Jednym z najciekawszych tematów z geometrii z kursu szkolnego są „Cworagi” (klasa 8). Jakie rodzaje takich figur istnieją, jakie mają szczególne właściwości? Co jest wyjątkowego w czworokątach z narożnikami 90 stopni? Przyjrzyjmy się temu wszystkiemu.

Jaka figura geometryczna nazywa się czworokątem?

Wielokąty, które składają się z czterech boków i odpowiednio czterech wierzchołków (rogów), nazywane są czworokątami w geometrii euklidesowej.

Ciekawa jest historia nazwy tego typu postaci. W języku rosyjskim rzeczownik „czworokątny” powstaje z wyrażenia „cztery rogi” (podobnie jak „trójkąt” - trzy rogi, „pięciokąt” - pięć rogów itp.).

Jednak po łacinie (przez którą wiele terminów geometrycznych pojawiło się w większości języków świata) nazywa się to czworobokiem. Słowo to składa się z liczebnika quadri (cztery) i rzeczownika latus (bok). Możemy więc wywnioskować, że wśród starożytnych wielokąt ten był określany tylko jako „czterostronny”.

Nawiasem mówiąc, taka nazwa (z naciskiem na obecność czterech boków, a nie rogów w tego typu figurach) zachowała się w niektórych językach nowożytnych. Na przykład w języku angielskim - czworobok, a po francusku - quadrilatère.

Jednocześnie w większości języków słowiańskich rozważany typ figur jest nadal identyfikowany przez liczbę kątów, a nie boków. Na przykład w języku słowackim (štvoruholník), bułgarskim („chetirigalnik”), białoruskim („chatyrokhkutnik”), ukraińskim („chotirikutnik”), czeskim (čtyřúhelník), ale po polsku czworokąt nazywa się liczbą boki - czworoboczny.

Jakie rodzaje czworokątów są badane w szkolnym programie nauczania

We współczesnej geometrii istnieją 4 rodzaje wielokątów o czterech bokach.

Jednak ze względu na zbyt złożone właściwości niektórych z nich, na lekcjach geometrii uczniowie zapoznają się tylko z dwoma typami.

• Równoległobok. Przeciwległe boki takiego czworoboku są parami równoległe do siebie i odpowiednio są również równe parami.
• Trapez (trapez lub trapez). Ten czworobok składa się z dwóch przeciwległych boków równoległych do siebie. Jednak druga para boków nie ma tej funkcji.

Rodzaje czworokątów nie studiowane na szkolnym kursie geometrii

Oprócz powyższego istnieją jeszcze dwa rodzaje czworokątów, z którymi uczniowie nie są zapoznawani na lekcjach geometrii ze względu na ich szczególną złożoność.

• Naramiennik (latawiec)- figura, na której każda z dwóch par sąsiednich boków ma taką samą długość. Taki czworobok ma swoją nazwę, ponieważ z wyglądu dość mocno przypomina literę greckiego alfabetu - „delta”.
• Antyrównoległobok- ta figura jest tak złożona, jak jej nazwa. W nim dwie przeciwne strony są równe, ale jednocześnie nie są do siebie równoległe. Ponadto, długie przeciwległe boki tego czworoboku przecinają się, podobnie jak przedłużenia pozostałych dwóch, krótszych boków.

Rodzaje równoległoboku

Zajmując się głównymi rodzajami czworokątów, warto zwrócić uwagę na jego podgatunki. Z kolei wszystkie równoległoboki są również podzielone na cztery grupy.

• Klasyczny równoległobok.
• Romb (romb)- figura czworokątna o równych bokach. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzieląc romb na cztery równe trójkąty prostokątne.
• Prostokąt. Nazwa mówi sama za siebie. Ponieważ jest to czworokąt z kątami prostymi (każdy z nich ma dziewięćdziesiąt stopni). Jego przeciwne strony są nie tylko równoległe, ale także równe.
• Kwadrat (kwadrat). Podobnie jak prostokąt, jest czworokątem o kątach prostych, ale wszystkie boki są sobie równe. Ta figura jest zbliżona do rombu. Można więc argumentować, że kwadrat jest skrzyżowaniem rombu i prostokąta.

Specjalne właściwości prostokąta

Biorąc pod uwagę figury, w których każdy z kątów między bokami jest równy dziewięćdziesięciu stopniom, warto przyjrzeć się bliżej prostokątowi. Jakie ma więc cechy szczególne, które odróżniają go od innych równoległoboków?

Aby stwierdzić, że rozważany równoległobok jest prostokątem, jego przekątne muszą być sobie równe, a każdy z kątów musi być prosty. Ponadto kwadrat jego przekątnych musi odpowiadać sumie kwadratów dwóch sąsiednich boków tej figury. Innymi słowy, klasyczny prostokąt składa się z dwóch trójkątów prostokątnych, a w nich, jak wiadomo, przekątna rozważanego czworoboku działa jako przeciwprostokątna.

