Så kallade formekvationer, där det okända finns både i exponenten och i gradens bas.

Du kan ange en helt tydlig algoritm för att lösa en formekvation. För detta måste uppmärksamhet ägnas åt det faktum att Åh) inte noll-, ett och minus ett, likheten av grader med samma baser (oavsett om positiva eller negativa) är möjlig endast om indikatorerna är lika. Det vill säga, alla rötter i ekvationen kommer att vara rötterna till ekvationen f(x) = g(x) Det omvända påståendet är inte sant, om Åh)< 0 och bråkvärden f(x) och g(x) uttryck Åh) f(x) och

Åh) g(x) förlora sin mening. Det vill säga när man går från f(x) = g(x)(för och främmande rötter kan förekomma, vilka måste uteslutas genom att kontrollera enligt den ursprungliga ekvationen. Och fallen a = 0, a = 1, a = -1 måste övervägas separat.

Så, för en fullständig lösning av ekvationen, överväger vi fallen:

a(x) = 0 f(x) och g(x)är positiva tal, så är detta lösningen. Annars nej

a(x) = 1. Rötterna till denna ekvation är också rötterna till den ursprungliga ekvationen.

a(x) = -1. Om, för ett värde på x som uppfyller denna ekvation, f(x) och g(x)är heltal av samma paritet (antingen är båda jämna eller båda är udda), då är detta lösningen. Annars nej

För och vi löser ekvationen f(x)=g(x) och genom att ersätta de erhållna resultaten i den ursprungliga ekvationen skär vi bort främmande rötter.

Exempel på att lösa exponentialpotensekvationer.

Exempel #1.

1) x - 3 = 0, x = 3. eftersom 3 > 0 och 3 2 > 0, då är x 1 = 3 lösningen.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Båda indikatorerna är jämna. Detta är lösningen x 3 = 1.

4) x - 3? 0 och x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 eller x \u003d 1. För x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, är ​​denna lösning x 4 \u003d 0. För x \u003d 0. u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - denna lösning är korrekt x 5 = 1.

Svar: 0, 1, 2, 3, 4.

Exempel #2.

Enligt definitionen av aritmetik roten ur: x - 1 ? 0,x? ett.

1) x - 1 = 0 eller x = 1, = 0, 0 0 är ingen lösning.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 passar inte i ODZ.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - det finns inga rötter.

Lösning av exponentiella ekvationer. Exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Vad exponentiell ekvation? Detta är en ekvation där de okända (x) och uttryck med dem finns med indikatorer några grader. Och bara där! Det är viktigt.

Där är du exempel på exponentiella ekvationer:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notera! I grunderna för grader (nedan) - bara siffror. PÅ indikatorer grader (ovan) - en mängd olika uttryck med x. Om plötsligt ett x dyker upp i ekvationen någon annanstans än indikatorn, till exempel:

detta blir ekvationen blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa. Vi kommer inte att överväga dem för närvarande. Här kommer vi att ta itu med lösning av exponentiella ekvationer i sin renaste form.

Faktiskt till och med rent exponentiella ekvationerär inte alltid tydligt definierade. Men det är vissa typer exponentiella ekvationer som kan och bör lösas. Det är dessa typer vi kommer att titta på.

Lösning av de enklaste exponentialekvationerna.

Låt oss börja med något väldigt grundläggande. Till exempel:

Även utan någon teori, genom ett enkelt urval är det tydligt att x = 2. Inget mer, eller hur!? Inga andra x-värde rullar. Och låt oss nu titta på lösningen av denna knepiga exponentiella ekvation:

Vad har vi gjort? Vi har faktiskt precis kastat ut samma bottnar (trippel). Helt utkastad. Och, vad behagar, slå i mål!

Faktum är att om i exponentialekvationen till vänster och till höger är det samma siffror i valfri grad, kan dessa tal tas bort och är lika med exponenter. Matematik tillåter. Det återstår att lösa en mycket enklare ekvation. Det är bra, eller hur?)

Men låt oss komma ihåg ironiskt nog: du kan bara ta bort baserna när basnumren till vänster och höger är i utmärkt isolering! Utan några grannar och koefficienter. Låt oss säga i ekvationerna:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , eller

Du kan inte ta bort dubbel!

Jo, vi har bemästrat det viktigaste. Hur man går från onda exponentiella uttryck till enklare ekvationer.

"Här är de tiderna!" - du säger. "Vem kommer att ge en sådan primitiv på kontroll och tentor!?"

Tvingad att hålla med. Ingen kommer att göra det. Men nu vet du vart du ska vända dig när du löser förvirrande exempel. Det är nödvändigt att komma ihåg det, när samma basnummer är till vänster - till höger. Då blir allt lättare. Egentligen är detta matematikens klassiker. Vi tar det ursprungliga exemplet och omvandlar det till det önskade oss sinne. Enligt matematikens regler förstås.

Tänk på exempel som kräver lite extra ansträngning för att få dem till det enklaste. Låt oss ringa dem enkla exponentiella ekvationer.

Lösning av enkla exponentialekvationer. Exempel.

Vid lösning av exponentiella ekvationer är huvudreglerna handlingar med befogenheter. Utan kunskap om dessa handlingar kommer ingenting att fungera.

Till handlingar med grader måste man lägga personlig observation och uppfinningsrikedom. Behöver vi samma bastal? Så vi letar efter dem i exemplet i en explicit eller krypterad form.

Låt oss se hur detta går till i praktiken?

