Jak określić znak liczby w funkcji trygonometrycznej. koło trygonometryczne. Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych

Dane odniesienia dla tangensa (tg x) i cotangensa (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica tangensów i kotangensów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów. Wyrażenia poprzez złożone zmienne. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwprostokątnej |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwległej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie n- cały.

W literatura zachodnia styczna jest zdefiniowana w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjęto również następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Domeny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- liczba całkowita).

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji :
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną > > > ; dla cotangensa > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa w potęgach x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w seria mocy dla funkcji grzech x oraz bo x i podziel te wielomiany na siebie , . Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do tangensa i cotangensa to odpowiednio arcus tangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arc tangens, arcctg

, gdzie n- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2012.

Pozwala ustalić szereg charakterystycznych wyników - właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. W tym artykule przyjrzymy się trzem głównym właściwościom. Pierwsza z nich wskazuje znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, w zależności od tego, który kąt ćwiartki współrzędnej jest α. Następnie rozważymy właściwość okresowości, która określa niezmienność wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, gdy kąt ten zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia własność wyraża zależność między wartościami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów przeciwnych α i −α.

Jeśli interesują Cię właściwości funkcji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, możesz je zbadać w odpowiedniej sekcji artykułu.

Nawigacja po stronach.

Znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w ćwiartkach

Poniżej w tym akapicie znajdzie się wyrażenie „kąt I, II, III i IV ćwiartki współrzędnej”. Wyjaśnijmy, czym są te rogi.

Weźmy okrąg jednostkowy, zaznaczmy na nim punkt początkowy A(1,0) i obróćmy go wokół punktu O o kąt α, zakładając, że dochodzimy do punktu A 1 (x, y) .

Mówią, że kąt α to kąt I , II , III , IV współrzędnej ćwiartkowej jeśli punkt A 1 leży odpowiednio w I, II, III, IV ćwiartce; jeśli kąt α jest taki, że punkt A 1 leży na dowolnej z linii współrzędnych Ox lub Oy , to ten kąt nie należy do żadnej z czterech ćwiartek.

Dla jasności przedstawiamy ilustrację graficzną. Poniższe rysunki pokazują kąty obrotu 30 , -210 , 585 i -45 stopni, które są odpowiednio kątami I , II , III i IV ćwiartek współrzędnych.

rogi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopnie nie należą do żadnej z ćwiartek współrzędnych.

Teraz zastanówmy się, które znaki mają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu α, w zależności od tego, który kąt ćwiartki jest α.

Dla sinusa i cosinusa jest to łatwe.

Z definicji sinus kąta α jest rzędną punktu A 1 . Jest oczywiste, że w I i II ćwiartce współrzędnych jest dodatni, aw III i IV ujemna. Zatem sinus kąta α ma znak plus w ćwiartce I i II oraz znak minus w ćwiartce III i VI.

Z kolei cosinus kąta α jest odciętą punktu A 1 . W kwartale I i IV jest dodatni, aw kwartale II i III ujemna. Dlatego wartości cosinusa kąta α w ćwiartce I i IV są dodatnie, aw ćwiartce II i III są ujemne.

Aby określić znaki za pomocą ćwiartek stycznej i cotangensa, należy pamiętać o ich definicjach: tangens to stosunek rzędnej punktu A 1 do odciętej, a cotangens to stosunek odciętej punktu A 1 do rzędnej. Następnie od zasady dzielenia liczb z tym samym i różne znaki z tego wynika, że ​​tangens i cotangens mają znak plus, gdy znaki odciętej i rzędnej punktu A 1 są takie same, oraz znak minus, gdy znaki odciętej i rzędnej punktu A 1 są różne. Dlatego tangens i cotangens kąta mają znak + w ćwiartkach współrzędnych I i III oraz znak minus w ćwiartkach II i IV.

Rzeczywiście np. w pierwszej ćwiartce zarówno odcięta x jak i rzędna y punktu A 1 są dodatnie, to zarówno iloraz x/y jak i iloraz y/x są dodatnie, zatem tangens i cotangens mają znaki + . A w drugiej ćwiartce odciętej x jest ujemne, a rzędna y jest dodatnia, więc zarówno x / y, jak i y / x są ujemne, stąd styczna i cotangens mają znak minus.

