เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของมันคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำถามเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชั่น เอฟ(x) กำหนดไว้เป็นช่วงๆ (ก,ข) . คะแนน x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยนไป ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเอง การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำนิยามอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดจนถึงการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

อย่างอื่นเขียนได้ดังนี้

อะไรคือประเด็นในการหาขีด จำกัด ดังกล่าว? แต่อันไหน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียน ทุกคนรู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=f(t) และเวลา t . ความเร็วเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง t0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :

กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก

ค่าคงที่สามารถลบออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นก็ต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ให้ใช้เป็นกฎ - ถ้าคุณลดรูปนิพจน์ได้ ก็ต้องลดความซับซ้อน .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันก็เช่นเดียวกัน

เราจะไม่ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองตัวคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

วิธีการแก้:

นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราพบนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ดังกล่าว ก่อนอื่นเราจะพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดถึงอนุพันธ์ของหุ่นจำลองตั้งแต่ต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ต่อ ในระยะสั้นเราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการทดสอบที่ยากที่สุดและจัดการกับงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

จากการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายมาก) โดยกำหนดอนุพันธ์เป็นขีดจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) เป็นคนแรกที่ทำงานด้านการค้นหาอนุพันธ์

ดังนั้นในสมัยของเราเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่ต้องใช้ตารางเท่านั้น ของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริทึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องการนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด แบ่งฟังก์ชั่นง่าย ๆและกำหนดการกระทำ (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน นอกจากนี้ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์ และสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวมและผลหาร - ในกฎของความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างมีให้หลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. จากกฎของการแยกความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวคือ

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้ด้วยผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่าง 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. สร้างความแตกต่างในฐานะอนุพันธ์ของผลรวม ซึ่งเทอมที่สองที่มีค่าคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามว่าบางสิ่งมาจากไหน ตามกฎแล้วจะมีความชัดเจนหลังจากอ่านตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เราจะไปหาพวกเขาตอนนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) จำนวนใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ของฟังก์ชัน ศูนย์เสมอ สิ่งนี้สำคัญมากที่ต้องจำ เพราะมันจำเป็นมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "x" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้
3. อนุพันธ์ของดีกรี เมื่อแก้ปัญหา คุณต้องแปลงรากที่สองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ รากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์โคไซน์
8. อนุพันธ์แทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎการสร้างความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าทำหน้าที่

แตกต่างได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้น ณ จุดเดียวกัน ฟังก์ชัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลสองตัวต่างกันด้วยค่าคงที่ อนุพันธ์ของพวกมันคือ, เช่น.

กฎข้อ 2ถ้าทำหน้าที่

ต่างกันที่จุดหนึ่ง แล้วผลคูณก็ต่างกันที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละตัวและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น

ผลที่ 1 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ผลที่ 2 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลหลายๆ ตัว เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของปัจจัยแต่ละตัวและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อ 3ถ้าทำหน้าที่

แตกต่างในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็หาอนุพันธ์ได้ด้วยเช่นกันu/v และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม .

จะดูหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และความฉลาดในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในครั้งเดียวเสมอ ดังนั้นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้จะอยู่ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนค่าคงที่ (นั่นคือ ตัวเลข) เป็นพจน์ในผลรวมและเป็นปัจจัยคงที่! ในกรณีของพจน์ อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์นั้นจะถูกลบออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ มัน ความผิดพลาดทั่วไปซึ่งเกิดขึ้นบน ชั้นต้นการเรียนรู้อนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งสององค์ประกอบ นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดนี้อีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีเทอม ยู"วี, โดยที่ ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือ ค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (กรณีดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 10) .

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้ปัญหาทางกลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนในฐานะอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน นั่นเป็นเหตุผลที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนทุ่มเท บทความแยกต่างหาก. แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยปราศจากการแปลงนิพจน์ ในการดำเนินการนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือ windows ใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ที่มีกำลังและราก นั่นคือ เมื่อฟังก์ชันดูเหมือน จากนั้นทำตามบทเรียน " อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก".