Låt oss ge oss ett exempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Första anblicken på grunder. De... De är olika! Två och åtta. Men det är för tidigt att bli avskräckt. Det är dags att komma ihåg det

Två och åtta är släkt i grad.) Det är fullt möjligt att skriva ner:

8 x+1 = (2 3) x+1

Om vi ​​minns formeln från handlingar med krafter:

(a n) m = a nm ,

det fungerar generellt bra:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det ursprungliga exemplet ser ut så här:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi överför 2 3 (x+1) till höger (ingen avbröt matematikens elementära handlingar!), får vi:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Det är praktiskt taget allt. Ta bort baser:

Vi löser detta monster och får

Detta är det korrekta svaret.

I det här exemplet hjälpte oss att känna till tvås krafter. Vi identifieras i åtta, den krypterade tvåan. Denna teknik (kryptering av gemensamma grunder under olika nummer) är en mycket populär teknik i exponentiella ekvationer! Ja, även i logaritmer. Man måste kunna känna igen krafterna hos andra tal i tal. Detta är extremt viktigt för att lösa exponentiella ekvationer.

Faktum är att det inte är ett problem att höja valfritt antal till valfri makt. Multiplicera, även på ett papper, och det är allt. Till exempel kan alla höja 3 till femte potensen. 243 kommer att visa sig om du känner till multiplikationstabellen.) Men i exponentiella ekvationer är det mycket oftare nödvändigt att inte höja till en potens, utan vice versa ... vilket antal i vilken utsträckning gömmer sig bakom siffran 243, eller säg 343... Ingen miniräknare hjälper dig här.

Du måste känna till krafterna hos vissa siffror genom synen, ja ... Ska vi öva?

Bestäm vilka potenser och vilka tal som är tal:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i en röra, förstås!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Om du tittar noga kan du se konstigt faktum. Det finns fler svar än frågor! Tja, det händer... Till exempel är 2 6 , 4 3 , 8 2 alla 64.

Låt oss anta att du har tagit del av informationen om bekantskap med siffror.) Låt mig också påminna dig om att för att lösa exponentiella ekvationer tillämpar vi hela lager av matematiska kunskaper. Inklusive från de lägre medelklasserna. Du gick inte direkt till gymnasiet, eller hur?

Till exempel, när man löser exponentiella ekvationer, hjälper det väldigt ofta att sätta den gemensamma faktorn inom parentes (hej till årskurs 7!). Låt oss se ett exempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Och igen, den första titten - på tomten! Baserna för graderna är olika ... Tre och nio. Och vi vill att de ska vara likadana. Tja, i det här fallet är önskan ganska genomförbar!) Eftersom:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Enligt samma regler för åtgärder med grader:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Det är bra, du kan skriva:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav ett exempel av samma skäl. Så, vad är nästa!? Treor kan inte kastas ut ... återvändsgränd?

Inte alls. Kom ihåg den mest universella och kraftfulla beslutsregeln Allt matematiska uppgifter:

Om du inte vet vad du ska göra, gör vad du kan!

Du ser, allt bildas).

Vad finns i denna exponentiella ekvation burk do? Ja, vänster sida frågar direkt efter parentes! Den gemensamma faktorn 3 2x tyder tydligt på detta. Låt oss försöka, så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplet blir bättre och bättre!

Vi minns att för att eliminera baser behöver vi en ren grad, utan några koefficienter. Siffran 70 stör oss. Så vi dividerar båda sidor av ekvationen med 70, vi får:

Op-pa! Allt har varit bra!

Detta är det slutliga svaret.

Det förekommer dock att uttaxning på samma grund erhålls, men det är inte deras likvidation. Detta händer i exponentiella ekvationer av en annan typ. Låt oss ta den här typen.

Förändring av variabel vid lösning av exponentiella ekvationer. Exempel.

Låt oss lösa ekvationen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Först - som vanligt. Låt oss gå vidare till basen. Till tvåan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ekvationen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Och här hänger vi. De tidigare tricken kommer inte att fungera, hur du än vänder på det. Vi måste ta oss ur arsenalen av ett annat kraftfullt och mångsidigt sätt. Det heter variabel substitution.

Kärnan i metoden är förvånansvärt enkel. Istället för en komplex ikon (i vårt fall 2 x), skriver vi en annan, enklare (till exempel t). En sådan till synes meningslös ersättning leder till fantastiska resultat!) Allt blir bara klart och begripligt!

Så låt

Sedan 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Vi ersätter i vår ekvation alla potenser med x med t:

Nåväl, det gryr?) Har du inte glömt andragradsekvationer än? Vi löser genom diskriminanten, vi får:

Här är det viktigaste att inte sluta, eftersom det händer ... Detta är inte svaret ännu, vi behöver x, inte t. Vi återgår till Xs, d.v.s. göra en ersättare. Först för t 1:

Det är,

En rot hittades. Vi letar efter den andra, från t 2:

Um... Vänster 2 x, Höger 1... Ett drag? Ja, inte alls! Det räcker med att komma ihåg (från handlingar med grader, ja ...) att en enhet är några nummer till noll. Några. Vad du än behöver, kommer vi att lägga det. Vi behöver en tvåa. Betyder att:

Nu är det allt. Har 2 rötter:

Detta är svaret.

På lösa exponentiella ekvationer på slutet får man ibland något besvärligt uttryck. Typ:

Från sjuan fungerar inte en tvåa till en enkel grad. De är inte släktingar... Hur kan jag vara här? Någon kan vara förvirrad ... Men den person som läste på denna webbplats ämnet "Vad är en logaritm?" , le bara sparsamt och skriv ner med fast hand det absolut korrekta svaret:

Det kan inte finnas något sådant svar i uppgifter "B" på tentamen. Det krävs ett specifikt nummer. Men i uppgifter "C" - lätt.

Den här lektionen ger exempel på att lösa de vanligaste exponentiella ekvationerna. Låt oss lyfta fram det viktigaste.

