Volymen av en vanlig hexagonal pyramid är 6 sidor. Volym av en vanlig sexkantig pyramid

Beräkning av volymer av rumsliga figurer är en av stereometrins viktiga uppgifter. I den här artikeln kommer vi att överväga frågan om att bestämma volymen av en sådan polyeder som en pyramid, och även ge en vanlig sexkantig.

Pyramid sexkantig

Till att börja med, låt oss överväga vad figuren är, som kommer att diskuteras i artikeln.

Låt oss ha en godtycklig hexagon vars sidor inte nödvändigtvis är lika med varandra. Anta också att vi har valt en punkt i rymden som inte är i hexagonens plan. Genom att ansluta alla hörn av den senare med den valda punkten får vi en pyramid. Två olika pyramider med en hexagonal bas visas på bilden nedan.

Det kan ses att figuren förutom hexagonen består av sex trianglar, vars anslutningspunkt kallas vertex. Skillnaden mellan de avbildade pyramiderna är att höjden h på den högra inte skär den hexagonala basen vid dess geometriska centrum, medan höjden på den vänstra figuren faller exakt in i detta centrum. Tack vare detta kriterium kallades den vänstra pyramiden rak och den högra - lutande.

Eftersom basen av den vänstra figuren i figuren är bildad av en hexagon med lika sidor och vinklar kallas den korrekt. Vidare i artikeln kommer vi bara att prata om denna pyramid.

För att beräkna volymen av en godtycklig pyramid är följande formel giltig:

Här är h längden på figurens höjd, So är arean av dess bas. Låt oss använda detta uttryck för att bestämma volymen av en vanlig sexkantig pyramid.

Eftersom siffran i fråga är baserad på en liksidig hexagon, kan följande allmänna uttryck för en n-gon användas för att beräkna dess area:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Här är n ett heltal lika med antalet sidor (hörn) av polygonen, a är längden på dess sida, cotangensfunktionen beräknas med hjälp av lämpliga tabeller.

Genom att använda uttrycket för n = 6 får vi:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Nu återstår att ersätta detta uttryck med allmän formel för volym V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Således, för att beräkna volymen av pyramiden i fråga, är det nödvändigt att känna till dess två linjära parametrar: längden på sidan av basen och höjden på figuren.

Exempel på problemlösning

Låt oss visa hur det erhållna uttrycket för V 6 kan användas för att lösa följande problem.

Det är känt att den korrekta volymen är 100 cm 3. Det är nödvändigt att bestämma sidan av basen och höjden på figuren, om det är känt att de är relaterade till varandra genom följande likhet:

Eftersom endast a och h ingår i formeln för volym, kan någon av dessa parametrar ersättas i den, uttryckt genom den andra. Om vi ​​till exempel ersätter a får vi:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

För att hitta värdet på figurens höjd är det nödvändigt att ta roten av tredje graden från volymen, vilket motsvarar längddimensionen. Vi ersätter volymvärdet V 6 för pyramiden från problemets tillstånd, vi får höjden:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Eftersom sidan av basen, i enlighet med problemets tillstånd, är dubbelt så mycket som det hittade värdet, får vi värdet för det:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volym sexkantig pyramid kan hittas inte bara genom höjden på figuren och värdet på sidan av dess bas. Det räcker att känna till två olika linjära parametrar för pyramiden för att beräkna den, till exempel apotem och längden på sidokanten.

Problem med pyramider. I den här artikeln kommer vi att fortsätta att överväga problem med pyramider. De kan inte hänföras till någon klass eller typ av uppgifter och ger generella (algoritmer) rekommendationer för lösning. Det är bara det att resten av uppgifterna som inte övervägdes tidigare är samlade här.

Jag kommer att lista teorin som behöver uppdateras i minnet innan jag löser: pyramider, likhetsegenskaper hos figurer och kroppar, egenskaper hos vanliga pyramider, Pythagoras sats, triangelareaformeln (det är den andra). Tänk på uppgifterna:

Från triangulär pyramid, vars volym är 80, är ​​den triangulära pyramiden avskuren av ett plan som går genom pyramidens topp och basens mittlinje. Hitta volymen på den avskurna triangulära pyramiden.

