Innan du studerar frågor om denna geometriska figur och dess egenskaper är det nödvändigt att förstå några termer. När en person hör om pyramiden föreställer han sig enorma byggnader i Egypten. Så här ser de enklaste ut. Men de händer olika typer och former, vilket innebär att beräkningsformeln för geometriska former blir annorlunda.

Pyramid - geometrisk figur, som betecknar och representerar flera ansikten. Faktum är att detta är samma polyeder, vid basen av vilken en polygon ligger, och på sidorna finns trianglar som ansluter vid en punkt - vertex. Figuren är av två huvudtyper:

• korrekt;
• stympad.

I det första fallet är basen en vanlig polygon. Här är alla sidoytor lika mellan sig själva och själva figuren kommer att glädja en perfektionists öga.

I det andra fallet finns det två baser - en stor längst ner och en liten mellan toppen, vilket upprepar formen på huvudet. Med andra ord är en stympad pyramid en polyeder med en sektion formad parallellt med basen.

Termer och notation

Grundläggande termer:

• Regelbunden (liksidig) triangel En figur med tre identiska vinklar och lika sidor. I det här fallet är alla vinklar 60 grader. Figuren är den enklaste av de vanliga polyedrarna. Om denna figur ligger vid basen, kommer en sådan polyeder att kallas en vanlig triangulär. Om basen är en kvadrat kommer pyramiden att kallas en vanlig fyrkantig pyramid.
• Vertex- den högsta punkten där kanterna möts. Höjden på toppen bildas av en rak linje som utgår från toppen till pyramidens bas.
• kantär ett av polygonens plan. Det kan vara i form av en triangel i fallet med en triangulär pyramid, eller i form av en trapets för stympad pyramid.
• tvärsnitt- en platt figur bildad som ett resultat av dissektion. Ej att förväxla med ett avsnitt, eftersom ett avsnitt också visar vad som ligger bakom avsnittet.
• Apotem- ett segment ritat från toppen av pyramiden till dess bas. Det är också höjden på ansiktet där den andra höjdpunkten är. Denna definition gäller endast för en vanlig polyeder. Till exempel - om det inte är en stympad pyramid, kommer ansiktet att vara en triangel. I det här fallet kommer höjden på denna triangel att bli en apotem.

Area formler

Hitta området för pyramidens laterala yta vilken typ som helst kan göras på flera sätt. Om figuren inte är symmetrisk och är en polygon med olika sidor, är det i det här fallet lättare att beräkna totalarea ytor genom insamling av alla ytor. Med andra ord, du måste beräkna arean av strandens ansikte och lägga ihop dem.

Beroende på vilka parametrar som är kända kan formler för att beräkna en kvadrat, en trapets, en godtycklig fyrhörning etc. krävas. Själva formlerna olika tillfällen kommer också att vara annorlunda.

När det gäller en vanlig figur är det mycket lättare att hitta området. Det räcker med att bara känna till några få nyckelparametrar. I de flesta fall krävs beräkningar just för sådana siffror. Därför kommer motsvarande formler att ges nedan. Annars skulle du behöva måla allt på flera sidor, vilket bara kommer att förvirra och förvirra.

Grundformel för beräkning sidoyta rätt pyramid kommer se ut så här:

S \u003d ½ Pa (P är omkretsen av basen och är apotem)

Låt oss överväga ett av exemplen. Polyedern har en bas med segmenten A1, A2, A3, A4, A5, och de är alla lika med 10 cm. Låt apotemet vara lika med 5 cm. Först måste du hitta omkretsen. Eftersom alla fem ytor på basen är likadana kan den hittas enligt följande: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Därefter tillämpar vi den grundläggande formeln: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm i kvadrat .

Korrigera sidoyta triangulär pyramid lättast att beräkna. Formeln ser ut så här:

S =½* ab *3, där a är apotem, b är fasett av basen. Faktorn tre betyder här antalet ytor på basen, och den första delen är arean på sidoytan. Tänk på ett exempel. Givet en figur med en apotem på 5 cm och en basyta på 8 cm Vi beräknar: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm i kvadrat.

Lateral yta av en stympad pyramid det är lite svårare att beräkna. Formeln ser ut så här: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, där p_01 och p_02 är omkretsen av baserna och är apotem. Tänk på ett exempel. Antag, för en fyrkantig figur, måtten på sidorna av baserna är 3 och 6 cm, apotem är 4 cm.

Här, till att börja med, bör du hitta basernas omkrets: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm. Det återstår att ersätta värdena i huvudformeln och få: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm i kvadrat.