Praktiska tips:

1. Först och främst tittar vi på grunder grader. Låt oss se om de inte kan göras det samma. Låt oss försöka göra detta genom att aktivt använda handlingar med befogenheter. Glöm inte att siffror utan x också kan omvandlas till potenser!

2. Vi försöker få exponentialekvationen till formen när vänster och höger är det samma siffror i någon grad. Vi använder handlingar med befogenheter och faktorisering. Det som kan räknas i siffror – vi räknar.

3. Om det andra rådet inte fungerade försöker vi tillämpa variabelsubstitutionen. Resultatet kan bli en ekvation som är lätt att lösa. Oftast - fyrkantig. Eller bråk, som också reduceras till en kvadrat.

4. För att framgångsrikt lösa exponentialekvationer måste du känna till graderna för vissa tal "av synen".

Som vanligt, i slutet av lektionen uppmanas du att lösa lite.) På egen hand. Från enkelt till komplext.

Lös exponentiella ekvationer:

Svårare:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Hitta produkt av rötter:

2 3-x + 2 x = 9

Hände?

Okej då det svåraste exemplet(beslutade dock i sinnet ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Vad är mer intressant? Då är här ett dåligt exempel för dig. Rätt dra på ökad svårighetsgrad. Jag kommer att antyda att i detta exempel sparar uppfinningsrikedom och den mest universella regeln för att lösa alla matematiska uppgifter.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ett exempel är enklare, för avkoppling):

9 2 x - 4 3 x = 0

Och till efterrätt. Hitta summan av rötterna till ekvationen:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jaja! Detta är en ekvation av blandad typ! Vilket vi inte tog hänsyn till i den här lektionen. Och vad man ska tänka på, de måste lösas!) Den här lektionen är tillräckligt för att lösa ekvationen. Nåväl, uppfinningsrikedom behövs ... Och ja, sjunde klass kommer att hjälpa dig (det här är ett tips!).

Svar (i oordning, separerade med semikolon):

ett; 2; 3; 4; det finns inga lösningar; 2; -2; -5; 4; 0.

Är allt lyckat? Bra.

Det finns ett problem? Inga problem! I Special Section 555 löses alla dessa exponentiella ekvationer med detaljerade förklaringar. Vad, varför och varför. Och, naturligtvis, det finns ytterligare värdefull information om att arbeta med alla möjliga exponentiella ekvationer. Inte bara med dessa.)

En sista rolig fråga att fundera över. I den här lektionen arbetade vi med exponentiella ekvationer. Varför sa jag inte ett ord om ODZ här? I ekvationer är detta en mycket viktig sak, förresten ...

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

exponentiella ekvationer. Som ni vet innehåller USE enkla ekvationer. Vi har redan övervägt några - dessa är logaritmiska, trigonometriska, rationella. Här är exponentiella ekvationer.

I en ny artikel arbetade vi med exponentiella uttryck, det kommer att vara användbart. Själva ekvationerna löses enkelt och snabbt. Det krävs bara att man känner till egenskaperna hos exponenterna och ... Om dettaYtterligare.

Vi listar egenskaperna hos exponenter:

Nollpotensen för ett tal är lika med ett.

Konsekvens av denna egenskap:

Lite mer teori.

En exponentiell ekvation är en ekvation som innehåller en variabel i exponenten, det vill säga denna ekvation har formen:

f(x) ett uttryck som innehåller en variabel

Metoder för att lösa exponentialekvationer

1. Som ett resultat av transformationer kan ekvationen reduceras till formen:

Då tillämpar vi egenskapen:

2. När du erhåller en ekvation av formen a f (x) = b definitionen av logaritmen används får vi:

3. Som ett resultat av transformationerna kan du få en ekvation av formen:

Logaritmen tillämpas:

Uttryck och hitta x.

I uppgifter ANVÄND alternativ det räcker med att använda den första metoden.

Det vill säga, det är nödvändigt att representera de vänstra och högra delarna som grader med samma bas, och sedan likställer vi indikatorerna och löser den vanliga linjära ekvationen.

Tänk på ekvationerna:

Hitta roten till ekvation 4 1-2x = 64.

Det är nödvändigt att se till att det i de vänstra och högra delarna finns exponentiella uttryck med samma bas. Vi kan representera 64 som 4 i makten 3. Vi får:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Undersökning:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Svar: -1

Hitta roten till ekvation 3 x-18 = 1/9.

Det är känt att

Så 3 x-18 = 3 -2

Baserna är lika, vi kan likställa indikatorerna:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Undersökning:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Svar: 16

Hitta roten till ekvationen:

Låt oss representera bråket 1/64 som en fjärdedel till tredje potens:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Undersökning:

Svar: 11

Hitta roten till ekvationen:

Låt oss representera 1/3 som 3 -1 och 9 som 3 i kvadrat, vi får:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Nu kan vi likställa indikatorerna:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Undersökning:

Svar: 5

26654. Hitta roten till ekvationen:

Beslut:

Svar: 8,75

Oavsett vilken kraft vi höjer ett positivt tal a, kan vi faktiskt inte få ett negativt tal på något sätt.

Varje exponentiell ekvation efter lämpliga transformationer reduceras till att lösa en eller flera enkla.I det här avsnittet kommer vi också att överväga lösningen av några ekvationer, missa inte det!Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

Föreläsning: "Metoder för att lösa exponentiella ekvationer."

1 . exponentiella ekvationer.

Ekvationer som innehåller okända i exponenten kallas exponentiella ekvationer. Den enklaste av dessa är ekvationen ax = b, där a > 0 och a ≠ 1.

1) För b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) För b > 0, med funktionens monotoni och rotsatsen, har ekvationen en enda rot. För att hitta den måste b representeras som b = aс, ax = bс ó x = c eller x = logab.

