I den här artikeln kommer du och jag att inleda en diskussion om en "trollstav" som gör att du kan reducera många problem inom geometri till enkel aritmetik. Denna "trollstav" kan göra ditt liv mycket lättare, speciellt när du känner dig osäker på att bygga rumsliga figurer, sektioner etc. Allt detta kräver en viss fantasi och praktiska färdigheter. Metoden, som vi kommer att börja överväga här, gör att du kan abstrahera nästan helt från alla typer av geometriska konstruktioner och resonemang. Metoden kallas "koordinatmetod". I den här artikeln kommer vi att överväga följande frågor:

1. Koordinatplan
2. Punkter och vektorer på planet
3. Bygga en vektor från två punkter
4. Vektorlängd (avstånd mellan två punkter).
5. Mittpunktskoordinater
6. Punktprodukt av vektorer
7. Vinkel mellan två vektorer

Jag tror att du redan gissat varför koordinatmetoden kallas så? Det är sant att det fick ett sådant namn, eftersom det inte fungerar med geometriska objekt, utan med deras numeriska egenskaper (koordinater). Och själva transformationen, som gör det möjligt att gå från geometri till algebra, består i att införa ett koordinatsystem. Om den ursprungliga figuren var platt är koordinaterna tvådimensionella och om figuren är tredimensionella är koordinaterna tredimensionella. I den här artikeln kommer vi bara att överväga det tvådimensionella fallet. Och huvudsyftet med artikeln är att lära dig hur du använder några grundläggande tekniker för koordinatmetoden (de visar sig ibland vara användbara när du löser problem i planimetri i del B av Unified State Examination). De följande två avsnitten om detta ämne ägnas åt diskussionen om metoder för att lösa problem C2 (problemet med stereometri).

Var skulle det vara logiskt att börja diskutera koordinatmetoden? Förmodligen med konceptet med ett koordinatsystem. Kom ihåg när du träffade henne första gången. Det verkar för mig att i 7:an, när man lärde sig om existensen av en linjär funktion t.ex. Låt mig påminna dig om att du byggde det punkt för punkt. Kommer du ihåg? Du valde ett godtyckligt tal, ersatte det i formeln och beräknade på detta sätt. Till exempel om, då, om, då, etc. Vad fick du för resultat? Och du fick poäng med koordinater: och. Sedan ritade du ett "kors" (koordinatsystem), valde en skala på det (hur många celler du kommer att ha som ett enda segment) och markerade punkterna du fick på det, som du sedan kopplade ihop med en rät linje, den resulterande linjen är grafen för funktionen.

Det finns några saker som behöver förklaras lite mer detaljerat för dig:

1. Du väljer ett enstaka segment för bekvämlighetsskäl, så att allt passar fint och kompakt i bilden

2. Det antas att axeln går från vänster till höger, och axeln går från botten till toppen

3. De skär varandra i rät vinkel, och skärningspunkten kallas origo. Den är markerad med en bokstav.

4. I posten för koordinaten för en punkt, till exempel, till vänster inom parentes är koordinaten för punkten längs axeln och till höger längs axeln. I synnerhet betyder helt enkelt att poängen

5. För att ställa in någon punkt på koordinataxeln måste du ange dess koordinater (2 siffror)

6. För varje punkt som ligger på axeln,

7. För varje punkt som ligger på axeln,

8. Axeln kallas x-axeln

9. Axeln kallas y-axeln

Låt oss nu ta nästa steg med dig: markera två punkter. Förbind dessa två punkter med en linje. Och låt oss sätta pilen som om vi ritade ett segment från punkt till punkt: det vill säga vi kommer att göra vårt segment riktat!

Kommer du ihåg vad ett annat namn för ett regisserat segment är? Det stämmer, det kallas vektor!

Således, om vi kopplar en punkt till en punkt, och början kommer att vara punkt A, och slutet kommer att vara punkt B, då får vi en vektor. Du gjorde också den här konstruktionen i 8:an, minns du?

Det visar sig att vektorer, liksom punkter, kan betecknas med två tal: dessa tal kallas vektorns koordinater. Fråga: tror du att det räcker för oss att känna till koordinaterna för vektorns början och slut för att hitta dess koordinater? Det visar sig att ja! Och det är väldigt enkelt att göra:

Således, eftersom punkten i vektorn är början och slutet, har vektorn följande koordinater:

Till exempel, if, då vektorns koordinater

Låt oss nu göra tvärtom, hitta vektorns koordinater. Vad behöver vi förändra för detta? Ja, du måste byta början och slutet: nu kommer början av vektorn att vara vid en punkt och slutet vid en punkt. Sedan:

Titta noga, vad är skillnaden mellan vektorer och? Deras enda skillnad är tecknen i koordinaterna. De är motsatta. Detta faktum är skrivet så här:

Ibland, om det inte specifikt anges vilken punkt som är början på vektorn och vilken som är slutet, så betecknas vektorerna inte med två versaler utan med en liten bokstäver, till exempel:, etc.

Nu lite öva och hitta koordinaterna för följande vektorer:

Undersökning:

Lös nu problemet lite svårare:

En vektortorus med on-cha-skrot vid en punkt har co-or-di-on-you. Hitta-di-te abs-cis-su poäng.

Det är ändå ganska prosaiskt: Låt vara punktens koordinater. Sedan

Jag kompilerade systemet genom att bestämma vad koordinaterna för en vektor är. Då har punkten koordinater. Vi är intresserade av abskissan. Sedan

Svar:

Vad mer kan du göra med vektorer? Ja, nästan allt är detsamma som med vanliga tal (förutom att du inte kan dividera, men du kan multiplicera på två sätt, varav det ena vi kommer att diskutera här lite senare)

1. Vektorer kan staplas med varandra
2. Vektorer kan subtraheras från varandra
3. Vektorer kan multipliceras (eller divideras) med ett godtyckligt tal som inte är noll
4. Vektorer kan multipliceras med varandra

Alla dessa operationer har en ganska visuell geometrisk representation. Till exempel, triangeln (eller parallellogram) regeln för addition och subtraktion:

En vektor sträcker sig eller krymper eller ändrar riktning när den multipliceras eller divideras med ett tal:

Men här kommer vi att vara intresserade av frågan om vad som händer med koordinaterna.

1. När vi adderar (subtraherar) två vektorer adderar (subtraherar) vi deras koordinater element för element. Dvs:

2. När du multiplicerar (dividerar) en vektor med ett tal, multipliceras (divideras) alla dess koordinater med detta tal:

Till exempel:

· Hitta-di-summan av ko-eller-di-nat århundrade-till-ra.

Låt oss först hitta koordinaterna för var och en av vektorerna. Båda har samma ursprung - ursprungspunkten. Deras mål är olika. Sedan, . Nu beräknar vi koordinaterna för vektorn. Då är summan av koordinaterna för den resulterande vektorn lika med.

Svar:

Lös nu följande problem själv:

· Hitta summan av vektorns koordinater

Vi kontrollerar:

Låt oss nu överväga följande problem: vi har två punkter på koordinatplanet. Hur hittar man avståndet mellan dem? Låt den första punkten vara och den andra. Låt oss beteckna avståndet mellan dem som . Låt oss göra följande ritning för tydlighetens skull:

Vad jag har gjort? För det första kopplade jag ihop punkterna och drog också en linje parallell med axeln från punkten och drog en linje parallell med axeln från punkten. Korsade de sig vid en punkt och bildade en underbar figur? Varför är hon underbar? Ja, du och jag vet nästan allt om en rätvinklig triangel. Ja, Pythagoras sats, helt klart. Det önskade segmentet är hypotenusan för denna triangel, och segmenten är benen. Vilka är punktens koordinater? Ja, de är lätta att hitta från bilden: Eftersom segmenten är parallella med axlarna och deras längder är lätta att hitta: om vi betecknar segmentens längder, genom, så

Låt oss nu använda Pythagoras sats. Vi vet längden på benen, vi hittar hypotenusan:

Således är avståndet mellan två punkter rotsumman av de kvadratiska skillnaderna från koordinaterna. Eller - avståndet mellan två punkter är längden på segmentet som förbinder dem. Det är lätt att se att avståndet mellan punkterna inte beror på riktningen. Sedan:

Av detta drar vi tre slutsatser:

Låt oss öva lite på att beräkna avståndet mellan två punkter:

Till exempel, if, då är avståndet mellan och

Eller låt oss gå annorlunda: hitta vektorns koordinater

Och hitta längden på vektorn:

Som ni ser är det samma!

Träna nu lite på egen hand:

Uppgift: hitta avståndet mellan de givna punkterna:

Vi kontrollerar:

Här är ett par problem till för samma formel, även om de låter lite annorlunda:

1. Hitta-di-te kvadraten på längden av ögonlocket-till-ra.

2. Nai-di-te fyrkant av ögonlockets längd-till-ra

Jag antar att du kan hantera dem lätt? Vi kontrollerar:

1. Och detta är för uppmärksamhet) Vi har redan hittat koordinaterna för vektorerna tidigare: . Då har vektorn koordinater. Kvadraten på dess längd blir:

2. Hitta vektorns koordinater

Då är kvadraten på dess längd

Inget komplicerat, eller hur? Enkel aritmetik, inget mer.

Följande pussel kan inte entydigt klassificeras, de är snarare till för allmän kunskap och förmågan att rita enkla bilder.

1. Hitta-di-de sinus av vinkeln på-klo-på-från-snitt, anslut-en-n:te punkten, med abskissaxeln.

och

Hur ska vi göra här? Du måste hitta sinus för vinkeln mellan och axeln. Och var kan vi leta efter sinus? Det stämmer, i en rätvinklig triangel. Så vad behöver vi göra? Bygg den här triangeln!

Eftersom koordinaterna för punkten och, då segmentet är lika, och segmentet. Vi måste hitta vinkelns sinus. Låt mig påminna dig om att sinus är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan

Vad har vi kvar att göra? Hitta hypotenusan. Du kan göra det på två sätt: med Pythagoras sats (benen är kända!) eller med formeln för avståndet mellan två punkter (faktiskt samma som den första metoden!). Jag kommer att gå den andra vägen:

Svar:

Nästa uppgift kommer att verka ännu lättare för dig. Hon - på koordinaterna för punkten.

Uppgift 2. Från punkten sänks per-pen-di-kular ner på abs-ciss-axeln. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Låt oss göra en ritning:

Basen av vinkelrät är punkten där den skär x-axeln (axeln) för mig är detta en punkt. Figuren visar att den har koordinater: . Vi är intresserade av abskissan - det vill säga "X"-komponenten. Hon är jämställd.

Svar: .

Uppgift 3. Under villkoren för föregående problem, hitta summan av avstånden från punkten till koordinataxlarna.

Uppgiften är generellt sett elementär om du vet vad avståndet från en punkt till axlarna är. Du vet? Jag hoppas, men jag påminner dig ändå:

Så i min ritning, som ligger lite högre, har jag redan avbildat en sådan vinkelrät? Vilken axel är det? till axeln. Och hur lång är den då? Hon är jämställd. Rita nu själv en vinkelrät mot axeln och hitta dess längd. Det blir lika, eller hur? Då är deras summa lika.

Svar: .

Uppgift 4. I villkoren för uppgift 2, hitta ordinatan för punkten symmetrisk med punkten kring x-axeln.

Jag tror att du intuitivt förstår vad symmetri är? Väldigt många föremål har det: många byggnader, bord, plan, många geometriska former: en kula, en cylinder, en kvadrat, en romb etc. Grovt sett kan symmetri förstås på följande sätt: en figur består av två (eller flera) identiska halvor. Denna symmetri kallas axiell. Vad är då en axel? Detta är exakt den linje längs vilken figuren relativt sett kan "klippas" i identiska halvor (i den här bilden är symmetriaxeln rak):

Låt oss nu gå tillbaka till vår uppgift. Vi vet att vi letar efter en punkt som är symmetrisk kring axeln. Då är denna axel symmetriaxeln. Så vi måste markera en punkt så att axeln skär segmentet i två lika delar. Försök själv markera en sådan punkt. Jämför nu med min lösning:

Gjorde du detsamma? Väl! Vid den hittade punkten är vi intresserade av ordinatan. Hon är jämställd

Svar:

Berätta nu för mig, efter att ha funderat en sekund, vad blir abskissan för punkten som är symmetrisk med punkt A om y-axeln? Vad är ditt svar? Rätt svar: .

I allmänhet kan regeln skrivas så här:

En punkt som är symmetrisk med en punkt kring x-axeln har koordinaterna:

En punkt som är symmetrisk med en punkt kring y-axeln har koordinater:

Nåväl, nu är det riktigt läskigt. uppgift: Hitta koordinaterna för en punkt som är symmetrisk till en punkt, i förhållande till origo. Du tänker först själv och tittar sedan på min teckning!

Svar:

Nu parallellogram problem:

Uppgift 5: Punkterna är ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Hitta-dee-te eller-dee-on-tu poäng.

Du kan lösa detta problem på två sätt: logik och koordinatmetoden. Jag kommer först att tillämpa koordinatmetoden, och sedan ska jag berätta hur du kan bestämma dig för något annat.

Det är helt klart att punktens abskiss är lika. (den ligger på vinkelrät ritad från punkten till x-axeln). Vi måste hitta ordinatan. Låt oss dra fördel av det faktum att vår figur är ett parallellogram, vilket betyder att. Hitta längden på segmentet med hjälp av formeln för avståndet mellan två punkter:

Vi sänker den vinkelräta som förbinder punkten med axeln. Skärningspunkten betecknas med en bokstav.

Längden på segmentet är lika. (hitta problemet själv, där vi diskuterade detta ögonblick), då kommer vi att hitta längden på segmentet med hjälp av Pythagoras sats:

Längden på segmentet är exakt samma som dess ordinata.

Svar: .

En annan lösning (jag ska bara ge en bild som illustrerar det)

Lösningens framsteg:

1. Spendera

2. Hitta punktkoordinater och längd

3. Bevisa det.

En till klipplängdsproblem:

Punkterna är-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Hitta längden på hans mittlinje, par-ral-lel-noy.

Kommer du ihåg vad mittlinjen i en triangel är? Då är denna uppgift elementär för dig. Om du inte kommer ihåg, så kommer jag att påminna dig: mittlinjen i en triangel är en linje som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor. Den är parallell med basen och lika med hälften av den.

Basen är ett segment. Vi var tvungna att leta efter dess längd tidigare, den är lika. Då är längden på mittlinjen hälften så lång och lika lång.

Svar: .

Kommentar: Detta problem kan lösas på annat sätt, vilket vi kommer att vända oss till lite senare.

Under tiden, här är några uppgifter för dig, öva på dem, de är ganska enkla, men de hjälper till att "få in din hand" med hjälp av koordinatmetoden!

1. Punkterna visas-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Hitta längden på dess mittlinje.

2. Points och yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Hitta-dee-te eller-dee-on-tu poäng.

3. Hitta längden från snittet, anslut den andra punkten och

4. Hitta-di-te området för-den-röda-shen-noy fi-gu-ry på ko-eller-di-nat-noy planet.

5. En cirkel centrerad på na-cha-le ko-or-di-nat passerar genom en punkt. Hitta-de-te hennes ra-di-mustasch.

6. Nai-di-te ra-di-us cirkel-no-sti, beskriv-san-noy nära den räta vinkeln-no-ka, topparna-shi-ny av något-ro-go har co-eller - di-na-du med-från-svar-men

Lösningar:

1. Det är känt att mittlinjen för en trapets är lika med halva summan av dess baser. Basen är lika, men basen. Sedan

Svar:

2. Det enklaste sättet att lösa detta problem är att lägga märke till det (parallelogramregeln). Beräkna koordinaterna för vektorerna och är inte svårt: . När vektorer läggs till läggs koordinaterna till. Har sedan koordinater. Punkten har samma koordinater, eftersom början av vektorn är en punkt med koordinater. Vi är intresserade av ordinaten. Hon är jämställd.

Svar:

3. Vi agerar omedelbart enligt formeln för avståndet mellan två punkter:

Svar:

4. Titta på bilden och säg, mellan vilka två figurer är det skuggade området "klämt"? Den är inklämd mellan två rutor. Då är arean av den önskade figuren lika med arean av den stora kvadraten minus arean av den lilla. Den lilla kvadratens sida är ett segment som förbinder punkterna och dess längd är

Då är det lilla torgets yta

Vi gör samma sak med en stor kvadrat: dess sida är ett segment som förbinder punkterna och dess längd är lika med

Då är det stora torgets yta

Arean av den önskade figuren hittas av formeln:

Svar:

5. Om cirkeln har origo som centrum och passerar genom en punkt, så blir dess radie exakt lika med segmentets längd (gör en ritning så förstår du varför detta är uppenbart). Hitta längden på detta segment:

Svar:

6. Det är känt att radien för en cirkel omskriven runt en rektangel är lika med hälften av dess diagonal. Låt oss hitta längden på någon av de två diagonalerna (i en rektangel är de trots allt lika!)

Svar:

Nåväl, klarade du allt? Det var väl inte så svårt att lista ut det? Det finns bara en regel här - att kunna göra en visuell bild och helt enkelt "läsa" all data från den.

Vi har väldigt lite kvar. Det finns bokstavligen två punkter till som jag skulle vilja diskutera.

Låt oss försöka lösa detta enkla problem. Låt två poäng och ges. Hitta koordinaterna för mitten av segmentet. Lösningen på detta problem är följande: låt punkten vara den önskade mitten, då har den koordinater:

Dvs: koordinater för mitten av segmentet = aritmetiskt medelvärde av motsvarande koordinater för segmentets ändar.