Przejdźmy do następnej własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Właściwość okresowości

Teraz przeanalizujemy być może najbardziej oczywistą właściwość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta. Polega ona na tym, że gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę pełnych obrotów, wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa tego kąta nie ulegają zmianie.

Jest to zrozumiałe: gdy kąt zmieni się o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dojdziemy od punktu początkowego A do punktu A 1 na okręgu jednostkowym, dlatego wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa pozostają niezmienione, ponieważ współrzędne punktu A 1 pozostają niezmienione.

Korzystając ze wzorów, rozważaną własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa można zapisać następująco: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , gdzie α jest kątem obrotu w radianach, z jest dowolnym , którego wartość bezwzględna wskazuje liczbę pełnych obrotów, o jaką zmienia się kąt α, oraz znak liczba z wskazuje kierunek skrętu.

Jeżeli kąt obrotu α zostanie podany w stopniach, to te wzory zostaną przepisane jako sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .

Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład, , dlatego , a . Oto kolejny przykład: lub .

Ta właściwość wraz ze wzorami redukcyjnymi jest bardzo często wykorzystywana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa „dużych” kątów.

Rozważana własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa jest czasami nazywana własnością okresowości.

Własności sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych

Niech А 1 będzie punktem otrzymanym w wyniku obrotu punktu początkowego А(1, 0) wokół punktu O o kąt α , a punkt А 2 będzie wynikiem obrotu punktu А o kąt −α przeciwnie do kąta α .

Własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych opiera się na dość oczywistym fakcie: wspomniane powyżej punkty A 1 i A 2 albo pokrywają się (w) albo są położone symetrycznie wokół osi Wół. Oznacza to, że jeśli punkt A 1 ma współrzędne (x, y) , to punkt A 2 będzie miał współrzędne (x, −y) . Stąd, zgodnie z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, zapisujemy równości i.
Porównując je, dochodzimy do relacji między sinusami, cosinusami, tangensami i cotangensami o kątach przeciwnych α i −α postaci .
Jest to rozważana właściwość w postaci formuł.

Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład równości i .

Pozostaje tylko zauważyć, że właściwość sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów o przeciwnych kątach, podobnie jak poprzednia właściwość, jest często używana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i pozwala na całkowite odejście z ujemnych kątów.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Oświecenie, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Różnorodny. Niektóre z nich dotyczą tego, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których sinus jest ujemny. Wszystko okazuje się proste, jeśli wiesz, jak obliczyć wartości tych funkcji w różne kąty i zna zasadę wykreślania funkcji na wykresie.

Jakie są wartości cosinusa?

Jeśli weźmiemy pod uwagę, to mamy następujący współczynnik kształtu, który go określa: cosinus kąta a jest stosunkiem sąsiedniej nogi BC do przeciwprostokątnej AB (ryc. 1): cos a= BC/AB.

Używając tego samego trójkąta, możesz znaleźć sinus kąta, tangens i cotangens. Sinus będzie stosunkiem kąta przeciwprostokątnego AC do przeciwprostokątnej AB. Tangens kąta znajduje się, gdy sinus pożądanego kąta jest podzielony przez cosinus tego samego kąta; zastępując odpowiednie wzory na znalezienie sinusa i cosinusa, otrzymujemy, że tg a\u003d AC / BC. Cotangens, jako funkcja odwrotna do tangensa, otrzymamy tak: ctg a= BC/AC.

Oznacza to, że dla tych samych wartości kąta stwierdzono, że w trójkącie prostokątnym proporcje są zawsze takie same. Wydawałoby się, że stało się jasne, skąd te wartości pochodzą, ale dlaczego uzyskuje się liczby ujemne?

Aby to zrobić, musisz wziąć pod uwagę trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym są zarówno dodatnie, jak i wartości ujemne.

