W jakich ćwiartkach cotangens jest dodatni? Podstawowe własności funkcji trygonometrycznych: równość, nieparzystość, okresowość. Znaki wartości funkcji trygonometrycznych według ćwiartek

11.10.2019

Liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Jest prawie tak samo, jak w poprzedniej lekcji. Są osie, koło, kąt, wszystko to chińska porcelana. Dodano numery ćwiartek (w rogach dużego kwadratu) - od pierwszej do czwartej. A potem nagle kto nie wie? Jak widać, ćwiartki (nazywane są też piękne słowo„kwadranty”) są ponumerowane w stosunku do ruchu zgodnie ze wskazówkami zegara. Dodano wartości kątów na osiach. Wszystko jasne, bez dodatków.

I dodał zieloną strzałkę. Z plusem. Co ona ma na myśli? Przypomnę, że stała strona narożnika zawsze przybity do dodatniej osi OH. Tak więc, jeśli przekręcimy ruchomą stronę narożnika plus strzałka, tj. w rosnących liczbach kwartalnych, kąt zostanie uznany za dodatni. Na przykład obraz pokazuje dodatni kąt +60°.

Jeśli odłożymy rzuty rożne w Odwrotna strona, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, kąt będzie uważany za ujemny. Najedź kursorem na zdjęcie (lub dotknij obrazu na tablecie), zobaczysz niebieską strzałkę z minusem. To jest kierunek ujemnego odczytu kątów. Jako przykład pokazano kąt ujemny (-60°). A zobaczysz też jak zmieniły się numery na osiach... Przetłumaczyłem je też na kąty ujemne. Numeracja kwadrantów nie ulega zmianie.

Tutaj zwykle zaczynają się pierwsze nieporozumienia. Jak to!? A jeśli ujemny kąt na kole pokrywa się z dodatnim!? I generalnie okazuje się, że to samo położenie strony ruchomej (lub punkt na okręgu numerycznym) można nazwać zarówno kątem ujemnym, jak i dodatnim!?

Tak. Dokładnie tak. Powiedzmy, że dodatni kąt 90 stopni przyjmuje okrąg dokładnie to samo pozycja jako kąt ujemny minus 270 stopni. Dodatni kąt, na przykład +110° stopni, przyjmuje dokładnie to samo pozycja, ponieważ kąt ujemny wynosi -250°.

Nie ma problemu. Wszystko się zgadza.) Wybór dodatniego lub ujemnego obliczenia kąta zależy od warunku zadania. Jeśli warunek nic nie mówi zwykły tekst o znaku kąta (np. „określ najmniejszy pozytywny kąt”, itp.), to pracujemy z dogodnymi dla nas wartościami.

Wyjątkiem (a jak bez nich?!) są nierówności trygonometryczne, ale tam opanujemy tę sztuczkę.

A teraz pytanie do Ciebie. Skąd mam wiedzieć, że pozycja kąta 110° jest taka sama jak pozycja kąta -250°?
Podpowiem, że wynika to z pełnego obrotu. W 360°... Niejasne? Następnie rysujemy okrąg. Rysujemy na papierze. Zaznaczanie rogu o 110°. I uwierzyć ile pozostało do pełnego obrotu. Pozostało tylko 250°...

Rozumiem? A teraz - uwaga! Jeśli kąty 110° i -250° zajmują okrąg To samo stanowisko, to co? Tak, fakt, że kąty wynoszą 110 ° i -250 ° dokładnie to samo sinus, cosinus, tangens i cotangens!
Tych. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tak dalej. Teraz to jest naprawdę ważne! A samo w sobie - istnieje wiele zadań, w których konieczne jest uproszczenie wyrażeń i jako podstawa do późniejszego opracowania formuł redukcyjnych i innych zawiłości trygonometrii.

Oczywiście wziąłem 110 ° i -250 ° na chybił trafił, czysto np. Wszystkie te równości działają dla dowolnych kątów zajmujących tę samą pozycję na kole. 60° i -300°, -75° i 285° i tak dalej. Od razu zauważam, że rogi w tych parach - różny. Ale mają funkcje trygonometryczne - to samo.

