När de lyssnar på en matematiklärare uppfattar de flesta elever materialet som ett axiom. Samtidigt är det få som försöker komma till botten och ta reda på varför "minus" till "plus" ger ett "minustecken", och när man multiplicerar två negativa tal kommer ett positivt ut.

Matematikens lagar

De flesta vuxna kan inte förklara för sig själva eller sina barn varför detta händer. De hade grundligt lärt sig detta material i skolan, men de försökte inte ens ta reda på var sådana regler kom ifrån. Men förgäves. Ofta är moderna barn inte så godtrogna, de behöver gå till botten med saken och förstå till exempel varför "plus" på "minus" ger "minus". Och ibland ställer pojkar medvetet knepiga frågor för att njuta av ögonblicket när vuxna inte kan ge ett begripligt svar. Och det är verkligen en katastrof om en ung lärare hamnar i problem ...

Förresten bör det noteras att regeln som nämns ovan är giltig för både multiplikation och division. Produkten av ett negativt och ett positivt tal ger bara ett minus. Om vi ​​talar om två siffror med ett "-"-tecken, blir resultatet ett positivt tal. Detsamma gäller för division. Om ett av talen är negativt kommer kvoten också att vara med ett "-"-tecken.

För att förklara riktigheten av denna matematiklag är det nödvändigt att formulera ringens axiom. Men först måste du förstå vad det är. I matematik är det vanligt att kalla en ring för en uppsättning där två operationer med två element är inblandade. Men det är bättre att förstå detta med ett exempel.

Ringaxiom

Det finns flera matematiska lagar.

• Den första av dem är förskjutbar, enligt honom, C + V = V + C.
• Den andra kallas associativ (V + C) + D = V + (C + D).

Multiplikationen (V x C) x D \u003d V x (C x D) lyder också dem.

Ingen avbröt reglerna enligt vilka parenteser öppnas (V + C) x D = V x D + C x D, det är också sant att C x (V + D) = C x V + C x D.

Dessutom har det konstaterats att ett speciellt additionsneutralt element kan införas i ringen, varvid följande kommer att gälla: C + 0 = C. Dessutom finns det för varje C ett motsatt element, som kan betecknas som (-C). I det här fallet, C + (-C) \u003d 0.

Härledning av axiom för negativa tal

Genom att acceptera ovanstående påståenden kan vi svara på frågan: ""Plus" på "minus" ger vilket tecken? Genom att känna till axiomet om multiplikationen av negativa tal är det nödvändigt att bekräfta att (-C) x V = -(C x V). Och även att följande likhet är sann: (-(-C)) = C.

För att göra detta måste vi först bevisa att vart och ett av elementen bara har en motsatt "bror". Betrakta följande bevisexempel. Låt oss försöka föreställa oss att två tal är motsatta för C - V och D. Av detta följer att C + V = 0 och C + D = 0, det vill säga C + V = 0 = C + D. Att komma ihåg förskjutningslagarna och om egenskaperna för talet 0 kan vi överväga summan av alla tre talen: C, V och D. Låt oss försöka räkna ut värdet på V. Det är logiskt att V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, eftersom värdet på C + D, som accepterades ovan, är lika med 0. Därför är V = V + C + D.

Värdet för D härleds på samma sätt: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Utifrån detta blir det tydligt att V = D.

För att förstå varför "plus" på "minus" ändå ger ett "minus", måste du förstå följande. Så för elementet (-C) är motsatsen C och (-(-C)), det vill säga de är lika med varandra.

Då är det uppenbart att 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Av detta följer att C x V är motsatsen till (-) C x V , vilket betyder (-C) x V = -(C x V).

För fullständig matematisk rigor är det också nödvändigt att bekräfta att 0 x V = 0 för något element. Om du följer logiken, då 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Detta betyder att lägga till produkten 0 x V inte ändrar den inställda mängden på något sätt. När allt kommer omkring är denna produkt lika med noll.

Genom att känna till alla dessa axiom är det möjligt att härleda inte bara hur mycket "plus" med "minus" ger, utan också vad som händer när negativa tal multipliceras.

Multiplikation och division av två tal med ett "-"-tecken

Om du inte fördjupar dig i de matematiska nyanserna kan du försöka förklara handlingsreglerna med negativa tal på ett enklare sätt.

Antag att C - (-V) = D, baserat på detta, C = D + (-V), det vill säga C = D - V. Vi överför V och vi får att C + V = D. Det vill säga C + V = C-(-V). Detta exempel förklarar varför i ett uttryck där det finns två "minus" i rad, de nämnda tecknen ska ändras till "plus". Låt oss nu ta itu med multiplikation.

(-C) x (-V) \u003d D, två identiska produkter kan läggas till och subtraheras till uttrycket, vilket inte kommer att ändra dess värde: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Genom att komma ihåg reglerna för att arbeta med parentes får vi:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x O + C x V = D;

Det följer av detta att C x V \u003d (-C) x (-V).

På samma sätt kan man bevisa att resultatet av att dividera två negativa tal blir positivt.

Allmänna matematiska regler

Naturligtvis är en sådan förklaring inte lämplig för grundskoleelever som precis har börjat lära sig abstrakta negativa tal. Det är bättre för dem att förklara på synliga föremål och manipulera den välbekanta termen genom glasögonen. Där finns till exempel uppfunna men inte befintliga leksaker. De kan visas med ett "-"-tecken. Multiplikationen av två glasögonobjekt överför dem till en annan värld, vilket är likställt med nuet, det vill säga som ett resultat har vi positiva tal. Men multiplikationen av ett abstrakt negativt tal med ett positivt ger bara resultatet som är bekant för alla. När allt kommer omkring, "plus" multiplicerat med "minus" ger "minus". Det är sant att barn inte försöker fördjupa sig i alla matematiska nyanser.

Även om, om du står inför sanningen, för många människor, även med högre utbildning, förblir många regler ett mysterium. Alla tar för givet vad lärarna lär dem, inte utan förlust att fördjupa sig i all komplexitet som matematik är fylld av. "Minus" på "minus" ger "plus" - alla vet om detta utan undantag. Detta gäller både heltal och bråktal.

Linje UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matematik (5-6)

Matematik

Varför ger ett minus gånger ett minus alltid ett plus?

Fördelarna med naturliga tal

Låt oss först dyka in i aritmetikens historia. Det är ganska naturligt att man i början bara använde naturliga tal - ett, två, tre och så vidare. De användes för att beräkna det faktiska antalet föremål. Precis så, bortsett från allt, var siffror värdelösa, så handlingar började dyka upp med hjälp av vilka det blev möjligt att operera med siffror. Det är helt logiskt att tillägg har blivit det mest nödvändiga för en person. Denna operation är enkel och naturlig - det blev lättare att räkna antalet föremål, nu var det inte nödvändigt att räkna igen varje gång - "en, två, tre". Det är nu möjligt att ersätta poängen med åtgärden "ett plus två är lika med tre". Naturliga tal lades till, svaret var också ett naturligt tal.

Multiplikation var i huvudsak samma addition. I praktiken, även nu, till exempel när vi gör inköp, använder vi även addition och multiplikation, som våra förfäder gjorde för länge sedan. Men ibland var det nödvändigt att utföra operationer med subtraktion och division. Och siffrorna var inte alltid likvärdiga - ibland var talet som de subtraherade från mindre än talet som subtraherades. Samma sak med division. Således dök bråktal upp.