Oczywiście o ćwiartkach, gdzie jest który

Jakie są współrzędne kartezjańskie? Jeśli mówimy o przestrzeni dwuwymiarowej, mamy dwie skierowane linie, które przecinają się w punkcie O - jest to oś odciętych (Ox) i oś rzędnych (Oy). Od punktu O w kierunku prostej są liczby dodatnie, a w Odwrotna strona- negatywny. Ostatecznie zależy to bezpośrednio od tego, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których odpowiednio ujemny.

Pierwszy kwartał

Jeśli umieszczony trójkąt prostokątny w pierwszym kwartale (od 0 o do 90 o), gdzie osie x i y mają wartości dodatnie(segmenty AO i VO leżą na osiach, na których wartości mają znak „+”), wówczas zarówno sinus, jak i cosinus również będą miały wartości dodatnie i przypisano im wartość ze znakiem plus. Ale co się stanie, jeśli przesuniesz trójkąt do drugiej ćwiartki (z 90 o do 180 o)?

Drugi kwartał

Widzimy, że wzdłuż osi y AO otrzymał wartość ujemną. Cosinus kąta a teraz ma tę stronę w stosunku do minusa, a zatem jej ostateczna wartość staje się ujemna. Okazuje się, że w której ćwiartce cosinus jest dodatni zależy od położenia trójkąta w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym przypadku cosinus kąta przyjmuje wartość ujemną. Ale dla sinusa nic się nie zmieniło, ponieważ do określenia jego znaku potrzebna jest strona OB, która pozostała w tym przypadku ze znakiem plus. Podsumujmy pierwsze dwa kwartały.

Aby dowiedzieć się, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których ujemny (a także sinus i inne funkcje trygonometryczne), należy przyjrzeć się, który znak jest przypisany do jednej lub drugiej nogi. Dla cosinusa kąta a noga AO jest ważna, dla zatoki - OB.

Pierwszy kwartał stał się jak dotąd jedynym, który odpowiada na pytanie: „W których ćwiartkach sinus i cosinus są jednocześnie dodatnie?”. Zobaczmy dalej, czy będzie więcej zbiegów okoliczności w znaku tych dwóch funkcji.

W drugim kwartale noga AO zaczęła mieć wartość ujemną, co oznacza, że ​​cosinus stał się ujemny. Dla sinusa przechowywana jest wartość dodatnia.

Trzeci kwadrans

Teraz obie nogi AO i OB stały się ujemne. Przypomnij sobie współczynniki cosinusa i sinusa:

Cos a \u003d AO / AB;

Grzech \u003d BO / AB.

AB zawsze ma znak dodatni w danym układzie współrzędnych, ponieważ nie jest skierowany na żadną z dwóch stron określonych przez osie. Ale nogi stały się ujemne, co oznacza, że ​​wynik dla obu funkcji jest również ujemny, ponieważ jeśli wykonasz operacje mnożenia lub dzielenia na liczbach, wśród których jedna i tylko jedna ma znak minus, to wynik będzie również z tym znakiem .

Wynik na tym etapie:

1) W którym kwartale jest dodatni cosinus? W pierwszej z trzech.

2) W którym kwartale sinus jest dodatni? W pierwszej i drugiej z trzech.

Czwarty kwartał (od 270 o do 360 o)

Tutaj noga AO ponownie otrzymuje znak plus, a więc także cosinus.

W przypadku sinusa rzeczy są nadal „ujemne”, ponieważ noga OB pozostała poniżej punktu początkowego O.

wnioski

Aby zrozumieć, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, ujemny itd., należy pamiętać o stosunku do obliczenia cosinusa: odnoga przylegająca do kąta podzielona przez przeciwprostokątną. Niektórzy nauczyciele sugerują zapamiętanie tego: k (osina) \u003d (k) róg. Jeśli pamiętasz to „oszustwo”, automatycznie rozumiesz, że sinus jest stosunkiem przeciwności do kąta nachylenia nogi do przeciwprostokątnej.

Zapamiętanie, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a który ujemny, jest dość trudne. Istnieje wiele funkcji trygonometrycznych i wszystkie mają swoje własne wartości. Ale nadal w rezultacie: dodatnie wartości dla sinusa - 1, 2 ćwiartki (od 0 o do 180 o); dla cosinusa 1, 4 ćwiartki (od 0 o do 90 o i od 270 o do 360 o). W pozostałych kwartałach funkcje mają wartości z minusem.

