Pyramid. Stympad pyramid

Pyramid kallas en polyeder, vars ena ansikten är en polygon ( bas ), och alla andra ytor är trianglar med en gemensam vertex ( sidoytor ) (Fig. 15). Pyramiden kallas korrekt , om dess bas är en vanlig polygon och toppen av pyramiden projiceras in i mitten av basen (fig. 16). En triangulär pyramid där alla kanter är lika kallas tetraeder .

Sido revben pyramid kallas den sida av sidoytan som inte hör till basen Höjd pyramid är avståndet från dess topp till basens plan. Alla sido revben rätt pyramidär lika med varandra, alla sidoytor är lika likbenta trianglar. Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid ritad från vertex kallas apotem . diagonal sektion En sektion av en pyramid kallas ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta.

Sidoyta pyramid kallas summan av areorna av alla sidoytor. område full yta är summan av areorna av alla sidoytor och basen.

Satser

1. Om alla sidokanter i en pyramid lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av den omskrivna cirkeln nära basen.

2. Om i en pyramid alla laterala kanter har lika långa längder, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av den omskrivna cirkeln nära basen.

3. Om alla ytor i pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln inskriven i basen.

För att beräkna volymen av en godtycklig pyramid är formeln korrekt:

var V- volym;

S huvud- basarea;

Här höjden på pyramiden.

För en vanlig pyramid är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

h a- apotem;

H- höjd;

S full

S sida

S huvud- basarea;

Vär volymen av en vanlig pyramid.

stympad pyramid kallas den del av pyramiden som är innesluten mellan basen och skärplanet parallellt med pyramidens bas (fig. 17). Korrigera stympad pyramid kallas delen av en vanlig pyramid, innesluten mellan basen och ett skärande plan parallellt med pyramidens bas.

Grunder stympad pyramid - liknande polygoner. Sidoytor - trapets. Höjd stympad pyramid kallas avståndet mellan dess baser. Diagonal En stympad pyramid är ett segment som förbinder dess hörn som inte ligger på samma yta. diagonal sektion En sektion av en stympad pyramid kallas ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta.

För en trunkerad pyramid är formlerna giltiga:

(4)

var S 1 , S 2 - områden av de övre och nedre baserna;

S fullär den totala ytan;

S sidaär den laterala ytarean;

H- höjd;

Vär volymen av den trunkerade pyramiden.

För en vanlig trunkerad pyramid är följande formel sann:

var sid 1 , sid 2 - basomkretsar;

h a- apotem av en vanlig stympad pyramid.

Exempel 1 I den högra triangulär pyramid den dihedriska vinkeln vid basen är 60º. Hitta tangenten för sidokantens lutningsvinkel mot basens plan.

Beslut. Låt oss göra en ritning (bild 18).

Pyramiden är regelbunden, vilket betyder att basen är en liksidig triangel och alla sidoytorna är lika likbenta trianglar. Den dihedriska vinkeln vid basen är lutningsvinkeln för pyramidens sidoyta mot basens plan. Den linjära vinkeln blir vinkeln a mellan två perpendikuler: d.v.s. Toppen av pyramiden projiceras i triangelns mitt (mitten av den omskrivna cirkeln och den inskrivna cirkeln i triangeln ABC). Lutningsvinkeln för sidoribban (till exempel SB) är vinkeln mellan själva kanten och dess projektion på basplanet. För revben SB denna vinkel kommer att vara vinkeln SBD. För att hitta tangenten behöver du känna till benen SÅ och OB. Låt längden på segmentet BDär 3 a. punkt O linjesegmentet BDär uppdelad i delar: och Från finner vi SÅ: Från vi finner:

Svar:

Exempel 2 Hitta volymen av en vanlig stympad fyrkantig pyramid om diagonalerna på dess baser är cm och cm och höjden är 4 cm.

Beslut. För att hitta volymen av en stympad pyramid använder vi formel (4). För att hitta ytorna på baserna måste du hitta sidorna på basrutorna, känna till deras diagonaler. Sidorna på baserna är 2 cm respektive 8 cm. Detta betyder att områdena på baserna och Genom att ersätta alla data i formeln beräknar vi volymen på den trunkerade pyramiden:

Svar: 112 cm3.

