Bråk

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Bråk i gymnasiet är inte särskilt irriterande. För närvarande. Tills du stöter på exponenter med rationella exponenter och logaritmer. Och där…. Du trycker, du trycker på kalkylatorn, och den visar hela resultattavlan för vissa siffror. Man måste tänka med huvudet, som i tredje klass.

Låt oss ta itu med bråk, äntligen! Tja, hur mycket kan man bli förvirrad i dem!? Dessutom är det hela enkelt och logiskt. Så, vad är bråk?

Typer av bråk. Transformationer.

Bråkdelar händer tre typer.

1. Vanliga bråk , Till exempel:

Ibland, istället för en horisontell linje, sätter de ett snedstreck: 1/2, 3/4, 19/5, ja, och så vidare. Här kommer vi ofta att använda denna stavning. Det översta numret kallas täljare, lägre - nämnare. Om du ständigt förväxlar dessa namn (det händer ...), berätta för dig själv frasen med uttrycket: " Zzzzz kom ihåg! Zzzzz nämnare - ut zzzz u!" Se, allt kommer att komma ihåg.)

Ett streck, som är horisontellt, vilket är snett, betyder division toppnummer (täljare) till nedre nummer (nämnare). Och det är allt! Istället för ett streck är det fullt möjligt att sätta ett divisionstecken - två punkter.

När uppdelningen är helt möjlig måste den göras. Så istället för bråket "32/8" är det mycket trevligare att skriva siffran "4". De där. 32 delas helt enkelt med 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Jag pratar inte om bråkdelen "4/1". Vilket också bara är "4". Och om den inte delar sig helt lämnar vi den som en bråkdel. Ibland måste man göra tvärtom. Gör ett bråk av ett heltal. Men mer om det senare.

2. Decimaler , Till exempel:

Det är i denna form som det kommer att vara nödvändigt att skriva ner svaren på uppgifter "B".

3. blandade siffror , Till exempel:

Blandade tal används praktiskt taget inte i gymnasiet. För att kunna arbeta med dem måste de omvandlas till vanliga bråk. Men du måste definitivt veta hur man gör! Och då kommer ett sådant nummer att stöta på i pusslet och hänga ... Från grunden. Men vi kommer ihåg denna procedur! Lite lägre.

Mest mångsidig vanliga bråk. Låt oss börja med dem. Förresten, om det finns alla möjliga logaritmer, sinus och andra bokstäver i bråket så förändrar det ingenting. I den meningen att allt handlingar med bråkuttryck skiljer sig inte från handlingar med vanliga bråk!

Grundläggande egenskap hos en bråkdel.

Låt oss gå! Först och främst ska jag överraska dig. Hela variationen av fraktionstransformationer tillhandahålls av en enda egenskap! Det är vad det heter grundläggande egenskap hos en bråkdel. Kom ihåg: Om täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras (divideras) med samma tal, kommer bråket inte att ändras. De där:

Det är klart att man kan skriva vidare, tills man är blå i ansiktet. Låt inte sinus och logaritmer förvirra dig, vi kommer att ta itu med dem ytterligare. Det viktigaste att förstå är att alla dessa olika uttryck är samma bråkdel . 2/3.

Och vi behöver det, alla dessa förvandlingar? Och hur! Nu ska du se själv. Låt oss först använda den grundläggande egenskapen för en bråkdel för bråkförkortningar. Det verkar som om saken är elementär. Vi delar täljaren och nämnaren med samma tal och det är allt! Det är omöjligt att gå fel! Men... människan är en kreativ varelse. Du kan göra misstag överallt! Speciellt om man inte ska reducera ett bråk som 5/10, utan ett bråkuttryck med alla möjliga bokstäver.

Hur man minskar fraktioner korrekt och snabbt utan att göra onödigt arbete finns i special 555 §.

En normal elev bryr sig inte om att dividera täljaren och nämnaren med samma tal (eller uttryck)! Han stryker bara över allt likadant uppifrån och under! Det är här den gömmer sig typiskt misstag, blooper om du vill.

Till exempel måste du förenkla uttrycket:

Det är inget att tänka på, vi stryker över bokstaven "a" uppifrån och tvåan underifrån! Vi får:

Allt är korrekt. Men du delade verkligen hela täljare och hela nämnaren "a". Om du är van vid att bara stryka över, då kan du i all hast stryka över "a" i uttrycket

och få igen

Vilket skulle vara kategoriskt fel. För här hela täljaren på "a" redan inte delad! Denna andel kan inte reduceras. Förresten, en sådan förkortning är, um ... en allvarlig utmaning för läraren. Detta är inte förlåtet! Kom ihåg? Vid minskning är det nödvändigt att dela upp hela täljare och hela nämnare!

