Formler för konvexa figurer i stereometri. Volymen av den trunkerade pyramiden är Volym och area av konens laterala och hela ytor

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som är nödvändiga för att lyckas med provet i matematik med 60-65 poäng. Helt alla uppgifter 1-13 i Profilen ANVÄNDNING i matematik. Även lämplig för att klara Basic USE i matematik. Om du vill klara provet med 90-100 poäng behöver du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs inför tentamen för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av provet i matematik (de första 12 uppgifterna) och uppgift 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Examination, och varken en hundrapoängsstudent eller en humanist kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba lösningar, fällor och provets hemligheter. Alla relevanta uppgifter i del 1 från Bank of FIPI-uppgifter har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven i USE-2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals examensuppgifter. Textproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg problemlösningsalgoritmer. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av USE-uppgifter. Stereometri. Listiga trick för att lösa, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från grunden - till uppgift 13. Förstå istället för att proppa. Visuell förklaring av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. Bas för att lösa komplexa problem i den andra delen av tentamen.

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 1. Om parallella linjer)))\)
\(\bullet\) Två linjer i rymden är parallella om de ligger i samma plan och inte skär varandra.
\(\bullet\) Det finns bara ett plan som går genom två parallella linjer.
\(\bullet\) Om en av två parallella linjer skär ett plan, så skär den andra linjen också detta plan.
\(\bullet\) Om linjen \(a\) är parallell med linjen \(b\) , som i sin tur är parallell med linjen \(c\) , så är \(a\parallell c\) .
\(\bullet\) Låt planet \(\alpha\) och \(\beta\) skära längs linjen \(a\) , planen \(\beta\) och \(\pi\) skära längs linje \(b \) , planen \(\pi\) och \(\alpha\) skär längs linjen \(p\) . Sedan om \(a\parallel b\) , sedan \(p\parallel a\) (eller \(p\parallel b\) ):

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 2. Om parallelliteten mellan en linje och ett plan)))\)
\(\bullet\) Det finns tre typer av inbördes arrangemang av en linje och ett plan:
1. linjen har två gemensamma punkter med planet (det vill säga den ligger i planet);
2. linjen har exakt en gemensam punkt med planet (det vill säga den skär planet);
3. linjen har inga gemensamma punkter med planet (det vill säga den är parallell med planet).
\(\bullet\) Om en linje \(a\) som inte ligger i planet \(\pi\) är parallell med någon linje \(p\) som ligger i planet \(\pi\) så är den parallell till det givna planet.

\(\bullet\) Låt linjen \(p\) vara parallell med planet \(\mu\) . Om planet \(\pi\) passerar genom linjen \(p\) och skär planet \(\mu\) , då skärningslinjen för planen \(\pi\) och \(\mu\) är linjen \(m\) - parallell med linjen \(p\) .

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 3. Om parallella plan)))\)
\(\bullet\) Om två plan inte har några gemensamma punkter, kallas de parallella plan.
\(\bullet\) Om två skärande linjer från ett plan är parallella med två skärande linjer från ett annat plan, kommer dessa plan att vara parallella.

\(\bullet\) Om två parallella plan \(\alpha\) och \(\beta\) skärs av ett tredje plan \(\gamma\) så är planens skärningslinjer också parallella: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Segment av parallella linjer inneslutna mellan parallella plan är lika med: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 4. Om skärande linjer)))\)
\(\bullet\) Två raka linjer i rymden kallas skärande om de inte ligger i samma plan.
\(\bullet\) Tecken:
Låt linjen \(l\) ligga i planet \(\lambda\) . Om linjen \(s\) skär planet \(\lambda\) i en punkt \(S\) som inte ligger på linjen \(l\) , då linjerna \(l\) och \(s\) korsas.

\(\kula\) Algoritm för att hitta vinkeln mellan sneda linjer \(a\) och \(b\):

Steg 2. I planet \(\pi\) hitta vinkeln mellan linjerna \(a\) och \(p\) (\(p\parallell b\) ). Vinkeln mellan dem kommer att vara lika med vinkeln mellan de sneda linjerna \(a\) och \(b\) .

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 5. Om en linjes och ett plans vinkelräthet)))\)
\(\bullet\) En linje sägs vara vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje i det planet.
\(\bullet\) Om två linjer är vinkelräta mot ett plan, så är de parallella.
\(\bullet\) Tecken: om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett givet plan, så är den vinkelrät mot detta plan.

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 6. Om avstånd)))\)
\(\bullet\) För att hitta avståndet mellan parallella linjer måste du släppa en vinkelrät från valfri punkt på en linje till en annan linje. Längden på vinkelrät är avståndet mellan dessa linjer.
\(\bullet\) För att hitta avståndet mellan ett plan och en linje parallell med det, måste du släppa en vinkelrät mot detta plan från vilken punkt som helst på linjen. Längden på vinkelrät är avståndet mellan denna linje och planet.
\(\bullet\) För att hitta avståndet mellan parallella plan måste du sänka vinkelrät mot det andra planet från valfri punkt i ett plan. Längden på denna vinkelrät är avståndet mellan de parallella planen.
\(\kula\) Algoritm för att hitta avståndet mellan sneda linjer \(a\) och \(b\):
Steg 1. Dra genom en av de två skärande linjerna \(a\) ett plan \(\pi\) parallellt med den andra linjen \(b\) . Hur man gör: rita planet \(\beta\) genom linjen \(b\) så att det skär linjen \(a\) i punkten \(P\) ; dra en linje genom punkten \(P\) \(p\parallell b\) ; då är planet som går genom \(a\) och \(p\) planet \(\pi\) .
Steg 2. Hitta avståndet från valfri punkt på linjen \(b\) till planet \(\pi\) . Detta avstånd är avståndet mellan de sneda linjerna \(a\) och \(b\) .

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 7. Om tre vinkelräta satsen (TTP))))\)
\(\bullet\) Låt \(AH\) vara vinkelrät mot planet \(\beta\) . Låt \(AB, BH\) vara en sned och dess projektion på planet \(\beta\) . Då kommer linjen \(x\) i planet \(\beta\) att vara vinkelrät mot snedden om och endast om den är vinkelrät mot projektionen: \[\begin(justerad) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(aligned)\]

Observera att linjen \(x\) inte behöver passera genom punkten \(B\) . Om den inte går genom punkten \(B\) så konstrueras en linje \(x"\) som går genom punkten \(B\) och parallell med \(x\) . Om till exempel \( x"\perp BH\ ), då är \(x\perp BH\) det också.

\((\color(red)(\textbf(Fakta 8. Om vinkeln mellan en linje och ett plan, samt vinkeln mellan plan)))\)
\(\bullet\) Vinkeln mellan en sned linje och ett plan är vinkeln mellan denna linje och dess projektion på det givna planet. Således tar denna vinkel värden från intervallet \((0^\circ;90^\circ)\) .
Om linjen ligger i ett plan, anses vinkeln mellan dem vara lika med \(0^\cirkel\) . Om linjen är vinkelrät mot planet är vinkeln mellan dem, baserat på definitionen, \(90^\cirkel\) .
\(\bullet\) För att hitta vinkeln mellan en sned linje och ett plan är det nödvändigt att markera någon punkt \(A\) på denna linje och rita en vinkelrät \(AH\) mot planet. Om \(B\) är skärningspunkten för linjen med planet, så är \(\angle ABH\) den önskade vinkeln.

\(\bullet\) För att hitta vinkeln mellan planen \(\alpha\) och \(\beta\) , kan du använda följande algoritm:
Markera en godtycklig punkt \(A\) i planet \(\alpha\) .
Rita \(AH\perp h\) , där \(h\) är planens skärningslinje.
Rita \(AB\) vinkelrätt mot planet \(\beta\) .
Då är \(AB\) en vinkelrät mot planet \(\beta\) , \(AH\) är snett, därför är \(HB\) en projektion. Sedan genom TTP \(HB\perp h\) .
Därför är \(\vinkel AHB\) den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln mellan planen. Gradmåttet för denna vinkel är gradmåttet på vinkeln mellan planen.

Observera att vi fick en rätvinklig triangel \(\triangel AHB\) (\(\vinkel B=90^\cirkel\) ). Som regel är det bekvämt att hitta \(\angle AHB\) från den.

