Irrationella ekvationer. En uttömmande guide. Transformationer av irrationella uttryck
Irrationella uttryck och deras förvandlingar
Förra gången kom vi ihåg (eller fick reda på - hur någon gillar det) vad som är , lärde sig hur man extraherar sådana rötter, tog isär rötternas huvudegenskaper bit för bit och bestämde sig för att inte komplexa exempel med rötter.
Den här lektionen kommer att vara en fortsättning på den föregående och kommer att ägnas åt omvandlingen av en mängd olika uttryck som innehåller alla typer av rötter. Sådana uttryck kallas irrationell. Här kommer det att finnas uttryck med bokstäver, och ytterligare villkor, och att bli av med irrationalitet i bråktal, och några avancerade knep i att arbeta med rötter. De tekniker som kommer att övervägas i den här lektionen kommer att bli en bra grund för att lösa problem med ANVÄNDNING (och inte bara) av nästan alla nivåer av komplexitet. Så låt oss börja.
Först och främst ska jag här duplicera de grundläggande formlerna och egenskaperna för rötterna. För att inte hoppa från ämne till ämne. Här är de:
på
Dessa formler måste vara kända och kunna tillämpas. Och åt båda håll - både från vänster till höger och från höger till vänster. Det är på dem som lösningen av de flesta uppgifter med rötter av någon grad av komplexitet är baserad. Låt oss börja med det enklaste - med direkt tillämpning av formler eller deras kombinationer.
Enkel tillämpning av formler
I den här delen kommer enkla och ofarliga exempel att övervägas - utan bokstäver, ytterligare villkor och andra knep. Men även i dem finns det som regel alternativ. Och ju mer fancy exemplet är, desto fler sådana alternativ. Och det har en oerfaren student huvudproblemet– var ska man börja? Svaret här är enkelt - du vet inte vad du ska göra, gör vad du kan. Om bara dina handlingar gick i fred och harmoni med matematikens regler och inte motsade dem.) Till exempel en sådan uppgift:
Beräkna:
Även i ett så enkelt exempel är flera vägar till svaret möjliga.
Den första är att helt enkelt multiplicera rötterna med den första egenskapen och extrahera roten från resultatet:
Det andra alternativet är detta: rör inte, arbeta med . Vi tar ut faktorn under rotens tecken, och sedan - enligt den första egenskapen. Så här:
Du kan bestämma vilken du vill. I något av alternativen är svaret ett - åtta. Till exempel är det lättare för mig att multiplicera 4 och 128 och få 512, och kubroten extraheras perfekt från detta tal. Om någon inte kommer ihåg att 512 är 8 kub, så spelar det ingen roll: du kan skriva 512 som 2 9 (de första 10 potenserna av två, hoppas jag du kommer ihåg?) Och med hjälp av formeln för gradens rot:
Ett annat exempel.
Beräkna: .
Om du arbetar på den första fastigheten (kör allt under en rot), så får du ett rejält antal, från vilket roten sedan utvinns - inte heller socker. Och det är inte ett faktum att det kommer att extraheras jämnt.) Därför är det användbart här att ta bort faktorer från roten i numret. Och ta det till max:
Och nu är allt bra:
Det återstår att skriva ner de åtta och de två under en rot (enligt den första egenskapen) och - ärendet är klart. :)
Låt oss nu lägga till några bråk.
Beräkna:
Exemplet är ganska primitivt, men det har också alternativ. Du kan använda multiplikatorn för att konvertera täljaren och minska med nämnaren:
Och du kan omedelbart använda formeln för att dela rötterna:
Som du kan se, det här och det - allt är rätt.) Om du inte snubblar halvvägs och gör ett misstag. Men var är felet här...
Låt oss nu överväga det senaste exemplet på läxa sista lektionen:
Förenkla:
En helt otänkbar uppsättning rötter, och även kapslade sådana. Hur man är? Det viktigaste är att inte vara rädd! Här lägger vi först märke till under rötterna till talen 2, 4 och 32 - tvåpotenser. Det första du ska göra är att få alla siffror till tvåor: trots allt, ju fler identiska siffror i exemplet och ju färre olika desto lättare.) Låt oss börja separat med den första faktorn:
Antalet kan förenklas genom att reducera de två under roten med de fyra i rotexponenten:
Nu, enligt roten till arbetet:
.
I talet tar vi ut tvåan för rotens tecken:
Och vi behandlar uttrycket enligt formeln för roten från roten:
Så den första faktorn kommer att skrivas så här:
De kapslade rötterna har försvunnit, antalet har blivit mindre, vilket redan är glädjande. Det är bara att rötterna är olika, men för tillfället låter vi det vara så. Det kommer att vara nödvändigt - vi kommer att konvertera till detsamma. Vi tar den andra faktorn.)