De exponentiella ekvationerna, genom algebraiska transformationer, leder till standardekvationer, som löses med följande metoder:

1) metod för reduktion till en bas;

2) utvärderingsmetod;

3) grafisk metod;

4) metoden för att introducera nya variabler;

5) faktoriseringsmetod;

6) exponentiell - potensekvationer;

7) exponentiell med en parameter.

2 . Metod för minskning till en bas.

Metoden är baserad på följande egenskap hos grader: om två grader är lika och deras baser är lika, så är deras exponenter lika, dvs. ekvationen ska försöka reduceras till formen

Exempel. Lös ekvationen:

1 . 3x=81;

Låt oss representera den högra sidan av ekvationen i formen 81 = 34 och skriv ekvationen som motsvarar den ursprungliga 3 x = 34; x = 4. Svar: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> och gå till ekvationen för exponenter 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Svar: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Observera att talen 0,2, 0,04, √5 och 25 är 5-potenser. Låt oss dra fördel av detta och transformera den ursprungliga ekvationen enligt följande:

, varav 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, från vilken vi finner lösningen x = -1. Svar: -1.

5. 3x = 5. Per definition av logaritmen, x = log35. Svar: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Låt oss skriva om ekvationen till 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, dvs..png" width="181" height="49 src="> Därav x - 4 =0, x = 4. Svar: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Med hjälp av potensernas egenskaper skriver vi ekvationen på formen e. x+1 = 2, x =1. Svar: 1.

Uppdragsbank nr 1.

Lös ekvationen:

Test nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) inga rötter
	1) 7;1 2) inga rötter 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) inga rötter 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bedömningsmetod.

Rotsatsen: om funktionen f (x) ökar (minskar) på intervallet I, är talet a vilket värde som tas av f på detta intervall, då har ekvationen f (x) = a en enda rot på intervallet I.

Vid lösning av ekvationer med skattningsmetoden används denna sats och funktionens monotoniegenskaper.

Exempel. Lös ekvationer: 1. 4x = 5 - x.

Beslut. Låt oss skriva om ekvationen som 4x + x = 5.

1. om x \u003d 1, då 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 är sant, då är 1 roten till ekvationen.

Funktionen f(x) = 4x ökar på R och g(x) = x ökar på R => h(x)= f(x)+g(x) ökar på R som summan av ökande funktioner, så x = 1 är den enda roten av ekvationen 4x = 5 – x. Svar: 1.

2.

Beslut. Vi skriver om ekvationen i formen .

1. om x = -1, då , 3 = 3-sant, så x = -1 är roten till ekvationen.

2. bevisa att det är unikt.

3. Funktionen f(x) = - minskar på R, och g(x) = - x - minskar på R => h(x) = f(x) + g(x) - minskar på R, eftersom summan av minskande funktioner. Så enligt rotsatsen är x = -1 den enda roten i ekvationen. Svar: -1.

Uppgiftsbank nr 2. lösa ekvationen

a) 4x + 1 = 6-x;

b)

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Metod för att introducera nya variabler.

Metoden beskrivs i avsnitt 2.1. Införandet av en ny variabel (substitution) utförs vanligtvis efter transformationer (förenklingar) av termerna i ekvationen. Tänk på exempel.

Exempel. Räta ekvation: 1. .

Låt oss skriva om ekvationen annorlunda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Beslut. Låt oss skriva om ekvationen annorlunda:

Ange https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - inte lämplig.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationell ekvation. Vi noterar att

Lösningen till ekvationen är x = 2,5 ≤ 4, så 2,5 är roten till ekvationen. Svar: 2.5.

Beslut. Låt oss skriva om ekvationen i formen och dividera båda sidorna med 56x+6 ≠ 0. Vi får ekvationen

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, alltså..png" width="118" height="56">

Rötterna till andragradsekvationen - t1 = 1 och t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Beslut . Vi skriver om ekvationen i formen

och notera att det är en homogen ekvation av andra graden.

Dividera ekvationen med 42x, vi får

Ersätt https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Svar: 0; 0,5.

Uppgiftsbank #3. lösa ekvationen

b)

G)

Test #3 med ett urval av svar. Lägsta nivå.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) inga rötter 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) inga rötter 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 med ett urval av svar. Allmän nivå.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) inga rötter

5. Metod för faktorisering.

1. Lös ekvationen: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösning..png" width="169" height="69"> , varifrån

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Beslut. Låt oss ta ut 6x på vänster sida av ekvationen och 2x på höger sida. Vi får ekvationen 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Eftersom 2x >0 för alla x, kan vi dividera båda sidor av denna ekvation med 2x utan rädsla för att förlora lösningar. Vi får 3x = 1ó x = 0.

3.

Beslut. Vi löser ekvationen genom att faktorisera.

Vi väljer kvadraten på binomialen

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 är roten till ekvationen.

Ekvation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15,x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Allmän nivå.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponentiell - potensekvationer.

Exponentiella ekvationer angränsas av de så kallade exponentialpotensekvationerna, dvs ekvationer av formen (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Om man vet att f(x)>0 och f(x) ≠ 1, så löses ekvationen, liksom den exponentiella, genom att likställa exponenterna g(x) = f(x).

Om villkoret inte utesluter möjligheten för f(x)=0 och f(x)=1, måste vi ta hänsyn till dessa fall när vi löser exponentialpotensekvationen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Beslut. x2 +2x-8 - är vettigt för alla x, eftersom ett polynom, så ekvationen är ekvivalent med mängden

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponentiella ekvationer med parametrar.