Denna regel är mycket enkel och orsakar vanligtvis inte svårigheter för eleverna. Låt oss se i vilka problem och hur det används:

1. Hitta-di-te eller-di-na-tu se-re-di-us från-cut, anslut-nya-yu-th-th-th punkt och

2. Punkterna är yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Hitta-di-te eller-di-na-tu punkter för re-re-se-che-niya av hans dia-go-on-lei.

3. Hitta-di-te abs-cis-su av cirkelns mittpunkt, beskriv-san-noy nära rektangeln-no-ka, topparna-shi-vi har något-ro-go co-or-di- na-du med-från-veterinär-stvenno-men.

Lösningar:

1. Den första uppgiften är bara en klassiker. Vi agerar omedelbart genom att bestämma segmentets mittpunkt. Hon har koordinater. Ordinatan är lika.

Svar:

2. Det är lätt att se att den givna fyrhörningen är ett parallellogram (även en romb!). Du kan bevisa det själv genom att beräkna längderna på sidorna och jämföra dem med varandra. Vad vet jag om ett parallellogram? Dess diagonaler är delade av skärningspunkten! A ha! Så vad är skärningspunkten för diagonalerna? Detta är mitten av någon av diagonalerna! Jag kommer att välja i synnerhet diagonalen. Då har punkten koordinater. Ordinatan för punkten är lika med.

Svar:

3. Vad är mitten av cirkeln omskriven kring rektangeln? Den sammanfaller med skärningspunkten för dess diagonaler. Vad vet du om diagonalerna i en rektangel? De är lika och skärningspunkten är delad på mitten. Uppgiften har reducerats till den tidigare. Ta till exempel diagonalen. Sedan om är mitten av den omskrivna cirkeln, då är mitten. Jag letar efter koordinater: Abskissan är lika.

Svar:

Träna nu lite på egen hand, jag ger bara svaren på varje problem så att du kan kolla upp dig själv.

1. Nai-di-te ra-di-us cirkel-no-sti, beskriv-san-noy nära triangeln-no-ka, toppen av någon-ro-go har ko-or-di -no misters

2. Hitta-di-te eller-di-na-tu mitten av cirkeln, beskriv san-noy nära triangeln-no-ka, topparna-shi-vi har något-ro-go-koordinater

3. Vilken typ av ra-di-y-sa ska det finnas en cirkel med ett centrum i en punkt så att den nuddar abs-ciss-axeln?

4. Hitta-di-te eller-di-på-den punkt för åter-re-se-che-ing av axeln och från-cut, anslut-nya-yu-th-th-th-punkten och

Svar:

Har allt löst sig? Jag hoppas verkligen på det! Nu - sista trycket. Var nu extra försiktig. Materialet som jag ska förklara nu är inte bara relevant för de enkla koordinatmetodproblemen i del B, utan är också allmänt förekommande i uppgift C2.

Vilka av mina löften har jag ännu inte hållit? Kommer du ihåg vilka operationer på vektorer jag lovade att introducera och vilka jag så småningom introducerade? Är jag säker på att jag inte har glömt något? Glömde! Jag glömde att förklara vad multiplikation av vektorer betyder.

Det finns två sätt att multiplicera en vektor med en vektor. Beroende på vald metod kommer vi att få objekt av olika karaktär:

Vektorprodukten är ganska knepig. Hur man gör det och varför det behövs kommer vi att diskutera med dig i nästa artikel. Och i detta kommer vi att fokusera på den skalära produkten.

Det finns redan två sätt som tillåter oss att beräkna det:

Som du gissat borde resultatet bli detsamma! Så låt oss först titta på det första sättet:

Pricka produkten genom koordinaterna

Hitta: - gemensam notation för punktprodukt

Formeln för beräkningen är följande:

Det vill säga prickprodukten = summan av produkterna av vektorernas koordinater!

Exempel:

Hitta-dee-te

Beslut:

Hitta koordinaterna för var och en av vektorerna:

Vi beräknar skalärprodukten med formeln:

Svar:

Du förstår, absolut inget komplicerat!

Nåväl, prova själv:

Hitta-di-te scalar-noe pro-från-ve-de-nie sekel-till-dike och

Klarade du dig? Kanske märkte han ett litet trick? Låt oss kolla:

Vektorkoordinater, som i föregående uppgift! Svar: .

Förutom koordinaten finns det ett annat sätt att beräkna skalärprodukten, nämligen genom längden på vektorerna och cosinus för vinkeln mellan dem:

Betecknar vinkeln mellan vektorerna och.

Det vill säga den skalära produkten är lika med produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan dem.

Varför behöver vi denna andra formel, om vi har den första, som är mycket enklare, finns det åtminstone inga cosinus i den. Och vi behöver det så att vi utifrån den första och andra formeln kan härleda hur man hittar vinkeln mellan vektorer!

Låt sedan komma ihåg formeln för längden på en vektor!

Om jag sedan kopplar in dessa data till prickproduktformeln får jag:

Men på andra sidan:

Så vad har vi? Vi har nu en formel för att beräkna vinkeln mellan två vektorer! Ibland, för korthets skull, skrivs det också så här:

Det vill säga, algoritmen för att beräkna vinkeln mellan vektorer är som följer:

1. Vi beräknar skalärprodukten genom koordinaterna
2. Hitta längden på vektorer och multiplicera dem
3. Dividera resultatet av punkt 1 med resultatet av punkt 2

Låt oss öva med exempel:

1. Hitta vinkeln mellan ögonlocken-till-ra-mi och. Ge ditt svar i grader.

2. Under villkoren i det föregående problemet, hitta cosinus mellan vektorerna

Låt oss göra så här: Jag hjälper dig att lösa det första problemet och försöker göra det andra själv! Jag håller med? Då börjar vi!

1. Dessa vektorer är våra gamla vänner. Vi har redan övervägt deras skalära produkt och den var lika. Deras koordinater är: , . Sedan hittar vi deras längder:

Sedan letar vi efter cosinus mellan vektorerna:

Vad är cosinus för vinkeln? Det här är hörnet.

Svar:

Nåväl, lös nu det andra problemet själv och jämför sedan! Jag ska bara ge en mycket kort lösning:

2. har koordinater, har koordinater.

Låt vara vinkeln mellan vektorerna och då

Svar:

Det bör noteras att uppgifterna direkt på vektorerna och koordinatmetoden i del B av tentamensuppsatsen är ganska sällsynta. De allra flesta C2-problem kan dock enkelt lösas genom att införa ett koordinatsystem. Så du kan betrakta den här artikeln som en grund, på grundval av vilken vi kommer att göra ganska knepiga konstruktioner som vi behöver för att lösa komplexa problem.

KOORDINATER OCH VEKTORER. MELLANNIVÅ

Du och jag fortsätter att studera koordinatmetoden. I den sista delen härledde vi ett antal viktiga formler som tillåter:

1. Hitta vektorkoordinater
2. Hitta längden på en vektor (alternativt: avståndet mellan två punkter)
3. Addera, subtrahera vektorer. Multiplicera dem med ett reellt tal
4. Hitta mittpunkten i ett segment
5. Beräkna punktprodukt av vektorer
6. Hitta vinkeln mellan vektorer

Hela koordinatmetoden passar förstås inte in i dessa 6 punkter. Det ligger till grund för en sådan vetenskap som analytisk geometri, som du kommer att bekanta dig med på universitetet. Jag vill bara bygga en grund som gör att du kan lösa problem i ett enda tillstånd. examen. Vi kom på uppgifterna för del B i Nu är det dags att gå till en kvalitativt ny nivå! Denna artikel kommer att ägnas åt en metod för att lösa de C2-problem där det skulle vara rimligt att byta till koordinatmetoden. Denna rimlighet bestäms av vad som behöver hittas i problemet, och vilken siffra som ges. Så jag skulle använda koordinatmetoden om frågorna är:

1. Hitta vinkeln mellan två plan
2. Hitta vinkeln mellan en linje och ett plan
3. Hitta vinkeln mellan två linjer
4. Hitta avståndet från en punkt till ett plan
5. Hitta avståndet från en punkt till en linje
6. Hitta avståndet från en rak linje till ett plan
7. Hitta avståndet mellan två linjer

Om siffran som ges i problemets tillstånd är en rotationskropp (kula, cylinder, kon ...)

Lämpliga siffror för koordinatmetoden är:

1. kubisk
2. Pyramid (triangulär, fyrkantig, hexagonal)

Även enligt min erfarenhet det är olämpligt att använda koordinatmetoden för:

1. Att hitta områdena för sektioner
2. Beräkningar av volymer av kroppar

Det bör dock omedelbart noteras att tre ”ogynnsamma” situationer för koordinatmetoden är ganska sällsynta i praktiken. I de flesta uppgifter kan den bli din räddare, speciellt om du inte är särskilt stark i tredimensionella konstruktioner (som ibland är ganska intrikat).

Vilka är alla siffror jag har listat ovan? De är inte längre platta, som en kvadrat, triangel, cirkel, utan voluminösa! Följaktligen behöver vi inte överväga ett tvådimensionellt, utan ett tredimensionellt koordinatsystem. Det är ganska enkelt att bygga: bara utöver abskissan och ordinaterna kommer vi att introducera en annan axel, applikataxeln. Figuren visar schematiskt deras relativa position:

Alla av dem är ömsesidigt vinkelräta, skär varandra vid en punkt, som vi kommer att kalla ursprunget. Abskissaxeln, som tidigare, kommer att betecknas, ordinataaxeln - och den införda applikaaxeln - .

Om varje punkt på planet tidigare kännetecknades av två siffror - abskissan och ordinatan, är varje punkt i rymden redan beskriven med tre tal - abskissan, ordinatan, applikationen. Till exempel:

Följaktligen är punktens abskiss lika, ordinatan är , och applikatet är .

Ibland kallas abskissan för en punkt också för projektionen av punkten på abskissaxeln, ordinatan är projektionen av punkten på y-axeln och applikatet är projektionen av punkten på applikationsaxeln. Följaktligen, om en punkt ges då, en punkt med koordinater:

kallas projektion av en punkt på ett plan

kallas projektion av en punkt på ett plan

En naturlig fråga uppstår: är alla formler härledda för det tvådimensionella fallet giltiga i rymden? Svaret är ja, de är bara och har samma utseende. För en liten detalj. Jag tror att du redan gissat vilken. I alla formler måste vi lägga till ytterligare en term som är ansvarig för applikationsaxeln. Nämligen.

1. Om två poäng ges: , då:

• Vektorkoordinater:
• Avstånd mellan två punkter (eller vektorlängd)
• Mitten av segmentet har koordinater

2. Om två vektorer ges: och, då:

• Deras prickprodukt är:
• Cosinus för vinkeln mellan vektorerna är:

Utrymmet är dock inte så enkelt. Som du förstår introducerar tillägget av ytterligare en koordinat en betydande variation i spektrumet av figurer som "lever" i detta utrymme. Och för vidare berättelse behöver jag introducera en del, grovt sett, "generalisering" av den raka linjen. Denna "generalisering" kommer att vara ett plan. Vad kan du om flygplan? Försök att svara på frågan, vad är ett plan? Det är väldigt svårt att säga. Men vi föreställer oss alla intuitivt hur det ser ut:

Grovt sett är detta ett slags oändligt "löv" som skjuts ut i rymden. "Oändlighet" bör förstås att planet sträcker sig i alla riktningar, det vill säga dess yta är lika med oändlighet. Denna förklaring "på fingrarna" ger dock inte den minsta uppfattning om planets struktur. Och vi kommer att vara intresserade av det.

Låt oss komma ihåg ett av geometrins grundläggande axiom:

• En rät linje går genom två olika punkter på ett plan, dessutom bara en:

Eller dess analoga i rymden:

Naturligtvis kommer du ihåg hur man härleder ekvationen för en rät linje från två givna punkter, detta är inte alls svårt: om den första punkten har koordinater: och den andra, kommer den räta linjens ekvation att vara som följer:

Du gick igenom det här i sjuan. I rymden ser ekvationen för en rät linje ut så här: låt oss ha två punkter med koordinater: , då har ekvationen för en rät linje som går genom dem formen:

Till exempel går en linje genom punkter:

Hur ska detta förstås? Detta bör förstås på följande sätt: en punkt ligger på en linje om dess koordinater uppfyller följande system:

Vi kommer inte att vara särskilt intresserade av ekvationen för en rät linje, men vi måste vara uppmärksamma på det mycket viktiga konceptet med riktningsvektorn för en rät linje. - varje vektor som inte är noll som ligger på en given linje eller parallell med den.

Till exempel är båda vektorerna riktningsvektorer för en rät linje. Låt vara en punkt som ligger på en rät linje, och vara dess riktningsvektor. Då kan ekvationen för en rät linje skrivas i följande form:

Återigen kommer jag inte att vara särskilt intresserad av ekvationen för en rät linje, men jag behöver verkligen att du kommer ihåg vad en riktningsvektor är! På nytt: det är vilken vektor som inte är noll som ligger på en linje, eller parallell med den.

Dra tillbaka trepunktsekvationen för ett planär inte längre så trivialt, och omfattas vanligtvis inte av en gymnasiekurs. Men förgäves! Denna teknik är avgörande när vi tar till koordinatmetoden för att lösa komplexa problem. Jag antar dock att du är full av lust att lära dig något nytt? Dessutom kommer du att kunna imponera på din lärare på universitetet när det visar sig att du redan vet hur man använder den teknik som vanligtvis studeras i analytisk geometri. Så låt oss börja.

Ekvationen för ett plan är inte alltför olik ekvationen för en rät linje på ett plan, den har nämligen formen:

vissa tal (inte alla lika med noll), men variabler, till exempel: etc. Som du kan se skiljer sig ett plans ekvation inte så mycket från ekvationen för en rät linje (linjär funktion). Men minns du vad vi bråkade med dig? Vi sa att om vi har tre punkter som inte ligger på en rak linje, så återställs planets ekvation unikt från dem. Men hur? Jag ska försöka förklara för dig.

Eftersom planekvationen är:

Och punkterna tillhör detta plan, då när vi ersätter koordinaterna för varje punkt i ekvationen för planet, bör vi få den korrekta identiteten:

Det finns alltså ett behov av att lösa tre ekvationer redan med okända! Dilemma! Men vi kan alltid anta det (för detta måste vi dividera med). Således får vi tre ekvationer med tre okända:

Vi kommer dock inte att lösa ett sådant system, utan skriva ut det kryptiska uttrycket som följer av det:

Ekvation för ett plan som passerar genom tre givna punkter

\[\vänster| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Sluta! Vad mer är detta? Någon mycket ovanlig modul! Objektet som du ser framför dig har dock inget med modulen att göra. Detta objekt kallas en tredje ordningens determinant. Från och med nu, när du sysslar med koordinatmetoden på ett plan, kommer du ofta att stöta på just dessa determinanter. Vad är en tredje ordningens determinant? Konstigt nog är det bara en siffra. Det återstår att förstå vilket specifikt nummer vi kommer att jämföra med determinanten.

Låt oss först skriva tredje ordningens determinant i en mer allmän form:

Var finns några siffror. Dessutom menar vi med det första indexet radnumret och med indexet - kolumnnumret. Till exempel betyder det att det givna numret är i skärningspunkten mellan den andra raden och den tredje kolumnen. Låt oss ställa följande fråga: exakt hur ska vi beräkna en sådan determinant? Det vill säga, vilket specifikt nummer ska vi jämföra det med? För determinanten av exakt den tredje ordningen finns det en heuristisk (visuell) triangelregel, den ser ut så här:

1. Produkten av elementen i huvuddiagonalen (från övre vänster till nedre höger) produkten av elementen som bildar den första triangeln "vinkelrät" mot huvuddiagonalen produkten av elementen som bildar den andra triangeln "vinkelrät" mot huvuddiagonalen diagonal
2. Produkten av elementen i den sekundära diagonalen (från den övre högra delen till den nedre vänstra) produkten av elementen som bildar den första triangeln "vinkelrät" mot den sekundära diagonalen produkten av elementen som bildar den andra triangeln "vinkelrät" mot den sekundära diagonalen
3. Då är determinanten lika med skillnaden mellan värdena som erhålls vid steget och

Om vi ​​skriver allt detta i siffror får vi följande uttryck:

Du behöver dock inte memorera beräkningsmetoden i det här formuläret, det räcker att bara hålla trianglarna i huvudet och själva idén om vad som läggs till vad och vad som sedan subtraheras från vad).

Låt oss illustrera triangelmetoden med ett exempel:

1. Beräkna determinanten:

Låt oss ta reda på vad vi lägger till och vad vi subtraherar:

Termer som kommer med ett "plus":

Detta är huvuddiagonalen: produkten av elementen är

Den första triangeln, "vinkelrät mot huvuddiagonalen: produkten av elementen är

Den andra triangeln, "vinkelrät mot huvuddiagonalen: produkten av elementen är

Vi lägger till tre siffror:

Termer som kommer med ett "minus"

Detta är en sidodiagonal: produkten av elementen är

Den första triangeln, "vinkelrät mot den sekundära diagonalen: produkten av elementen är

Den andra triangeln, "vinkelrät mot den sekundära diagonalen: produkten av elementen är

Vi lägger till tre siffror:

Allt som återstår att göra är att subtrahera från summan av plustermerna summan av minustermerna:

Således,

Som du kan se finns det inget komplicerat och övernaturligt i beräkningen av tredje ordningens determinanter. Det är helt enkelt viktigt att komma ihåg trianglar och att inte göra räknefel. Försök nu att räkna själv:

Vi kontrollerar:

1. Den första triangeln vinkelrät mot huvuddiagonalen:
2. Den andra triangeln vinkelrät mot huvuddiagonalen:
3. Summan av plusvillkoren:
4. Första triangeln vinkelrät mot sidodiagonalen:
5. Den andra triangeln, vinkelrät mot sidodiagonalen:
6. Summan av termer med ett minus:
7. Summan av plustermer minus summan av minustermer:

Här är ytterligare ett par bestämningsfaktorer för dig, beräkna deras värden själv och jämför med svaren:

Svar:

Nåväl, stämde allt? Bra, då kan du gå vidare! Om det finns svårigheter är mitt råd detta: på Internet finns det ett gäng program för att beräkna determinanten online. Allt du behöver är att komma på din egen determinant, räkna ut den själv och sedan jämföra den med vad programmet beräknar. Och så vidare tills resultaten börjar stämma. Jag är säker på att det här ögonblicket inte kommer att vänta på sig!