Być może komuś łatwiej będzie zapamiętać, gdzie jest jaki znak, zgodnie z obrazem funkcji.

Dla sinusa widać, że od zera do 180 o szczyt znajduje się powyżej linii wartości sin(x), co oznacza, że ​​funkcja jest tutaj dodatnia. Dla cosinusa jest tak samo: w której ćwiartce cosinus jest dodatni (zdjęcie 7), a w którym jest ujemny, można to zobaczyć przesuwając linię powyżej i poniżej osi cos (x). W rezultacie możemy zapamiętać dwa sposoby wyznaczania znaku funkcji sinus, cosinus:

1. W wyimaginowanym okręgu o promieniu równym jeden (choć tak naprawdę nie ma znaczenia, jaki jest promień okręgu, ale podręczniki najczęściej podają właśnie taki przykład; ułatwia to postrzeganie, ale przy jednocześnie, jeśli nie określisz, że to nie ma znaczenia, dzieci mogą się pomylić).

2. Zgodnie z obrazem zależności funkcji od (x) od samego argumentu x, jak na ostatnim rysunku.

Korzystając z pierwszej metody, możesz ZROZUMIEĆ, od czego dokładnie zależy znak, i wyjaśniliśmy to szczegółowo powyżej. Rysunek 7, zbudowany na tych danych, wizualizuje wynikową funkcję i jej przynależność do znaku w najlepszy możliwy sposób.

Jeśli znasz już koło trygonometryczne , a Ty po prostu chcesz odświeżyć poszczególne elementy w swojej pamięci, albo jesteś kompletnie niecierpliwy, to oto :

Tutaj przeanalizujemy wszystko szczegółowo krok po kroku.

Koło trygonometryczne to nie luksus, ale konieczność

Trygonometria wiele z nich kojarzy się z nieprzebytym gąszczem. Tak wiele znaczeń nagle się piętrzy funkcje trygonometryczne, tak wiele formuł ... Ale to jest tak, - na początku nie wyszło i ... z przerwami ... zwykłe nieporozumienie ...

Bardzo ważne jest, aby nie machać ręką wartości funkcji trygonometrycznych, - mówią, zawsze możesz spojrzeć na bodziec z tabelą wartości.

Jeśli ciągle patrzysz na tabelę z wartościami wzorów trygonometrycznych, pozbądźmy się tego nawyku!

Uratuje nas! Popracujesz z nim kilka razy, a potem samo wyskoczy ci w głowie. Dlaczego jest lepszy niż stół? Tak, w tabeli znajdziesz ograniczoną ilość wartości, ale na kółku - WSZYSTKO!

Na przykład, powiedzmy, patrząc na standardowa tabela wartości formuł trygonometrycznych , czyli sinus, powiedzmy, 300 stopni, czyli -45.

Nie ma mowy?.. można oczywiście podłączyć formuły redukcyjne... A patrząc na okrąg trygonometryczny, możesz łatwo odpowiedzieć na takie pytania. A wkrótce dowiesz się jak!

A przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i nierówności bez koła trygonometrycznego - nigdzie.

Wprowadzenie do okręgu trygonometrycznego

Chodźmy w porządku.

Najpierw zapisz następującą serię liczb:

A teraz to:

I wreszcie ten:

Oczywiście jasne jest, że w rzeczywistości na pierwszym miejscu jest, na drugim miejscu, a na ostatnim -. Oznacza to, że bardziej zainteresuje nas łańcuch .

Ale jak pięknie się wyszło! W takim przypadku przywrócimy tę „cudowną drabinę”.

I dlaczego tego potrzebujemy?

Ten łańcuch to główne wartości sinusa i cosinusa w pierwszym kwartale.

Narysujmy okrąg o promieniu jednostkowym w prostokątnym układzie współrzędnych (czyli bierzemy dowolny promień wzdłuż długości i deklarujemy jego długość jako jednostkę).

Z belki „0-Start” odsuwamy się w kierunku rogów strzałki (patrz rys.).

