Rozważmy najpierw przypadek funkcji dwóch zmiennych. Ekstremum warunkowe funkcji $z=f(x,y)$ w punkcie $M_0(x_0;y_0)$ jest ekstremum tej funkcji, osiąganym pod warunkiem, że zmienne $x$ i $y$ w sąsiedztwo tego punktu spełnia równanie ograniczające $\ varphi(x,y)=0$.

Nazwa „warunkowe” ekstremum wynika z faktu, że na zmienne nałożony jest dodatkowy warunek $\varphi(x,y)=0$. Jeżeli z równania koneksji można wyrazić jedną zmienną w terminach drugiej, to problem określenia ekstremum warunkowego sprowadza się do problemu zwykłego ekstrema funkcji jednej zmiennej. Na przykład, jeśli $y=\psi(x)$ wynika z równania więzów, to podstawiając $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$, otrzymujemy funkcję jednej zmiennej $ z=f\lewo (x,\psi(x)\prawo)$. Jednak w ogólnym przypadku ta metoda jest mało przydatna, więc wymagany jest nowy algorytm.

Metoda mnożników Lagrange'a dla funkcji dwóch zmiennych.

Metoda mnożników Lagrange'a polega na tym, że aby znaleźć ekstremum warunkowe, funkcja Lagrange'a składa się z: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda $ nazywa się mnożnikiem Lagrange'a ). Niezbędne warunki ekstremalne podaje układ równań, z którego wyznaczane są punkty stacjonarne:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(wyrównany)\right.$$

Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Jeśli w punkcie stacjonarnym $d^2F > 0$, to funkcja $z=f(x,y)$ ma w tym punkcie minimum warunkowe, ale jeśli $d^2F< 0$, то условный максимум.

Istnieje inny sposób określenia natury ekstremum. Z równania więzów otrzymujemy: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, czyli w dowolnym punkcie stacjonarnym mamy:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\prawo)$$

Drugi czynnik (umieszczony w nawiasach) można przedstawić w tej postaci:

Elementy $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (tablica) \right|$, który jest hesjanem funkcji Lagrange'a. Jeśli $H > 0 $, to $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 zł, czyli mamy warunkowe minimum funkcji $z=f(x,y)$.

Uwaga dotycząca postaci wyznacznika $H$. Pokaż ukryj

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ koniec(tablica) \prawo| $$

W tej sytuacji sformułowana powyżej reguła zmienia się następująco: jeśli $H > 0$, to funkcja ma warunkowe minimum, a dla $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorytm do badania funkcji dwóch zmiennych dla ekstremum warunkowego

1. Utwórz funkcję Lagrange'a $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Rozwiąż system $ \left \( \begin(wyrównany) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Określ charakter ekstremum w każdym z punktów stacjonarnych znajdujących się w poprzednim akapicie. Aby to zrobić, użyj dowolnej z następujących metod:
   • Ułóż wyznacznik $H$ i znajdź jego znak
   • Uwzględniając równanie więzów, oblicz znak $d^2F$

Metoda mnożnika Lagrange'a dla funkcji n zmiennych

Załóżmy, że mamy funkcję zmiennych $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ równań więzów ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Oznaczając mnożniki Lagrange'a jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Niezbędne warunki obecności ekstremum warunkowego podaje układ równań, z którego znajdują się współrzędne punktów stacjonarnych i wartości mnożników Lagrange'a:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Można dowiedzieć się, czy funkcja ma warunkowe minimum czy warunkowe maksimum w znalezionym punkcie, tak jak poprzednio, używając znaku $d^2F$. Jeśli w znalezionym punkcie $d^2F > 0$, to funkcja ma warunkowe minimum, ale jeśli $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Wyznacznik macierzy $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ podświetlony na czerwono w macierzy $L$ to Hessian funkcji Lagrange'a. Stosujemy następującą zasadę:

• Jeśli znaki narożnych małoletnich to $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ macierze $L$ pokrywają się ze znakiem $(-1)^m$, to badany punkt stacjonarny jest minimalnym punktem warunkowym funkcji $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jeśli znaki narożnych małoletnich to $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naprzemiennie, a znak młodszej $H_(2m+1)$ pokrywa się ze znakiem liczby $(-1)^(m+1 )$, to badany stacjonarny punkt jest warunkowym punktem maksymalnym funkcji $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Przykład 1

Znajdź ekstremum warunkowe funkcji $z(x,y)=x+3y$ pod warunkiem $x^2+y^2=10$.

Interpretacja geometryczna tego problemu jest następująca: należy znaleźć największą i najmniejszą wartość aplikacji płaszczyzny $z=x+3y$ dla punktów jej przecięcia z walcem $x^2+y^2 =10$.

