Tre vinklar i en triangel är lika. Summan av vinklarna i en triangel. Triangelsummans sats

Sats. Summan av de inre vinklarna i en triangel är lika med två räta vinklar.

Ta någon triangel ABC (bild 208). Låt oss beteckna dess inre vinklar med 1, 2 och 3. Låt oss bevisa det

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Låt oss rita genom någon av triangelns hörn, till exempel B, linjen MN parallell med AC.

Vid vertex B fick vi tre vinklar: ∠4, ∠2 och ∠5. Deras summa är en rät vinkel, därför är den lika med 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Men ∠4 \u003d ∠1 är inre tvärliggande vinklar med parallella linjer MN och AC och en sekant AB.

∠5 = ∠3 är inre tvärliggande vinklar med parallella linjer MN och AC och sekant BC.

Därför kan ∠4 och ∠5 ersättas med deras lika ∠1 och ∠3.

Därför är ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teoremet har bevisats.

2. Egenskapen för en triangels yttre vinkel.

I triangeln ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, men även ∠BCD, är den yttre vinkeln för denna triangel, inte intill ∠1 och ∠2, också lika med 180° - ∠3 .

Således:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Därför är ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Den härledda egenskapen för en triangels yttre vinkel förfinar innehållet i den tidigare bevisade satsen om en triangels yttre vinkel, där det endast angavs att en triangels yttre vinkel är större än varje inre vinkel i triangeln som är inte intill den; nu är det fastställt att den yttre vinkeln är lika med summan av de båda inre vinklarna som inte gränsar till den.

3. Egenskapen för en rätvinklig triangel med en vinkel på 30°.

Släppa in rät triangel DIA-vinkeln B är 30° (fig. 210). Då blir dess andra spetsiga vinkel 60°.

Låt oss bevisa att benet AC är lika med hälften av hypotenusan AB. Vi fortsätter benet AC bortom vertexet rätt vinkel C och avsätt segmentet SM, lika med segmentet AC. Vi förbinder punkt M med punkt B. Den resulterande triangeln BCM lika med triangel DIA. Vi ser att varje vinkel i triangeln AVM är lika med 60°, därför är denna triangel liksidig.

AC-benet är lika med hälften av AM, och eftersom AM är lika med AB, kommer AC-benet att vara lika med hälften av hypotenusan AB.

Det faktum att "Summan av vinklarna för valfri triangel i euklidisk geometri är 180 grader" kan lätt komma ihåg. Om det inte är lätt att komma ihåg kan du göra ett par experiment för bättre memorering.

Experiment ett

Rita några godtyckliga trianglar på ett papper, till exempel:

• med godtyckliga sidor;
• likbent triangel;
• rät triangel.

Var noga med att använda linjen. Nu måste du skära ut de resulterande trianglarna, gör det exakt längs de ritade linjerna. Färglägg hörnen på varje triangel med färgpenna eller tuschpenna. Till exempel, i den första triangeln kommer alla hörn att vara röda, i den andra - blå, den tredje - grön. http://bit.ly/2gY4Yfz

Från den första triangeln, skär av alla 3 hörn och anslut dem vid en punkt med hörnen, så att de närmaste sidorna av varje hörn är anslutna. Som du kan se bildade triangelns tre vinklar en rak vinkel, som är lika med 180 grader. Gör samma sak med de två andra trianglarna - resultatet blir detsamma. http://bit.ly/2zurCrd

Experiment två

Vi ritar en godtycklig triangel ABC. Vi väljer vilken vertex som helst (till exempel C) och ritar en rak linje DE genom den, parallell med motsatt sida (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Vi får följande:

1. Vinklarna BAC och ACD är lika, som internt kors och tvärs med avseende på AC;
2. Vinklar ABC och BCE är lika, som invändigt kors och tvärs med avseende på BC;
3. Vi ser att vinklarna 1, 2 och 3 - triangelns vinklar, anslutna i en punkt, bildade en utvecklad vinkel DCE, som är lika med 180 grader.

Triangelsummesatsen säger att summan av alla inre vinklar i en triangel är 180°.

Låt triangelns inre vinklar vara a, b och c, då:

a + b + c = 180°.