Myślę, że rozumiesz, czym są negatywne kąty. To całkiem proste. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jest liczbą dodatnią. Po drodze jest negatywna. Rozważ kąt dodatni lub ujemny zależy od nas. Z naszego pragnienia. No i oczywiście więcej z zadania ... Mam nadzieję, że rozumiesz, jak poruszać się w funkcjach trygonometrycznych od kątów ujemnych do dodatnich i odwrotnie. Narysuj okrąg, przybliżony kąt i zobacz, ile brakuje przed pełnym zakrętem, tj. do 360°.

Kąty większe niż 360°.

Zajmijmy się kątami większymi niż 360 °. A takie rzeczy się zdarzają? Oczywiście są. Jak narysować je na kole? Żaden problem! Załóżmy, że musimy zrozumieć, w której ćwiartce spadnie kąt 1000 °? Łatwo! Wykonujemy jeden pełny obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (kąt dano nam dodatnio!). Przewiń o 360°. Cóż, przejdźmy dalej! Kolejny obrót - już wyszło 720 °. Ile zostało? 280°. To za mało na pełny obrót… Ale kąt to ponad 270° – i to jest granica między trzecią a czwartą ćwiartką. Zatem nasz kąt 1000° wypada na czwartą ćwiartkę. Wszystko.

Jak widać, jest to dość proste. Przypomnę raz jeszcze, że kąt 1000° i kąt 280°, który uzyskaliśmy odrzucając „dodatkowe” pełne obroty, są ściśle mówiąc, różny rogi. Ale funkcje trygonometryczne tych kątów dokładnie to samo! Tych. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Gdybym był sinusem, nie zauważyłbym różnicy między tymi dwoma kątami...

Dlaczego to wszystko jest konieczne? Dlaczego musimy przekładać kąty z jednego na drugi? Tak, wszyscy za to samo.) W celu uproszczenia wyrażeń. W rzeczywistości uproszczenie wyrażeń jest głównym zadaniem matematyki szkolnej. Cóż, po drodze głowa trenuje.)

Cóż, poćwiczymy?)

Odpowiadamy na pytania. Na początku proste.

1. W którą ćwiartkę spada kąt -325°?

2. W którą ćwiartkę spada kąt 3000°?

3. W którą ćwiartkę spada kąt -3000°?

Tam jest problem? Czy niepewność? Przechodzimy do sekcji 555, Praktyczna praca z okręgiem trygonometrycznym. Tam, w pierwszej lekcji tego samego „ praktyczna praca..." wszystko jest szczegółowe ... In taki pytania niepewności nie powinien!

4. Jaki jest znak grzechu555°?

5. Jaki jest znak tg555°?

Ustalona? W porządku! Wątpliwość? Jest to konieczne do sekcji 555 ... Nawiasem mówiąc, nauczysz się rysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym. Bardzo przydatna rzecz.

A teraz mądrzejsze pytania.

6. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa najmniejszego dodatniego kąta.

7. Doprowadzić wyrażenie cos777 do cosinusa największego kąta ujemnego.

8. Przekształć wyrażenie cos(-777°) na cosinus najmniejszego kąta dodatniego.

9. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa największego kąta ujemnego.

Co, pytania 6-9 są zdziwione? Przyzwyczaj się do tego, na egzaminie nie ma takich sformułowań... Niech tak będzie, przetłumaczę. Tylko dla Ciebie!

Słowa „zredukować wyrażenie do…” oznaczają przekształcenie wyrażenia tak, aby jego wartość nie zmienił się a wygląd zewnętrzny zmieniane zgodnie z zadaniem. Tak więc w zadaniach 6 i 9 musimy uzyskać sinus, wewnątrz którego jest najmniejszy kąt dodatni. Wszystko inne nie ma znaczenia.

Udzielę odpowiedzi w kolejności (z naruszeniem naszych zasad). Ale co robić, są tylko dwa znaki, a tylko cztery ćwiartki… Nie rozrzucisz się w opcjach.

6. grzech57°.

7.cos (-57°).

8.cos57°.