Volymen av en pyramid är lika med en tredjedel av produkten av arean av dess bas och dess höjd:

Dessa pyramider (original och klippta) har en gemensam höjd, så deras volymer är relaterade till områdena för deras baser. mittlinje från den ursprungliga triangeln skär av en triangel vars area är fyra gånger mindre, det vill säga:

Du kan se mer om detta här.

Detta innebär att volymen av cut-off pyramiden blir fyra gånger mindre.

Så det blir 20.

Svar: 20

* ett liknande problem, formeln för arean av en triangel används.

Volymen av en triangulär pyramid är 15. Planet passerar genom sidan av basen av denna pyramid och skär den motsatta sidokanten vid en punkt som delar den i förhållandet 1: 2, räknat från toppen av pyramiden. Hitta den största av volymerna av pyramiderna som planet delar den ursprungliga pyramiden i.

Låt oss bygga en pyramid, markera hörnen.Markera en punkt E på kanten AS så att AE är dubbelt så stor som ES (i det tillstånd som det sägs att ES relaterar till AE som 1 till 2), och konstruera det indikerade planet som går genom kanten AC och punkten E:

Låt oss analysera volymen av vilken pyramid kommer att vara större: EABC eller SEBC?

* Volymen av en pyramid är lika med en tredjedel av produkten av arean av dess bas och dess höjd:

Om vi ​​betraktar de två resulterande pyramiderna och tar EBC-ytan som bas i båda, så blir det uppenbart att AEBC-pyramidens volym kommer att vara större än SEBC-pyramidens volym. Varför?

Avståndet från punkt A till EBC-planet är större än avståndet från punkt S. Och detta avstånd spelar rollen som höjd för oss.

Så låt oss hitta volymen på EABC-pyramiden.

Volymen av den initiala pyramiden ges till oss, basen för SABC- och EABC-pyramiderna är vanlig. Om vi ​​fastställer förhållandet mellan höjder kan vi enkelt bestämma volymen.

Av förhållandet mellan segmenten ES och AE följer att AE är lika med två tredjedelar av ES. Höjderna på pyramiderna SABC och EABC är i samma förhållande -höjden på pyramiden EABC kommer att vara lika med 2/3 av höjden på pyramiden SABC.

Alltså om

Det där

Svar: 10

Volymen på en vanlig sexkantig pyramid är 6. Sidan på basen är 1. Hitta sidokanten.

I en vanlig pyramid projiceras toppen in i mitten av basen.Låt oss utföra ytterligare konstruktioner:

Vi kan hitta sidokanten från rät triangel SOC. För att göra detta behöver du känna till SO och OS.

SO är höjden på pyramiden, vi kan beräkna den med hjälp av volymformeln:

Beräkna arean av basen. detta är en vanlig hexagon med en sida lika med 1. Arean av en vanlig hexagon är lika med arean av sex liksidiga trianglar med samma sida, mer om detta (punkt 6), så:

Betyder att

OS \u003d BC \u003d 1, eftersom i en vanlig hexagon segmentet som förbinder dess centrum med vertex är lika med sidan av denna hexagon.

Således, enligt Pythagoras sats:

Svar: 7

VolymStorleken på en tetraeder är 200. Hitta volymen av en polyeder vars hörn är mittpunkterna på kanterna på denna tetraeder.

Volymen av den angivna polyedern är lika med skillnaden volymer av den initiala tetraedern V 0 och fyra lika stora tetraedrar, som var och en erhålls genom att skära av med ett plan som går genom mittpunkterna på kanter som har en gemensam vertex:

Låt oss definiera vad är lika med volymen skär av tetraeder.