Att minska bråk gör livet mycket enklare. Du kommer att få en bråkdel någonstans, till exempel 375/1000. Och hur ska man jobba med henne nu? Utan en miniräknare? Multiplicera, säg, addera, kvadrat!? Och om du inte är för lat, utan försiktigt minska med fem, och till och med med fem, och till och med ... medan det minskas, kort sagt. Vi får 3/8! Mycket trevligare, eller hur?

Den grundläggande egenskapen för ett bråk gör att du kan omvandla vanliga bråk till decimaler och vice versa utan miniräknare! Detta är viktigt för provet, eller hur?

Hur man konverterar bråk från en form till en annan.

Det är enkelt med decimaler. Som det hörs, så är det skrivet! Låt oss säga 0,25. Det är noll poäng, tjugofem hundradelar. Så vi skriver: 25/100. Vi reducerar (dividera täljaren och nämnaren med 25), vi får det vanliga bråket: 1/4. Allt. Det händer, och ingenting minskar. Som 0,3. Detta är tre tiondelar, d.v.s. 3/10.

Vad händer om heltal inte är noll? Det är ok. Skriv ner hela bråket utan några kommatecken i täljaren, och i nämnaren - vad som hörs. Till exempel: 3.17. Det här är tre hela, sjutton hundradelar. Vi skriver 317 i täljaren och i nämnaren 100. Vi får 317/100. Ingenting reduceras, det betyder allt. Detta är svaret. Elementär Watson! Av allt ovanstående, en användbar slutsats: vilket decimalbråk som helst kan omvandlas till ett vanligt bråktal .

Men den omvända konverteringen, vanlig till decimal, kan vissa inte klara sig utan en miniräknare. Men du måste! Hur ska du skriva ner svaret på tentan!? Vi läser noggrant och behärskar denna process.

Vad är ett decimaltal? Hon har i nämnaren alltidär värd 10 eller 100 eller 1000 eller 10000 och så vidare. Om ditt vanliga bråk har en sådan nämnare är det inga problem. Till exempel, 4/10 = 0,4. Eller 7/100 = 0,07. Eller 12/10 = 1,2. Och om det i svaret på uppgiften i avsnitt "B" visade sig 1/2? Vad kommer vi att skriva som svar? Decimaler krävs...

Vi kommer ihåg grundläggande egenskap hos en bråkdel ! Matematik låter dig fördelaktigt multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal. För vem som helst, förresten! Förutom noll förstås. Låt oss använda den här funktionen till vår fördel! Vad kan nämnaren multipliceras med, d.v.s. 2 så att det blir 10, eller 100, eller 1000 (mindre är bättre förstås...)? 5 så klart. Multiplicera gärna nämnaren (detta är oss nödvändigt) med 5. Men då måste täljaren också multipliceras med 5. Detta är redan matematik krav! Vi får 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Det är allt.

Men alla möjliga nämnare stöter på. Till exempel kommer bråket 3/16 att falla. Prova det, räkna ut vad du ska multiplicera 16 med för att få 100, eller 1000... Fungerar det inte? Sedan kan du helt enkelt dividera 3 med 16. I avsaknad av en miniräknare måste du dela i ett hörn, på ett papper, som de lärde ut i grundkurserna. Vi får 0,1875.

Och det finns några väldigt dåliga nämnare. Bråket 1/3 kan till exempel inte omvandlas till en bra decimal. Både på en miniräknare och på ett papper får vi 0,3333333 ... Det betyder att 1/3 i ett exakt decimaltal översätter inte. Precis som 1/7, 5/6 och så vidare. Många av dem är oöversättbara. Därav ytterligare en användbar slutsats. Inte varje vanlig bråktal konverteras till en decimal. !

Förresten, det här användbar information för självtest. I avsnitt "B" som svar måste du skriva ner ett decimaltal. Och du fick till exempel 4/3. Denna bråkdel omvandlas inte till decimal. Det betyder att du någonstans på vägen gjorde ett misstag! Kom tillbaka, kolla lösningen.

Alltså med vanliga bråk och decimalbråk sorterade ut. Det återstår att ta itu med blandade siffror. För att arbeta med dem måste de alla omvandlas till vanliga bråk. Hur man gör det? Du kan fånga en sjätteklassare och fråga honom. Men det är inte alltid en sjätteklassare är till hands... Vi får göra det själva. Det är inte svårt. Multiplicera nämnaren för bråkdelen med heltalsdelen och lägg till täljaren för bråkdelen. Detta kommer att vara täljaren för ett vanligt bråk. Hur är det med nämnaren? Nämnaren förblir densamma. Det låter komplicerat, men det är faktiskt ganska enkelt. Låt oss se ett exempel.