Ostatni z wymienionych znaków tej figury jest również jej szczególną właściwością. Poza tym są jeszcze inne. Na przykład fakt, że wszystkie boki badanego czworoboku pod kątem prostym są jednocześnie jego wysokościami.

Ponadto, jeśli wokół dowolnego prostokąta narysujemy okrąg, jego średnica będzie równa przekątnej wpisanej figury.

Wśród innych właściwości tego czworokąta jest to, że jest płaski i nie występuje w geometrii nieeuklidesowej. Wynika to z faktu, że w takim układzie nie ma figur czworokątnych, których suma kątów wynosi trzysta sześćdziesiąt stopni.

Kwadrat i jego cechy

Zajmując się znakami i właściwościami prostokąta, warto zwrócić uwagę na drugi znany nauce czworobok o kątach prostych (jest to kwadrat).

Będąc w rzeczywistości tym samym prostokątem, ale o równych bokach, figura ta ma wszystkie swoje właściwości. Ale w przeciwieństwie do niego kwadrat występuje w geometrii nieeuklidesowej.

Ponadto ta postać ma inne charakterystyczne cechy. Na przykład fakt, że przekątne kwadratu nie tylko są sobie równe, ale także przecinają się pod kątem prostym. Tak więc, podobnie jak romb, kwadrat składa się z czterech trójkątów prostokątnych, na które jest podzielony przekątnymi.

Ponadto figura ta jest najbardziej symetryczna spośród wszystkich czworokątów.

Jaka jest suma kątów czworokąta?

Biorąc pod uwagę cechy czworokątów geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na ich kąty.

Tak więc na każdej z powyższych liczb, niezależnie od tego, czy ma ona kąty proste, czy nie, ich suma jest zawsze taka sama - trzysta sześćdziesiąt stopni. To wyjątkowy wyróżnik tego typu sylwetki.

Obwód czworokątów

Po ustaleniu, jaka jest suma kątów czworokąta i innych specjalnych właściwości figur tego typu, warto wiedzieć, jakie formuły najlepiej wykorzystać do obliczenia ich obwodu i powierzchni.

Aby określić obwód dowolnego czworoboku, wystarczy zsumować długość wszystkich jego boków.

Na przykład na rysunku KLMN jego obwód można obliczyć za pomocą wzoru: P \u003d KL + LM + MN + KN. Jeśli podstawisz liczby tutaj, otrzymasz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

W przypadku, gdy dana figura jest rombem lub kwadratem, aby znaleźć obwód, możesz uprościć wzór, po prostu mnożąc długość jednego z jego boków przez cztery: P \u003d KL x 4. Na przykład: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Wzory czworokątne powierzchni

Po ustaleniu, jak znaleźć obwód dowolnej figury z czterema rogami i bokami, warto rozważyć najpopularniejsze i najprostsze sposoby na znalezienie jej obszaru.

Inne właściwości czworokątów: okręgi wpisane i opisane

Rozważając cechy i właściwości czworoboku jako figury geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na możliwość opisania wokół niego lub wpisania w jego wnętrzu okręgów:

• Jeżeli sumy przeciwnych kątów figury wynoszą sto osiemdziesiąt stopni każdy i są sobie równe parami, to wokół takiego czworoboku można dowolnie opisać okrąg.
• Zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza, jeśli okrąg jest opisany na zewnątrz wielokąta o czterech bokach, to iloczyn jego przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków danej figury. Zatem formuła będzie wyglądać tak: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Jeśli zbudujesz czworokąt, w którym sumy przeciwnych boków są sobie równe, to można w nim wpisać okrąg.

Po ustaleniu, czym jest czworobok, jakie są jego rodzaje, które z nich mają tylko kąty proste między bokami i jakie mają właściwości, warto pamiętać o całym tym materiale. W szczególności formuły znajdowania obwodu i obszaru rozważanych wielokątów. W końcu postacie w tej formie są jednymi z najczęstszych, a ta wiedza może być przydatna do obliczeń w prawdziwym życiu.

Definicja. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

Nieruchomość. W równoległoboku przeciwległe boki są równe, a przeciwne kąty są równe.

Nieruchomość. Przekątne równoległoboku są przecinane przez punkt przecięcia.

1 znak równoległoboku. Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, to czworokąt jest równoległobokiem.

2 znak równoległoboku. Jeśli przeciwległe boki czworokąta są równe parami, to czworokąt jest równoległobokiem.

3 znak równoległoboku. Jeśli w czworoboku przecinają się przekątne, a punkt przecięcia jest dwudzielny, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

Definicja. Trapez to czworobok, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe. Boki równoległe są nazywane fusy.

Trapez nazywa się równoramienne (równoramienne) jeśli jego boki są równe. W trapezie równoramiennym kąty u podstaw są równe.

prostokątny.

linia środkowa trapezu. Linia środkowa jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy.

Prostokąt

Definicja.

Nieruchomość. Przekątne prostokąta są równe.

Znak prostokąta. Jeśli przekątne równoległoboku są równe, to równoległobok jest prostokątem.