Exempel 3 Hitta arean av sidoytan på en vanlig triangulär stympad pyramid, vars bassidor är 10 cm och 4 cm och höjden på pyramiden är 2 cm.

Beslut. Låt oss göra en ritning (bild 19).

Sidoytan på denna pyramid är ett likbent trapets. För att beräkna arean av en trapets, måste du känna till baserna och höjden. Baserna är givna efter villkor, bara höjden är fortfarande okänd. Hitta den varifrån MEN 1 E vinkelrät från en punkt MEN 1 på planet för den nedre basen, A 1 D- vinkelrätt från MEN 1 på AC. MEN 1 E\u003d 2 cm, eftersom detta är höjden på pyramiden. För att hitta DE vi kommer att göra en extra ritning, där vi kommer att avbilda en toppvy (Fig. 20). Punkt O- projektion av mitten av de övre och nedre baserna. sedan (se fig. 20) och Å andra sidan OKär radien för den inskrivna cirkeln och OMär radien för den inskrivna cirkeln:

MK=DE.

Enligt Pythagoras sats från

Sidoyta:

Svar:

Exempel 4 Vid basen av pyramiden ligger en likbent trapets, vars baser a och b (a> b). Varje sidoyta bildar en vinkel som är lika med planet för pyramidens bas j. Hitta den totala ytan av pyramiden.

Beslut. Låt oss göra en ritning (bild 21). Total yta av pyramiden SABCDär lika med summan av ytorna och arean av trapetsen ABCD.

Låt oss använda påståendet att om alla ytor på pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras vertexen in i mitten av cirkeln som är inskriven i basen. Punkt O- vertexprojektion S vid basen av pyramiden. Triangel SODär den ortogonala projektionen av triangeln CSD till basplanet. Enligt satsen om arean för den ortogonala projektionen av en platt figur får vi:

På samma sätt betyder det Således reducerades problemet till att hitta området för trapetsen ABCD. Rita en trapets ABCD separat (fig. 22). Punkt Oär mitten av en cirkel inskriven i en trapets.

Eftersom en cirkel kan skrivas in i en trapets, har vi eller genom Pythagoras sats

Definition

Pyramidär en polyeder som består av en polygon \(A_1A_2...A_n\) och \(n\) trianglar med en gemensam vertex \(P\) (som inte ligger i polygonens plan) och motsatta sidor som sammanfaller med sidorna av polygonen.
Beteckning: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exempel: femkantig pyramid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trianglar \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) osv. kallad sidoytor pyramider, segment \(PA_1, PA_2\), etc. - sido revben, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – grund, punkt \(P\) – topp.

Höjd Pyramider är en vinkelrät fall från toppen av pyramiden till basens plan.

En pyramid med en triangel vid basen kallas tetraeder.

Pyramiden kallas korrekt, om dess bas är en vanlig polygon och ett av följande villkor är uppfyllt:

\((a)\) sidokanterna på pyramiden är lika;

\((b)\) höjden av pyramiden passerar genom mitten av den omskrivna cirkeln nära basen;

\((c)\) sidoribbor lutar mot basplanet i samma vinkel.

\((d)\) sidoytorna lutar mot basplanet i samma vinkel.

vanlig tetraederär en triangulär pyramid, vars alla ytor är lika liksidiga trianglar.

Sats

Villkoren \((a), (b), (c), (d)\) är likvärdiga.

Bevis

Rita höjden på pyramiden \(PH\) . Låt \(\alpha\) vara planet för pyramidens bas.

1) Låt oss bevisa att \((a)\) innebär \((b)\) . Låt \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Därför att \(PH\perp \alpha\) , då är \(PH\) vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger i detta plan, så trianglarna är rätvinkliga. Så dessa trianglar är lika i vanligt ben \(PH\) och hypotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Så \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Detta betyder att punkterna \(A_1, A_2, ..., A_n\) är på samma avstånd från punkten \(H\) , därför ligger de på samma cirkel med radien \(A_1H\) . Denna cirkel är per definition omskriven kring polygonen \(A_1A_2...A_n\) .