1. För vilka värden av parametern p har ekvationen 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) enda beslut?

Beslut. Låt oss introducera förändringen 2x = t, t > 0, då kommer ekvation (1) att ha formen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanten i ekvation (2) är D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ekvation (1) har en unik lösning om ekvation (2) har en positiv rot. Detta är möjligt i följande fall.

1. Om D = 0, det vill säga p = 1, kommer ekvation (2) att ha formen t2 – 2t + 1 = 0, därav t = 1, därför har ekvation (1) en unik lösning x = 0.

2. Om p1, då 9(p – 1)2 > 0, så har ekvation (2) två olika rötter t1 = p, t2 = 4p – 3. Systemuppsättningen uppfyller problemets villkor

Att ersätta t1 och t2 i systemen har vi

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Beslut. Låt vara då kommer ekvation (3) att ha formen t2 – 6t – a = 0. (4)

Låt oss hitta värdena för parametern a för vilken minst en rot av ekvation (4) uppfyller villkoret t > 0.

Låt oss introducera funktionen f(t) = t2 – 6t – a. Följande fall är möjliga.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Ekvation (4) har en unik positiv lösning om

D = 0, om a = – 9, kommer ekvation (4) att ha formen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Ekvation (4) har två rötter, men en av dem uppfyller inte olikheten t > 0. Detta är möjligt om

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Således, vid a 0 har ekvation (4) en enda positiv rot . Då har ekvation (3) en unik lösning

För en< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Om en< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
om a = – 9, då x = – 1;

om a  0, då

Låt oss jämföra metoderna för att lösa ekvationerna (1) och (3). Observera att när ekvation (1) löstes reducerades till en andragradsekvation, vars diskriminant är en hel kvadrat; således beräknades rötterna till ekvation (2) omedelbart med formeln för rötter till andragradsekvationen, och sedan drogs slutsatser om dessa rötter. Ekvation (3) reducerades till en andragradsekvation (4), vars diskriminant inte är en perfekt kvadrat, därför är det, när man löser ekvation (3), tillrådligt att använda satser om placeringen av rötterna till ett kvadrattrinomial och en grafisk modell. Observera att ekvation (4) kan lösas med hjälp av Vieta-satsen.

Låt oss lösa mer komplexa ekvationer.

Uppgift 3. Lös ekvationen

Beslut. ODZ: x1, x2.

Låt oss introducera en ersättare. Låt 2x = t, t > 0, då, som ett resultat av transformationer, kommer ekvationen att ha formen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hitta värdena av a för vilka minst en rot av ekvationen (*) uppfyller villkoret t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: om a > - 13, a  11, a  5, då om a - 13,

a = 11, a = 5, då finns det inga rötter.

Bibliografi.

1. Guzeevs grunder för utbildningsteknologi.

2. Guzeev-teknik: från reception till filosofi.

M. "Rektor" nr 4, 1996

3. Guzeev och organisatoriska utbildningsformer.

4. Guzeev och utövandet av integrerad pedagogisk teknologi.

M." offentlig utbildning", 2001

5. Guzeev från formerna för lektionen - seminarium.

Matematik i skolan nr 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Selevko utbildningsteknologier.

M. "Folkets utbildning", 1998

7. Episheva skolbarn lär sig matematik.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov för att förbereda lektioner - workshops.

Matematik i skolan nr 6, 1990, sid. 37-40.

9. Smirnov modell för undervisning i matematik.

Matematik i skolan nr 1, 1997, sid. 32-36.

10. Tarasenko sätt att organisera praktiskt arbete.

Matematik i skolan nr 1, 1993, sid. 27 - 28.

11. Om en av typerna av individuellt arbete.

Matematik i skolan nr 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Khazankin Kreativa färdigheter skolbarn.

Matematik i skolan nr 2, 1989, sid. tio.

13. Scanavi. Förlag, 1997

14. et al. Algebra och början av analys. Didaktiskt material för

15. Krivonogov uppgifter i matematik.

M. "Första september", 2002

16. Tjerkasov. Handbok för gymnasieelever och

komma in på universiteten. "A S T - pressskola", 2002

17. Zhevnyak för sökande till universitet.

Minsk och RF "Review", 1996

18. Skriftlig D. Förberedelse inför tentamen i matematik. M. Rolf, 1999

19. mfl. Lära sig lösa ekvationer och ojämlikheter.

M. "Intellekt - Center", 2003

20. och andra. Utbildnings- och träningsmaterial för att förbereda E G E.

M. "Intellekt - Center", 2003 och 2004

21 och andra Varianter av CMM. Testcenter vid Ryska federationens försvarsministerium, 2002, 2003

22. Goldbergs ekvationer. "Quantum" nr 3, 1971

23. Volovich M. Hur man framgångsrikt undervisar i matematik.

Matematik, 1997 nr 3.

24 Okunev för lektionen, barn! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - orienterad utbildning i skolan.

26. Liimets arbetar på lektionen. M. Kunskap, 1975

Den här lektionen är avsedd för dem som precis har börjat lära sig exponentiella ekvationer. Som alltid, låt oss börja med en definition och enkla exempel.

Om du läser den här lektionen, så misstänker jag att du redan har åtminstone en minimal förståelse för de enklaste ekvationerna - linjära och kvadratiska: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ osv. Att kunna lösa sådana konstruktioner är absolut nödvändigt för att inte "hänga" i ämnet som kommer att diskuteras nu.

Exponentiella ekvationer alltså. Låt mig ge dig ett par exempel:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Vissa av dem kan verka mer komplicerade för dig, vissa av dem är tvärtom för enkla. Men alla är förenade av en viktig egenskap: de innehåller en exponentiell funktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Därför introducerar vi definitionen:

En exponentiell ekvation är vilken ekvation som helst som innehåller en exponentialfunktion, dvs. ett uttryck av formen $((a)^(x))$. Förutom den specificerade funktionen kan sådana ekvationer innehålla andra algebraiska konstruktioner - polynom, rötter, trigonometri, logaritmer, etc.