Släpp in problemet du såg med fasa numret:

Lugnt, utan panik förstår vi. Hela delen är 1. En. Bråkdelen är 3/7. Därför är nämnaren för bråkdelen 7. Denna nämnare kommer att vara nämnaren för det vanliga bråket. Vi räknar täljaren. Vi multiplicerar 7 med 1 (heltalsdelen) och adderar 3 (täljaren för bråkdelen). Vi får 10. Detta kommer att vara täljaren för ett vanligt bråk. Det är allt. Det ser ännu enklare ut i matematisk notation:

Klart? Säkra sedan din framgång! Konvertera till vanliga bråk. Du bör få 10/7, 7/2, 23/10 och 21/4.

Den omvända operationen - att konvertera en oegentlig bråkdel till ett blandat tal - krävs sällan i gymnasiet. Tja, om... Och om du - inte går på gymnasiet - kan du titta in i den särskilda Section 555. På samma ställe får du förresten lära dig om oegentliga bråk.

Tja, nästan allt. Du kom ihåg typerna av bråk och förstod som konvertera dem från en typ till en annan. Frågan kvarstår: Varför gör det? Var och när ska man tillämpa denna djupa kunskap?

Jag svarar. Varje exempel i sig föreslår nödvändiga åtgärder. Om i exemplet vanliga bråk, decimaler och till och med blandade tal blandas till ett gäng, översätter vi allt till vanliga bråk. Det går alltid att göra. Tja, om något som 0,8 + 0,3 skrivs, så tror vi det, utan någon översättning. Varför behöver vi extraarbete? Vi väljer den lösning som är bekväm oss !

Om uppgiften är full av decimalbråk, men um ... någon sorts onda, gå till vanliga, prova det! Titta, allt kommer att bli bra. Till exempel måste du kvadrera talet 0,125. Inte så lätt om du inte har tappat vanan med räknaren! Du behöver inte bara multiplicera siffrorna i en kolumn, utan också tänka på var du ska infoga kommatecken! Det fungerar absolut inte i mina tankar! Och om du går till en vanlig bråkdel?

0,125 = 125/1000. Vi minskar med 5 (detta är till att börja med). Vi får 25/200. Återigen den 5. Vi får 5/40. Åh, det krymper! Tillbaka till 5! Vi får 1/8. Kvadra lätt (i ditt sinne!) och få 1/64. Allt!

Låt oss sammanfatta den här lektionen.

1. Det finns tre typer av bråk. Vanliga, decimala och blandade tal.

2. Decimaler och blandade tal alltid kan omvandlas till vanliga bråk. Omvänd översättning inte alltid tillgängliga.

3. Valet av typ av bråk för att arbeta med uppgiften beror på just denna uppgift. I närvaro av olika typer bråk i en uppgift, det mest pålitliga är att byta till vanliga bråk.

Nu kan du träna. Konvertera först dessa decimalbråk till vanliga:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Du borde få svar så här (i en röra!):

På detta avslutar vi. I den här lektionen tog vi reda på nyckelpunkterna om bråk. Det händer dock att det inte finns något speciellt att uppdatera ...) Om någon helt har glömt, eller inte bemästrat det ännu ... De kan gå till en särskild Section 555. Alla grunderna är detaljerade där. Många plötsligt förstår allt börjar. Och de löser bråk i farten).

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Det händer att för beräkningarnas bekvämlighet är det nödvändigt att konvertera en vanlig bråkdel till en decimal och vice versa. Vi kommer att prata om hur man gör detta i den här artikeln. Vi kommer att analysera reglerna för att konvertera vanliga bråk till decimaler och vice versa, och även ge exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vi kommer att överväga omvandlingen av vanliga bråk till decimaler, som följer en viss sekvens. Tänk först på hur vanliga bråk med en nämnare som är en multipel av 10 omvandlas till decimaler: 10, 100, 1000, etc. Bråk med sådana nämnare är faktiskt en mer besvärlig notation av decimalbråk.

Därefter kommer vi att titta på hur man omvandlar vanliga bråk till decimalbråk med valfri, inte bara en multipel av 10, nämnare. Observera att vid omvandling av vanliga bråk till decimalbråk erhålls inte bara slutliga decimalbråk, utan även oändliga periodiska decimalbråk.

Låt oss börja!

Översättning av vanliga bråk med nämnare 10, 100, 1000, etc. till decimaler

Först och främst, låt oss säga att vissa bråk behöver lite förberedelse innan de konverteras till decimalform. Vad är det? Före talet i täljaren är det nödvändigt att lägga till så många nollor så att antalet siffror i täljaren blir lika med antalet nollor i nämnaren. Till exempel, för bråket 3100, måste talet 0 läggas till en gång till vänster om 3 i täljaren. Bråk 610, enligt ovanstående regel, behöver inte förbättras.

Betrakta ytterligare ett exempel, varefter vi formulerar en regel som är särskilt bekväm att använda till en början, medan det inte finns så mycket erfarenhet av att hantera fraktioner. Så bråket 1610000 efter att ha lagt till nollor i täljaren kommer att se ut som 001510000.