Otrzymujemy odpowiednie punkty na kole. Jeśli więc rzutujemy punkty na każdą z osi, otrzymamy dokładnie wartości z powyższego łańcucha.

Dlaczego tak jest, pytasz?

Nie rozkładajmy wszystkiego na części. Rozważać zasada, który pozwoli Ci poradzić sobie z innymi, podobnymi sytuacjami.

Trójkąt AOB jest trójkątem prostokątnym z . I wiemy, że naprzeciw kąta przy przeciwprostokątnej leży noga dwa razy mniejsza niż przeciwprostokątna (nasza przeciwprostokątna = promień okręgu, czyli 1).

Stąd AB= (a więc OM=). I przez twierdzenie Pitagorasa

Mam nadzieję, że teraz coś jest jasne.

Tak więc punkt B będzie odpowiadał wartości, a punkt M będzie odpowiadał wartości

Podobnie z resztą wartości z pierwszego kwartału.

Jak rozumiesz, znana nam oś (wół) będzie oś cosinus, a oś (oy) - oś zatoki . później.

Na lewo od zera na osi cosinus (poniżej zera na osi sinus) będą oczywiście wartości ujemne.

A więc oto jest WSZECHMOCNY, bez którego nigdzie w trygonometrii.

Ale jak używać okręgu trygonometrycznego, porozmawiamy.

Znak funkcji trygonometrycznej zależy wyłącznie od ćwiartki współrzędnych, w której znajduje się argument liczbowy. Ostatnim razem nauczyliśmy się tłumaczyć argumenty z miary w radianach na miarę w stopniach (patrz lekcja „Miara kąta w radianach i stopniach”), a następnie wyznaczać tę samą ćwiartkę współrzędnych. Zajmijmy się teraz definicją znaku sinusa, cosinusa i tangensa.

Sinus kąta α jest rzędną (współrzędną y) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień jest obrócony o kąt α.

Cosinus kąta α to odcięta (współrzędna x) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień obraca się o kąt α.

Tangens kąta α jest stosunkiem sinusa do cosinusa. Lub, równoważnie, stosunek współrzędnej y do współrzędnej x.

Notacja: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Wszystkie te definicje są Ci znane z kursu algebry w szkole średniej. Jednak nie interesują nas same definicje, ale konsekwencje, które pojawiają się na okręgu trygonometrycznym. Spójrz:

Kolor niebieski wskazuje kierunek dodatni osi OY (oś rzędnych), kolor czerwony wskazuje kierunek dodatni osi OX (oś odciętych). Na tym „radarze” znaki funkcji trygonometrycznych stają się oczywiste. W szczególności:

1. sin α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub II. Dzieje się tak, ponieważ z definicji sinus jest rzędną (współrzędną y). A współrzędna y będzie dodatnia dokładnie w ćwiartkach współrzędnych I i II;
2. cos α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub IV. Ponieważ tylko tam współrzędna x (jest to również odcięta) będzie większa od zera;
3. tg α > 0 jeśli kąt α leży w kwadrancie I lub III współrzędnych. Wynika to z definicji: w końcu tg α = y : x , więc jest dodatnie tylko wtedy, gdy znaki x i y pokrywają się. Dzieje się to w 1. ćwiartce współrzędnych (tutaj x > 0, y > 0) i w 3. ćwiartce współrzędnych (x< 0, y < 0).

Dla jasności odnotowujemy znaki każdej funkcji trygonometrycznej - sinus, cosinus i tangens - na osobnym „radarze”. Otrzymujemy następujący obraz:

Uwaga: w swoim rozumowaniu nigdy nie mówiłem o czwartej funkcji trygonometrycznej - kotangensie. Faktem jest, że znaki cotangensa pokrywają się ze znakami stycznej - nie ma tam żadnych specjalnych zasad.

Teraz proponuję rozważyć przykłady podobne do problemów B11 z egzamin próbny w matematyce, która odbyła się 27 września 2011 r. Przecież Najlepszym sposobem zrozumienie teorii to praktyka. Najlepiej dużo praktyki. Oczywiście nieznacznie zmieniły się warunki wykonywania zadań.