Definicja.

Nieruchomość. Przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe i przecinają jego kąty.

Definicja.

Kwadrat to szczególny rodzaj prostokąta, a także szczególny rodzaj rombów. Dlatego ma wszystkie swoje właściwości.

Nieruchomości:
1. Wszystkie rogi kwadratu są prawidłowe

Czworoboki wszystkie zasady

Słowa kluczowe:
czworokąt, wypukły, suma kątów, powierzchnia czworokąta

czworoboczny nazywana jest figura, która składa się z czterech punktów i czterech odcinków łączących je szeregowo. W takim przypadku żadne trzy z tych punktów nie powinny leżeć na jednej linii prostej, a łączące je odcinki nie powinny się przecinać.

• Wierzchołki czworokąta są nazywane sąsiedni jeśli są końcami jednego z jego boków.
• Wierzchołki, które nie są sąsiadami , nazywa naprzeciwko .
• Odcinki linii łączące przeciwległe wierzchołki czworoboku nazywane są przekątne .
• Boki czworokąta, które wychodzą z tego samego wierzchołka, nazywane są sąsiedni imprezy.
• Strony, które nie mają wspólnego końca, nazywane są naprzeciwko imprezy.
• Czworobok nazywa się wypukły , jeśli znajduje się w jednej półpłaszczyźnie w stosunku do linii prostej zawierającej którykolwiek z jej boków.

Rodzaje czworokątów

1. Równoległobok Czworokąt z przeciwległymi bokami równoległymi
   • Prostokąt równoległobok ze wszystkimi kątami prostymi
   • Romb - równoległobok o równych wszystkich bokach
   • Kwadrat - prostokąt o równych wszystkich bokach
2. Trapez - czworobok, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe
3. Deltoid Czworokąt, którego dwie pary sąsiednich boków są równe

czworokąty

czworoboczny nazywana jest figura, która składa się z czterech punktów i czterech odcinków łączących je szeregowo. W tym przypadku żadne trzy z tych punktów nie leżą na tej samej linii prostej, a łączące je odcinki nie przecinają się.

naprzeciwko. naprzeciwko.

Rodzaje czworokątów

Równoległobok

Równoległobok nazywana jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

Właściwości równoległoboku

• przeciwne strony są równe;
• przeciwne kąty są równe;
• suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich boków:

Funkcje równoległoboku

Trapez Nazywa się czworobok, w którym dwie przeciwne strony są równoległe, a pozostałe dwie nie są równoległe.

Równoległe boki trapezu nazywane są jego fusy i nierównoległe boki boki. Odcinek łączący punkty środkowe boków nazywa się Środkowa linia.

Trapez nazywa się równoramienny(lub równoramienny), jeśli jego boki są równe.

Nazywa się trapez z jednym kątem prostym prostokątny.

Właściwości trapezowe

Oznaki trapezu

Prostokąt

Prostokąt Równoległobok jest wywoływany, jeśli wszystkie kąty są kątami prostymi.

Właściwości prostokąta

Funkcje prostokąta

Równoległobok to prostokąt, jeśli:

1. Jeden z jego rogów ma rację.
2. Jego przekątne są równe.

Romb Równoległobok jest wywoływany, jeśli wszystkie boki są równe.

Właściwości rombowe

• wszystkie właściwości równoległoboku;
• przekątne są prostopadłe;

Znaki rombu

Kwadrat Wywoływany jest prostokąt, w którym wszystkie boki są równe.

Właściwości kwadratowe

• wszystkie rogi kwadratu mają rację;
• przekątne kwadratu są równe, wzajemnie prostopadłe, punkt przecięcia dzieli się na pół, a rogi kwadratu na pół.

Znaki kwadratowe

Podstawowe formuły

S=d 1 d 2 grzech

Równoległobok
a oraz b- sąsiednie strony; - kąt między nimi; ha - wysokość do boku a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 grzech

Trapez
a oraz b- podstawy; h- odległość między nimi; ja-Środkowa linia .

Prostokąt

S=d 1 d 2 grzech

S = 2 grzech

S=d 1 d 2

Kwadrat
d- przekątna.

www.univer.omsk.su

Własności czworokątów. Rodzaje czworokątów. Własności dowolnych czworokątów. Właściwości równoległoboku. Właściwości rombowe. Właściwości prostokąta. Właściwości kwadratowe. właściwości trapezowe. Około 7-9 klasa (13-15 lat)

Własności czworokątów. Rodzaje czworokątów. Własności dowolnych czworokątów.
Właściwości równoległoboku. Właściwości rombowe. Właściwości prostokąta. Właściwości kwadratowe. właściwości trapezowe.

Rodzaje czworokątów:

• Równoległobok jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równoległe

• Romb jest równoległobokiem o równych wszystkich bokach.

• Prostokąt jest równoległobokiem ze wszystkimi kątami prostymi.

• Kwadrat jest prostokątem o równych wszystkich bokach.