Vi transformerar den andra faktorn på samma sätt, enligt formeln för roten från produkten och roten från roten. Vid behov minskar vi indikatorerna enligt den femte formeln:
Vi klistrar in allt i originalexemplet och får:
Vi fick produkten av ett helt gäng helt olika rötter. Det skulle vara trevligt att få dem alla till en indikator, så får vi se. Tja, det är fullt möjligt. Det största av rotindexen är 12, och alla övriga - 2, 3, 4, 6 - är divisorer av talet 12. Därför kommer vi att ta alla rötter enligt den femte egenskapen till en indikator - till 12:
Vi räknar och får:
Vi fick inget bra nummer, men det är bra. Vi blev tillfrågade förenkla uttryck, inte räkna. Förenklat? Säkert! Och typen av svar (heltal eller inte) spelar ingen roll här.
Vissa addition/subtraktion och förkortade multiplikationsformler
Tyvärr, allmänna formler för lägga till och subtrahera rötter inte i matematik. Men i uppgifter finns dessa åtgärder mycket ofta med rötter. Här är det nödvändigt att förstå att alla rötter är exakt samma matematiska ikoner som bokstäver i algebra.) Och samma tekniker och regler gäller för rötter som för bokstäver - öppnande parenteser, att ta med liknande, förkortade multiplikationsformler, etc. P.
Det är till exempel tydligt för alla att . Liknande det samma Rötter kan enkelt läggas till/subtraheras mellan sig:
Om rötterna är olika, så letar vi efter ett sätt att göra dem lika - genom att lägga till / ta bort en faktor eller genom den femte egenskapen. Om ja, det förenklar inte på något sätt, då kanske omvandlingarna är svårare.
Låt oss titta på det första exemplet.
Hitta värdet på uttrycket: .
Alla tre rötterna, även om de är kubiska, är annorlunda tal. De extraheras inte rent och läggs till/subtraheras från varandra. Därför fungerar inte tillämpningen av allmänna formler här. Hur man är? Och låt oss ta ut faktorerna i varje rot. Det kommer i alla fall inte att bli värre.) Dessutom finns det faktiskt inga andra alternativ:
Det är, .
Det är hela lösningen. Här flyttade vi från olika rötter till samma med hjälp av tar ut multiplikatorn under roten. Och så tog de bara med sig liknande.) Vi bestämmer oss vidare.
Hitta värdet på ett uttryck:
Med en rot på sjutton finns det definitivt inget du kan göra åt det. Vi arbetar enligt den första egenskapen - vi gör en rot från produkten av två rötter:
Låt oss nu ta en närmare titt. Vad har vi under den stora kubroten? Skillnaden är kva.. Jo såklart! Kvadratisk skillnad:
Nu återstår bara att extrahera roten: .
Beräkna:
Här måste man visa matematisk uppfinningsrikedom.) Vi tänker ungefär så här: "Så, i exemplet, produkten av rötterna. Under en rot finns skillnaden, och under den andra är summan. Mycket lik formeln för skillnaden mellan kvadrater. Men... rötterna är olika! Den första är fyrkantig, och den andra är av fjärde graden ... Det skulle vara trevligt att göra dem likadana. Genom den femte fastigheten kan man enkelt från roten ur gör en fjärde rot. För att göra detta räcker det med att kvadrera rotuttrycket.
Om du tänkte på samma sak, då är du halvvägs till framgång. Ganska rätt! Låt oss förvandla den första faktorn till den fjärde roten. Så här:
Nu kan ingenting göras, men du måste komma ihåg formeln för kvadraten på skillnaden. Endast när den appliceras på rötter. Än sen då? Varför är rötter värre än andra siffror eller uttryck?! Vi bygger:
"Hmm, ja, de byggde det, så vad? Rädisa pepparrot är inte sötare. Sluta! Och om du tar ut de fyra under roten? Då kommer samma uttryck som under den andra roten, bara med ett minus, och det är precis vad vi försöker uppnå!
Rätt! Låt oss få fyra:
.
Och nu - en fråga om teknik:
Det är så komplexa exempel nystas upp.) Nu är det dags att öva med bråk.
Beräkna:
Det är tydligt att det är nödvändigt att omvandla täljaren. På vilket sätt? Enligt formeln på summans kvadrat, förstås. Har vi några andra alternativ? :) Kvadrering, ta ut multiplikatorer, reducering av indikatorer (vid behov):
På vilket sätt! Vi fick exakt nämnaren för vårt bråk.) Så hela bråket är uppenbarligen lika med ett:
Ett annat exempel. Först nu till en annan formel för förkortad multiplikation.)
Beräkna:
Det är klart att kvadraten på skillnaden måste tillämpas i näringslivet. Vi skriver ut nämnaren separat och - låt oss gå!
Vi tar ut multiplikatorerna under rötterna:
Därav,
Nu är allt dåligt reducerat utmärkt och det visar sig:
Nåväl, låt oss gå till nästa nivå. :)
Brev och tilläggsvillkor
Bokstavsuttryck med rötter är en knepigare sak än numeriska uttryck, och är en outtömlig källa till irriterande och mycket grova fel. Låt oss blockera denna källa.) Fel dyker upp på grund av att negativa tal och uttryck ofta förekommer i sådana uppgifter. De ges antingen till oss direkt i uppgiften, eller gömda i brev och tilläggsvillkor. Och i processen att arbeta med rötterna måste vi hela tiden komma ihåg det i rötterna jämn grad både under själva roten och som ett resultat av att extrahera roten bör vara icke-negativt uttryck. Nyckelformeln i uppgifterna i detta stycke kommer att vara den fjärde formeln:
Med rötter av en udda grad finns det inga frågor - allt extraheras alltid där med ett plus, med ett minus. Och minus, om något, förs fram. Vi kommer omedelbart att ta itu med rötterna även grader.) Till exempel en så kort uppgift.
