Çünkü toplamlar. Temel trigonometrik kimlikler, formülasyonları ve türetilmesi
Trigonometride en çok kullanılan formüller hakkında sohbetimize devam ediyoruz. Bunlardan en önemlisi toplama formülleridir.
tanım 1
Toplama formülleri, bu açıların trigonometrik fonksiyonlarını kullanarak farkın veya iki açının toplamının fonksiyonlarını ifade etmenizi sağlar.
Başlamak için sunacağız tam liste toplama formülleri, sonra bunları kanıtlayacağız ve birkaç açıklayıcı örneği analiz edeceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trigonometride temel toplama formülleri
Sekiz temel formül vardır: sırasıyla toplamın sinüsü ve iki açı farkının sinüsü, toplam ve farkın kosinüsleri, sırasıyla toplam ve farkın tanjantları ve kotanjantları. Aşağıda standart formülasyonları ve hesaplamaları bulunmaktadır.
1. İki açının toplamının sinüsü aşağıdaki gibi elde edilebilir:
Birinci açının sinüsünün çarpımını ikincinin kosinüsü ile hesaplıyoruz;
Birinci açının kosinüsünü birinci açının sinüsü ile çarpın;
Ortaya çıkan değerleri toplayın.
Formülün grafik yazımı şöyle görünür: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Farkın sinüsü hemen hemen aynı şekilde hesaplanır, sadece ortaya çıkan ürünler eklenmemeli, birbirinden çıkarılmalıdır. Böylece, birinci açının sinüsünün ikincinin kosinüsü ile ve birinci açının kosinüsünün ikincinin sinüsü ile çarpımlarını hesaplar ve farklarını buluruz. Formül şöyle yazılır: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Toplamın kosinüsü. Bunun için, birinci açının kosinüsünün ürünlerini ikincinin kosinüsü ile ve birinci açının sinüsünü ikincinin sinüsü ile sırasıyla buluruz ve farklarını buluruz: cos (α + β) = cos α çünkü β - günah α günah β
4. Kosinüs farkı: Daha önce olduğu gibi verilen açıların sinüs ve kosinüslerinin çarpımlarını hesaplayıp toplarız. Formül: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Toplamın tanjantı. Bu formül, payında istenen açıların tanjantlarının toplamı olan bir kesir olarak ifade edilir ve paydada, istenen açıların tanjantlarının ürününün çıkarıldığı birimdir. Grafik notasyonundan her şey açıktır: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Farkın tanjantı. Farkın değerlerini ve bu açıların tanjantlarının çarpımını hesaplar ve onlarla benzer şekilde ilgileniriz. Paydada bire ekleriz, tersi değil: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Toplamın kotanjantı. Bu formülü kullanan hesaplamalar için, aşağıdaki gibi ilerlediğimiz bu açıların kotanjantlarının toplamına ve ürününe ihtiyacımız var: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Farkın kotanjantı . Formül öncekine benzer, ancak pay ve paydada - eksi ve artı değil c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Muhtemelen bu formüllerin ikili olarak benzer olduğunu fark etmişsinizdir. ± (artı-eksi) ve ∓ (eksi-artı) işaretlerini kullanarak, notasyon kolaylığı için bunları gruplandırabiliriz:
günah (α ± β) = günah α cos β ± cos α günah β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ günah α günah β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Buna göre, her değerin toplamı ve farkı için bir kayıt formülümüz var, sadece bir durumda üst işarete, diğerinde alt işarete dikkat ediyoruz.
tanım 2
Herhangi bir α ve β açısı alabiliriz ve kosinüs ve sinüs için toplama formülleri onlar için işe yarayacaktır. Bu açıların tanjantlarının ve kotanjantlarının değerlerini doğru bir şekilde belirleyebilirsek, o zaman tanjant ve kotanjant için toplama formülleri onlar için de geçerli olacaktır.
Cebirdeki çoğu kavram gibi, toplama formülleri kanıtlanabilir. Kanıtlayacağımız ilk formül, fark kosinüs formülüdür. Ondan, daha sonra kanıtın geri kalanını kolayca çıkarabilirsiniz.