Hur man översätter ett vanligt bråk med en nämnare på 10, 100, 1000, etc. till decimal?

Regeln för omvandling av vanliga egenbråk till decimaler

1. Skriv 0 och sätt ett kommatecken efter.
2. Vi skriver ner numret från täljaren, vilket visade sig efter att ha lagt till nollor.

Låt oss nu gå vidare till exempel.

Exempel 1. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Konvertera den vanliga bråkdelen 39100 till decimal.

Först tittar vi på bråket och ser att inga förberedande åtgärder behövs - antalet siffror i täljaren matchar antalet nollor i nämnaren.

Följ regeln, skriv ner 0 , sätt en decimal efter den och skriv ner talet från täljaren. Vi får decimalbråket 0, 39.

Låt oss analysera lösningen av ett annat exempel på detta ämne.

Exempel 2. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Låt oss skriva bråket 105 10000000 som ett decimalbråk.

Antalet nollor i nämnaren är 7, och täljaren har bara tre siffror. Låt oss lägga till ytterligare fyra nollor framför numret i täljaren:

0000105 10000000

Nu skriver vi 0 , sätter en decimal efter den och skriver talet från täljaren. Vi får decimalbråket 0 , 0000105 .

De fraktioner som beaktas i alla exempel är vanliga egenfraktioner. Men hur konverterar man en felaktig vanlig bråkdel till en decimal? Låt oss säga direkt att det inte finns något behov av förberedelser med att lägga till nollor för sådana fraktioner. Låt oss formulera en regel.

Regeln för omvandling av vanliga oegentliga bråk till decimaler

1. Vi skriver ner talet som finns i täljaren.
2. Med en decimalpunkt separerar vi lika många siffror till höger som det finns nollor i nämnaren för det ursprungliga ordinarie bråket.

Nedan är ett exempel på hur denna regel används.

Exempel 3. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Låt oss konvertera bråket 56888038009 100000 från en vanlig oregelbunden till en decimal.

Skriv först numret från täljaren:

Nu, till höger, separerar vi fem siffror med en decimalkomma (antalet nollor i nämnaren är fem). Vi får:

Nästa fråga som naturligt uppstår är hur man omvandlar ett blandat tal till ett decimalbråk om nämnaren för dess bråkdel är talet 10, 100, 1000, etc. För att konvertera till en decimalbråkdel av ett sådant tal kan du använda följande regel.

Regel för omvandling av blandade tal till decimaler

1. Vi förbereder bråkdelen av numret, om det behövs.
2. Vi skriver ner heltalsdelen av det ursprungliga talet och sätter ett kommatecken efter det.
3. Vi skriver talet från täljaren för bråkdelen tillsammans med de bifogade nollorna.

Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 4. Konvertera blandade tal till decimaler

Konvertera det blandade talet 23 17 10000 till decimal.

I bråkdelen har vi uttrycket 17 10000. Låt oss förbereda det och lägga till ytterligare två nollor till vänster om täljaren. Vi får: 0017 10000 .

Nu skriver vi ner heltalsdelen av talet och sätter ett kommatecken efter det: 23,. .

Efter kommatecken skriver vi talet från täljaren tillsammans med nollor. Vi får resultatet:

23 17 10000 = 23 , 0017

Konvertera vanliga bråk till finita och oändliga periodiska bråk

Naturligtvis kan du konvertera till decimalbråk och vanliga bråk med en nämnare som inte är lika med 10, 100, 1000 osv.

Ofta kan ett bråk lätt reduceras till en ny nämnare, och använd sedan regeln som beskrivs i första stycket i denna artikel. Till exempel räcker det att multiplicera täljaren och nämnaren för bråket 25 med 2, så får vi bråket 410, som lätt reduceras till decimalformen 0,4.

Denna metod att omvandla ett vanligt bråk till en decimal kan dock inte alltid användas. Nedan kommer vi att överväga vad vi ska göra om det är omöjligt att tillämpa den övervägda metoden.

I grunden nytt sätt omvandling av ett vanligt bråk till en decimal reduceras till att dividera täljaren med nämnaren med en kolumn. Denna operation är mycket lik divisionen av naturliga tal med en kolumn, men har sina egna egenskaper.

Vid division representeras täljaren som ett decimalbråk - ett kommatecken placeras till höger om den sista siffran i täljaren och nollor läggs till. I den resulterande kvoten placeras decimaltecknet när divisionen av heltalsdelen av täljaren slutar. Hur exakt denna metod fungerar kommer att bli tydligt efter att ha övervägt exemplen.

Exempel 5. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Låt oss översätta det vanliga bråket 621 4 till decimalform.

