Linjära ekvationer. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Linjära ekvationer.

Linjära ekvationer är inte det svåraste ämnet i skolmatematik. Men det finns några knep där som kan förbrylla även en utbildad elev. Ska vi ta reda på det?)

En linjär ekvation definieras vanligtvis som en ekvation av formen:

yxa + b = 0 var a och b- alla siffror.

2x + 7 = 0. Här a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Här a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Här a=12, b=1/2

Inget komplicerat, eller hur? Speciellt om du inte lägger märke till orden: "där a och b är valfria tal"... Och om du märker, men slarvigt tänker på det?) När allt kommer omkring, om a=0, b=0(alla siffror är möjliga?), då får vi ett roligt uttryck:

Men det är inte allt! Om, säg, a=0, a b=5, det visar sig något ganska absurt:

Det som anstränger och undergräver förtroendet för matematik, ja...) Speciellt på prov. Men av dessa konstiga uttryck måste du också hitta X! Vilket inte alls finns. Och överraskande nog är detta X väldigt lätt att hitta. Vi kommer att lära oss hur man gör det. I den här lektionen.

Hur känner man igen en linjär ekvation i utseende? Det beror på vad utseende.) Tricket är att linjära ekvationer inte bara kallas formekvationer yxa + b = 0 , men också alla ekvationer som reduceras till denna form genom transformationer och förenklingar. Och vem vet om det är reducerat eller inte?)

En linjär ekvation kan tydligt kännas igen i vissa fall. Säg, om vi har en ekvation där det bara finns okända i första graden, ja siffror. Och det gör inte ekvationen bråk dividerat med okänd , det är viktigt! Och division efter siffra, eller en numerisk bråkdel - det är allt! Till exempel:

Detta är en linjär ekvation. Det finns bråk här, men det finns inga x i kvadraten, i kuben etc. och det finns inga x i nämnarna, d.v.s. Nej division med x. Och här är ekvationen

kan inte kallas linjär. Här x är alla i första graden, men det finns division med uttryck med x. Efter förenklingar och transformationer kan du få en linjär ekvation och en kvadratisk, och allt du vill.

Det visar sig att det är omöjligt att ta reda på en linjär ekvation i något intrikat exempel tills man nästan löser den. Det är upprörande. Men i uppdrag frågar de som regel inte om ekvationens form, eller hur? I uppgifter ordnas ekvationer besluta. Detta gör mig lycklig.)

Lösning av linjära ekvationer. Exempel.

Hela lösningen av linjära ekvationer består av identiska transformationer av ekvationer. Dessa transformationer (så många som två!) ligger förresten till grund för lösningarna alla matematikens ekvationer. Med andra ord, beslutet några Ekvationen börjar med samma transformationer. När det gäller linjära ekvationer slutar det (lösningen) på dessa transformationer med ett fullfjädrat svar. Det är vettigt att följa länken, eller hur?) Dessutom finns det också exempel på att lösa linjära ekvationer.

Låt oss börja med det enklaste exemplet. Utan några fallgropar. Låt oss säga att vi måste lösa följande ekvation.

x - 3 = 2 - 4x

Detta är en linjär ekvation. X är alla i första potens, det finns ingen division med X. Men vi bryr oss faktiskt inte vad ekvationen är. Vi måste lösa det. Schemat här är enkelt. Samla allt med x på vänster sida av ekvationen, allt utan x (tal) till höger.

För att göra detta måste du överföra - 4x till vänster sida, med byte av tecken förstås, men - 3 - till höger. Detta är förresten första identiska transformationen av ekvationer.Överraskad? Så de följde inte länken, men förgäves ...) Vi får:

x + 4x = 2 + 3

Vi ger liknande, vi anser:

Vad behöver vi för att vara helt lyckliga? Ja, så att det blir ett rent X till vänster! Fem kommer i vägen. Bli av med de fem med andra identiska transformationen av ekvationer. Vi dividerar nämligen båda delarna av ekvationen med 5. Vi får ett färdigt svar:

Ett elementärt exempel såklart. Det här är för en uppvärmning.) Det är inte så tydligt varför jag kom ihåg identiska transformationer här? OK. Vi tar tjuren vid hornen.) Låt oss bestämma något mer imponerande.

Till exempel, här är denna ekvation:

Var börjar vi? Med X - till vänster, utan X - till höger? Kan vara så. Små steg längs den långa vägen. Och du kan omedelbart, på ett universellt och kraftfullt sätt. Såvida det inte finns identiska transformationer av ekvationer i din arsenal.

Jag ställer en nyckelfråga till dig: Vad ogillar du mest med den här ekvationen?

95 personer av 100 kommer att svara: fraktioner ! Svaret är korrekt. Så låt oss bli av med dem. Så vi börjar direkt med andra identiska transformationen. Vad behöver du multiplicera bråket till vänster med så att nämnaren reduceras helt? Det stämmer, 3. Och till höger? Med 4. Men matematik tillåter oss att multiplicera båda sidor med samma nummer. Hur tar vi oss ut? Låt oss multiplicera båda sidor med 12! De där. till en gemensam nämnare. Då kommer de tre att minska, och de fyra. Glöm inte att du måste multiplicera varje del helt. Så här ser det första steget ut:

Utöka parenteserna:

Notera! Täljare (x+2) Jag tog inom parentes! Detta beror på att när man multiplicerar bråk, multipliceras täljaren med hela, helt och hållet! Och nu kan du minska bråk och minska:

Öppna de återstående parenteserna:

Inte ett exempel, men rent nöje!) Nu minns vi besvärjelsen från de lägre årskurserna: med x - till vänster, utan x - till höger! Och tillämpa denna transformation:

Här är några som:

Och vi delar båda delarna med 25, d.v.s. tillämpa den andra omvandlingen igen:

Det är allt. Svar: X=0,16

Notera: för att få den ursprungliga förvirrande ekvationen till en trevlig form använde vi två (endast två!) identiska transformationer- översättning vänster-höger med byte av tecken och multiplikation-division av ekvationen med samma tal. Detta är det universella sättet! Vi kommer att arbeta på detta sätt några ekvationer! Absolut vilken som helst. Det är därför jag fortsätter att upprepa dessa identiska transformationer hela tiden.)

Som du kan se är principen för att lösa linjära ekvationer enkel. Vi tar ekvationen och förenklar den med hjälp av identiska transformationer tills vi får svaret. De största problemen här ligger i beräkningarna, och inte i principen för lösningen.

Men ... Det finns sådana överraskningar i processen för att lösa de mest elementära linjära ekvationerna att de kan driva in i en stark stupor ...) Lyckligtvis kan det bara finnas två sådana överraskningar. Låt oss kalla dem specialfall.

Specialfall vid lösning av linjära ekvationer.

Förvåna först.

Anta att du stöter på en elementär ekvation, något som:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lite uttråkade överför vi med X till vänster, utan X - till höger ... Med ett teckenbyte är allt kinar ... Vi får:

2x-5x+3x=5-2-3

Vi tror, ​​och ... herregud! Vi får:

I och för sig är denna jämlikhet inte förkastlig. Noll verkligen noll-. Men X är borta! Och vi måste skriva i svaret, vad x är lika med. Annars räknas inte lösningen, ja...) En återvändsgränd?

Lugna! I sådana tveksamma fall sparar de mest allmänna reglerna. Hur löser man ekvationer? Vad innebär det att lösa en ekvation? Det betyder, hitta alla värden på x som, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger oss den korrekta likheten.

Men vi har rätt jämställdhet redan hände! 0=0, vart egentligen?! Det återstår att ta reda på vid vilka x-värden detta erhålls. Vilka värden på x kan ersättas med original- ekvation om dessa x fortfarande krympa till noll? Kom igen?)

Ja!!! X kan ersättas några! Vad vill du. Minst 5, minst 0,05, minst -220. De kommer fortfarande att krympa. Om du inte tror mig kan du kontrollera det.) Byt ut eventuella x-värden original- ekvation och beräkna. Hela tiden kommer att vara ren sanning: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 och så vidare.

Här är ditt svar: x är vilket tal som helst.

Svaret kan skrivas i olika matematiska symboler, essensen förändras inte. Detta är ett helt korrekt och fullständigt svar.

Överraskning tvåa.

Låt oss ta samma elementära linjära ekvation och ändra bara ett tal i den. Detta är vad vi kommer att bestämma:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Efter samma identiska transformationer får vi något spännande:

Så här. Löste en linjär ekvation, fick en konstig likhet. Matematiskt sett har vi det fel jämställdhet. Och talar enkelt språk, det är inte sant. Rave. Men ändå är detta nonsens en ganska bra anledning till rätt beslut ekvationer.)

Återigen tänker vi från generella regler. Vad x, när det sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger oss korrekt jämlikhet? Ja, ingen! Det finns inga sådana xes. Vad du än ersätter, kommer allt att minska, nonsens kommer att finnas kvar.)

Här är ditt svar: det finns inga lösningar.

Detta är också ett helt giltigt svar. Inom matematiken förekommer ofta sådana svar.

Så här. Nu hoppas jag att förlusten av x i processen att lösa någon (inte bara linjär) ekvation inte kommer att störa dig alls. Saken är bekant.)

Nu när vi har tagit itu med alla fallgropar i linjära ekvationer, är det vettigt att lösa dem.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Service för att lösa ekvationer online hjälper dig att lösa alla ekvationer. Genom att använda vår sida får du inte bara svaret på ekvationen, utan också se detaljerad lösning, det vill säga en steg-för-steg-visning av processen för att erhålla resultatet. Vår tjänst kommer att vara användbar för gymnasieelever och deras föräldrar. Eleverna kommer att kunna förbereda sig för prov, tentor, testa sina kunskaper och föräldrar kommer att kunna kontrollera lösningen av matematiska ekvationer av sina barn. Förmåga att lösa ekvationer är ett obligatoriskt krav för studenter. Tjänsten hjälper dig att själv lära dig och förbättra dina kunskaper inom området matematiska ekvationer. Med den kan du lösa vilken ekvation som helst: kvadratisk, kubisk, irrationell, trigonometrisk, etc. onlinetjänst men ovärderlig, för förutom det korrekta svaret får du en detaljerad lösning på varje ekvation. Fördelar med att lösa ekvationer online. Du kan lösa vilken ekvation som helst online på vår hemsida helt gratis. Tjänsten är helautomatisk, du behöver inte installera något på din dator, du behöver bara ange data och programmet kommer att utfärda en lösning. Eventuella räknefel eller typografiska fel är uteslutna. Det är väldigt enkelt att lösa alla ekvationer online med oss, så se till att använda vår sida för att lösa alla slags ekvationer. Du behöver bara ange data och beräkningen kommer att slutföras på några sekunder. Programmet fungerar självständigt, utan mänsklig inblandning, och du får ett korrekt och detaljerat svar. Lösning av ekvationen i allmän form. I en sådan ekvation är de variabla koefficienterna och de önskade rötterna sammankopplade. Den högsta potensen av en variabel bestämmer ordningen för en sådan ekvation. Baserat på detta, för ekvationerna använd olika metoder och satser för att hitta lösningar. Att lösa ekvationer av denna typ innebär att hitta de önskade rötterna i en allmän form. Vår tjänst låter dig lösa även den mest komplexa algebraiska ekvationen online. Du kan få både den allmänna lösningen av ekvationen och den privata lösningen för de du angett. numeriska värden koefficienter. För att lösa en algebraisk ekvation på platsen räcker det att bara fylla i två fält korrekt: vänster och höger del av den givna ekvationen. Algebraiska ekvationer med variabla koefficienter har ett oändligt antal lösningar, och genom att ställa vissa villkor väljs särskilda sådana från uppsättningen lösningar. Andragradsekvation. Andragradsekvationen har formen ax^2+bx+c=0 för a>0. Lösningen av ekvationer med kvadratisk form innebär att hitta värdena på x, vid vilka likheten ax^2+bx+c=0 är uppfylld. För att göra detta hittas värdet på diskriminanten av formeln D=b^2-4ac. Om diskriminanten är mindre än noll, så har ekvationen inga reella rötter (rötterna är från fältet av komplexa tal), om den är noll har ekvationen en reell rot, och om diskriminanten är större än noll, då ekvationen har två reella rötter, som hittas av formeln: D \u003d -b + -sqrt / 2a. För att lösa en andragradsekvation online behöver du bara ange koefficienterna för en sådan ekvation (heltal, bråk eller decimalvärden). Om det finns subtraktionstecken i ekvationen måste du sätta ett minus framför motsvarande termer i ekvationen. Du kan också lösa en andragradsekvation online beroende på parametern, det vill säga variablerna i ekvationens koefficienter. Vår onlinetjänst för att hitta vanliga lösningar klarar denna uppgift perfekt. Linjära ekvationer. För att lösa linjära ekvationer (eller ekvationssystem) används fyra huvudmetoder i praktiken. Låt oss beskriva varje metod i detalj. Substitutionsmetod. Att lösa ekvationer med hjälp av substitutionsmetoden kräver att man uttrycker en variabel i termer av de andra. Därefter ersätts uttrycket i andra ekvationer i systemet. Därav namnet på lösningsmetoden, det vill säga istället för en variabel, ersätts dess uttryck genom resten av variablerna. I praktiken kräver metoden komplexa beräkningar, även om den är lätt att förstå, så att lösa en sådan ekvation online kommer att spara tid och göra beräkningar lättare. Du behöver bara ange antalet okända i ekvationen och fylla i data från linjära ekvationer, sedan kommer tjänsten att göra beräkningen. Gauss metod. Metoden bygger på de enklaste transformationerna av systemet för att komma fram till ett ekvivalent triangulärt system. De okända bestäms en efter en från den. I praktiken krävs det att lösa en sådan ekvation online med detaljerad beskrivning, tack vare vilken du väl behärskar Gaussmetoden för att lösa linjära ekvationssystem. Skriv ner systemet med linjära ekvationer i rätt format och ta hänsyn till antalet okända för att lösa systemet korrekt. Cramers metod. Denna metod löser ekvationssystem i de fall där systemet har enda beslut. Den huvudsakliga matematiska operationen här är beräkningen av matrisdeterminanter. Lösningen av ekvationer med Cramer-metoden utförs online, du får resultatet direkt med en fullständig och detaljerad beskrivning. Det räcker bara att fylla systemet med koefficienter och välja antalet okända variabler. matrismetod. Denna metod består i att samla in koefficienterna för de okända i matris A, de okända i kolumn X och de fria termerna i kolumn B. Således reduceras systemet med linjära ekvationer till matrisekvation av formen AxX=B. Denna ekvation har en unik lösning endast om determinanten för matrisen A är icke-noll, annars har systemet inga lösningar eller ett oändligt antal lösningar. Lösningen av ekvationer med matrismetoden är att hitta den inversa matrisen A.

I 7:ans matematikkurs träffar de först med ekvationer med två variabler, men de studeras endast i samband med ekvationssystem med två okända. Det är därför det är utom synhåll hela raden problem där vissa villkor införs på ekvationens koefficienter som begränsar dem. Dessutom ignoreras metoder för att lösa problem som "Lös en ekvation i naturliga tal eller heltal", även om ANVÄND material och vid inträdesproven stöter man allt oftare på problem av detta slag.

Vilken ekvation kommer att kallas en ekvation med två variabler?

Så till exempel är ekvationerna 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 eller xy = 12 tvåvariabler.

Betrakta ekvationen 2x - y = 1. Den förvandlas till en sann likhet vid x = 2 och y = 3, så detta par av variabelvärden är lösningen på ekvationen i fråga.

Således är lösningen av en ekvation med två variabler uppsättningen av ordnade par (x; y), värdena på variablerna som denna ekvation förvandlar till en sann numerisk likhet.

En ekvation med två okända kan:

a) har en lösning. Till exempel har ekvationen x 2 + 5y 2 = 0 en unik lösning (0; 0);

b) har flera lösningar. Till exempel, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 har 4 lösningar: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

i) har inga lösningar. Till exempel har ekvationen x 2 + y 2 + 1 = 0 inga lösningar;

G) har oändligt många lösningar. Till exempel, x + y = 3. Lösningarna till denna ekvation kommer att vara tal vars summa är 3. Mängden lösningar till denna ekvation kan skrivas som (k; 3 - k), där k är vilket reellt tal som helst.

De huvudsakliga metoderna för att lösa ekvationer med två variabler är metoder baserade på nedbrytning av uttryck i faktorer, val av en hel kvadrat, användning av egenskaperna hos en andragradsekvation, uttryckens avgränsning och utvärderingsmetoder. Ekvationen omvandlas som regel till en form från vilken ett system för att hitta okända kan erhållas.

Faktorisering

Exempel 1

Lös ekvationen: xy - 2 = 2x - y.

Beslut.

Vi grupperar termerna i syfte att faktorisera:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Ta ut den gemensamma faktorn från varje parentes:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Vi har:

y = 2, x är valfritt reellt tal eller x = -1, y är valfritt reellt tal.

Således, svaret är alla par av formen (x; 2), x € R och (-1; y), y € R.

Noll är det inte negativa tal

Exempel 2

Lös ekvationen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Beslut.

Gruppering:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nu kan varje parentes komprimeras med hjälp av kvadratskillnaden.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Summan av två icke-negativa uttryck är noll endast om 3x - 2 = 0 och 2y - 3 = 0.

Så x = 2/3 och y = 3/2.

Svar: (2/3; 3/2).

Utvärderingsmetod

Exempel 3

Lös ekvationen: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Beslut.

Välj hela fyrkanten i varje parentes:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Uppskattning betydelsen av uttrycken inom parentes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 och (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, då är den vänstra sidan av ekvationen alltid minst 2. Likhet är möjlig om:

(x + 1) 2 + 1 = 1 och (y - 2) 2 + 2 = 2, så x = -1, y = 2.

Svar: (-1; 2).

Låt oss bekanta oss med en annan metod för att lösa ekvationer med två variabler av andra graden. Denna metod är att ekvationen betraktas som kvadrat med avseende på någon variabel.

Exempel 4

Lös ekvationen: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Beslut.

Låt oss lösa ekvationen som en kvadratisk ekvation med avseende på x. Låt oss hitta diskriminanten:

D = 36-4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Ekvationen kommer att ha en lösning endast när D = 0, d.v.s. om y = 4. Vi ersätter värdet av y i den ursprungliga ekvationen och finner att x = 3.

Svar: (3; 4).

Ofta i ekvationer med två okända indikerar restriktioner för variabler.

Exempel 5

Lös ekvationen i heltal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Beslut.

Låt oss skriva om ekvationen i formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Den högra sidan av den resulterande ekvationen, dividerad med 5, ger en återstod av 2. Därför är x 2 inte delbart med 5. Men kvadraten av ett tal som inte är delbart med 5 ger en återstod av 1 eller 4. Sålunda är jämlikhet omöjlig och det finns inga lösningar.

Svar: inga rötter.

Exempel 6

Lös ekvationen: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Beslut.

Låt oss välja de fullständiga rutorna inom varje parentes:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vänster sida av ekvationen är alltid större än eller lika med 3. Likhet är möjlig om |x| – 2 = 0 och y + 3 = 0. Således, x = ± 2, y = -3.

Svar: (2; -3) och (-2; -3).

Exempel 7

För varje par negativa heltal (x; y) som uppfyller ekvationen
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beräkna summan (x + y). Svara på det minsta beloppet.

Beslut.

Välj hela rutor:

(x 2 - 2 xy + y 2) + (y 2 + 4 y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Eftersom x och y är heltal, är deras kvadrater också heltal. Summan av kvadraterna av två heltal, lika med 37, får vi om vi adderar 1 + 36. Därför:

(x - y) 2 = 36 och (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 och (y + 2) 2 = 36.

Genom att lösa dessa system och ta hänsyn till att x och y är negativa hittar vi lösningar: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Svar: -17.

Misströsta inte om du har svårt att lösa ekvationer med två okända. Med lite övning kommer du att kunna bemästra vilken ekvation som helst.

Har du några frågor? Vet du inte hur man löser ekvationer med två variabler?
För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Instruktion

Substitutionsmetod Uttryck en variabel och ersätt den med en annan ekvation. Du kan uttrycka vilken variabel du vill. Uttryck till exempel "y" från den andra ekvationen:
x-y=2 => y=x-2 Koppla sedan in allt i den första ekvationen:
2x+(x-2)=10 Flytta allt utan x till höger sida och räkna:
2x+x=10+2
3x=12 Därefter, för "x, dividera båda sidor av ekvationen med 3:
x=4. Så du har hittat "x. Hitta "at. För att göra detta, ersätt "x" i ekvationen från vilken du uttryckte "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Gör en kontroll. För att göra detta, ersätt de resulterande värdena i ekvationerna:
2*4+2=10
4-2=2
Okänd hittades korrekt!

Hur man adderar eller subtraherar ekvationer Bli av med valfri variabel på en gång. I vårt fall är detta lättare att göra med "y.
Eftersom "y" är "+" och i den andra "-", så kan du utföra additionsoperationen, d.v.s. Vi lägger till vänster sida till vänster och höger sida till höger:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertera:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Ersätt "x" i valfri ekvation och hitta "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Enligt den första metoden kan du hitta det du hittade korrekt.

Om det inte finns några tydligt definierade variabler är det nödvändigt att omvandla ekvationerna något.
I den första ekvationen har vi "2x", och i den andra bara "x. För att additionen eller "x ska minska, multiplicera den andra ekvationen med 2:
x-y=2
2x-2y=4 Subtrahera sedan den andra ekvationen från den första ekvationen:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
hitta y \u003d 2 "x genom att uttrycka från valfri ekvation, dvs.
x=4

Relaterade videoklipp

Tips 2: Hur man löser en linjär ekvation med två variabler

Ekvationen, skriven i allmän form ax + by + c \u003d 0, kallas en linjär ekvation med två variabler. En sådan ekvation innehåller i sig oändligt många lösningar, så i problem kompletteras den alltid med något - ytterligare en ekvation eller begränsningsvillkor. Beroende på de villkor som problemet ger, lös en linjär ekvation med två variabler skall olika sätt.

Du kommer behöva

• - linjär ekvation med två variabler;
• - andra ekvationen eller ytterligare villkor.

Instruktion

Givet ett system med två linjära ekvationer, lös det enligt följande. Välj en av ekvationerna där koefficienterna före variabler mindre och uttrycker en av variablerna, till exempel x. Anslut sedan det värde som innehåller y till den andra ekvationen. I den resulterande ekvationen kommer det bara att finnas en variabel y, flytta alla delar med y till vänster sida och de fria till höger. Hitta y och ersätt i någon av de ursprungliga ekvationerna, hitta x.

Det finns ett annat sätt att lösa ett system med två ekvationer. Multiplicera en av ekvationerna med ett tal så att koefficienten framför en av variablerna, till exempel framför x, är densamma i båda ekvationerna. Subtrahera sedan en av ekvationerna från den andra (om den högra sidan inte är 0, kom ihåg att subtrahera den högra sidan på samma sätt). Du kommer att se att variabeln x har försvunnit och bara ett y finns kvar. Lös den resulterande ekvationen och ersätt det funna värdet av y med någon av de ursprungliga likheterna. Hitta x.

Det tredje sättet att lösa ett system med två linjära ekvationer är grafiskt. Rita ett koordinatsystem och rita grafer av två räta linjer, vars ekvationer är indikerade i ditt system. För att göra detta, ersätt två valfria x-värden i ekvationen och hitta motsvarande y - dessa kommer att vara koordinaterna för punkterna som hör till linjen. Det är mest bekvämt att hitta skärningen med koordinataxlarna - ersätt bara värdena x=0 och y=0. Koordinaterna för skärningspunkten mellan dessa två linjer kommer att vara uppgifterna.

Om det bara finns en linjär ekvation i villkoren för problemet, så får du ytterligare villkor som gör att du kan hitta en lösning. Läs problemet noga för att hitta dessa tillstånd. Om en variabler x och y är distans, hastighet, vikt – ställ gärna in gränsen x≥0 och y≥0. Det är mycket möjligt att x eller y döljer antalet , äpplen, etc. – då kan värdena bara vara . Om x är sonens ålder är det klart att han inte kan vara det äldre än pappa, så specificera det i uppgiftsvillkoren.

Källor:

• hur man löser en ekvation med en variabel

Av sig själv ekvationen med tre okänd har många lösningar, så oftast kompletteras den med ytterligare två ekvationer eller villkor. Beroende på vilka de ursprungliga uppgifterna är, kommer beslutets gång till stor del att bero.

Du kommer behöva

• - ett system med tre ekvationer med tre okända.

Instruktion

Om två av de tre systemen bara har två av de tre okända, försök att uttrycka några av variablerna i termer av de andra och koppla in dem i ekvationen med tre okänd. Ditt mål med detta är att göra det till ett normalt ekvationen med det okända. Om detta är , är den ytterligare lösningen ganska enkel - ersätt det hittade värdet i andra ekvationer och hitta alla andra okända.

Vissa ekvationssystem kan subtraheras från en ekvation med en annan. Se om det är möjligt att multiplicera en av med eller en variabel så att två okända reduceras samtidigt. Om det finns en sådan möjlighet, använd den, troligen kommer det efterföljande beslutet inte att vara svårt. Glöm inte att när du multiplicerar med ett tal måste du multiplicera både vänster och höger sida. På samma sätt, när du subtraherar ekvationer, kom ihåg att den högra sidan också måste subtraheras.

Om de tidigare metoderna inte hjälpte, använd på ett allmänt sätt lösningar av alla ekvationer med tre okänd. För att göra detta, skriv om ekvationerna i formen a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Gör nu en matris av koefficienter vid x (A), en matris av okända (X) och en matris av fria (B). Var uppmärksam, multiplicera matrisen av koefficienter med matrisen av okända, du kommer att få en matris, en matris av fria medlemmar, det vill säga A * X \u003d B.

Hitta matrisen A till potensen (-1) efter att ha hittat , notera att den inte ska vara lika med noll. Efter det, multiplicera den resulterande matrisen med matris B, som ett resultat får du den önskade matrisen X, som indikerar alla värden.

Du kan också hitta en lösning på ett system med tre ekvationer med Cramer-metoden. För att göra detta, hitta den tredje ordningens determinant ∆ som motsvarar systemets matris. Hitta sedan successivt ytterligare tre determinanter ∆1, ∆2 och ∆3, och ersätt värdena för de fria termerna istället för värdena i motsvarande kolumner. Hitta nu x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Källor:

• ekvationslösningar med tre okända

Att lösa ett ekvationssystem är komplext och spännande. Ju mer komplext systemet är, desto mer intressant är det att lösa. Oftast i matematik gymnasium det finns ekvationssystem med två okända, men i högre matematik kan det finnas fler variabler. System kan lösas på flera sätt.

Instruktion

Den vanligaste metoden för att lösa ett ekvationssystem är substitution. För att göra detta måste du uttrycka en variabel genom en annan och ersätta den med den andra ekvationen system, vilket medför ekvationen till en variabel. Till exempel, givet ekvationerna: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Det är bekvämt att uttrycka en av variablerna från det andra uttrycket, överföra allt annat till höger sida av uttrycket, inte glömma att ändra tecknet för koefficienten: x = 3-y.

Vi öppnar parenteserna: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Det resulterande värdet på y ersätts i uttrycket: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

I det första uttrycket är alla medlemmar 2, du kan ta 2 från parentesen till den fördelande egenskapen för multiplikation: 2 * (2x-y-3) = 0. Nu kan båda delarna av uttrycket reduceras med detta tal och sedan uttrycka y, eftersom modulokoefficienten för det är lika med en: -y \u003d 3-2x eller y \u003d 2x-3.

Precis som i det första fallet ersätter vi detta uttryck med det andra ekvationen och vi får: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Ersätt det resulterande värdet i uttrycket: y=2x -3; y=4-3=1.

Vi ser att koefficienten vid y är densamma i värde, men olika i tecken, därför, om vi lägger till dessa ekvationer, kommer vi att helt bli av med y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. Vi ersätter värdet av x i någon av systemets två ekvationer och får y=1.

Relaterade videoklipp

Bisquare ekvationen representerar ekvationen fjärde graden allmän form som representeras av uttrycket ax^4 + bx^2 + c = 0. Dess lösning är baserad på användningen av metoden för substitution av okända. I det här fallet ersätts x^2 med en annan variabel. Resultatet är alltså en vanlig kvadrat ekvationen, som ska lösas.

Instruktion

Lös kvadraten ekvationen till följd av bytet. För att göra detta, beräkna först värdet i enlighet med formeln: D = b^2 ? 4ac. I det här fallet är variablerna a, b, c koefficienterna för vår ekvation.

Hitta rötterna till den biquadratiska ekvationen. För att göra detta, ta kvadratroten av de erhållna lösningarna. Om det fanns ett beslut, så kommer det att finnas två - positiva och negativ betydelse roten ur. Om det fanns två lösningar skulle den biquadratiska ekvationen ha fyra rötter.

Relaterade videoklipp

En av klassiska sätt att lösa system av linjära ekvationer är Gauss-metoden. Det består i successiv uteslutning av variabler, när ekvationssystemet omvandlas till ett stegsystem med hjälp av enkla transformationer, från vilka alla variabler hittas sekventiellt, med början med de sista.

Instruktion

Först först med ekvationssystemet till en sådan form när alla okända kommer att vara i en strikt definierad ordning. Till exempel kommer alla okända X:n först på varje rad, alla Y:n kommer efter X, alla Z:n kommer efter Y, och så vidare. Det bör inte finnas några okända på höger sida av varje ekvation. Bestäm mentalt koefficienterna framför varje okända, såväl som koefficienterna på höger sida av varje ekvation.

I den här videon kommer vi att analysera en hel uppsättning linjära ekvationer som löses med samma algoritm - det är därför de kallas de enklaste.

Till att börja med, låt oss definiera: vad är en linjär ekvation och vilken av dem ska kallas den enklaste?

En linjär ekvation är en där det bara finns en variabel, och endast i första graden.

Den enklaste ekvationen betyder konstruktionen:

Alla andra linjära ekvationer reduceras till de enklaste med hjälp av algoritmen:

1. Öppna parentes, om några;
2. Flytta termer som innehåller en variabel till ena sidan av likhetstecknet och termer utan variabel till den andra;
3. Ta liknande termer till vänster och höger om likhetstecknet;
4. Dividera den resulterande ekvationen med koefficienten för variabeln $x$ .

Naturligtvis hjälper denna algoritm inte alltid. Faktum är att ibland efter alla dessa bearbetningar visar sig koefficienten för variabeln $x$ vara lika med noll. I det här fallet är två alternativ möjliga:

1. Ekvationen har inga lösningar alls. Till exempel, när du får något som $0\cdot x=8$, dvs. till vänster är noll, och till höger är ett icke-nolltal. I videon nedan kommer vi att titta på flera anledningar till varför denna situation är möjlig.
2. Lösningen är alla siffror. Det enda fallet då detta är möjligt är när ekvationen har reducerats till konstruktionen $0\cdot x=0$. Det är ganska logiskt att oavsett vilka $x$ vi ersätter så får vi fortfarande "noll är lika med noll", d.v.s. korrekt numerisk likhet.

Och låt oss nu se hur det hela fungerar på exemplet med verkliga problem.

Exempel på att lösa ekvationer

Idag sysslar vi med linjära ekvationer, och bara de enklaste. I allmänhet betyder en linjär ekvation varje likhet som innehåller exakt en variabel, och den går bara till första graden.

Sådana konstruktioner löses på ungefär samma sätt:

1. Först och främst måste du öppna parenteserna, om några (som i vårt senaste exempel);
2. Ta sedan med liknande
3. Slutligen isolera variabeln, dvs. allt som är kopplat till variabeln - de termer som den finns i - överförs till ena sidan, och allt som förblir utan den överförs till den andra sidan.

Då måste du som regel ta med liknande på varje sida av den resulterande likheten, och efter det återstår bara att dividera med koefficienten vid "x", så får vi det slutliga svaret.

I teorin ser detta snyggt och enkelt ut, men i praktiken kan även erfarna gymnasieelever göra kränkande misstag i ganska enkla linjära ekvationer. Vanligtvis görs misstag antingen när man öppnar parenteser eller när man räknar "plus" och "minus".

Dessutom händer det att en linjär ekvation inte har några lösningar alls, eller så att lösningen är hela tallinjen, d.v.s. vilket nummer som helst. Vi kommer att analysera dessa subtiliteter i dagens lektion. Men vi börjar, som du redan förstått, med det mesta enkla uppgifter.

Schema för att lösa enkla linjära ekvationer

Till att börja med, låt mig återigen skriva hela schemat för att lösa de enklaste linjära ekvationerna:

1. Utöka eventuella parenteser.
2. Avskilj variabler, d.v.s. allt som innehåller "x" överförs till ena sidan och utan "x" - till den andra.
3. Vi presenterar liknande termer.
4. Vi dividerar allt med koefficienten vid "x".

Naturligtvis fungerar det här schemat inte alltid, det har vissa finesser och knep, och nu kommer vi att lära känna dem.

Lösa verkliga exempel på enkla linjära ekvationer

Uppgift 1

I det första steget måste vi öppna fästena. Men de finns inte i det här exemplet, så vi hoppar över det här steget. I det andra steget måste vi isolera variablerna. Notera: vi pratar endast om enskilda komponenter. Låt oss skriva:

Vi ger liknande termer till vänster och till höger, men det har redan gjorts här. Därför går vi vidare till det fjärde steget: dividera med en faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Här fick vi svaret.

Uppgift #2

I den här uppgiften kan vi observera parenteserna, så låt oss utöka dem:

Både till vänster och till höger ser vi ungefär samma konstruktion, men låt oss agera enligt algoritmen, d.v.s. sequester variabler:

Här är några som:

Vid vilka rötter fungerar detta? Svar: för alla. Därför kan vi skriva att $x$ är vilket tal som helst.

Uppgift #3

Den tredje linjära ekvationen är redan mer intressant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det finns några parenteser här, men de multipliceras inte med någonting, de står bara framför dem olika tecken. Låt oss dela upp dem:

Vi utför det andra steget som vi redan känner till:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Låt oss räkna ut:

Vi utför det sista steget - vi delar allt med koefficienten vid "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Saker att komma ihåg när du löser linjära ekvationer

Om vi ​​ignorerar alltför enkla uppgifter, så skulle jag vilja säga följande:

• Som jag sa ovan har inte alla linjära ekvationer en lösning - ibland finns det helt enkelt inga rötter;
• Även om det finns rötter kan noll komma in bland dem - det är inget fel med det.

Noll är samma tal som resten, du ska inte på något sätt särskilja det eller anta att om du får noll så har du gjort något fel.

En annan funktion är relaterad till utvidgningen av parenteser. Observera: när det finns ett "minus" framför dem tar vi bort det, men inom parentes ändrar vi tecknen till motsatt. Och sedan kan vi öppna det enligt standardalgoritmer: vi kommer att få vad vi såg i beräkningarna ovan.

Förstår detta enkelt faktum kommer att hålla dig från att göra dumma och sårande misstag i gymnasiet när att göra sådana saker tas för givet.

Lösa komplexa linjära ekvationer

Låt oss gå vidare till mer komplexa ekvationer. Nu kommer konstruktionerna att bli mer komplicerade och en kvadratisk funktion kommer att dyka upp när man utför olika transformationer. Du bör dock inte vara rädd för detta, för om vi, enligt författarens avsikt, löser en linjär ekvation, kommer alla monomialer som innehåller en kvadratisk funktion nödvändigtvis att reduceras i transformationsprocessen.

Exempel #1

Självklart är det första steget att öppna fästena. Låt oss göra detta mycket noggrant:

Låt oss nu ta integritet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Här är några som:

Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar, så i svaret skriver vi som följer:

\[\variation \]

eller inga rötter.

Exempel #2

Vi utför samma steg. Första steget:

Låt oss flytta allt med en variabel till vänster och utan den - till höger:

Här är några som:

Uppenbarligen har denna linjära ekvation ingen lösning, så vi skriver det så här:

\[\varnothing\],

eller inga rötter.

Nyanser av lösningen

Båda ekvationerna är helt lösta. I exemplet med dessa två uttryck såg vi återigen till att även i de enklaste linjära ekvationerna kan allt inte vara så enkelt: det kan vara antingen en, eller ingen, eller oändligt många. I vårt fall övervägde vi två ekvationer, i båda finns det helt enkelt inga rötter.

Men jag skulle vilja uppmärksamma dig på ett annat faktum: hur man arbetar med konsoler och hur man öppnar dem om det finns ett minustecken framför dem. Tänk på detta uttryck:

Innan du öppnar måste du multiplicera allt med "x". Observera: multiplicera varje enskild termin. Inuti finns två termer - respektive två termer och multipliceras.

Och först efter att dessa till synes elementära, men mycket viktiga och farliga omvandlingar har slutförts, kan konsolen öppnas från synpunkten att det finns ett minustecken efter det. Ja, ja: först nu, när omvandlingarna är gjorda, kommer vi ihåg att det står ett minustecken framför parentesen, vilket betyder att allt neråt bara byter tecken. Samtidigt försvinner själva fästena och, viktigast av allt, det främre "minuset" försvinner också.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen:

Det är ingen slump att jag uppmärksammar dessa små, till synes obetydliga fakta. För att lösa ekvationer är alltid en sekvens av elementära transformationer, där oförmågan att tydligt och kompetent utföra enkla handlingar leder till att gymnasieelever kommer till mig och lär sig lösa sådana enkla ekvationer igen.

Naturligtvis kommer dagen när du kommer att finslipa dessa färdigheter till automatism. Du behöver inte längre utföra så många transformationer varje gång, du kommer att skriva allt på en rad. Men medan du bara lär dig måste du skriva varje åtgärd separat.

Lösa ännu mer komplexa linjära ekvationer

Det vi ska lösa nu kan knappast kallas för den enklaste uppgiften, men innebörden förblir densamma.

Uppgift 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Låt oss multiplicera alla element i den första delen:

Låt oss göra en retreat:

Här är några som:

Låt oss göra det sista steget:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Här är vårt sista svar. Och trots det faktum att vi i processen att lösa hade koefficienter med en kvadratisk funktion, men de förstördes ömsesidigt, vilket gör ekvationen exakt linjär, inte kvadratisk.

Uppgift #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Låt oss göra det första steget noggrant: multiplicera varje element i den första parentesen med varje element i den andra. Totalt bör fyra nya termer erhållas efter transformationer:

Och utför nu noggrant multiplikationen i varje term:

Låt oss flytta termerna med "x" till vänster och utan - till höger:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Här är liknande termer:

Vi har fått ett definitivt svar.

Nyanser av lösningen

Den viktigaste anmärkningen om dessa två ekvationer är följande: så fort vi börjar multiplicera parentes där det finns en term större än den, så görs detta enl. nästa regel: vi tar den första termen från den första och multiplicerar med varje element från den andra; sedan tar vi det andra elementet från det första och multiplicerar på liknande sätt med varje element från det andra. Som ett resultat får vi fyra mandatperioder.

På den algebraiska summan

Med det sista exemplet skulle jag vilja påminna eleverna om vad en algebraisk summa är. I klassisk matematik menar vi med $1-7$ en enkel konstruktion: vi subtraherar sju från en. I algebra menar vi med detta följande: till talet "ett" lägger vi till ytterligare ett tal, nämligen "minus sju." Denna algebraiska summa skiljer sig från den vanliga aritmetiska summan.

Så snart du när du utför alla transformationer, varje addition och multiplikation, börjar se konstruktioner som liknar de som beskrivs ovan, du kommer helt enkelt inte att ha några problem i algebra när du arbetar med polynom och ekvationer.

Avslutningsvis, låt oss titta på ytterligare ett par exempel som kommer att vara ännu mer komplexa än de vi just tittade på, och för att lösa dem måste vi utöka vår standardalgoritm något.

Lösa ekvationer med bråk

För att lösa sådana uppgifter måste ytterligare ett steg läggas till vår algoritm. Men först ska jag påminna vår algoritm:

1. Öppna parentes.
2. Separata variabler.
3. Ta med liknande.
4. Dividera med en faktor.

Tyvärr är denna underbara algoritm, trots all sin effektivitet, inte helt lämplig när vi har bråkdelar framför oss. Och i det vi kommer att se nedan har vi en bråkdel till vänster och till höger i båda ekvationerna.

Hur ska man jobba i det här fallet? Ja, det är väldigt enkelt! För att göra detta måste du lägga till ett steg till i algoritmen, som kan utföras både före den första åtgärden och efter den, nämligen bli av med bråk. Algoritmen blir alltså följande:

1. Bli av med bråk.
2. Öppna parentes.
3. Separata variabler.
4. Ta med liknande.
5. Dividera med en faktor.

Vad innebär det att "bli av med bråkdelar"? Och varför är det möjligt att göra detta både efter och före det första standardsteget? Faktum är att i vårt fall är alla bråk numeriska i termer av nämnaren, d.v.s. överallt är nämnaren bara ett tal. Därför, om vi multiplicerar båda delarna av ekvationen med detta tal, kommer vi att bli av med bråk.

Exempel #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Låt oss bli av med bråken i denna ekvation:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Observera: allt multipliceras med "fyra" en gång, dvs. bara för att du har två parenteser betyder det inte att du måste multiplicera var och en av dem med "fyra". Låt oss skriva:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Låt oss nu öppna det:

Vi utför avskildhet av en variabel:

Vi genomför minskningen av liknande villkor:

\[-4x=-1\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den slutliga lösningen, vi går vidare till den andra ekvationen.

Exempel #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Här utför vi alla samma åtgärder:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet löst.

Det var faktiskt allt jag ville berätta idag.

Nyckelord

De viktigaste resultaten är följande:

• Känna till algoritmen för att lösa linjära ekvationer.
• Möjlighet att öppna konsoler.
• Oroa dig inte om du någonstans har kvadratiska funktioner, troligtvis kommer de att minska i processen med ytterligare transformationer.
• Rötterna i linjära ekvationer, även de enklaste, är av tre typer: en enda rot, hela tallinjen är en rot, det finns inga rötter alls.

Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att bemästra ett enkelt, men mycket viktigt ämne för ytterligare förståelse av all matematik. Om något inte är klart, gå till webbplatsen, lös exemplen som presenteras där. Håll utkik, det finns många fler intressanta saker som väntar på dig!