9.-grzech (-57°)

Przypuszczam, że odpowiedzi na pytania 6-9 zmyliły niektórych ludzi. Szczególnie -grzech (-57°), prawda?) Rzeczywiście, w elementarnych zasadach liczenia kątów jest miejsce na błędy ... Dlatego musiałem zrobić lekcję: "Jak wyznaczyć znaki funkcji i podać kąty na okręgu trygonometrycznym?" W sekcji 555. Tam zadania 4 - 9 są uporządkowane. Dobrze posortowane, ze wszystkimi pułapkami. I są tutaj.)

W kolejnej lekcji zajmiemy się tajemniczymi radianami i liczbą „Pi”. Dowiedz się, jak łatwo i poprawnie zamienić stopnie na radiany i odwrotnie. I będziemy zdziwieni, gdy stwierdzimy, że te podstawowe informacje na stronie już wystarczy rozwiązać kilka niestandardowych zagadek trygonometrycznych!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rodzaj lekcji: usystematyzowanie wiedzy i kontrola pośrednia.

Ekwipunek: koło trygonometryczne, testy, karty z zadaniami.

Cele Lekcji: usystematyzować badanych materiał teoretyczny zgodnie z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa kąta; sprawdzić stopień przyswojenia wiedzy na ten temat i zastosowania w praktyce.

Zadania:

Uogólnij i skonsoliduj pojęcia sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Aby stworzyć złożoną ideę funkcji trygonometrycznych.
Przyczyniać się do rozwoju u uczniów chęci i potrzeby studiowania materiału trygonometrycznego; kultywowanie kultury komunikacji, umiejętności pracy w grupach i potrzeby samokształcenia.

„Kto robi i myśli od młodości, on…
staje się wtedy bardziej niezawodny, silniejszy, mądrzejszy.

(W. Szukszin)

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny

Klasę reprezentują trzy grupy. Każda grupa ma konsultanta.
Nauczyciel zgłasza temat, cele i zadania lekcji.

II. Aktualizacja wiedzy (frontalna praca z klasą)

1) Praca w grupach nad zadaniami:

1. Sformułuj definicję kąta grzechu.

– Jakie znaki ma sin α w każdej ćwiartce współrzędnych?
– Przy jakich wartościach wyrażenie sin α ma sens, a jakie może przybierać?

2. Druga grupa to te same pytania dotyczące cos α.

3. Trzecia grupa przygotowuje odpowiedzi na te same pytania tg α i ctg α.

W tym czasie trójka uczniów pracuje samodzielnie przy tablicy na kartach (przedstawiciele różnych grup).

Numer karty 1.

Praktyczna praca.
Korzystając z okręgu jednostkowego oblicz wartości sin α, cos α i tg α dla kątów 50, 210 i -210.

Numer karty 2.

Określ znak wyrażenia: tg 275; cos 370; grzech 790; tg 4.1 i grzech 2.

Numer karty 3.

1) Oblicz:
2) Porównaj: cos 60 i cos 2 30 - sin 2 30

2) Doustnie:

a) Proponuje się kilka liczb: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Niektóre z nich są zbędne. Jaka właściwość sin α lub cos α może wyrażać te liczby (Czy sin α lub cos α mogą przyjmować te wartości).
b) Czy wyrażenie ma sens: cos (-); grzech2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). Czemu?
c) Czy jest najmniej i najwyższa wartość grzech lub cos, tg, ctg.
d) Czy to prawda?
1) α = 1000 to kąt ćwiartki II;
2) α \u003d - 330 to kąt ćwiartki IV.
e) Liczby odpowiadają temu samemu punktowi na okręgu jednostkowym.