Własności dowolnych czworokątów:

Właściwości równoległoboku:

Właściwości rombowe:

Właściwości prostokąta:

Właściwości kwadratowe:

Właściwości trapezu:

Doradztwo i techniczne
wsparcie strony: Zavarka Team

Czworoboki wszystkie zasady

Geometria nieeuklidesowa, geometria podobna do geometrii Euklides tym, że definiuje ruch figur, ale różni się od geometrii euklidesowej tym, że jeden z jej pięciu postulatów (drugi lub piąty) zostaje zastąpiony przez jego negację. Odrzucenie jednego z postulatów Euklidesa (1825) było znaczącym wydarzeniem w historii myśli, gdyż stanowiło pierwszy krok w kierunku teoria względności.

Drugi postulat Euklidesa stwierdza, że: dowolny odcinek linii można przedłużać w nieskończoność. Euklides najwyraźniej wierzył, że postulat ten zawierał również stwierdzenie, że linia prosta ma nieskończoną długość. Jednakże w geometrii „eliptycznej” każda linia prosta jest skończona i, podobnie jak okrąg, jest zamknięta.

Piąty postulat mówi, że jeśli linia przecina dwie dane linie w taki sposób, że dwa kąty wewnętrzne po jednej jej stronie są w sumie mniejsze niż dwa kąty proste, to te dwie linie, jeśli są przedłużone w nieskończoność, przecinają się po stronie, gdzie suma tych kątów jest mniejsza niż suma dwóch linii prostych. Ale w geometrii „hiperbolicznej” może istnieć prosta CB (patrz rys.), prostopadła w punkcie C do danej linii r i przecinająca inną linię s pod kątem ostrym w punkcie B, ale mimo to nieskończone linie r i s nigdy się nie przecinają.

Z tych zrewidowanych postulatów wynikało, że suma kątów trójkąta, równa 180° w geometrii euklidesowej, jest większa niż 180° w geometrii eliptycznej i mniejsza niż 180° w geometrii hiperbolicznej.

Czworoboczny

Czworoboczny to wielokąt zawierający cztery wierzchołki i cztery boki.

Czworoboczny, figura geometryczna - wielokąt z czterema rogami, a także dowolny przedmiot, urządzenie tej formy.

Dwa nieprzylegające do siebie boki czworoboku są nazywane naprzeciwko. Dwa wierzchołki, które nie sąsiadują ze sobą, są również nazywane naprzeciwko.

Czworokąty są wypukłe (jak ABCD) i
niewypukłe (A 1 B 1 C 1 D 1).

Rodzaje czworokątów

• Równoległobok- czworobok, w którym wszystkie przeciwległe boki są równoległe;
• Prostokąt- czworobok ze wszystkimi kątami prostymi;
• Romb- czworobok, w którym wszystkie boki są równe;
• Kwadrat- czworobok, w którym wszystkie kąty są proste, a wszystkie boki równe;
• Trapez- czworobok z dwoma przeciwległymi bokami równoległymi;
• Deltoid Czworobok, którego dwie pary sąsiednich boków są równe.

Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

Równoległobok (z greckiego równoległoboku - równoległość i gram - linia) tj. leżą na równoległych liniach. Szczególnymi przypadkami równoległoboku są prostokąt, kwadrat i romb.

• przeciwne strony są równe;
• przeciwne kąty są równe;
• przekątne punktu przecięcia są podzielone na pół;
• suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem wynosi 180°;
• suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich boków.

Czworokąt to równoległobok, jeśli:

1. Jego dwie przeciwne strony są równe i równoległe.
2. Przeciwne strony są równe parami.
3. Przeciwne kąty są równe parami.
4. Przekątne punktu przecięcia są podzielone na pół.

Prostokąt

Prostokąt to równoległobok ze wszystkimi kątami prostymi.

• przeciwne strony są równe;
• przeciwne kąty są równe;
• przekątne punktu przecięcia są podzielone na pół;
• suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem wynosi 180°;
• przekątne są równe.

Równoległobok to prostokąt, jeśli:

1. Jeden z jego rogów ma rację.
2. Jego przekątne są równe.

Romb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe.

• przeciwne strony są równe;
• przeciwne kąty są równe;
• przekątne punktu przecięcia są podzielone na pół;
• suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem wynosi 180°;
• suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich boków;
• przekątne są prostopadłe;
• przekątne są dwusiecznymi kątów.

Równoległobok jest rombem, jeśli:

1. Jego dwa sąsiednie boki są równe.
2. Jego przekątne są prostopadłe.
3. Jedna z przekątnych to dwusieczna kąta.

Kwadrat to prostokąt, w którym wszystkie boki są równe.

• wszystkie rogi kwadratu mają rację;
• przekątne kwadratu są równe, wzajemnie prostopadłe, punkt przecięcia dzieli się na pół, a rogi kwadratu na pół.

1. Prostokąt to kwadrat, jeśli ma pewne cechy rombu.

Trapez to czworobok, w którym dwie przeciwległe boki są równoległe, a pozostałe dwie nie są równoległe.