Förenkla: , om .
Det verkar som att allt är enkelt. Det kommer att visa sig bara x.) Men varför då ytterligare villkor ? I sådana fall är det användbart att uppskatta med siffror. Rent för mig själv.) Om, då är x ett negativt tal. Minus tre till exempel. Eller minus fyrtio. Låt vara . Kan du höja minus tre till fjärde potens? Säkert! Det visar sig 81. Är det möjligt att extrahera roten av fjärde graden från 81? Varför inte? Burk! Få tre. Låt oss nu analysera hela vår kedja:
Vad ser vi? Ingången var negativ och utsignalen var positiv. Det var minus tre, nu är det plus tre.) Låt oss återgå till bokstäverna. Utan tvekan, modulo kommer det att vara exakt X, men bara X själv är med ett minus (efter villkor!), Och resultatet av extraktion (på grund av den aritmetiska roten!) Bör vara med ett plus. Hur får man ett plus? Väldigt enkelt! För detta räcker det innan negativt tal sätt ett minus.) Och rätt lösning ser ut så här:
Förresten, om vi använde formeln, då vi kommer ihåg definitionen av modulen, skulle vi omedelbart få rätt svar. I den mån som
|x| = -x vid x<0.
Ta bort faktorn från rottecknet: , var .
Den första titten är på rotuttrycket. Allt är OK här. Det kommer i alla fall att vara icke-negativt. Vi börjar extrahera. Enligt formeln för produktens rot extraherar vi roten från varje faktor:
Varifrån modulerna kom tror jag att det inte längre är nödvändigt att förklara.) Och nu analyserar vi var och en av modulerna.
Multiplikator | a | så vi lämnar det oförändrat: vi har inget villkor på breveta. Vi vet inte om det är positivt eller negativt. Nästa modul |b 2 | kan säkert utelämnas: i alla fall uttrycketb 2 icke-negativ. Och vad sägs om |c 3 | - detta är redan ett problem.) Om, sedan och c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть med ett minus: | c 3 | = - c 3 . Så den korrekta lösningen skulle vara:
Och nu - den omvända uppgiften. Inte det lättaste, jag varnar dig direkt!
Ange en faktor under rotens tecken: .
Om du direkt skriver lösningen så här
sen du föll i en fälla. Detta är fel beslut! Vad är problemet?
Låt oss ta en titt på uttrycket under roten. Under roten av den fjärde graden, som vi vet, bör vara icke-negativ uttryck. Annars har roten ingen betydelse.) Därför, Och detta betyder i sin tur att och därför i sig också är icke-positiv: .
Och felet här är att vi tar under roten icke-positiva siffra: den fjärde kraften förvandlar den till icke-negativ och ett felaktigt resultat erhålls - ett avsiktligt minus till vänster och redan ett plus till höger. Och föra under roten även examen har vi bara rätt icke-negativ siffror eller uttryck. Och lämna minus, om något, framför roten.) Hur kan vi välja en icke-negativ faktor i antalet, att veta att det i sig är negativt? Ja, exakt samma! Sätt ett minus.) Och så att ingenting har förändrats, kompensera för det med ytterligare ett minus. Så här:
Och nu icke-negativ numret (-b) skrivs lugnt in under roten enligt alla regler:
Detta exempel visar tydligt att, till skillnad från andra grenar av matematiken, det korrekta svaret i rötterna inte alltid följer automatiskt från formlerna. Du måste tänka och personligen fatta rätt beslut.) Du bör särskilt vara mer försiktig med inloggningarna irrationella ekvationer och ojämlikheter.
Vi behandlar följande viktiga teknik för att arbeta med rötter - bli av med irrationalitet.
Att bli av med irrationalitet i bråk
Om det finns rötter i uttrycket, så, låt mig påminna dig, kallas ett sådant uttryck uttryck med irrationalitet. I vissa fall är det användbart att bli av med just denna irrationalitet (dvs. rötter). Hur kan du eliminera roten? Vår rot försvinner när ... höjer sig till en makt. Med en exponent som antingen är lika med rotens exponent eller en multipel av den. Men om vi höjer roten till en potens (dvs multiplicerar roten med sig själv det antal gånger som krävs), kommer uttrycket att ändras från detta. Inte bra.) Men inom matematiken finns det ämnen där multiplikation är ganska smärtfritt. I bråk till exempel. Enligt den grundläggande egenskapen för ett bråk, om täljaren och nämnaren multipliceras (divideras) med samma tal, kommer värdet på bråket inte att ändras.