Observera att den ursprungliga tetraedern och den "avskurna" tetraedern är liknande kroppar. Det är känt att förhållandet mellan volymerna av liknande kroppar är k 3 , där k är likhetskoefficienten. I det här fallet är det lika med 2 (eftersom alla linjära dimensioner av den ursprungliga tetraedern är två gånger motsvarande dimensioner av den skurna):

Beräkna volymen av cut-off tetraeder:

Således kommer den önskade volymen att vara lika med:

Svar: 100

Ytarean på en tetraeder är 120. Hitta ytarean på en polyeder vars hörn är mittpunkterna på kanterna på denna tetraeder.

Första sättet:

Den önskade ytan består av 8 liksidiga trianglar med en sida halva kanten av den ursprungliga tetraedern. Ytan på den ursprungliga tetraedern består av 16 sådana trianglar (4 trianglar på var och en av tetraederns 4 ytor), så den erforderliga arean är lika med halva ytan av denna tetraeder och är lika med 60.

Andra sättet:

Eftersom ytarean på tetraedern är känd kan vi hitta dess kant, sedan bestämma längden på polyederens kant och sedan beräkna dess yta.

Pyramider är: triangulära, fyrkantiga, etc., beroende på vad basen är - en triangel, en fyrhörning, etc.
Pyramiden kallas korrekt ( fig. 286,b) om, för det första, dess bas är en vanlig polygon, och för det andra, höjden passerar genom mitten av denna polygon.
Annars kallas pyramiden oregelbunden ( Fig. 286, in). I en vanlig pyramid är alla sidokanter lika med varandra (som lutande med lika utsprång). Därför alla sidor rätt pyramidär lika likbenta trianglar.
Analys av elementen i en vanlig hexagonal pyramid och deras representation i en komplex ritning ( fig.287) .

a) Komplex ritning av en vanlig hexagonal pyramid. Pyramidens bas är belägen på planet P 1 ; två sidor av pyramidens bas är parallella med projektionsplanet П 2 .
b) Bas ABCDEF - en hexagon placerad i projektionsplanet П 1 .
c) Lateral yta ASF - en triangel placerad i ett plan i allmänt läge.
d) Sidoyta FSE - en triangel placerad i profilen - utskjutande plan.
e) Kanten SE är ett segment i allmän position.
f) Edge SA - frontalsegment.
g) Pyramidens övre S är en punkt i rymden.
På ( fig.288 och fig.289) exempel på sekventiella grafiska operationer ges när man utför en komplex ritning och visuella bilder (axonometri) av pyramider.

Given:
1. Basen är placerad på planet P 1.
2. En av sidorna på basen är parallell med x 12-axeln.
I. Integrerad ritning.
jag, a. Vi designar basen av pyramiden - en polygon, enligt detta tillstånd, som ligger i planet П 1 .
Vi designar en vertex - en punkt som ligger i rymden. Höjden på punkten S är lika med höjden på pyramiden. Den horisontella projektionen S 1 av punkten S kommer att vara i mitten av projektionen av pyramidens bas (efter villkor).
I, b. Vi designar pyramidens kanter - segment; för att göra detta kopplar vi de direkta projektionerna av baspunkten ABCDE med motsvarande projektioner av toppen av pyramiden S. Frontprojektionerna S 2 C 2 och S 2 D 2 av pyramidens kanter är avbildade med streckade linjer, som osynliga, stängda av pyramidens ytor (SBA och SAE).
jag, c. Den horisontella projektionen K 1 av punkten K på sidoytan SBA ges, det krävs för att hitta dess frontala projektion. För att göra detta drar vi en hjälplinje S 1 F 1 genom punkterna S 1 och K 1, hittar dess frontala projektion och på den, med hjälp av en vertikal kommunikationslinje, bestämmer vi platsen för den önskade frontalprojektionen K 2 av punkten K.
II. Utvecklingen av pyramidens yta är en platt figur som består av sidoytor - identiska likbenta trianglar, vars ena sida är lika med sidan av basen och de andra två - till sidokanterna och från en vanlig polygon - basen.
De naturliga dimensionerna på sidorna av basen avslöjas på dess horisontella projektion. De naturliga måtten på revbenen på utsprången avslöjades inte.
Hypotenus S 2 ¯A 2 ( fig. 288, 1 , b) av en rätvinklig triangel S 2 O 2 ¯A 2, där det stora benet är lika med höjden S 2 O 2 på pyramiden, och det lilla är lika med den horisontella projektionen av kanten S 1 A 1 är naturlig storlek på kanten av pyramiden. Svepet ska byggas i följande ordning:
a) från en godtycklig punkt S (vertex) ritar vi en båge med en radie R lika med pyramidens kant;
b) på den ritade bågen, avsätt fem ackord av storlek R 1 lika med sidan av basen;
c) koppla punkterna D, C, B, A, E, D i serie med varandra och med punkten S med räta linjer får vi fem likbenta lika trianglar, som utgör utvecklingen av den laterala ytan av denna pyramid, skär längs kanten SD ;
d) vi fäster pyramidens bas på valfritt ansikte - en femhörning, med hjälp av trianguleringsmetoden, till exempel, till ansiktet DSE.
Punkten K överförs till svepet med hjälp av en rät hjälplinje med storleken B 1 F 1 tagen på det horisontella utsprånget och storleken A 2 K 2 tagen på den faktiska storleken på ribban.
III. Visuell representation av pyramiden i isometri.
III, a. Vi avbildar pyramidens bas med hjälp av koordinaterna enligt ( fig. 288, 1 , a).
Vi avbildar toppen av pyramiden med hjälp av koordinaterna för ( fig. 288, 1 , a).
III, b. Vi avbildar pyramidens sidokanter och förbinder toppen med basens toppar. Kanten S"D" och sidorna av basen C"D" och D"E" visas med streckade linjer, som osynliga, stängda av pyramidens ytor C"S"B", B"S"A" och A"S"E".
III, e. Vi bestämmer punkten på ytan av pyramiden K, med hjälp av måtten y F och x K. För den dimetriska bilden av pyramiden bör samma sekvens följas.
Bild av en oregelbunden triangulär pyramid.

Given:
1. Basen är placerad på planet P 1.
2. Sidan BC på basen är vinkelrät mot X-axeln.
I. Integrerad ritning
jag, a. Vi designar basen av pyramiden - en likbent triangel som ligger i planet P 1, och toppen S - en punkt i rymden, vars höjd är lika med höjden på pyramiden.
I, b. Vi designar kanterna på pyramiden - segment, för vilka vi förbinder samma namngivna projektioner av basens hörn med samma namngivna projektioner av toppen av pyramiden med raka linjer. Vi skildrar den horisontella projektionen av sidan av flygplanets bas med en streckad linje, som en osynlig, stängd av två ytor av pyramiden ABS, ACS.
jag, c. På den främre projektionen A 2 C 2 S 2 av sidoytan ges utsprånget D 2 av punkten D. Det krävs för att hitta sin horisontella projektion. För att göra detta, genom punkt D 2 ritar vi en extra rät linje parallell med x 12-axeln - den horisontella frontprojektionen, sedan hittar vi dess horisontella projektion och på den, med hjälp av en vertikal kommunikationslinje, bestämmer vi platsen för den önskade horisontella projektionen D 1 av punkt D.
II. Konstruktion av ett pyramidsvep.
De naturliga dimensionerna på basens sidor avslöjas i den horisontella projektionen. Den naturliga storleken på revbenet AS avslöjas i frontalprojektionen; det finns ingen naturlig storlek på ribborna BS och CS i utsprången, storleken på dessa ribbor avslöjas genom att rotera dem runt i-axeln, vinkelrätt mot planet P 1 som går genom toppen av pyramiden S. Den nya frontprojektionen ¯C 2 S 2 är det naturliga värdet av kanten CS.
Sekvensen för att konstruera en utveckling av pyramidens yta:
a) rita en likbent triangel - ansikte CSB, vars bas är lika med sidan av basen av pyramiden CB, och sidor- naturlig storlek på revbenet SC;
b) vi lägger till två trianglar till sidorna SC och SB i den konstruerade triangeln - ytorna på pyramiden CSA och BSA, och till basen CB i den konstruerade triangeln - basen av CBA-pyramiden, som ett resultat får vi en komplett utvikningen av ytan av denna pyramid.
Överföringen av punkt D till framkallningen utförs i följande ordning: rita först en horisontell linje på ASC-sidans utveckling med hjälp av R 1-dimensionen och bestäm sedan platsen för punkten D på den horisontella linjen med hjälp av R 2 dimension.
III. En visuell representation av pyramiden och frontal dimetrisk projektion
III, a. Vi avbildar basen A "B" C och den övre S "av pyramiden, med hjälp av koordinaterna enligt (

Datum: 2015-01-19

Om du behöver steg-för-steg-instruktion hur man bygger ett pyramidsvep, då ber jag om vår lektion. Först och främst, utvärdera om din pyramid är utfälld på samma sätt som i figur 1.

Om du har den vriden i 90 grader, så kan kanten markerad i figuren som "kända verkliga värden" i ditt fall hittas på profilprojektionen, som du kommer att behöva bygga. I mitt fall är detta inte nödvändigt, vi har redan alla de kvantiteter som behövs för att bygga. Det är viktigt att inte glömma att på denna ritning visas endast kanterna SA och SD på frontprojektionen i full storlek. Alla andra projiceras med längdförvrängning. Dessutom, i toppvyn, projiceras alla sidor av hexagonen också i full storlek. Baserat på detta, låt oss börja.

1. För större skönhet, låt oss rita den första linjen horisontellt (Figur 1). Sedan kommer vi att rita en bred båge med en radie R=a, dvs. med en radie lika med längden på pyramidens sidokant. Vi får punkt A. Från den gör vi ett hack på bågen med en kompass, med en radie r \u003d b (längden på sidan av pyramidens bas). Låt oss ta punkt B. Vi har redan pyramidens första ansikte!

2. Från punkt B gör vi en annan skåra med samma radie - vi får punkt C och förbinder den med punkterna B och S får vi den andra sidoytan av pyramiden (Figur 2).

3. Upprepa dessa steg det antal gånger som krävs (allt beror på hur många ansikten din pyramid har) kommer vi att få en sådan fläkt (Figur 3). Med rätt konstruktion bör du få alla punkter i basen, och de extrema bör upprepas.

4. Detta krävs inte alltid, men det är ändå nödvändigt: lägg till basen av pyramiden till utvecklingen av sidoytan. Jag tror att alla som har läst hittills kan rita en sex-åtta-femhörning (hur man ritar en femhörning beskrivs i detalj i lektionen) Svårigheten ligger i att figuren måste ritas in rätt plats och i rätt vinkel. Rita en axel genom mitten av valfritt ansikte. Från skärningspunkten med baslinjen plottar vi avståndet m, som visas i figur 4.


Genom att dra en vinkelrät genom denna punkt får vi axlarna för den framtida hexagonen. Från den resulterande mitten ritar vi en cirkel, som du gjorde när du byggde en toppvy. Observera att cirkeln måste passera genom två punkter på sidoytan (i mitt fall är dessa F och A)

5. Figur 5 visar den sista ovikta vyn av det hexagonala prismat.


Detta slutför konstruktionen av pyramidsvepet. Bygg dina svep, lär dig att hitta lösningar, var frätande och ge aldrig upp. Tack för att du hälsade på. Glöm inte att rekommendera oss till dina vänner :) Allt gott!

eller skriv ner vårt telefonnummer och berätta för dina vänner om oss - någon letar förmodligen efter ett sätt att göra ritningar

eller skapa en anteckning om våra lektioner på din sida eller blogg - så kommer någon annan att kunna bemästra teckningen.