Låt oss representera talet 621 från täljaren som ett decimaltal, och lägg till några nollor efter decimalkomma. 621 = 621 00

Nu delar vi kolumnen 621, 00 med 4. De tre första divisionsstegen kommer att vara desamma som när man dividerar naturliga tal, och vi får.

När vi kom till decimalkomma i utdelningen, och resten är icke-noll, sätter vi decimalkomma i kvoten och fortsätter att dividera, utan att längre uppmärksamma kommatecken i utdelningen.

Som ett resultat får vi decimalbråket 155 , 25 , vilket är resultatet av inversionen av det vanliga bråket 621 4

621 4 = 155 , 25

Överväg att lösa ett annat exempel för att fixa materialet.

Exempel 6. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Låt oss vända det vanliga bråket 21 800 .

För att göra detta, dela bråkdelen 21 000 med 800 i en kolumn. Delningen av heltalsdelen kommer att sluta i det första steget, så omedelbart efter det sätter vi en decimalkomma i kvoten och fortsätter divisionen och ignorerar kommatecken i utdelningen tills vi får resten lika med noll.

Som ett resultat fick vi: 21 800 = 0 . 02625 .

Men tänk om vi, vid division, aldrig får en rest av 0. I sådana fall kan divisionen fortsätta på obestämd tid. Men med början från ett visst steg kommer resterna att upprepas med jämna mellanrum. Följaktligen kommer även siffrorna i kvoten att upprepas. Det betyder att ett vanligt bråk översätts till ett decimalt oändligt periodiskt bråktal. Låt oss illustrera vad som har sagts med ett exempel.

Exempel 7. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Låt oss förvandla det vanliga bråket 1944 till en decimal. För att göra detta utför vi division med en kolumn.

Vi ser att vid division upprepas resten 8 och 36. Samtidigt upprepas siffrorna 1 och 8 i kvoten. Detta är perioden i decimal. Vid skrivning står dessa siffror inom parentes.

Således översätts det ursprungliga ordinarie bråket till ett oändligt periodiskt decimalbråk.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Låt oss ha en oreducerbar vanlig bråkdel. Vilken form kommer det att ha? Vilka vanliga bråk omvandlas till ändliga decimaler och vilka till oändliga periodiska?

Låt oss först säga att om ett bråk kan reduceras till en av nämnarna 10, 100, 1000 .. så kommer det att se ut som ett sista decimalbråk. För att ett bråk ska reduceras till en av dessa nämnare måste dess nämnare vara en divisor av minst ett av talen 10, 100, 1000 osv. Från reglerna för att sönderdela tal till primära faktorer det följer att divisorn för talen 10, 100, 1000, etc. bör, när de sönderdelas i primtalsfaktorer, endast innehålla talen 2 och 5.

Låt oss sammanfatta vad som har sagts:

1. Ett vanligt bråk kan reduceras till formen av ett sista decimalbråk om dess nämnare kan delas upp i primtalsfaktorer 2 och 5.
2. Om det förutom talen 2 och 5 finns andra primtal i nämnarens expansion, reduceras bråket till formen av ett oändligt periodiskt decimalbråk.

Låt oss ta ett exempel.

Exempel 8. Konvertera vanliga bråk till decimaler

Vilken av de givna bråken 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 omvandlas till ett sista decimalbråk, och vilket - endast till ett periodiskt. Vi kommer att ge ett svar på denna fråga utan att direkt omvandla ett vanligt bråk till en decimal.

Bråket 47 20 reduceras, som du lätt kan se, genom att multiplicera täljaren och nämnaren med 5 till en ny nämnare 100 .

4720 = 235100. Av detta drar vi slutsatsen att detta bråktal översätts till ett sista decimalbråk.

Att faktorisera nämnaren för bråket 7 12 ger 12 = 2 2 3 . Eftersom den enkla faktorn 3 skiljer sig från 2 och från 5, kan detta bråk inte representeras som ett ändligt decimalbråk, utan kommer att ha formen av ett oändligt periodiskt bråktal.

Bråk 21 56, först måste du minska. Efter reduktion med 7 får vi en irreducerbar bråkdel 3 8 , vars nämnare expanderar till faktorer ger 8 = 2 · 2 · 2 . Därför är det en avslutande decimal.

När det gäller bråket 31 17 är faktoriseringen av nämnaren själva primtalet 17. Följaktligen kan denna bråkdel omvandlas till en oändlig periodisk decimalbråkdel.

Ett vanligt bråk kan inte omvandlas till ett oändligt och icke-repeterande decimalbråk

Ovan talade vi bara om ändliga och oändliga periodiska bråk. Men kan vilket vanligt bråk som helst omvandlas till ett oändligt icke-periodiskt bråk?

Vi svarar: nej!

Viktig!

När du konverterar ett oändligt bråktal till ett decimaltal får du antingen ett ändligt decimaltal eller ett oändligt periodiskt decimaltal.