Temel kavramları açıklayalım. Birim çembere ihtiyacımız var. Belli bir A noktasını alıp merkez (O noktası) etrafında α ve β açılarını döndürürsek ortaya çıkacaktır. O zaman O A 1 → ve O A → 2 vektörleri arasındaki açı (α - β) + 2 π z veya 2 π - (α - β) + 2 π z'ye (z herhangi bir tamsayıdır) eşit olacaktır. Ortaya çıkan vektörler, α - β veya 2 π - (α - β) değerine eşit bir açı oluşturur veya bu değerlerden tam sayıda tam devir ile farklı olabilir. Şu resime bak:
İndirgeme formüllerini kullandık ve aşağıdaki sonuçları aldık:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Alt satır: O A 1 → ve O A 2 → vektörleri arasındaki açının kosinüsü, α - β açısının kosinüsüne eşittir, bu nedenle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Sinüs ve kosinüs tanımlarını hatırlayın: sinüs, karşı açının bacağının hipotenüse oranına eşit bir açının bir fonksiyonudur, kosinüs ek açının sinüsüdür. Bu nedenle, noktalar 1 ve A2(cos α , sin α) ve (cos β , sin β) koordinatlarına sahiptir.
Aşağıdakileri alıyoruz:
O A 1 → = (cos α , sin α) ve O A 2 → = (cos β , sin β)
Net değilse, vektörlerin başında ve sonunda bulunan noktaların koordinatlarına bakın.
Vektörlerin uzunlukları 1'e eşittir, çünkü tek bir çemberimiz var.
Şimdi O A 1 → ve O A 2 → vektörlerinin skaler çarpımını analiz edelim. Koordinatlarda şöyle görünür:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Bundan eşitliği çıkarabiliriz:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Böylece, farkın kosinüs formülü ispatlanmış olur.
Şimdi aşağıdaki formülü kanıtlayacağız - toplamın kosinüsü. Bu daha kolaydır çünkü önceki hesaplamaları kullanabiliriz. α + β = α - (- β) temsilini alın. Sahibiz:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + günah α günah (- β) = = cos α cos β + günah α günah β
Bu, toplamın kosinüsü formülünün kanıtıdır. Son satır, zıt açıların sinüs ve kosinüs özelliğini kullanır.
Toplamın sinüsü formülü, farkın kosinüsü formülünden türetilebilir. Bunun için azaltma formülünü alalım:
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) biçimindedir. Böyle
günah (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + günah (π 2 - α) günah β = = günah α cos β + cos α günah β
Ve işte farkın sinüsünün formülünün kanıtı:
günah (α - β) = günah (α + (- β)) = günah α cos (- β) + cos α günah (- β) = = günah α cos β - cos α günah β
Son hesaplamada zıt açıların sinüs ve kosinüs özelliklerinin kullanımına dikkat edin.
Ardından, tanjant ve kotanjant için toplama formüllerinin kanıtlarına ihtiyacımız var. Temel tanımları hatırlayalım (tanjant, sinüsün kosinüs oranıdır ve kotanjant bunun tersidir) ve önceden türetilmiş formülleri alalım. Başardık:
t g (α + β) = günah (α + β) cos (α + β) = günah α cos β + cos α günah β cos α cos β - günah α günah β
Karmaşık bir kesirimiz var. Ardından, cos α ≠ 0 ve cos β ≠ 0 verildiğinde, payını ve paydasını cos α cos β ile bölmemiz gerekir, şunu elde ederiz:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - günah α sin β cos α cos β = günah α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α çünkü β - günah α günah β çünkü α cos β
Şimdi kesirleri azaltıyoruz ve aşağıdaki biçimde bir formül elde ediyoruz: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s ben n β cos β = tg α + tg β 1 - tg α tg β.
t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β elde ettik. Bu, teğet toplama formülünün kanıtıdır.