Zadanie. Określ znaki funkcji i wyrażeń trygonometrycznych (wartości samych funkcji nie muszą być brane pod uwagę):

1. grzech(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. opalenizna (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Plan działania jest następujący: najpierw przeliczamy wszystkie kąty z miary radiana na miarę stopnia (π → 180°), a następnie sprawdzamy, w której ćwiartce współrzędnych leży wynikowa liczba. Znając kwatery, bez trudu odnajdziemy znaki - zgodnie z opisanymi zasadami. Mamy:

1. grzech (3π/4) = grzech (3 180°/4) = grzech 135°. Od 135° ∈ jest to kąt od kwadrantu II współrzędnych. Ale sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, więc sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Dlatego 210° ∈ , jest to kąt od kwadrantu III współrzędnych, w którym wszystkie cosinusy są ujemne. Dlatego cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ jesteśmy w kwadrancie IV, gdzie styczna przyjmuje wartości ujemne. Dlatego tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Zajmijmy się sinusem: bo 135° ∈ , jest to druga ćwiartka, w której sinusy są dodatnie, tj. sin (3π/4) > 0. Teraz pracujemy z cosinusem: 150° ∈ - znowu druga ćwiartka, tam cosinusy są ujemne. Dlatego cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Patrzymy na cosinus: 120° ∈ jest ćwiartką II współrzędnych, więc cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Znowu otrzymaliśmy produkt, w którym czynniki o różnych znakach. Ponieważ „minus razy plus daje minus”, mamy: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Pracujemy z sinusem: od 150° ∈ , rozmawiamy o drugiej ćwiartce współrzędnych, gdzie sinusy są dodatnie. Dlatego sin (5π/6) > 0. Podobnie, 315° ∈ jest ćwiartką współrzędnych IV, gdzie cosinusy są dodatnie. Zatem cos (7π/4) > 0. Otrzymaliśmy iloczyn dwóch liczb dodatnich - takie wyrażenie jest zawsze dodatnie. Wnioskujemy: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ale kąt 135° ∈ to druga ćwiartka, czyli opalenizna (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Ponieważ „minus plus daje znak minus”, mamy: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Patrzymy na argument cotangensa: 240° ∈ to ćwiartka III współrzędnej, więc ctg (4π/3) > 0. Podobnie dla stycznej mamy: 30° ∈ to ćwiartka I współrzędnych, tj. najłatwiejszy róg. Zatem tg (π/6) > 0. Znowu otrzymaliśmy dwa dodatnie wyrażenia - ich iloczyn również będzie dodatni. Dlatego ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka wymagające zadania. Oprócz znalezienia znaku funkcji trygonometrycznej, tutaj musisz wykonać małe obliczenia - tak jak to się robi w prawdziwych zadaniach B11. W zasadzie są to prawie realne zadania, które naprawdę można znaleźć na egzaminie z matematyki.

Zadanie. Znajdź sin α, jeśli sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Ponieważ sin 2 α = 0,64 mamy: sin α = ±0,8. Pozostaje do podjęcia decyzji: plus czy minus? Z założenia kąt α ∈ [π/2; π] jest ćwiartką współrzędnych II, w której wszystkie sinusy są dodatnie. Zatem sin α = 0,8 - eliminuje się niepewność ze znakami.

Zadanie. Znajdź cos α jeśli cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Postępujemy podobnie, tj. wyciąg Pierwiastek kwadratowy: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Z założenia kąt α ∈ [π; 3π/2], tj. mówimy o III ćwiartce współrzędnych. Tam wszystkie cosinusy są ujemne, więc cos α = -0,2.

Zadanie. Znajdź sin α jeśli sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Mamy: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ponownie przyjrzymy się kątowi: α ∈ to ćwiartka współrzędnej IV, w której, jak wiecie, sinus będzie ujemny. Zatem wnioskujemy: sin α = -0,5.

Zadanie. Znajdź tg α jeśli tg 2 α = 9 i α ∈ .

Wszystko jest takie samo, tylko dla stycznej. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ale pod warunkiem, kąt α ∈ jest kwadrantem I współrzędnych. Wszystkie funkcje trygonometryczne, m.in. styczna, są dodatnie, więc tg α = 3. To wszystko!