Resten av en division är alltid mindre än divisorn. Med andra ord, enligt delbarhetssatsen, om vi dividerar något naturligt tal med talet q, så kan resten av divisionen i alla fall inte vara större än q-1. Efter slutet av divisionen är en av följande situationer möjliga:

1. Vi får en återstod av 0, och det är här divisionen slutar.
2. Vi får en rest, som upprepas under efterföljande division, som ett resultat har vi en oändlig periodisk bråkdel.

Det kan inte finnas några andra alternativ när du konverterar ett vanligt bråk till en decimal. Låt oss också säga att längden på perioden (antalet siffror) i ett oändligt periodiskt bråk alltid är mindre än antalet siffror i nämnaren för motsvarande ordinarie bråk.

Konvertera decimaler till vanliga bråktal

Nu är det dags att överväga den omvända processen att konvertera ett decimaltal till ett vanligt. Låt oss formulera en översättningsregel som inkluderar tre steg. Hur konverterar man en decimal till en vanlig bråkdel?

Regel för omvandling av decimalbråk till vanliga bråk

1. I täljaren skriver vi talet från det ursprungliga decimalbråket, kasserar kommatecken och alla nollor till vänster, om några.
2. I nämnaren skriver vi en och efter den lika många nollor som det finns siffror i det ursprungliga decimalbråket efter decimalkomma.
3. Om det behövs, reducera den resulterande vanliga fraktionen.

Överväg tillämpningen av denna regel med exempel.

Exempel 8. Konvertera decimaler till vanliga

Låt oss representera talet 3, 025 som ett vanligt bråk.

1. I täljaren skriver vi själva decimalbråket och tar bort kommatecken: 3025.
2. I nämnaren skriver vi en, och efter den tre nollor - det är hur många siffror som finns i det ursprungliga bråket efter decimalkomma: 3025 1000.
3. Den resulterande bråkdelen 3025 1000 kan reduceras med 25 , som ett resultat får vi: 3025 1000 = 121 40 .

Exempel 9. Konvertera decimaler till vanliga

Låt oss konvertera bråktalet 0, 0017 från decimal till vanlig.

1. I täljaren skriver vi bråket 0, 0017, utan kommatecken och nollorna till vänster. Få 17.
2. Vi skriver en i nämnaren och efter den skriver vi fyra nollor: 17 10000. Denna fraktion är irreducerbar.

Om det finns en heltalsdel i ett decimaltal, kan ett sådant bråktal omedelbart omvandlas till ett blandat tal. Hur man gör det?

Låt oss formulera ytterligare en regel.

Regeln för att konvertera decimalbråk till blandade tal.

1. Talet upp till decimalkomma skrivs som heltalsdelen av det blandade talet.
2. I täljaren skriver vi talet som finns i bråket efter decimalkomma, och kasserar nollor till vänster, om några.
3. I bråkdelens nämnare lägger vi till en och lika många nollor som det finns siffror i bråkdelen efter decimalkomma.

Låt oss titta på ett exempel

Exempel 10: Konvertera en decimal till ett blandat tal

Låt oss representera bråket 155, 06005 som ett blandat tal.

1. Vi skriver talet 155 som en heltalsdel.
2. I täljaren skriver vi siffrorna efter decimalkomma, utan noll.
3. I nämnaren skriver vi en och fem nollor

Att lära ut ett blandat nummer: 155 6005 100000

Bråkdelen kan reduceras med 5 . Vi minskar och vi får slutresultatet:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Konvertera oändligt återkommande decimaler till vanliga bråk

Låt oss titta på exempel på hur man översätter periodiska decimalbråk till vanliga. Innan vi börjar, låt oss förtydliga: vilket periodiskt decimalbråk som helst kan omvandlas till ett vanligt.

Det enklaste fallet är perioden för bråket noll-. En periodisk bråkdel med en period på noll ersätts med en ändlig decimalbråkdel, och processen att invertera ett sådant bråktal reduceras till att invertera en sista decimalbråkdel.

Exempel 11. Konvertera en periodisk decimal till en vanlig bråkdel

Låt oss invertera det periodiska bråket 3, 75 (0) .

Om vi ​​släpper nollorna till höger får vi det sista decimalbråket 3, 75.

Genom att förvandla denna bråkdel till en vanlig enligt algoritmen som diskuterades i de föregående styckena får vi:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Vad händer om perioden för ett bråk är icke-noll? Den periodiska delen bör betraktas som summan av medlemmarna i en geometrisk progression, som minskar. Låt oss förklara detta med ett exempel:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Det finns en formel för summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression. Om den första termen i progressionen är b och nämnaren för q är sådan att 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Låt oss titta på några exempel med denna formel.

Exempel 12. Konvertera en periodisk decimal till en vanlig bråkdel

Anta att vi har en periodisk bråkdel 0, (8) och vi behöver omvandla den till en vanlig.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Här har vi en oändligt avtagande geometrisk progression med den första termen 0 , 8 och nämnaren 0 , 1 .