Från denna teori kan vi dra slutsatsen att summan av alla yttre vinklar i en triangel är 360 °. Eftersom den yttre vinkeln ligger intill den inre vinkeln är deras summa 180°. Låt de inre vinklarna i en triangel vara a, b och c, då är de yttre vinklarna vid dessa vinklar 180° - a, 180° - b och 180° - c.

Hitta summan av triangelns yttre vinklar:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Svar: summan av de inre vinklarna i en triangel är 180°; summan av de yttre vinklarna i en triangel är 360°.

Detta teorem formulerades också i L.S. Atanasyans lärobok. , och i läroboken Pogorelov A.V. . Bevisen för detta teorem i dessa läroböcker skiljer sig inte nämnvärt, och därför presenterar vi dess bevis, till exempel från läroboken av Pogorelov A.V.

Sats: Summan av vinklarna i en triangel är 180°

Bevis. Låt ABC vara den givna triangeln. Dra en linje genom vertex B parallellt med linje AC. Markera punkt D på den så att punkterna A och D ligger på motsatta sidor av linjen BC (Fig. 6).

Vinklarna DBC och ACB är lika med inre tvärliggande, bildade av en sekant BC med parallella räta linjer AC och BD. Därför är summan av triangelns vinklar vid hörnen B och C lika med vinkeln ABD. Och summan av alla tre vinklarna i en triangel är lika med summan av vinklarna ABD och BAC. Eftersom dessa vinklar är inre ensidiga för parallella AC och BD och sekanten AB, är deras summa 180°. Teoremet har bevisats.

Tanken bakom detta bevis är att parallell linje och beteckningen av likheten mellan de önskade vinklarna. Vi rekonstruerar idén om en sådan ytterligare konstruktion genom att bevisa detta teorem med hjälp av konceptet med ett tankeexperiment. Bevis på satsen med hjälp av ett tankeexperiment. Så, ämnet för vårt tankeexperiment är vinklarna på en triangel. Låt oss placera honom mentalt i sådana förhållanden där hans väsen kan avslöjas med särskild säkerhet (steg 1).

Sådana förhållanden kommer att vara ett sådant arrangemang av triangelns hörn, där alla tre av deras hörn kommer att kombineras på en punkt. En sådan kombination är möjlig om vi tillåter möjligheten att "flytta" hörnen, med hjälp av rörelsen av triangelns sidor utan att ändra lutningsvinkeln (Fig. 1). Sådana rörelser är i huvudsak efterföljande mentala transformationer (steg 2).

Genom att göra beteckningen av triangelns vinklar och sidor (fig. 2), de vinklar som erhålls under "rörelsen", formar vi därigenom mentalt miljön, systemet av anslutningar i vilket vi placerar vårt tankeämne (steg 3).

Linjen AB som "rör sig" längs linjen BC och inte ändrar lutningsvinkeln till den, översätter vinkel 1 till vinkel 5, och "rör sig" längs linjen AC, översätter vinkel 2 till vinkel 4. Eftersom med en sådan "rörelse" linjen AB ändrar inte lutningsvinkeln mot linjerna AC och BC, då är slutsatsen uppenbar: strålarna a och a1 är parallella med AB och passerar in i varandra, och strålarna b och b1 är fortsättningar av sidorna BC respektive AC. Eftersom vinkeln 3 och vinkeln mellan strålarna vid och vid 1 är vertikala är de lika. Summan av dessa vinklar är lika med den expanderade vinkeln aa1 - vilket betyder 180°.

SLUTSATS

PÅ avhandling"konstruerade" bevis för vissa skolgeometriska teorem genomfördes med hjälp av strukturen för ett tankeexperiment, vilket var en bekräftelse på den formulerade hypotesen.

Bevisen som presenterades var baserade på sådana visuell-sensoriska idealiseringar: "kompression", "sträckning", "glidning", vilket gjorde det möjligt att transformera det ursprungliga geometriska objektet på ett speciellt sätt och framhäva dess väsentliga egenskaper, vilket är typiskt för en tanke experimentera. Vart i tankeexperiment fungerar som ett visst "kreativt verktyg" som bidrar till framväxten av geometrisk kunskap (till exempel ca. mittlinje trapets eller ungefär vinklarna i en triangel). Sådana idealiseringar gör det möjligt att förstå idén om bevis som helhet, idén om att utföra en "ytterligare konstruktion", vilket gör det möjligt för oss att tala om möjligheten av en mer medveten förståelse av skolbarn av den formella processen deduktivt bevis för geometriska satser.