Boki równoległe trapezu nazywane są jego podstawami, a boki nierównoległe nazywane są jego bokami. Odcinek łączący punkty środkowe boków nazywany jest linią środkową.

Trapez nazywa się równoramiennymi (lub równoramiennymi), jeśli jego boki są równe.

Trapez z jednym kątem prostym nazywany jest trapezem prostokątnym.

• jego środkowa linia jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy;
• jeśli trapez jest równoramienny, to jego przekątne są równe, a kąty u podstawy są równe;
• jeśli trapez jest równoramienny, można wokół niego opisać okrąg;
• jeśli suma podstaw jest równa sumie boków, można w nią wpisać okrąg.

1. Czworokąt jest trapezem, jeśli jego równoległe boki nie są równe

Deltoid Czworobok z dwiema parami boków o tej samej długości. W przeciwieństwie do równoległoboku dwie pary sąsiednich boków nie są równe, ale dwie pary sąsiednich boków. Mięsień naramienny ma kształt latawca.

• Kąty pomiędzy bokami o nierównej długości są równe.
• Przekątne naramiennika (lub ich przedłużenia) przecinają się pod kątem prostym.
• Okrąg można wpisać w dowolny wypukły mięsień naramienny, poza tym, jeśli mięsień naramienny nie jest rombem, to istnieje inny okrąg, który dotyka przedłużeń wszystkich czterech boków. W przypadku niewypukłego naramiennika można skonstruować okrąg styczny do dwóch większych boków i przedłużenia dwóch mniejszych boków oraz okrąg styczny do dwóch mniejszych boków i przedłużenia dwóch większych boków.

• Jeśli kąt między nierównymi bokami mięśnia naramiennego jest linią prostą, można w nią wpisać okrąg (opisany naramiennik).
• Jeśli para przeciwległych boków deltoidu jest równa, to taki deltoid jest rombem.
• Jeśli para przeciwległych boków i obie przekątne naramiennika są równe, to naramienny jest kwadratem. Wpisany naramienny o równych przekątnych jest również kwadratem.

Pojawienie się geometrii sięga czasów starożytnych i było spowodowane praktycznymi potrzebami działalności człowieka (potrzeba mierzenia ziemi, mierzenia objętości różnych ciał itp.).

Najprostsze informacje i pojęcia geometryczne były znane w starożytnym Egipcie. W tym okresie twierdzenia geometryczne formułowano w postaci reguł podanych bez dowodu.

Od VII wieku p.n.e. mi. do I wieku naszej ery mi. geometria jako nauka rozwijała się szybko w starożytnej Grecji. W tym okresie miało miejsce nie tylko nagromadzenie różnych informacji geometrycznych, ale także opracowano metodologię dowodzenia twierdzeń geometrycznych i podjęto pierwsze próby sformułowania podstawowych zasad (aksjomatów) geometrii, z których wiele różnych geometrycznych twierdzenia są wyprowadzane na podstawie czysto logicznego rozumowania. Poziom rozwoju geometrii w starożytnej Grecji odzwierciedlają prace Euklidesa „Początki”.

W książce tej po raz pierwszy podjęto próbę systematycznej konstrukcji planimetrii na podstawie podstawowych niezdefiniowanych pojęć geometrycznych i aksjomatów (postulatów).

Szczególne miejsce w historii matematyki zajmuje piąty postulat Euklidesa (aksjomat linii równoległych). Przez długi czas matematycy bezskutecznie próbowali wyprowadzić piąty postulat z pozostałych postulatów Euklidesa i dopiero w połowie XIX wieku dzięki badaniom N. I. Łobaczewskiego, B. Riemanna i J. Boyai stało się jasne, że piątego postulatu nie można wyprowadzić z pozostałych, a system aksjomatów zaproponowany przez Euklidesa nie jest jedynym możliwym.

„Elementy” Euklidesa miały ogromny wpływ na rozwój matematyki. Książka ta przez ponad dwa tysiące lat była nie tylko podręcznikiem geometrii, ale także punktem wyjścia do wielu studiów matematycznych, w wyniku których powstały nowe, niezależne działy matematyki.

Systematyczne konstruowanie geometrii odbywa się zwykle według następującego planu:

I. Wymieniono główne pojęcia geometryczne, które są wprowadzane bez definicji.

II. Podano sformułowanie aksjomatów geometrii.

III. Na podstawie aksjomatów i podstawowych pojęć geometrycznych formułowane są inne pojęcia i twierdzenia geometryczne.

1. Pochodzenie nazwy Geometria nieeuklidesowa?
2. Jakie kształty nazywamy czworokątami?
3. Właściwości równoległoboku?
4. Rodzaje czworokątów?