Kanıtlayacağımız bir sonraki formül, fark tanjant formülüdür. Hesaplamalarda her şey açıkça gösterilmiştir:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotanjant için formüller benzer şekilde kanıtlanmıştır:
c t g (α + β) = cos (α + β) günah (α + β) = cos α cos β - günah α günah β günah α cos β + cos α günah β = = cos α cos β - sin α günah β günah α günah β günah α cos β + cos α günah β günah α günah β = cos α cos β günah α günah β - 1 günah α cos β günah α günah β + cos α günah β sin α günah β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Daha ileri:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
- trigonometride mutlaka görevler olacaktır. Trigonometri, sinüsler, kosinüsler, tanjantlar ve kotanjantlarla dolu çok sayıda zor formülü sıkıştırmak zorunda kaldığı için genellikle sevilmez. Site, bir zamanlar Euler ve Peel formülleri örneğini kullanarak unutulmuş bir formülün nasıl hatırlanacağı konusunda tavsiyelerde bulundu.
Ve bu yazıda sadece beş basit trigonometrik formülü tam olarak bilmenin yeterli olduğunu ve geri kalanı hakkında bilgi sahibi olmanın yeterli olduğunu göstermeye çalışacağız. Genel fikir ve giderken onları çıkarın. DNA'da olduğu gibi: bir molekülde depolanmazlar. komple çizimler bitmiş canlı. Bunun yerine, onu mevcut amino asitlerden birleştirmek için talimatlar içerir. Yani trigonometride, bazılarını bilmek Genel İlkeler, her şeyi alacağız gerekli formüller akılda tutulması gereken küçük bir gruptan.
Aşağıdaki formüllere güveneceğiz:
Toplamların sinüs ve kosinüs formüllerinden, kosinüs fonksiyonunun çift olduğunu ve sinüs fonksiyonunun tek olduğunu bilerek, b yerine -b koyarak, farklar için formüller elde ederiz:
- fark sinüsü: günah(a-b) = günahaçünkü(-b)+çünküagünah(-b) = günahaçünküb-çünküagünahb
- kosinüs farkı: çünkü(a-b) = çünküaçünkü(-b)-günahagünah(-b) = çünküaçünküb+günahagünahb
Aynı formüllere a \u003d b koyarak, çift açıların sinüs ve kosinüs formüllerini elde ederiz:
- Çift açının sinüsü: günah2a = günah(a+a) = günahaçünküa+çünküagünaha = 2günahaçünküa
- Çift açının kosinüsü: çünkü2a = çünkü(a+a) = çünküaçünküa-günahagünaha = çünkü2a-günah2a
Diğer çoklu açılar için formüller benzer şekilde elde edilir:
- Üçlü açının sinüsü: günah3 A = günah(2a+a) = günah2açünküa+çünkü2agünaha = (2günahaçünküa)çünküa+(çünkü2a-günah2a)günaha = 2günahaçünkü2a+günahaçünkü2a-günah 3 bir = 3 günahaçünkü2a-günah 3 bir = 3 günaha(1-günah2a)-günah 3 bir = 3 günaha-4günah 3 A
- Üçlü açının kosinüsü: çünkü3 A = çünkü(2a+a) = çünkü2açünküa-günah2agünaha = (çünkü2a-günah2a)çünküa-(2günahaçünküa)günaha = çünkü 3 A- günah2açünküa-2günah2açünküa = çünkü 3a-3 günah2açünküa = çünkü 3 a-3(1- çünkü2a)çünküa = 4çünkü 3a-3 çünküa
Devam etmeden önce, bir sorunu ele alalım.
Verilen: açı dardır.
Eğer kosinüsünü bulun
Bir öğrencinin verdiği çözüm:
Çünkü , o zamanlar günaha= 3,a çünküa = 4.
(Matematiksel mizahtan)
Dolayısıyla, tanjant tanımı bu işlevi hem sinüs hem de kosinüs ile ilişkilendirir. Ancak teğetin sadece kosinüs ile bağlantısını veren bir formül elde edebilirsiniz. Bunu türetmek için temel trigonometrik özdeşliği alıyoruz: günah 2 a+çünkü 2 a= 1 ve onu böl çünkü 2 a. Alırız:
Yani bu sorunun çözümü şöyle olacaktır:
(Açı dar olduğu için kök çıkarılırken + işareti alınır)
Toplamın tanjantı formülü, hatırlaması zor olan başka bir formüldür. Çıktısını şu şekilde çıkaralım:
hemen çıktı ve
Çift açı için kosinüs formülünden yarım açı için sinüs ve kosinüs formüllerini elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için çift açılı kosinüs formülünün sol tarafına:
çünkü2
a = çünkü 2
a-günah 2
a
bir birim ekliyoruz ve sağda - bir trigonometrik birim, yani. sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı.