Således är det möjligt att hitta den laterala ytan av en vanlig pyramid av vilken komplexitet som helst. Var noga med att inte förvirra dessa beräkningar med totalarea hela polyedern. Och om du fortfarande behöver göra detta, räcker det med att beräkna arean av polyederns största bas och lägga till den till arean av polyhedronens laterala yta.

Video

För att konsolidera information om hur man hittar den laterala ytan av olika pyramider, kommer den här videon att hjälpa dig.

Fick du inget svar på din fråga? Föreslå ett ämne till författarna.

Pyramidens yta. I den här artikeln kommer vi att överväga problem med vanliga pyramider. Låt mig påminna dig om att en vanlig pyramid är en pyramid vars bas är en vanlig polygon, toppen av pyramiden projiceras in i mitten av denna polygon.

Sidoytan på en sådan pyramid är en likbent triangel.Höjden på denna triangel, ritad från toppen av en vanlig pyramid, kallas en apotem, SF är en apotem:

I den typ av problem som presenteras nedan är det nödvändigt att hitta ytarean på hela pyramiden eller området för dess laterala yta. Bloggen har redan funderat på flera problem med vanliga pyramider, där frågan väcktes om att hitta element (höjd, baskant, sidokant), .

PÅ ANVÄND uppdrag, som regel övervägs regelbundna triangulära, fyrkantiga och hexagonala pyramider. Jag har inte sett problem med vanliga pentagonala och heptagonala pyramider.

Formeln för arean av hela ytan är enkel - du måste hitta summan av arean av basen av pyramiden och arean av dess laterala yta:

Tänk på uppgifterna:

Sidorna på basen är korrekta fyrkantig pyramidär 72, sidokanterna är 164. Hitta ytan på denna pyramid.

Pyramidens yta är lika med summan av ytorna på sidoytan och basen:

*Sidytan består av fyra trianglar med lika stor yta. Basen på pyramiden är en kvadrat.

Arean av sidan av pyramiden kan beräknas med:

Således är pyramidens yta:

Svar: 28224

Sidorna på basen är korrekta sexkantig pyramidär 22, sidokanterna är 61. Hitta arean på sidoytan på denna pyramid.

Basen på en vanlig hexagonal pyramid är en vanlig hexagon.

Den laterala ytan av denna pyramid består av sex områden med lika trianglar med sidorna 61,61 och 22:

Hitta arean av en triangel med Herons formel:

Så den laterala ytan är:

Svar: 3240

*I problemen som presenteras ovan kunde arean av sidoytan hittas med en annan triangelformel, men för detta måste du beräkna apotem.

27155. Hitta ytan på en vanlig fyrkantig pyramid vars bassidor är 6 och vars höjd är 4.

För att hitta ytarean på en pyramid behöver vi känna till arean av basen och arean av sidoytan:

Arean av basen är 36, eftersom det är en kvadrat med sidan 6.

Sidoytan består av fyra ytor, som är lika trianglar. För att hitta arean för en sådan triangel måste du känna till dess bas och höjd (apotem):

* Arean av en triangel är lika med halva produkten av basen och höjden som dras till denna bas.

Basen är känd, den är lika med sex. Låt oss hitta höjden. Överväga rät triangel(gulmarkerad):

Ett ben är lika med 4, eftersom detta är höjden på pyramiden, det andra är lika med 3, eftersom det halv bas revben. Vi kan hitta hypotenusan med Pythagoras sats:

Så området för pyramidens laterala yta är:

Alltså är hela pyramidens yta:

Svar: 96

27069. Sidorna på basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 10, sidokanterna är 13. Hitta ytan på denna pyramid.

27070. Sidorna på basen av en vanlig hexagonal pyramid är 10, sidokanterna är 13. Hitta arean på sidoytan på denna pyramid.

Det finns också formler för den laterala ytan av en vanlig pyramid. I en vanlig pyramid är basen en ortogonal projektion av sidoytan, därför:

P- basens omkrets, l- pyramidens apotem

*Denna formel är baserad på formeln för arean av en triangel.

Om du vill lära dig mer om hur dessa formler härleds, missa inte det, följ publiceringen av artiklar.Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

- Detta är en polyedrisk figur, vid vars bas ligger en polygon, och de återstående ytorna representeras av trianglar med en gemensam vertex.

Om basen är en kvadrat kallas en pyramid fyrkantig, om triangeln är triangulär. Pyramidens höjd dras från dess topp vinkelrätt mot basen. Används även för att beräkna arean apotemär höjden på sidoytan sänkt från dess vertex.
Formeln för arean av sidoytan av en pyramid är summan av ytorna på dess sidoytor, som är lika med varandra. Denna beräkningsmetod används dock mycket sällan. I grund och botten beräknas området för pyramiden genom basens omkrets och apotem:

Tänk på ett exempel på att beräkna arean av sidoytan av en pyramid.