Okej då. Förstod definitionen. Nu är frågan: hur löser man allt detta skit? Svaret är både enkelt och komplext på samma gång.

Låt oss börja med de goda nyheterna: från min erfarenhet med många elever kan jag säga att för de flesta av dem är exponentiella ekvationer mycket lättare än samma logaritmer, och ännu mer trigonometri.

Men det finns också dåliga nyheter: ibland får problemkompilatorerna för alla typer av läroböcker och tentor besök av "inspiration", och deras droginflammerade hjärna börjar producera så brutala ekvationer att det blir problematiskt inte bara för eleverna att lösa dem - även många lärare fastnar på sådana problem.

Men låt oss inte prata om sorgliga saker. Och låt oss återgå till de tre ekvationerna som gavs i början av berättelsen. Låt oss försöka lösa var och en av dem.

Första ekvationen: $((2)^(x))=4$. Tja, till vilken makt måste siffran 2 höjas för att få siffran 4? Kanske den andra? När allt kommer omkring är $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — och vi har fått den korrekta numeriska likheten, d.v.s. faktiskt $x=2$. Tja, tack, mössa, men den här ekvationen var så enkel att även min katt kunde lösa den. :)

Låt oss titta på följande ekvation:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Men här är det lite svårare. Många elever vet att $((5)^(2))=25$ är multiplikationstabellen. Vissa misstänker också att $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ i huvudsak är definitionen negativa krafter(i analogi med formeln $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Slutligen, bara ett fåtal utvalda gissar att dessa fakta kan kombineras och resultatet är följande resultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

Således kommer vår ursprungliga ekvation att skrivas om enligt följande:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Högerpil ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Och nu är detta redan helt löst! På vänster sida av ekvationen finns en exponentialfunktion, på höger sida av ekvationen finns en exponentialfunktion, det finns inget annat än dem någon annanstans. Därför är det möjligt att "kassera" baserna och dumt likställa indikatorerna:

Vi har den enklaste linjära ekvationen som alla elever kan lösa på bara ett par rader. Okej, på fyra rader:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Om du inte förstod vad som hände på de senaste fyra raderna, se till att gå tillbaka till ämnet " linjära ekvationer' och upprepa det. För utan en tydlig assimilering av detta ämne är det för tidigt för dig att ta dig an exponentiella ekvationer.

\[((9)^(x))=-3\]

Tja, hur bestämmer du dig? Första tanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, så den ursprungliga ekvationen kan skrivas om så här:

\[((\vänster(((3)^(2)) \höger))^(x))=-3\]

Sedan kommer vi ihåg att när man höjer en grad till en makt, multipliceras indikatorerna:

\[((\vänster(((3)^(2)) \höger))^(x))=((3)^(2x))\Högerpil ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Och för ett sådant beslut får vi en ärligt välförtjänt tvåa. För vi, med en Pokémons jämnmod, skickade minustecknet framför de tre till kraften av just dessa tre. Och det kan du inte göra. Och det är varför. Ta en titt på trippelns olika krafter:

\[\begin(matris) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matris)\]

Sammanställa denna tablett, så snart jag inte perverterade: och positiva grader anses, och negativ, och även bråktal ... ja, där är åtminstone en ett negativt tal? Han är inte! Och det kan det inte vara, eftersom exponentialfunktionen $y=((a)^(x))$ för det första alltid bara tar positiva värden(oavsett hur mycket du multiplicerar en eller dividerar med två, kommer det fortfarande att vara ett positivt tal), och för det andra är basen för en sådan funktion - talet $a$ - per definition ett positivt tal!

Tja, hur löser man då ekvationen $((9)^(x))=-3$? Nej, det finns inga rötter. Och i den meningen är exponentiella ekvationer väldigt lika andragradsekvationer - det kan inte heller finnas några rötter. Men om antalet rötter i andragradsekvationer bestäms av diskriminanten (diskriminanten är positiv - 2 rötter, negativ - inga rötter), så beror det i exponentiella ekvationer på vad som står till höger om likhetstecknet.

Således formulerar vi nyckelslutsatsen: den enklaste exponentiella ekvationen av formen $((a)^(x))=b$ har en rot om och endast om $b>0$. Genom att känna till detta enkla faktum kan du enkelt avgöra om ekvationen som föreslagits för dig har rötter eller inte. De där. är det värt att lösa det överhuvudtaget eller omedelbart skriva ner att det inte finns några rötter.

Denna kunskap kommer att hjälpa oss mer än en gång när vi måste bestämma mer utmanande uppgifter. Under tiden, tillräckligt med texter - det är dags att studera den grundläggande algoritmen för att lösa exponentiella ekvationer.

Hur man löser exponentiella ekvationer

Så låt oss formulera problemet. Det är nödvändigt att lösa exponentialekvationen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Enligt den "naiva" algoritmen som vi använde tidigare är det nödvändigt att representera talet $b$ som en potens av talet $a$:

Dessutom, om det istället för variabeln $x$ finns något uttryck, får vi en ny ekvation, som redan kan lösas. Till exempel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Högerpil ((2)^(x))=((2)^(3))\Högerpil x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Högerpil ((3)^(-x))=((3)^(4))\Högerpil -x=4\Högerpil x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Högerpil ((5)^(2x))=((5)^(3))\Högerpil 2x=3\Högerpil x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Och konstigt nog fungerar detta system i cirka 90% av fallen. Hur är det med de övriga 10% då? De återstående 10% är lätt "schizofrena" exponentiella ekvationer av formen:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Till vilken makt behöver du höja 2 för att få 3? I den första? Men nej: $((2)^(1))=2$ räcker inte. På sekunden? Varken: $((2)^(2))=4$ är för mycket. Vad händer då?

