Linje skärningsformel. De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Inbördes arrangemang av linjer. Vinkel mellan raderna

Lektion från serien "Geometriska algoritmer"

Hej kära läsare!

Vi fortsätter att bekanta oss med geometriska algoritmer. I den sista lektionen hittade vi ekvationen för en rät linje i koordinaterna för två punkter. Vi har en ekvation av formen:

Idag kommer vi att skriva en funktion som, med hjälp av ekvationerna för två räta linjer, kommer att hitta koordinaterna för deras skärningspunkt (om någon). För att kontrollera likheten mellan reella tal använder vi specialfunktionen RealEq().

Punkter på planet beskrivs av ett par reella tal. När du använder den riktiga typen är det bättre att ordna jämförelseoperationerna med specialfunktioner.

Anledningen är känd: det finns ingen ordningsrelation på Real-typen i Pascal-programmeringssystemet, så det är bättre att inte använda poster av formen a = b, där a och b är reella tal.
Idag kommer vi att introducera funktionen RealEq() för att implementera operationen "=" (strikt lika):

Funktion RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strikt lika) börja RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Uppgift. Ekvationer för två räta linjer ges: och . Hitta deras skärningspunkt.

Beslut. Den uppenbara lösningen är att lösa systemet med linjeekvationer: Låt oss skriva om det här systemet lite annorlunda:
(1)

Vi introducerar notationen: , , . Här är D systemets determinant, och är determinanter som erhålls genom att ersätta kolumnen med koefficienter för motsvarande okända med en kolumn med fria termer. Om , då är system (1) definitivt, det vill säga det har en unik lösning. Denna lösning kan hittas med följande formler: , , som kallas Cramers formler. Låt mig påminna dig om hur andra ordningens determinant beräknas. Determinanten skiljer mellan två diagonaler: den huvudsakliga och sekundära. Huvuddiagonalen består av element tagna i riktning från det övre vänstra hörnet av determinanten till det nedre högra hörnet. Side diagonal - från övre högra till nedre vänstra. Den andra ordningens determinant är lika med produkten av elementen i huvuddiagonalen minus produkten av elementen i den sekundära diagonalen.

Koden använder RealEq()-funktionen för att kontrollera likhet. Beräkningar över reella tal görs med noggrannhet upp till _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(beräkningsnoggrannhet) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funktion RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strikt lika) börja RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Vi har sammanställt ett program med vilket du kan, genom att känna till linjernas ekvationer, hitta koordinaterna för deras skärningspunkt.

Låt två linjer ges och det krävs för att hitta deras skärningspunkt. Eftersom denna punkt tillhör var och en av de två givna linjerna, måste dess koordinater uppfylla både ekvationen för den första linjen och ekvationen för den andra linjen.

För att hitta koordinaterna för skärningspunkten mellan två linjer bör man lösa ekvationssystemet

Exempel 1. Hitta skärningspunkten för linjer och

Beslut. Vi hittar koordinaterna för den önskade skärningspunkten genom att lösa ekvationssystemet

Skärningspunkten M har koordinater

Låt oss visa hur man konstruerar en rät linje från dess ekvation. För att dra en linje räcker det att känna till två av dess punkter. För att plotta var och en av dessa punkter ger vi ett godtyckligt värde till en av dess koordinater, och sedan hittar vi från ekvationen motsvarande värde för den andra koordinaten.

Om i den allmänna ekvationen för en rät linje, båda koefficienterna vid de aktuella koordinaterna inte är lika med noll, är det bäst att konstruera denna räta linje att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna.

Exempel 2. Konstruera en rät linje.

Beslut. Hitta skärningspunkten för denna linje med x-axeln. För att göra detta löser vi tillsammans deras ekvationer:

och vi får. Således hittades punkten M (3; 0) för skärningen av denna räta linje med abskissaxeln (fig. 40).

Lös sedan gemensamt ekvationen för den givna linjen och ekvationen för y-axeln

vi hittar skärningspunkten för linjen med y-axeln. Slutligen konstruerar vi en linje från dess två punkter M och

1. För att hitta koordinaterna för skärningspunkten för graferna för funktioner måste du likställa båda funktionerna med varandra, flytta alla termer som innehåller $ x $ till vänster sida och resten till höger och hitta rötterna till den resulterande ekvation.
2. Det andra sättet är att komponera ett ekvationssystem och lösa det genom att ersätta en funktion med en annan
3. Den tredje metoden involverar den grafiska konstruktionen av funktioner och den visuella definitionen av skärningspunkten.

Fall av två linjära funktioner

Betrakta två linjära funktioner $ f(x) = k_1 x+m_1 $ och $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Dessa funktioner kallas direkt. Att bygga dem är tillräckligt enkelt, du behöver bara ta två valfria värden $x_1$ och $x_2$ och hitta $f(x_1)$ och $(x_2)$. Upprepa sedan samma sak med $ g(x) $-funktionen. Hitta sedan visuellt koordinaten för skärningspunkten för funktionsgraferna.

Du bör veta att linjära funktioner bara har en skärningspunkt och endast när $ k_1 \neq k_2 $. Annars, i fallet med $ k_1=k_2 $, är funktionerna parallella med varandra, eftersom $ k $ är lutningsfaktorn. Om $ k_1 \neq k_2 $, men $ m_1=m_2 $, så blir skärningspunkten $ M(0;m) $. Det är önskvärt att komma ihåg denna regel för snabbare problemlösning.

Fall av två icke-linjära funktioner

I tvådimensionellt rum skär två linjer endast i en punkt, givet av koordinaterna (x, y). Eftersom båda linjerna passerar genom skärningspunkten måste koordinaterna (x, y) uppfylla båda ekvationerna som beskriver dessa linjer. Med vissa avancerade färdigheter kan du hitta skärningspunkterna för paraboler och andra kvadratiska kurvor.

Steg

Skärningspunkt mellan två linjer

Skriv ner ekvationen för varje rad, isolera variabeln "y" på vänster sida av ekvationen. Andra termer i ekvationen bör placeras på höger sida av ekvationen. Kanske kommer ekvationen som ges till dig istället för "y" att innehålla variabeln f (x) eller g (x); i detta fall isolera en sådan variabel. För att isolera en variabel, utför lämpliga matematiska operationer på båda sidor av ekvationen.

• Om linjernas ekvationer inte ges till dig, på grundval av information som du känner till.
• Exempel. Givet raka linjer som beskrivs av ekvationerna och y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). För att isolera "y" i den andra ekvationen, lägg till talet 12 på båda sidor av ekvationen:

1. Du letar efter skärningspunkten för båda linjerna, det vill säga den punkt vars (x, y) koordinater uppfyller båda ekvationerna. Eftersom variabeln "y" finns på vänster sida av varje ekvation, kan uttrycken på höger sida av varje ekvation likställas. Skriv ner en ny ekvation.

   • Exempel. Som y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) och y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), då kan vi skriva följande likhet: .

2. Hitta värdet på variabeln "x". Den nya ekvationen innehåller bara en variabel "x". För att hitta "x", isolera denna variabel på vänster sida av ekvationen genom att göra lämplig matematik på båda sidor av ekvationen. Du bör sluta med en ekvation som x = __ (om du inte kan göra det, se det här avsnittet).

   • Exempel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Lägg till 2x (\displaystyle 2x) på varje sida av ekvationen:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Subtrahera 3 från varje sida av ekvationen:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Dividera varje sida av ekvationen med 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Använd det hittade värdet för variabeln "x" för att beräkna värdet på variabeln "y". För att göra detta, ersätt det hittade värdet "x" i ekvationen (valfri) rät linje.

   • Exempel. x = 3 (\displaystyle x=3) och y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Kontrollera svaret. För att göra detta, ersätt värdet av "x" i en annan ekvation av en rät linje och hitta värdet för "y". Om du får olika "y"-värden, kontrollera att dina beräkningar är korrekta.

   • Exempel: x = 3 (\displaystyle x=3) och y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Du fick samma "y"-värde, så det finns inga fel i dina beräkningar.

5. Skriv ner koordinaterna (x, y). Genom att beräkna värdena för "x" och "y" har du hittat koordinaterna för skärningspunkten för två linjer. Skriv ner koordinaterna för skärningspunkten i formen (x, y).

   • Exempel. x = 3 (\displaystyle x=3) och y=6 (\displaystyle y=6)
   • Således skär två linjer i en punkt med koordinater (3,6).

6. Beräkningar i speciella fall. I vissa fall kan värdet på variabeln "x" inte hittas. Men det betyder inte att du gjorde ett misstag. Ett specialfall inträffar när något av följande villkor är uppfyllt:

   • Om två linjer är parallella, skär de inte varandra. I det här fallet kommer variabeln "x" helt enkelt att reduceras, och din ekvation kommer att förvandlas till en meningslös likhet (till exempel, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Skriv i så fall ner i ditt svar att linjerna inte skär varandra eller att det inte finns någon lösning.
   • Om båda ekvationerna beskriver en rät linje, kommer det att finnas ett oändligt antal skärningspunkter. I det här fallet kommer variabeln "x" helt enkelt att reduceras, och din ekvation kommer att förvandlas till en strikt likhet (till exempel, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Skriv i så fall ner i ditt svar att de två raderna sammanfaller.

   Problem med kvadratiska funktioner

   1. Definition av en kvadratisk funktion. I en kvadratisk funktion har en eller flera variabler en andra grad (men inte högre), till exempel, x 2 (\displaystyle x^(2)) eller y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafer för kvadratiska funktioner är kurvor som inte får skära eller skära varandra i en eller två punkter. I det här avsnittet kommer vi att berätta hur du hittar skärningspunkten eller skärningspunkterna för kvadratiska kurvor.

   2. Skriv om varje ekvation genom att isolera variabeln "y" på vänster sida av ekvationen. Andra termer i ekvationen bör placeras på höger sida av ekvationen.

      • Exempel. Hitta skärningspunkterna för graferna x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) och
      • Isolera variabeln "y" på vänster sida av ekvationen:
      • och y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • I det här exemplet får du en kvadratisk funktion och en linjär funktion. Kom ihåg att om du får två andragradsfunktioner är beräkningarna desamma som stegen nedan.

   3. Jämför uttrycken på höger sida av varje ekvation. Eftersom variabeln "y" finns på vänster sida av varje ekvation, kan uttrycken på höger sida av varje ekvation likställas.

      • Exempel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) och y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Överför alla termer i den resulterande ekvationen till dess vänstra sida och skriv 0 på höger sida. För att göra detta, utför grundläggande matematiska operationer. Detta gör att du kan lösa den resulterande ekvationen.

      • Exempel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Subtrahera "x" från båda sidor av ekvationen:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Subtrahera 7 från båda sidor av ekvationen:

   5. Lös andragradsekvationen. Genom att överföra alla termer i ekvationen till dess vänstra sida får du en andragradsekvation. Det kan lösas på tre sätt: med hjälp av en speciell formel, och.

      • Exempel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • När man faktoriserar ekvationen får man två binomialer, som multiplicerade ger den ursprungliga ekvationen. I vårt exempel, den första medlemmen x 2 (\displaystyle x^(2)) kan delas upp i x*x. Ange följande: (x)(x) = 0
      • I vårt exempel kan skärningen -6 faktoriseras enligt följande: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • I vårt exempel är den andra termen x (eller 1x). Lägg till varje par av skärningsfaktorer (-6 i vårt exempel) tills du får 1. I vårt exempel är det korrekta paret av skärningsfaktorer -2 och 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), som − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Fyll i luckorna med det hittade nummerparet: .

   6. Glöm inte den andra skärningspunkten mellan de två graferna. Om du löser problemet snabbt och inte särskilt noggrant kan du glömma den andra skärningspunkten. Så här hittar du "x"-koordinaterna för två skärningspunkter:

      • Exempel (factoring). Om i ekvationen (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) ett av uttrycken inom parentes blir lika med 0, då blir hela ekvationen lika med 0. Därför kan vi skriva det så här: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) och x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (det vill säga du hittade två rötter till ekvationen).
      • Exempel (använd formel eller komplett kvadrat). När du använder någon av dessa metoder kommer en kvadratrot att visas i lösningsprocessen. Till exempel kommer ekvationen från vårt exempel att ha formen x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Kom ihåg att när du tar kvadratroten får du två lösningar. I vårat fall: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), och 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Så skriv ner två ekvationer och hitta två x-värden.

   7. Grafer skär varandra vid en punkt eller skär inte alls. Sådana situationer uppstår när följande villkor är uppfyllda:

      • Om graferna skär varandra vid en punkt, delas den andragradsekvationen upp i lika faktorer, till exempel (x-1) (x-1) = 0, och kvadratroten ur 0 visas i formeln ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). I detta fall har ekvationen bara en lösning.
      • Om graferna inte skär varandra alls, faktoriseras inte ekvationen, och kvadratroten av ett negativt tal visas i formeln (till exempel, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Skriv i så fall i svaret att det inte finns någon lösning.

Vinkelrät linje

Denna uppgift är förmodligen en av de mest populära och efterfrågade i skolböcker. Uppgifterna utifrån detta tema är många. Detta är definitionen av skärningspunkten för två linjer, detta är definitionen av ekvationen för en rät linje som passerar genom en punkt på den ursprungliga linjen i någon vinkel.

Vi kommer att täcka detta ämne med hjälp av de data som erhållits med hjälp av våra beräkningar

Det var där som omvandlingen av den allmänna ekvationen för en rät linje, till en ekvation med en lutning och vice versa, och bestämningen av de återstående parametrarna för en rät linje enligt givna förhållanden övervägdes.

Vad saknar vi för att lösa problemen som denna sida ägnas åt?

1. Formler för att beräkna en av vinklarna mellan två skärande linjer.

Om vi ​​har två räta linjer som ges av ekvationerna:

då beräknas en av vinklarna så här:

2. Ekvation för en rät linje med en lutning som går genom en given punkt

Från formel 1 kan vi se två gränstillstånd

a) när då och därför dessa två givna linjer är parallella (eller sammanfaller)

b) när , då , och därför dessa linjer är vinkelräta, det vill säga de skär i rät vinkel.

Vilka initiala data kan vara för att lösa sådana problem, förutom en given rät linje?

En punkt på en linje och vinkeln med vilken den andra linjen skär den

Linjens andra ekvation

Vilka uppgifter kan en bot lösa?

1. Två räta linjer ges (explicit eller implicit, till exempel med två punkter). Beräkna skärningspunkten och vinklarna vid vilka de skär.

2. Givet en rät linje, en punkt på en rät linje och en vinkel. Bestäm ekvationen för en rät linje som skär en given i en specificerad vinkel

Exempel

Två räta linjer ges av ekvationer. Hitta skärningspunkten för dessa linjer och vinklarna vid vilka de skär

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Vi får följande resultat

Ekvationen för den första raden

y = 2,2 x + (1,2)

Ekvationen för den andra raden

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Skärningsvinkel mellan två linjer (i grader)

-42.357454705937

Skärningspunkt mellan två linjer

x=-3,5

y=-6,5

Glöm inte att parametrarna för de två raderna är separerade med kommatecken och parametrarna för varje rad med semikolon.

Linjen går genom två punkter (1:-4) och (5:2) . Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkten (-2:-8) och skär den ursprungliga linjen i en vinkel på 30 grader.

En rak linje är känd för oss, eftersom två punkter genom vilka den passerar är kända.

Det återstår att bestämma ekvationen för den andra räta linjen. En punkt är känd för oss, och istället för den andra indikeras vinkeln med vilken den första linjen skär den andra.

Allt verkar vara känt, men huvudsaken här är att inte ta miste på. Vi talar om vinkeln (30 grader) inte mellan x-axeln och linjen, utan mellan den första och andra linjen.

För detta lägger vi ut så här. Låt oss bestämma parametrarna för den första linjen och ta reda på i vilken vinkel den skär x-axeln.

linje xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Allmän ekvation Ax+By+C = 0

Koefficient A = -6

Faktor B = 4

Koefficient C = 22

Koefficient a= 3,6666666666667

Koefficient b = -5,5

Koefficient k = 1,5

Lutningsvinkel mot axeln (i grader) f = 56,309932474019

Koefficient p = 3,0508510792386

Koefficient q = 2,5535900500422

Avstånd mellan poäng=7,211102550928

Vi ser att den första linjen korsar axeln i en vinkel 56,309932474019 grader.

Källdata säger inte exakt hur den andra linjen skär den första. Det är trots allt möjligt att rita två linjer som uppfyller villkoren, den första roterade 30 grader medurs och den andra 30 grader moturs.

Låt oss räkna dem

Om den andra linjen roteras 30 grader MOTURS, kommer den andra linjen att ha en skärningsgrad med x-axeln 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 grader

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Rak linje parametrar enligt de givna parametrarna

Allmän ekvation Ax+By+C = 0

Koefficient A = 23,011106998916

Faktor B = -1,4840558255286

Koefficient C = 34,149767393603

Ekvationen för en rät linje i segment x/a+y/b = 1

Koefficient a= -1,4840558255286

Koefficient b = 23,011106998916

Ekvation för en rät linje med vinkelkoefficient y = kx + b

Koefficient k = 15,505553499458

Lutningsvinkel mot axeln (i grader) f = 86,309932474019

Normalekvationen för linjen x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Koefficient p = -1,4809790664999

Koefficient q = 3,0771888256405

Avstånd mellan poäng=23.058912962428

Avstånd från punkt till linje li =

det vill säga vår andra linjeekvation är y= 15,505553499458x+ 23.011106998916