\((\färg(röd)(\textbf(Fakta 9. Om planens vinkelräthet)))\)
\(\bullet\) Tecken: om ett plan passerar genom en linje vinkelrät mot ett annat plan, så är det vinkelrätt mot detta plan. \

\(\bullet\) Observera att eftersom ett oändligt antal plan kan dras genom linjen \(a\), finns det ett oändligt antal plan vinkelräta mot \(\beta\) (och som går genom \(a\) ).

För att adekvat lösa examen i matematik är det först och främst nödvändigt att studera det teoretiska materialet, som introducerar många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Examination i matematik presenteras enkelt och förståeligt för elever med alla utbildningsnivåer är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid hållas till hands. Och att hitta de grundläggande formlerna för provet i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att läsa teori i matematik, inte bara för de som tar provet?

1. För det vidgar dina vyer. Studiet av teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskapen om världen. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
2. För att det utvecklar intellektet. Att studera referensmaterial för provet i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar korrekt och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera, dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelarna med vår strategi för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

Några definitioner:

1. Polyederär en geometrisk kropp som begränsas av ett ändligt antal platta polygoner, av vilka två som helst, som har en gemensam sida, inte ligger i samma plan. I det här fallet kallas polygonerna själva för ytor, deras sidor är kanterna på polyhedronen och deras hörn är polyederns hörn.
2. Figuren som bildas av alla ytor på en polyeder kallas dess yta ( full yta), och summan av areorna av alla dess ytor är (full) yta.
3. är en polyeder med sex ytor som är lika kvadratiska. Sidorna på kvadraterna kallas kubens kanter, och hörnen kallas kubens hörn.
4. är en polyeder som har sex ytor och var och en av dem är ett parallellogram. Sidorna på parallellogrammen kallas parallellepipedens kanter, och deras hörn kallas parallellepipedens hörn. De två sidorna av en parallellepiped kallas motsatt, om de inte har en gemensam kant, och de som har en gemensam kant kallas relaterad. Ibland väljs och anropas valfria två motsatta ytor av parallellepipeden grunder, sedan resten av ansiktena sidoytor, och deras sidor, som förbinder hörnen på parallellepipedens baser, är dess sido revben.
5. Höger parallellepiped- detta är en parallellepiped vars sidoytor är rektanglar. är en parallellepiped vars ytor alla är rektanglar. Observera att varje kuboid är en kuboid, men inte varje kuboid är en kuboid.
6. motsatt. Ett linjesegment som förbinder motsatta hörn av en parallellepiped kallas diagonal parallellepiped. En parallellepiped har bara fyra diagonaler.
7. Prisma ( n-kol)är en polyeder vars två ytor är lika n-gons och resten n ansikten är parallellogram. Likvärdig n-gons kallas grunder och parallellogrammen sidoytorna på prismat- det här är ett sådant prisma, där sidoytorna är rektanglar. korrekt n- kolprisma- detta är ett prisma, där alla sidoytor är rektanglar och dess baser är regelbundna n-gons.
8. Summan av ytorna på prismats sidoytor kallas dess laterala yta(betecknas S sida). Summan av areorna av alla ytor av prismat kallas prismats yta(betecknas S full).
9. Pyramid ( n-kol)- det här är en polyeder, som har ett ansikte - några n-gon och resten n ansikten - trianglar med en gemensam vertex; n-gon kallas grund; trianglar som har en gemensam vertex kallas sidoytor, och deras gemensamma vertex kallas toppen av pyramiden. Sidorna på en pyramids ytor kallas dess revben, och kanter som möts vid en vertex kallas lateral.
10. Summan av ytorna på pyramidens sidoytor kallas pyramidens sidoyta(betecknas S sida). Summan av ytorna av alla ytor i pyramiden kallas pyramidytan(yta anges S full).
11. korrektn- kolpyramid- det här är en sådan pyramid, vars bas är den korrekta n-gon, och alla sidokanter är lika med varandra. Sidoytorna på en vanlig pyramid är likbenta trianglar lika med varandra.
12. Den triangulära pyramiden kallas tetraeder om alla dess ytor är kongruenta regelbundna trianglar. Tetraedern är ett specialfall av en vanlig triangulär pyramid (dvs inte varje vanlig triangulär pyramid kommer att vara en tetraeder).

Stereometrins axiom:

1. Genom tre punkter som inte ligger på samma linje finns det bara ett plan.
2. Om två punkter på en linje ligger i ett plan, så ligger alla punkter på linjen i det planet.
3. Om två plan har en gemensam punkt, så har de en gemensam linje på vilken alla gemensamma punkter i dessa plan ligger.

Konsekvenser från stereometrins axiom:

• Sats 1. Det finns bara ett plan genom en linje och en punkt inte på den.
• Sats 2. Det finns bara ett plan genom två korsande linjer.
• Sats 3. Det finns bara ett plan genom två parallella linjer.

Konstruktion av sektioner i stereometri

För att lösa problem inom stereometri är det akut nödvändigt att kunna bygga sektioner av polyedrar (till exempel en pyramid, en parallellepiped, en kub, ett prisma) i en ritning av ett visst plan. Låt oss ge några definitioner som förklarar vad ett avsnitt är:

• skärplan En pyramid (prisma, parallellepiped, kub) är ett sådant plan, på vars båda sidor det finns punkter av denna pyramid (prisma, parallellepiped, kub).
• tvärsnitt av en pyramid(prisma, parallellepiped, kub) är en figur som består av alla punkter som är gemensamma för pyramiden (prisma, parallellepiped, kub) och skärplanet.
• Skärplanet skär pyramidens ytor (parallellepipedum, prisma, kub) längs segment, därför sektionär en polygon som ligger i sekantplanet, vars sidor är de angivna segmenten.

För att konstruera en sektion av en pyramid (prisma, parallellepiped, kub) är det möjligt och nödvändigt att konstruera skärningspunkterna för sekantplanet med pyramidens kanter (prisma, parallellepiped, kub) och koppla ihop varannan av dem som ligger i ett ansikte. Observera att sekvensen för att konstruera topparna och sidorna av sektionen inte är väsentlig. Konstruktionen av sektioner av polyedrar är baserad på två uppgifter för konstruktion:

1. Skärningslinjer mellan två plan.

Att konstruera en linje längs vilken två plan skär varandra α och β (till exempel sekantplanet och planet för polyederns yta), måste du bygga deras två gemensamma punkter, då är linjen som går genom dessa punkter skärningslinjen mellan planen α och β .

1. Skärningspunkter mellan en linje och ett plan.

Att konstruera en skärningspunkt för en linje l och flygplan α rita linjens skärningspunkt l och direkt l 1, längs vilken planet skär α och varje plan som innehåller en linje l.

Inbördes arrangemang av raka linjer och plan i stereometri

Definition: I samband med att lösa problem i stereometri kallas två räta linjer i rymden parallell om de ligger i samma plan och inte skär varandra. Om rakt a och b, eller AB och CDär parallella skriver vi:

Flera teorem:

• Sats 1. Genom någon punkt i rymden som inte ligger på en given linje, finns det bara en linje parallell med den givna linjen.
• Sats 2. Om en av två parallella linjer skär ett givet plan, så skär den andra linjen detta plan.
• Sats 3(tecken på parallella linjer). Om två linjer är parallella med en tredje linje, så är de parallella med varandra.
• Sats 4(i skärningspunkten mellan diagonalerna i en parallellepiped). Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och halverar den punkten.

Det finns tre fall av ömsesidigt arrangemang av en rak linje och ett plan i stereometri:

• Linjen ligger i planet (varje punkt på linjen ligger i planet).
• Linjen och planet skär varandra (har en gemensam punkt).
• En linje och ett plan har inte en enda gemensam punkt.

Definition: Linje och plan kallas parallell om de inte har gemensamma punkter. Om rakt a parallellt med planet β , då skriver de:

Satser:

• Sats 1(ett tecken på parallellitet mellan en rak linje och ett plan). Om en linje som inte ligger i ett givet plan är parallell med någon linje som ligger i detta plan, så är den parallell med det givna planet.
• Sats 2. Om planet (i figuren - α ) passerar genom en rät linje (i figuren - med), parallellt med ett annat plan (i figuren - β ), och skär detta plan, sedan skärningslinjen för planen (i figuren - d) är parallell med den givna linjen:

Om två distinkta linjer ligger i samma plan, så skär de varandra eller är parallella. Men i rymden (dvs i stereometri) är ett tredje fall också möjligt, när det inte finns något plan där två linjer ligger (i detta fall varken skär eller är parallella).