Låt oss tillämpa formeln:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Detta är den önskade vanliga fraktionen.

För att konsolidera materialet, överväg ett annat exempel.

Exempel 13. Konvertera en periodisk decimal till en vanlig

Invertera fraktionen 0 , 43 (18) .

Först skriver vi bråket som en oändlig summa:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Betrakta termerna inom parentes. Denna geometriska progression kan representeras enligt följande:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Vi lägger till den resulterande fraktionen till den slutliga fraktionen 0, 43 \u003d 43 100 och vi får resultatet:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Efter att ha lagt till dessa bråk och reducerat får vi det slutliga svaret:

0 , 43 (18) = 19 44

I slutet av denna artikel kommer vi att säga att icke-periodiska oändliga decimalbråk inte kan omvandlas till vanliga bråk.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Ett tillräckligt antal människor undrar hur man konverterar ett vanligt bråk till ett decimalbråk. Det finns flera sätt. Valet av en specifik metod beror på vilken typ av bråk som måste omvandlas till en annan form, eller snarare på talet i dess nämnare. Men för tillförlitligheten är det nödvändigt att ange att ett vanligt bråk är ett bråk som skrivs med en täljare och en nämnare, till exempel 1/2. Oftare dras linjen mellan täljaren och nämnaren horisontellt snarare än snett. Decimalbråket skrivs som ett vanligt tal med kommatecken: till exempel 1,25; 0,35 osv.

Så för att konvertera en vanlig bråkdel till en decimal utan en miniräknare behöver du:

Var uppmärksam på nämnaren för ett vanligt bråk. Om nämnaren enkelt kan multipliceras upp till 10 med samma tal som täljaren, bör denna metod användas, som den enklaste. Till exempel multipliceras det vanliga bråket 1/2 enkelt i täljaren och nämnaren med 5, vilket resulterar i talet 5/10, som redan kan skrivas som ett decimalbråk: 0,5. Denna regel bygger på att decimalbråket alltid har ett runt tal i nämnaren: 10, 100, 1000 och liknande. Därför, om du multiplicerar täljaren och nämnaren för ett bråktal, är det nödvändigt att uppnå exakt ett sådant tal i nämnaren som ett resultat av multiplikation, oavsett vad som erhålls i täljaren.

Det finns vanliga bråk, vars beräkning efter multiplikation ger vissa svårigheter. Det är till exempel ganska svårt att avgöra med hur mycket bråket 5/16 ska multipliceras för att få ett av talen ovan i nämnaren. I det här fallet bör du använda den vanliga divisionen, som utförs av en kolumn. Svaret ska vara en decimalbråkdel, som markerar slutet på överföringsoperationen. I exemplet ovan är resultatet ett tal lika med 0,3125. Om beräkningar i en kolumn ger svårigheter, kan du inte klara dig utan hjälp av en miniräknare.

Slutligen finns det vanliga bråk som inte omvandlas till decimaler. Till exempel, när man översätter den vanliga bråkdelen 4/3, blir resultatet 1,33333, där de tre upprepas i oändlighet. Kalkylatorn kommer inte heller att bli av med de tre upprepade. Det finns flera sådana fraktioner, du behöver bara känna till dem. Vägen ut ur ovanstående situation kan vara avrundning, om villkoren för exemplet eller problemet som löses tillåter avrundning. Om villkoren inte tillåter detta, och svaret måste skrivas exakt i form av en decimalbråk, så löstes exemplet eller problemet felaktigt, och du bör gå tillbaka flera steg för att hitta felet.

Således är det ganska lätt att konvertera en vanlig bråkdel till en decimal, det är inte svårt att klara av denna uppgift utan hjälp av en miniräknare. Det ser ännu lättare ut att översätta decimalbråk till vanliga genom att utföra de omvända stegen som beskrivs i metod 1.

Video: 6:e klass. Konvertera ett vanligt bråk till ett decimalbråk.

En decimal har två delar separerade med kommatecken. Den första delen är en heltalsenhet, den andra delen är tiotal (om talet efter decimalkomma är ett), hundratal (två tal efter decimalkomma, som två nollor i hundra), tusendelar osv. Låt oss titta på exempel på decimaler: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Dessa är alla decimaler. Hur konverterar man en decimal till en vanlig bråkdel?

Exempel ett

Vi har en bråkdel, till exempel 0,5. Som nämnts ovan består den av två delar. Den första siffran, 0, visar hur många heltalsenheter bråket har. I vårt fall är de inte det. Den andra siffran visar tiotal. Bråket läser till och med noll komma fem tiondelar. Decimal nummer konvertera till bråk nu blir det inte svårt, vi skriver 5/10. Om du ser att talen har en gemensam divisor kan du minska bråket. Vi har detta nummer 5, dividerat båda delarna av bråket med 5, vi får - 1/2.

Exempel två

Låt oss ta en mer komplex bråkdel - 2,25. Det läses så här - två hela och tjugofem hundradelar. Var uppmärksam - hundradelar, eftersom det finns två siffror efter decimalkomma. Nu kan du konvertera till en vanlig bråkdel. Vi skriver ner - 2 25/100. Heltalsdelen är 2, bråkdelen är 25/100. Som i det första exemplet kan denna del förkortas. Gemensam divisor för 25 och 100 är 25. Observera att vi alltid väljer den största gemensamma divisorn. Om vi ​​dividerar båda delarna av bråket med GCD, fick vi 1/4. Så 2, 25 är 2 1/4.

Exempel tre

Och för att konsolidera materialet, låt oss ta decimalbråket 4,112 - fyra hela och hundra och tolv tusendelar. Varför tusendelar tror jag är klart. Nu skriver vi ner 4 112/1000. Enligt algoritmen hittar vi GCD för talen 112 och 1000. I vårt fall är detta talet 6. Vi får 4 14/125.

Slutsats

1. Vi delar upp bråket i heltals- och bråkdelar.
2. Vi tittar på hur många siffror efter decimalkomma. Om en är tiotal är två hundratal, tre är tusendelar osv.
3. Vi skriver bråket i vanlig form.
4. Vi minskar bråkets täljare och nämnare.
5. Skriv ner det resulterande bråket.
6. Kollar, delar övre del bråk på botten. Om det finns en heltalsdel, lägg till det resulterande decimaltalet. Det blev originalversionen - bra, så du gjorde allt rätt.

Med hjälp av exempel visade jag hur du kan omvandla ett decimalbråk till ett vanligt. Som du kan se är det väldigt enkelt och enkelt att göra detta.

Ett bråk kan omvandlas till ett heltal eller en decimal. Ett oegentligt bråk, vars täljare är större än nämnaren och är delbar med den utan rest, omvandlas till ett heltal, till exempel: 20/5. Dividera 20 med 5 och få talet 4. Om bråket stämmer, det vill säga täljaren är mindre än nämnaren, omvandla det sedan till ett tal (decimalbråk). Du kan lära dig mer om bråk från vår sektion -.

Sätt att omvandla ett bråk till ett tal

• Det första sättet att omvandla ett bråk till ett tal är lämpligt för ett bråk som kan omvandlas till ett tal som är ett decimaltal. Låt oss först ta reda på om det är möjligt att omvandla ett givet bråktal till ett decimalbråk. För att göra detta, var uppmärksam på nämnaren (talet som är under linjen eller till höger om snedställningen). Om nämnaren kan delas upp i faktorer (i vårt exempel - 2 och 5), som kan upprepas, så kan detta bråktal verkligen omvandlas till ett sista decimalbråk. Till exempel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Denna vanliga bråkdel kommer att omvandlas till ett tal (decimalbråk) med ett ändligt antal decimaler. Men bråket 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) kommer att översättas till ett tal med ett oändligt antal decimaler. Det vill säga, när man exakt beräknar ett numeriskt värde är det ganska svårt att bestämma den sista decimalpunkten, eftersom sådana tecken oändlig uppsättning. För att lösa problem behöver du därför vanligtvis avrunda värdet till hundradelar eller tusendelar. Vidare är det nödvändigt att multiplicera både täljaren och nämnaren med ett sådant tal att nämnaren får talen 10, 100, 1000, etc. Till exempel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Det andra sättet att omvandla ett bråk till ett tal är enklare: du måste dividera täljaren med nämnaren. För att tillämpa den här metoden utför vi helt enkelt divisionen, och det resulterande talet kommer att vara den önskade decimalfraktionen. Till exempel måste du konvertera bråket 2/15 till ett tal. Vi dividerar 2 med 15. Vi får 0, 1333 ... - en oändlig bråkdel. Vi skriver ner det så här: 0,13(3). Om bråktalet är felaktigt, det vill säga täljaren är större än nämnaren (till exempel 345/100), får du ett heltal som ett resultat av att konvertera det till ett tal numeriskt värde eller en decimal med en heltalsbråkdel. I vårt exempel blir detta 3,45. För att konvertera ett blandat bråk som 3 2 / 7 till ett tal måste du först konvertera det till ett oegentligt bråk: (3∙7+2)/7 =23/7. Därefter delar vi 23 med 7 och får talet 3,2857143, som vi minskar till 3,29.

Det enklaste sättet att omvandla ett bråk till ett tal är att använda en miniräknare eller annan datorenhet. Vi anger först bråkets täljare, tryck sedan på knappen med "dela"-ikonen och skriv nämnaren. Efter att ha tryckt på "="-tangenten får vi det önskade numret.