Låt en pyramid med bas ABCDE och spets F ges. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Hitta arean av pyramidens sidoyta.
Låt oss hitta omkretsen. Eftersom alla ytor på basen är lika, kommer femhörningens omkrets att vara lika med:
Nu kan du hitta pyramidens sidoarea:

Area av en vanlig triangulär pyramid

En vanlig triangulär pyramid består av en bas i vilken en vanlig triangel ligger och tre sidoytor som är lika stora.
Formeln för den laterala ytan av en vanlig triangulär pyramid kan beräknas olika sätt. Du kan använda den vanliga formeln för beräkning genom omkretsen och apotem, eller så kan du hitta arean av benytan och multiplicera den med tre. Eftersom ytan på pyramiden är en triangel, tillämpar vi formeln för arean av en triangel. Det kommer att kräva en apotem och längden på basen. Tänk på ett exempel på att beräkna den laterala ytan av en vanlig triangulär pyramid.

Givet en pyramid med en apotem a = 4 cm och en basyta b = 2 cm. Hitta arean av pyramidens sidoyta.
Hitta först arean av en av sidoytorna. I det här fallet blir det:
Byt ut värdena i formeln:
Eftersom i en vanlig pyramid alla sidor är lika, kommer arean på pyramidens sidoyta att vara lika med summan av ytorna på de tre ytorna. Respektive:

Området för den trunkerade pyramiden

stympad En pyramid är en polyeder som bildas av en pyramid och dess sektion är parallell med basen.
Formeln för den laterala ytan av en trunkerad pyramid är mycket enkel. Arean är lika med produkten av halva summan av basernas och apotemens omkrets:

Kort om det huvudsakliga

Yta (2019)

Prisma yta

Om det finns en allmän formel? Nej, generellt sett nej. Du behöver bara hitta ytorna på sidoytorna och summera dem.

Formeln kan skrivas för rakt prisma:

Var är basens omkrets.

Men fortfarande mycket lättare i varje specifikt fall lägga ihop alla områden än att memorera ytterligare formler. Till exempel, låt oss överväga full yta regelbundet hexagonalt prisma.

Alla sidoytor är rektanglar. Betyder att.

Detta har redan tagits med i beräkningen vid beräkning av volymen.

Så vi får:

Pyramidens yta

För pyramiden gäller även den allmänna regeln:

Låt oss nu beräkna ytan på de mest populära pyramiderna.

Ytarea av en vanlig triangulär pyramid

Låt sidan av basen vara lika, och sidokanten lika. Jag måste hitta och.

Kom ihåg det nu

Detta är arean av en rätvinklig triangel.

Och låt oss komma ihåg hur man hittar det här området. Vi använder areaformeln:

Vi har "" - det här och "" - det här också, va.

Nu ska vi hitta.

Med hjälp av den grundläggande areaformeln och Pythagoras sats hittar vi

Uppmärksamhet: om du har en vanlig tetraeder (dvs.) är formeln:

Ytarea av en vanlig fyrkantig pyramid

Låt sidan av basen vara lika, och sidokanten lika.

Vid basen är en kvadrat, och därför.

Det återstår att hitta området på sidoytan

Ytarea av en vanlig sexkantig pyramid.

Låt sidan av basen vara lika, och sidokanten.

Hur man hittar? En hexagon består av exakt sex identiska regelbundna trianglar. Vi har redan sökt efter arean av en vanlig triangel när vi beräknar ytarean av en vanlig triangulär pyramid, här använder vi den hittade formeln.

Tja, vi har redan sökt efter området på sidoytan två gånger redan

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrik leverans Unified State Examination, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Detta är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (ej nödvändigt) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få en hand med hjälp av våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

På vilket sätt? Det finns två alternativ:

1. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - 999 gnugga.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

I det andra fallet vi kommer att ge dig simulator "6000 uppgifter med lösningar och svar, för varje ämne, för alla nivåer av komplexitet." Det räcker definitivt för att lösa problem i vilket ämne som helst.

I själva verket är detta mycket mer än bara en simulator - ett helt träningsprogram. Om det behövs kan du också använda det GRATIS.

Tillgång till alla texter och program ges under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teori.

"Förstå" och "Jag vet hur man löser" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!

Typiska geometriska problem i planet och i tredimensionellt utrymme är problemen med att bestämma ytornas ytor olika figurer. I den här artikeln presenterar vi formeln för arean av den laterala ytan av en vanlig fyrkantig pyramid.

Vad är en pyramid?

Låt oss ge en strikt geometrisk definition av en pyramid. Anta att det finns någon polygon med n sidor och n hörn. Vi väljer en godtycklig punkt i rymden som inte kommer att vara i planet för den angivna n-gonen, och kopplar den till varje hörn av polygonen. Vi kommer att få en figur som har en viss volym, som kallas en n-gonal pyramid. Låt oss till exempel visa i figuren nedan hur en femkantig pyramid ser ut.