Kunniga studenter har förmodligen redan gissat: i sådana fall, när det är omöjligt att lösa "vackert", är "tungt artilleri" kopplat till fallet - logaritmer. Låt mig påminna dig om att med logaritmer kan vilket positivt tal som helst representeras som en potens av vilket annat positivt tal som helst (med undantag av ett):

Kommer du ihåg den här formeln? När jag berättar för mina elever om logaritmer, varnar jag er alltid: den här formeln (det är också den grundläggande logaritmiska identiteten eller, om du så vill, definitionen av logaritmen) kommer att förfölja dig under mycket lång tid och "uppstå" i de flesta oväntade platser. Nåväl, hon dök upp. Låt oss titta på vår ekvation och denna formel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Om vi ​​antar att $a=3$ är vårt ursprungliga tal till höger, och $b=2$ är själva basen för den exponentialfunktion som vi så vill reducera den högra sidan till, får vi följande:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Högerpil 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Högerpil ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Högerpil x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Vi fick ett lite konstigt svar: $x=((\log )_(2))3$. I någon annan uppgift, med ett sådant svar, skulle många tvivla och börja dubbelkolla sin lösning: tänk om det var ett misstag någonstans? Jag skyndar mig att behaga dig: det finns inget fel här, och logaritmer i rötterna till exponentiella ekvationer är en ganska typisk situation. Så vänja dig. :)

Nu löser vi analogt de återstående två ekvationerna:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Högerpil ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Högerpil x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Högerpil ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Högerpil 2x=( (\log )_(4))11\Högerpil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Det är allt! Förresten, det sista svaret kan skrivas annorlunda:

Det var vi som introducerade multiplikatorn i logaritmens argument. Men ingen hindrar oss från att lägga till denna faktor till basen:

I det här fallet är alla tre alternativen korrekta - det är bara olika former poster med samma nummer. Vilken du ska välja och skriva ner i detta beslut är upp till dig.

Vi har alltså lärt oss att lösa alla exponentiella ekvationer av formen $((a)^(x))=b$, där talen $a$ och $b$ är strikt positiva. dock hård verklighet vår värld är så lik enkla uppgifter kommer att träffa dig väldigt, väldigt sällan. Oftare kommer du att stöta på något i stil med detta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Tja, hur bestämmer du dig? Kan detta överhuvudtaget lösas? Och i så fall, hur?

Ingen panik. Alla dessa ekvationer reduceras snabbt och enkelt till enkla formler som vi redan har övervägt. Du behöver bara veta för att komma ihåg ett par knep från algebrakursen. Och självklart finns det inga regler för att arbeta med examina här. Jag ska prata om allt det här nu. :)

Transformation av exponentiella ekvationer

Det första att komma ihåg är att varje exponentiell ekvation, oavsett hur komplex den kan vara, på ett eller annat sätt måste reduceras till de enklaste ekvationerna - just de som vi redan har övervägt och som vi vet hur vi ska lösa. Med andra ord, schemat för att lösa alla exponentiella ekvationer ser ut så här:

1. Skriv ner den ursprungliga ekvationen. Till exempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Gör lite dumt skit. Eller till och med något skit som heter "förvandla ekvationen";
3. Vid utgången får du de enklaste uttrycken som $((4)^(x))=4$ eller något annat liknande. Dessutom kan en initial ekvation ge flera sådana uttryck samtidigt.

Med den första punkten är allt klart - även min katt kan skriva ekvationen på ett löv. Även med den tredje punkten verkar det vara mer eller mindre klart - vi har redan löst en hel massa sådana ekvationer ovan.

Men hur är det med den andra punkten? Vilka är förvandlingarna? Vad ska man konvertera till vad? Och hur?

Nåväl, låt oss ta reda på det. Först och främst vill jag påpeka följande. Alla exponentialekvationer är indelade i två typer:

1. Ekvationen är sammansatt av exponentialfunktioner med samma bas. Exempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formeln innehåller exponentialfunktioner med olika baser. Exempel: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ och $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Låt oss börja med ekvationer av den första typen - de är lättast att lösa. Och i deras lösning kommer vi att få hjälp av en sådan teknik som valet av stabila uttryck.

Att lyfta fram ett stabilt uttryck

Låt oss titta på denna ekvation igen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Vad ser vi? De fyra är upphöjda i olika grad. Men alla dessa potenser är enkla summor av variabeln $x$ med andra tal. Därför är det nödvändigt att komma ihåg reglerna för att arbeta med grader:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Enkelt uttryckt kan addition av exponenter omvandlas till en produkt av potenser, och subtraktion omvandlas enkelt till division. Låt oss försöka tillämpa dessa formler på potenserna från vår ekvation:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Vi skriver om den ursprungliga ekvationen med hänsyn till detta faktum, och sedan samlar vi alla termer till vänster:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+(4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elva; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

De första fyra termerna innehåller elementet $((4)^(x))$ — låt oss ta det ur parentesen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Det återstår att dividera båda delarna av ekvationen med bråket $-\frac(11)(4)$, d.v.s. multiplicera i huvudsak med det inverterade bråket - $-\frac(4)(11)$. Vi får:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Det är allt! Vi reducerade den ursprungliga ekvationen till den enklaste och fick det slutliga svaret.

Samtidigt upptäckte vi (och tog till och med ur parentesen) den gemensamma faktorn $((4)^(x))$ i processen att lösa - det här är det stabila uttrycket. Den kan betecknas som en ny variabel, eller så kan du helt enkelt uttrycka den korrekt och få ett svar. I alla fall, nyckelprincip lösningarna är följande:

Hitta i den ursprungliga ekvationen ett stabilt uttryck som innehåller en variabel som lätt kan särskiljas från alla exponentialfunktioner.