Ett tankeexperiment är en av de grundläggande metoderna för att erhålla och upptäcka geometriska satser. Det är nödvändigt att utveckla en metodik för att överföra metoden till studenten. Frågan om elevens ålder som är acceptabel för "acceptans" av metoden förblir öppen. bieffekter av de bevis som lagts fram på detta sätt.

Dessa frågor kräver ytterligare studier. Men i alla fall råder det ingen tvekan om en sak: ett tankeexperiment utvecklar teoretiskt tänkande hos skolbarn, är dess grund, och därför måste förmågan till mental experimenterande utvecklas.

Sats om summan av de inre vinklarna i en triangel

Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

Bevis:

• Triangel ABC ges.
• Dra en linje DK genom vertex B parallellt med basen AC.
• \vinkel CBK= \vinkel C som inre korsvis liggande med parallella DK och AC, och sekant BC.
• \angle DBA = \angle En inre korsvis liggande vid DK \parallell AC och sekant AB. Vinkel DBK är rak och lika med
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Eftersom den räta vinkeln är 180 ^\circ , och \angle CBK = \angle C och \angle DBA = \angle A , får vi 180 ^\cirkel = \vinkel A + \vinkel B + \vinkel C.

Teorem bevisat

Konsekvenser från satsen om vinklarna i en triangel:

1. Summan av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är 90°.
2. I en likbent rätvinklig triangel är varje spetsig vinkel 45°.
3. I en liksidig triangel är varje vinkel 60°.
4. I vilken triangel som helst är antingen alla vinklar spetsa, eller två vinklar är spetsiga, och den tredje är trubbig eller rät.
5. En yttre vinkel av en triangel är lika med summan av två inre vinklar som inte gränsar till den.

Triangel yttre vinkelsats

En yttre vinkel av en triangel är lika med summan av de två återstående vinklarna i triangeln som inte gränsar till den yttre vinkeln.

Bevis:

• Triangel ABC ges, där BCD är den yttre vinkeln.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Från jämlikheterna, vinkeln \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Vi får \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Mål och syfte:

Pedagogisk:

• upprepa och generalisera kunskap om triangeln;
• bevisa triangelsummesatsen;
• praktiskt verifiera riktigheten av formuleringen av satsen;
• lära sig att tillämpa de förvärvade kunskaperna för att lösa problem.

Utvecklande:

• utveckla geometriskt tänkande, intresse för ämnet, kognitiva och kreativ aktivitet elever, matematiskt tal, förmåga att självständigt tillägna sig kunskap.

Pedagogisk:

• utveckla personliga kvaliteter elever, såsom målmedvetenhet, uthållighet, noggrannhet, förmåga att arbeta i ett team.

Utrustning: multimediaprojektor, trianglar av färgat papper, läromedel "Live Mathematics", dator, skärm.

Förberedande skede: Läraren instruerar eleven att förbereda sig historisk bakgrund om triangelsummans sats.

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick

Hälsningar. Psykologisk inställning av studenter till arbetet.

II. Uppvärmning

Vi träffade den geometriska figuren "triangeln" i tidigare lektioner. Låt oss upprepa vad vi vet om triangeln?

Eleverna arbetar i grupp. De ges möjlighet att kommunicera med varandra, var och en för att självständigt bygga upp kognitionsprocessen.

Vad hände? Varje grupp kommer med sina förslag och läraren skriver dem på tavlan. Resultaten diskuteras:

Bild 1

III. Vi formulerar lektionens uppgift

Så vi vet redan mycket om triangeln. Men inte allt. Var och en av er har trianglar och gradskivor på skrivbordet. Vad tycker du, vilken uppgift kan vi formulera?

Eleverna formulerar lektionens uppgift - att hitta summan av vinklarna i en triangel.

IV. Förklaring av nytt material

Praktisk del(bidrar till att aktualisera kunskap och självkännedomsfärdigheter.) Mät vinklarna med en gradskiva och hitta deras summa. Skriv ner resultaten i en anteckningsbok (lyssna på de svar som du fått). Vi får reda på att summan av vinklarna visade sig vara olika för alla (detta kan hända eftersom gradskivan applicerades felaktigt, beräkningen utfördes slarvigt, etc.).