Antag att vi får följande bråkdel:
Går det att bli av med roten i nämnaren? Burk! För att göra detta måste roten kuberas. Vad saknar vi i nämnaren för hela kuben? Vi saknar multiplikatorn , dvs.. Så vi multiplicerar täljaren och nämnaren för bråket med
Roten i nämnaren har försvunnit. Men... han dök upp i täljaren. Det finns inget att göra, sådant är ödet.) Detta är inte längre viktigt för oss: vi ombads att befria nämnaren från rötterna. Släppte? Otvivelaktigt.)
Förresten, de som redan är på kant med trigonometri kan ha uppmärksammat det faktum att de i vissa läroböcker och tabeller, till exempel, betecknar annorlunda: någonstans, men någonstans. Frågan är vad som är rätt? Svar: allt stämmer!) Om du gissar såär helt enkelt resultatet av befrielse från irrationaliteten i bråkets nämnare. :)
Varför ska vi befria oss från irrationalitet i bråkdelar? Vilken skillnad gör det om roten finns i täljaren eller i nämnaren? Kalkylatorn kommer att räkna ut allt ändå.) Tja, för dem som inte skiljer sig från miniräknaren är det praktiskt taget ingen skillnad ... Men även om du räknar med räknaren kan du vara uppmärksam på det faktum att dela med sig på hela nummer är alltid bekvämare och snabbare än irrationell. Och jag kommer att hålla tyst om uppdelningen i en kolumn.)
Följande exempel kommer bara att bekräfta mina ord.
Hur tar man bort kvadratroten i nämnaren här? Om täljaren och nämnaren multipliceras med uttrycket, så blir nämnaren kvadraten på summan. Summan av kvadraterna av de första och andra talen ger oss bara siffror utan några rötter, vilket är mycket glädjande. Men... det kommer att dyka upp dubbel produkt den första siffran till den andra, där roten av tre fortfarande finns kvar. Kanaliserar inte. Hur man är? Kom ihåg en annan underbar formel för förkortad multiplikation! Där det inte finns några dubbla produkter, utan bara rutor:
Ett sådant uttryck, som, när det multipliceras med någon summa (eller skillnad), leder till skillnad på rutor, även kallad konjugerat uttryck. I vårt exempel kommer det adjoint uttrycket att vara skillnaden . Så vi multiplicerar täljaren och nämnaren med denna skillnad:
Vad kan man säga här? Som ett resultat av våra manipulationer försvann inte bara roten till nämnaren – bråkdelen försvann i allmänhet! :) Även med en miniräknare är det lättare att subtrahera roten av tre från tre än att räkna ett bråk med en rot i nämnaren. Ett annat exempel.
Bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk:
Hur tar man sig ut här? De förkortade multiplikationsformlerna med kvadrater fungerar inte direkt - det kommer inte att vara möjligt att helt eliminera rötterna på grund av att vår rot denna gång inte är kvadratisk, men kubisk. Det är nödvändigt att roten på något sätt höjs till en kub. Därför är det nödvändigt att tillämpa några av formlerna med kuber. Vad? Låt oss tänka. Nämnaren är summan. Hur uppnår vi kubroten? Multiplicera med ofullständig kvadratskillnad! Så vi kommer att tillämpa formeln summor av kuber. Den här:
Som a vi har tre, och som bär kubroten av fem:
Och återigen försvann bråket.) Sådana situationer, när, när de befrias från irrationalitet i bråkets nämnare, själva bråket helt försvinner tillsammans med rötterna, är mycket vanliga. Vad tycker du om det här exemplet!
Beräkna:
Försök bara lägga till dessa tre bråk! Inga misstag! :) En gemensam nämnare är värd något. Men vad händer om vi försöker bli av med irrationaliteten i nämnaren för varje bråkdel? Nåväl, låt oss försöka:
Wow, vad intressant! Alla fraktioner är borta! Helt och hållet. Och nu är exemplet löst i två punkter:
Enkelt och elegant. Och utan långa och tråkiga beräkningar. :)
Det är därför driften av befrielse från irrationalitet i bråkdelar måste kunna utföras. I sådana tjusiga exempel är det bara hon som sparar, ja.) Ingen avbröt förstås uppmärksamhet. Det finns uppgifter där de uppmanas att bli av med irrationalitet i täljare. Dessa uppgifter skiljer sig inte från de som betraktas, bara täljaren rensas från rötterna.)
Mer komplexa exempel
Det återstår att överväga några speciella tekniker för att arbeta med rötter och öva på att reda ut inte de enklaste exemplen. Och då kommer den mottagna informationen redan att räcka för att lösa uppgifter med rötter av vilken komplexitetsnivå som helst. Så – varsågod.) Låt oss först ta reda på vad vi ska göra med kapslade rötter när rotformeln från roten inte fungerar. Till exempel, här är ett exempel.
Beräkna:
Roten under roten ... Dessutom, under rötterna finns summan eller skillnaden. Därför är formeln för roten från roten (med multiplikation av indikatorer) här Det fungerar inte. Så något måste göras åt radikala uttryck S: Vi har helt enkelt inga andra alternativ. I sådana exempel är oftast under en stor rot krypterad hel fyrkant något belopp. Eller skillnader. Och roten av kvadraten är redan perfekt extraherad! Och nu är vår uppgift att dechiffrera det.) En sådan dekryptering är vackert genomförd ekvationssystem. Nu kan du se själv.)