2) Låt oss bevisa att \((b)\) innebär \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulär och lika i två ben. Därför är deras vinklar också lika, därför, \(\vinkel PA_1H=\vinkel PA_2H=...=\vinkel PA_nH\).

3) Låt oss bevisa att \((c)\) innebär \((a)\) .

Liknar den första punkten, trianglar \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulär och längs benet och vasst hörn. Det betyder att deras hypotenuser också är lika, det vill säga \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Låt oss bevisa att \((b)\) innebär \((d)\) .

Därför att i en vanlig polygon sammanfaller mitten av de omskrivna och inskrivna cirklarna (allmänt sett kallas denna punkt centrum för en vanlig polygon), då är \(H\) centrum för den inskrivna cirkeln. Låt oss rita vinkelräta från punkten \(H\) till sidorna av basen: \(HK_1, HK_2\), etc. Dessa är radierna för den inskrivna cirkeln (per definition). Sedan, enligt TTP, (\(PH\) är en vinkelrät mot planet, \(HK_1, HK_2\), etc. är projektioner vinkelräta mot sidorna) snedställda \(PK_1, PK_2\), etc. vinkelrätt mot sidorna \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respektive. Så per definition \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H\) lika med vinklarna mellan sidoytorna och basen. Därför att trianglar \(PK_1H, PK_2H, ...\) är lika stora (som rätvinkliga på två ben), sedan vinklarna \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H, ...\)är jämlika.

5) Låt oss bevisa att \((d)\) innebär \((b)\) .

På samma sätt som den fjärde punkten är trianglarna \(PK_1H, PK_2H, ...\) lika (som rektangulära längs benet och spetsig vinkel), vilket betyder att segmenten \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) är jämlika. Därför är \(H\) per definition mitten av en cirkel inskriven i basen. Men eftersom för vanliga polygoner sammanfaller mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna, då är \(H\) centrum för den omskrivna cirkeln. Chtd.

Följd

Sidoytorna på en vanlig pyramid är lika likbenta trianglar.

Definition

Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, ritad från dess topp, kallas apotem.
Apotemana för alla sidoytor i en vanlig pyramid är lika med varandra och är också medianer och bisektorer.

Viktiga anteckningar

1. Höjden på en regelbunden triangulär pyramid faller till skärningspunkten för basens höjder (eller bisektorer eller medianer) (basen är en regelbunden triangel).

2. Höjden på en vanlig fyrkantig pyramid faller till skärningspunkten för basens diagonaler (basen är en kvadrat).

3. Rätt höjd sexkantig pyramid faller till skärningspunkten för basens diagonaler (basen är en vanlig hexagon).

4. Pyramidens höjd är vinkelrät mot varje rak linje som ligger vid basen.

Definition

Pyramiden kallas rektangulär om en av dess laterala kanter är vinkelrät mot basens plan.

Viktiga anteckningar

1. För en rektangulär pyramid är kanten vinkelrät mot basen höjden på pyramiden. Det vill säga \(SR\) är höjden.

2. Eftersom \(SR\) vinkelrät mot valfri linje från basen, alltså \(\triangle SRM, \triangle SRP\)är räta trianglar.

3. Trianglar \(\triangel SRN, \triangle SRK\)är också rektangulära.
Det vill säga att varje triangel som bildas av denna kant och diagonalen som kommer ut från spetsen på denna kant, som ligger vid basen, kommer att vara rätvinklig.

\[(\Large(\text(Pyramidens volym och yta)))\]

Sats

Volymen av en pyramid är lika med en tredjedel av produkten av basytan och höjden på pyramiden: \

Konsekvenser

Låt \(a\) vara sidan av basen, \(h\) vara höjden på pyramiden.