Lista wykorzystanych źródeł

1. A.G. Cypkin. Podręcznik matematyki
2. „Ujednolicony egzamin państwowy 2006. Matematyka. Materiały edukacyjne i szkoleniowe do przygotowania uczniów / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006”
3. Mazur K. I. „Rozwiązywanie głównych problemów konkurencyjnych w matematyce zbioru pod redakcją M. I. Scanaviego”

Praca na lekcji

Możesz zadać pytanie o nowoczesną edukację, wyrazić pomysł lub rozwiązać pilny problem na Forum Edukacji gdzie rada wychowawcza świeżej myśli i działania spotyka się na arenie międzynarodowej. Po utworzeniu blog, Nie tylko poprawisz swój status jako kompetentnego nauczyciela, ale także wniesiesz znaczący wkład w rozwój szkoły przyszłości. Gildia Liderów Edukacji otwiera drzwi do najwyższej rangi specjalistów i zaprasza do współpracy w kierunku tworzenia najlepszych szkół na świecie.

Popularny:

• Art. 282. Nawoływanie do nienawiści lub wrogości oraz poniżanie godności ludzkiej”
• Kalkulator podatku od nieruchomości Jak obliczyć podatek od nieruchomości Zmienił się formularz obliczania zaliczek. Począwszy od sprawozdania za I półrocze 2017 r. kalkulacja podatku od nieruchomości […]
• Prawa ekologii Przez ponad 100 lat wszechstronnego badania populacji i społeczności zgromadzono ogromną ilość faktów. Wśród nich - duża liczba, odzwierciedlająca losowe lub nieregularne zjawiska i procesy. Ale nie […]
• Możliwości zabezpieczenia emerytalnego w obowiązkowym systemie ubezpieczeń emerytalnych Do końca 2015 r. obywatele urodzeni w 1967 r. i młodsi mogli zdecydować, czy kontynuować budowanie emerytury […]
• Zarządzenie Ministerstwa Rolnictwa 549 Zarejestrowane w Ministerstwie Sprawiedliwości Federacji Rosyjskiej 5 marca 2009 r. N 13476 MINISTERSTWO ROLNICTWA FEDERACJI ROSYJSKIEJ z dnia 16 grudnia 2008 r. N 532 W SPRAWIE ZATWIERDZENIA KLASYFIKACJI NATURALNEGO ZAGROŻENIA POŻAROWEGO LASÓW ORAZ […]
• Podwyższenie rent dla dzieci niepełnosprawnych od 1 stycznia 2018 r. Zapewnienie obywatelom emerytur jest obowiązkiem ciążącym na państwie. Jest to określone w kodeksie prawa kraju - w Konstytucji. Wśród niepełnosprawnych, którzy potrzebują […]
• Regulamin zarządzenia wewnętrznego JSC RZD SA "KOLEJ ROSYJSKI" Z dnia 26.07.2012 r. N 87 W SPRAWIE ZATWIERDZENIA WEWNĘTRZNEGO REGULAMINU PRACY REGULAMINU SŁUŻB REGIONALNYCH (DZIAŁ) ROZWOJU ŁĄCZNOŚCI PASAŻERSKIEJ I […]
• Prawo 3 etapów comte pozytywizmu jako ruchu filozoficznego wywodzi się z założenia, że ​​gros wiedzy o świecie, człowieku i społeczeństwie uzyskuje się w naukach specjalnych, że „pozytywna” nauka powinna porzucić próby […]

Z czterema rogami i czterema bokami. Czworobok jest tworzony przez zamkniętą polilinię, składającą się z czterech połączeń i tej części płaszczyzny, która znajduje się wewnątrz polilinii.

Oznaczenie czworoboku składa się z liter znajdujących się na jego wierzchołkach, nadając im odpowiednią kolejność. Na przykład mówią lub piszą: czworokąt ABCD :

W czworoboku ABCD zwrotnica A, B, C oraz D- Ten wierzchołki czworokątne, segmenty AB, pne, płyta CD oraz DA - boki.

Wierzchołki należące do tej samej strony są nazywane sąsiedni, wierzchołki, które nie sąsiadują ze sobą, są nazywane naprzeciwko:

W czworoboku ABCD szczyty A oraz B, B oraz C, C oraz D, D oraz A są przyległe, a wierzchołki A oraz C, B oraz D- naprzeciwko. Kąty leżące na sąsiednich wierzchołkach nazywane są również sąsiednimi, a na przeciwległych wierzchołkach - przeciwległymi.

Boki czworoboku można również podzielić parami na sąsiednie i przeciwległe: boki, które mają wspólny wierzchołek, są nazywane sąsiedni(lub związane z), boki, które nie mają wspólnych wierzchołków - naprzeciwko:

Imprezy AB oraz pne, pne oraz płyta CD, płyta CD oraz DA, DA oraz AB są przyległe, a boki AB oraz DC, OGŁOSZENIE oraz pne- naprzeciwko.

Jeżeli przeciwległe wierzchołki są połączone segmentem, to taki segment zostanie nazwany przekątna czworokąta. Biorąc pod uwagę, że w czworoboku są tylko dwie pary przeciwległych wierzchołków, przekątne mogą być tylko dwie:

Segmenty AC oraz BD- przekątne.

