiniz.

Directrix, eksantriklik, bir parabolün odağı

Temelli kanonik denklem, odak F koordinatlarına sahiptir (p/2, 0).

AB düz çizgisi bir directrix'tir (belirli bir uzunlukta bir tür parabol kirişi). Denklemi x = -p/2'dir.

Eksantriklik (sabit) = 1.

Çözüm

Öğrencilerin okudukları konuyu ele aldık. lise. Artık bir parabolün ikinci dereceden fonksiyonuna bakarak, köşesinin nasıl bulunacağını, dalların hangi yöne yönlendirileceğini, eksenler boyunca bir öteleme olup olmadığını biliyorsunuz ve bir inşaat algoritmasına sahip olarak grafiğini çizebilirsiniz.

Formun işlevi, çağrıldığı yer ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden fonksiyonun grafiği − parabol.

Durumları düşünün:

DURUM I, KLASİK PARABOL

yani , ,

İnşa etmek için, formülde x değerlerini değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1) vb. koordinat düzleminde (x değerleri aldığımız adım ne kadar küçükse (bu durumda, adım 1) ve ne kadar fazla x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

, , , durumunu alırsak, yani eksen (öküz) etrafında simetrik bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUM, "a" BİRİNDEN FARKLI

Alırsak ne olur , ? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Title="(!LANG:QuickLaTeX.com tarafından işlendi) ile" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resim (yukarıya bakın), (1;1), (-1;1) parabol tablosundaki noktaların (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğünü açıkça göstermektedir, yani, aynı değerlerle, her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarına olacaktır. Resim 2 ve 3'teki durumlarda da benzer şekilde tartışıyoruz.

Ve parabol "genişlediğinde" parabol:

Tekrar özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünden sorumludur. Title="(!LANG:QuickLaTeX.com tarafından işlendi) ile" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modül), parabolün “genişletilmesinden”, “sıkıştırılmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyükse, parabol ne kadar darsa |a| o kadar küçüktür, parabol o kadar geniştir.

DURUM III, "C" GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani, ne zaman olduğunu düşünüyoruz), formun parabollerini ele alacağız. İşarete bağlı olarak parabolün eksen boyunca yukarı veya aşağı hareket edeceğini tahmin etmek kolaydır (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, "b" GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Eşit olmayı bıraktığında.

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan köşeyi hesaplama formülü: , .

Yani bu noktada (0; 0) noktasında olduğu gibi yeni sistem koordinatlar) zaten elimizde olan bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla uğraşıyorsak, o zaman yukarıdan sağa, bir yukarı tek bir segment ayırıyoruz, - ortaya çıkan nokta bizim (benzer şekilde, sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamız); örneğin, uğraşıyorsak, o zaman yukarıdan sağa tek bir segment, iki yukarı, vb.

Örneğin, bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken en önemli şey, bu tepe noktasında parabol şablonuna göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken köşe koordinatlarını bulduktan sonra çokAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol noktasından geçmek zorunda . Gerçekten de, formülde x=0 yerine koyarsak şunu elde ederiz. Yani, parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının koordinatı, bu. Örneğimizde (yukarıda), parabol y eksenini 'de kesiyor.

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgidir, dolayısıyla parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde, hemen (0; -2) noktasını alıyoruz ve simetri ekseni etrafında simetrik bir parabol oluşturuyoruz, parabolün geçeceği noktayı (4; -2) alıyoruz.

3) Eşitleyerek, parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Ayrımcıya bağlı olarak, bir (, ), iki ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com) alırız" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Önceki örnekte, diskriminanttan bir kökümüz var - bir tamsayı değil, onu oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil, ancak (oh) ile iki kesişme noktamız olacağını açıkça görebiliriz. eksen (başlık = "(!LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

hadi çalışalım

Formda verilmişse bir parabol oluşturmak için algoritma

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 - yukarı, a<0 – вниз)

2) , formülüyle parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun .

3) serbest terimle parabolün ekseni (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre verilene simetrik bir nokta oluştururuz (olduğuna dikkat edilmelidir) bu noktayı işaretlemek kârsız, örneğin değer büyük olduğu için ... bu noktayı atlıyoruz ...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepesi (yeni koordinat sisteminin (0; 0) noktasında olduğu gibi), bir parabol oluşturuyoruz. If title="(!LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksen (oy) ile kesişme noktalarını buluruz (eğer kendileri henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”), denklemi çözeriz.

örnek 1

Örnek 2

Açıklama 1. Parabol başlangıçta bize şeklinde verilirse, bazı sayılar nerede (örneğin, ), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize zaten tepenin koordinatları verilmiştir. Niye ya?

Bir kare üçlü terim alalım ve içinde tam bir kare seçelim: Bak, işte bunu aldık, . Daha önce parabolün tepesini aradık, yani şimdi.

Örneğin, . Parabolün tepesini düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün (nispeten) genişletildiğini anlıyoruz. Yani, 1. adımları gerçekleştiriyoruz; 3; 4; 5, bir parabol oluşturma algoritmasından (yukarıya bakın).

Açıklama 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani, iki doğrusal faktörün bir ürünü olarak gösterilir), o zaman parabolün (x) ekseni ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda - (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için, parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir. Bu hattın önemli bir fiziksel değer. Parabolün tepesini bulmayı kolaylaştırmak için onu çizmeniz gerekir. O zaman grafikte üstünü kolayca görebilirsiniz. Ancak bir parabol inşa etmek için parabolün noktalarını nasıl bulacağınızı ve parabolün koordinatlarını nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir.

Bir Parabolün Noktalarını ve Tepe Noktasını Bulma

AT Genel fikir ikinci dereceden fonksiyon aşağıdaki forma sahiptir: y = ax 2 + bx + c. takvim verilen denklem bir paraboldür. a > 0 değeri olduğunda, dalları yukarı doğru ve a değeri ‹ 0 olduğunda - aşağı doğru yönlendirilir. Bir grafik üzerinde bir parabol oluşturmak için, y ekseni boyunca ilerliyorsa üç nokta bilmeniz gerekir. Aksi takdirde, dört inşaat noktası bilinmelidir.

Apsisi (x) bulurken, verilen polinom formülünden (x)'deki katsayıyı almak ve ardından (x 2)'deki katsayının iki katına bölmek ve sonra - 1 sayısıyla çarpmak gerekir.

Ordinatı bulmak için, diskriminantı bulup - 1 ile çarpmanız ve 4 ile çarptıktan sonra (x 2)'deki katsayıya bölmeniz gerekir.

Ayrıca, sayısal değerleri değiştirerek, parabolün tepe noktası hesaplanır. Tüm hesaplamalar için bir mühendislik hesap makinesi kullanılması tavsiye edilir ve grafikler ve paraboller çizerken bir cetvel ve bir lumograf kullanın, bu, hesaplamalarınızın doğruluğunu önemli ölçüde artıracaktır.

Bir parabolün tepe noktasını nasıl bulacağımızı anlamamıza yardımcı olması için aşağıdaki örneği inceleyin.

x 2 -9=0. Bu durumda, köşe koordinatları şu şekilde hesaplanır: nokta 1 (-0/(2*1); nokta 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Böylece, köşenin koordinatları (0; 9) değerleridir.

Köşenin apsisini bulma

Bir parabolün nasıl bulunacağını öğrendikten ve x ekseni ile kesişme noktalarını hesapladıktan sonra, tepe noktasının apsisini kolayca hesaplayabilirsiniz.

(x 1) ve (x 2) parabolün kökleri olsun. Bir parabolün kökleri, x ekseni ile kesiştiği noktalardır. Bu değerler aşağıdaki ikinci dereceden denklemi geçersiz kılar: ax 2 + bx + c.