หากคุณมีงานเช่น แล้วคุณจะอยู่ในบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย"

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. เรากำหนดส่วนต่าง ๆ ของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยของมันคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขมีปัจจัยคงที่ เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่นๆ

ต่อไป เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวม เราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ อนุพันธ์ของค่าหนึ่งเท่ากับหนึ่ง และค่าคงที่ (ตัวเลข) อนุพันธ์ของค่าดังกล่าวเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "x" กลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 - เป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" ถูกคูณด้วย 2 เราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. เราต้องหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการแยกความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนซึ่งตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และ ตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษแล้วในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นปัจจัยที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบัน ถูกนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าว ซึ่งคุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งมีกองรากและดีกรีต่อเนื่องกัน เช่น ยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน "อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก" .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือเมื่อฟังก์ชั่นดูเหมือน แล้วคุณจะมีบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยที่เป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ ตามกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหาร ซึ่งเป็นเงินปันผลซึ่งเป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ ตามกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร ซึ่งเราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:

ในการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย .

ตัวอย่างที่ 1

อ้างอิง: วิธีการระบุฟังก์ชันต่อไปนี้เทียบเท่า: ในบางงาน จะสะดวกที่จะกำหนดให้ฟังก์ชันนี้เป็น "ผู้เล่น" และในบางงานเป็น "ef from x"

อันดับแรกเราพบอนุพันธ์:

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

, , ศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบและอื่น ๆ.

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด หาอนุพันธ์ก่อน:

นั่นเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด :

ในกรณีที่คุณไม่เข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ ให้กลับไปที่สองบทเรียนแรกของหัวข้อนี้ หากมีปัญหา (ความเข้าใจผิด) กับอาร์คแทนเจนต์และความหมาย อย่างจำเป็น ศึกษา วัสดุที่มีระเบียบวิธี กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ย่อหน้าสุดท้าย เพราะยังมีอาร์คแทนเจนต์เพียงพอสำหรับวัยเรียน

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

สมการแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน

เพื่อรวมย่อหน้าที่แล้ว ให้พิจารณาปัญหาการหาแทนเจนต์กับ ฟังก์ชั่นกราฟิกณ จุดนี้. เราพบงานนี้ที่โรงเรียน และยังพบในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงอีกด้วย

พิจารณาตัวอย่างเบื้องต้น "สาธิต"

เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดด้วย abscissa ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำเร็จรูปทันที (ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นในกรณีส่วนใหญ่):

นิยามที่เข้มงวดของแทนเจนต์ถูกกำหนดโดย คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่จนกว่าเราจะเชี่ยวชาญ ส่วนทางเทคนิคคำถาม. แน่นอนว่าเกือบทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าแทนเจนต์คืออะไร หากคุณอธิบาย "บนนิ้ว" แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือ ตรงซึ่งเกี่ยวข้องกับกราฟของฟังก์ชันใน เพียงจุด. ในกรณีนี้ จุดที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดของเส้นตรงจะอยู่ใกล้กับกราฟของฟังก์ชันมากที่สุด

ตามที่ใช้กับกรณีของเรา: ใน แทนเจนต์ (สัญกรณ์มาตรฐาน) สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดเดียว

และงานของเราคือการหาสมการของเส้นตรง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งได้อย่างไร สองจุดที่ชัดเจนของงานนี้ตามมาจากถ้อยคำ:

1) จำเป็นต้องหาอนุพันธ์

2) จำเป็นต้องคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ช่วย: วิธีต่อไปนี้ในการจดบันทึกฟังก์ชันเทียบเท่า:


ในบางงาน จะสะดวกที่จะกำหนดให้ฟังก์ชันนี้เป็น "ผู้เล่น" และในบางงานเป็น "ef from x"

อันดับแรกเราพบอนุพันธ์:

ฉันหวังว่าหลายคนได้ปรับตัวเพื่อค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวด้วยวาจา

ในขั้นตอนที่สอง เราคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด :

ตัวอย่างการวอร์มอัพเล็กน้อยสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ความจำเป็นในการหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเกิดขึ้นในงานต่อไปนี้: การสร้างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (ย่อหน้าถัดไป) การศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดโต่ง , การศึกษาฟังก์ชันการโก่งตัวของกราฟ , ศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ และอื่น ๆ.

แต่งานที่เป็นปัญหาเกิดขึ้นใน ควบคุมงานและด้วยตัวมันเอง และตามกฎแล้ว ในกรณีเช่นนี้ ฟังก์ชั่นจะได้รับค่อนข้างซับซ้อน ในเรื่องนี้ ขอพิจารณาอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุด.
หาอนุพันธ์ก่อน:

โดยหลักการแล้วพบอนุพันธ์และค่าที่ต้องการสามารถแทนที่ได้ แต่ฉันไม่อยากทำอะไรเลยจริงๆ นิพจน์ยาวมากและค่าของ "x" เป็นเศษส่วน ดังนั้นเราจึงพยายามลดความซับซ้อนของอนุพันธ์ให้มากที่สุด ในกรณีนี้ ให้ลองลดสามเทอมสุดท้ายให้เป็นตัวส่วนร่วม: ที่จุด.