çünkü2a+1 = çünkü2a-günah2a+çünkü2a+günah2a
2çünkü 2
a = çünkü2
a+1
ifade etmek çünküa vasıtasıyla çünkü2
a ve bir değişken değişikliği gerçekleştirerek şunları elde ederiz:
İşaret, çeyreğe bağlı olarak alınır.
Benzer şekilde, eşitliğin sol tarafından bir ve sağ taraftan sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamını çıkarırsak, şunu elde ederiz:
çünkü2a-1 = çünkü2a-günah2a-çünkü2a-günah2a
2günah 2
a = 1-çünkü2
a
Ve son olarak, trigonometrik fonksiyonların toplamını bir ürüne dönüştürmek için aşağıdaki numarayı kullanıyoruz. Bir ürün olarak sinüslerin toplamını temsil etmemiz gerektiğini varsayalım. günaha+günahb. a = x+y, b+x-y olacak şekilde x ve y değişkenlerini tanıtalım. Sonra
günaha+günahb = günah(x+y)+ günah(x-y) = günah x çünkü y+ çünkü x günah y+ günah x çünkü y- çünkü x günah y=2 günah x çünkü y. Şimdi x ve y'yi a ve b cinsinden ifade edelim.
a = x+y, b = x-y olduğundan, o zaman . Böyle
hemen geri çekebilirsiniz
- bölme formülü sinüs ve kosinüs ürünleri içinde miktar: günahaçünküb = 0.5(günah(a+b)+günah(a-b))
Sinüsler farkının ve kosinüslerin toplamı ve farkının çarpımını bir ürüne dönüştürmek için ve ayrıca sinüs ve kosinüs ürünlerini bir toplama bölmek için pratik yapmanızı ve formüller türetmenizi öneririz. Bu alıştırmaları yaptıktan sonra, trigonometrik formüller türetme becerisinde tamamen ustalaşacak ve en zor kontrol, olimpiyat veya testlerde bile kaybolmayacaksınız.
Okul çocuklarının en büyük zorluklarla başa çıktığı matematik dallarından biri de trigonometridir. Hiç şüphe yok ki: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için uzamsal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, tanjantları, formülleri kullanarak kotanjantları bulma, ifadeleri basitleştirme ve pi sayısını hesaplamalarda kullanabilme yeteneğine ihtiyacınız var. Ek olarak, teoremleri ispatlarken trigonometri uygulayabilmeniz gerekir ve bunun için gelişmiş bir matematiksel hafıza veya karmaşık mantıksal zincirleri çıkarabilme yeteneği gerekir.
trigonometrinin kökenleri
Bu bilimle tanışma, açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce trigonometrinin genel olarak ne yaptığını bulmanız gerekir.
Tarihsel olarak, matematik biliminin bu bölümünde ana çalışma konusu dik üçgenler olmuştur. 90 derecelik bir açının varlığı, iki taraf ve bir açı veya iki açı ve bir taraf kullanılarak incelenen şeklin tüm parametrelerinin değerlerini belirlemeye izin veren çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu kalıbı fark ettiler ve bina, navigasyon, astronomi ve hatta sanatın yapımında aktif olarak kullanmaya başladılar.
İlk aşama
Başlangıçta, insanlar yalnızca örnek üzerinde açıların ve kenarların ilişkisinden bahsettiler. dik üçgenler. Daha sonra, kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. Günlük yaşam bu matematik dalı.
Bugün okulda trigonometri çalışması, dik açılı üçgenlerle başlar, daha sonra edinilen bilgiler öğrenciler tarafından fizikte ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılır.
Küresel trigonometri
Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantlı formüller, diğer kuralların geçerli olduğu küresel geometride kullanılmaya başlandı ve bir üçgendeki açıların toplamı her zaman 180 dereceden fazla. Bu bölüm okulda okutulmuyor, ancak varlığını bilmek gerekiyor, en azından çünkü yeryüzü, ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir; bu, yüzeyin herhangi bir işaretinin üç boyutlu uzayda "yay şeklinde" olacağı anlamına gelir.