Den goda nyheten är att nästan varje exponentiell ekvation medger ett så stabilt uttryck.

Men det finns också dåliga nyheter: sådana uttryck kan vara väldigt knepiga, och det kan vara ganska svårt att skilja dem åt. Så låt oss titta på ett annat problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Kanske kommer någon nu att ha en fråga: "Pasha, är du stenad? Här finns olika baser - 5 och 0,2. Men låt oss försöka konvertera en potens med basen 0,2. Låt oss till exempel bli av med decimalbråket och föra det till det vanliga:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\vänster(x+1 \höger)))=((\left(\frac(2)(10) ) \höger))^(-\vänster(x+1 \höger)))=((\vänster(\frac(1)(5) \höger))^(-\vänster(x+1 \höger)) )\]

Som du kan se dök siffran 5 fortfarande upp, om än i nämnaren. Samtidigt skrevs indikatorn om till negativ. Och nu minns vi en av väsentliga regler arbeta med examina:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Högerpil ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\vänster(x+1 \höger)))=((\vänster(\frac(5)(1) \höger))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Här fuskade jag såklart lite. För för en fullständig förståelse måste formeln för att bli av med negativa indikatorer skrivas enligt följande:

\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Högerpil ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ höger))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Å andra sidan hindrade ingenting oss från att arbeta med endast en bråkdel:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ höger))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Men i det här fallet måste du kunna höja en grad till en annan grad (jag påminner dig: i det här fallet läggs indikatorerna ihop). Men jag behövde inte "vända" bråken - kanske för någon blir det lättare. :)

I vilket fall som helst kommer den ursprungliga exponentiella ekvationen att skrivas om som:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Så det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ännu lättare att lösa än den tidigare övervägda: här behöver du inte ens peka ut ett stabilt uttryck - allt har reducerats av sig självt. Det återstår bara att komma ihåg att $1=((5)^(0))$, varifrån vi får:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Vi fick det sista svaret: $x=-2$. Samtidigt skulle jag vilja notera ett knep som avsevärt förenklade alla beräkningar för oss:

I exponentiella ekvationer, se till att bli av med decimalbråk konvertera dem till normala. Detta gör att du kan se samma grunder för graderna och avsevärt förenkla lösningen.

Låt oss nu gå vidare till mer komplexa ekvationer där det finns olika baser, som i allmänhet inte kan reduceras till varandra med hjälp av potenser.

Använder exponentegenskapen

Låt mig påminna dig om att vi har ytterligare två särskilt hårda ekvationer:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Den största svårigheten här är att det inte är klart vad och till vilken grund man ska leda. Var finns de fasta uttrycken? Var finns de gemensamma grunderna? Det finns inget av detta.

Men låt oss försöka gå åt andra hållet. Om inte redo samma baser, kan du försöka hitta dem genom att faktorisera de tillgängliga baserna.

Låt oss börja med den första ekvationen:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Högerpil ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Men trots allt kan du göra tvärtom - gör upp siffran 21 från siffrorna 7 och 3. Det är särskilt lätt att göra detta till vänster, eftersom indikatorerna för båda graderna är desamma:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Det är allt! Du tog exponenten ur produkten och fick direkt en vacker ekvation som kan lösas på ett par rader.

Låt oss nu ta itu med den andra ekvationen. Här är allt mycket mer komplicerat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

I det här fallet visade sig fraktionerna vara irreducerbara, men om något kunde reduceras, se till att minska det. Detta kommer ofta att resultera i intressanta grunder som du redan kan arbeta med.

Tyvärr har vi inte kommit fram till något. Men vi ser att exponenterna till vänster i produkten är motsatta:

Låt mig påminna dig: för att bli av med minustecknet i exponenten behöver du bara "vända" bråket. Så låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

På den andra raden placerade vi bara inom parentes summan från produkten enligt regeln $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, och i den senare multiplicerade de helt enkelt talet 100 med en bråkdel.

Notera nu att siffrorna till vänster (vid basen) och till höger är något liknande. På vilket sätt? Ja, uppenbarligen: de är makter av samma nummer! Vi har:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \höger))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \höger))^(2)). \\\end(align)\]

Därför kommer vår ekvation att skrivas om enligt följande:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10) \höger))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \höger))^(3\vänster(x-1 \höger)))=((\vänster(\frac(10)(3) \höger))^(3x-3))\]

Samtidigt, till höger, kan du också få en examen med samma bas, för vilken det räcker att bara "vända" bråket:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Slutligen kommer vår ekvation att ta formen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Det är hela lösningen. Dess huvudidé kokar ner till det faktum att även av olika anledningar försöker vi med krok eller skurk reducera dessa skäl till samma. I detta har vi hjälp av elementära transformationer av ekvationer och reglerna för att arbeta med potenser.

Men vilka regler och när ska man använda? Hur förstår man att i en ekvation måste du dela båda sidor med något, och i en annan - för att bryta ner exponentialfunktionens bas i faktorer?

Svaret på denna fråga kommer med erfarenhet. Försök först med enkla ekvationer, och komplicera sedan gradvis uppgifterna - och mycket snart kommer dina färdigheter att räcka för att lösa vilken exponentiell ekvation som helst från samma ANVÄNDNING eller något oberoende/testarbete.

Och för att hjälpa dig i denna svåra uppgift föreslår jag att du laddar ner en uppsättning ekvationer på min webbplats för en oberoende lösning. Alla ekvationer har svar, så du kan alltid kontrollera dig själv.