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง

จะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F(x) ที่จุด Ho ได้อย่างไร วิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไป?

หากได้รับสูตร ให้หาอนุพันธ์และแทนที่ X-zero แทน X นับ
ถ้า เรากำลังพูดถึง o b-8 ใช้กราฟ จากนั้นคุณต้องหาแทนเจนต์ของมุม (เฉียบพลันหรือป้าน) ซึ่งสร้างแทนเจนต์ของแกน X (โดยใช้การสร้างจิตของสามเหลี่ยมมุมฉากและกำหนดแทนเจนต์ของมุม)

Timur adilkhodzhaev

ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจเกี่ยวกับป้าย หากจุด x0 อยู่ที่ส่วนล่างของระนาบพิกัด เครื่องหมายในคำตอบจะเป็นลบ และหากจุดนั้นสูงกว่า +
ประการที่สอง คุณจำเป็นต้องรู้ว่าสิ่งที่เป็นสีส้มในสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมคืออะไร และนี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ขา) กับด้านที่อยู่ติดกัน (เช่น ขา) มักจะมีรอยดำเล็กน้อยบนภาพวาด จากเครื่องหมายเหล่านี้ที่คุณทำ สามเหลี่ยมมุมฉากและหารส

จะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f x ที่จุด x0 ได้อย่างไร

ไม่มีคำถามเฉพาะ - 3 ปี ที่แล้ว

ในกรณีทั่วไป ในการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับตัวแปรบางตัว ณ จุดใด ๆ จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่กำหนดให้สัมพันธ์กับตัวแปรนี้ ในกรณีของคุณโดยตัวแปร X ในนิพจน์ผลลัพธ์ แทนที่จะเป็น X ให้ใส่ค่าของ x ที่จุดที่คุณต้องการหาค่าของอนุพันธ์ กล่าวคือ ในกรณีของคุณ ให้แทนที่ศูนย์ X แล้วคำนวณนิพจน์ผลลัพธ์

ความปรารถนาของคุณที่จะเข้าใจปัญหานี้ในความคิดของฉันสมควรได้รับ + ​​อย่างไม่ต้องสงสัยซึ่งฉันใส่ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน

การกำหนดสูตรของปัญหาในการหาอนุพันธ์ดังกล่าวมักจะถูกกำหนดขึ้นเพื่อแก้ไขวัสดุตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ กราฟของฟังก์ชันบางอย่างถูกเสนอโดยพลการโดยสมบูรณ์และไม่ได้กำหนดโดยสมการ และจำเป็นต้องหาค่าของอนุพันธ์ (ไม่ใช่ตัวอนุพันธ์เอง!) ที่จุด X0 ที่ระบุ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทนเจนต์ของฟังก์ชันที่กำหนดจะถูกสร้างขึ้น และพบจุดตัดกับแกนพิกัด จากนั้นสมการของแทนเจนต์นี้จะถูกวาดขึ้นในรูปแบบ y=kx+b

ในสมการนี้สัมประสิทธิ์ k และจะเป็นค่าของอนุพันธ์ เหลือเพียงการหาค่าสัมประสิทธิ์ข ในการทำเช่นนี้ เราพบค่าของ y ที่ x \u003d o ปล่อยให้มันเท่ากับ 3 - นี่คือค่าของสัมประสิทธิ์ b เราแทนที่ค่าของ X0 และ Y0 ลงในสมการดั้งเดิมแล้วหา k - ค่าอนุพันธ์ของเรา ณ จุดนี้

หากเราทำตามคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชัน Δ yการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · อี xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณจะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ในการเริ่มต้น เราทราบว่าฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียกว่าสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด นี่เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณและป้อนในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวจำได้ง่ายพร้อมกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องเป็นที่รู้จักด้วยหัวใจ ยิ่งกว่านั้น การจำพวกมันได้ไม่ยาก - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ R	0 (ใช่ ใช่ ศูนย์!)
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ	ฉ(x) = x น	น · x น − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	cos x
โคไซน์	ฉ(x) = cos x	− บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = tg x	1/cos 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = ctg x	− 1/sin2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมตามอำเภอใจ	ฉ(x) = บันทึก เอ x	1/(x ln เอ)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = อี x	อี x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันมูลฐานคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็สามารถคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถเอาออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชันใหม่ ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและส่วนต่าง

ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) ซึ่งเรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + g)’ = ฉ ’ + g ’
2. (ฉ − g)’ = ฉ ’ − g ’

ดังนั้นอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจึงเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + g + ชม.)’ = ฉ ’ + g ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัดไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดของ "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − gสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (-1) gและเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2+ บาป x)’ = (x 2)' + (บาป x)’ = 2x+ คอสเอ็กซ์;

เราโต้แย้งกันสำหรับฟังก์ชัน g(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอสเอ็กซ์;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณนั้น โจมตี"\u003e เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สำหรับคุณมะเดื่อ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · g) ’ = ฉ ’ · g + ฉ · g ’

สูตรง่าย ๆ แต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอสเอ็กซ์; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · อี x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3)' เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − xบาป x)

การทำงาน g(x) ตัวคูณแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ โครงการทั่วไปนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอน ตัวคูณแรกของฟังก์ชัน g(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · อี x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · อี x + (x 2 + 7x− 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) · อี x + (x 2 + 7x− 7) · อี x = อี x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) · อี x .

ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
g ’(x) = x(x+ 9) · อี x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ ไม่จำเป็น แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเพิ่มเติมอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ เครื่องหมายจะถูกหา และอื่น ๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรมีการแสดงออกที่แยกออกเป็นปัจจัยต่างๆ

หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ g(x), และ g(x) ≠ 0 ในเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/g(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่มั้ย ค่าลบมาจากไหน? ทำไม g 2? แต่แบบนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องใช้ขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มีฟังก์ชันพื้นฐานในตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เราแยกตัวเศษออกเป็นปัจจัย - ซึ่งจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรที่มีความยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร x, พูด, บน x 2+ln x. ปรากฎว่า ฉ(x) = บาป ( x 2+ln x) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เธอยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่ทำงานเพื่อค้นหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น

จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะช่วยได้ดังนี้

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย t(x).

ตามกฎแล้วสถานการณ์ที่มีความเข้าใจในสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; g(x) = บาป ( x 2+ln x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+ 3 จะง่าย xจากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้2 x + 3 = t, ฉ(x) = ฉ(t) = อี t. เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (อี t)’ · t ’ = อี t · t ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = 2x+ 3. เราได้รับ:

ฉ ’(x) = อี t · t ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน g(x). เห็นได้ชัดว่าต้องเปลี่ยน x 2+ln x = t. เรามี:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (บาป t)’ · t' = cos t · t ’

การเปลี่ยนกลับ: t = x 2+ln x. แล้ว:

g ’(x) = คอส( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = คอส ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ( x 2+ln x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "จังหวะ" ตัวอย่างเช่น ขีดจากผลรวม เท่ากับผลรวมจังหวะ ชัดเจนกว่านี้ไหม? ดีที่ดี

ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์ลงมาเพื่อกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย กลับไปที่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x น)’ = น · x น − 1

น้อยคนนักที่จะรู้ว่าในบทบาท นทำตัวดีๆก็ได้ เศษส่วน. ตัวอย่างเช่น รูตคือ x 0.5 . แต่ถ้ามีอะไรซับซ้อนอยู่ใต้รากล่ะ? อีกครั้งจะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนปรากฏขึ้น - พวกเขาต้องการให้โครงสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

อันดับแรก ให้เขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = t. เราหาอนุพันธ์ได้จากสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ในที่สุดกลับไปที่ราก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว

บทนำ.

จริง การพัฒนาระเบียบวิธีออกแบบมาสำหรับนักศึกษาคณะวิศวกรรมอุตสาหการและโยธา พวกเขาจะรวบรวมเกี่ยวกับโปรแกรมของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในหัวข้อ "แคลคูลัสดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว"

การพัฒนาเป็นตัวแทนของแนวทางแนวทางเดียว ซึ่งรวมถึง: ข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยสังเขป งานและแบบฝึกหัด "ทั่วไป" พร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดและคำอธิบายสำหรับวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ ตัวเลือกการควบคุม

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมในตอนท้ายของแต่ละย่อหน้า โครงสร้างการพัฒนาดังกล่าวทำให้เหมาะสำหรับการเรียนรู้ส่วนอิสระโดยได้รับความช่วยเหลือน้อยที่สุดจากครู