Rozważ główne typy czworoboków wypukłych:

• Trapez- czworobok, w którym jedna para przeciwległych boków jest do siebie równoległa, a druga para nie jest równoległa.
  • Trapez równoramienny- trapez o równych bokach.
  • Trapez prostokątny Trapez o jednym z kątów prostych.
• Równoległobok Czworobok, w którym obie pary przeciwległych boków są do siebie równoległe.
  • Prostokąt Równoległobok, w którym wszystkie kąty są równe.
  • Romb Równoległobok o równych wszystkich bokach.
  • Kwadrat Równoległobok o równych bokach i kątach. Zarówno prostokąt, jak i romb mogą być kwadratami.

Właściwości narożników czworokątów wypukłych

Wszystkie czworoboki wypukłe mają następujące dwie właściwości:

1. Dowolny kąt wewnętrzny mniejszy niż 180°.
2. Suma kątów wewnętrznych wynosi 360°.

Temat lekcji

• Definicja czworoboku.

Cele Lekcji

• Edukacyjne – powtarzanie, uogólnianie i sprawdzanie wiedzy na temat: „Cworokąty”; rozwój podstawowych umiejętności.
• Rozwijanie - rozwijanie uwagi uczniów, wytrwałości, wytrwałości, logicznego myślenia, mowy matematycznej.
• Edukacyjny - poprzez lekcję pielęgnowania uważnego stosunku do siebie, zaszczepienia umiejętności słuchania towarzyszy, wzajemnej pomocy, niezależności.

Cele Lekcji

• Kształtowanie umiejętności budowania czworoboku za pomocą podziałki i trójkąta rysunkowego.
• Sprawdź umiejętność rozwiązywania problemów przez uczniów.

Plan lekcji

1. Odniesienie do historii. Geometria nieeuklidesowa.
2. Czworoboczny.
3. Rodzaje czworokątów.

Geometria nieeuklidesowa

Geometria nieeuklidesowa, geometria podobna do geometrii Euklides tym, że definiuje ruch figur, ale różni się od geometrii euklidesowej tym, że jeden z jej pięciu postulatów (drugi lub piąty) zostaje zastąpiony przez jego negację. Odrzucenie jednego z postulatów Euklidesa (1825) było znaczącym wydarzeniem w historii myśli, gdyż stanowiło pierwszy krok w kierunku teoria względności.

Drugi postulat Euklidesa stwierdza, że: dowolny odcinek linii można przedłużać w nieskończoność. Euklides najwyraźniej wierzył, że postulat ten zawierał również stwierdzenie, że linia prosta ma nieskończoną długość. Jednakże w geometrii „eliptycznej” każda linia prosta jest skończona i, podobnie jak okrąg, jest zamknięta.

Piąty postulat mówi, że jeśli linia przecina dwie dane linie w taki sposób, że dwa kąty wewnętrzne po jednej jej stronie są w sumie mniejsze niż dwa kąty proste, to te dwie linie, jeśli są przedłużone w nieskończoność, przecinają się po stronie, gdzie suma tych kątów jest mniejsza niż suma dwóch linii prostych. Ale w geometrii „hiperbolicznej” może istnieć prosta CB (patrz rys.), prostopadła w punkcie C do danej linii r i przecinająca inną linię s pod kątem ostrym w punkcie B, ale mimo to nieskończone linie r i s nigdy się nie przecinają.

Z tych zrewidowanych postulatów wynikało, że suma kątów trójkąta, równa 180° w geometrii euklidesowej, jest większa niż 180° w geometrii eliptycznej i mniejsza niż 180° w geometrii hiperbolicznej.

Czworoboczny

Przedmioty > Matematyka > Matematyka Klasa 8

Czworobok wypukły to figura składająca się z czterech boków połączonych ze sobą w wierzchołkach, tworzących razem z bokami cztery kąty, podczas gdy sam czworokąt jest zawsze w tej samej płaszczyźnie w stosunku do linii prostej, na której leży jeden z jego boków. Innymi słowy, cała figura znajduje się po jednej stronie którejkolwiek z jej boków.

W kontakcie z

Jak widać, definicja jest dość łatwa do zapamiętania.

Podstawowe właściwości i typy

Prawie wszystkie znane nam figury, składające się z czterech rogów i boków, można przypisać wypukłym czworobokom. Można wyróżnić:

1. równoległobok;
2. kwadrat;
3. prostokąt;
4. trapez;
5. romb.

Wszystkie te figury łączy nie tylko to, że są czworokątne, ale także wypukłe. Wystarczy spojrzeć na schemat:

Rysunek przedstawia wypukły trapez. Tutaj widać, że trapez znajduje się na tej samej płaszczyźnie lub po jednej stronie segmentu. Jeśli wykonasz podobne czynności, możesz się przekonać, że w przypadku wszystkich innych boków trapez jest wypukły.

Czy równoległobok jest wypukłym czworokątem?