Ayrıca, |x 2 | > |x 1 |, daha sonra parabolün tepe noktası aralarında ortada bulunur. Böylece, aşağıdaki ifadeyle bulunabilir: x 0 \u003d ½ (|x 2 | - |x 1 |).

Bir figürün alanını bulma

Bir şeklin alanını koordinat düzleminde bulmak için integrali bilmeniz gerekir. Ve bunu uygulamak için belirli algoritmaları bilmek yeterlidir. Parabollerin sınırladığı alanı bulmak için görüntüsünü Kartezyen koordinat sisteminde üretmek gerekir.

İlk olarak, yukarıda açıklanan yönteme göre, (x) ekseninin tepesinin koordinatı, ardından (y) ekseninin koordinatı belirlenir, ardından parabolün tepesi bulunur. Şimdi entegrasyonun sınırlarını belirlemek gerekiyor. Kural olarak, (a) ve (b) değişkenleri kullanılarak problem ifadesinde belirtilirler. Bu değerler sırasıyla integralin üst ve alt kısımlarına yerleştirilmelidir. Ardından, girin Genel görünüm fonksiyon değeri ve (dx) ile çarpın. Bir parabol durumunda: (x 2)dx.

O zaman fonksiyonun ters türev değerini genel terimlerle hesaplamanız gerekir. Bunu yapmak için özel bir değerler tablosu kullanın. Oradaki entegrasyon limitleri yerine konulduğunda fark bulunur. Bu fark alan olacaktır.

Örnek olarak, denklem sistemini düşünün: y \u003d x 2 +1 ve x + y \u003d 3.

Kesişme noktalarının apsisleri bulunur: x 1 \u003d -2 ve x 2 \u003d 1.

Y 2 \u003d 3 ve y 1 \u003d x 2 + 1 olduğuna inanıyoruz, yukarıdaki formülde \u200b\u200bdeğerleri değiştiriyoruz ve 4,5'e eşit bir değer elde ediyoruz.

Şimdi bir parabolün nasıl bulunacağını öğrendik ve ayrıca bu verilere dayanarak, sınırladığı şeklin alanını hesapladık.

Matematikte, ikinci dereceden denklemlerin önemli bir yer tuttuğu tam bir kimlik döngüsü vardır. Benzer eşitlikler hem ayrı ayrı hem de koordinat ekseninde grafik çizmek için çözülebilir. denklemler, parabol ve doğru öküzünün kesişme noktalarıdır.

Genel form

Genel olarak, aşağıdaki yapıya sahiptir:

"X" rolünde hem bireysel değişkenler hem de tüm ifadeler düşünülebilir. Örneğin:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Bir ifadenin x gibi davranması durumunda, onu bir değişken olarak temsil etmek ve ondan sonra polinomu bunlara eşitlemek ve x bulmak gerekir.

Öyleyse, (x + 7) \u003d a ise, denklem a 2 + 3a + 2 \u003d 0 şeklini alır.

D=3 2 -4*1*2=1;

ve 1 \u003d (-3-1) / 2 * 1 \u003d -2;

ve 2 \u003d (-3 + 1) / 2 * 1 \u003d -1.

-2 ve -1'e eşit köklerle aşağıdakileri elde ederiz:

x+7=-2 ve x+7=-1;

Kökler, parabolün x ekseni ile kesişme noktasının x koordinat değeridir. Prensip olarak, görev sadece parabolün tepesini bulmaksa, değerleri o kadar önemli değildir. Ancak çizim için kökler önemli bir rol oynar.

Orijinal denkleme geri dönelim. Bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur sorusunu cevaplamak için aşağıdaki formülü bilmeniz gerekir:

burada x vp, istenen noktanın x koordinatının değeridir.

Fakat y koordinatı değeri olmayan bir parabolün tepe noktasını nasıl bulursunuz? Elde edilen x değerini denklemde yerine koyarız ve gerekli değişkeni buluruz. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözelim:

Parabolün tepesi için x koordinatının değerini bulun:

x VP \u003d -b / 2a \u003d -3 / 2 * 1;

Parabolün tepesi için y koordinatının değerini bulun:

y \u003d 2x 2 + 4x-3 \u003d (-1.5) 2 + 3 * (-1.5) -5;

Sonuç olarak, parabolün tepesinin koordinatları (-1.5; -7.25) olan noktada olduğunu elde ederiz.