Så, under den första roten har vi detta uttryck:
Tänk om du inte gissade? Låt oss kolla! Kvadratera med summakvadratformeln:
Det stämmer.) Men ... Var fick jag det här uttrycket ifrån? Från skyn?
Nej.) Vi kommer att få det lite lägre ärligt talat. Bara genom att använda detta uttryck visar jag exakt hur kompilatorerna av uppgifter krypterar sådana rutor. :) Vad är 54? Detta är summan av kvadraterna av det första och andra talet. Och var uppmärksam, redan utan rötter! Men roten finns kvar dubbel produkt, vilket i vårt fall är lika med . Att reda ut sådana exempel börjar därför med en sökning efter en dubbelprodukt. Om du nystar upp med det vanliga urvalet. Och förresten, om skyltar. Allt är enkelt här. Om tidigare fördubblats plus, då kvadraten på summan. Om minus, då skillnaden.) Vi har ett plus - vilket betyder kvadraten på summan.) Och nu - den utlovade analytiska metoden för avkodning. genom systemet.)
Så, under vår rot, hänger uttrycket helt klart ut (a+b) 2, och vår uppgift är att hitta a och b. I vårt fall ger summan av kvadraterna 54. Så vi skriver:
Nu fördubblar produkten. Vi har det. Så vi skriver:
Vi har följande system:
Vi löser med den vanliga ersättningsmetoden. Vi uttrycker till exempel från den andra ekvationen och ersätter i den första:
Låt oss lösa den första ekvationen:
Fick bi-kvadrat ekvation föra . Vi anser diskriminanten:
Betyder att,
Vi fick så många som fyra möjliga värdena. Vi är inte rädda. Nu ska vi sålla bort allt som är överflödigt.) Om vi nu beräknar motsvarande värden för vart och ett av de fyra hittade värdena får vi fyra lösningar till vårt system. Här är de:
Och då är frågan – vilken av lösningarna passar oss? Låt oss tänka. Negativa lösningar kan omedelbart förkastas: vid kvadrering kommer minusen att "brännas ut", och hela det radikala uttrycket kommer inte att förändras som helhet.) De två första alternativen kvarstår. Du kan välja dem helt godtyckligt: summan ändras inte från omordningen av termerna ändå.) Låt till exempel , och .
Totalt fick vi kvadraten av följande belopp under roten:
Allt är klart.)
Det är inte för inte som jag beskriver förloppet av lösningen så detaljerat. För att tydliggöra hur dekrypteringen sker.) Men det finns ett problem. Den analytiska metoden för avkodning, även om den är tillförlitlig, är mycket lång och besvärlig: du måste lösa en biquadratisk ekvation, skaffa fyra lösningar till systemet och sedan fundera på vilka du ska välja ... Besvärligt? Jag håller med, det är svårt. Denna metod fungerar felfritt i de flesta av dessa exempel. Men det är ofta bra att skära ner på ditt arbete och hitta båda siffrorna kreativt. Urval.) Ja, ja! Nu, med hjälp av exemplet med den andra termen (den andra roten), kommer jag att visa ett enklare och snabbare sätt att välja hela kvadraten under roten.
Så nu har vi denna rot: 
.
Vi tänker så här: "Under roten finns troligen en krypterad hel fyrkant. Tider framför ett fördubblat minus betyder kvadraten på skillnaden. Summan av kvadraterna av det första och andra talet ger oss talet 54. Men vad är dessa rutor? 1 och 53? 49 och 5 ? För många alternativ ... Nej, det är bättre att börja nysta upp med en dubbelprodukt. Vårkan skrivas som . En gång ett verk dubbel, då avvisar vi omedelbart tvåan. Sedan kandidaterna till rollen a och b förblir 7 och . Och plötsligt är det 14 och/2 ? Ej utesluten. Men vi börjar alltid med en enkel! Så låt, a. Låt oss kontrollera dem för summan av kvadrater:
Hände! Så vårt rotuttryck är faktiskt kvadraten på skillnaden:
Här finns ett sådant vägljus, för att inte bråka med systemet. Det fungerar inte alltid, men i många sådana exempel räcker det. Så under rötterna finns fulla rutor. Det återstår bara att extrahera rötterna korrekt och räkna exemplet:
Och låt oss nu analysera en ännu mer icke-standardiserad uppgift i rötterna.)
Bevisa att siffran Aär ett heltal if .
Ingenting extraheras direkt, rötterna är kapslade, och även av olika grader ... Mardröm! Men uppgiften är vettig.) Därför finns det en nyckel till dess lösning.) Och här är nyckeln. Tänk på vår jämlikhet
som ekvation för A. Jaja! Det skulle vara skönt att bli av med rötterna. Våra rötter är kubiska, så låt oss höja båda sidor av ekvationen till en kub. Enligt formeln summakub:
Kuber och kubikrötter kompenserar varandra, och under varje stor rot tar vi en parentes från kvadraten och förvandlar produkten av skillnaden och summan till skillnaden av kvadrater:
Separat beräknar vi skillnaden mellan kvadraterna under rötterna:
Vid omräkning av aritmetiska rötter används deras egenskaper (se punkt 35).