3) Praca na tablicy

#567 (2; 4) – Znajdź wartość wyrażenia
#583 (1-3) Określ znak wyrażenia

Zadanie domowe: stół w zeszycie. nr 567(1, 3) nr 578

III. Nabycie dodatkowej wiedzy. Trygonometria w Twojej dłoni

Nauczyciel: Okazuje się, że wartości sinusów i cosinusów kątów „są” w twojej dłoni. Wyciągnij rękę (dowolną) i rozsuń palce jak najdalej (jak na plakacie). Zapraszany jest jeden uczeń. Mierzymy kąty między palcami.
Bierze się trójkąt, gdzie jest kąt 30, 45 i 60 90 i przykładamy wierzchołek kąta do wzgórka Księżyca w naszej dłoni. Góra Księżycowa znajduje się na przecięciu przedłużeń małego palca i kciuk. Łączymy jedną stronę małym palcem, a drugą jedną z pozostałych palców.
Okazuje się, że kąt między małym palcem a kciukiem wynosi 90, między małym palcem a serdecznym - 30, między małym a środkowym palcem - 45, między małym palcem a palcem wskazującym - 60. A to jest dla wszystkich ludzi bez wyjątku

mały palec numer 0 - odpowiada 0,
bezimienny numer 1 - odpowiada 30,
średnia liczba 2 - odpowiada 45,
numer indeksu 3 - odpowiada 60,
duża liczba 4 - odpowiada 90.

W ten sposób mamy 4 palce na dłoni i pamiętamy formułę:

numer palca	Zastrzyk	Oznaczający

To tylko zasada mnemoniczna. Generalnie wartość sin α lub cos α trzeba znać na pamięć, ale czasami ta zasada pomoże w trudnych czasach.
Wymyśl regułę dla cos (kąty bez zmian, ale licząc od kciuka). Fizyczna pauza związana ze znakami sin α lub cos α.

IV. Sprawdzenie asymilacji ZUN

Niezależna praca z informacją zwrotną

Każdy uczeń otrzymuje test (4 opcje), a arkusz odpowiedzi jest taki sam dla wszystkich.

Test

opcja 1

1) Pod jakim kątem obrotu promień przyjmie taką samą pozycję, jak po obróceniu o kąt 50.
2) Znajdź wartość wyrażenia: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Która z liczb jest mniejsza od zera: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Opcja 2

1) Pod jakim kątem obrotu promień przyjmie taką samą pozycję, jak po obróceniu o kąt 10.
2) Znajdź wartość wyrażenia: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Która z liczb jest większa od zera: sin 340, cos 340, sin 240, tg (-240).

Opcja 3

1) Znajdź wartość wyrażenia: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Która z liczb jest mniejsza od zera: sin 40, cos (-10), tg 210, sin 140.
3) Kąt, którego ćwiartka jest kątem α, jeśli sin α > 0, cos α< 0.

Opcja 4

1) Znajdź wartość wyrażenia: tg 60 - 6ctg 90.
2) Która z liczb jest mniejsza od zera: sin (-10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kąt, którego ćwiartka jest kątem α, jeśli ctg α< 0, cos α> 0.

ALE 0	B Grzech50	W 1	G – 350	D – 1	mi Sałata(– 140)
F 3	Z 310	I Cos 140		L 350	M 2
H Cos 340	O – 3	P Co 250	R	Z grzech 140	T – 310
Na – 2	F 2	X Tg50	W Tg 250	YU grzech 340	I 4

(słowo to trygonometria jest kluczem)

V. Informacje z historii trygonometrii

Nauczyciel: Trygonometria to dość ważna gałąź matematyki dla ludzkiego życia. Nowoczesny wygląd trygonometrię podał największy matematyk XVIII wieku, Szwajcar Leonhard Euler, z urodzenia długie lata który pracował w Rosji i był członkiem Petersburskiej Akademii Nauk. On przedstawił słynne definicje funkcje trygonometryczne sformułowane i sprawdzone dobrze znane formuły, poznamy je później. Życie Eulera jest bardzo interesujące i radzę zapoznać się z nim z książki Jakowlewa „Leonard Euler”.

(Powiadom chłopaków na ten temat)

VI. Podsumowując lekcję

Gra w kółko i krzyżyk

Uczestniczy dwóch najbardziej aktywnych uczniów. Są wspierani przez grupy. Rozwiązanie zadań jest zapisywane w zeszycie.