Två viktiga delar av varje pyramid är dess bas (n-gon) och topp. Dessa element är förbundna med varandra med n trianglar, som i allmänhet inte är lika med varandra. Den vinkelräta som faller från toppen till basen kallas figurens höjd. Om den skär basen i det geometriska centrumet (sammanfaller med polygonens masscentrum), kallas en sådan pyramid en rak linje. Om basen förutom detta villkor är en vanlig polygon, kallas hela pyramiden regelbunden. Bilden nedan visar hur vanliga pyramider ser ut med triangulära, fyrkantiga, femkantiga och hexagonala baser.

Pyramidens yta

Innan man vänder sig till frågan om området för den laterala ytan av en vanlig fyrkantig pyramid, bör man uppehålla sig mer i detalj vid begreppet själva ytan.

Som nämnts ovan och visas i figurerna, bildas vilken pyramid som helst av en uppsättning ytor eller sidor. En sida är basen och n sidor är trianglar. Ytan på hela figuren är summan av ytorna på var och en av dess sidor.

Det är bekvämt att studera ytan med exemplet på en figur som vecklas ut. En skanning av en vanlig fyrkantig pyramid visas i figurerna nedan.

Vi ser att dess yta är lika med summan av fyra områden av identiska likbenta trianglar och arean av en kvadrat.

Den totala arean av alla trianglar som bildar figurens sidor kallas arean av den laterala ytan. Därefter visar vi hur man beräknar det för en vanlig fyrkantig pyramid.

Lateral yta av en rektangulär regelbunden pyramid

För att beräkna den laterala ytan av den angivna figuren, vänder vi oss igen till ovanstående svep. Anta att vi känner till sidan av den kvadratiska basen. Låt oss beteckna det med symbolen a. Det kan ses att var och en av de fyra identiska trianglarna har en bas med längden a. För att beräkna deras totala yta måste du känna till detta värde för en triangel. Från geometrins gång är det känt att arean av triangeln S t är lika med produkten av basen och höjden, som ska delas i hälften. Dvs:

Där h b är höjden på den likbenta triangeln ritad till basen a. För en pyramid är denna höjd apotem. Nu återstår att multiplicera det resulterande uttrycket med 4 för att få arean S b av sidoytan för pyramiden i fråga:

Sb = 4*St = 2*hb*a.

Denna formel innehåller två parametrar: apotem och sidan av basen. Om det senare är känt under de flesta förhållanden med problemen, måste det förra beräknas med andra kvantiteter. Här är formlerna för att beräkna apotema h b för två fall:

• när längden på sidoribban är känd;
• när höjden på pyramiden är känd.

Om vi ​​betecknar längden på den laterala kanten (sidan av en likbent triangel) med symbolen L, så bestäms apotema h b av formeln:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Detta uttryck är resultatet av att tillämpa Pythagoras sats för den laterala yttriangeln.

Om höjden h på pyramiden är känd, kan apotema h b beräknas enligt följande:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Det är inte heller svårt att få fram detta uttryck om vi betraktar en rätvinklig triangel inuti pyramiden som bildas av benen h och a / 2 och hypotenusan h b.

Vi kommer att visa hur man tillämpar dessa formler genom att lösa två intressanta uppgifter.

Problem med känd yta

Det är känt att arean av sidoytan på en fyrkantig yta är 108 cm 2 . Det är nödvändigt att beräkna värdet på längden på dess apotem h bif höjden på pyramiden är 7 cm.

Vi skriver formeln för arean S b av sidoytan genom höjden. Vi har:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Här har vi helt enkelt ersatt motsvarande apotema-formel i uttrycket för S b . Låt oss kvadrera båda sidor av ekvationen:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

För att hitta värdet på a gör vi en förändring av variabler:

t2 + 4*h2 *t - Sb2 = 0.

Ersätter nu kända värden och lös andragradsekvationen:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Vi har bara skrivit den positiva roten till denna ekvation. Då kommer sidorna av pyramidens bas att vara lika med:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

För att få längden på apotema, använd bara formeln:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2 / 4) ≈ 7.808 cm.

Sidoyta av Cheops-pyramiden

Låt oss bestämma värdet på den laterala ytarean för den största Egyptisk pyramid. Det är känt att vid dess bas ligger en kvadrat med en sidolängd på 230.363 meter. Höjden på strukturen var ursprungligen 146,5 meter. Ersätt dessa siffror i motsvarande formel för S b , vi får:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Det hittade värdet är något större än arean av 17 fotbollsplaner.