Vik längs de prickade linjerna och ta reda på vad mer summan av triangelns vinklar är lika med:

a)
figur 2

b)
Figur 3

i)
Figur 4

G)
Bild 5

e)
Bild 6

Efter att ha genomfört det praktiska arbetet formulerar eleverna svaret: Summan av vinklarna i en triangel är lika med gradsmått expanderad vinkel, dvs 180°.

Lärare: I matematik praktiskt arbete gör det bara möjligt att göra något slags påstående, men det måste bevisas. Ett påstående vars giltighet fastställs genom bevis kallas ett teorem. Vilket teorem kan vi formulera och bevisa?

Studenter: Summan av vinklarna i en triangel är 180 grader.

Historik referens: Egenskapen för summan av vinklarna i en triangel fastställdes i Forntida Egypten. Bevisen som ges i moderna läroböcker finns i Procluss kommentarer om Euklids element. Proclus hävdar att detta bevis (fig. 8) upptäcktes av pytagoreerna (500-talet f.Kr.). I den första boken av Elementen lägger Euklid fram ytterligare ett bevis för satsen om summan av vinklarna i en triangel, som är lätt att förstå med hjälp av en ritning (fig. 7):

Bild 7

Figur 8

Ritningar visas på duken genom en projektor.

Läraren erbjuder sig att bevisa satsen med hjälp av ritningar.

Sedan utförs beviset med hjälp av CMD "Live Mathematics". Läraren på datorn projicerar beviset på satsen.

Triangelsummans sats: "Summan av vinklarna i en triangel är 180°"

Bild 9

Bevis:

a)

Bild 10

b)

Bild 11

i)

Bild 12

Eleverna i anteckningsboken gör en kort notering av beviset för satsen:

Sats: Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

Bild 13

Given:Δ ABC

Bevisa: A + B + C = 180°.

Bevis:

Vad behövde bevisas.

V. Phys. minut.

VI. Förklaring av nytt material (fortsättning)

Konsekvensen av satsen på summan av vinklarna i en triangel härleds av eleverna på egen hand, detta bidrar till utvecklingen av förmågan att formulera sin egen synvinkel, uttrycka och argumentera:

I vilken triangel som helst är antingen alla vinklar spetsa eller två skarpa hörn, och den tredje trubbig eller rak.

Om alla vinklar i en triangel är spetsiga, så kallas det spetsig vinklad.

Om en av vinklarna i en triangel är trubbig kallas den trubbig.

Om en av vinklarna i en triangel är rät, så kallas den rektangulär.

Triangelsummesatsen låter oss klassificera trianglar inte bara efter sidor, utan också efter vinklar. (Under introduktionen av typerna av trianglar fyller eleverna i en tabell)

bord 1

Triangelvy	Likbent	Liksidig	Mångsidig
Rektangulär
trubbig
spetsig vinklad

VII. Konsolidering av det studerade materialet.

1. Lös problem muntligt:

(Teckningarna visas på duken genom projektorn)

Uppgift 1. Hitta vinkeln C.

Bild 14

Uppgift 2. Hitta vinkeln F.

Bild 15

Uppgift 3. Hitta vinklarna K och N.

Bild 16

Uppgift 4. Hitta vinklarna P och T.

Bild 17

1. Lös problemet själv nr 223 (b, d).
2. Lös problemet på tavlan och i anteckningsböckerna till elev nr 224.
3. Frågor: Kan en triangel ha: a) två räta vinklar; b) två trubbiga vinklar; c) en rätt och en trubbig vinkel.
4. (utförs muntligt) Korten på varje bord visar olika trianglar. Bestäm med ögat formen på varje triangel.

Bild 18

1. Hitta summan av vinklarna 1, 2 och 3.

Bild 19

VIII. Sammanfattning av lektionen.

Lärare: Vad lärde vi oss? Gäller satsen någon triangel?

IX. Reflexion.

Ge mig ditt humör grabbar! Med baksidan triangeln visar dina ansiktsuttryck.

Bild 20

Läxa: s.30 (del 1), fråga 1 kap. IV sid 89 i läroboken; nr 223 (a, c), nr 225.