Zadania

1) Znajdź błąd

a) grzech 225 = - 1,1 c) grzech 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Wyraź kąt w stopniach
3) Wyraź w radianach kąt 300
4) Jaki jest największy i najmniejsza wartość może mieć wyrażenie: 1+ sin α;
5) Określ znak wyrażenia: grzech 260, cos 300.
6) W której ćwiartce koła liczbowego znajduje się punkt
7) Wyznacz znaki wyrażenia: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Oblicz:
9) Porównaj: grzech 2 i grzech 350

VII. Refleksja lekcji

Nauczyciel: Gdzie możemy spotkać trygonometrię?
Na jakich lekcjach w klasie 9, a nawet teraz, używacie pojęć sin α, cos α; tgα; ctg α iw jakim celu?

Znak funkcji trygonometrycznej zależy wyłącznie od ćwiartki współrzędnych, w której znajduje się argument liczbowy. Ostatnim razem nauczyliśmy się tłumaczyć argumenty z miary w radianach na miarę w stopniach (patrz lekcja „Miara kąta w radianach i stopniach”), a następnie wyznaczać tę samą ćwiartkę współrzędnych. Zajmijmy się teraz definicją znaku sinusa, cosinusa i tangensa.

Sinus kąta α jest rzędną (współrzędną y) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień jest obrócony o kąt α.

Cosinus kąta α to odcięta (współrzędna x) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień obraca się o kąt α.

Tangens kąta α jest stosunkiem sinusa do cosinusa. Lub, równoważnie, stosunek współrzędnej y do współrzędnej x.

Notacja: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Wszystkie te definicje są Ci znane z kursu algebry w szkole średniej. Jednak nie interesują nas same definicje, ale konsekwencje, które pojawiają się na okręgu trygonometrycznym. Spójrz:

Kolor niebieski wskazuje kierunek dodatni osi OY (oś rzędnych), kolor czerwony wskazuje kierunek dodatni osi OX (oś odciętych). Na tym „radarze” znaki funkcji trygonometrycznych stają się oczywiste. W szczególności:

sin α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub II. Dzieje się tak, ponieważ z definicji sinus jest rzędną (współrzędną y). A współrzędna y będzie dodatnia dokładnie w ćwiartkach współrzędnych I i II;
cos α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub IV. Ponieważ tylko tam współrzędna x (jest to również odcięta) będzie większa od zera;
tg α > 0 jeśli kąt α leży w kwadrancie I lub III współrzędnych. Wynika to z definicji: w końcu tg α = y : x , więc jest dodatnie tylko wtedy, gdy znaki x i y pokrywają się. Dzieje się to w 1. ćwiartce współrzędnych (tutaj x > 0, y > 0) i w 3. ćwiartce współrzędnych (x< 0, y < 0).

Dla jasności odnotowujemy znaki każdej funkcji trygonometrycznej - sinus, cosinus i tangens - na osobnym „radarze”. Otrzymujemy następujący obraz:

Uwaga: w swoim rozumowaniu nigdy nie mówiłem o czwartej funkcji trygonometrycznej - kotangensie. Faktem jest, że znaki cotangensa pokrywają się ze znakami stycznej - nie ma tam żadnych specjalnych zasad.

Teraz proponuję rozważyć przykłady podobne do problemów B11 z egzamin próbny w matematyce, która odbyła się 27 września 2011 r. Przecież Najlepszym sposobem zrozumienie teorii to praktyka. Najlepiej dużo praktyki. Oczywiście nieznacznie zmieniły się warunki wykonywania zadań.

Zadanie. Określ znaki funkcji i wyrażeń trygonometrycznych (wartości samych funkcji nie muszą być brane pod uwagę):

grzech(3π/4);

cos(7π/6);

opalenizna (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Plan działania jest następujący: najpierw przeliczamy wszystkie kąty z miary radiana na miarę stopnia (π → 180°), a następnie sprawdzamy, w której ćwiartce współrzędnych leży wynikowa liczba. Znając kwatery, bez trudu odnajdziemy znaki - zgodnie z opisanymi zasadami. Mamy:

grzech (3π/4) = grzech (3 180°/4) = grzech 135°. Od 135° ∈ jest to kąt od kwadrantu II współrzędnych. Ale sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, więc sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Ponieważ 210° ∈ , jest to kąt od kwadrantu III współrzędnych, w którym wszystkie cosinusy są ujemne. Dlatego cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ jesteśmy w czwartej ćwiartce, gdzie styczna ma wartości ujemne. Dlatego tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Zajmijmy się sinusem: ponieważ 135° ∈ , jest to druga ćwiartka, w której sinusy są dodatnie, tj. sin (3π/4) > 0. Teraz pracujemy z cosinusem: 150° ∈ - znowu druga ćwiartka, tam cosinusy są ujemne. Dlatego cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Patrzymy na cosinus: 120° ∈ jest ćwiartką II współrzędnych, więc cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Znowu otrzymaliśmy produkt, w którym czynniki o różnych znakach. Ponieważ „minus razy plus daje minus”, mamy: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Pracujemy z sinusem: od 150° ∈ , rozmawiamy o drugiej ćwiartce współrzędnych, gdzie sinusy są dodatnie. Dlatego sin (5π/6) > 0. Podobnie, 315° ∈ jest ćwiartką współrzędnych IV, gdzie cosinusy są dodatnie. Zatem cos (7π/4) > 0. Otrzymaliśmy iloczyn dwóch liczb dodatnich - takie wyrażenie jest zawsze dodatnie. Wnioskujemy: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ale kąt 135° ∈ to druga ćwiartka, czyli opalenizna (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Ponieważ „minus plus daje znak minus”, mamy: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Patrzymy na argument cotangensa: 240° ∈ to ćwiartka III współrzędnej, więc ctg (4π/3) > 0. Podobnie dla stycznej mamy: 30° ∈ to ćwiartka I współrzędnych, tj. najłatwiejszy róg. Zatem tg (π/6) > 0. Znowu otrzymaliśmy dwa dodatnie wyrażenia - ich iloczyn również będzie dodatni. Dlatego ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka wymagające zadania. Oprócz znalezienia znaku funkcji trygonometrycznej, tutaj musisz wykonać małe obliczenia - tak jak to się robi w prawdziwych zadaniach B11. W zasadzie są to prawie realne zadania, które naprawdę można znaleźć na egzaminie z matematyki.

Zadanie. Znajdź sin α, jeśli sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Ponieważ sin 2 α = 0,64 mamy: sin α = ±0,8. Pozostaje do podjęcia decyzji: plus czy minus? Z założenia kąt α ∈ [π/2; π] jest ćwiartką współrzędnych II, w której wszystkie sinusy są dodatnie. Zatem sin α = 0,8 - eliminuje się niepewność ze znakami.

Zadanie. Znajdź cos α jeśli cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Postępujemy podobnie, tj. wyciąg Pierwiastek kwadratowy: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Z założenia kąt α ∈ [π; 3π/2], tj. mówimy o III ćwiartce współrzędnych. Tam wszystkie cosinusy są ujemne, więc cos α = -0,2.

Zadanie. Znajdź sin α jeśli sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Mamy: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ponownie przyjrzymy się kątowi: α ∈ to ćwiartka współrzędnej IV, w której, jak wiecie, sinus będzie ujemny. Zatem wnioskujemy: sin α = -0,5.

Zadanie. Znajdź tg α jeśli tg 2 α = 9 i α ∈ .

Wszystko jest takie samo, tylko dla stycznej. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ale pod warunkiem, kąt α ∈ jest kwadrantem I współrzędnych. Wszystkie funkcje trygonometryczne, m.in. styczna, są dodatnie, więc tg α = 3. To wszystko!

W V wieku pne starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest tysiąc kroków za nim. W czasie, gdy Achilles pokonuje ten dystans, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw będzie czołgał się o kolejne dziesięć i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich następnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób uważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że ” …dyskusje trwają w chwili obecnej, aby dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów społeczność naukowa do tej pory nie było to możliwe ... w badanie tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, czym jest oszustwo.

Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie zademonstrował przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miar albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Zastosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez inercję myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwalniał aż do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.