§หนึ่ง. คำจำกัดความของอนุพันธ์

ความหมายเครื่องกลและเรขาคณิต

อนุพันธ์

แนวคิดของอนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 การก่อตัวของแนวคิดของอนุพันธ์นั้นสัมพันธ์กันในอดีตกับปัญหาสองประการ: ปัญหาของความเร็วของการเคลื่อนที่แบบแปรผันและปัญหาของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

งานเหล่านี้แม้ว่าพวกเขาจะ เนื้อหาต่างๆนำไปสู่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกันที่ต้องดำเนินการกับฟังก์ชันใด ๆ การดำเนินการนี้ได้รับชื่อพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ เรียกว่าการดำเนินการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชัน ผลลัพธ์ของการดำเนินการสร้างความแตกต่างเรียกว่าอนุพันธ์

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์
ที่
.

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:
.

ตามคำนิยาม

สัญลักษณ์ยังใช้เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์
.

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ถ้า s=s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัตถุ ดังนั้น
คือความเร็วของจุดนี้ ณ เวลา t

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อยู่ที่จุด , แล้ว ความลาดชันแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
เท่ากับ
.

ตัวอย่าง.

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ณ จุดนั้น =2:

1) ให้จุด =2 เพิ่มขึ้น
. สังเกตว่า.

2) ค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุด =2:

3) เขียนอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

ให้เราหาขีดจำกัดของความสัมพันธ์ที่
:

.

ทางนี้,
.

§ 2. อนุพันธ์ของบางส่วน

ฟังก์ชั่นที่ง่ายที่สุด

นักเรียนจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะ: y=x,y= และโดยทั่วไป y= .

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x

เหล่านั้น. (x)′=1.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์

อนุญาต
แล้ว

เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นรูปแบบในนิพจน์สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
ที่ n=1,2,3

เพราะเหตุนี้,

. (1)

สูตรนี้ใช้ได้กับ n จริงใดๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้สูตร (1) เรามี:

;

.

ตัวอย่าง.

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

.

ฟังก์ชันนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันของฟอร์ม

ที่
.

โดยใช้สูตร (1) เรามี

.

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sin x และ y=cos x

ให้ y=sinx

หารด้วย ∆x เราจะได้

ผ่านไปยังขีดจำกัดเป็น ∆x→0 เรามี

ให้ y=cosx

ผ่านไปยังขีดจำกัดเป็น ∆x→0 เราได้รับ

;
. (2)

§3. กฎพื้นฐานของความแตกต่าง

พิจารณากฎของความแตกต่าง

ทฤษฎีบท1 . หากฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด x ผลรวมของพวกมันก็จะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของพจน์ที่ได้รับ: (u+v)"=u"+v".(3 )

พิสูจน์: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x)=u(x)+v(x)

การเพิ่มขึ้น ∆x ของอาร์กิวเมนต์ x สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้น ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ของฟังก์ชัน u และ v จากนั้นฟังก์ชัน y จะเพิ่มขึ้น

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

เพราะเหตุนี้,

ดังนั้น (u+v)"=u"+v".

ทฤษฎีบท2. ถ้าฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x ที่กำหนด ผลคูณของทั้งสองก็จะสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน ในกรณีนี้ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์หาได้จากสูตรต่อไปนี้ : (uv) "=u" v + uv ". (สี่)

พิสูจน์: ให้ y=uv โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของ x ให้ x เพิ่มขึ้นด้วย ∆x จากนั้น u จะเพิ่มขึ้น ∆u v จะเพิ่มขึ้น ∆v และ y จะเพิ่มขึ้น ∆y

เรามี y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) หรือ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ดังนั้น ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v

จากที่นี่

ผ่านถึงขีด จำกัด เป็น ∆x→0 และพิจารณาว่า u และ v ไม่ขึ้นอยู่กับ ∆x เรามี

ทฤษฎีบท 3. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับเศษส่วน ตัวส่วนเท่ากับกำลังสองของตัวหาร และตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลโดยตัวหารกับผลคูณของ เงินปันผลโดยอนุพันธ์ของตัวหารเช่น

ถ้า
แล้ว
(5)

ทฤษฎีบทที่ 4อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ กล่าวคือ ถ้า y=C โดยที่ С=const แล้ว y"=0

ทฤษฎีบทที่ 5ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์เช่น ถ้า y=Cu(x) โดยที่ С=const แล้ว y"=Cu"(x)

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบ
โดยที่ u=x,v=cosx ใช้กฎการแยกความแตกต่าง (4) เราพบว่า

.

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

เราใช้สูตร (5)

ที่นี่
;
.

งาน

ค้นหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)