Låt oss nu återgå till determinanten som jag skrev ut när jag pratade om ekvationen för ett plan som passerar genom tre givna punkter:

Allt du behöver göra är att beräkna dess värde direkt (med hjälp av triangelmetoden) och ställa in resultatet lika med noll. Naturligtvis, eftersom de är variabler, kommer du att få ett uttryck som beror på dem. Det är detta uttryck som kommer att vara ekvationen för ett plan som passerar genom tre givna punkter som inte ligger på en rät linje!

Låt oss illustrera detta med ett enkelt exempel:

1. Konstruera ekvationen för planet som passerar genom punkterna

Vi sammanställer en determinant för dessa tre punkter:

Förenkla:

Nu beräknar vi det direkt enligt regeln om trianglar:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ höger| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Således är ekvationen för planet som passerar genom punkterna:

Försök nu att lösa ett problem själv, och sedan kommer vi att diskutera det:

2. Hitta ekvationen för planet som passerar genom punkterna

Nåväl, låt oss diskutera lösningen nu:

Vi gör en bestämningsfaktor:

Och beräkna dess värde:

Då har planets ekvation formen:

Eller, för att minska med, vi får:

Nu två uppgifter för självkontroll:

1. Konstruera ekvationen för ett plan som går genom tre punkter:

Svar:

Stämde allt? Återigen, om det finns vissa svårigheter, är mitt råd detta: du tar tre punkter från ditt huvud (med en hög grad av sannolikhet kommer de inte att ligga på en rak linje), bygg ett plan på dem. Och kontrollera dig själv online. Till exempel på webbplatsen:

Men med hjälp av determinanter kommer vi inte bara att konstruera planets ekvation. Kom ihåg att jag sa till dig att för vektorer är inte bara punktprodukten definierad. Det finns också en vektor, såväl som en blandad produkt. Och om den skalära produkten av två vektorer kommer att vara ett tal, kommer vektorprodukten av två vektorer att vara en vektor, och denna vektor kommer att vara vinkelrät mot de givna:

Dessutom kommer dess modul att vara lika med arean av parallellogrammet byggt på vektorerna och. Vi kommer att behöva denna vektor för att beräkna avståndet från en punkt till en linje. Hur kan vi beräkna korsprodukten av vektorer och om deras koordinater är givna? Den tredje ordningens avgörande kommer återigen till vår hjälp. Men innan jag går vidare till algoritmen för att beräkna korsprodukten måste jag göra en liten lyrisk utvikning.

Denna utvikning gäller basvektorerna.

Schematiskt visas de i figuren:

Varför tror du att de kallas basic? Faktum är att :

Eller på bilden:

Giltigheten av denna formel är uppenbar, eftersom:

vektor produkt

Nu kan jag börja introducera cross-produkten:

Vektorprodukten av två vektorer är en vektor som beräknas enligt följande regel:

Låt oss nu ge några exempel på beräkning av korsprodukten:

Exempel 1: Hitta korsprodukten av vektorer:

Lösning: Jag gör en determinant:

Och jag räknar ut det:

Nu, från att skriva genom basvektorer, kommer jag att återgå till den vanliga vektornotationen:

Således:

Försök nu.

Redo? Vi kontrollerar:

Och traditionellt två uppgifter att kontrollera:

1. Hitta korsprodukten av följande vektorer:
2. Hitta korsprodukten av följande vektorer:

Svar:

Blandad produkt av tre vektorer

Den sista konstruktionen jag behöver är den blandade produkten av tre vektorer. Det är, som en skalär, en siffra. Det finns två sätt att beräkna det. - genom determinanten, - genom den blandade produkten.

Låt oss nämligen säga att vi har tre vektorer:

Sedan kan den blandade produkten av tre vektorer, betecknade med, beräknas som:

1. - det vill säga den blandade produkten är skalärprodukten av en vektor och vektorprodukten av två andra vektorer

Till exempel är den blandade produkten av tre vektorer:

Försök att beräkna det själv med hjälp av vektorprodukten och se till att resultaten matchar!

Och återigen - två exempel för en oberoende lösning:

Svar:

Val av koordinatsystem

Nåväl, nu har vi all nödvändig kunskapsgrund för att lösa komplexa stereometriska problem inom geometri. Men innan jag går direkt vidare till exemplen och algoritmerna för att lösa dem, tror jag att det kommer att vara användbart att uppehålla sig vid följande fråga: hur exakt välj ett koordinatsystem för en viss figur. Det är trots allt valet av koordinatsystemets relativa position och figuren i rymden som i slutändan kommer att avgöra hur krångliga beräkningarna blir.

Jag påminner dig om att vi i det här avsnittet överväger följande siffror:

1. kubisk
2. Raka prisma (triangulärt, sexkantigt...)
3. Pyramid (triangulär, fyrkantig)
4. Tetraeder (samma som triangulär pyramid)

För en kuboid eller kub rekommenderar jag följande konstruktion:

Det vill säga, jag kommer att placera figuren "i hörnet". Kuben och lådan är mycket bra figurer. För dem kan du alltid enkelt hitta koordinaterna för dess hörn. Till exempel, om (som visas på bilden)

då är vertexkoordinaterna:

Naturligtvis behöver du inte komma ihåg detta, men att komma ihåg hur man bäst placerar en kub eller en rektangulär låda är önskvärt.

rakt prisma

Prisma är en mer skadlig figur. Du kan ordna det i rymden på olika sätt. Jag tror dock att följande är det bästa alternativet:

Trekantsprisma:

Det vill säga, vi lägger en av triangelns sidor helt på axeln, och en av hörnen sammanfaller med ursprunget.

Hexagonalt prisma:

Det vill säga, en av hörnen sammanfaller med ursprunget, och en av sidorna ligger på axeln.

Fyrkantig och hexagonal pyramid:

En situation som liknar en kub: vi kombinerar två sidor av basen med koordinataxlarna, vi kombinerar en av hörnen med origo. Den enda lilla svårigheten kommer att vara att beräkna punktens koordinater.

För en hexagonal pyramid - samma som för ett hexagonalt prisma. Huvuduppgiften kommer återigen att vara att hitta koordinaterna för vertexet.

Tetraeder (triangulär pyramid)

Situationen är mycket lik den jag gav för det triangulära prismat: en vertex sammanfaller med origo, en sida ligger på koordinataxeln.

Nåväl, nu är du och jag äntligen nära att börja lösa problem. Av det jag sa i början av artikeln kan du dra följande slutsats: de flesta C2-problem delas in i två kategorier: problem för vinkeln och problem för avståndet. Först kommer vi att överväga problem för att hitta en vinkel. De är i sin tur indelade i följande kategorier (i takt med att komplexiteten ökar):

Problem med att hitta hörn

1. Hitta vinkeln mellan två linjer
2. Hitta vinkeln mellan två plan

Låt oss överväga dessa problem sekventiellt: låt oss börja med att hitta vinkeln mellan två raka linjer. Kom igen, kom ihåg, har du och jag löst liknande exempel tidigare? Du kommer ihåg, eftersom vi redan hade något liknande ... Vi letade efter en vinkel mellan två vektorer. Jag påminner dig om att om två vektorer ges: och då hittas vinkeln mellan dem från relationen:

Nu har vi ett mål - att hitta vinkeln mellan två raka linjer. Låt oss vända oss till den "platta bilden":

Hur många vinklar får vi när två linjer skär varandra? Redan saker. Det är sant att bara två av dem inte är lika, medan andra är vertikala till dem (och därför sammanfaller med dem). Så vilken vinkel ska vi överväga vinkeln mellan två räta linjer: eller? Här är regeln: vinkeln mellan två räta linjer är alltid inte mer än grader. Det vill säga från två vinklar kommer vi alltid att välja vinkeln med minsta gradmått. Det vill säga, i den här bilden är vinkeln mellan de två linjerna lika. För att inte bry sig om att hitta den minsta av de två vinklarna varje gång föreslog listiga matematiker att man skulle använda modulen. Således bestäms vinkeln mellan två räta linjer av formeln:

Du, som en uppmärksam läsare, borde ha haft en fråga: var får vi egentligen dessa siffror som vi behöver för att beräkna cosinus för en vinkel? Svar: vi tar dem från linjernas riktningsvektorer! Algoritmen för att hitta vinkeln mellan två linjer är alltså följande:

1. Vi tillämpar formel 1.

Eller mer detaljerat:

1. Vi letar efter koordinaterna för riktningsvektorn för den första räta linjen
2. Vi letar efter koordinaterna för den andra linjens riktningsvektor
3. Beräkna modulen för deras skalära produkt
4. Vi letar efter längden på den första vektorn
5. Vi letar efter längden på den andra vektorn
6. Multiplicera resultatet av punkt 4 med resultatet av punkt 5
7. Vi dividerar resultatet av punkt 3 med resultatet av punkt 6. Vi får cosinus för vinkeln mellan linjerna
8. Om detta resultat tillåter oss att beräkna vinkeln exakt, letar vi efter den
9. Annars skriver vi genom arccosine

Nåväl, nu är det dags att gå vidare till uppgifterna: Jag kommer att demonstrera lösningen av de två första i detalj, jag kommer att presentera lösningen för en annan i korthet, och jag kommer bara att ge svar på de två sista uppgifterna, du måste gör alla beräkningar för dem själv.

Uppgifter:

1. I den högra tet-ra-ed-re, hitta-di-te vinkeln mellan dig-så-den tet-ra-ed-ra och me-di-a-noy bo-ko-how sidan.

2. I höger-framåt sex-kol-pi-ra-mi-de, hundra-ro-na-os-no-va-niya är på något sätt lika, och sidoribborna är lika, hitta vinkeln mellan den raka linjer och.

3. Längderna på alla kanter på den högerhänta fyra-du-rech-kol-noy pi-ra-mi-dy är lika med varandra. Hitta vinkeln mellan de raka linjerna och om från-re-zok - du-så-det givet pi-ra-mi-dy, är punkten se-re-di-på hennes bo-ko- th revben

4. På kanten av kuben från-me-che-till en punkt så att Hitta-di-te vinkeln mellan de raka linjerna och

5. Peka - se-re-di-på kanterna av kuben Nai-di-te vinkeln mellan de raka linjerna och.

Det är ingen slump att jag placerade uppgifterna i denna ordning. Även om du ännu inte har haft tid att börja navigera i koordinatmetoden, kommer jag själv att analysera de mest "problematiska" figurerna, och jag kommer att låta dig ta itu med den enklaste kuben! Efter hand måste du lära dig att arbeta med alla figurer, jag kommer att öka komplexiteten i uppgifterna från ämne till ämne.

Låt oss börja lösa problem:

1. Rita en tetraeder, placera den i koordinatsystemet som jag föreslog tidigare. Eftersom tetraedern är regelbunden, är alla dess ytor (inklusive basen) regelbundna trianglar. Eftersom vi inte får längden på sidan kan jag ta det lika. Jag tror att du förstår att vinkeln inte riktigt kommer att bero på hur mycket vår tetraeder kommer att "sträckas ut"?. Jag kommer också att rita höjden och medianen i tetraedern. Längs vägen kommer jag att rita dess bas (den kommer också väl till pass för oss).

Jag måste hitta vinkeln mellan och. Vad vet vi? Vi känner bara till punktens koordinat. Så vi måste hitta fler koordinater för punkterna. Nu tänker vi: en punkt är en skärningspunkt mellan höjder (eller bisektrar eller medianer) i en triangel. En punkt är en förhöjd punkt. Punkten är mittpunkten av segmentet. Sedan måste vi slutligen hitta: punkternas koordinater: .

Låt oss börja med det enklaste: punktkoordinater. Titta på figuren: Det är tydligt att applikationen av en punkt är lika med noll (punkten ligger på ett plan). Dess ordinata är lika (eftersom det är medianen). Det är svårare att hitta sin abskiss. Detta görs dock enkelt utifrån Pythagoras sats: Betrakta en triangel. Dess hypotenusa är lika, och ett av benen är lika. Då:

Äntligen har vi:

Låt oss nu hitta punktens koordinater. Det är tydligt att dess applikat återigen är lika med noll, och dess ordinata är densamma som för en punkt, det vill säga. Låt oss hitta dess abskiss. Detta görs ganska trivialt om man kommer ihåg det höjderna av en liksidig triangel divideras med skärningspunkten i proportionen räkna från toppen. Eftersom: är punktens önskade abskiss, lika med längden på segmentet, lika med:. Sålunda är punktens koordinater:

Låt oss hitta koordinaterna för punkten. Det är tydligt att dess abskissa och ordinata sammanfaller med punktens abskissa och ordinata. Och applikationen är lika med längden på segmentet. - det här är ett av triangelns ben. Hypotenusan i en triangel är ett segment - ett ben. Den söks av skälen som jag markerat i fetstil:

Punkten är mittpunkten av segmentet. Sedan måste vi komma ihåg formeln för koordinaterna för mitten av segmentet:

Det är det, nu kan vi leta efter koordinaterna för riktningsvektorerna:

Tja, allt är klart: vi ersätter all data i formeln:

Således,

Svar:

Du bör inte vara rädd för sådana "hemska" svar: för problem C2 är detta en vanlig praxis. Jag skulle snarare bli förvånad över det "vackra" svaret i den här delen. Dessutom, som du noterade, tog jag praktiskt taget inte till något annat än Pythagoras sats och egenskapen för höjderna i en liksidig triangel. Det vill säga, för att lösa det stereometriska problemet, använde jag ett minimum av stereometri. Vinsten i detta är delvis "släckt" av ganska krångliga beräkningar. Men de är ganska algoritmiska!

2. Rita en vanlig hexagonal pyramid tillsammans med koordinatsystemet, samt dess bas:

Vi måste hitta vinkeln mellan linjerna och. Således reduceras vår uppgift till att hitta koordinaterna för punkter: . Vi kommer att hitta koordinaterna för de tre sista från den lilla ritningen, och vi kommer att hitta koordinaten för vertex genom koordinaten för punkten. Mycket jobb, men måste komma igång!

a) Koordinat: det är tydligt att dess applikat och ordinata är noll. Låt oss hitta abskissan. För att göra detta, överväg en rätvinklig triangel. Ack, i den känner vi bara hypotenusan, som är lika med. Vi kommer att försöka hitta benet (eftersom det är tydligt att två gånger benets längd kommer att ge oss abskissan av punkten). Hur kan vi leta efter henne? Låt oss komma ihåg vilken typ av figur vi har vid basen av pyramiden? Detta är en vanlig hexagon. Vad betyder det? Det betyder att alla sidor och alla vinklar är lika. Vi måste hitta ett sådant hörn. Några idéer? Det finns många idéer, men det finns en formel:

Summan av vinklarna för en vanlig n-gon är .

Alltså är summan av vinklarna för en vanlig hexagon grader. Då är var och en av vinklarna lika med:

Låt oss titta på bilden igen. Det är tydligt att segmentet är bisektrisen av vinkeln. Då är vinkeln grader. Sedan:

Var då.

Så den har koordinater

b) Nu kan vi enkelt hitta punktens koordinat: .

c) Hitta punktens koordinater. Eftersom dess abskissa sammanfaller med segmentets längd är den lika. Att hitta ordinatan är inte heller särskilt svårt: om vi kopplar ihop punkterna och och betecknar linjens skärningspunkt, säg för. (gör det själv enkel konstruktion). Då är ordinatan för punkt B lika med summan av längderna på segmenten. Låt oss titta på triangeln igen. Sedan

Sedan sedan Då har punkten koordinater

d) Hitta nu punktens koordinater. Betrakta en rektangel och bevisa att koordinaterna för punkten är:

e) Det återstår att hitta koordinaterna för vertexet. Det är tydligt att dess abskissa och ordinata sammanfaller med punktens abskissa och ordinata. Låt oss hitta en app. Sedan dess. Tänk på en rätvinklig triangel. Av tillståndet av problemet, den laterala kanten. Detta är hypotenusan i min triangel. Då är höjden på pyramiden benet.

Då har punkten koordinater:

Det är det, jag har koordinaterna för alla intressanta platser för mig. Jag letar efter koordinaterna för riktningsvektorerna för de räta linjerna:

Vi letar efter vinkeln mellan dessa vektorer:

Svar:

Återigen, när jag löste det här problemet använde jag inga sofistikerade knep, förutom formeln för summan av vinklarna för en vanlig n-gon, samt definitionen av cosinus och sinus för en rätvinklig triangel.

3. Eftersom vi återigen inte får längden på kanterna i pyramiden, kommer jag att betrakta dem lika med en. Alltså, eftersom ALLA kanter, och inte bara sidorna, är lika med varandra, så ligger en kvadrat vid basen av pyramiden och jag, och sidoytorna är regelbundna trianglar. Låt oss avbilda en sådan pyramid, såväl som dess bas på ett plan, och markera alla data som ges i problemets text:

Vi letar efter vinkeln mellan och. Jag kommer att göra mycket korta beräkningar när jag letar efter koordinaterna för punkter. Du måste "dekryptera" dem:

b) - mitten av segmentet. Hennes koordinater:

c) Jag kommer att hitta längden på segmentet med hjälp av Pythagoras sats i en triangel. Jag kommer att hitta genom Pythagoras sats i en triangel.