Küreyi ve ipliği alın. İpliği, gergin olacak şekilde küre üzerindeki herhangi iki noktaya takın. Dikkat edin - bir yay şeklini almıştır. Jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan küresel geometri işte böyle formlarla ilgilenir.
sağ üçgen
Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra, sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, onların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.
İlk adım, bir dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. İlk olarak, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. O en uzun. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki kenarın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.
Örneğin, iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise, hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.
Dik açı oluşturan kalan iki kenara bacak denir. Ayrıca, dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu unutmamalıyız.
Tanım
Son olarak, geometrik tabanı sağlam bir şekilde anlayarak, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımına dönebiliriz.
Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani, istenen açının karşısındaki taraf) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Niye ya? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğu için, bacak ne kadar uzun olursa olsun, hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman olacağı anlamına gelir. birden az. Bu nedenle, sorunun cevabında 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata arayın. Bu cevap açıkça yanlıştır.
Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır. Aynı sonuç, sinüsün kosinüs tarafından bölünmesini verecektir. Bakın: formüle göre, kenar uzunluğunu hipotenüse böleriz, ardından ikinci kenarın uzunluğuna böleriz ve hipotenüsle çarparız. Böylece, tanjant tanımındaki ile aynı oranı elde ederiz.
Kotanjant, sırasıyla, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birimi teğete bölerek aynı sonucu elde ederiz.
Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunun tanımlarını düşündük ve formüllerle ilgilenebiliriz.
En basit formüller
Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlarsız sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant nasıl bulunur? Ve bu, sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şeydir.
Trigonometri öğrenmeye başlarken bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak açının değerini bilmek istiyorsanız, kenar değil, zaman kazandırır.
Birçok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor: bir açının tanjantının karesi ile toplamının bire bölümü, açının kosinüsünün karesine eşittir. Daha yakından bakın: sonuçta, bu ilk formüldekiyle aynı ifadedir, kimliğin yalnızca her iki tarafı kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaçını bilmek temel formüllerİstediğiniz daha karmaşık formülleri istediğiniz zaman bir kağıt üzerinde görüntüleyebilirsiniz.
Çift açılı formüller ve argümanların eklenmesi
Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleri ile ilgilidir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün iki kez çarpıldığını ve ikinci durumda sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının eklendiğini unutmayın.
Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir uygulama olarak, alfa açısını alarak onları kendiniz almaya çalışın açıya eşit beta.
Son olarak, çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfa derecesini düşürmek için dönüştürülebileceğini unutmayın.
teoremler
Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantın nasıl bulunacağını ve dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. Nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.
Sinüs teoremi, üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açının değerine bölmenin bir sonucu olarak aynı sayıyı elde ettiğimizi belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenmiş dairenin, yani verilen üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.
Kosinüs teoremi Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, yanlarındaki açının çift kosinüsü ile çarpılan çarpımlarını çıkarın - elde edilen değer üçüncü tarafın karesine eşit olacaktır. Böylece, Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.
Dikkatsizlikten kaynaklanan hatalar
Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilsek bile dalgınlıktan veya en basit hesaplardaki bir hatadan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için, en popülerlerini tanıyalım.
İlk olarak, nihai sonuç elde edilene kadar sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı formda bırakabilirsiniz. ortak kesir koşul aksini belirtmedikçe. Böyle bir dönüşüm bir hata olarak adlandırılamaz, ancak görevin her aşamasında, yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz yere zaman kaybedersiniz. matematiksel işlemler. Bu, özellikle üç veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir, çünkü her adımda görevlerde ortaya çıkarlar. Aynısı "çirkin" sayıların yuvarlanması için de geçerlidir.
Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu, ancak Pisagor teoremi için geçerli olmadığını unutmayın! Kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünü çıkarmayı yanlışlıkla unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmaz, aynı zamanda konuyu tamamen yanlış anladığınızı da gösterirsiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötü.
Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, tanjantlar, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açı değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri hatırlayın, çünkü 30 derecenin sinüsü, 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Bunları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç alırsınız.
Başvuru
Pek çok öğrenci trigonometri okumaya başlamak için acele etmiyor çünkü uygulamalı anlamını bilmiyorlar. Bir mühendis veya astronom için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşı düşüşünü tahmin edebileceğiniz, başka bir gezegene araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir nesnenin yüzeyindeki yükü veya yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Ne de olsa trigonometri, müzikten tıbba kadar her yerde şu veya bu biçimde kullanılmaktadır.
En sonunda
Yani sinüs, kosinüs, tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.
Trigonometrinin tüm özü, bilinmeyen parametrelerin üçgenin bilinen parametrelerinden hesaplanması gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunlukları ve üç açının büyüklükleri. Görevlerdeki tüm fark, farklı girdi verilerinin verilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs, tanjant nasıl bulunur, artık biliyorsunuz. Bu terimler orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, Ana hedef sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmak trigonometrik bir problem haline gelir. Ve burada sıradan okul matematiği size yardımcı olacaktır.
Trigonometri çalışmamıza bir dik üçgenle başlıyoruz. Tanjant ve kotanjantın yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım dar açı. Bunlar trigonometrinin temelleri.
Hatırlamak dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, katlanmamış köşenin yarısı.
Keskin köşe- 90 dereceden az.
Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak, "künt" bir hakaret değil, matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Genellikle bir dik açı gösterilir. Köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle gösterildiğine, yalnızca küçük olduğuna dikkat edin. Böylece A açısının karşısındaki kenar gösterilir.
Bir açı, karşılık gelen Yunan harfiyle gösterilir.
Hipotenüs Dik üçgen, dik açının karşısındaki kenardır.
bacaklar- keskin köşelerin karşısındaki kenarlar.
Köşenin karşısındaki bacak denir zıt(açıya göre). Köşenin bir tarafında kalan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs dik üçgende dar açı, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
Kosinüs dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:
Teğet dik üçgende dar açı - karşı bacağın bitişiktekine oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: dar açının tanjantı, bir açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik bacağın zıt yönüne oranı (veya eşdeğer olarak kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıda verilen sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için temel oranlara dikkat edin. Sorunları çözmede bize faydalı olacaklar.
Bazılarını kanıtlayalım.
Tamam, tanımları ve yazılı formülleri verdik. Ama neden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Biz biliyoruz ki herhangi bir üçgenin açılarının toplamı.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgende iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Bir dik üçgende iki kenarı bilerek üçüncüyü bulabilirsiniz. Yani, açılar için - oranları, taraflar için - kendilerine ait. Ancak bir dik üçgende bir açı (doğru olan hariç) ve bir taraf biliniyorsa, ancak diğer tarafları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalı?
Bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını çıkaran insanların geçmişte karşılaştığı şey buydu. Sonuçta, bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve tanjant - aynı zamanda denir açının trigonometrik fonksiyonları- arasındaki oranı ver partiler ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, hepsini bulabilirsiniz trigonometrik fonksiyonlarözel tablolara göre. Ve bir üçgenin ve kenarlarından birinin açılarının sinüslerini, kosinüslerini ve tanjantlarını bilerek, gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca "iyi" açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu çizeceğiz.
Tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Açıların karşılık gelen değerleri için tanjant ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Bankası görevlerinden trigonometrideki birkaç sorunu analiz edelim.
1. Bir üçgende açı , . Bulmak .
Sorun dört saniye içinde çözüldü.
kadar, .
2. Bir üçgende açı , , 'dir. Bulmak .
Pisagor teoremi ile bulalım.
Sorun çözüldü.
Genellikle problemlerde açılı ve veya açıları olan üçgenler vardır ve . Onlar için temel oranları ezberleyin!
Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat daha büyüktür.
Dik üçgenleri çözmek için problemler düşündük - yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulmak için. Ama hepsi bu değil! AT KULLANIM seçenekleri matematikte üçgenin dış açısının sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjantının göründüğü birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazlası.
En sık sorulan sorular
Verilen örneğe göre bir belgeye mühür yapmak mümkün müdür? Cevap Evet mümkün. E-posta adresimize taranmış bir kopya veya fotoğraf gönderin iyi kalite ve gerekli çoğaltmayı yapacağız.
Ne tür ödeme kabul ediyorsunuz?
Cevap Belgenin ücretini, doldurmanın doğruluğunu ve diplomanın kalitesini kontrol ettikten sonra, kurye tarafından alındığı anda ödeyebilirsiniz. Bu, teslimatta nakit ödeme hizmetleri sunan posta şirketlerinin ofisinde de yapılabilir.
Tüm teslimat ve belgelerin ödenmesi koşulları "Ödeme ve Teslimat" bölümünde açıklanmıştır. Ayrıca belgenin teslimi ve ödeme koşulları ile ilgili önerilerinizi de dinlemeye hazırız.
Bir sipariş verdikten sonra paramla birlikte ortadan kaybolmayacağınızdan emin olabilir miyim? Cevap Diploma üretimi alanında oldukça uzun bir deneyime sahibiz. Sürekli güncellenen birkaç sitemiz var. Uzmanlarımız ülkenin farklı yerlerinde çalışmakta ve günde 10'dan fazla belge üretmektedir. Yıllar boyunca belgelerimiz birçok insanın istihdam sorunlarını çözmesine veya daha yüksek ücretli işlere geçmesine yardımcı oldu. Müşterilerimiz arasında güven ve itibar kazandık, bu yüzden bunu yapmamız için kesinlikle hiçbir neden yok. Üstelik, bunu fiziksel olarak yapmak imkansız: siparişiniz için elinize geçtiğinde ödeme yaparsınız, ön ödeme yoktur.
Herhangi bir üniversiteden diploma sipariş edebilir miyim? Cevap Genel olarak, evet. Yaklaşık 12 yıldır bu alanda çalışıyoruz. Bu süre zarfında, yurtiçi ve yurtdışındaki hemen hemen tüm üniversiteler tarafından verilen belgelerin neredeyse eksiksiz bir veri tabanı oluşturulmuştur. farklı yıllar ihraç. Tek ihtiyacınız olan bir üniversite, uzmanlık alanı, belge seçmek ve bir sipariş formu doldurmak.
Bir belgede yazım hataları ve hatalar bulursam ne yapmalıyım?
Cevap Kurye veya posta şirketimizden bir belge alırken tüm detayları dikkatlice kontrol etmenizi öneririz. Eğer yazım hatası, hata veya yanlışlık tespit edilirse diplomayı almama hakkınız olup, bulunan eksiklikleri kuryeye şahsen veya bir mektup göndererek yazılı olarak bildirmeniz gerekmektedir. e-posta.
AT mümkün olan en kısa sürede Belgeyi düzeltip belirtilen adrese yeniden göndereceğiz. Elbette kargo ücreti firmamız tarafından karşılanacaktır.
Bu tür yanlış anlamaları önlemek için, orijinal formu doldurmadan önce, nihai versiyonun doğrulanması ve onaylanması için müşterinin postasına gelecekteki belgenin bir düzenini gönderiyoruz. Belgeyi kurye veya posta ile göndermeden önce, sonunda ne elde edeceğinize dair görsel bir fikriniz olması için ek bir fotoğraf ve video (ultraviyole ışık dahil) çekeriz.
Şirketinizden diploma siparişi vermek için ne yapmanız gerekiyor?
Cevap Bir belge (sertifika, diploma, akademik sertifika vb.) sipariş etmek için, web sitemizde bir çevrimiçi sipariş formu doldurmanız veya e-postanızı vermeniz gerekir, böylece size bir anket formu göndermemiz gerekir, bu formu doldurup göndermeniz gerekir. Bize geri dön.
Sipariş formunun/anketin herhangi bir alanında neyi belirtmeniz gerektiğini bilmiyorsanız boş bırakın. Bu nedenle tüm eksik bilgileri telefon üzerinden netleştireceğiz.
En son incelemeler
Alexey:
Yönetici olarak iş bulabilmem için diploma almam gerekiyordu. Ve en önemlisi hem tecrübem hem de becerim var ama belge olmadan yapamam, her yerde iş bulurum. Sitenize girdikten sonra hala bir diploma almaya karar verdim. Diploma 2 günde tamamlandı! Şimdi daha önce hiç hayal etmediğim bir işim var!! Teşekkür ederim!