Låt oss överväga flera exempel på att tillämpa egenskaperna hos aritmetiska rötter för de enklaste transformationerna av radikaler. I det här fallet kommer alla variabler att anses ha endast icke-negativa värden.
Exempel 1. Extrahera roten från produktbeslutet. Genom att tillämpa egenskap 1° får vi:
Exempel 2. Ta ut faktorn under rottecknet
Beslut.
En sådan transformation kallas utfaktoring under rottecknet. Syftet med omvandlingen är att förenkla det radikala uttrycket.
Exempel 3: Förenkla
Beslut. Enligt egenskap 3° brukar vi försöka förenkla det radikala uttrycket, för vilket de tar ut faktorer bortom rotens tecken. Vi har
Exempel 4: Förenkla
Beslut. Vi transformerar uttrycket genom att införa en faktor under rotens tecken: Genom egenskap 4° har vi
Exempel 5: Förenkla
Beslut. Genom egenskap 5° har vi rätt att dividera exponenten för roten och exponenten för det radikala uttrycket med samma naturliga tal. Om vi i exemplet under övervägande delar de angivna indikatorerna med 3, får vi
Exempel 6. Förenkla uttryck: a)
Lösning, a) Med egenskap 1° får vi att för att multiplicera rötter av samma grad, räcker det att multiplicera rotuttrycken och extrahera roten av samma grad från det erhållna resultatet. Betyder att,
b) Först och främst måste vi reducera radikalerna till ett index. Enligt egenskap 5° kan vi multiplicera exponenten för roten och exponenten för rotuttrycket med samma naturliga tal. Därför har vi ytterligare Och nu i resultatet som erhålls genom att dividera indikatorerna för roten och graden av det radikala uttrycket med 3, får vi
Tränare nummer 1
Ämne: Konverterande kraft och irrationella uttryck
Valfritt kursprogram i matematik för elever i årskurs 10
ProgramAnsökan. Tillämpning av grundläggande trigonometriska formler till omvandling uttryck. Ämne 4. Trigonometriska funktioner och deras grafer. Sammanfatta.... 16.01-20.01 18 omvandling kraft och irrationell uttryck. 23.01-27.01 19 ...
Kalendertematisk planering av läromedelsalgebra och början av analys, årskurs 11
Kalendertematisk planeringOch en rationell indikator. omvandling kraft och irrationell uttryck. 2 2 2 september Egenskaper för logaritmer. omvandling logaritmisk uttryck. 1 1 1 ... fullständigt behandlad de där studenter som strävar efter hög...
Lektionsämne Lektionstyp (4)
Lektion... transformationer numeriska och alfabetiska uttryck som innehåller grad ... grader Vet: koncept grad med en irrationell exponent; grundläggande egenskaper grader. Kunna: hitta meningen grad med irrationell... 3 av ämne « Grad Positivt nummer...
Ämne Kulturella och historiska grunder för utveckling av psykologisk kunskap på arbetsmarknaden Ämne Arbete som en sociopsykologisk verklighet
DokumenteraOch så vidare.) ämne arbetskraft är nära relaterat till socioekonomisk transformationer. Till exempel ... omstrukturering av medvetande, instinkter, irrationell trender, dvs. interna konflikter ... fastställa närvaron och grad uttrycksfullhet en person har vissa...
Konvertera uttryck som innehåller kvadratrötter (1)
LektionRedigerad av S.A. Teljakovskij. Ämne lektion: omvandling uttryck som innehåller kvadrat...) transformationer rötter från produkten, fraktioner och grad, multiplikation ... (bildning av färdigheten identisk transformationer irrationell uttryck). nr 421. (vid tavlan...
Rötternas egenskaper ligger till grund för följande två omvandlingar, kallade att föra under rotens tecken och ta ut under rotens tecken, till vilket vi nu vänder oss.
Ange en faktor under rotens tecken
Att ange en faktor under tecknet innebär att ersätta uttrycket , där B och C är några tal eller uttryck, och n är ett naturligt tal större än ett, med ett identiskt lika uttryck av formen eller .
Till exempel tar ett irrationellt uttryck efter att ha lagt till faktorn 2 under rottecknet formen .
De teoretiska grunderna för denna transformation, reglerna för dess genomförande, såväl som lösningar på alla typer av typiska exempel, ges i artikeln som introducerar en faktor under rottecknet.
Ta ut multiplikatorn under rotens tecken
Omvandlingen, i en viss mening, det omvända av att införa faktorn under rottecknet, är borttagandet av faktorn under rottecknet. Den består i att representera roten som en produkt för udda n eller som en produkt för jämnt n, där B och C är några tal eller uttryck.
Låt oss som ett exempel återgå till föregående stycke: efter att ha tagit bort faktorn under rottecknet tar det irrationella uttrycket formen . Ett annat exempel: att ta bort faktorn under rottecknet i uttrycket ger en produkt som kan skrivas om till .