Jeśli odwrócimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięciokrotnie krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji pojęcie „nieskończoności”, to słuszne byłoby powiedzenie „Achilles nieskończenie szybko wyprzedzi żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki Achilles potrzebuje na wykonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw będzie czołgał się na sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie Problemy. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych ilościach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o latającej strzałie:

Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, zawsze jest w spoczynku.

W tej aporii logiczny paradoks pokonuje się ją bardzo prosto - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Z jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się ustalić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwie fotografie wykonane z tego samego punktu w różnych punktach czasowych, ale nie można ich wykorzystać do określenia odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz z nich określić faktu ruchu (oczywiście do obliczeń nadal potrzebujesz dodatkowych danych, pomoże ci trygonometria). Na czym chcę się skupić Specjalna uwaga jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.

środa, 4 lipca 2018

Bardzo dobrze różnice między setami i multisetami są opisane w Wikipedii. Patrzymy.

Jak widać, „zestaw nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zestawie są identyczne elementy, taki zestaw nazywa się „multisetem”. Podobna logika absurdu istoty zdolne odbierać wrażenia nigdy nie rozumiem. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, w którym umysł jest nieobecny w słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, przekazują nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, byli w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy kryją się za zwrotem „uwaga na mnie, jestem w domu”, a raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Uczyliśmy się bardzo dobrze matematyki i teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Tutaj matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy na stole w różne stosy, w które wkładamy banknoty tego samego nominału. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykę, że otrzyma resztę rachunków dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tu zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewniać, że na banknotach o tym samym nominale znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że nie można ich uznać za elementy identyczne. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie konwulsyjnie przypominać sobie fizykę: różne monety dostępny inna kwota brud, struktura krystaliczna i układ atomowy każdej monety są wyjątkowe...

A teraz mam najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest granica, poza którą elementy wielozbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.

Popatrz tutaj. Dobieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy bardzo dużo, bo nazwy są różne. Jak widać, ten sam zestaw elementów jest jednocześnie zestawem i multizestawem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać o secie lub multisecie. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym elementy jednego zbioru różnią się od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnych „wyobrażalnych jako nie jedna całość” lub „nie wyobrażalnych jako jedna całość”.

niedziela, 18 marca 2018

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczono nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale oni są szamanami od tego, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wyginą.

Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma formuły, za pomocą której można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.

Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak załóżmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.

2. Dzielimy jeden otrzymany obrazek na kilka obrazków zawierających osobne numery. Wycinanie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj otrzymane liczby. To jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 to 15. Są to „kursy krojenia i szycia” od szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.

Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczbę. Tak więc w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru będzie różna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, rozważ numer 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak samo, jak gdybyś wyznaczył powierzchnię prostokąta w metrach i centymetrach, uzyskasz zupełnie inne wyniki.

Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Czym dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Szamanom mogę na to pozwolić, ale naukowcom nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Otrzymany wynik należy traktować jako dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różne wyniki po ich porównaniu to nie ma nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Zaloguj się na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Auć! Czy to nie jest toaleta dla kobiet?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieskończonej świętości dusz po wniebowstąpieniu! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.

Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowania migające przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle w samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (złożenie kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam tej dziewczyny za głupca, który nie zna fizyki. Ma po prostu łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” lub „jeden a”. To jest „człowiek robiący kupę” lub liczba „dwadzieścia sześć” w system szesnastkowy rachunek. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają liczbę i literę jako jeden symbol graficzny.

Dane odniesienia dla tangensa (tg x) i cotangensa (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica tangensów i kotangensów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów. Wyrażenia poprzez złożone zmienne. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a nogą trójkąt prostokątny, równy stosunkowi długości przeciwległego ramienia |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwległej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie n- cały.

W literatura zachodnia styczna jest zdefiniowana w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjęto również następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Domeny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- liczba całkowita).

	y= tg x	y= ctg x
Zakres i ciągłość
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Ekstrema	-	-
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji :
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną > > > ; dla cotangensa > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa w potęgach x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w seria mocy dla funkcji grzech x oraz bo x i podziel te wielomiany na siebie , . Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do tangensa i cotangensa to odpowiednio arcus tangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arc tangens, arcctg