Powyżej znajduje się obraz równoległoboku. Jak widać na rysunku, równoległobok jest również wypukły. Jeśli spojrzysz na figurę w odniesieniu do linii, na których leżą odcinki AB, BC, CD i AD, staje się jasne, że jest ona zawsze na tej samej płaszczyźnie od tych linii. Główną cechą równoległoboku jest to, że jego boki są parami równoległe i równe w taki sam sposób, jak przeciwne kąty są sobie równe.

Teraz wyobraź sobie kwadrat lub prostokąt. Zgodnie z ich głównymi właściwościami są również równoległobokami, to znaczy wszystkie ich boki są ułożone parami równolegle. Tylko w przypadku prostokąta długość boków może być różna, a kąty proste (równe 90 stopni), kwadrat to prostokąt, w którym wszystkie boki są równe, a kąty również proste, natomiast długości boki i kąty równoległoboku mogą być różne.

W rezultacie suma wszystkich czterech rogów czworoboku musi być równy 360 stopni. Najłatwiej to określić za pomocą prostokąta: wszystkie cztery rogi prostokąta są prawe, czyli równe 90 stopniom. Suma tych 90-stopniowych kątów daje 360 ​​stopni, innymi słowy, jeśli dodasz 90 stopni 4 razy, uzyskasz pożądany wynik.

Własność przekątnych czworoboku wypukłego

Przekątne czworokąta wypukłego przecinają się. Rzeczywiście, zjawisko to można zaobserwować wizualnie, wystarczy spojrzeć na rysunek:

Rysunek po lewej przedstawia niewypukły czworokąt lub czworokąt. Jak sobie życzysz. Jak widać, przekątne się nie przecinają, przynajmniej nie wszystkie. Po prawej stronie znajduje się wypukły czworobok. Tutaj obserwuje się już właściwość przecinających się przekątnych. Tę samą właściwość można uznać za znak wypukłości czworoboku.

Inne właściwości i oznaki wypukłości czworokąta

W szczególności, zgodnie z tym terminem, bardzo trudno jest wymienić jakiekolwiek konkretne właściwości i cechy. Łatwiej jest wyodrębnić według różnych rodzajów czworoboków tego typu. Możesz zacząć od równoległoboku. Wiemy już, że jest to figura czworokątna, której boki są parami równoległe i równe. Jednocześnie uwzględniono tutaj również właściwość przecinania się przekątnych równoległoboku, a także znak wypukłości samej figury: równoległobok jest zawsze w tej samej płaszczyźnie i po jednej stronie względem na dowolną z jego stron.

Więc, znane są główne cechy i właściwości:

1. suma kątów czworoboku wynosi 360 stopni;
2. przekątne figur przecinają się w jednym punkcie.

Prostokąt. Ta figura ma te same właściwości i cechy co równoległobok, ale wszystkie jej kąty są równe 90 stopniom. Stąd nazwa, prostokąt.

Kwadrat, ten sam równoległobok, ale jego rogi są prawe, jak prostokąt. Z tego powodu kwadrat rzadko nazywa się prostokątem. Ale główną cechą wyróżniającą kwadrat, oprócz tych już wymienionych powyżej, jest to, że wszystkie cztery jego boki są równe.

Trapez to bardzo ciekawa figura.. Jest to również czworoboczny, a także wypukły. W tym artykule trapez został już rozważony na przykładzie rysunku. Oczywiste jest, że jest również wypukła. Główną różnicą, a zatem i znakiem trapezu, jest to, że jego boki mogą być absolutnie różne pod względem długości, a także wartości kątów. W takim przypadku figura zawsze pozostaje na tej samej płaszczyźnie w odniesieniu do którejkolwiek z linii prostych, które łączą dowolne dwa z jej wierzchołków wzdłuż segmentów tworzących figurę.

Romb to równie ciekawa figura. Częściowo romb można uznać za kwadrat. Znakiem rombu jest to, że jego przekątne nie tylko przecinają się, ale także dzielą rogi rombu na pół, a same przekątne przecinają się pod kątem prostym, to znaczy są prostopadłe. Jeśli długości boków rombu są równe, to przekątne są również dzielone na pół na przecięciu.

Naramienniki lub wypukłe romboidalne (romby) może mieć różne długości boków. Ale jednocześnie nadal zachowane są zarówno główne właściwości i cechy samego rombu, jak i cechy i właściwości wypukłości. Oznacza to, że możemy zaobserwować, że przekątne przecinają rogi na pół i przecinają się pod kątem prostym.

Dzisiejsze zadanie polegało na rozważeniu i zrozumieniu, czym są wypukłe czworokąty, czym są oraz jakie są ich główne cechy i właściwości. Uwaga! Warto raz jeszcze przypomnieć, że suma kątów czworoboku wypukłego wynosi 360 stopni. Na przykład obwód figur jest równy sumie długości wszystkich segmentów tworzących figurę. Wzory do obliczania obwodu i powierzchni czworoboków zostaną omówione w kolejnych artykułach.

Rodzaje czworoboków wypukłych