Vad denna transformation är baserad på, och enligt vilka regler den utförs, kommer vi att analysera i en separat artikel avlägsnandet av en faktor från rottecknet. På samma ställe ger vi lösningar på exempel och listar sätt att få det radikala uttrycket till en form som är lämplig för att ta ut en multiplikator.
Omvandling av fraktioner som innehåller rötter
Irrationella uttryck kan innehålla bråk, i vilkas täljare och nämnare det finns rötter. Med sådana fraktioner kan du utföra någon av de viktigaste identiska omvandlingar av fraktioner.
För det första är det inget som hindrar dig från att arbeta med uttryck i täljaren och nämnaren. Låt oss ta en bråkdel som exempel. Det irrationella uttrycket i täljaren är uppenbarligen identiskt lika med , och med hänvisning till rötternas egenskaper kan uttrycket i nämnaren ersättas med roten. Som ett resultat konverteras den ursprungliga bråkdelen till formen .
För det andra kan du ändra tecknet före bråket genom att ändra tecknet för täljaren eller nämnaren. Till exempel finns det sådana transformationer av ett irrationellt uttryck: 
.
För det tredje är det ibland möjligt och ändamålsenligt att reducera fraktionen. Till exempel hur man förnekar sig själv nöjet att minska en bråkdel 
till ett irrationellt uttryck, som ett resultat får vi 
.
Det är tydligt att i många fall, innan man utför reduktionen av ett bråk, måste uttrycken i dess täljare och nämnare faktoriseras, vilket i enkla fall kan uppnås med förkortade multiplikationsformler. Och ibland hjälper ersättningen av en variabel till att minska bråket, vilket gör att du kan gå från den ursprungliga bråkdelen med irrationalitet till en rationell bråkdel, som är mer bekväm och bekant att arbeta med.
Låt oss ta ett uttryck som exempel. Låt oss introducera nya variabler och i dessa variabler har det ursprungliga uttrycket formen. Uppträder i täljaren
Artikeln avslöjar innebörden av irrationella uttryck och transformationer med dem. Betrakta själva begreppet irrationella uttryck, transformation och karakteristiska uttryck.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vad är irrationella uttryck?
När vi bekantar oss med roten i skolan studerar vi begreppet irrationella uttryck. Sådana uttryck är nära besläktade med rötter.
Definition 1
Irrationella uttryckär uttryck som har en rot. Det vill säga, det är uttryck som har radikaler.
Baserat på denna definition har vi att x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3), 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 alla är uttryck av irrationell typ.
När man betraktar uttrycket x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, finner vi att uttrycket är rationellt. Rationella uttryck inkluderar polynom och algebraiska bråk. Irrationella inkluderar att arbeta med logaritmiska uttryck eller radikala uttryck.
Huvudtyperna av transformationer av irrationella uttryck
Vid beräkning av sådana uttryck är det nödvändigt att vara uppmärksam på ODZ. Ofta kräver de ytterligare transformationer i form av utökade parenteser, casting liknande medlemmar, grupperingar och så vidare. Grunden för sådana transformationer är operationer med siffror. Omvandlingarna av irrationella uttryck följer en strikt ordning.
Exempel 1
Konvertera uttrycket 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .
Beslut
Det är nödvändigt att ersätta siffran 9 med ett uttryck som innehåller roten. Då får vi det
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Det resulterande uttrycket har liknande termer, så låt oss utföra reduktionen och grupperingen. Skaffa sig
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Svar: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Exempel 2
Representera uttrycket x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 som en produkt av två irrationella med förkortade multiplikationsformler.
Lösningar
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Vi representerar 9 i form av 3 2, och vi tillämpar formeln för skillnaden mellan kvadrater:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Resultatet av identiska transformationer ledde till produkten av två rationella uttryck, som måste hittas.
Svar:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Du kan utföra ett antal andra transformationer som gäller irrationella uttryck.
Radikal uttrycksförvandling
Det är viktigt att uttrycket under rotens tecken kan ersättas med ett identiskt lika med det. Detta uttalande gör det möjligt att arbeta med ett radikalt uttryck. Till exempel kan 1 + 6 ersättas med 7 eller 2 · a 5 4 - 6 med 2 · a 4 · a 4 - 6 . De är identiskt lika, så ersättningen är vettig.
När det inte finns ett a 1 som skiljer sig från a, där en olikhet av formen a n \u003d a 1 n är sann, är en sådan likhet endast möjlig när en \u003d en 1. Värdena för sådana uttryck är lika med alla värden för variablerna.
Använda rotegenskaper
Rotegenskaper används för att förenkla uttryck. För att tillämpa egenskapen a · b = a · b , där a ≥ 0 , b ≥ 0 , så kan man från den irrationella formen 1 + 3 · 12 bli identiskt lika med 1 + 3 · 12 . Fast egendom. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2 , . . . , · n k , där a ≥ 0 betyder att x 2 + 4 4 3 kan skrivas i formen x 2 + 4 24 .