Bir parabol, dikey bir çizgiye sahip noktaların bir bağlantısıdır.Bu nedenle, yapımı zor değildir. En zoru noktaların koordinatlarını doğru hesaplamaktır.

ödemeye değer Özel dikkat ikinci dereceden denklemin katsayıları üzerinde.

A katsayısı parabolün yönünü etkiler. Sahip olduğu durumda olumsuz anlam, dallar aşağı doğru ve olumlu bir işaretle - yukarı doğru yönlendirilecektir.

b katsayısı, parabolün kolunun ne kadar geniş olacağını gösterir. Değeri ne kadar büyük olursa, o kadar geniş olur.

c katsayısı, parabolün orijine göre y ekseni boyunca yer değiştirmesini gösterir.

Bir parabolün tepe noktasını nasıl bulacağımızı ve kökleri bulmayı zaten öğrendik, aşağıdaki formüller tarafından yönlendirilmeliyiz:

Burada D, denklemin köklerini bulmak için gereken diskriminanttır.

x 1 \u003d (-b + V - D) / 2a

x 2 \u003d (-b-V - D) / 2a

Ortaya çıkan x değerleri sıfır y değerlerine karşılık gelecektir, çünkü x ekseni ile kesişme noktalarıdır.

Bundan sonra, elde edilen değerleri parabolün üstünde işaretleriz. Daha fazlası için detaylı grafikler birkaç nokta daha bulmak gerekiyor. Bunu yapmak için tanım alanı tarafından izin verilen herhangi bir x değerini seçeriz ve onu fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. Hesaplamaların sonucu, y ekseni boyunca noktanın koordinatı olacaktır.

Çizim sürecini basitleştirmek için, parabolün tepesinden geçen ve x eksenine dik olan dikey bir çizgi çizebilirsiniz. Bu, bir noktaya sahip olarak, çizilen çizgiden eşit uzaklıkta ikinci bir nokta belirleyebileceğiniz yardımı ile olacaktır.

Birçok teknik, ekonomik ve sosyal konular eğriler kullanılarak tahmin edilmiştir. Aralarında en çok kullanılan tür parabol, daha doğrusu yarısıdır. Herhangi bir parabolik eğrinin önemli bir bileşeni, tam koordinatlarının belirlenmesi bazen yalnızca sürecin kendisinin görüntülenmesinde değil, aynı zamanda sonraki sonuçlar için de önemli bir rol oynayan tepe noktasıdır. Kesin koordinatlarının nasıl bulunacağı bu makalede tartışılacaktır.

Temas halinde

Arama başlangıcı

Parabol köşesinin koordinatlarını bulmaya geçmeden önce, tanımın kendisini ve özelliklerini tanıyalım. Klasik anlamda, bir parabol öyle bir nokta düzenidir ki, belirli bir noktadan aynı uzaklıkta(odak, F noktası) ve F noktasından geçmeyen düz bir çizgiden. bu tanımŞekil 1'de daha ayrıntılı.

Şekil 1. Bir parabolün klasik görünümü

Şekil klasik formu göstermektedir. Odak F noktasıdır. Bu durumda, directrix Y ekseninin düz çizgisi olarak kabul edilecektir (kırmızı ile vurgulanmıştır). Tanımdan, odak hariç, eğrinin kesinlikle herhangi bir noktasının, diğer tarafta simetri ekseninden kendisiyle aynı mesafede kaldırılmış benzer bir noktası olduğundan emin olunabilir. Ayrıca, parabol üzerindeki herhangi bir noktadan uzaklık directrix'e olan mesafeye eşit. İleriye baktığımızda, fonksiyonun merkezinin orijinde olması gerekmediğini ve dalların farklı yönlere yönlendirilebileceğini varsayalım.