Uppkomsten av negativa siffror

Registreringar av negativa siffror förekom i indiska dokument på 700-talet e.Kr. Det finns äldre uppgifter om detta matematiska "faktum" i kinesiska dokument.

I livet subtraherar vi oftast ett mindre tal från ett större tal. Till exempel: jag har 100 rubel, bröd och mjölk kostar 65 rubel; 100 - 65 = 35 rubel förändring. Om jag vill köpa någon annan produkt, vars kostnad överstiger mina återstående 35 rubel, till exempel en mjölk till, så oavsett hur mycket jag vill köpa den, har jag inte mer pengar, därför har jag inte t behöver negativa tal.

Men om vi fortsätter att prata om det moderna livet, låt oss nämna kreditkort eller en mobiloperatörs förmåga att "gå i minus" när du ringer. Det blir möjligt att spendera mer pengar än vad du har, men pengarna du är skyldig försvinner inte utan skuldskrivs. Och här kommer negativa siffror redan till undsättning: det finns 100 rubel på kortet, bröd och två mjölk kommer att kosta mig 110 rubel; efter köpet är mitt saldo på kortet -10 rubel.

Praktiskt taget för samma syften började de använda negativa tal för första gången. Kineserna var de första som använde dem för att skriva ner skulder eller i mellanlösningar till ekvationer. Men användningen var fortfarande bara för att komma till ett positivt tal (dock som vår kreditkortsåterbetalning). Det långa förkastandet av negativa tal underlättades av det faktum att de inte uttryckte specifika objekt. Tio mynt är tio mynt, här är de, du kan röra dem, du kan köpa varor med dem. Vad betyder "minus tio mynt"? De förväntas även om det är en skuld. Det är inte känt om denna skuld kommer att återlämnas och om de "inspelade" mynten kommer att förvandlas till riktiga. Om man vid lösning av ett problem fick ett negativt tal ansågs det att fel svar kom ut eller att det inte fanns något svar alls. Denna misstroende attityd kvarstod bland människor under lång tid, även Descartes (XVII-talet), som gjorde ett genombrott inom matematiken, ansåg att negativa tal var "falska".

Uppgifterna i manualen låter dig förhindra eventuella svårigheter med att bemästra huvudämnena i det fjärde året av undervisning i matematik, hjälpa till att utveckla rumsliga representationer, geometrisk observation av elever och bilda självkontrollfärdigheter.

Utformning av regler för åtgärder med negativa tal

Betrakta ekvationen 9x-12=4x-2. För att lösa ekvationen måste du flytta termerna med det okända till ena sidan och de kända talen till den andra. Detta kan göras på två sätt.

Första sättet.

Vi flyttar delen av ekvationen med det okända till vänster och de andra talen till höger. Det visar sig:

Svar hittat. För alla åtgärder som vi behövde utföra använde vi aldrig negativa siffror.

Det andra sättet.

Nu överför vi den del av ekvationen med det okända till höger och de återstående termerna till vänster. Vi får:

För att hitta lösningen måste vi dividera ett negativt tal med ett annat. Vi har dock redan fått rätt svar i den tidigare lösningen - detta är x lika med två. Därför återstår det att härleda att (-10)/(-5)=2.

Vad bevisar dessa två sätt att lösa samma ekvation för oss? Det första som blir tydligt är hur lämpligheten av att arbeta med negativa tal härleddes - svaret som erhålls bör vara detsamma som när man löser med enbart naturliga tal. Den andra punkten är det faktum att du inte längre behöver tänka på värdena för att få ett icke-negativt tal utan att misslyckas. Du kan välja det mest bekväma sättet att lösa, särskilt för komplexa ekvationer. Handlingar som gjorde det möjligt att inte tänka på vissa operationer (vad som behöver göras så att det bara finns naturliga tal; vilket tal är större för att subtrahera från det etc.) blev de första stegen mot matematikens "abstraktion" .

Naturligtvis bildades inte alla handlingsregler med negativa tal samtidigt. Lösningar ackumulerades, exempel generaliserades, på grundval av vilka de gradvis började "dra ut" de viktigaste axiomen. Med utvecklingen av matematik, med lanseringen av nya regler, dök nya nivåer av abstraktion upp. Till exempel, på artonhundratalet blev det bevisat att heltal och polynom har mycket gemensamt, även om de ser olika ut. Alla kan adderas, subtraheras och multipliceras. Reglerna de lyder påverkar dem på ett sätt. När det gäller uppdelningen av vissa heltal med andra, "väntar" ett intressant faktum här - svaret kommer inte alltid att vara ett heltal. Samma lag gäller för polynom.

Sedan avslöjades många andra samlingar av matematiska objekt, på vilka det var möjligt att utföra sådana operationer: formella potensserier, kontinuerliga funktioner ... Med tiden fann matematiker att efter att ha studerat egenskaperna för operationer skulle det vara möjligt att tillämpa resultaten till alla dessa föremålssamlingar. Detsamma gäller i modern matematik.

Mer intressanta saker:

• Funktioner i en matematiklärares arbete under läsåret 2018/2019
• Typiska misstag lärare gör när de undervisar i matematik i grundskolan
• Fritidsaktiviteter i matematik i grundskolan

Rent matematiskt tillvägagångssätt

Med tiden har matematiker identifierat en ny term - ringen. En ring är en uppsättning element och operationer som kan utföras på dem. Reglerna (själva axiomen) som handlingar är föremål för, och inte arten av elementen i uppsättningen, blir grundläggande. För att understryka företräde för strukturen som uppstår efter införandet av axiomen används vanligtvis termen "ring": ringen av heltal, ringen av polynom etc. Med hjälp av axiomen och utgående från dem kan man avslöja nya egenskaper hos ringar.

Vi formulerar ringens regler, liknande axiomen för operationer med heltal, och bevisar att i vilken ring som helst ger multiplicering av ett minus med ett minus ett plus.

En ring är en mängd med två binära operationer (varje operation involverar två element i ringen), traditionellt kallad addition och multiplikation, och följande axiom:

Tillägget av ringelement följer kommutativa (A + B = B + A för alla element A och B) och kombinations- (A + (B + C) = (A + B) + C) lagar; ringen har ett speciellt element 0 (additionsneutral) så att A + 0 = A, och för vilket element av A som helst finns det ett motsatt element (betecknat (-A)) så att A + (-A) = 0;

Multiplikation följer kombinationslagen: A (B C) = (A B) C;

Addition och multiplikation är relaterade av följande parentesexpansionsregler:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Låt oss förtydliga att ringar, i den mest allmänna konstruktionen, inte kräver multiplikation för att vara permuterbar, inte heller dess reversibilitet (divisionsoperationen är inte alltid möjlig), inte heller förekomsten av en enhet - ett neutralt element med avseende på multiplikation. Om vi ​​introducerar dessa axiom får vi andra algebraiska strukturer, men med alla giltiga satser bevisade för ringar.

Matematik. 6e klass. Arbetsbok nummer 1.