Det finns vissa nyanser när man konverterar radikala uttryck. Om det finns ett uttryck kan vi inte skriva ner - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4, eftersom formeln a b n \u003d a n b n endast tjänar för icke-negativ a och positiv b. Om egenskapen tillämpas korrekt, kommer ett uttryck av formen 7 4 81 4 att erhållas.
För korrekt transformation används transformationer av irrationella uttryck med hjälp av rötternas egenskaper.
Ange en faktor under rotens tecken
Definition 3Ange under rotens tecken– betyder att ersätta uttrycket B · C n , och B och C är några tal eller uttryck, där n är ett naturligt tal som är större än 1 , med ett lika uttryck som har formen B n · C n eller - B n · C n .
Om vi förenklar uttrycket av formen 2 x 3, får vi 2 3 x 3 efter att ha lagt till det under roten. Sådana transformationer är möjliga endast efter en detaljerad studie av reglerna för att införa en faktor under rottecknet.
Ta ut multiplikatorn under rotens tecken
Om det finns ett uttryck av formen B n · C n , så reduceras det till formen B · C n , där det finns udda n , som har formen B · C n med jämnt n , B och C är några tal och uttryck.
Det vill säga om vi tar ett irrationellt uttryck av formen 2 3 · x 3, tar ut faktorn under roten, så får vi uttrycket 2 · x 3 . Eller x + 1 2 · 7 kommer att resultera i ett uttryck som x + 1 · 7 , som har en annan notation i formen x + 1 · 7 .
Att ta ut multiplikatorn under roten är nödvändigt för att förenkla uttrycket och dess snabba omvandling.
Omvandling av fraktioner som innehåller rötter
Ett irrationellt uttryck kan vara antingen ett naturligt tal eller ett bråktal. För att konvertera bråkuttryck ägnas mycket uppmärksamhet åt dess nämnare. Om vi tar en bråkdel av formen (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, så kommer täljaren att ha formen 5 x 4, och med hjälp av rötternas egenskaper får vi att nämnaren blir x 2 + 5 6. Den ursprungliga bråkdelen kan skrivas som 5 x 4 x 2 + 5 6 .
Observera att endast täljarens tecken eller endast nämnaren behöver ändras. Det förstår vi
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Fraktionsreduktion används oftast vid förenkling. Det förstår vi
3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 reducerar vi med x + 4 3 - 1 . Vi får uttrycket 3 · x x + 4 3 - 1 2 .
Innan reduktion är det nödvändigt att utföra transformationer som förenklar uttrycket och gör det möjligt att faktorisera ett komplext uttryck. De vanligaste formlerna är förkortad multiplikation.
Om vi tar en bråkdel av formen 2 · x - y x + y, då är det nödvändigt att införa nya variabler u = x och v = x, då kommer det givna uttrycket att ändra form och bli 2 · u 2 - v 2 u + v. Täljaren ska delas upp i polynom enligt formeln, då får vi det
2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v. Efter att ha utfört den omvända substitutionen kommer vi till formen 2 · x - y , som är lika med den ursprungliga.
Reduktion till en ny nämnare är tillåten, då är det nödvändigt att multiplicera täljaren med ytterligare en faktor. Om vi tar en bråkdel av formen x 3 - 1 0, 5 · x, så reducerar vi till nämnaren x. för detta måste du multiplicera täljaren och nämnaren med uttrycket 2 x, då får vi uttrycket x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Att reducera fraktioner eller ta med liknande är endast nödvändigt på ODZ för den angivna fraktionen. När vi multiplicerar täljaren och nämnaren med ett irrationellt uttryck får vi att vi blir av med irrationaliteten i nämnaren.
Att bli av med irrationalitet i nämnaren
När ett uttryck gör sig av med roten i nämnaren genom transformation, då kallas detta att bli av med irrationalitet. Betrakta exemplet med en bråkdel av formen x 3 3 . Efter att ha blivit av med irrationalitet får vi en ny bråkdel av formen 9 3 · x 3 .
Övergång från rötter till grader
Övergångar från rötter till makter är nödvändiga för den snabba omvandlingen av irrationella uttryck. Om vi betraktar likheten a m n = a m n , så är det tydligt att dess användning är möjlig när a är ett positivt tal, m är ett heltal och n är ett naturligt tal. Om vi betraktar uttrycket 5 - 2 3 , så har vi annars rätt att skriva det som 5 - 2 3 . Dessa uttryck är likvärdiga.
När det finns ett negativt tal eller ett tal med variabler under roten, är formeln a m n = a m n inte alltid tillämplig. Om du behöver ersätta sådana rötter (- 8) 3 5 och (- 16) 2 4 med potenser, så får vi att - 8 3 5 och - 16 2 4 enligt formeln a m n = a m n inte fungerar med negativ a. för att i detalj analysera ämnet för radikala uttryck och deras förenklingar är det nödvändigt att studera artikeln om övergången från rötter till makter och vice versa. Man bör komma ihåg att formeln a m n = a m n inte är tillämplig på alla uttryck av detta slag. Att bli av med irrationalitet bidrar till ytterligare förenkling av uttrycket, dess omvandling och lösning.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter