Pochodna mnożników. Pochodna sumy i różnicy funkcji. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych

Jeśli zastosujemy się do definicji, to pochodną funkcji w punkcie jest granica współczynnika przyrostu funkcji Δ tak do przyrostu argumentu Δ x:

Wszystko wydaje się jasne. Ale spróbuj obliczyć za pomocą tego wzoru, powiedzmy, pochodną funkcji f(x) = x 2 + (2x+ 3) · mi x grzech x. Jeśli robisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że tak zwane funkcje elementarne można odróżnić od całej różnorodności funkcji. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne od dawna są obliczane i wprowadzane do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje podstawowe to wszystkie wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji muszą być znane na pamięć. Co więcej, zapamiętanie ich nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Tak więc pochodne funkcji elementarnych:

Jeżeli funkcja elementarna jest mnożona przez dowolną stałą, to łatwo jest również obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · f)’ = C · f ’.

Ogólnie ze znaku pochodnej można pobrać stałe. Na przykład:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Oczywiście podstawowe funkcje można dodawać do siebie, mnożyć, dzielić i wiele więcej. W ten sposób pojawią się nowe funkcje, już nie bardzo elementarne, ale też różniczkowalne według określonych reguł. Zasady te omówiono poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech funkcje f(x) oraz g(x), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć podstawowe funkcje omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tak więc pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie istnieje pojęcie „odejmowania”. Istnieje pojęcie „elementu negatywnego”. Dlatego różnica f − g można przepisać jako sumę f+ (−1) g, a następnie pozostaje tylko jedna formuła - pochodna sumy.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcjonować f(x) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, a więc:

f ’(x) = (x 2+ grzech x)’ = (x 2)' + (grzech x)’ = 2x+ cosx;

Podobnie argumentujemy dla funkcji g(x). Tylko są już trzy wyrazy (z punktu widzenia algebry):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odpowiedź:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wielu ludzi wierzy, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk"\u003e równe iloczynowi pochodnych. Ale figi do ciebie! Pochodna produktu jest obliczana przy użyciu zupełnie innej formuły. Mianowicie:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formuła jest prosta, ale często zapominana. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są niepoprawnie rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · mi x .

Funkcjonować f(x) jest iloczynem dwóch funkcji elementarnych, więc wszystko jest proste:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grzech x)

Funkcjonować g(x) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat nie zmienia się od tego. Oczywiście pierwszy mnożnik funkcji g(x) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · mi x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · mi x + (x 2 + 7x− 7) ( mi x)’ = (2x+ 7) · mi x + (x 2 + 7x− 7) · mi x = mi x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · mi x = x(x+ 9) · mi x .

Odpowiedź:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grzech x);
g ’(x) = x(x+ 9) · mi x .

Zauważ, że w ostatnim kroku pochodna jest faktoryzowana. Formalnie nie jest to konieczne, ale większość pochodnych nie jest obliczana samodzielnie, ale w celu zbadania funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna będzie równa zeru, jej znaki zostaną znalezione i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli istnieją dwie funkcje f(x) oraz g(x), oraz g(x) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze możemy zdefiniować nową funkcję h(x) = f(x)/g(x). Dla takiej funkcji możesz również znaleźć pochodną:

Nie słaby, prawda? Skąd wziął się minus? Czemu g 2? Ale tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych formuł – nie da się tego rozgryźć bez butelki. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka są funkcje elementarne, więc wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Tradycyjnie dzielimy licznik na czynniki - to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie musi być formułą o długości pół kilometra. Na przykład wystarczy przyjąć funkcję f(x) = grzech x i zastąp zmienną x, powiedzmy, wł. x 2+ln x. Okazuje się f(x) = grzech ( x 2+ln x) jest funkcją złożoną. Ma też pochodną, ​​ale nie uda się jej znaleźć zgodnie z zasadami omówionymi powyżej.

Jak być? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzór na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

f ’(x) = f ’(t) · t', jeśli x jest zastąpiony przez t(x).

Z reguły sytuacja przy zrozumieniu tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż przy pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to konkretnymi przykładami, ze szczegółowym opisem każdego kroku.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = mi 2x + 3 ; g(x) = grzech ( x 2+ln x)

Zwróć uwagę, że jeśli w funkcji f(x) zamiast wyrażenia 2 x+ 3 będzie łatwe x, to otrzymujemy funkcję elementarną f(x) = mi x. Dlatego dokonujemy podstawienia: niech 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = mi t. Szukamy pochodnej funkcji zespolonej według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

A teraz - uwaga! Wykonywanie zamiany odwrotnej: t = 2x+ 3. Otrzymujemy:

f ’(x) = mi t · t ’ = mi 2x+ 3 (2 x + 3)’ = mi 2x+ 3 2 = 2 mi 2x + 3

Spójrzmy teraz na funkcję g(x). Oczywiście wymaga wymiany. x 2+ln x = t. Mamy:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grzech t)’ · t' = cos t · t ’

Wymiana odwrotna: t = x 2+ln x. Następnie:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, cały problem sprowadza się do obliczenia pochodnej sumy.

Odpowiedź:
f ’(x) = 2 mi 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) bo ( x 2+ln x).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „udar”. Na przykład skok sumy jest równy sumie uderzeń. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych uderzeń zgodnie z omówionymi powyżej regułami. Jako ostatni przykład wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(x n)’ = n · x n − 1

Niewielu wie o tym w roli n może być liczbą ułamkową. Na przykład korzeń to x 0,5 . Ale co, jeśli pod korzeniem jest coś podstępnego? Znowu okaże się złożona funkcja - lubią dawać takie konstrukcje w testach i egzaminach.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszmy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy podstawienia: niech x 2 + 8x − 7 = t. Znajdujemy pochodną według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Dokonujemy zamiany odwrotnej: t = x 2 + 8x− 7. Mamy:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na koniec wróćmy do korzeni:

Kalkulator oblicza pochodne wszystkich funkcji elementarnych, dając szczegółowe rozwiązanie. Zmienna różniczkowania jest wyznaczana automatycznie.

Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Takie problemy doprowadziły do ​​pojawienia się pochodnej, jak np. obliczanie prędkości chwilowej punktu w chwili czasu, jeśli droga jest znana w zależności od czasu, problem ze znalezieniem stycznej do funkcji w punkcie .

Najczęściej pochodną funkcji definiuje się jako granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, jeśli istnieje.

Definicja. Niech funkcja zostanie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu . Wtedy pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicą, jeśli istnieje

Jak obliczyć pochodną funkcji?

Aby nauczyć się rozróżniać funkcje, trzeba się uczyć i rozumieć zasady różnicowania i naucz się używać tabela pochodna.

Zasady różnicowania

Niech i będą dowolnymi różniczkalnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej, będą jakąś stałą rzeczywistą. Następnie

jest regułą różniczkowania iloczynu funkcji

jest zasadą różniczkowania funkcji ilorazowych

0 wysokość=33 szerokość=370 style="vertical-align: -12px;"> — różniczkowanie funkcji o zmiennym wykładniku

- zasada różniczkowania funkcji zespolonej

jest regułą różniczkowania funkcji mocy

Pochodna funkcji online

Nasz kalkulator szybko i dokładnie obliczy pochodną dowolnej funkcji online. Program nie popełni błędów przy obliczaniu pochodnej i pomoże uniknąć długich i żmudnych obliczeń. Kalkulator online przyda się również wtedy, gdy trzeba sprawdzić poprawność rozwiązania, a jeśli jest niepoprawne, szybko znaleźć błąd.

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Fizyczne znaczenie pochodnej: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas t . Średnia prędkość w pewnym okresie czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Decyzja:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze sterowanie i uporać się z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.