Definition: De två raderna kallas korsning, om det inte finns något plan där de båda ligger.

Satser:

• Sats 1(ett tecken på korsande linjer). Om en av de två linjerna ligger i ett visst plan, och den andra linjen skär detta plan i en punkt som inte hör till den första linjen, så är dessa linjer skeva.
• Sats 2. Genom var och en av de två skärande linjerna finns ett enda plan parallellt med den andra linjen.

Nu introducerar vi konceptet med vinkeln mellan sneda linjer. Låt vara a och b O i rymden och rita raka linjer genom den. a 1 och b 1 parallell med raka linjer a och b respektive. Vinkel mellan sneda linjer a och b kallas vinkeln mellan de konstruerade skärande linjerna a 1 och b 1 .

Men i praktiken poängen O oftare väljer så att det tillhör någon av de raka linjerna. Detta är vanligtvis inte bara elementärt bekvämare, utan också mer rationellt och korrekt när det gäller att konstruera en ritning och lösa ett problem. Därför, för vinkeln mellan sneda linjer, ger vi följande definition:

Definition: Låt vara a och bär två skärande linjer. Ta en godtycklig poäng O på en av dem (i vårt fall på en rak linje b) och dra en linje genom den parallellt med en annan av dem (i vårt fall a 1 parallell a). Vinkel mellan sneda linjer a och bär vinkeln mellan den konstruerade linjen och linjen som innehåller punkten O(i vårt fall är detta vinkeln β mellan raka linjer a 1 och b).

Definition: De två raderna kallas ömsesidigt vinkelrät(vinkelrätt) om vinkeln mellan dem är 90°. Korsande linjer kan vara vinkelräta, såväl som linjer som ligger och skär i samma plan. Om rakt a vinkelrätt mot linjen b, då skriver de:

Definition: De två planen kallas parallell, om de inte skär varandra, d.v.s. inte har gemensamma punkter. Om två plan α och β parallellt, skriv sedan som vanligt:

Satser:

• Sats 1(tecken på parallella plan). Om två skärande linjer i ett plan är parallella med två linjer i ett annat plan, så är dessa plan parallella.
• Sats 2(på egenskapen av motsatta ytor av en parallellepiped). Motsatta ytor av en parallellepiped ligger i parallella plan.
• Sats 3(på skärningslinjerna mellan två parallella plan med ett tredje plan). Om två parallella plan skärs av ett tredje, så är deras skärningslinjer parallella med varandra.
• Sats 4. Segment av parallella linjer placerade mellan parallella plan är lika.
• Sats 5(om förekomsten av ett unikt plan parallellt med ett givet plan och som passerar genom en punkt utanför det). Genom en punkt som inte ligger i ett givet plan finns det bara ett plan parallellt med det givna.

Definition: En linje som skär ett plan sägs vara vinkelrät mot planet om den är vinkelrät mot varje linje i det planet. Om rakt a vinkelrätt mot planet β , skriv sedan som vanligt:

Satser:

• Sats 1. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot en tredje linje, är den andra linjen också vinkelrät mot denna linje.
• Sats 2. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot ett plan, är den andra linjen också vinkelrät mot det planet.
• Sats 3(om parallelliteten hos linjer vinkelräta mot planet). Om två linjer är vinkelräta mot samma plan så är de parallella.
• Sats 4(ett tecken på vinkelräthet av en rak linje och ett plan). Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot det planet.
• Sats 5(om ett plan som går genom en given punkt och vinkelrätt mot en given linje). Genom vilken punkt som helst i rymden finns bara ett plan vinkelrätt mot den givna linjen.
• Sats 6(om en rät linje som går genom en given punkt och vinkelrät mot ett givet plan). Genom vilken punkt som helst i rymden finns det bara en linje vinkelrät mot det givna planet.
• Sats 7(på egenskapen av diagonalen för en rektangulär parallellepiped). Kvadraten på längden på diagonalen på en rektangulär parallellepiped är lika med summan av kvadraterna på längderna på dess tre kanter som har en gemensam vertex:

Följd: Alla fyra diagonalerna i en rektangulär parallellepiped är lika med varandra.

Tre vinkelräta teorem

Låt poängen MEN ligger inte platt α . Låt oss gå igenom punkten MEN rät linje vinkelrät mot planet α , och beteckna med bokstaven O skärningspunkten för denna linje med planet α . En vinkelrät ritad från en punkt MEN till planet α , kallas ett segment JSC, prick O kallas vinkelräts bas. Om en JSC- vinkelrätt mot planet α , a Mär en godtycklig punkt i detta plan, skild från punkten O, sedan segmentet AM kallas en lutning ritad från en punkt MEN till planet α , och poängen M- lutande bas. Linjesegmentet OM- ortogonal projektion (eller kort sagt projektion) sned AM till planet α . Nu presenterar vi ett teorem som spelar en viktig roll för att lösa många problem.

Sats 1 (cirka tre vinkelräta): En rät linje ritad i ett plan och vinkelrät mot projektionen av ett lutande plan på detta plan är också vinkelrät mot själva lutande planet. Det omvända är också sant:

Sats 2 (cirka tre vinkelräta): En rät linje ritad i ett plan och vinkelrät mot en lutande är också vinkelrät mot dess projektion på detta plan. Dessa satser, för notationen från ritningen ovan, kan kort formuleras enligt följande:

Sats: Om från en punkt, taget utanför planet, en vinkelrät och två sneda linjer dras till detta plan, då:

• två sneda, med lika utsprång, är lika;
• av de två lutande är den vars projektion är större större.

Definitioner av avstånd av objekt i rymden:

• Avståndet från en punkt till ett plan är längden på vinkelrät ritat från den punkten till det planet.
• Avståndet mellan parallella plan är avståndet från en godtycklig punkt i ett av de parallella planen till ett annat plan.
• Avståndet mellan en linje och ett plan parallellt med den är avståndet från en godtycklig punkt på linjen till planet.
• Avståndet mellan sneda linjer är avståndet från en av snedlinjerna till ett plan som går genom den andra linjen och parallellt med den första linjen.

Definition: I stereometri, ortogonal projektion av en rät linje a till planet α kallas projektionen av denna linje på ett plan α om den räta linjen som definierar designriktningen är vinkelrät mot planet α .

Kommentar: Som du kan se från den tidigare definitionen finns det många projektioner. Andra (förutom ortogonala) projektioner av en rät linje på ett plan kan konstrueras om den räta linjen som bestämmer projektionsriktningen inte är vinkelrät mot planet. Det är dock den ortogonala projektionen av en rät linje på ett plan som vi kommer att stöta på vid problem i framtiden. Och vi kommer att kalla den ortogonala projektionen helt enkelt en projektion (som i ritningen).

Definition: Vinkeln mellan en rät linje som inte är vinkelrät mot ett plan och detta plan är vinkeln mellan en rät linje och dess ortogonala projektion på ett givet plan (vinkeln AOA’ på ritningen ovan).

Sats: Vinkeln mellan en linje och ett plan är den minsta av alla vinklar som en given linje bildar med linjer som ligger i ett givet plan och går genom skärningspunkten mellan linjen och planet.

Definitioner:

• dihedral vinkel En figur kallas en figur som bildas av två halvplan med en gemensam gränslinje och en del av det utrymme för vilket dessa halvplan tjänar som gräns.
• Linjär dihedral vinkel En vinkel kallas, vars sidor är strålar med ett gemensamt ursprung på kanten av den dihedriska vinkeln, som är ritade i dess ytor vinkelrätt mot kanten.

Således är den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel vinkeln som bildas av skärningen av den dihedriska vinkeln med ett plan vinkelrätt mot dess kant. Alla linjära vinklar i en dihedrisk vinkel är lika med varandra. Gradmåttet för en dihedrisk vinkel är gradmåttet på dess linjära vinkel.

En dihedrisk vinkel kallas rät (spets, trubbig) om dess gradmått är 90° (mindre än 90°, mer än 90°). I framtiden, när vi löser problem i stereometri, med en dihedrisk vinkel kommer vi alltid att förstå den linjära vinkeln, vars gradmått uppfyller villkoret:

Definitioner:

• En dihedrisk vinkel vid en kant av en polyeder är en dihedrisk vinkel vars kant innehåller polyederns kant, och ytorna på den dihedriska vinkeln innehåller polyederns ytor som skär utmed polyederns givna kant.
• Vinkeln mellan skärande plan är vinkeln mellan räta linjer ritade i dessa plan vinkelrät mot deras skärningslinje genom några av dess punkter.
• Två plan sägs vara vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90°.

Satser:

• Sats 1(ett tecken på vinkelräta plan). Om ett av de två planen går genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är dessa plan vinkelräta.
• Sats 2. En linje som ligger i ett av två vinkelräta plan och vinkelrät mot linjen där de skär är vinkelrät mot det andra planet.

Symmetri av figurer

Definitioner:

1. poäng M och M 1 kallas symmetrisk om en punkt O , om Oär segmentets mittpunkt MM 1 .
2. poäng M och M 1 kallas symmetrisk om en rät linje l om det är rakt l MM 1 och vinkelrätt mot den.
3. poäng M och M 1 kallas symmetrisk om planet α om planet α passerar genom mitten av segmentet MM 1 och är vinkelrät mot detta segment.
4. Punkt O(hetero l, plan α ) kallas symmetricentrum (axel, plan). figur, om varje punkt i figuren är symmetrisk kring en punkt O(hetero l, plan α ) till någon punkt av samma figur.
5. En konvex polyeder kallas rätt, om alla dess ytor är regelbundna polygoner lika med varandra och samma antal kanter konvergerar vid varje vertex.

Prisma

Definitioner:

1. Prisma- en polyeder, vars två ytor är lika polygoner som ligger i parallella plan, och de återstående ytorna är parallellogram som har gemensamma sidor med dessa polygoner.
2. Grunder - dessa är två ytor som är lika polygoner som ligger i parallella plan. På ritningen står det: ABCDE och KLMNP.
3. Sidoytor- alla ansikten utom baser. Varje sidoyta är nödvändigtvis ett parallellogram. På ritningen står det: ABLK, BCML, CDNM, DEPN och EAKP.
4. Sidoyta- förening av sidoytor.
5. Hel yta- föreningen av baserna och sidoytan.
6. Sidor revbenär de gemensamma sidorna av sidoytorna. På ritningen står det: AK, BL, CENTIMETER, DN och EP.
7. Höjd- ett segment som förbinder prismats baser och vinkelrätt mot dem. På ritningen kan t.ex. KR.
8. Diagonal- ett segment som förbinder två hörn av ett prisma som inte hör till samma yta. På ritningen kan t.ex. BP.
9. Diagonalplanär planet som passerar genom prismats sidokant och basens diagonal. Annan definition: diagonalplan- ett plan som går genom två sidokanter av prismat som inte hör till samma yta.
10. Diagonal sektion- skärningspunkten mellan prismat och diagonalplanet. Ett parallellogram bildas i sektionen, inklusive, ibland, dess speciella fall - en romb, en rektangel, en kvadrat. På ritningen kan t.ex. EBLP.
11. Vinkelrät (ortogonal) sektion- skärningspunkten mellan prismat och planet vinkelrätt mot dess sidokant.

Egenskaper och formler för ett prisma:

• Prismats baser är lika många polygoner.
• Prismats sidoytor är parallellogram.
• Prismats sidokanter är parallella och lika.
• Prisma volym lika med produkten av dess höjd och arean av basen:

var: S bas - området för basen (på ritningen, till exempel, ABCDE), h- höjd (på ritningen är det MN).

• Prismats totala ytaär lika med summan av arean av dess sidoyta och två gånger arean av basen:

• Den vinkelräta sektionen är vinkelrät mot prismats alla sidokanter (på ritningen nedan är den vinkelräta sektionen A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Vinklarna för en vinkelrät sektion är de linjära vinklarna för de dihedriska vinklarna vid motsvarande sidokanter.
• En vinkelrät (ortogonal) sektion är vinkelrät mot alla sidoytor.
• Volym av ett lutande prismaär lika med produkten av arean av den vinkelräta sektionen och längden på sidoribban:

var: S sek - arean av den vinkelräta sektionen, l- längden på sidoribban (på ritningen nedan, till exempel, AA 1 eller BB 1 och så vidare).

• Sidoyta av ett godtyckligt prisma är lika med produkten av omkretsen av den vinkelräta sektionen och längden på sidokanten:

var: P sek - omkretsen av en vinkelrät sektion, lär längden på sidokanten.

Typer av prismor i stereometri:

• Om sidokanterna inte är vinkelräta mot basen, kallas ett sådant prisma sned(bilden ovan). Baserna för ett sådant prisma, som vanligt, är belägna i parallella plan, sidokanterna är inte vinkelräta mot dessa plan, utan parallella med varandra. Sidoytorna är parallellogram.
• - ett prisma där alla sidokanter är vinkelräta mot basen. I ett höger prisma är sidokanterna höjderna. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar. Och basens yta och omkrets är lika med arean och omkretsen av den vinkelräta sektionen (för ett rakt prisma, generellt sett, är hela vinkelräta sektionen samma siffra som basen). Därför är arean på sidoytan på ett rakt prisma lika med produkten av basens omkrets och längden på sidokanten (eller, i det här fallet, prismats höjd):

var: P bas - omkretsen av basen av ett rakt prisma, l- längden på sidokanten, lika med höjden i ett rakt prisma ( h). Volymen av ett rakt prisma hittas av den allmänna formeln: V = S huvud ∙ h = S huvud ∙ l.

• Rätt prisma- ett prisma vid vars bas ligger en regelbunden polygon (det vill säga en där alla sidor och alla vinklar är lika med varandra), och sidokanterna är vinkelräta mot basens plan. Exempel på korrekta prismor:

Egenskaper för rätt prisma:

1. Baserna för ett vanligt prisma är regelbundna polygoner.
2. Sidoytorna på ett vanligt prisma är lika stora rektanglar.
3. Sidokanterna på ett vanligt prisma är lika med varandra.
4. Rätt prisma är rakt.

Definition: Parallelpiped - Det är ett prisma vars baser är parallellogram. I denna definition är nyckelordet "prisma". Således är en parallellepiped ett specialfall av ett prisma, som skiljer sig från det allmänna fallet endast genom att dess bas inte är en godtycklig polygon, utan ett parallellogram. Därför förblir alla ovanstående egenskaper, formler och definitioner gällande prismat relevanta för parallellepipeden. Det finns dock flera ytterligare egenskaper som är karakteristiska för parallellepipeden.

Andra egenskaper och definitioner:

• Två ytor av en parallellepiped som inte har en gemensam kant kallas motsatt, och har en gemensam fördel - relaterad.
• Två hörn av en parallellepiped som inte hör till samma ansikte kallas motsatt.
• Ett linjesegment som förbinder motsatta hörn kallas diagonal parallellepiped.
• Parallepipeden har sex ytor och alla är parallellogram.
• De motsatta ytorna av parallellepipeden är lika och parallella i par.
• Parallepipeden har fyra diagonaler; de skär alla vid en punkt, och var och en av dem delas av den punkten.
• Om de fyra sidoytorna på en parallellepiped är rektanglar (och baserna är godtyckliga parallellogram), så kallas det direkt(i det här fallet, som med ett rakt prisma, är alla sidokanter vinkelräta mot baserna). Alla egenskaper och formler för ett rakt prisma är relevanta för en höger parallellepiped.
• Parallepipeden kallas sned om inte alla dess sidoytor är rektanglar.
• Volym av en rak eller sned låda beräknas med den allmänna formeln för volymen av ett prisma, dvs. är lika med produkten av arean av parallellepipedens bas och dess höjd ( V = S huvud ∙ h).
• En rätt parallellepiped, där alla sex ytorna är rektanglar (dvs. förutom sidoytorna är baserna också rektanglar), kallas rektangulär. För en kuboid är alla egenskaper hos en kuboid relevanta, liksom:
  • d och hans revben a, b, c relaterat till förhållandet:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Från den allmänna formeln för volymen av ett prisma kan följande formel erhållas för volymen av en kuboid:

• En rektangulär parallellepiped vars alla ytor är lika kvadratiska kallas kub. Kuben är bland annat ett vanligt fyrkantigt prisma, och i allmänhet en vanlig polyeder. För en kub är alla egenskaperna hos en rektangulär parallellepiped och egenskaperna hos vanliga prismor giltiga, såväl som:
  • Absolut alla kanter på en kub är lika med varandra.
  • kub diagonal d och längden på dess kant a relaterat till förhållandet:

• Från formeln för volymen av en rektangulär parallellepiped kan man få följande formel för kubvolym:

Pyramid

Definitioner:

• Pyramidär en polyeder vars bas är en polygon och de återstående ytorna är trianglar med en gemensam vertex. Enligt antalet hörn av basen är pyramiderna triangulära, fyrkantiga och så vidare. Figuren visar exempel: fyrkantiga och hexagonala pyramider.

• Basär en polygon som pyramidens spets inte tillhör. På ritningen är basen BCDE.
• Andra ansikten än basen kallas lateral. På ritningen står det: ABC, ACD, ADE och AEB.
• Den gemensamma vertexen av sidoytorna kallas toppen av pyramiden(precis toppen av hela pyramiden, och inte bara en topp, som alla andra toppar). På ritningen det A.
• Kanterna som förbinder toppen av pyramiden med toppen av basen kallas lateral. På ritningen står det: AB, AC, AD och AE.
• Betecknar pyramiden, först kallar de dess topp, och sedan - toppen av basen. För en pyramid från en ritning kommer beteckningen att vara följande: ABCDE.

• Höjdpyramider kallas vinkelrät från toppen av pyramiden till dess bas. Längden på denna vinkelrät betecknas med bokstaven H. På ritningen är höjden AG. Notera: endast om pyramiden är en vanlig fyrkantig pyramid (som på ritningen), faller höjden på pyramiden på basens diagonal. I andra fall är så inte fallet. I det allmänna fallet, för en godtycklig pyramid, kan skärningspunkten för höjden och basen vara var som helst.
• Apotem - sidokantshöjd korrekt pyramid ritad från dess topp. På ritningen kan t.ex. AF.
• Diagonal sektion av en pyramid- sektion av pyramiden, som går genom toppen av pyramiden och diagonalen på basen. På ritningen är t.ex. ESS.

Ytterligare en stereometrisk ritning med symboler för bättre memorering(i figuren, den korrekta triangulära pyramiden):

Om alla sidokanter ( SA, SB, SC, SD på ritningen nedan) är pyramiderna lika, då:

• En cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum (punkt O). Med andra ord, höjd (linje SÅ), sänkt från toppen av en sådan pyramid till basen ( ABCD), faller in i mitten av den omskrivna cirkeln runt basen, d.v.s. vid skärningspunkten för basens vinkelräta mittpunkter.
• Sidoribborna bildar lika stora vinklar med basplanet (på ritningen nedan är dessa vinklar SAO, SBO, SCO, SDO).

Viktig: Motsatsen är också sant, det vill säga om sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum, då alla sidokanterna på pyramiden är lika.

Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel (hörnen DMN, DKN, DLN på ritningen nedan är lika), då:

• En cirkel kan inskrivas vid basen av pyramiden, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt (punkt N). Med andra ord, höjd (linje DN), sänkt från toppen av en sådan pyramid till basen, faller in i mitten av cirkeln inskriven i basen, d.v.s. till skärningspunkten för basens bisektrar.
• Höjden på sidoytorna (apotemerna) är lika. På ritningen nedan DK, DL, DM- lika apotemer.
• Den laterala ytan av en sådan pyramid lika med hälften av produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan (apotem).

var: P- basens omkrets, a- apotemlängd.

Viktig: Motsatsen är också sant, det vill säga om en cirkel kan skrivas in i pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum, så lutar alla sidoytor mot basplanet i samma vinkel och höjderna på sidoytorna (apotem) är lika.

Rätt pyramid

Definition: Pyramiden kallas korrekt, om dess bas är en vanlig polygon, och vertexet projiceras in i basens mitt. Då har den följande egenskaper:

• Alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika.
• Alla sidoytor på en vanlig pyramid lutar mot basens plan i en vinkel.

Viktig notering: Som du kan se är vanliga pyramider en av de pyramider som inkluderar egenskaperna som beskrivs precis ovan. Faktum är att om basen av en vanlig pyramid är en vanlig polygon, så sammanfaller mitten av dess inskrivna och omskrivna cirklar, och toppen av en vanlig pyramid projiceras exakt in i detta centrum (per definition). Det är dock viktigt att förstå det inte bara korrekt pyramider kan ha ovan nämnda egenskaper.

• I en vanlig pyramid är alla sidoytor lika likbenta trianglar.
• I vilken vanlig pyramid som helst kan du både skriva in en sfär och beskriva en sfär runt den.
• Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem.

Formler för volym och area av en pyramid

Sats(på volymen av pyramider som har lika höjder och lika stora ytor av baser). Två pyramider som har lika höga höjder och lika stora basareor har lika stora volymer (naturligtvis känner du förmodligen redan till formeln för volymen av en pyramid, ja, eller så ser du den några rader nedan, och det här påståendet verkar självklart för dig, men i själva verket, om man dömer "på ögat", så är denna sats inte så uppenbar (se figuren nedan). Detta gäller förresten även andra polyedrar och geometriska former: deras utseende är vilseledande, därför är det verkligen i matematik du behöver bara lita på formler och korrekta beräkningar).

• pyramidvolym kan beräknas med formeln:

var: S bas är arean av pyramidens bas, här höjden på pyramiden.

• Pyramidens laterala ytaär lika med summan av ytorna på sidoytorna. För området för pyramidens laterala yta kan man formellt skriva följande stereometriska formel:

var: S sido - sidoyta, S 1 , S 2 , S 3 - områden med sidoytor.

• Hela ytan av pyramiden lika med summan av arean av sidoytan och arean av basen:

Definitioner:

• - den enklaste polyedern, vars ytor är fyra trianglar, med andra ord en triangulär pyramid. För en tetraeder kan vilken som helst av dess ansikten fungera som bas. Totalt har en tetraeder 4 ytor, 4 hörn och 6 kanter.
• Tetraedern kallas rätt om alla dess ytor är liksidiga trianglar. För en vanlig tetraeder:
  1. Alla kanter på en vanlig tetraeder är lika.
  2. Alla ansikten på en vanlig tetraeder är lika med varandra.
  3. Omkretsar, ytor, höjder och alla andra element på alla ytor är lika med varandra.

Ritningen visar en vanlig tetraeder, medan trianglarna ABC, ADC, CBD, dåligär jämlika. Från de allmänna formlerna för pyramidens volym och ytor, samt kunskap från planimetri, är det inte svårt att få formler för volym och area av en vanlig tetraeder(a- revbenslängd):

Definition: När man löser problem i stereometri kallas pyramiden rektangulär, om en av pyramidens sidokanter är vinkelrät mot basen. I det här fallet är denna kant höjden på pyramiden. Nedan finns exempel på triangulära och femkantiga rektangulära pyramider. Bilden till vänster SAär en kant som också är en höjd.

Stympad pyramid

Definitioner och egenskaper:

• stympad pyramid kallas en polyeder innesluten mellan pyramidens bas och ett skärplan parallellt med dess bas.
• Figuren som erhålls vid skärningspunkten mellan skärplanet och den ursprungliga pyramiden kallas också grund stympad pyramid. Så den trunkerade pyramiden på ritningen har två baser: ABC och A 1 B 1 C 1 .
• Sidoytorna på den stympade pyramiden är trapetser. På ritningen kan t.ex. AA 1 B1B.
• Sidokanterna på en stympad pyramid kallas delar av den ursprungliga pyramidens kanter, inneslutna mellan baserna. På ritningen kan t.ex. AA 1 .
• Höjden på en stympad pyramid är en vinkelrät (eller längden på denna vinkelrät) ritad från någon punkt i en basplan till den andra basens plan.
• Den stympade pyramiden kallas korrekt, om det är en polyeder som är avskuren av ett plan parallellt med basen korrekt pyramider.
• Baserna i en vanlig stympad pyramid är regelbundna polygoner.
• Sidoytorna på en vanlig stympad pyramid är likbenta trapetser.
• apotem en vanlig stympad pyramid kallas höjden på dess sidoyta.
• Arean av den laterala ytan av en stympad pyramid är summan av ytorna på alla dess sidoytor.

Formler för en stympad pyramid

Volymen av den trunkerade pyramiden är:

var: S 1 och S 2 - basområden, här höjden på den stympade pyramiden. Men i praktiken är det bekvämare att söka efter volymen av en trunkerad pyramid enligt följande: du kan slutföra den trunkerade pyramiden till pyramiden, förlänga sidokanterna till korsningen. Då kan volymen av den stympade pyramiden hittas som skillnaden mellan volymerna för hela pyramiden och den färdiga delen. Den laterala ytarean kan också hittas som skillnaden mellan de laterala ytareorna för hela pyramiden och den färdiga delen. Lateral yta av en vanlig stympad pyramidär lika med halvprodukten av summan av omkretsen av dess baser och apotem:

var: P 1 och P 2 - basomkretsar korrekt stympad pyramid, a- apotemlängd. Den totala ytan av varje stympad pyramid finns uppenbarligen som summan av ytorna av baserna och sidoytan:

Pyramid och boll (sfär)

Sats: Runt pyramiden beskriv omfattningen när vid basen av pyramiden ligger en inskriven polygon (d.v.s. en polygon runt vilken en sfär kan beskrivas). Detta villkor är nödvändigt och tillräckligt. Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem.

Anmärkning: Det följer av denna sats att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst. Men listan över pyramider nära vilka en sfär kan beskrivas är inte begränsad till dessa typer av pyramider. På ritningen till höger, på höjd SH måste välja en punkt O, lika långt från alla hörn i pyramiden: SÅ = OB = OS = OD = OA. Sen poängen Oär mitten av den omskrivna sfären.

Sats: Du kan i pyramiden skriva in en sfär när halvledarplanen för pyramidens inre dihedriska vinklar skär varandra vid en punkt (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att vara mitten av sfären.

Kommentar: Du förstod uppenbarligen inte vad du läste raden ovan. Det är dock viktigt att komma ihåg det vilken vanlig pyramid som helst är en där en sfär kan inskrivas. Samtidigt är listan över pyramider som en sfär kan skrivas in i inte uttömd av de korrekta.

Definition: Halvledsplan delar den dihedrala vinkeln på mitten, och varje punkt i bisekturplanet är lika långt från de ytor som bildar den dihedrala vinkeln. Figuren på det högra planet γ är bisekturplanet för den dihedriska vinkeln som bildas av planen α och β .

Den stereometriska ritningen nedan visar en boll inskriven i en pyramid (eller en pyramid som beskrivs nära bollen), medan spetsen Oär mitten av den inskrivna sfären. Denna punkt O på samma avstånd från bollens alla sidor, till exempel:

OM = OO 1

pyramid och kon

I stereometri en kon kallas inskriven i en pyramid, om deras hörn sammanfaller, och dess bas är inskriven i pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att inskriva en kon i en pyramid endast när pyramidens apotemer är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor).

Konen kallas inskriven nära pyramiden när deras hörn sammanfaller, och dess bas beskrivs nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva en kon nära pyramiden endast när alla sidokanter av pyramiden är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor).

Viktig egendom:

pyramid och cylinder

Cylindern sägs vara inskriven i en pyramid, om en av dess baser sammanfaller med cirkeln av ett plan inskrivet i sektionen av pyramiden, parallellt med basen, och den andra basen tillhör pyramidens bas.

Cylindern sägs vara omskriven nära pyramiden, om toppen av pyramiden tillhör en av dess baser, och dess andra bas beskrivs nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva en cylinder nära pyramiden endast när det finns en inskriven polygon vid basen av pyramiden (ett nödvändigt och tillräckligt villkor).

Kula och boll

Definitioner:

1. Sfär- en sluten yta, platsen för punkter i rymden på samma avstånd från en given punkt, kallas sfärens mitt. En sfär är också en rotationskropp som bildas genom att en halvcirkel roterar runt dess diameter. sfärens radie kallas ett segment som förbinder sfärens centrum med valfri punkt i sfären.
2. Chordoy sfär är ett segment som förbinder två punkter på sfären.
3. diameter sfär kallas ett ackord som passerar genom dess centrum. Mitten av en sfär delar någon av dess diametrar i två lika stora segment. Valfri sfärdiameter med en radie Rär 2 R.
4. Boll- geometrisk kropp; mängden av alla punkter i rymden som är på ett avstånd som inte är större än ett specificerat avstånd från ett visst centrum. Detta avstånd kallas kulradie. En kula bildas genom att en halvcirkel roteras runt dess fasta diameter. Notera: ytan (eller gränsen) av en sfär kallas en sfär. Det är möjligt att ge följande definition av en boll: en geometrisk kropp kallas en boll, som består av en sfär och en del av det utrymme som begränsas av denna sfär.
5. Radie, ackord och diameter bollen kallas sfärens radie, korda och diameter, vilket är gränsen för denna boll.
6. Skillnaden mellan en boll och en sfär liknar skillnaden mellan en cirkel och en cirkel. En cirkel är en linje, och en cirkel är också alla punkter innanför denna linje. En sfär är ett skal, och en boll är också alla punkter inuti detta skal.
7. Planet som passerar genom sfärens (bollens) centrum kallas diametralt plan.
8. En sektion av en sfär (kula) av ett diametralt plan kallas stor cirkel (stor cirkel).

Satser:

• Sats 1(på snittet av en sfär vid ett plan). Sektionen av en sfär vid ett plan är en cirkel. Observera att påståendet om satsen förblir sant även om planet passerar genom sfärens centrum.
• Sats 2(på snittet av en sfär vid ett plan). Sektionen av en boll av ett plan är en cirkel, och basen av vinkelrät ritad från mitten av bollen till sektionsplanet är mitten av cirkeln som erhålls i sektionen.

Den största cirkeln, bland de som kan erhållas i en sektion av en given boll av ett plan, ligger i en sektion som går genom bollens centrum O. Det kallas den stora cirkeln. Dess radie är lika med sfärens radie. Alla två storcirklar skär varandra i bollens diameter AB. Denna diameter är också diametern på de korsande storcirklarna. Genom två punkter på en sfärisk yta belägen vid ändarna av samma diameter (i fig. A och B), kan du rita ett oändligt antal stora cirklar. Till exempel kan ett oändligt antal meridianer dras genom jordens poler.

Definitioner:

1. Tangent plan till sfär kallas ett plan som bara har en gemensam punkt med sfären, och deras gemensamma punkt kallas kontaktpunkten för planet och sfären.
2. Tangent plan till bollen kallas tangentplanet till sfären, som är gränsen för denna boll.
3. Varje linje som ligger i sfärens (kulan) tangentplan och passerar genom kontaktpunkten kallas tangent till en rät linje till en sfär (kula). Per definition har tangentplanet bara en gemensam punkt med sfären, därför har tangentlinjen också bara en gemensam punkt med sfären - kontaktpunkten.

Satser:

• Sats 1(tecken på tangentplanet till sfären). Ett plan som är vinkelrätt mot sfärens radie och som går genom dess ände som ligger på sfären berör sfären.
• Sats 2(på egenskapen för tangentplanet till sfären). Tangentplanet till sfären är vinkelrät mot radien som dras till kontaktpunkten.

Polyhedra och sfären

Definition: I stereometri kallas en polyeder (som en pyramid eller prisma). inskrivet i omfånget om alla dess hörn ligger på en sfär. I det här fallet kallas sfären omskriven nära en polyeder (pyramider, prismor). På liknande sätt: polyedern kallas inskriven i en boll om alla dess hörn ligger på denna bolls gräns. I det här fallet sägs kulan vara inskriven nära polyedern.

Viktig egenskap: Mitten av sfären omskriven kring polyedern är på ett avstånd som är lika med radien R sfärer, från varje hörn av polyedern. Här är exempel på polyedrar inskrivna i sfären:

Definition: Polyedern kallas beskrivs om sfären (bollen), om sfären (bollen) berör Allt polyederansikten. I det här fallet kallas sfären och kulan inskrivna i polyedern.

Viktigt: Mitten av en sfär inskriven i en polyeder är på ett avstånd som är lika med radien r sfärer, från vart och ett av de plan som innehåller polyederns ytor. Här är exempel på polyedrar som beskrivs nära sfären:

Volym och yta av en sfär

Satser:

• Sats 1(om området för sfären). Arean av en sfär är:

var: Rär sfärens radie.

• Sats 2(om bollens volym). Volymen av en sfär med en radie R beräknas med formeln:

Kulsegment, lager, sektor

I stereometri kulsegment kallas den del av kulan som skärs av av skärplanet. I det här fallet är förhållandet mellan höjden, radien för segmentets bas och bollens radie:

var: h- segmenthöjd, r− segmentbasradie, R− kulradie. Arean av basen av det sfäriska segmentet:

Arean av den yttre ytan av det sfäriska segmentet:

Hela ytan av kulsegmentet:

Volym för bollsegment:

I stereometri sfäriskt lager Den del av en sfär som är innesluten mellan två parallella plan kallas. Arean av den yttre ytan av det sfäriska lagret:

var: här höjden på det sfäriska lagret, R− kulradie. Hela ytan av det sfäriska lagret:

var: här höjden på det sfäriska lagret, R− kulradie, r 1 , r 2 är radierna för det sfäriska lagrets baser, S 1 , S 2 är områdena för dessa baser. Volymen av ett sfäriskt skikt återfinns enklast som skillnaden mellan volymerna för två sfäriska segment.

I stereometri bollsektorn kallas kulans del, bestående av ett sfäriskt segment och en kon med en vertex i mitten av kulan och en bas som sammanfaller med basen av det sfäriska segmentet. Här antas att kulsegmentet är mindre än halva kulan. Hela ytan av den sfäriska sektorn:

var: här höjden på motsvarande sfäriska segment, rär radien för basen av det sfäriska segmentet (eller konen), R− kulradie. Volymen av den sfäriska sektorn beräknas med formeln:

Definitioner:

1. I något plan, betrakta en cirkel med centrum O och radie R. Genom varje punkt i cirkeln ritar vi en linje vinkelrätt mot cirkelns plan. Cylindrisk yta figuren som bildas av dessa linjer kallas, och själva linjerna kallas bildar en cylindrisk yta. Alla generatorer av den cylindriska ytan är parallella med varandra, eftersom de är vinkelräta mot cirkelns plan.

1. Rak cirkulär cylinder eller bara cylinder kallas en geometrisk kropp som begränsas av en cylindrisk yta och två parallella plan som är vinkelräta mot den cylindriska ytans generatorer. Informellt kan man tänka sig en cylinder som ett rakt prisma med en cirkel vid basen. Detta kommer att hjälpa till att enkelt förstå och, om nödvändigt, härleda formler för volymen och arean av cylinderns laterala yta.
2. Cylinderns sidoyta den del av den cylindriska ytan som är belägen mellan skärplanen som är vinkelrät mot dess generatris kallas, och de delar (cirklar) avskurna av den cylindriska ytan på parallella plan kallas cylinderbaser. Cylinderns baser är två lika cirklar.
3. Cylindergeneratris kallas ett segment (eller längden på detta segment) av generatrisen av en cylindrisk yta, belägen mellan parallella plan i vilka cylinderns baser ligger. Alla cylindergeneratorer är parallella och lika med varandra, och även vinkelräta mot baserna.
4. Cylinderaxel kallas ett segment som förbinder mitten av cirklarna som är basen av cylindern.
5. cylinderhöjd kallas en vinkelrät (eller längden på denna vinkelrät), ritad från någon punkt i planet för en bas av cylindern till planet för den andra basen. I en cylinder är höjden lika med generatrisen.
6. Cylinderradie kallas radien för dess baser.
7. Cylindern kallas liksidig om dess höjd är lika med basens diameter.
8. En cylinder kan erhållas genom att rotera en rektangel runt en av dess sidor 360°.
9. Om skärplanet är parallellt med cylinderns axel, är cylinderns sektion en rektangel, vars två sidor är generatorer och de andra två är ackorden i cylinderns baser.
10. Axiell sektion En cylinder är en sektion av en cylinder av ett plan som passerar genom dess axel. Den axiella sektionen av en cylinder är en rektangel, vars två sidor är generatorer av cylindern, och de andra två är diametrarna på dess baser.
11. Om skärplanet är vinkelrätt mot cylinderns axel, bildas en cirkel i sektionen lika med baserna. På ritningen nedan: till vänster - axiell sektion; i mitten - en sektion parallell med cylinderns axel; till höger - en sektion parallell med cylinderns bas.

Cylinder och prisma

Ett prisma sägs vara inskrivet i en cylinder om dess baser är inskrivna i cylinderns baser. I detta fall sägs cylindern vara omskriven kring ett prisma. Prismats höjd och cylinderns höjd kommer i detta fall att vara lika. Alla sidokanter av prismat kommer att tillhöra cylinderns sidoyta och sammanfalla med dess generatorer. Eftersom vi med en cylinder menar endast en rak cylinder, kan endast ett rakt prisma också inskrivas i en sådan cylinder. Exempel:

Ett prisma sägs vara omskrivet kring en cylinder, om dess baser beskrivs nära cylinderns baser. I detta fall sägs cylindern vara inskriven i ett prisma. Prismats höjd och cylinderns höjd i detta fall kommer också att vara lika. Alla sidokanter av prismat kommer att vara parallella med cylinderns generatris. Eftersom vi med en cylinder endast menar en rak cylinder, kan en sådan cylinder endast inskrivas i ett rakt prisma. Exempel:

Cylinder och sfär

En sfär (kula) kallas inskriven i en cylinder om den vidrör cylinderns baser och var och en av dess generatorer. I detta fall kallas cylindern omskriven om en sfär (kula). En sfär kan inskrivas i en cylinder endast om det är en liksidig cylinder, d.v.s. dess basdiameter och höjd är lika. Mitten av den inskrivna sfären kommer att vara mitten av cylinderns axel, och radien för denna sfär kommer att sammanfalla med cylinderns radie. Exempel:

Cylindern sägs vara inskriven i en sfär, om cirklarna på cylinderns baser är sektioner av sfären. En cylinder sägs vara inskriven i en sfär om cylinderns baser är delar av sfären. I det här fallet kallas kulan (sfären) inskriven nära cylindern. En sfär kan beskrivas runt vilken cylinder som helst. Mitten av den beskrivna sfären kommer också att vara mitten av cylinderns axel. Exempel:

Baserat på Pythagoras sats är det lätt att bevisa följande formel som relaterar radien för den omskrivna sfären ( R), cylinderhöjd ( h) och cylinderns radie ( r):

Volym och area av cylinderns laterala och hela ytor

Sats 1(om arean av en cylinders sidoyta): Arean av en cylinders sidoyta är lika med produkten av omkretsen av dess bas och höjden:

var: Rär radien för cylinderns bas, h- hans höga. Denna formel är lätt härledd (eller bevisad) baserat på formeln för den laterala ytan av ett rakt prisma.

Cylinderns hela yta, som vanligt i stereometri, är summan av ytorna på sidoytan och de två baserna. Arean av varje bas av cylindern (dvs bara arean av en cirkel) beräknas med formeln:

Därför cylinderns totala yta S full cylindern beräknas med formeln:

Sats 2(om volymen av en cylinder): Volymen av en cylinder är lika med produkten av arean av basen och höjden:

var: R och här cylinderns radie respektive höjd. Denna formel är också lätt härledd (bevisad) baserat på formeln för volymen av ett prisma.

Sats 3(Archimedes): Volymen av en sfär är en och en halv gånger mindre än volymen av cylindern som beskrivs runt den, och ytan av en sådan boll är en och en halv gånger mindre än den totala ytan av ​samma cylinder:

Kon

Definitioner:

1. En kon (mer exakt, en cirkulär kon) kallas kroppen, som består av en cirkel (kallas kon bas), en punkt som inte ligger i denna cirkels plan (kallas toppen av konen) och alla möjliga segment som förbinder toppen av konen med spetsarna på basen. Informellt kan du uppfatta konen som en vanlig pyramid, som har en cirkel vid basen. Detta kommer att hjälpa till att enkelt förstå, och om nödvändigt, härleda formler för volymen och arean av konens laterala yta.

1. Segmenten (eller deras längder) som förbinder toppen av konen med punkterna i cirkeln på basen kallas bildar en kon. Alla generatorer av en rät cirkulär kon är lika med varandra.
2. En kons yta består av konens bas (cirkeln) och sidoytan (sammansatt av alla möjliga generatorer).
3. Föreningen av generatorerna av en kon kallas könens generatrix (eller sidoyta).. Generatrisen för en kon är en konisk yta.
4. Kotten kallas direkt om linjen som förbinder konens spets med basens centrum är vinkelrät mot basens plan. I det följande kommer vi bara att överväga den högra konen, och kalla den helt enkelt konen för korthetens skull.
5. Visuellt kan en rak cirkulär kon föreställas som en kropp som erhålls genom att rotera en rätvinklig triangel runt benet som en axel. I detta fall bildas konens laterala yta av hypotenusans rotation, och basen bildas av benets rotation, som inte är en axel.
6. konradie kallas radien för dess bas.
7. kon höjd kallas vinkelrät (eller dess längd), sänkt från dess topp till basens plan. För en höger kon sammanfaller basen av höjden med mitten av basen. Axeln för en rät cirkulär kon är en rät linje som innehåller dess höjd, dvs. en rak linje som går genom mitten av basen och toppen.
8. Om skärplanet passerar genom konens axel, är sektionen en likbent triangel, vars bas är diametern på konens bas, och sidorna är konens generatris. Ett sådant snitt kallas axial.

1. Om skärplanet passerar genom den inre punkten av konens höjd och är vinkelrät mot den, är konens sektion en cirkel, vars centrum är skärningspunkten mellan höjden och detta plan.
2. Höjd ( h), radie ( R) och längden på generatrisen ( l) av en rätt cirkulär kon uppfyller det uppenbara sambandet:

Volym och area av konens laterala och hela ytor

Sats 1(på området för konens laterala yta). Arean av konens laterala yta är lika med produkten av halva omkretsen av basen och generatrisen:

var: Rär radien för konens bas, lär längden på konens generatris. Denna formel är lätt härledd (eller bevisad) baserat på formeln för den laterala ytan av en vanlig pyramid.

Hela ytan av konenär summan av den laterala ytarean och basarean. Arean av konens bas (dvs bara arean av cirkeln) är: S bas = πR 2. Därför den totala ytan av konen S full konen beräknas med formeln:

Sats 2(på volymen av en kon). Volymen av en kon är lika med en tredjedel av basytan multiplicerat med höjden:

var: Rär radien för konens bas, h- hans höga. Denna formel är också lätt härledd (bevisad) baserat på formeln för pyramidens volym.

Definitioner:

1. Ett plan parallellt med basen av en kon och skär konen skär av en mindre kon från den. Resten kallas stympad kon.

1. Basen av den ursprungliga konen och cirkeln som erhålls i sektionen av denna kon av ett plan kallas grunder, och segmentet som förbinder deras centra - stympad kon höjd.
2. Den raka linjen som går genom höjden av den stympade konen (dvs genom mitten av dess baser) är dess axel.
3. Den del av konens laterala yta som begränsar den stympade konen kallas dess sidoyta, och segmenten av konens generatris som ligger mellan baserna på den stympade konen kallas dess alstrande.
4. Alla generatorer av en trunkerad kon är lika med varandra.
5. En stympad kon kan erhållas genom att rotera en rektangulär trapets 360° runt dess sida vinkelrät mot baserna.

Formler för en stympad kon:

Volymen av en stympad kon är lika med skillnaden mellan volymerna av en hel kon och en kon avskuren av ett plan parallellt med konens bas. Volymen av en stympad kon beräknas med formeln:

var: S 1 = π r 1 2 och S 2 = π r 2 2 - områden med baser, här höjden på den stympade konen, r 1 och r 2 - radier för de övre och nedre baserna av den stympade konen. Men i praktiken är det fortfarande bekvämare att leta efter volymen av en stympad kon som skillnaden mellan volymerna för den ursprungliga konen och den avskurna delen. Den laterala ytarean av en stympad kon kan också hittas som skillnaden mellan den laterala ytarean på den ursprungliga konen och den avskurna delen.

Faktum är att arean av den laterala ytan av en stympad kon är lika med skillnaden mellan ytorna på laterala ytor av en hel kon och en kon avskuren av ett plan parallellt med konens bas. Lateral yta av en stympad kon beräknas med formeln:

var: P 1 = 2π r 1 och P 2 = 2π r 2 - omkretsen av baserna på en stympad kon, l- längden på generatrisen. Total yta av en stympad kon, uppenbarligen, hittas som summan av areorna av baserna och sidoytan:

Observera att formlerna för volymen och arean av den laterala ytan av en stympad kon härrör från formler för liknande egenskaper hos en vanlig stympad pyramid.

Kotte och sfär

En kotte sägs vara inskriven i en sfär(boll), om dess vertex tillhör sfären (bollens gräns), och basens omkrets (basen själv) är en del av sfären (bollen). I det här fallet kallas sfären (kulan) omskriven nära konen. En sfär kan alltid beskrivas runt en rät cirkulär kon. Mitten av den omskrivna sfären kommer att ligga på en rät linje som innehåller höjden på könen, och radien på denna sfär kommer att vara lika med radien på cirkeln omskriven kring den axiella sektionen av könen (denna sektion är en likbent triangel) . Exempel:

En sfär (boll) kallas inskriven i en kon, om sfären (kulan) rör vid basen av konen och var och en av dess generatorer. I det här fallet kallas konen inskriven nära sfären (kulan). En sfär kan alltid vara inskriven i en rät cirkulär kon. Dess centrum kommer att ligga på höjden av konen, och radien för den inskrivna sfären kommer att vara lika med radien för cirkeln inskriven i konens axiella sektion (denna sektion är en likbent triangel). Exempel:

Kotte och pyramid

• En kon kallas inskriven i en pyramid (en pyramid beskrivs nära en kon) om konens bas är inskriven i pyramidens bas, och konens och pyramidens hörn sammanfaller.
• En pyramid kallas inskriven i en kon (en kon beskrivs nära en pyramid) om dess bas är inskriven i konens bas, och sidokanterna är generatorer av konen.
• Höjden på sådana koner och pyramider är lika med varandra.

Notera: Mer detaljer om hur en kon i solid geometri passar in i en pyramid eller beskrivs nära en pyramid har redan diskuterats i

Hur förbereder man sig framgångsrikt för CT i fysik och matematik?

För att bli framgångsrik förbereda sig för CT i fysik och matematik, bland annat, måste tre väsentliga villkor vara uppfyllda:

1. Studera alla ämnen och slutför alla tester och uppgifter som ges i träningsmaterial på den webbplatsen. För att göra detta behöver du ingenting alls, nämligen: att ägna tre till fyra timmar varje dag till att förbereda sig för CT i fysik och matematik, studera teori och lösa problem. Faktum är att CT är ett prov där det inte räcker att bara kunna fysik eller matematik, du måste också snabbt och utan misslyckanden kunna lösa ett stort antal problem inom olika ämnen och varierande komplexitet. Det senare kan man bara lära sig genom att lösa tusentals problem.
2. lära sig alla formler och lagar i fysiken, och formler och metoder i matematik. Faktum är att det också är väldigt enkelt att göra detta, det finns bara cirka 200 nödvändiga formler i fysik, och till och med lite färre i matematik. I vart och ett av dessa ämnen finns ett dussintal standardmetoder för att lösa problem av en grundläggande komplexitetsnivå, som också kan läras in och därmed helt automatiskt och utan svårighet lösa det mesta av den digitala transformationen vid rätt tidpunkt. Efter det behöver du bara tänka på de svåraste uppgifterna.
3. Besök alla tre scenerna repetitionsprov i fysik och matematik. Varje RT kan besökas två gånger för att lösa båda alternativen. Återigen, på DT, förutom förmågan att snabbt och effektivt lösa problem, och kunskapen om formler och metoder, är det också nödvändigt att kunna planera tid ordentligt, fördela krafter och viktigast av allt fylla i svarsformuläret korrekt. , utan att blanda ihop varken antalet svar och uppgifter, eller ditt eget efternamn. Under RT är det också viktigt att vänja sig vid stilen att ställa frågor i uppgifter, vilket kan verka mycket ovanligt för en oförberedd person på DT.

Framgångsrik, flitig och ansvarsfull implementering av dessa tre punkter gör att du kan visa ett utmärkt resultat på CT, det maximala av vad du kan.

Hittade du ett fel?

Om du, som det verkar för dig, hittat ett fel i utbildningsmaterialet, vänligen skriv om det via mail. Du kan också skriva om felet på det sociala nätverket (). I brevet, ange ämnet (fysik eller matematik), namnet eller numret på ämnet eller testet, uppgiftens nummer eller den plats i texten (sidan) där det enligt din åsikt finns ett fel. Beskriv också vad det påstådda felet är. Ditt brev kommer inte att gå obemärkt förbi, felet kommer antingen att rättas till, eller så får du förklarat varför det inte är ett misstag.