Diğer işlevler gibi bir parabolün de bir formül biçiminde kendi gösterimi vardır:

Bu formülde, "s" harfi, odaktan directrix'e olan mesafeye eşit olan parabol parametresini belirtir. Ayrıca, GMT tarafından belirtilen ve şu forma sahip başka bir kayıt şekli daha vardır:

Böyle bir formül, matematiksel analiz alanındaki problemlerin çözümünde kullanılır ve geleneksel olandan (kolaylık nedeniyle) daha sık kullanılır. Gelecekte, ikinci kayda odaklanacağız.

Bu ilginç!: kanıt

Parabolün katsayılarının ve ana noktalarının hesaplanması

Ana parametreler arasında, apsis eksenindeki tepe noktasının konumunu, ordinat eksenindeki tepe noktasının koordinatlarını ve directrix parametresini dahil etmek gelenekseldir.

x eksenindeki köşe koordinatının sayısal değeri

Parabol denklemi klasik formda (1) verilirse, istenen noktadaki apsisin değeri s parametresinin değerinin yarısına eşit olacaktır(directrix ve odak arasındaki mesafenin yarısı). Fonksiyon (2) biçiminde sunulursa, sıfır x şu formülle hesaplanır:

Yani, bu formüle bakarak, a veya b parametrelerinden biri sıfırdan küçükse, tepe noktasının y eksenine göre sağ yarıda olacağı iddia edilebilir.

Directrix denklemi aşağıdaki denklemle verilir:

y eksenindeki köşe değeri

Formül (2) için tepe noktasının y ekseni üzerindeki konumunun sayısal değeri aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bundan şu sonucu çıkarabiliriz ki eğer bir<0, то eğrinin tepe noktası üst yarı düzlemde olacaktır, aksi takdirde, altta. Bu durumda, parabolün noktaları daha önce bahsedilen aynı özelliklere sahip olacaktır.

Klasik gösterim verilirse, tepe noktasının apsis ekseni üzerindeki konumunun değerini ve bununla birlikte ordinatın sonraki değerini hesaplamak daha rasyonel olacaktır. (2) gösterimi için, klasik gösterimde parabolün simetri ekseninin y ekseni ile çakışacağına dikkat edin.

Önemli! Parabol denklemini kullanarak görevleri çözerken, her şeyden önce, zaten bilinen ana değerleri vurgulayın. Ayrıca eksik olan parametrelerin tespit edilmesi faydalı olacaktır. Bu yaklaşım, önceden daha fazla "manevra alanı" ve daha rasyonel bir çözüm sağlayacaktır. Pratikte, (2) gösterimini kullanmayı deneyin. Anlaması daha kolaydır ("Descartes'ın koordinatlarını çevirmeniz" gerekmez), ayrıca görevlerin büyük çoğunluğu bu gösterim biçimi için özel olarak uyarlanmıştır.

Parabolik tip bir eğrinin oluşturulması

Ortak bir gösterim kullanarak, bir parabol oluşturmadan önce köşesini bulmak gerekir. Basitçe söylemek gerekirse, aşağıdaki algoritmayı gerçekleştirmeniz gerekir:

1. x eksenindeki bir köşenin koordinatını bulun.
2. Y eksenindeki tepe noktası konumunun koordinatını bulun.
3. Bağımlı değişken X'in farklı değerlerini değiştirerek, karşılık gelen Y değerlerini bulun ve eğriyi çizin.

Onlar. Algoritma karmaşık bir şey değildir, asıl odak noktası parabolün tepe noktasının nasıl bulunacağıdır. Daha sonraki inşaat süreci mekanik olarak kabul edilebilir.