Koordinater:

d) - mitten av segmentet. Dess koordinater är

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Letar du efter en vinkel:

Kuben är den enklaste figuren. Jag är säker på att du kan lista ut det på egen hand. Svaren på problem 4 och 5 är följande:

Hitta vinkeln mellan en linje och ett plan

Tja, tiden för enkla pussel är förbi! Nu blir exemplen ännu svårare. För att hitta vinkeln mellan en linje och ett plan går vi tillväga enligt följande:

1. Med hjälp av tre punkter bygger vi ekvationen för planet
   ,
   med hjälp av en tredje ordningens determinant.
2. Med två punkter letar vi efter koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor:
3. Vi använder formeln för att beräkna vinkeln mellan en rät linje och ett plan:

Som du kan se är denna formel mycket lik den vi använde för att hitta vinklarna mellan två linjer. Strukturen på höger sida är precis densamma, och till vänster letar vi nu efter en sinus, och inte en cosinus, som tidigare. Nåväl, en otäck handling lades till - sökandet efter planets ekvation.

Låt oss inte hylla lösa exempel:

1. Os-no-va-ni-em rakt-mitt pris-vi är-la-et-xia lika-men-fattiga-ren-ny triangel-nick du-med-det priset-vi är lika. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet

2. I en rektangulär pa-ral-le-le-pi-pe-de från västra Nai-di-te vinkeln mellan den räta linjen och planet

3. I det högerhänta sexkolsprismat är alla kanter lika. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet.

4. I den högra triangulära pi-ra-mi-de med os-but-va-ni-em från väster om revbenet Nai-di-te vinkel, ob-ra-zo-van -ny plan för os -no-va-niya och straight-my, passerar genom se-re-di-na på revbenen och

5. Längden på alla kanter av den högra fyrkantiga pi-ra-mi-dy med toppen är lika med varandra. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet, om punkten är se-re-di-på bo-ko-i-th kanten av pi-ra-mi-dy.

Återigen kommer jag att lösa de två första problemen i detalj, det tredje - kortfattat, och jag lämnar de två sista för dig att lösa på egen hand. Dessutom hade du redan att göra med triangulära och fyrkantiga pyramider, men ännu inte med prismor.

Lösningar:

1. Rita ett prisma, såväl som dess bas. Låt oss kombinera det med koordinatsystemet och markera alla data som ges i problemformuleringen:

Jag ber om ursäkt för att proportionerna inte följs, men för att lösa problemet är detta i själva verket inte så viktigt. Planet är bara "bakväggen" i mitt prisma. Det räcker att helt enkelt gissa att ekvationen för ett sådant plan har formen:

Detta kan dock också visas direkt:

Vi väljer godtyckliga tre punkter på detta plan: till exempel .

Låt oss göra ekvationen för planet:

Övning för dig: beräkna denna determinant själv. Lyckades du? Då har planets ekvation formen:

Eller bara

Således,

För att lösa exemplet måste jag hitta koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor. Eftersom punkten sammanföll med origo, kommer vektorns koordinater helt enkelt att sammanfalla med punktens koordinater. För att göra detta hittar vi först punktens koordinater.

För att göra detta, överväg en triangel. Låt oss rita en höjd (det är också en median och en bisektrik) från toppen. Eftersom ordinatan för punkten är lika. För att hitta abskissan för denna punkt måste vi beräkna längden på segmentet. Enligt Pythagoras sats har vi:

Då har punkten koordinater:

En prick är en "upphöjd" på en prick:

Sedan är vektorns koordinater:

Svar:

Som du kan se finns det inget i grunden svårt att lösa sådana problem. Faktum är att "rakheten" hos en figur som ett prisma förenklar processen lite mer. Låt oss nu gå vidare till nästa exempel:

2. Vi ritar en parallellepiped, ritar ett plan och en rak linje i den och ritar också separat sin nedre bas:

Först hittar vi planets ekvation: Koordinaterna för de tre punkterna som ligger i det:

(de två första koordinaterna erhålls på ett självklart sätt, och du kan enkelt hitta den sista koordinaten från bilden från punkten). Sedan komponerar vi planets ekvation:

Vi beräknar:

Vi letar efter koordinaterna för riktningsvektorn: Det är tydligt att dess koordinater sammanfaller med punktens koordinater, eller hur? Hur hittar man koordinater? Dessa är punktens koordinater, upphöjda längs applikationsaxeln med en! . Då letar vi efter önskad vinkel:

Svar:

3. Rita en vanlig sexkantig pyramid och rita sedan ett plan och en rak linje i den.

Här är det till och med problematiskt att rita ett plan, för att inte tala om lösningen av detta problem, men koordinatmetoden bryr sig inte! Det är i dess mångsidighet som dess främsta fördel ligger!

Planet passerar genom tre punkter: . Vi letar efter deras koordinater:

ett) . Visa själv koordinaterna för de två sista punkterna. Du måste lösa problemet med en sexkantig pyramid för detta!

2) Vi bygger planets ekvation:

Vi letar efter vektorns koordinater: . (Se problemet med triangulära pyramid igen!)

3) Vi letar efter en vinkel:

Svar:

Som du kan se finns det inget övernaturligt svårt i dessa uppgifter. Du behöver bara vara mycket försiktig med rötterna. Till de två sista problemen kommer jag bara att ge svar:

Som du kan se är tekniken för att lösa problem densamma överallt: huvuduppgiften är att hitta koordinaterna för hörnen och ersätta dem med några formler. Det återstår för oss att överväga ytterligare en klass av problem för att beräkna vinklar, nämligen:

Beräkna vinklar mellan två plan

Lösningsalgoritmen kommer att vara följande:

1. För tre punkter letar vi efter ekvationen för det första planet:
2. För de andra tre punkterna letar vi efter ekvationen för det andra planet:
3. Vi tillämpar formeln:

Som du kan se är formeln väldigt lik de två föregående, med hjälp av vilken vi letade efter vinklar mellan raka linjer och mellan en rak linje och ett plan. Så att komma ihåg den här kommer inte att vara svårt för dig. Låt oss hoppa direkt in i problemet:

1. Hundra-ro på basis av det högra triangulära prismat är lika, och diagonalen på sidoytan är lika. Hitta vinkeln mellan planet och planet för prisets bas.

2. I höger-framåt fyra-du-re-kol-noy pi-ra-mi-de, alla kanter på någon är lika, hitta sinus för vinkeln mellan planet och planet Ko-Stu, som går igenom poängen med per-pen-di-ku-lyar-men raka-my.

3. I ett vanligt fyrkolsprisma är sidorna av os-no-va-nia lika, och sidokanterna lika. På kanten från-mig-che-till punkten så att. Hitta vinkeln mellan planen och

4. I det högra fyrkantiga prismat är basernas sidor lika stora och sidokanterna lika. På kanten från-me-che-till en punkt så att Hitta vinkeln mellan planen och.

5. I kuben, hitta co-sinus för vinkeln mellan planen och

Problemlösningar:

1. Jag ritar ett vanligt (vid basen - en liksidig triangel) triangulärt prisma och markerar på det planen som visas i problemets tillstånd:

Vi måste hitta ekvationerna för två plan: Basekvationen erhålls trivialt: du kan göra motsvarande determinant för tre punkter, men jag kommer att göra ekvationen direkt:

Låt oss nu hitta ekvationen Punkt har koordinater Punkt - Eftersom - medianen och höjden på triangeln, är det lätt att hitta med Pythagoras sats i en triangel. Då har punkten koordinater: Hitta punktens applikation För att göra detta, överväg en rätvinklig triangel

Då får vi följande koordinater: Vi komponerar ekvationen för planet.

Vi beräknar vinkeln mellan planen:

Svar:

2. Göra en ritning:

Det svåraste är att förstå vilken typ av mystiskt plan det är, som passerar genom en punkt vinkelrätt. Tja, huvudsaken är vad är det? Huvudsaken är uppmärksamhet! Linjen är faktiskt vinkelrät. Linjen är också vinkelrät. Då kommer planet som passerar genom dessa två linjer att vara vinkelrätt mot linjen, och förresten, kommer att passera genom punkten. Detta plan passerar också genom toppen av pyramiden. Sedan det önskade planet - Och planet är redan givet till oss. Vi letar efter koordinater för punkter.

Vi hittar punktens koordinat genom punkten. Från en liten ritning är det lätt att sluta sig till att punktens koordinater blir följande: Vad återstår att hitta nu för att hitta koordinaterna för toppen av pyramiden? Måste fortfarande beräkna dess höjd. Detta görs med samma Pythagoras sats: först, bevisa det (trivialt från små trianglar som bildar en kvadrat vid basen). Eftersom vi tillstånd har:

Nu är allt klart: vertexkoordinater:

Vi komponerar ekvationen för planet:

Du är redan expert på att beräkna determinanter. Du får enkelt:

Eller på annat sätt (om vi multiplicerar båda delarna med roten av två)

Låt oss nu hitta ekvationen för planet:

(Du har väl inte glömt hur vi får ekvationen för planet, eller hur? Om du inte förstår var den här minusen kom ifrån, gå tillbaka till definitionen av planets ekvation! Det visade sig bara alltid att min planet tillhörde ursprunget!)

Vi beräknar determinanten:

(Du kanske märker att ekvationen för planet sammanföll med ekvationen för den räta linjen som passerar genom punkterna och! Tänk varför!)

Nu beräknar vi vinkeln:

Vi måste hitta sinus:

Svar:

3. En knepig fråga: vad är ett rektangulärt prisma, vad tycker du? Det är bara en välkänd parallellepiped för dig! Ritar direkt! Du kan inte ens avbilda basen separat, det är lite nytta av det här:

Planet, som vi noterade tidigare, är skrivet som en ekvation:

Nu gör vi ett plan

Vi komponerar omedelbart ekvationen för planet:

Letar efter en vinkel

Nu svaren på de två sista problemen:

Nåväl, nu är det dags att ta en paus, för du och jag är fantastiska och har gjort ett bra jobb!

Koordinater och vektorer. Avancerad nivå

I den här artikeln kommer vi att diskutera med dig en annan klass av problem som kan lösas med hjälp av koordinatmetoden: avståndsproblem. Vi kommer nämligen att överväga följande fall:

1. Beräkna avståndet mellan sneda linjer.

Jag har beställt de givna uppgifterna i takt med att deras komplexitet ökar. Det enklaste är att hitta punkt till plan avstånd och det svåraste är att hitta avståndet mellan korsande linjer. Även om inget är omöjligt såklart! Låt oss inte skjuta upp och omedelbart gå vidare till övervägandet av den första klassen av problem:

Beräkna avståndet från en punkt till ett plan

Vad behöver vi för att lösa detta problem?

1. Punktkoordinater

Så, så snart vi får all nödvändig information, tillämpar vi formeln:

Du borde redan veta hur vi bygger planets ekvation från de tidigare problemen som jag analyserade i den sista delen. Låt oss genast börja. Schemat är som följer: 1, 2 - Jag hjälper dig att bestämma, och i viss detalj, 3, 4 - bara svaret, du fattar beslutet själv och jämför. Satte igång!

Uppgifter:

1. Givet en kub. Kantlängden på kuben är Hitta-di-te avstånd från se-re-di-ny från cut till flat

2. Givet rätt-vil-naya fyra-du-rekh-kol-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kanten hundra-ro-på os-no-va-nia är lika. Hitta-di-de avstånden från en punkt till ett plan där - se-re-di-på kanterna.

3. I den högra triangulära pi-ra-mi-de med os-but-va-ni-em är den andra kanten lika, och hundra-ro-on os-no-vaniya är lika. Hitta-di-de där avstånden från toppen till planet.

4. I det högerhänta sexkolsprismat är alla kanter lika. Hitta-di-de avstånden från en punkt till ett plan.

Lösningar:

1. Rita en kub med enstaka kanter, bygg ett segment och ett plan, markera mitten av segmentet med bokstaven

.

Låt oss först börja med en enkel: hitta koordinaterna för en punkt. Sedan dess (kom ihåg koordinaterna för mitten av segmentet!)

Nu komponerar vi planets ekvation på tre punkter

\[\vänster| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nu kan jag börja hitta avståndet:

2. Vi börjar igen med en ritning, på vilken vi markerar all data!

För en pyramid skulle det vara användbart att rita sin bas separat.

Inte ens det faktum att jag ritar som en kycklingtass kommer inte att hindra oss från att enkelt lösa detta problem!

Nu är det lätt att hitta koordinaterna för en punkt

Eftersom punktens koordinater

2. Eftersom koordinaterna för punkten a är mitten av segmentet, alltså

Vi kan enkelt hitta koordinaterna för ytterligare två punkter på planet. Vi komponerar ekvationen för planet och förenklar den:

\[\vänster| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Eftersom punkten har koordinater: , då beräknar vi avståndet:

Svar (mycket sällsynt!):

Nåväl, förstod du? Det verkar för mig att allt här är precis lika tekniskt som i exemplen som vi övervägde med dig i föregående del. Så jag är säker på att om du behärskar det materialet, så kommer det inte att vara svårt för dig att lösa de återstående två problemen. Jag ska bara ge dig svaren:

Beräkna avståndet från en linje till ett plan

Det är faktiskt inget nytt här. Hur kan en linje och ett plan placeras i förhållande till varandra? De har alla möjligheter: att skära, eller en rät linje är parallell med planet. Vad tror du är avståndet från linjen till det plan som den givna linjen skär? Det förefaller mig som att det är klart att ett sådant avstånd är lika med noll. Ointressant fall.

Det andra fallet är svårare: här är avståndet redan från noll. Men eftersom linjen är parallell med planet, är varje punkt på linjen på samma avstånd från detta plan:

Således:

Och detta betyder att min uppgift har reducerats till den föregående: vi letar efter koordinaterna för vilken punkt som helst på linjen, vi letar efter ekvationen för planet, vi beräknar avståndet från punkten till planet. Faktum är att sådana uppgifter i provet är extremt sällsynta. Jag lyckades hitta bara ett problem, och uppgifterna i det var sådana att koordinatmetoden inte var särskilt användbar för det!

Låt oss nu gå vidare till en annan, mycket viktigare problemklass:

Beräkna avståndet från en punkt till en linje

Vad kommer vi att behöva?

1. Koordinaterna för den punkt från vilken vi letar efter avståndet:

2. Koordinater för en punkt som ligger på en rät linje

3. Riktningsvektorkoordinater för den räta linjen

Vilken formel använder vi?

Vad betyder nämnaren för denna bråkdel för dig och så borde det vara tydligt: ​​detta är längden på den räta linjens riktande vektor. Här är en väldigt knepig räkneapparat! Uttrycket betyder modulen (längden) av vektorprodukten av vektorer och Hur man beräknar vektorprodukten, studerade vi i föregående del av arbetet. Uppdatera dina kunskaper, det kommer att vara mycket användbart för oss nu!

Således kommer algoritmen för att lösa problem vara följande:

1. Vi letar efter koordinaterna för den punkt från vilken vi letar efter avståndet:

2. Vi letar efter koordinaterna för valfri punkt på linjen till vilken vi letar efter avståndet:

3. Bygga en vektor

4. Vi bygger riktningsvektorn för den räta linjen

5. Beräkna korsprodukten

6. Vi letar efter längden på den resulterande vektorn:

7. Beräkna avståndet:

Vi har mycket arbete, och exemplen kommer att vara ganska komplexa! Så fokusera nu all din uppmärksamhet!

1. Dana är en högerhänt triangulär pi-ra-mi-da med en vertex. Hundra-ro-på os-no-va-niya pi-ra-mi-dy är lika, you-so-ta är lika. Hitta-di-de avstånd från se-re-di-ny av bo-ko-th kanten till den räta linjen, där punkterna och är se-re-di-ny av revbenen och co-from-vet -stven-men.

2. Längden på revbenen och den räta vinkeln-no-para-ral-le-le-pi-pe-da är lika, respektive, och Find-di-te avstånd från top-shi-ny till straight-my

3. I det högra sexkolsprismat är alla kanter på en svärm lika stora avstånd från en punkt till en rät linje

Lösningar:

1. Vi gör en snygg ritning, på vilken vi markerar alla data:

Vi har mycket jobb för dig! Jag skulle först vilja beskriva i ord vad vi kommer att leta efter och i vilken ordning:

1. Koordinater för punkter och

2. Punktkoordinater

3. Koordinater för punkter och

4. Koordinater för vektorer och

5. Deras korsprodukt

6. Vektorlängd

7. Längden på vektorprodukten

8. Avstånd från till

Nåväl, vi har mycket att göra! Låt oss kavla upp ärmarna!

1. För att hitta koordinaterna för höjden på pyramiden måste vi känna till punktens koordinater. Dess applikat är noll och ordinatan är lika med abskissan. Till sist fick vi koordinaterna:

Punktkoordinater

2. - mitten av segmentet

3. - mitten av segmentet

mittpunkt

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Beräkna vektorprodukten:

6. Längden på vektorn: det enklaste sättet är att ersätta att segmentet är triangelns mittlinje, vilket betyder att den är lika med halva basen. Så att.

7. Vi överväger längden på vektorprodukten:

8. Hitta slutligen avståndet:

Puh, det var allt! Ärligt talat, jag ska säga dig: att lösa detta problem med traditionella metoder (genom konstruktioner) skulle vara mycket snabbare. Men här reducerade jag allt till en färdig algoritm! Jag tror att lösningsalgoritmen är tydlig för dig? Därför kommer jag att be dig att lösa de återstående två problemen på egen hand. Jämföra svar?

Återigen, jag upprepar: det är lättare (snabbare) att lösa dessa problem genom konstruktioner, snarare än att tillgripa koordinatmetoden. Jag demonstrerade detta sätt att lösa bara för att visa dig en universell metod som låter dig "inte avsluta någonting".

Tänk slutligen på den sista klassen av problem:

Beräkna avståndet mellan sneda linjer

Här kommer algoritmen för att lösa problem att likna den föregående. Det vi har:

3. Vilken vektor som helst som förbinder punkterna på den första och andra linjen:

Hur hittar vi avståndet mellan linjerna?

Formeln är:

Täljaren är modulen för den blandade produkten (vi introducerade den i föregående del), och nämnaren - som i föregående formel (modulen för vektorprodukten av linjernas riktningsvektorer, avståndet mellan vilket vi tittar för).

Jag ska påminna dig om det

sedan avståndsformeln kan skrivas om som:

Dela denna determinant med determinanten! Även om jag ärligt talat inte är på humör för skämt här! Denna formel är faktiskt väldigt krånglig och leder till ganska komplicerade beräkningar. Om jag var du skulle jag bara använda det som en sista utväg!

Låt oss försöka lösa några problem med metoden ovan:

1. I det högra triangulära prismat är alla kanter på något sätt lika, hitta avståndet mellan de räta linjerna och.

2. Givet ett höger-fram-format triangulärt prisma är alla kanter på någons os-no-va-niya lika med Se-che-tion, som passerar genom det andra revbenet och se-re-di-nu revbenen är yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Hitta-di-te dis-sto-I-nie mellan straight-we-mi och

Jag bestämmer det första, och utifrån det bestämmer du det andra!

1. Jag ritar ett prisma och markerar linjerna och

Punkt C-koordinater: därefter

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Vektorkoordinater

\[\left((B,\överhögerpil (A(A_1)) \överhögerpil (B(C_1)) ) \höger) = \vänster| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vi betraktar korsprodukten mellan vektorerna och

\[\överhögerpil (A(A_1)) \cdot \överhögerpil (B(C_1)) = \vänster| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\överhögerpil k + \frac(1)(2)\överhögerpil i \]

Nu överväger vi dess längd:

Svar:

Försök nu att noggrant slutföra den andra uppgiften. Svaret på det blir:.

Koordinater och vektorer. Kort beskrivning och grundläggande formler

En vektor är ett riktat segment. - början av vektorn, - slutet av vektorn.
Vektorn betecknas med eller.

Absolutvärde vektor - längden på segmentet som representerar vektorn. Betecknad som.

Vektorkoordinater:

,
var är ändarna på vektorn \displaystyle a .

Summan av vektorer: .

Produkten av vektorer:

Punktprodukt av vektorer:

Den skalära produkten av vektorer är lika med produkten av deras absoluta värden och cosinus för vinkeln mellan dem:

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrikt godkänt av provet, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Detta är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (ej nödvändigt) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få en hand med hjälp av våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

På vilket sätt? Det finns två alternativ:

1. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln -
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - Köp en lärobok - 899 rubel

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teori.

"Förstå" och "Jag vet hur man löser" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!

Definition

Skalär- ett värde som kan karakteriseras av ett tal. Till exempel längd, area, massa, temperatur osv.

Vektor ett riktat segment kallas $\overline(A B)$; punkt $A$ är början, punkt $B$ är slutet på vektorn (fig. 1).

En vektor betecknas antingen med två versaler - dess början och slut: $\overline(A B)$ eller med en liten bokstav: $\overline(a)$.

Definition

Om början och slutet av en vektor är samma, så kallas en sådan vektor noll-. Oftast betecknas nollvektorn som $\overline(0)$.

Vektorerna kallas kolinjär, om de ligger antingen på samma linje eller på parallella linjer (fig. 2).

Definition

Två kolinjära vektorer $\overline(a)$ och $\overline(b)$ anropas co-directional, om deras riktningar är desamma: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Två kolinjära vektorer $\overline(a)$ och $\overline(b)$ anropas motsatta riktningar, om deras riktningar är motsatta: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3b).

Definition

Vektorerna kallas i samma plan om de är parallella med samma plan eller ligger i samma plan (fig. 4).

Två vektorer är alltid i samma plan.

Definition

Längd (modul) vektor $\overline(A B)$ är avståndet mellan dess början och slut: $|\overline(A B)|$

En detaljerad teori om längden på en vektor finns på länken.

Längden på nollvektorn är noll.

Definition

En vektor vars längd är lika med ett kallas enhet vektor eller ortom.

Vektorerna kallas likvärdig om de ligger på en eller parallella linjer; deras riktningar sammanfaller och längderna är lika.

Med andra ord två vektorer likvärdig, om de är kolinjära, samriktade och har lika långa:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Vid en godtycklig punkt $M$ i rymden kan man konstruera en enda vektor $\overline(M N)$ lika med den givna vektorn $\overline(A B)$.

Äntligen fick jag tag i ett omfattande och efterlängtat ämne analytisk geometri. Först, lite om den här delen av högre matematik... Förvisso kom du nu ihåg skolans geometrikurs med många satser, deras bevis, ritningar osv. Vad man ska dölja, ett oälskat och ofta obskyrt ämne för en betydande del av eleverna. Analytisk geometri kan konstigt nog verka mer intressant och tillgänglig. Vad betyder adjektivet "analytisk"? Två stämplade matematiska vändningar dyker genast upp: "grafisk lösningsmetod" och "analytisk lösningsmetod". Grafisk metod, naturligtvis, är förknippad med konstruktion av grafer, ritningar. Analytisk samma metod innebär problemlösning övervägande genom algebraiska operationer. I detta avseende är algoritmen för att lösa nästan alla problem med analytisk geometri enkel och transparent, ofta räcker det att korrekt tillämpa de nödvändiga formlerna - och svaret är klart! Nej, det kommer naturligtvis inte att klara sig utan ritningar alls, dessutom, för en bättre förståelse av materialet, kommer jag att försöka få dem utöver behovet.

Den öppna kursen av lektioner i geometri gör inte anspråk på att vara teoretisk fullständighet, den är fokuserad på att lösa praktiska problem. Jag kommer att ta med i mina föreläsningar endast det som ur min synvinkel är viktigt rent praktiskt. Om du behöver en mer fullständig referens om något underavsnitt rekommenderar jag följande ganska lättillgängliga litteratur:

1) En sak som, utan skämt, är bekant för flera generationer: Skolan lärobok i geometri, författarna - L.S. Atanasyan och Company. Denna skolkläddshängare har redan stått emot 20 (!) nyutgivningar, vilket naturligtvis inte är gränsen.

2) Geometri i 2 volymer. Författarna L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Detta är litteratur för högre utbildning, du kommer att behöva första volymen. Sällan förekommande uppgifter kan falla utanför mitt synfält, och handledningen kommer att vara till ovärderlig hjälp.

Båda böckerna är gratis att ladda ner online. Dessutom kan du använda mitt arkiv med färdiga lösningar, som finns på sidan Ladda ner exempel på högre matematik.

Av verktygen erbjuder jag återigen min egen utveckling - mjukvarupaket på analytisk geometri, vilket avsevärt kommer att förenkla livet och spara mycket tid.

Det förutsätts att läsaren är bekant med grundläggande geometriska begrepp och figurer: punkt, linje, plan, triangel, parallellogram, parallellepiped, kub, etc. Det är tillrådligt att komma ihåg några satser, åtminstone Pythagoras sats, hej repeaters)

Och nu ska vi sekventiellt överväga: konceptet med en vektor, åtgärder med vektorer, vektorkoordinater. Vidare rekommenderar jag att läsa den viktigaste artikeln Punktprodukt av vektorer, såväl som Vektor och blandad produkt av vektorer. Den lokala uppgiften kommer inte att vara överflödig - Uppdelning av segmentet i detta avseende. Baserat på ovanstående information kan du ekvation för en rät linje i ett plan med de enklaste exemplen på lösningar, vilket kommer att tillåta lära sig att lösa problem i geometri. Följande artiklar är också användbara: Ekvation för ett plan i rymden, Ekvationer för en rät linje i rymden, Grundläggande problem på linjen och planet , andra delar av analytisk geometri. Naturligtvis kommer standarduppgifter att övervägas längs vägen.

Begreppet en vektor. gratis vektor

Låt oss först upprepa skolans definition av en vektor. Vektor kallad riktad ett segment för vilket dess början och slut anges:

I det här fallet är början av segmentet punkten, slutet av segmentet är punkten. Vektorn i sig betecknas med . Riktningär viktigt, om du flyttar om pilen till den andra änden av segmentet får du en vektor, och detta är redan helt annan vektor. Det är bekvämt att identifiera begreppet vektor med rörelsen av en fysisk kropp: du måste erkänna att det är helt olika saker att gå in genom ett instituts dörrar eller att lämna dörrarna till ett institut.

Det är bekvämt att överväga enskilda punkter i ett plan, utrymme som den så kallade noll vektor. En sådan vektor har samma slut och början.

!!! Notera: Här och nedan kan du anta att vektorerna ligger i samma plan eller så kan du anta att de är placerade i rymden - essensen av det presenterade materialet gäller både för planet och rymden.

Beteckningar: Många uppmärksammade genast en pinne utan pil i beteckningen och sa att de också satt en pil överst! Det stämmer, du kan skriva med en pil: , men tillåtet och rekord som jag kommer att använda senare. Varför? Tydligen har en sådan vana utvecklats från praktiska överväganden, mina skyttar på skolan och universitetet visade sig vara för mångsidiga och lurviga. I pedagogisk litteratur bryr de sig ibland inte om kilskrift alls, utan markerar bokstäverna i fetstil: , vilket antyder att detta är en vektor.

Det var stilen, och nu om sätten att skriva vektorer:

1) Vektorer kan skrivas med två latinska versaler:
etc. Medan den första bokstaven nödvändigtvis anger vektorns startpunkt och den andra bokstaven anger vektorns slutpunkt.

2) Vektorer skrivs också med små latinska bokstäver:
I synnerhet kan vår vektor omdesignas för korthetens skull med en liten latinsk bokstav .

Längd eller modul icke-noll vektor kallas längden på segmentet. Längden på nollvektorn är noll. Logiskt.

Längden på en vektor betecknas med modulotecknet: ,

Hur man hittar längden på en vektor kommer vi att lära oss (eller upprepa, för vem hur) lite senare.

Det var grundläggande information om vektorn, bekant för alla skolbarn. Inom analytisk geometri, den s.k gratis vektor.

Om det är ganska enkelt - vektor kan ritas från vilken punkt som helst:

Vi brukade kalla sådana vektorer lika (definitionen av lika vektorer kommer att ges nedan), men från en rent matematisk synvinkel är detta SAMMA VEKTOR eller gratis vektor. Varför gratis? För när du löser problem kan du "fästa" en eller annan vektor till VÅR som helst punkt på planet eller utrymmet du behöver. Detta är en väldigt cool fastighet! Föreställ dig en vektor med godtycklig längd och riktning - den kan "klonas" ett oändligt antal gånger och när som helst i rymden existerar den faktiskt ÖVERALLT. Det finns ett sådant studentordspråk: Varje föreläsare i f ** u i vektorn. När allt kommer omkring, inte bara ett kvickt rim, allt är matematiskt korrekt - en vektor kan fästas där också. Men skynda inte att glädjas, eleverna själva lider oftare =)

Så, gratis vektor- Det här ett gäng identiska riktningssegment. Skoldefinitionen av en vektor, som ges i början av stycket: "Ett riktat segment kallas en vektor ...", antyder specifika ett riktat segment taget från en given uppsättning, som är fäst vid en viss punkt i planet eller rymden.

Det bör noteras att ur fysikens synvinkel är konceptet med en fri vektor i allmänhet felaktigt, och vektorns tillämpningspunkt spelar roll. Faktum är att ett direkt slag av samma kraft på näsan eller i pannan är tillräckligt för att utveckla mitt dumma exempel medför olika konsekvenser. Dock, inte gratis vektorer finns också i loppet av vyshmat (gå inte dit :)).

Åtgärder med vektorer. Kolinearitet av vektorer

I skolans geometrikurs övervägs ett antal åtgärder och regler med vektorer: addition enligt triangelregeln, addition enligt parallellogramregeln, regeln för skillnaden av vektorer, multiplikation av en vektor med ett tal, skalärprodukten av vektorer osv. Som frö upprepar vi två regler som är särskilt relevanta för att lösa problem med analytisk geometri.

Regel för addition av vektorer enligt regeln om trianglar

Betrakta två godtyckliga icke-nollvektorer och:

Det krävs för att hitta summan av dessa vektorer. På grund av att alla vektorer anses vara fria skjuter vi upp vektorn från slutet vektor :

Summan av vektorer är vektorn. För en bättre förståelse av regeln är det tillrådligt att lägga en fysisk betydelse i den: låt någon kropp göra en väg längs vektorn och sedan längs vektorn. Då är summan av vektorerna vektorn för den resulterande banan som börjar vid avgångspunkten och slutar vid ankomstpunkten. En liknande regel formuleras för summan av ett valfritt antal vektorer. Som de säger kan kroppen gå sin väg kraftigt i sicksack, eller kanske på autopilot - längs den resulterande summavektorn.

Förresten, om vektorn skjuts upp från Start vektor , då får vi motsvarigheten parallellogramregel tillägg av vektorer.

För det första om vektorernas kollinearitet. De två vektorerna kallas kolinjär om de ligger på samma linje eller på parallella linjer. Grovt sett talar vi om parallella vektorer. Men i förhållande till dem används alltid adjektivet "collinear".

Föreställ dig två kolinjära vektorer. Om pilarna för dessa vektorer är riktade i samma riktning, anropas sådana vektorer co-directional. Om pilarna tittar i olika riktningar, kommer vektorerna att vara det motsatt riktad.

Beteckningar: collinearitet av vektorer skrivs med den vanliga parallellitetsikonen: , medan detaljering är möjlig: (vektorer är samriktade) eller (vektorer är riktade motsatta).

arbete av en icke-noll vektor med ett nummer är en vektor vars längd är lika med , och vektorerna och är samriktade mot och motsatt riktade mot .

Regeln för att multiplicera en vektor med ett tal är lättare att förstå med en bild:

Vi förstår mer i detalj:

en riktning. Om multiplikatorn är negativ, då vektorn ändrar riktning till motsatsen.

2) Längd. Om faktorn finns inom eller , då längden på vektorn minskar. Så, längden på vektorn är två gånger mindre än längden på vektorn. Om modulomultiplikatorn är större än en, då längden på vektorn ökar i tid.

3) Observera att alla vektorer är kolinjära, medan en vektor uttrycks genom en annan, till exempel . Det omvända är också sant: om en vektor kan uttryckas i termer av en annan, så är sådana vektorer nödvändigtvis kolinjära. Således: om vi multiplicerar en vektor med ett tal får vi kolinjär(i förhållande till originalet) vektor.

4) Vektorerna är samriktade. Vektorerna och är också samriktade. Vilken vektor som helst i den första gruppen är motsatt vilken vektor som helst i den andra gruppen.

Vilka vektorer är lika?

Två vektorer är lika om de är samriktade och har samma längd. Observera att samriktning innebär att vektorerna är kolinjära. Definitionen blir felaktig (redundant) om du säger: "Två vektorer är lika om de är kolinjära, samriktade och har samma längd."

Ur synvinkeln av begreppet en fri vektor är lika vektorer samma vektor, vilket redan diskuterades i föregående stycke.

Vektorkoordinater på planet och i rymden

Den första punkten är att betrakta vektorer på ett plan. Rita ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem och ställ åt sidan från origo enda vektorer och:

Vektorer och ortogonal. Ortogonal = vinkelrät. Jag rekommenderar att man långsamt vänjer sig vid termerna: istället för parallellitet och vinkelräthet använder vi orden resp. kolinearitet och ortogonalitet.

Beteckning: ortogonalitet av vektorer skrivs med det vanliga vinkelräta tecknet, till exempel: .

De betraktade vektorerna kallas koordinatvektorer eller orts. Dessa vektorer bildas grund på ytan. Vad som ligger till grund tror jag är intuitivt klart för många, mer detaljerad information finns i artikeln Linjärt (icke) beroende av vektorer. Vektor grund.Med enkla ord definierar grunden och ursprunget för koordinater hela systemet - detta är en slags grund på vilken ett fullt och rikt geometriskt liv kokar.

Ibland kallas den konstruerade basen ortonormal grund av planet: "orto" - eftersom koordinatvektorerna är ortogonala betyder adjektivet "normaliserad" enhet, d.v.s. längden på basvektorerna är lika med en.

Beteckning: grunden skrivs vanligtvis inom parentes, inom vilken i strikt ordning basvektorer listas, till exempel: . Koordinatvektorer det är förbjudet byta plats.

Några plan vektor det enda sättet uttryckt som:
, var - tal, som kallas vektorkoordinater på denna grund. Men själva uttrycket kallad vektornedbrytninggrund .

Middag serveras:

Låt oss börja med den första bokstaven i alfabetet: . Ritningen visar tydligt att när vektorn sönderdelas i termer av basen används de som just övervägs:
1) regeln för multiplikation av en vektor med ett tal: och ;
2) addition av vektorer enligt triangelregeln: .

Lägg nu vektorn mentalt åt sidan från vilken annan punkt som helst på planet. Det är ganska uppenbart att hans korruption kommer "obevekligt att följa honom". Här är den, vektorns frihet - vektorn "bär allt med dig." Denna egenskap är naturligtvis sann för alla vektorer. Det är lustigt att själva grundvektorerna (fria) inte behöver läggas åt sidan från origo, den ena kan till exempel ritas längst ner till vänster och den andra längst upp till höger, och ingenting kommer att förändras från detta! Det är sant att du inte behöver göra detta, eftersom läraren också kommer att visa originalitet och dra dig ett "pass" på en oväntad plats.

Vektorer, illustrerar exakt regeln för att multiplicera en vektor med ett tal, vektorn är samriktad med basvektorn, vektorn är riktad motsatt basvektorn. För dessa vektorer är en av koordinaterna lika med noll, den kan noggrant skrivas enligt följande:


Och grundvektorerna, förresten, är så här: (i själva verket uttrycks de genom sig själva).

Och slutligen: , . Förresten, vad är vektorsubtraktion, och varför berättade jag inte om subtraktionsregeln? Någonstans i linjär algebra, jag minns inte var, noterade jag att subtraktion är ett specialfall av addition. Så expansionerna av vektorerna "de" och "e" skrivs lugnt som en summa: . Ordna om termerna på sina ställen och följ ritningen hur tydligt den gamla goda additionen av vektorer enligt triangelregeln fungerar i dessa situationer.

Övervägs sönderdelning av formen kallas ibland en vektornedbrytning i systemet ort(dvs. i systemet av enhetsvektorer). Men detta är inte det enda sättet att skriva en vektor, följande alternativ är vanligt:

Eller med ett likhetstecken:

Själva basvektorerna skrivs enligt följande: och

Det vill säga att vektorns koordinater anges inom parentes. Vid praktiska uppgifter används alla tre inspelningsalternativen.

Jag tvivlade på om jag skulle tala, men jag kommer ändå att säga: vektorkoordinater kan inte ordnas om. Strängt på första plats skriv ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn, strikt på andra plats skriv ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn. Det är faktiskt två olika vektorer.

Vi räknade ut koordinaterna på planet. Tänk nu på vektorer i tredimensionellt utrymme, allt är nästan sig likt här! Endast en koordinat till kommer att läggas till. Det är svårt att utföra tredimensionella ritningar, så jag kommer att begränsa mig till en vektor, som jag för enkelhetens skull kommer att skjuta upp från ursprunget:

Några 3D rymdvektor det enda sättet expandera på ortonormal basis:
, var är koordinaterna för vektorn (talet) i den givna basen.

Exempel från bilden: . Låt oss se hur vektorhandlingsreglerna fungerar här. Först, multiplicera en vektor med ett tal: (röd pil), (grön pil) och (magenta pil). För det andra, här är ett exempel på att lägga till flera, i detta fall tre, vektorer: . Sumvektorn börjar vid startpunkten (början av vektorn ) och slutar vid den sista ankomstpunkten (slutet av vektorn ).

Alla vektorer av tredimensionellt rymd är naturligtvis också fria, försök att mentalt skjuta upp vektorn från någon annan punkt, och du kommer att förstå att dess expansion "förblir med den."

På samma sätt som planfallet, förutom att skriva versioner med konsoler används ofta: antingen .

Om en (eller två) koordinatvektorer saknas i expansionen så sätts nollor istället. Exempel:
vektor (noggrannt ) - Skriv ner ;
vektor (noggrannt ) - Skriv ner ;
vektor (noggrannt ) - Skriv ner .

Basvektorer skrivs enligt följande:

Här finns kanske all den minsta teoretiska kunskap som krävs för att lösa problem med analytisk geometri. Kanske finns det för många termer och definitioner, så jag rekommenderar att dummies läser om och förstår denna information igen. Och det kommer att vara användbart för alla läsare att hänvisa till den grundläggande lektionen då och då för bättre assimilering av materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal bas, vektornedbrytning - dessa och andra begrepp kommer ofta att användas i det följande. Jag noterar att materialet på webbplatsen inte räcker för att klara ett teoretiskt test, ett kollokvium om geometri, eftersom jag noggrant krypterar alla teorem (förutom utan bevis) - till nackdel för den vetenskapliga presentationsstilen, men ett plus för din förståelse av ämnet. För detaljerad teoretisk information ber jag dig att böja dig för professor Atanasyan.

Låt oss nu gå vidare till den praktiska delen:

De enklaste problemen med analytisk geometri.
Åtgärder med vektorer i koordinater

De uppgifter som kommer att övervägas, det är mycket önskvärt att lära sig hur man löser dem helt automatiskt, och formlerna memorera, kom inte ens ihåg det med flit, de kommer ihåg det själva =) Detta är mycket viktigt, eftersom andra problem med analytisk geometri är baserade på de enklaste elementära exemplen, och det kommer att vara irriterande att lägga extra tid på att äta bönder. Du behöver inte fästa de översta knapparna på din skjorta, många saker är bekanta för dig från skolan.

Presentationen av materialet kommer att följa en parallell kurs – både för planet och för rymden. Av den anledningen att alla formler ... du kommer att se själv.

Hur hittar man en vektor med två poäng?

Om två punkter i planet och ges, så har vektorn följande koordinater:

Om två punkter i rymden och ges, så har vektorn följande koordinater:

d.v.s. från koordinaterna för vektorns ände du måste subtrahera motsvarande koordinater vektor start.

Träning: För samma punkter, skriv ner formlerna för att hitta vektorns koordinater. Formler i slutet av lektionen.

Exempel 1

Givet två punkter i planet och . Hitta vektorkoordinater

Beslut: enligt motsvarande formel:

Alternativt kan följande notation användas:

Esteter kommer att bestämma så här:

Själv är jag van vid den första versionen av skivan.

Svar:

Enligt villkoret krävdes det inte att bygga en ritning (vilket är typiskt för problem med analytisk geometri), men för att förklara några punkter för dummies kommer jag inte att vara för lat:

Måste förstås skillnaden mellan punktkoordinater och vektorkoordinater:

Punktkoordinaterär de vanliga koordinaterna i ett rektangulärt koordinatsystem. Jag tror att alla vet hur man ritar punkter på koordinatplanet sedan årskurs 5-6. Varje punkt har en strikt plats på planet, och de kan inte flyttas någonstans.

Koordinaterna för samma vektorär dess expansion med avseende på basen, i detta fall. Vilken vektor som helst är gratis, därför kan vi vid behov enkelt skjuta upp den från någon annan punkt i planet. Intressant nog, för vektorer kan du inte bygga axlar alls, ett rektangulärt koordinatsystem, du behöver bara en bas, i det här fallet, en ortonormal grund för planet.

Posterna för punktkoordinater och vektorkoordinater verkar vara likartade: , och känsla för koordinater absolut annorlunda, och du bör vara väl medveten om denna skillnad. Denna skillnad gäller naturligtvis även för rymden.

Mina damer och herrar, vi fyller våra händer:

Exempel 2

a) Givna poäng och . Hitta vektorer och .
b) Poäng ges och . Hitta vektorer och .
c) Givna poäng och . Hitta vektorer och .
d) Poäng ges. Hitta vektorer .

Kanske nog. Det här är exempel på ett oberoende beslut, försök att inte försumma dem, det kommer att löna sig ;-). Ritningar krävs inte. Lösningar och svar i slutet av lektionen.

Vad är viktigt för att lösa problem med analytisk geometri? Det är viktigt att vara EXTREMT FÖRSIKTIG för att undvika det mästerliga felet "två plus två är lika med noll". Jag ber om ursäkt i förväg om jag gjort fel =)

Hur hittar man längden på ett segment?

Längden, som redan noterats, indikeras av modultecknet.

Om två punkter i planet och ges, kan längden på segmentet beräknas med formeln

Om två punkter i rymden och ges, kan längden på segmentet beräknas med formeln

Notera: Formlerna kommer att förbli korrekta om motsvarande koordinater byts ut: och , men det första alternativet är mer standard

Exempel 3

Beslut: enligt motsvarande formel:

Svar:

För tydlighetens skull kommer jag att göra en ritning

Linjesegmentet - det är inte en vektor, och du kan naturligtvis inte flytta den någonstans. Dessutom, om du slutför ritningen i skalen: 1 enhet. \u003d 1 cm (två tetradceller), då kan svaret kontrolleras med en vanlig linjal genom att direkt mäta segmentets längd.

Ja, lösningen är kort, men det finns ett par viktiga punkter i den som jag skulle vilja förtydliga:

Först, i svaret ställer vi in ​​dimensionen: "enheter". Villkoret säger inte VAD det är, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Därför kommer den allmänna formuleringen att vara en matematiskt kompetent lösning: "enheter" - förkortat "enheter".

För det andra, låt oss upprepa skolmaterialet, vilket inte bara är användbart för det övervägda problemet:

uppmärksamma viktigt tekniskt knep – tar ut multiplikatorn under roten. Som ett resultat av beräkningarna fick vi resultatet och en bra matematisk stil innebär att man tar ut multiplikatorn under roten (om möjligt). Processen ser ut så här mer i detalj: . Naturligtvis kommer det inte att vara ett misstag att lämna svaret i formuläret - men det är definitivt ett fel och ett tungt vägande argument för nitpicking från lärarens sida.

Här är andra vanliga fall:

Ofta erhålls ett tillräckligt stort antal under roten till exempel. Hur ska man vara i sådana fall? På kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med 4:. Ja, dela helt, så här: . Eller kanske talet kan delas med 4 igen? . Således: . Den sista siffran i numret är udda, så att dividera med 4 för tredje gången är helt klart inte möjligt. Försöker dividera med nio: . Som ett resultat:
Redo.

Slutsats: om vi under roten får ett helt icke extraherbart tal, så försöker vi ta ut faktorn under roten - på kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

När du löser olika problem hittar du ofta rötter, försök alltid ta fram faktorer under roten för att undvika lägre poäng och onödiga problem med att slutföra dina lösningar enligt lärarens anmärkning.

Låt oss upprepa kvadreringen av rötterna och andra krafter samtidigt:

Reglerna för handlingar med examina i allmän form finns i en skolbok om algebra, men jag tror att allt eller nästan allt redan framgår av de givna exemplen.

Uppgift för en oberoende lösning med ett segment i rymden:

Exempel 4

Givet poäng och . Hitta längden på segmentet.

Lösning och svar i slutet av lektionen.

Hur hittar man längden på en vektor?

Om en plan vektor anges, beräknas dess längd med formeln.

Om en rymdvektor ges, beräknas dess längd med formeln .

Standarddefinition: "En vektor är ett riktat linjesegment." Detta är vanligtvis gränsen för en akademikers kunskap om vektorer. Vem behöver någon form av "riktade segment"?

Men i själva verket, vad är vektorer och varför är de?
Väderprognos. "Vind nordväst, hastighet 18 meter per sekund." Håller med, vindens riktning (varifrån den blåser) och modulen (det vill säga det absoluta värdet) för dess hastighet spelar också roll.

Storheter som inte har någon riktning kallas skalärer. Massa, arbete, elektrisk laddning är inte riktad någonstans. De kännetecknas endast av ett numeriskt värde - "hur många kilogram" eller "hur många joule".

Fysiska storheter som inte bara har ett absolut värde, utan också en riktning kallas vektorstorheter.

Hastighet, kraft, acceleration - vektorer. För dem är det viktigt "hur mycket" och det är viktigt "var". Till exempel är det fria fallaccelerationen riktad mot jordens yta, och dess värde är 9,8 m/s 2 . Momentum, elektrisk fältstyrka, magnetfältsinduktion är också vektorstorheter.

Du kommer ihåg att fysiska storheter betecknas med bokstäver, latin eller grekiska. Pilen ovanför bokstaven indikerar att kvantiteten är en vektor:

Här är ett annat exempel.
Bilen rör sig från A till B. Slutresultatet är dess rörelse från punkt A till punkt B, dvs rörelse med en vektor .

Nu är det klart varför en vektor är ett riktat segment. Var uppmärksam, slutet av vektorn är där pilen är. Vektor längd kallas längden på detta segment. Betecknad: eller

Hittills har vi arbetat med skalära storheter, enligt aritmetikens och elementär algebras regler. Vektorer är ett nytt koncept. Detta är en annan klass av matematiska objekt. De har sina egna regler.

En gång i tiden visste vi inte ens om siffror. Bekantskapen med dem började i lågstadiet. Det visade sig att tal kan jämföras med varandra, adderas, subtraheras, multipliceras och divideras. Vi lärde oss att det finns ett nummer ett och ett nummer noll.
Nu lär vi känna vektorer.

Begreppen "större än" och "mindre än" finns inte för vektorer - trots allt kan deras riktningar vara olika. Du kan bara jämföra längderna på vektorer.

Men begreppet jämlikhet för vektorer är det.
Likvärdigär vektorer som har samma längd och samma riktning. Detta innebär att vektorn kan flyttas parallellt med sig själv till vilken punkt som helst i planet.
enda kallas en vektor vars längd är 1 . Noll - en vektor vars längd är lika med noll, det vill säga dess början sammanfaller med slutet.

Det är bekvämast att arbeta med vektorer i ett rektangulärt koordinatsystem - det där vi ritar funktionsgrafer. Varje punkt i koordinatsystemet motsvarar två tal - dess x- och y-koordinater, abskissa och ordinata.
Vektorn ges också av två koordinater:

Här skrivs vektorns koordinater inom parentes - i x och i y.
De är lätta att hitta: koordinaten för slutet av vektorn minus koordinaten för dess början.

Om vektorkoordinaterna anges, hittas dess längd av formeln

Vektortillägg

Det finns två sätt att lägga till vektorer.

ett . parallellogramregel. För att lägga till vektorerna och placerar vi ursprunget till båda på samma punkt. Vi slutför parallellogrammet och ritar parallellogrammets diagonal från samma punkt. Detta blir summan av vektorerna och .

Kommer du ihåg fabeln om svanen, cancern och gäddan? De försökte mycket, men de flyttade aldrig vagnen. När allt kommer omkring var vektorsumman av de krafter som de applicerade på vagnen lika med noll.

2. Det andra sättet att lägga till vektorer är triangelregeln. Låt oss ta samma vektorer och . Vi lägger till början av den andra till slutet av den första vektorn. Låt oss nu koppla ihop början av den första och slutet av den andra. Detta är summan av vektorerna och .

Med samma regel kan du lägga till flera vektorer. Vi fäster dem en efter en och ansluter sedan början av den första till slutet av den sista.

Föreställ dig att du går från punkt A till punkt B, från B till C, från C till D, sedan till E och sedan till F. Slutresultatet av dessa åtgärder är en övergång från A till F.

När vi lägger till vektorer får vi:

Vektor subtraktion

Vektorn är riktad motsatt vektorn. Längden på vektorerna och är lika.

Nu är det klart vad subtraktion av vektorer är. Skillnaden mellan vektorerna och är summan av vektorn och vektorn.

Multiplicera en vektor med ett tal

Att multiplicera en vektor med ett tal k resulterar i en vektor vars längd är k gånger annorlunda än längden. Den är samriktad med vektorn om k är större än noll, och riktad motsatt om k är mindre än noll.

Punktprodukt av vektorer

Vektorer kan multipliceras inte bara med siffror utan också med varandra.

Den skalära produkten av vektorer är produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan dem.

Var uppmärksam - vi multiplicerade två vektorer, och vi fick en skalär, det vill säga ett tal. Till exempel, i fysiken, är mekaniskt arbete lika med skalärprodukten av två vektorer - kraft och förskjutning:

Om vektorerna är vinkelräta är deras punktprodukt noll.
Och så här uttrycks den skalära produkten i termer av vektorernas koordinater och:

Från formeln för den skalära produkten kan du hitta vinkeln mellan vektorerna:

Denna formel är särskilt bekväm i stereometri. Till exempel, i uppgift 14 i Profile USE i matematik måste du hitta vinkeln mellan skärande linjer eller mellan en linje och ett plan. Problem 14 löses ofta flera gånger snabbare med vektormetoden än med den klassiska.

I skolans läroplan i matematik studeras endast skalärprodukten av vektorer.
Det visar sig att det förutom skalären också finns en vektorprodukt, när som ett resultat av att multiplicera två vektorer erhålls en vektor. Den som klarar provet i fysik vet vad Lorentz-kraften och Ampère-kraften är. Formlerna för att hitta dessa krafter inkluderar exakt vektorprodukter.

Vektorer är ett mycket användbart matematiskt verktyg. Du kommer att bli övertygad om detta i den första kursen.

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

Hemsida fylld med böcker kan du ladda ner böcker

Vektorer på planet och i rymden, sätt att lösa problem, exempel, formler

1 Vektorer i rymden

Vektorer i rymden inkluderar geometri 10, klass 11 och analytisk geometri. Vektorer låter dig effektivt lösa de geometriska problemen i den andra delen av examen och analytisk geometri i rymden. Vektorer i rymden ges på samma sätt som vektorer i planet, men den tredje koordinaten z tas med i beräkningen. Uteslutning från vektorer i den tredje dimensionens rymd ger vektorer på planet, vilket förklarar geometrin för 8, 9-klassen.

1.1 Vektor på planet och i rymden

En vektor är ett riktat segment med en början och ett slut, indikerade med en pil i figuren. En godtycklig punkt i rymden kan betraktas som en nollvektor. Nollvektorn har ingen specifik riktning, eftersom början och slutet är samma, så den kan ges vilken riktning som helst.

Vektor översatt från engelska betyder vektor, riktning, kurs, vägledning, riktningsinställning, flygplansriktning.

Längden (modulen) för en vektor som inte är noll är längden på segmentet AB, som betecknas
. Vektor längd betecknas . Nollvektor har en längd lika med noll = 0.

Kolinjära vektorer är icke-nollvektorer som ligger på samma linje eller på parallella linjer.

Nollvektorn är kolinjär med vilken vektor som helst.

Codirectional kallas kolinjära icke-nollvektorer som har en riktning. Samriktningsvektorer betecknas med . Till exempel, om vektorn är samriktad med vektorn , då används notationen.

Nollvektorn är samriktad med vilken vektor som helst.

Motsatt riktade är två kolinjära icke-nollvektorer som har motsatt riktning. Motsatt riktade vektorer betecknas med ↓. Till exempel, om vektorn är motsatt vektorn används notationen ↓.

Samriktningsvektorer av lika längd kallas lika.

Många fysiska storheter är vektorstorheter: kraft, hastighet, elektriskt fält.

Om applikationspunkten (början) för vektorn inte är inställd, väljs den godtyckligt.

Om början av vektorn placeras vid punkten O, anses det att vektorn skjuts upp från punkten O. Från vilken punkt som helst kan en enda vektor lika med den givna vektorn plottas.

1.2 Summan av vektorer

När vektorer adderas enligt triangelregeln ritas vektor 1, från vars ände vektor 2 ritas och summan av dessa två vektorer är vektor 3, ritad från början av vektor 1 till slutet av vektor 2:

För godtyckliga punkter A , B och C kan du skriva summan av vektorer:

+
=

Om två vektorer börjar från samma punkt

då är det bättre att lägga till dem enligt parallellogramregeln.

När två vektorer läggs till enligt parallellogramregeln läggs de adderade vektorerna av från en punkt, ett parallellogram kompletteras från ändarna av dessa vektorer genom att en annans början appliceras på slutet av en vektor. Vektorn som bildas av parallellogrammets diagonal, som kommer från startpunkten för de adderade vektorerna, kommer att vara summan av vektorerna

Parallellogramregeln innehåller en annan ordning för addition av vektorer enligt triangelregeln.

Vektoradditionslagar:

1. Den kommutativa lagen + = + .

2. Associativ lag ( + ) + = + ( + ).

Om det är nödvändigt att lägga till flera vektorer, adderas vektorerna i par eller enligt polygonregeln: vektor 2 ritas från slutet av vektor 1, vektor 3 ritas från slutet av vektor 2, vektor 4 dras från slutet av vektor 3, vektor 5 ritas från slutet av vektor 4, etc. En vektor som är summan av flera vektorer ritas från början av vektor 1 till slutet av den sista vektorn.

Enligt lagarna för vektoraddition påverkar inte ordningen för vektoraddition den resulterande vektorn, som är summan av flera vektorer.

Mitt emot finns två motsatt riktade vektorer som inte är noll av samma längd. Vektor - är motsatsen till en vektor

Dessa vektorer är motsatt riktade och lika i absolut värde.

1.3 Vektorskillnad

Skillnaden mellan vektorer kan skrivas som summan av vektorer

- = + (-),

där "-" är vektorn motsatt vektorn.

Vektorer och - kan läggas till enligt regeln för en triangel eller ett parallellogram.

Låt vektorer och

För att hitta skillnaden mellan vektorer - bygger vi en vektor -

Vi adderar vektorerna och - enligt triangelregeln, tillämpar början av vektorn - till slutet av vektorn, fick vi vektorn + (-) = -

Vi lägger till vektorerna och - enligt parallellogramregeln, skjuter upp början av vektorerna och - från en punkt

Om vektorerna och kommer från samma punkt

,

då skillnaden mellan vektorer - ger en vektor som förbinder deras ändar och pilen i slutet av den resulterande vektorn placeras i riktningen för vektorn från vilken den andra vektorn subtraheras

Figuren nedan visar addition och skillnad mellan vektorer

Figuren nedan visar addition och skillnad mellan vektorer på olika sätt.

Uppgift. Givna vektorer och .

Rita summan och skillnaden av vektorer på alla möjliga sätt i alla möjliga kombinationer av vektorer.

1.4 Kolinjär vektorlemma

= k

1.5 Multiplikation av en vektor med ett tal

Produkten av en vektor som inte är noll med ett tal k ger en vektor = k , kolinjär med vektorn . Vektorlängd:

| | = |k |·| |

Om en k > 0, då är vektorerna och samriktade.

Om en k = 0, då är vektorn noll.

Om en k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Om | k | = 1, då är vektorerna och lika långa.

Om en k = 1, då och lika vektorer.

Om en k = -1, sedan motsatta vektorer.

Om | k | > 1, då är längden på vektorn större än längden på vektorn.

Om en k > 1, då är vektorerna och samriktade och längden är större än vektorns längd.

Om en k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Om | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Om 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Om -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Produkten av en nollvektor med ett tal ger en nollvektor.

Uppgift. Givet en vektor.

Konstruera vektorerna 2, -3, 0,5, -1,5.

Uppgift. Givna vektorer och .

Konstruera vektorerna 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Lagar som beskriver multiplikationen av en vektor med ett tal

1. Kombinationslag (kn) = k (n)

2. Den första fördelningslagen k ( + ) = k + k .

3. Den andra fördelningslagen (k + n) = k + n.

För kolinjära vektorer och , om ≠ 0, finns det ett enda tal k som tillåter att uttrycka vektorn i termer av:

= k

1.6 Coplanar vektorer

Coplanar vektorer är de som ligger i samma plan eller i parallella plan. Om du ritar vektorer lika med givna koplanära vektorer från en punkt, så kommer de att ligga i samma plan. Därför kan vi säga att vektorer kallas coplanar om det finns lika vektorer som ligger i samma plan.

Två godtyckliga vektorer är alltid i samma plan. De tre vektorerna kan vara koplanära eller inte. Tre vektorer, varav minst två är kolinjära, är koplanära. Kolinära vektorer är alltid koplanära.

1.7 Nedbrytning av en vektor i två icke-kollinjära vektorer

Vilken vektor som helst sönderdelas unikt på planet i två icke-kollinjära vektorer som inte är noll och med endast expansionskoefficienter x och y :

= x+y

Vilken vektor som helst som är i samma plan till vektorer som inte är noll och är unikt uppdelad i två icke-kollinjära vektorer och med unika expansionskoefficienter x och y:

= x+y

Låt oss expandera den givna vektorn på planet enligt de givna icke-kollinjära vektorerna och:

Rita från en punkt de givna koplanära vektorerna

Från slutet av vektorn ritar vi linjer parallella med vektorerna och till skärningspunkten med linjerna som dras genom vektorerna och . Skaffa ett parallellogram

Längden på parallellogrammets sidor erhålls genom att multiplicera längderna på vektorerna och med talen x och y, som bestäms genom att dividera längderna på parallellogrammets sidor med längderna på motsvarande vektorer och. Vi får sönderdelningen av vektorn i givna icke-kollinjära vektorer och:

= x+y

I det problem som löses, x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, så expansionen av vektorn i givna icke-kollinjära vektorer och kan skrivas som

1,3 + 1,9 .

I det problem som löses, x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, så expansionen av vektorn i givna icke-kollinjära vektorer och kan skrivas som

1,3 - 1,9 .

1.8 Boxregel

En parallellepiped är en tredimensionell figur vars motsatta ytor består av två lika stora parallellogram som ligger i parallella plan.

Parallellepipedregeln låter dig lägga till tre icke-samplanära vektorer som ritas från en punkt och konstruera en parallellepiped så att de summerade vektorerna bildar dess kanter, och de återstående kanterna på parallellepipeden är parallella respektive lika med längden på de bildade kanterna av de summerade vektorerna. Parallepipedens diagonal bildar en vektor som är summan av de givna tre vektorerna, som börjar från startpunkten för de adderade vektorerna.

1.9 Nedbrytning av en vektor i tre icke-samplanära vektorer

Vilken vektor som helst expanderar i tre givna icke-samplanära vektorer , och med enkla expansionskoefficienter x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Rektangulärt koordinatsystem i rymden

I det tredimensionella rummet definieras det rektangulära koordinatsystemet Oxyz av origo O och de ömsesidigt vinkelräta koordinataxlarna Ox , Oy och Oz skärande i det med valda positiva riktningar indikerade av pilar och segmentens måttenhet. Om skalan på segmenten är densamma längs alla tre axlarna, kallas ett sådant system för kartesiskt koordinatsystem.

Samordna x kallas abskissan, y är ordinatan, z är applikatet. Punkt M-koordinater skrivs inom parentes M (x ; y ; z ).

1.11 Vektorkoordinater i rymden

I rymden, låt oss sätta ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz . Från origo i de positiva riktningarna för axlarna Ox , Oy , Oz ritar vi motsvarande enhetsvektorer , , , som kallas koordinatvektorer och är icke-samplanära. Därför kan vilken vektor som helst delas upp i tre givna icke-samplanära koordinatvektorer och med de enda expansionskoefficienterna x , y , z :

= x + y + z .

Expansionskoefficienterna x , y , z är koordinaterna för vektorn i ett givet rektangulärt koordinatsystem, vilka skrivs inom parentes (x ; y ; z ). Nollvektor har koordinater lika med noll (0; 0; 0). För lika vektorer är motsvarande koordinater lika.

Regler för att hitta koordinaterna för den resulterande vektorn:

1. När två eller flera vektorer summeras är varje koordinat för den resulterande vektorn lika med summan av motsvarande koordinater för de givna vektorerna. Om två vektorer ges (x 1 ; y 1 ; z 1) och (x 1 ; y 1 ; z 1), så ger summan av vektorer + en vektor med koordinater (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z1)

+ = (x 1 + x 1; y1 + y1; z1 + z1)

2. Skillnaden är en sorts summa, så skillnaden mellan motsvarande koordinater ger varje koordinat för vektorn som erhålls genom att subtrahera de två givna vektorerna. Om två vektorer ges (x a ; ya ; z a ) och (x b ; y b ; z b ), så ger skillnaden mellan vektorerna - en vektor med koordinater (x a - x b ; ya - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; ya - y b ; z a - z b )

3. När man multiplicerar en vektor med ett tal, är varje koordinat för den resulterande vektorn lika med produkten av detta tal med motsvarande koordinat för den givna vektorn. Givet ett tal k och en vektor (x ; y ; z ), då multiplicering av vektorn med talet k ger en vektor k med koordinater

k = (kx ; ky ; kz ).

Uppgift. Hitta koordinaterna för vektorn = 2 - 3 + 4 om koordinaterna för vektorerna är (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Beslut

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektor-, radievektor- och punktkoordinater

Vektorkoordinaterna är koordinaterna för slutet av vektorn, om början av vektorn är placerad vid origo.

En radievektor är en vektor ritad från origo till en given punkt, koordinaterna för radievektorn och punkten är lika.

Om vektorn
givet av punkterna M 1 (x 1; y 1; z 1) och M 2 (x 2; y 2; z 2), då är var och en av dess koordinater lika med skillnaden mellan motsvarande koordinater för slutet och början av vektor

För kolinjära vektorer = (x 1 ; y 1 ; z 1) och = (x 2 ; y 2​; z 2), om ≠ 0, finns det ett enda tal k som tillåter att uttrycka vektorn i termer av:

= k

Därefter uttrycks vektorns koordinater i termer av vektorns koordinater

= (kx 1; ky1; kz 1)

Förhållandet mellan motsvarande koordinater för kolinjära vektorer är lika med det enda talet k

1.13 Vektorlängd och avstånd mellan två punkter

Längden på vektorn (x; y; z) är lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater

Längden på vektorn, given av punkterna för början M 1 (x 1; y 1; z 1) och slutet M 2 (x 2; y 2; z 2) är lika med kvadratroten av summan av kvadrater av skillnaden mellan motsvarande koordinater för slutet av vektorn och början

Distans d mellan två punkter M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) och M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) är lika med längden på vektorn

Det finns ingen z-koordinat på planet

Avstånd mellan punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2)

1.14 Koordinater för mitten av segmentet

Om punkt C är mittpunkten av segmentet AB, då är radievektorn för punkt C i ett godtyckligt koordinatsystem med utgångspunkt i punkt O lika med halva summan av radievektorerna för punkterna A och B

Om vektorernas koordinater
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), då är varje vektorkoordinat lika med halva summan av motsvarande koordinater för vektorerna och

,
,

= (x, y, z) =

Var och en av koordinaterna för mitten av segmentet är lika med halva summan av motsvarande koordinater för segmentets ändar.

1.15 Vinkel mellan vektorer

Vinkeln mellan vektorer är lika med vinkeln mellan strålarna som dras från en punkt och samriktade med dessa vektorer. Vinkeln mellan vektorer kan vara från 0 0 till 180 0 inklusive. Vinkeln mellan samriktningsvektorer är lika med 0 0 . Om en vektor eller båda är noll, så är vinkeln mellan vektorerna, varav åtminstone en är noll, lika med 0 0 . Vinkeln mellan vinkelräta vektorer är 90 0 . Vinkeln mellan motsatt riktade vektorer är 180 0 .

1.16 Vektorprojektion

1.17 Punktprodukt av vektorer

Skalärprodukten av två vektorer är ett tal (skalär) lika med produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan vektorerna

Om en = 0 0 , då är vektorerna samriktade
och
= cos 0 0 = 1, därför är skalärprodukten av samriktningsvektorer lika med produkten av deras längder (moduler)

.

Om vinkeln mellan vektorer är 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, därför är den skalära produkten större än noll
.

Om vektorer som inte är noll är vinkelräta, är deras skalära produkt noll
, eftersom cos 90 0 = 0. Skalärprodukten av vinkelräta vektorer är lika med noll.

Om en
, då är cosinus för vinkeln mellan sådana vektorer mindre än noll
, så den skalära produkten är mindre än noll
.

När vinkeln mellan vektorer ökar, kommer cosinus för vinkeln mellan dem
minskar och når ett minimivärde vid = 180 0 när vektorerna är motsatt riktade
. Eftersom cos 180 0 = -1, alltså
. Den skalära produkten av motsatt riktade vektorer är lika med den negativa produkten av deras längder (moduler).

Den skalära kvadraten för en vektor är lika med modulen för vektorn i kvadrat

Skalärprodukten av vektorer, varav minst en är noll, är lika med noll.

1.18 Den fysiska betydelsen av skalärprodukten av vektorer

Från fysikens gång är det känt att kraftens arbete A samtidigt som kroppen rör sig är lika med produkten av längderna av kraft- och förskjutningsvektorerna och cosinus för vinkeln mellan dem, det vill säga den är lika med skalärprodukten av kraft- och förskjutningsvektorerna

Om kraftvektorn är samriktad med kroppens rörelse, då vinkeln mellan vektorerna
= 0 0, därför är kraftens arbete vid förskjutning maximal och är lika med A =
.

Om 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Om = 90 0 är kraftens arbete vid förskjutning lika med noll A = 0.

Om 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Om kraftvektorn är motsatt kroppens rörelse, då är vinkeln mellan vektorerna = 180 0, därför är kraftens arbete på rörelsen negativ och lika med A = -.

Uppgift. Bestäm tyngdkraften när du lyfter en personbil som väger 1 ton längs en 1 km lång bana med en lutningsvinkel på 30 0 mot horisonten. Hur många liter vatten vid en temperatur av 20 0 kan kokas med denna energi?

Beslut

Arbete En gravitation när kroppen förflyttas är den lika med produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan dem, det vill säga den är lika med skalärprodukten av tyngdkraftsvektorerna och förskjutningen

Allvar

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10 000 N.

= 1000 m.

Vinkel mellan vektorer = 1200. Sedan

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sin 30 0 \u003d - 0,5.

Ersättning

A \u003d 10 000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5 000 000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Punktprodukt av vektorer i koordinater

Punktprodukt av två vektorer = (xl; y1; zl) och \u003d (x 2; y 2; z 2) i ett rektangulärt koordinatsystem är lika med summan av produkterna av koordinaterna med samma namn

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Villkoret för vinkelräta vektorer

Om vektorer utan noll \u003d (x 1; y 1; z 1) och \u003d (x 2; y 2; z 2) är vinkelräta, är deras skalära produkt noll

Om en vektor som inte är noll = (x 1; y 1; z 1) ges, måste koordinaterna för vektorn vinkelrät (normal) mot den = (x 2; y 2; z 2) uppfylla likheten

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Det finns ett oändligt antal sådana vektorer.

Om en vektor som inte är noll = (x 1; y 1) sätts på planet, måste koordinaterna för vektorn vinkelrät (normal) mot den = (x 2; y 2) uppfylla likheten

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Om en vektor som inte är noll = (x 1 ; y 1) är inställd på planet räcker det att godtyckligt ställa in en av vektorns koordinater vinkelrät (normal) mot den = (x 2 ; y 2) och från villkoret för vinkelräthet hos vektorerna

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

uttrycka den andra koordinaten för vektorn.

Till exempel, om vi ersätter en godtycklig x 2-koordinat, då

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Den andra koordinaten för vektorn

Om du ger x 2 \u003d y 1, då den andra koordinaten för vektorn

Om en vektor som inte är noll = (x 1; y 1) ges på planet, då är vektorn vinkelrät (normal) till den = (y 1; -x 1).

Om en av koordinaterna för en vektor som inte är noll är lika med noll, har vektorn samma koordinat som inte är lika med noll, och den andra koordinaten är lika med noll. Sådana vektorer ligger på koordinataxlarna, därför är de vinkelräta.

Låt oss definiera den andra vektorn, vinkelrät mot vektorn = (x 1 ; y 1), men motsatt vektorn , det vill säga vektorn - . Då räcker det med att ändra tecknen på vektorns koordinater

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Uppgift.

Beslut

Koordinater för två vektorer vinkelräta mot vektorn = (x 1; y 1) på planet

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Vi ersätter vektorns koordinater = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

rätt!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

rätt!

Svar: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Om vi ​​tilldelar x 2 = 1, ersätt

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Få y 2-koordinaten för en vektor vinkelrät mot vektorn = (x 1; y 1)

För att få en andra vektor vinkelrät mot vektorn = (x 1; y 1), men motsatt vektorn . Låt vara

Då räcker det med att ändra tecknen på vektorns koordinater.

Koordinater för två vektorer vinkelräta mot vektorn = (x 1; y 1) på planet

Uppgift. Givet en vektor = (3; -5). Hitta två normalvektorer med olika orientering.

Beslut

Koordinater för två vektorer vinkelräta mot vektorn = (x 1; y 1) på planet

Enstaka vektorkoordinater

Andra vektorkoordinater

För att kontrollera vinkelrätheten hos vektorer, ersätter vi deras koordinater med villkoret för vinkelräthet hos vektorer

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

rätt!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

rätt!

Svar: och.

Om du tilldelar x 2 \u003d - x 1, ersätt

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Få koordinaten för vektorn vinkelrätt mot vektorn

Om du tilldelar x 2 \u003d x 1, ersätt

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Få y-koordinaten för den andra vektorn vinkelrät mot vektorn

Koordinater för en vektor vinkelrät mot vektorn i planet = (x 1; y 1)

Koordinater för den andra vektorn, vinkelrät mot vektorn i planet = (x 1; y 1)

Koordinater för två vektorer vinkelräta mot vektorn = (x 1; y 1) på planet

1.21 Cosinus för vinkeln mellan vektorer

Cosinus för vinkeln mellan två icke-nollvektorer \u003d (x 1; y 1; z 1) och \u003d (x 2; y 2; z 2) är lika med skalärprodukten av vektorer dividerat med produkten av längder av dessa vektorer

Om en
= 1, då är vinkeln mellan vektorerna lika med 0 0 , vektorerna är medriktade.

Om 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Om = 0, så är vinkeln mellan vektorerna lika med 90 0 , vektorerna är vinkelräta.

Om -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Om = -1 så är vinkeln mellan vektorerna 180 0 , vektorerna är motsatt riktade.

Om någon vektor ges av koordinaterna för början och slutet, subtraherar vi koordinaterna för början från motsvarande koordinater för slutet av vektorn, får vi koordinaterna för denna vektor.

Uppgift. Hitta vinkeln mellan vektorerna (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Beslut

Punktprodukt av vektorer

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

därför är vinkeln mellan vektorerna = 90 0 .

1.22 Egenskaper för prickprodukten av vektorer

Egenskaperna för den skalära produkten gäller för alla , , ,k:

1.
, om
, då
, om =, då
= 0.

2. Förskjutningslag

3. Distributiv lag

4. Kombinationsrätt
.

1.23 Riktningsvektor direkt

Riktvektorn för en linje är en vektor som inte är noll som ligger på en linje eller på en linje parallell med den givna linjen.

Om linjen ges av två punkter M 1 (x 1; y 1; z 1) och M 2 (x 2; y 2; z 2), så är vektorn guiden
eller dess motsatta vektor
= - , vars koordinater

Det är önskvärt att ställa in koordinatsystemet så att linjen passerar genom origo, då kommer koordinaterna för den enda punkten på linjen att vara koordinaterna för riktningsvektorn.

Uppgift. Bestäm koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen som går genom punkterna M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Beslut

Riktningsvektorn för den räta linjen som går genom punkterna M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) betecknas
. Var och en av dess koordinater är lika med skillnaden mellan motsvarande koordinater för slutet och början av vektorn

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Låt oss avbilda riktningsvektorn för den räta linjen i koordinatsystemet med början i punkten M 1, med slutet i punkten M 2 och vektorn lika med den
från ursprung med slutet i punkt M (-1; 1; 0)

1.24 Vinkel mellan två räta linjer

Möjliga alternativ för den relativa positionen för 2 linjer på planet och vinkeln mellan sådana linjer:

1. Linjerna skär varandra i en enda punkt och bildar 4 vinklar, 2 par vertikala vinklar är lika i par. Vinkeln φ mellan två skärande linjer är den vinkel som inte överstiger de andra tre vinklarna mellan dessa linjer. Därför är vinkeln mellan linjerna φ ≤ 90 0 .

Skärande linjer kan i synnerhet vara vinkelräta φ = 90 0 .

Möjliga alternativ för den relativa positionen för 2 linjer i rymden och vinkeln mellan sådana linjer:

1. Linjerna skär varandra i en enda punkt och bildar 4 vinklar, 2 par vertikala vinklar är lika i par. Vinkeln φ mellan två skärande linjer är den vinkel som inte överstiger de andra tre vinklarna mellan dessa linjer.

2. Linjerna är parallella, det vill säga de sammanfaller inte och skär inte varandra, φ=0 0 .

3. Linjerna sammanfaller, φ = 0 0 .

4. Linjerna skär varandra, det vill säga de skär sig inte i rymden och är inte parallella. Vinkeln φ mellan skärande linjer är vinkeln mellan linjer som dras parallellt med dessa linjer så att de skär varandra. Därför är vinkeln mellan linjerna φ ≤ 90 0 .

Vinkeln mellan 2 linjer är lika med vinkeln mellan linjerna ritade parallellt med dessa linjer i samma plan. Därför är vinkeln mellan linjerna 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Vinkel θ (theta) mellan vektorer och 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Om vinkeln φ mellan linjerna α och β är lika med vinkeln θ mellan riktningsvektorerna för dessa linjer φ = θ, då

cos φ = cos θ.

Om vinkeln mellan linjerna φ = 180 0 - θ, då

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Därför är cosinus för vinkeln mellan linjerna lika med modulen för cosinus för vinkeln mellan vektorerna

cos φ = |cos θ|.

Om koordinaterna för vektorer som inte är noll = (x 1 ; y 1 ; z 1) och = (x 2 ; y 2​; z 2) ges, då cosinus för vinkeln θ mellan dem

Cosinus för vinkeln mellan linjerna är lika med modulen för cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorerna för dessa linjer

cos φ = |cos θ| =

Linjerna är samma geometriska objekt, därför finns samma trigonometriska funktioner cos i formeln.

Om var och en av de två linjerna ges av två punkter, kan riktningsvektorerna för dessa linjer och cosinus för vinkeln mellan linjerna bestämmas.

Om en cos φ \u003d 1, då är vinkeln φ mellan linjerna 0 0, en av riktningsvektorerna för dessa linjer kan tas för dessa linjer, linjerna är parallella eller sammanfaller. Om linjerna inte sammanfaller är de parallella. Om linjerna sammanfaller, så hör vilken punkt som helst på en linje till den andra linjen.

Om 0< cos φ ≤ 1, då är vinkeln mellan linjerna 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Om en cos φ \u003d 0, då är vinkeln φ mellan linjerna 90 0 (linjerna är vinkelräta), linjerna skär eller skär varandra.

Uppgift. Bestäm vinkeln mellan linjerna M 1 M 3 och M 2 M 3 med koordinaterna för punkterna M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) och M 3 (0; 0; 1) .

Beslut

Låt oss konstruera de givna punkterna och räta linjerna i Oxyz-koordinatsystemet.

Vi riktar linjernas riktningsvektorer så att vinkeln θ mellan vektorerna sammanfaller med vinkeln φ mellan de givna linjerna. Rita vektorerna =
och =
, samt vinklarna θ och φ:

Låt oss bestämma koordinaterna för vektorerna och

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 och ax + by + cz = 0;

Planet är parallellt med den koordinataxeln, vars beteckning saknas i planets ekvation och därför är motsvarande koefficient lika med noll, till exempel vid c = 0 är planet parallellt med Oz-axeln och innehåller inte z i ekvationen ax + by + d = 0;

Planet innehåller koordinataxeln, vars beteckning saknas, därför är motsvarande koefficient noll och d = 0, till exempel vid c = d = 0, är ​​planet parallellt med Oz-axeln och innehåller inte z i ekvationen ax + by = 0;

Planet är parallellt med koordinatplanet, vars notation saknas i ekvationen för planet och därför är motsvarande koefficienter noll, till exempel för b = c = 0, är ​​planet parallellt med koordinatplanet Oyz och innehåller inte y, z i ekvationen ax + d = 0.

Om planet sammanfaller med koordinatplanet, så är ekvationen för ett sådant plan lika med noll för beteckningen för koordinataxeln vinkelrät mot det givna koordinatplanet, till exempel vid x = 0, är ​​det givna planet koordinatplanet Oyz .

Uppgift. Normalvektorn ges av ekvationen

Representera planets ekvation i normal form.

Beslut

Normala vektorkoordinater

A ; b; c ), då kan du ersätta koordinaterna för punkten M 0 (x 0; y 0; z 0) och koordinaterna a, b, c för normalvektorn i den allmänna ekvationen för planet

ax + by + cz + d = 0 (1)

Vi får en ekvation med en okänd d

ax 0 + x 0 + cz 0 + d = 0

Härifrån

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Planekvation (1) efter substitution d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Vi får ekvationen för ett plan som går genom punkten M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) vinkelrätt mot en vektor som inte är noll (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Låt oss öppna parenteserna

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Beteckna

d = - ax 0 - med 0 - cz 0

Vi får den allmänna ekvationen för planet

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Ekvation för ett plan som passerar genom två punkter och origo

ax + by + cz + d = 0.

Det är önskvärt att ställa in koordinatsystemet så att planet passerar genom origo för detta koordinatsystem. Punkterna M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) och M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) som ligger i detta plan måste ställas in så att den räta linjen som förbinder dessa punkter inte går genom origo.

Planet kommer att passera genom origo, så d = 0. Då blir planets allmänna ekvation

ax + by + cz = 0.

Okända 3 koefficienter a, b, c. Att ersätta koordinaterna för två punkter i den allmänna ekvationen för planet ger ett system med 2 ekvationer. Om vi ​​tar någon koefficient i den allmänna ekvationen för planet lika med ett, kommer systemet med 2 ekvationer att tillåta oss att bestämma 2 okända koefficienter.

Om en av punktens koordinater är noll, tas koefficienten som motsvarar denna koordinat som ett.

Om någon punkt har två nollkoordinater, så tas koefficienten som motsvarar en av dessa nollkoordinater som enhet.

Om a = 1 accepteras, kommer ett system med 2 ekvationer att tillåta oss att bestämma 2 okända koefficienter b och c:

Det är lättare att lösa systemet med dessa ekvationer genom att multiplicera någon ekvation med ett sådant tal att koefficienterna för något okänt stål är lika. Då kommer skillnaden i ekvationerna att tillåta oss att utesluta detta okända, för att bestämma en annan okända. Genom att ersätta det hittade okända i valfri ekvation kan vi bestämma det andra okända.

1.30 Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter

Låt oss definiera koefficienterna för den allmänna ekvationen för planet

ax + by + cz + d = 0,

passerar genom punkterna M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) och M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Punkter får inte ha två identiska koordinater.

Okända 4 koefficienter a , b , c och d . Att ersätta koordinaterna för tre punkter i den allmänna ekvationen för planet ger ett system med 3 ekvationer. Ta någon koefficient i den allmänna ekvationen för planet lika med ett, så kommer systemet med 3 ekvationer att låta dig bestämma 3 okända koefficienter. Vanligtvis accepteras a = 1, då systemet med 3 ekvationer låter dig bestämma 3 okända koefficienter b, c och d:

Ekvationssystemet löses bäst genom att eliminera okända (Gauss-metoden). Du kan ordna om ekvationerna i systemet. Vilken ekvation som helst kan multipliceras eller divideras med valfri faktor som inte är noll. Två valfria ekvationer kan läggas till, och den resulterande ekvationen kan skrivas istället för någon av dessa två adderade ekvationer. De okända exkluderas från ekvationerna genom att erhålla en nollkoefficient framför dem. I en ekvation förblir vanligtvis den lägsta en variabel, som bestäms. Den hittade variabeln ersätts i den andra ekvationen från botten, där 2 okända vanligtvis återstår. Ekvationerna löses nerifrån och upp och alla okända koefficienter bestäms.

Koefficienterna placeras framför de okända, och termerna fria från okända överförs till höger sida av ekvationerna

Den översta raden innehåller vanligtvis en ekvation som har en faktor på 1 före den första eller någon okänd, eller hela den första ekvationen delas med faktorn före den första okända. I detta ekvationssystem dividerar vi den första ekvationen med y 1

Innan det första okända fick vi en koefficient på 1:

För att återställa koefficienten framför den första variabeln i den andra ekvationen multiplicerar vi den första ekvationen med -y 2 , adderar den till den andra ekvationen och skriver den resulterande ekvationen istället för den andra ekvationen. Den första okända i den andra ekvationen kommer att elimineras pga

y 2 b - y 2 b = 0.

På liknande sätt exkluderar vi den första okända i den tredje ekvationen genom att multiplicera den första ekvationen med -y 3 , addera den till den tredje ekvationen och skriva den resulterande ekvationen istället för den tredje ekvationen. Den första okända i den tredje ekvationen kommer också att elimineras pga

y 3 b - y 3 b = 0.

På samma sätt utesluter vi det andra okända i den tredje ekvationen. Vi löser systemet nerifrån och upp.

Uppgift.

ax + by + cz + d = 0,

passerar genom punkterna M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) och y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Det givna planet är koordinatplanet Oyz.

Uppgift. Bestäm den allmänna ekvationen för planet

ax + by + cz + d = 0,

passerar genom punkterna M1 (1; 0; 0), M2 (0; 1; 0) och M3 (0; 0; 1). Hitta avståndet från detta plan till punkten M 0 (10; -3; -7).

Beslut

Låt oss bygga de givna punkterna i Oxyz koordinatsystem.

Acceptera a= 1. Genom att ersätta koordinaterna för tre punkter i planets allmänna ekvation får man ett system med 3 ekvationer

ℓ =

Webbsidor: 1 2 Vektorer i planet och i rymden (fortsättning)

Andrey Georgievich Olshevskys konsultationer om Skype da.reta.sv

Förberedelse av elever och skolelever i matematik, fysik, datavetenskap, skolelever som vill få många poäng (del C) och svaga elever till OGE (GIA) och tentamen. Samtidig förbättring av nuvarande prestanda genom utveckling av minne, tänkande, en begriplig förklaring av den komplexa, visuella presentationen av objekt. Ett speciellt förhållningssätt till varje elev. Förberedelse för olympiaderna, ger förmåner för antagning. 15 års erfarenhet av att förbättra elevernas prestationer.

Högre matematik, algebra, geometri, sannolikhetsteori, matematisk statistik, linjär programmering.

En tydlig förklaring av teorin, eliminering av luckor i förståelse, undervisningsmetoder för att lösa problem, konsultation när du skriver terminsuppsatser, diplom.

Flygplans-, raket- och bilmotorer. Hypersonic, ramjet, raket, impulsdetonation, pulserande, gasturbin, fram- och återgående förbränningsmotorer - teori, design, beräkning, styrka, design, tillverkningsteknik. Termodynamik, värmeteknik, gasdynamik, hydraulik.

Flyg, aeromekanik, aerodynamik, flygdynamik, teori, design, aerohydromekanik. Ultralätta flygplan, ekranoplan, flygplan, helikoptrar, raketer, kryssningsmissiler, svävare, luftskepp, propellrar - teori, design, beräkning, styrka, design, tillverkningsteknik.

Generering, implementering av idéer. Grunderna i vetenskaplig forskning, genereringsmetoder, genomförande av vetenskapliga, uppfinningsrika affärsidéer. Undervisningstekniker för att lösa vetenskapliga problem, uppfinningsrika problem. Vetenskaplig, uppfinningsrik, skrivande, teknisk kreativitet. Uttalande, urval, lösning av de mest värdefulla vetenskapliga, uppfinningsrika problemen, idéer.

Publikationer av resultaten av kreativitet. Hur man skriver och publicerar en vetenskaplig artikel, ansöker om en uppfinning, skriver, ger ut en bok. Skrivteori, disputationsförsvar. Tjäna pengar på idéer, uppfinningar. Konsultverksamhet vid skapandet av uppfinningar, skriva ansökningar om uppfinningar, vetenskapliga artiklar, ansökningar om uppfinningar, böcker, monografier, avhandlingar. Medförfattarskap i uppfinningar, vetenskapliga artiklar, monografier.

Teoretisk mekanik (teormek), materialstyrka (sopromat), maskindelar, teori om mekanismer och maskiner (TMM), ingenjörsteknik, tekniska discipliner.

Teoretiska grunder för elektroteknik (TOE), elektronik, grunderna i digital, analog elektronik.

Analytisk geometri, beskrivande geometri, ingenjörsgrafik, ritning. Datorgrafik, grafikprogrammering, ritningar i AutoCAD, NanoCAD, fotomontage.

Logik, grafer, träd, diskret matematik.

OpenOffice och LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makron, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Skapande av program, spel för PC, bärbara datorer, mobila enheter. Användning av gratis färdiga program, öppen källkodsmotorer.

Skapande, placering, marknadsföring, programmering av sajter, nätbutiker, intäkter på sajter, webbdesign.

Informatik, PC-användare: texter, tabeller, presentationer, träning i att skriva under 2 timmar, databaser, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, nätverk, e-post.

Enhet, reparation av stationära datorer och bärbara datorer.

Videobloggare, skapa, redigera, lägga upp videor, videoredigera, tjäna pengar på videobloggar.

Val, måluppfyllelse, planering.

Lär dig tjäna pengar på Internet: bloggare, videobloggare, program, webbplatser, webbutik, artiklar, böcker, etc.

Du kan stödja utvecklingen av webbplatsen, betala för konsulttjänsterna från Olshevsky Andrey Georgievich

10/15/17 Olshevsky Andrey Georgieviche-post:[e-postskyddad]