1. Volymen av en vanlig triangulär pyramid är \(V_(\text(höger triangel pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volymen av en vanlig fyrkantig pyramid är \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volymen av en vanlig sexkantig pyramid är \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volymen av en vanlig tetraeder är \(V_(\text(höger tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Sats

Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem.

\[(\Large(\text(Trunkerad pyramid)))\]

Definition

Tänk på en godtycklig pyramid \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Låt oss rita ett plan parallellt med pyramidens bas genom en viss punkt som ligger på pyramidens sidokant. Detta plan kommer att dela pyramiden i två polyedrar, varav den ena är en pyramid (\(PB_1B_2...B_n\) ), och den andra kallas stympad pyramid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Den trunkerade pyramiden har två baser - polygoner \(A_1A_2...A_n\) och \(B_1B_2...B_n\) , som liknar varandra.

Höjden på en stympad pyramid är en vinkelrät ritad från någon punkt av den övre basen till planet för den nedre basen.

Viktiga anteckningar

1. Alla sidoytor på en stympad pyramid är trapetser.

2. Segmentet som förbinder mitten av baserna i en vanlig stympad pyramid (det vill säga en pyramid som erhålls av en sektion av en vanlig pyramid) är en höjd.

Här finns samlad grundläggande information om pyramiderna och relaterade formler och begrepp. Alla studeras med en handledare i matematik som förberedelse för tentamen.

Betrakta ett plan, en polygon ligger i den och en punkt S som inte ligger i den. Anslut S till alla hörn i polygonen. Den resulterande polyedern kallas en pyramid. Segmenten kallas laterala kanter. Polygonen kallas basen och punkten S kallas toppen av pyramiden. Beroende på talet n kallas pyramiden triangulär (n=3), fyrkantig (n=4), femkantig (n=5) och så vidare. alternativt namn triangulär pyramid - tetraeder. Höjden på en pyramid är vinkelrät draget från dess spets till basplanet.

En pyramid kallas korrekt if en vanlig polygon, och basen av höjden av pyramiden (basen av vinkelrät) är dess centrum.

Handledarens kommentar:
Blanda inte ihop begreppet "vanlig pyramid" och "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramid är sidokanterna inte nödvändigtvis lika med kanterna på basen, men i en vanlig tetraeder är alla 6 kanterna på kanterna lika. Detta är hans definition. Det är lätt att bevisa att likheten innebär att mitten P av polygonen med en höjdbas, så en vanlig tetraeder är en vanlig pyramid.

Vad är en apotem?
En pyramids apotem är höjden på dess sidoyta. Om pyramiden är regelbunden, är alla dess apotemer lika. Det omvända är inte sant.

Matematiklärare om sin terminologi: arbete med pyramider är till 80 % byggt genom två typer av trianglar:
1) Innehåller apotem SK och höjd SP
2) Innehåller den laterala kanten SA och dess projektion PA

För att förenkla referenser till dessa trianglar är det bekvämare för en matematiklärare att namnge den första av dem apotemisk, och andra costal. Tyvärr hittar du inte denna terminologi i någon av läroböckerna, och läraren måste introducera den ensidigt.

Formel för pyramidvolym:
1) , var är arean av pyramidens bas, och är höjden på pyramiden
2) , där är radien för den inskrivna sfären och är pyramidens totala yta.
3) , där MN är avståndet mellan två korsande kanter, och är arean av parallellogrammet som bildas av mittpunkterna på de fyra återstående kanterna.

Pyramid Height Base Egenskap:

Punkt P (se figur) sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln vid basen av pyramiden om ett av följande villkor är uppfyllt:
1) Alla apotemer är lika
2) Alla sidoytor är lika lutande mot basen
3) Alla apotemer lutar lika mycket till pyramidens höjd
4) Pyramidens höjd är lika lutande mot alla sidoytor

Matematiklärarens kommentar: observera att alla objekt förenas av en gemensam egendom: på ett eller annat sätt deltar sidoytor överallt (apotemer är deras element). Därför kan handledaren erbjuda en mindre exakt, men mer bekväm formulering för memorering: punkten P sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln, pyramidens bas, om det finns någon lika information om dess sidoytor. För att bevisa det räcker det att visa att alla apotemiska trianglar är lika.