Koordinatları bilinen üç nokta verilmesi şartıyla, her şeyden önce parabolün denklemini formüle etmek ve daha sonra daha önce açıklanan prosedürü tekrarlamak gerekir. Çünkü (2) denkleminde 3 katsayı vardır, ardından noktaların koordinatlarını kullanarak her birini hesaplarız:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Sırasıyla (5.1), (5.2), (5.3) formüllerinde bilinen noktalar kullanılır (örneğin, A (, B (, C (. Bu şekilde 3 noktada bir parabol denklemini buluruz). Pratik bir bakış açısından, bu yaklaşım en "hoş" değildir, ancak daha sonra eğrinin kendisinin inşa edildiği temelinde net bir sonuç verir.

Bir parabol oluştururken her zaman simetri ekseni olmalıdır.(2) yazmak için simetri ekseni formülü şöyle görünecektir:

Onlar. eğrinin tüm noktalarının simetrik olduğu simetri eksenini bulmak zor değildir. Daha doğrusu, tepe noktasının ilk koordinatına eşittir.

açıklayıcı örnekler

Örnek 1. Diyelim ki bir parabol denklemimiz var:

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak ve ayrıca D noktasının (10; 5) verilen eğriye ait olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

Çözüm: Öncelikle bahsedilen noktanın eğrinin kendisine ait olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Buradan, belirtilen noktanın verilen eğriye ait olmadığı sonucuna varıyoruz. Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun. (4) ve (5) formüllerinden aşağıdaki diziyi elde ederiz:

En üstteki, O noktasındaki koordinatların aşağıdaki gibi olduğu ortaya çıktı (-1.25; -7.625). Bu demektir ki bizim parabol, Kartezyen sistemin 3. çeyreğinden kaynaklanır koordinatlar.

Örnek 2. Parabolün tepe noktasını bulun, ona ait olan üç noktayı bilin: A (2;3), B (3;5), C (6;2). (5.1), (5.2), (5.3) formüllerini kullanarak parabol denkleminin katsayılarını buluruz. Aşağıdakileri alıyoruz:

Elde edilen değerleri kullanarak aşağıdaki denklemi elde ederiz:

Şekilde verilen fonksiyon şu şekilde görünecektir (Şekil 2):

Şekil 2. 3 noktadan geçen bir parabolün grafiği

Onlar. Verilen üç noktadan geçen bir parabol grafiğinin tepe noktası 1. kadranda olacaktır. Ancak bu eğrinin dalları aşağıya doğru yönlendirilir; parabolün orijinden bir kayması var. Böyle bir yapı, a, b, c katsayılarına dikkat edilerek öngörülebilirdi.

Özellikle, eğer bir<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 eğri gerilir ve 1'den küçükse sıkıştırılır.

c sabiti, eğrinin y ekseni boyunca "hareketinden" sorumludur. c>0 ise, parabol "sürünür", aksi takdirde aşağı. Katsayı b ile ilgili olarak, etki derecesini yalnızca denklemin şeklini değiştirerek ve aşağıdaki forma getirerek belirlemek mümkündür:

Katsayı b>0 ise, parabol tepesinin koordinatları sağa b birim, daha azsa b birim sola kayar.

Önemli! Koordinat düzleminde bir parabolün yer değiştirmesini belirlemek için tekniklerin kullanılması bazen problemleri çözerken zamandan tasarruf etmeye veya inşaattan önce bile bir parabolün başka bir eğri ile olası kesişimi hakkında bilgi edinmeye yardımcı olur. Genellikle sadece a katsayısına bakarlar, çünkü sorulan soruya net bir cevap veren odur.

Faydalı video: Bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur

Faydalı video: bir grafikten kolayca bir parabol denklemi nasıl yazılır

Çözüm

Bir parabolün köşelerini belirlemek gibi cebirsel bir süreç zor değil, aynı zamanda oldukça zahmetli. Pratikte, grafik çözümün ve bir bütün olarak çözümün anlaşılmasını kolaylaştırmak için ikinci gösterim biçimini kullanmaya çalışırlar. Bu nedenle, böyle bir yaklaşımı kullanmanızı şiddetle tavsiye ederiz ve köşe koordinat formüllerini hatırlamıyorsanız, en azından bir kopya kağıdınız olsun.