Arbetsboken innehåller olika typer av uppgifter för att bemästra och konsolidera nytt material, uppgifter av utvecklande karaktär, ytterligare uppgifter som möjliggör differentierat lärande. Anteckningsboken används i samband med läroboken "Matematik. Betyg 6 "(red. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), som ingår i systemet med utbildnings- och metodpaket" Algorithm of Success ".

Nästa steg är att bevisa att för alla element A och B i en godtycklig ring, är följande sant: (-A) B = -(A B) och (-(-A)) = A.

Från detta får vi påståenden om enheter:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Därefter måste vi bevisa några punkter. Först är det nödvändigt att fastställa existensen av endast en motsats för varje element. Antag att element A har två motsatta element: B och C. Det vill säga A + B \u003d 0 \u003d A + C. Låt oss analysera summan A + B + C. Med hjälp av de kommutativa och associativa lagarna, såväl som egenskaperna för noll, vi får att summan är lika med:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Därför är B = C.

Observera att både A och (-(-A)) är motsatta till elementet (-A). Därför drar vi slutsatsen att elementen A och (-(-A)) måste vara lika.

de där. (-A) B är motsatsen till A B, så det är lika med -(A B).

Observera att 0 · B = 0 för alla element i B.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

att lägga till 0 B ändrar alltså inte summan. Det visar sig att denna produkt är lika med noll.

Ja, varför? Det enklaste svaret är: "För att det här är reglerna för att arbeta med negativa tal." De regler vi lär oss i skolan och tillämpar hela livet. Läroböckerna förklarar dock inte varför reglerna är som de är. Vi kom ihåg - det är det, och ställer inte längre frågan.

Och låt oss fråga...

För länge sedan var bara naturliga siffror kända för människor: 1, 2, 3, ... De användes för att räkna redskap, byten, fiender etc. Men siffrorna i sig är ganska värdelösa - du måste kunna hantera dem. Addition är tydligt och förståeligt, och dessutom är summan av två naturliga tal också ett naturligt tal (en matematiker skulle säga att mängden naturliga tal stängs under operationen av addition). Multiplikation är i själva verket samma addition om vi pratar om naturliga tal. I livet utför vi ofta handlingar relaterade till dessa två operationer (till exempel när vi handlar, adderar och multiplicerar vi), och det är konstigt att tänka att våra förfäder stötte på dem mer sällan - addition och multiplikation behärskades av mänskligheten under mycket lång tid sedan. Ofta är det nödvändigt att dela en kvantitet med en annan, men här uttrycks resultatet inte alltid av ett naturligt tal - så här såg bråktal ut.

Subtraktion är naturligtvis också oumbärlig. Men i praktiken tenderar vi att subtrahera det mindre talet från det större talet, och det finns inget behov av att använda negativa tal. (Om jag har 5 godisar och jag ger 3 till min syster, då kommer jag att ha 5 - 3 = 2 godisar, men jag kan inte ge henne 7 godisar med all min önskan.) Detta kan förklara varför folk inte använde negativa tal under en lång tid.


Negativa tal förekommer i indiska dokument från 700-talet e.Kr.; kineserna började tydligen använda dem lite tidigare. De användes för att redovisa skulder eller i mellanberäkningar för att förenkla lösningen av ekvationer – det var bara ett verktyg för att få ett positivt svar. Det faktum att negativa tal, till skillnad från positiva, inte uttrycker närvaron av någon enhet, väckte stark misstro. Människor undvek bokstavligen negativa siffror: om ett problem fick ett negativt svar, trodde de att det inte fanns något svar alls. Denna misstro höll i sig under mycket lång tid, och till och med Descartes - en av "grundarna" av modern matematik - kallade dem "falska" (på 1600-talet!).

Betrakta till exempel ekvationen 7x - 17 \u003d 2x - 2. Det kan lösas enligt följande: flytta termerna med det okända till vänster sida, och resten till höger, du får 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Med detta stötte vi inte ens på negativa tal i lösningen.

Men det kunde ha gjorts på ett annat sätt av en slump: flytta termerna med det okända till höger sida och få 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. För att hitta det okända måste du dividera ett negativt tal med ett annat: x = (-15)/(-5). Men det korrekta svaret är känt, och det återstår att dra slutsatsen att (-15)/(-5) = 3.

Vad visar detta enkla exempel? Först blir det tydligt logiken som bestämde reglerna för åtgärder på negativa tal: resultaten av dessa åtgärder måste matcha svaren som erhålls på ett annat sätt, utan negativa tal. För det andra, genom att tillåta användningen av negativa tal, blir vi av med den tråkiga (om ekvationen visar sig vara mer komplicerad, med ett stort antal termer) sökningen efter lösningsvägen där alla åtgärder endast utförs på naturliga tal. Dessutom kan vi inte längre tänka varje gång på betydelsen av de storheter som omvandlas - och detta är redan ett steg mot att göra matematiken till en abstrakt vetenskap.

Reglerna för åtgärder på negativa tal bildades inte omedelbart, utan blev en generalisering av många exempel som uppstod när man löste tillämpade problem. I allmänhet kan utvecklingen av matematik villkorligt delas in i stadier: varje nästa steg skiljer sig från det föregående genom en ny abstraktionsnivå i studien av objekt. Så på 1800-talet insåg matematiker att heltal och polynom, trots alla deras yttre olikheter, har mycket gemensamt: båda kan adderas, subtraheras och multipliceras. Dessa operationer följer samma lagar - både när det gäller tal och när det gäller polynom. Men uppdelningen av heltal med varandra, så att resultatet återigen blir heltal, är inte alltid möjligt. Detsamma gäller för polynom.

Sedan upptäcktes andra samlingar av matematiska objekt på vilka sådana operationer kan utföras: formella potensserier, kontinuerliga funktioner ... Till sist kom förståelsen att om man studerar egenskaperna för själva operationerna, så kan resultaten appliceras på alla dessa samlingar av föremål (detta tillvägagångssätt är typiskt för all modern matematik).

Som ett resultat dök ett nytt koncept upp: ringen. Det är bara ett gäng element plus åtgärder som kan utföras på dem. De grundläggande reglerna här är bara reglerna (de kallas axiom), som är föremål för handlingar, och inte arten av elementen i mängden (här är det, en ny abstraktionsnivå!). För att understryka att det är strukturen som uppstår efter införandet av axiom som är viktig, säger matematiker: ringen av heltal, ringen av polynom etc. Utgående från axiomen kan man härleda andra egenskaper hos ringar.

Vi kommer att formulera ringens axiom (som naturligtvis liknar reglerna för operationer med heltal), och sedan kommer vi att bevisa att i vilken ring som helst, multiplicerar ett minus med ett minus ett plus.

En ring är en mängd med två binära operationer (det vill säga två element i ringen är involverade i varje operation), som traditionellt kallas addition och multiplikation, och följande axiom:

Tillägget av ringelement följer kommutativa (A + B = B + A för alla element A och B) och kombinations- (A + (B + C) = (A + B) + C) lagar; ringen har ett speciellt element 0 (additionsneutral) så att A + 0 = A, och för vilket element av A som helst finns det ett motsatt element (betecknat (-A)) så att A + (-A) = 0;
- multiplikation följer kombinationslagen: A (B C) = (A B) C;
addition och multiplikation är relaterade till följande parentesexpansionsregler: (A + B) C = A C + B C och A (B + C) = A B + A C.

Vi noterar att ringar, i den mest allmänna konstruktionen, inte kräver multiplikation för att vara permuterbar, inte heller är den inverterbar (det vill säga det är inte alltid möjligt att dividera), och det kräver inte heller existensen av en enhet, ett neutralt element med avseende multiplikation. Om dessa axiom introduceras, erhålls andra algebraiska strukturer, men alla satser som bevisats för ringar kommer att vara sanna i dem.

Låt oss nu bevisa att för alla element A och B i en godtycklig ring, för det första, (-A) B = -(A B), och för det andra (-(-A)) = A. Detta innebär lätt påståenden om enheter: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 och (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

För att göra detta måste vi fastställa några fakta. Först bevisar vi att varje element bara kan ha en motsats. Låt elementet A faktiskt ha två motsatta ettor: B och C. Det vill säga A + B = 0 = A + C. Betrakta summan A + B + C. Med hjälp av de associativa och kommutativa lagarna och egenskapen noll, få att, med å ena sidan är summan lika med B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, och å andra sidan är den lika med C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Därför är B = C.

Observera nu att både A och (-(-A)) är motsatser till samma element (-A), så de måste vara lika.

Det första faktumet erhålls enligt följande: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, det vill säga (-A) B är motsatt A B, så det är lika med - (A B).

För att vara matematiskt rigorösa, låt oss också förklara varför 0·B = 0 för något element i B. Ja, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Det vill säga att lägga till 0 B ändrar inte summan. Så denna produkt är lika med noll.

Och det faktum att det finns exakt en nolla i ringen (trots allt säger axiomen att ett sådant element existerar, men ingenting sägs om dess unika!), kommer vi att lämna till läsaren som en enkel övning.

Evgeny Epifanov

Minus och plus är tecken på negativa och positiva tal i matematik. De interagerar med sig själva på olika sätt, därför är det nödvändigt att ta hänsyn till när du utför åtgärder med siffror, till exempel division, multiplikation, subtraktion, addition, etc. underteckna regler. Utan dessa regler kommer du aldrig att kunna lösa ens det enklaste algebraiska eller geometriska problemet. Utan kunskap om dessa regler kommer du inte att kunna studera inte bara matematik, utan också fysik, kemi, biologi och till och med geografi.

Låt oss överväga mer detaljerat de grundläggande reglerna för tecken.

Division.

Om vi ​​delar "plus" med "minus" får vi alltid "minus". Om vi ​​delar "minus" med "plus" får vi alltid "minus" också. Om vi ​​delar "plus" med "plus" får vi "plus". Om vi ​​delar "minus" med "minus", så får vi konstigt nog också "plus".

Multiplikation.

Om vi ​​multiplicerar "minus" med "plus" får vi alltid "minus". Om vi ​​multiplicerar "plus" med "minus" får vi alltid "minus" också. Om vi ​​multiplicerar "plus" med "plus", så får vi ett positivt tal, det vill säga "plus". Detsamma gäller två negativa tal. Om vi ​​multiplicerar "minus" med "minus" får vi "plus".

Subtraktion och addition.

De bygger på andra principer. Om ett negativt tal är större i absolut värde än vårt positiva, så blir resultatet naturligtvis negativt. Du undrar säkert vad en modul är och varför den finns här överhuvudtaget. Allt är väldigt enkelt. Modul är värdet på ett tal, men utan tecken. Till exempel -7 och 3. Modulo -7 blir bara 7 och 3 kommer att förbli 3. Som ett resultat ser vi att 7 är större, det vill säga det visar sig att vårt negativa tal är större. Så det kommer ut -7 + 3 \u003d -4. Det kan göras ännu enklare. Sätt bara ett positivt tal i första hand så kommer 3-7 = -4 ut, kanske är det mer förståeligt för någon. Subtraktion fungerar på exakt samma sätt.

Att konsolidera förmågan att multiplicera naturliga tal, vanliga och decimala bråk;

Lär dig att multiplicera positiva och negativa tal;

Utveckla förmågan att arbeta i grupp

Utveckla nyfikenhet, intresse för matematik; förmågan att tänka och tala om ett ämne.

Utrustning: modeller av termometrar och hus, kort för mentalräkning och testarbete, en affisch med reglerna för tecken för multiplikation.

Motivering

Lärare . Idag börjar vi utforska ett nytt ämne. Vi ska bygga ett nytt hus. Berätta för mig, vad avgör husets styrka?

Låt oss nu kolla vad vår grund är, det vill säga styrkan i vår kunskap. Jag berättade inte ämnet för lektionen. Den är kodad, det vill säga gömd i uppgiften för muntlig räkning. Var uppmärksam och observant. Här är kort med exempel. Genom att lösa dem och matcha bokstaven med svaret får du reda på namnet på lektionens ämne.

Lärare. Så det ordet är multiplikation. Men vi är redan bekanta med multiplikation. Varför behöver vi studera det? Vilka siffror har du nyligen mött?

[Med positiva och negativa.]

Kan vi multiplicera dem? Därför kommer ämnet för lektionen att vara "Multiplikation av positiva och negativa tal."

Du löste exemplen snabbt och korrekt. En bra grund har lagts. ( Lärare på modellhus « lägger» fundament.) Jag tror att huset blir hållbart.

Utforskar ett nytt ämne

Lärare . Nu ska vi bygga murar. De förbinder golvet och taket, det vill säga det gamla temat med det nya. Nu ska ni arbeta i grupper. Varje grupp kommer att få ett problem att lösa tillsammans och sedan förklara lösningen för klassen.

1:a gruppen

Lufttemperaturen sjunker med 2° varje timme. Nu visar termometern noll grader. Vilken temperatur kommer den att visa efter 3 timmar?

Gruppbeslut. Eftersom temperaturen nu är 0 och för varje timme temperaturen sjunker med 2° är det uppenbart att temperaturen efter 3 timmar är -6°. Låt oss beteckna temperaturminskningen som –2° och tiden som +3 timmar. Då kan vi anta att (–2) 3 = –6.

Lärare . Och vad händer om jag ordnar om faktorerna, det vill säga 3 (–2)?

Studenter. Svaret är detsamma: -6, eftersom den kommutativa egenskapen för multiplikation används.

Lufttemperaturen sjunker med 2° varje timme. Nu visar termometern noll grader. Vilken lufttemperatur visade termometern för 3 timmar sedan?

Gruppbeslut. Eftersom temperaturen sjönk med 2° varje timme, och nu är den 0, är ​​det uppenbart att det för 3 timmar sedan var +6°. Låt oss beteckna temperaturminskningen med -2° och den förflutna tiden med -3 timmar. Då kan vi anta att (–2) (–3) = 6.

Lärare . Du vet inte hur man multiplicerar positiva och negativa tal än. Men de löste problem där det var nödvändigt att multiplicera sådana tal. Försök själv att härleda reglerna för att multiplicera positiva och negativa tal, två negativa tal. ( Eleverna försöker lista ut regeln.) Bra. Låt oss nu öppna läroböckerna och läsa reglerna för att multiplicera positiva och negativa tal. Jämför din regel med det som står i läroboken.

Regel 1 För att multiplicera två tal med olika tecken måste du multiplicera modulerna för dessa siffror och sätta ett "-"-tecken framför den resulterande produkten.

Regel 2. För att multiplicera två tal med samma tecken måste du multiplicera modulerna för dessa siffror och sätta ett "+"-tecken framför den resulterande produkten.

Lärare. Som du såg när du byggde grunden har du inga problem med att multiplicera naturliga tal och bråktal. Problem kan uppstå när man multiplicerar positiva och negativa tal. Varför?

Kom ihåg! När du multiplicerar positiva och negativa tal:

1) bestämma tecknet;
2) hitta produkten av moduler.

Lärare . För multiplikationstecken finns det mnemoniska regler som är mycket lätta att komma ihåg. Kortfattat är de formulerade enligt följande:

"+" "+" \u003d "+" - ett plus på ett plus ger ett plus;
"-" "+" = "-" - minus plus ger minus;
"+" "-" \u003d "-" - plus ett minus ger ett minus;
“–” · “–” = “+” - minus gånger minus ger plus.

(I anteckningsböcker skriver eleverna ner teckenregeln.)

Lärare . Om vi ​​anser oss själva och våra vänner vara positiva och våra fiender negativa, då kan vi säga detta:

Min väns vän är min vän.
Min väns fiende är min fiende.
En vän till min fiende är min fiende.
Min fiendes fiende är min vän.

Primär förståelse och tillämpning av det studerade

Exempel på oral lösning på tavlan. Eleverna säger regeln:

Lärare . Allt klart? Inga frågor? Så murarna är byggda. ( Läraren sätter upp väggar.) Vad bygger vi nu?

(Fyra elever kallas till styrelsen.)

Lärare. Är taket klart?

(Läraren lägger tak på ett modellhus.)

Eleverna slutför arbetet i en version.

Efter att ha avslutat arbetet byter de anteckningsböcker med sin granne. Läraren rapporterar de rätta svaren och eleverna ger varandra betyg.

Sammanfattning av lektionen. Reflexion

Lärare. Vad var vårt mål i början av lektionen? Har du lärt dig hur man multiplicerar positiva och negativa tal? ( De upprepar reglerna.) Som du såg i den här lektionen är varje nytt ämne ett hus som måste byggas kapitalt i flera år. Annars kommer alla dina byggnader att kollapsa efter en kort tid. Därför beror allt på dig. Jag önskar, killar, att turen alltid ler mot er, framgång med att bemästra kunskap.

Signera regler

underteckna regler

Låt oss överväga mer detaljerat de grundläggande reglerna för tecken.

Om vi ​​delar "plus" med "minus" får vi alltid "minus". Om vi ​​delar "minus" med "plus" får vi alltid "minus" också. Om vi ​​delar "plus" med "plus" får vi "plus". Om vi ​​delar "minus" med "minus", så får vi konstigt nog också "plus".

Om vi ​​multiplicerar "minus" med "plus" får vi alltid "minus". Om vi ​​multiplicerar "plus" med "minus" får vi alltid "minus" också. Om vi ​​multiplicerar "plus" med "plus", så får vi ett positivt tal, det vill säga "plus". Detsamma gäller två negativa tal. Om vi ​​multiplicerar "minus" med "minus" får vi "plus".

De bygger på andra principer. Om ett negativt tal är större i absolut värde än vårt positiva, så blir resultatet naturligtvis negativt. Du undrar säkert vad en modul är och varför den finns här överhuvudtaget. Allt är väldigt enkelt. Modul är värdet på ett tal, men utan tecken. Till exempel -7 och 3. Modulo -7 blir bara 7 och 3 kommer att förbli 3. Som ett resultat ser vi att 7 är större, det vill säga det visar sig att vårt negativa tal är större. Så det kommer ut -7 + 3 \u003d -4. Det kan göras ännu enklare. Sätt bara ett positivt tal i första hand så kommer 3-7 = -4 ut, kanske är det mer förståeligt för någon. Subtraktion fungerar på exakt samma sätt.

Varför är ett minus gånger ett minus lika med ett plus?

"Min fiendes fiende är min vän."

För länge sedan var bara naturliga tal kända för människor: 1, 2, 3, . De användes för att räkna redskap, byte, fiender etc. Men siffrorna i sig är ganska värdelösa - du måste kunna hantera dem. Addition är tydligt och förståeligt, dessutom är summan av två naturliga tal också ett naturligt tal (en matematiker skulle säga att mängden naturliga tal stängs under additionsoperationen). Multiplikation är i själva verket samma addition om vi pratar om naturliga tal. I livet utför vi ofta handlingar relaterade till dessa två operationer (till exempel när vi handlar, adderar och multiplicerar vi), och det är konstigt att tänka att våra förfäder stötte på dem mer sällan - addition och multiplikation behärskades av mänskligheten under mycket lång tid sedan. Ofta är det nödvändigt att dela en kvantitet med en annan, men här uttrycks resultatet inte alltid som ett naturligt tal - så här såg bråktal ut.

Negativa tal förekommer i indiska dokument från 700-talet e.Kr.; kineserna började tydligen använda dem lite tidigare. De användes för att redovisa skulder eller i mellanberäkningar för att förenkla lösningen av ekvationer – det var bara ett verktyg för att få ett positivt svar. Det faktum att negativa tal, till skillnad från positiva, inte uttrycker närvaron av någon enhet, väckte stark misstro. Människor undvek bokstavligen negativa siffror: om ett problem fick ett negativt svar, trodde de att det inte fanns något svar alls. Denna misstro höll i sig under mycket lång tid, och till och med Descartes - en av "grundarna" av modern matematik - kallade dem "falska" (på 1600-talet!).

7x - 17 = 2x - 2. Det kan lösas så här: flytta termerna med det okända till vänster sida, och resten till höger, kommer det att visa sig 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Men det kunde ha gjorts på ett annat sätt av en slump: flytta termerna med det okända till höger sida och få 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​​​= (–5)x. För att hitta det okända måste du dividera ett negativt tal med ett annat: x = (–15)/(–5). Men det korrekta svaret är känt, och det återstår att dra slutsatsen att (–15)/(–5) = 3 .

. För det andra, genom att tillåta användningen av negativa tal, blir vi av med den tråkiga (om ekvationen visar sig vara mer komplicerad, med ett stort antal termer) sökningen efter lösningsvägen där alla åtgärder endast utförs på naturliga tal. Dessutom kan vi inte längre tänka varje gång på betydelsen av de storheter som omvandlas - och detta är redan ett steg mot att göra matematiken till en abstrakt vetenskap.

Reglerna för åtgärder på negativa tal bildades inte omedelbart, utan blev en generalisering av många exempel som uppstod när man löste tillämpade problem. I allmänhet kan utvecklingen av matematik villkorligt delas in i stadier: varje nästa steg skiljer sig från det föregående genom en ny abstraktionsnivå i studien av objekt. Så på 1800-talet insåg matematiker att heltal och polynom, trots alla deras yttre olikheter, har mycket gemensamt: båda kan adderas, subtraheras och multipliceras. Dessa operationer följer samma lagar - både när det gäller tal och när det gäller polynom. Men uppdelningen av heltal med varandra, så att resultatet återigen blir heltal, är inte alltid möjligt. Detsamma gäller för polynom.

ringa axiom

ringa

• A + B = B + A för alla element A och B) och associativ ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, och för alla element A (–A)), Vad A + (–A) = 0 ;
• multiplikation lyder kombinationslagen: A (B C) = (A B) C ;

Observera att ringar, i den mest allmänna konstruktionen, inte kräver multiplikation för att vara permuterbar, och den är inte heller inverterbar (det vill säga det är inte alltid möjligt att dividera), och det kräver inte heller existensen av en enhet - ett neutralt element med respekt till multiplikation. Om dessa axiom introduceras, erhålls andra algebraiska strukturer, men alla satser som bevisats för ringar kommer att vara sanna i dem.

A det finns två motsatser: B och Med. d.v.s A + B = 0 = A + C. Tänk på summan A+B+C B: C: . Betyder att, B=C .

Låt oss nu notera det A, och (–(–A)) (–A)

Det första faktum erhålls enligt följande: det vill säga, (–A) B motsatt A B, så det är lika med –(A B) .

0 B = 0 för vilket element som helst B. Verkligen, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Det vill säga tillägget 0 B

Regler för att multiplicera minus med minus





Med viss sträckning är samma förklaring lämplig för produkten 1-5, om vi antar att "summan" av en enda

term är lika med denna term. Men produkten 0 5 eller (-3) 5 kan inte förklaras på detta sätt: vad betyder summan av noll eller minus tre termer?

Det är dock möjligt att ordna om faktorerna

Om vi ​​vill att produkten inte ska förändras när faktorerna arrangeras om - som det var för positiva tal - så måste vi därigenom anta att

Låt oss nu gå vidare till produkten (-3) (-5). Vad är det lika med: -15 eller +15? Båda alternativen är vettiga. Å ena sidan gör ett minus i en faktor redan produkten negativ - desto mer bör den vara negativ om båda faktorerna är negativa. Å andra sidan, i Tabell. 7 har redan två minus, men bara ett plus, och "ganska" (-3)-(-5) borde vara lika med +15. Så vad föredrar du?



Naturligtvis kommer du inte att bli förvirrad av sådana samtal: från en skolmatematikkurs lärde du dig att ett minus med ett minus ger ett plus. Men tänk dig att din yngre bror eller syster frågar dig: varför? Vad är det - en lärares infall, en indikation på högre auktoriteter eller ett teorem som kan bevisas?

Vanligtvis förklaras regeln för att multiplicera negativa tal med hjälp av exempel som det som presenteras i tabellen. åtta.



Det kan förklaras på annat sätt. Låt oss skriva siffror i rad

Låt oss nu skriva samma tal multiplicerat med 3:

Det är lätt att se att varje siffra är 3 mer än det föregående. Låt oss nu skriva samma siffror i omvänd ordning (som börjar till exempel med 5 och 15):



Samtidigt visade sig siffran -15 vara under siffran -5, så 3 (-5) \u003d -15: plus med minus ger minus.

Låt oss nu upprepa samma procedur och multiplicera siffrorna 1,2,3,4,5. med -3 (vi vet redan att plus gånger minus är lika med minus):

Varje nästa nummer på den nedre raden är mindre än det föregående med 3. Låt oss skriva siffrorna i omvänd ordning



Siffran -5 visade sig vara 15, så (-3) (-5) = 15.

Kanske skulle dessa förklaringar tillfredsställa din yngre bror eller syster. Men du har rätt att fråga hur det verkligen står till och är det möjligt att bevisa att (-3) (-5) = 15?

Svaret här är att det kan bevisas att (-3) (-5) måste vara lika med 15, om vi bara vill att de vanliga egenskaperna för addition, subtraktion och multiplikation ska förbli sanna för alla tal, inklusive negativa. Konturen av detta bevis är följande.

Låt oss först bevisa att 3 (-5) = -15. Vad är -15? Detta är motsatsen till 15, det vill säga talet som summerar till 15 till 0. Så vi måste bevisa att

(Genom parentes 3 har vi använt den distributiva lagen ab + ac = a(b + c) för - trots allt antar vi att den förblir sann för alla tal, inklusive negativa.) Så, (Den noggranna läsaren kommer att fråga oss varför. Vi erkänner ärligt: ​​beviset på detta faktum - som diskussionen om vad noll är i allmänhet - vi hoppar över.)

Låt oss nu bevisa att (-3) (-5) = 15. För att göra detta skriver vi



och multiplicera båda sidor av ekvationen med -5:

Låt oss öppna parenteserna på vänster sida:

dvs (-3) (-5) + (-15) = 0. Således är talet motsatt till talet -15, dvs lika med 15. (Det finns också luckor i detta resonemang: det skulle vara nödvändigt att bevisa att och att det bara finns ett nummer mitt emot -15.)

Negativ regel. Varför minus gånger minus är lika med plus

När de lyssnar på en matematiklärare uppfattar de flesta elever materialet som ett axiom. Samtidigt är det få som försöker komma till botten och ta reda på varför "minus" till "plus" ger ett "minustecken", och när man multiplicerar två negativa tal kommer ett positivt ut.

Matematikens lagar

De flesta vuxna kan inte förklara för sig själva eller sina barn varför detta händer. De hade grundligt lärt sig detta material i skolan, men de försökte inte ens ta reda på var sådana regler kom ifrån. Men förgäves. Ofta är moderna barn inte så godtrogna, de behöver gå till botten med saken och förstå till exempel varför "plus" på "minus" ger "minus". Och ibland ställer pojkar medvetet knepiga frågor för att njuta av ögonblicket när vuxna inte kan ge ett begripligt svar. Och det är verkligen en katastrof om en ung lärare hamnar i en enda röra.

Förresten bör det noteras att regeln som nämns ovan är giltig för både multiplikation och division. Produkten av ett negativt och ett positivt tal ger bara ett minus. Om vi ​​talar om två siffror med ett "-"-tecken, blir resultatet ett positivt tal. Detsamma gäller för division. Om ett av talen är negativt kommer kvoten också att vara med ett "-"-tecken.

För att förklara riktigheten av denna matematiklag är det nödvändigt att formulera ringens axiom. Men först måste du förstå vad det är. I matematik är det vanligt att kalla en ring för en uppsättning där två operationer med två element är inblandade. Men det är bättre att förstå detta med ett exempel.

Ringaxiom

Det finns flera matematiska lagar.

• Den första av dem är förskjutbar, enligt honom, C + V = V + C.
• Den andra kallas associativ (V + C) + D = V + (C + D).

Multiplikationen (V x C) x D \u003d V x (C x D) lyder också dem.

Ingen avbröt reglerna enligt vilka parenteser öppnas (V + C) x D = V x D + C x D, det är också sant att C x (V + D) = C x V + C x D.

Dessutom har det konstaterats att ett speciellt additionsneutralt element kan införas i ringen, varvid följande kommer att gälla: C + 0 = C. Dessutom finns det för varje C ett motsatt element, som kan betecknas som (-C). I det här fallet, C + (-C) \u003d 0.

Härledning av axiom för negativa tal

Genom att acceptera ovanstående påståenden kan vi svara på frågan: "" Plus "på" minus "ger vilket tecken?" Genom att känna till axiomet om multiplikationen av negativa tal är det nödvändigt att bekräfta att (-C) x V = -(C x V). Och även att följande likhet är sann: (-(-C)) = C.

För att göra detta måste vi först bevisa att vart och ett av elementen bara har en motsatt "bror". Betrakta följande bevisexempel. Låt oss försöka föreställa oss att två tal är motsatta för C - V och D. Av detta följer att C + V = 0 och C + D = 0, det vill säga C + V = 0 = C + D. Att komma ihåg förskjutningslagarna och om egenskaperna för talet 0 kan vi överväga summan av alla tre talen: C, V och D. Låt oss försöka räkna ut värdet på V. Det är logiskt att V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, eftersom värdet på C + D, som accepterades ovan, är lika med 0. Därför är V = V + C + D.

Värdet för D härleds på samma sätt: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Utifrån detta blir det tydligt att V = D.

För att förstå varför "plus" på "minus" ändå ger ett "minus", måste du förstå följande. Så för elementet (-C) är motsatsen C och (-(-C)), det vill säga de är lika med varandra.

Då är det uppenbart att 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Av detta följer att C x V är motsatsen till (-) C x V , vilket betyder (-C) x V = -(C x V).

För fullständig matematisk rigor är det också nödvändigt att bekräfta att 0 x V = 0 för något element. Om du följer logiken, då 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Detta betyder att lägga till produkten 0 x V inte ändrar den inställda mängden på något sätt. När allt kommer omkring är denna produkt lika med noll.

Genom att känna till alla dessa axiom är det möjligt att härleda inte bara hur mycket "plus" med "minus" ger, utan också vad som händer när negativa tal multipliceras.

Multiplikation och division av två tal med ett "-"-tecken

Om du inte fördjupar dig i de matematiska nyanserna kan du försöka förklara handlingsreglerna med negativa tal på ett enklare sätt.

Antag att C - (-V) = D, baserat på detta, C = D + (-V), det vill säga C = D - V. Vi överför V och vi får att C + V = D. Det vill säga C + V = C-(-V). Detta exempel förklarar varför i ett uttryck där det finns två "minus" i rad, de nämnda tecknen ska ändras till "plus". Låt oss nu ta itu med multiplikation.

(-C) x (-V) \u003d D, två identiska produkter kan läggas till och subtraheras till uttrycket, vilket inte kommer att ändra dess värde: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Genom att komma ihåg reglerna för att arbeta med parentes får vi:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x O + C x V = D;

Det följer av detta att C x V \u003d (-C) x (-V).

På samma sätt kan man bevisa att resultatet av att dividera två negativa tal blir positivt.

Allmänna matematiska regler

Naturligtvis är en sådan förklaring inte lämplig för grundskoleelever som precis har börjat lära sig abstrakta negativa tal. Det är bättre för dem att förklara på synliga föremål och manipulera den välbekanta termen genom glasögonen. Där finns till exempel uppfunna men inte befintliga leksaker. De kan visas med ett "-"-tecken. Multiplikationen av två glasögonobjekt överför dem till en annan värld, vilket är likställt med nuet, det vill säga som ett resultat har vi positiva tal. Men multiplikationen av ett abstrakt negativt tal med ett positivt ger bara resultatet som är bekant för alla. När allt kommer omkring, "plus" multiplicerat med "minus" ger "minus". Det är sant att barn inte försöker fördjupa sig i alla matematiska nyanser.

Även om, om du står inför sanningen, för många människor, även med högre utbildning, förblir många regler ett mysterium. Alla tar för givet vad lärarna lär dem, inte utan förlust att fördjupa sig i all komplexitet som matematik är fylld av. "Minus" på "minus" ger ett "plus" - detta vet alla utan undantag. Detta gäller både heltal och bråktal.

Minus och plus är tecken på negativa och positiva tal i matematik. De interagerar med sig själva på olika sätt, därför är det nödvändigt att ta hänsyn till när du utför åtgärder med siffror, till exempel division, multiplikation, subtraktion, addition, etc. underteckna regler. Utan dessa regler kommer du aldrig att kunna lösa ens det enklaste algebraiska eller geometriska problemet. Utan att känna till dessa regler kommer du inte att kunna studera inte bara matematik, utan också fysik, kemi, biologi och till och med geografi.

Subtraktion och addition.

Två negativa ger ett jakande– det här är en regel som vi lärde oss i skolan och tillämpar hela våra liv. Vem av oss undrade varför? Naturligtvis är det lättare att memorera detta uttalande utan ytterligare frågor och inte gå djupt in i frågans kärna. Nu finns det redan tillräckligt med information som behöver "smältas". Men för dem som fortfarande är intresserade av denna fråga kommer vi att försöka förklara detta matematiska fenomen.

Sedan urminnes tider har människor använt positiva naturliga tal: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nötkreatur, grödor, fiender etc. räknades med hjälp av siffror. När man adderade och multiplicerade två positiva tal fick de alltid ett positivt tal, när man dividerade vissa kvantiteter med andra fick de inte alltid naturliga tal - så här såg bråktal ut. Hur är det med subtraktion? Från barndomen vet vi att det är bättre att lägga till de mindre till de större och subtrahera de mindre från de större, medan vi återigen inte använder negativa tal. Det visar sig att om jag har 10 äpplen kan jag bara ge mindre än 10 eller 10 till någon. Det finns inget sätt att jag kan ge 13 äpplen, eftersom jag inte har några. Det behövdes inte negativa tal på länge.

Först från 700-talet e.Kr. negativa tal användes i vissa räknesystem som hjälpvärden, vilket gjorde det möjligt att få ett positivt tal i svaret.

Tänk på ett exempel, 6x - 30 \u003d 3x - 9. För att hitta svaret är det nödvändigt att lämna termerna med okända på vänster sida, och resten till höger: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. När vi löser denna ekvation finns det inga negativa tal. Vi kunde överföra termer med okända till höger och utan okända - till vänster: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). När vi dividerar ett negativt tal med ett negativt får vi ett positivt svar: x \u003d 7.

Handlingar med negativa siffror bör leda oss till samma svar som handlingar med endast positiva tal. Vi kan inte längre tänka på handlingars praktiska olämplighet och meningsfullhet - de hjälper oss att lösa problemet mycket snabbare, utan att reducera ekvationen till formen endast med positiva siffror. I vårt exempel använde vi inte komplexa beräkningar, men med ett stort antal termer kan beräkningar med negativa tal underlätta vårt arbete.

Med tiden, efter långa experiment och beräkningar, var det möjligt att identifiera reglerna som alla siffror och åtgärder på dem lyder (i matematik kallas de axiom). Det var därifrån det kom ett axiom som säger att när man multiplicerar två negativa tal får man ett positivt tal.

www.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, en länk till källan krävs.

1) Varför är minus ett gånger minus ett lika med plus ett?
2) Varför är minus en gånger plus en lika med minus ett?

"Min fiendes fiende är min vän."

Det enklaste svaret är: "För att det här är reglerna för att arbeta med negativa tal." De regler vi lär oss i skolan och tillämpar hela livet. Läroböckerna förklarar dock inte varför reglerna är som de är. Vi kommer först att försöka förstå detta från historien om utvecklingen av aritmetiken, och sedan kommer vi att besvara denna fråga från modern matematiks synvinkel.

För länge sedan var bara naturliga tal kända för människor: 1, 2, 3, . De användes för att räkna redskap, byte, fiender etc. Men siffrorna i sig är ganska värdelösa - du måste veta hur du ska hantera dem. Addition är tydligt och förståeligt, och dessutom är summan av två naturliga tal också ett naturligt tal (en matematiker skulle säga att mängden naturliga tal stängs under operationen av addition). Multiplikation är i själva verket samma addition om vi pratar om naturliga tal. I livet utför vi ofta handlingar relaterade till dessa två operationer (till exempel när vi handlar, adderar och multiplicerar vi), och det är konstigt att tänka att våra förfäder stötte på dem mer sällan - addition och multiplikation behärskades av mänskligheten under mycket lång tid sedan. Ofta är det nödvändigt att dela en kvantitet med en annan, men här uttrycks resultatet inte alltid av ett naturligt tal - så här såg bråktal ut.

Subtraktion är naturligtvis också oumbärlig. Men i praktiken tenderar vi att subtrahera det mindre talet från det större talet, och det finns inget behov av att använda negativa tal. (Om jag har 5 godisar och jag ger 3 till min syster, då kommer jag att ha 5 - 3 = 2 godisar, men jag kan inte ge henne 7 godisar med all min önskan.) Detta kan förklara varför folk inte använde negativa tal under en lång tid.

Negativa tal förekommer i indiska dokument från 700-talet e.Kr.; kineserna började tydligen använda dem lite tidigare. De användes för att redovisa skulder eller i mellanberäkningar för att förenkla lösningen av ekvationer – det var bara ett verktyg för att få ett positivt svar. Det faktum att negativa tal, till skillnad från positiva, inte uttrycker närvaron av någon enhet, väckte stark misstro. Människor undvek bokstavligen negativa siffror: om ett problem fick ett negativt svar, trodde de att det inte fanns något svar alls. Denna misstro höll i sig under mycket lång tid, och till och med Descartes - en av "grundarna" av modern matematik - kallade dem "falska" (på 1600-talet!).

Tänk till exempel på ekvationen 7x - 17 = 2x - 2. Det kan lösas så här: flytta termerna med det okända till vänster sida, och resten till höger, kommer det att visa sig 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Med den här lösningen mötte vi inte ens negativa tal.

Vad visar detta enkla exempel? Först blir det tydligt logiken som bestämde reglerna för åtgärder på negativa siffror: resultaten av dessa åtgärder måste matcha de svar som erhålls på ett annat sätt, utan negativa siffror. För det andra, genom att tillåta användningen av negativa tal, blir vi av med den tråkiga (om ekvationen visar sig vara mer komplicerad, med ett stort antal termer) sökningen efter lösningsvägen där alla åtgärder endast utförs på naturliga tal. Dessutom kan vi inte längre tänka varje gång på betydelsen av de storheter som omvandlas - och detta är redan ett steg mot att göra matematiken till en abstrakt vetenskap.

Reglerna för åtgärder på negativa tal bildades inte omedelbart, utan blev en generalisering av många exempel som uppstod när man löste tillämpade problem. I allmänhet kan utvecklingen av matematik villkorligt delas in i stadier: varje nästa steg skiljer sig från det föregående genom en ny abstraktionsnivå i studien av objekt. Så på 1800-talet insåg matematiker att heltal och polynom, trots alla deras yttre olikheter, har mycket gemensamt: båda kan adderas, subtraheras och multipliceras. Dessa operationer följer samma lagar - både när det gäller tal och när det gäller polynom. Men uppdelningen av heltal med varandra, så att resultatet återigen blir heltal, är inte alltid möjligt. Detsamma gäller för polynom.

Sedan upptäcktes andra samlingar av matematiska objekt på vilka sådana operationer kan utföras: formella potensserier, kontinuerliga funktioner. Slutligen kom förståelsen att om man studerar egenskaperna hos själva operationerna, så kan resultaten sedan appliceras på alla dessa uppsättningar av objekt (detta tillvägagångssätt är typiskt för all modern matematik).

Som ett resultat dök ett nytt koncept upp: ringa. Det är bara ett gäng element plus åtgärder som kan utföras på dem. De grundläggande reglerna här är bara reglerna (de kallas axiom) som handlingar är föremål för, inte arten av elementen i uppsättningen (här är det, en ny abstraktionsnivå!). För att understryka att det är strukturen som uppstår efter införandet av axiom som är viktig, säger matematiker: ringen av heltal, ringen av polynom etc. Utgående från axiomen kan man härleda andra egenskaper hos ringar.

Vi kommer att formulera ringens axiom (som naturligtvis liknar reglerna för operationer med heltal), och sedan kommer vi att bevisa att i vilken ring som helst, multiplicerar ett minus med ett minus ett plus.

ringa kallas en mängd med två binära operationer (det vill säga två element i ringen är involverade i varje operation), som traditionellt kallas addition och multiplikation, och följande axiom:

• tillägg av ringelement lyder kommutativ ( A + B = B + A för alla element A och B) och associativ ( A + (B + C) = (A + B) + C) lagar; ringen innehåller ett speciellt element 0 (ett neutralt element genom tillägg) så att A + 0 = A, och för alla element A det finns ett motsatt element (betecknat (–A)), Vad A + (–A) = 0 ;
• addition och multiplikation är relaterade med följande parentesexpansionsregler: (A + B) C = A C + B C och A (B + C) = A B + A C .

Vi noterar att ringar, i den mest allmänna konstruktionen, inte kräver multiplikation för att vara permuterbar, inte heller är den inverterbar (det vill säga det är inte alltid möjligt att dividera), och det kräver inte heller existensen av en enhet, ett neutralt element med avseende multiplikation. Om dessa axiom introduceras, erhålls andra algebraiska strukturer, men alla satser som bevisats för ringar kommer att vara sanna i dem.

Det bevisar vi nu för alla element A och B godtycklig ring är sant, för det första, (–A) B = –(A B), och för det andra (–(–A)) = A. Av detta följer lätt uttalanden om enheter: (–1) 1 = –(1 1) = –1 och (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

För att göra detta måste vi fastställa några fakta. Först bevisar vi att varje element bara kan ha en motsats. Ja, låt elementet A det finns två motsatser: B och Med. d.v.s A + B = 0 = A + C. Tänk på summan A+B+C. Med hjälp av de associativa och kommutativa lagarna och egenskapen noll får vi att å ena sidan summan är lika med B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, och å andra sidan är det lika med C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Betyder att, B=C .

Låt oss nu notera det A, och (–(–A))är motsatta till samma element (–A), så de måste vara lika.

Det första faktum är så här: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, dvs (–A) B motsatt A B, så det är lika med –(A B) .

För att vara matematiskt noggrann, låt oss förklara varför 0 B = 0 för vilket element som helst B. Verkligen, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Det vill säga tillägget 0 Bändrar inte beloppet. Så denna produkt är lika med noll.

Och det faktum att det finns exakt en nolla i ringen (trots allt säger axiomen att ett sådant element existerar, men ingenting sägs om dess unika!), kommer vi att lämna till läsaren som en enkel övning.