Punkten P sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln nära pyramidens bas, om ett av de tre villkoren är sant:
1) Alla sidokanter är lika
2) Alla sidoribbor är lika lutande mot basen
3) Alla sidoribbor är lika lutande mot höjden

Vi fortsätter att överväga de uppgifter som ingår i provet i matematik. Vi har redan studerat problem där villkoret är givet och det krävs för att hitta avståndet mellan två givna punkter eller vinkeln.

En pyramid är en polyeder vars bas är en polygon, de andra ytorna är trianglar och de har en gemensam vertex.

En vanlig pyramid är en pyramid vars bas ligger en vanlig polygon, och dess topp projiceras in i mitten av basen.

En vanlig fyrkantig pyramid - basen är en kvadrat. Pyramidens topp projiceras vid skärningspunkten för basens diagonaler (fyrkant).

ML - apotem
∠MLO - dihedrisk vinkel vid basen av pyramiden
∠MCO - vinkeln mellan den laterala kanten och planet för pyramidens bas

I den här artikeln kommer vi att överväga uppgifter för att lösa rätt pyramid. Det krävs att hitta vilket element som helst, lateral yta, volym, höjd. Naturligtvis måste du känna till Pythagoras sats, formeln för arean av pyramidens laterala yta, formeln för att hitta pyramidens volym.

I artikeln « » formler presenteras som är nödvändiga för att lösa problem inom stereometri. Så arbetsuppgifterna är:

SABCD punkt O- bascentrumS vertex, SÅ = 51, AC= 136. Hitta sidokantenSC.

I det här fallet är basen en kvadrat. Det betyder att diagonalerna AC och BD är lika, de skär varandra och halverar i skärningspunkten. Observera att i en vanlig pyramid passerar höjden sänkt från dess topp genom mitten av pyramidens bas. Så SÅ är höjden och triangelnSOCrektangulär. Sedan genom Pythagoras sats:

Hur man tar roten till ett stort antal.

Svar: 85

Bestäm själv:

I den högra fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, SÅ = 4, AC= 6. Hitta en sidokant SC.

I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, SC = 5, AC= 6. Hitta längden på segmentet SÅ.

I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, SÅ = 4, SC= 5. Hitta längden på segmentet AC.

SABC R- mitten av revbenet före Kristus, S- topp. Det är känt att AB= 7, och SR= 16. Hitta den laterala ytarean.

Arean av sidoytan på en vanlig triangulär pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem (apotem är höjden på sidoytan på en vanlig pyramid ritad från dess topp):

Eller så kan du säga så här: arean på pyramidens laterala yta är lika med summan av ytorna på de tre sidoytorna. Sidoytorna i en vanlig triangulär pyramid är trianglar med lika stor yta. I detta fall:

Svar: 168

Bestäm själv:

I en vanlig triangulär pyramid SABC R- mitten av revbenet före Kristus, S- topp. Det är känt att AB= 1, och SR= 2. Hitta arean av sidoytan.

I en vanlig triangulär pyramid SABC R- mitten av revbenet före Kristus, S- topp. Det är känt att AB= 1, och den laterala ytan är 3. Hitta längden på segmentet SR.

I en vanlig triangulär pyramid SABC L- mitten av revbenet före Kristus, S- topp. Det är känt att SL= 2, och den laterala ytan är 3. Hitta längden på segmentet AB.

I en vanlig triangulär pyramid SABC M. Arean av en triangel ABCär 25, är pyramidens volym 100. Hitta längden på segmentet FRÖKEN.

Pyramidens bas är en liksidig triangel. Så Mär mitten av basen, ochFRÖKEN- höjden på en vanlig pyramidSABC. Pyramid volym SABCär lika med: inspektera lösning

I en vanlig triangulär pyramid SABC basmedianerna skär varandra i en punkt M. Arean av en triangel ABCär 3, FRÖKEN= 1. Hitta volymen på pyramiden.

I en vanlig triangulär pyramid SABC basmedianerna skär varandra i en punkt M. Pyramidens volym är 1, FRÖKEN= 1. Hitta arean av triangeln ABC.

Låt oss avsluta med det här. Som du kan se löses uppgifter i ett eller två steg. I framtiden kommer vi att överväga andra problem från denna del, där revolutionskroppar ges, missa inte det!

Jag önskar er framgång!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.