Trochę trudno jest wyrazić jedną zmienną w kategoriach drugiej z równania więzów i zastąpić ją funkcją $z(x,y)=x+3y$, więc użyjemy metody Lagrange'a.

Oznaczając $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\częściowy x)=1+2\lambda x; \frac(\częściowy F)(\częściowy r)=3+2\lambda r. $$

Zapiszmy układ równań wyznaczania punktów stacjonarnych funkcji Lagrange'a:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (wyrównane)\w prawo.$$

Jeśli przyjmiemy $\lambda=0$, to pierwsze równanie przyjmie postać: $1=0$. Wynikająca sprzeczność mówi, że $\lambda\neq 0$. Pod warunkiem $\lambda\neq 0$, z pierwszego i drugiego równania mamy: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Podstawiając uzyskane wartości do trzeciego równania, otrzymujemy:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(wyrównane) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(wyrównane) \right.\\ \begin(wyrównane) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(wyrównany) $$

System ma więc dwa rozwiązania: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Znajdźmy naturę ekstremum w każdym punkcie stacjonarnym: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. W tym celu obliczamy wyznacznik $H$ w każdym z punktów.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lewo| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(tablica) \right| $$

W punkcie $M_1(1;3)$ otrzymujemy: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, czyli w punkcie $M_1(1;3)$ funkcja $z(x,y)=x+3y$ ma warunkowe maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Podobnie w punkcie $M_2(-1;-3)$ znajdujemy: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Zauważam, że zamiast obliczać wartość wyznacznika $H$ w każdym punkcie, znacznie wygodniej jest otworzyć go w sposób ogólny. Aby nie zaśmiecać tekstu szczegółami, ukryję tę metodę pod notatką.

Determinacyjny zapis $H$ w postaci ogólnej. Pokaż ukryj

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

W zasadzie już wiadomo, jaki znak ma $H$. Ponieważ żaden z punktów $M_1$ lub $M_2$ nie pokrywa się z początkiem, to $y^2+x^2>0$. Dlatego znak $H$ jest przeciwieństwem znaku $\lambda$. Możesz również uzupełnić obliczenia:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(wyrównany) $$

Pytanie o charakter ekstremum w punktach stacjonarnych $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ można rozwiązać bez użycia wyznacznika $H$. Znajdź znak $d^2F$ w każdym punkcie stacjonarnym:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\prawo) $$

Zaznaczam, że notacja $dx^2$ oznacza dokładnie $dx$ podniesioną do drugiej potęgi, czyli $\lewo(dx\prawo)^2$. Stąd mamy: $dx^2+dy^2>0$, więc dla $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ otrzymujemy $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odpowiedź: w punkcie $(-1;-3)$ funkcja ma warunkowe minimum, $z_(\min)=-10$. W punkcie $(1;3)$ funkcja ma warunkowe maksimum, $z_(\max)=10$

Przykład #2

Znajdź ekstremum warunkowe funkcji $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod warunkiem $x+y=0$.

Pierwszy sposób (metoda mnożników Lagrange'a)

Oznaczając $\varphi(x,y)=x+y$ składamy funkcję Lagrange'a: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\częściowy F)(\częściowy x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

Rozwiązując układ otrzymujemy: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ oraz $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mamy dwa punkty stacjonarne: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Poznajmy naturę ekstremum w każdym punkcie stacjonarnym za pomocą wyznacznika $H$.

$$ H=\lewo| \begin(tablica) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lewo| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

W punkcie $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, więc w tym momencie funkcja ma warunkowe maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Badamy naturę ekstremum w każdym z punktów inną metodą, opartą na znaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Z równania więzów $x+y=0$ mamy: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Ponieważ $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, to $M_1(0;0)$ jest warunkowym punktem minimalnym funkcji $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobnie, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi sposób

Z równania więzów $x+y=0$ otrzymujemy: $y=-x$. Podstawiając $y=-x$ do funkcji $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, otrzymujemy jakąś funkcję zmiennej $x$. Oznaczmy tę funkcję jako $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

W ten sposób sprowadziliśmy problem znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych do problemu wyznaczenia ekstremum funkcji jednej zmiennej.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Otrzymano punkty $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalsze badania są znane z przebiegu rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Badając znak $u_(xx)^("")$ w każdym punkcie stacjonarnym lub sprawdzając zmianę znaku $u_(x)^(")$ w znalezionych punktach, otrzymujemy takie same wnioski jak przy rozwiązywaniu pierwszego Na przykład sprawdź znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Ponieważ $u_(xx)^("")(M_1)>0$, to $M_1$ jest minimalnym punktem funkcji $u(x)$, natomiast $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Wartości funkcji $u(x)$ przy danym warunku połączenia pokrywają się z wartościami funkcji $z(x,y)$, tj. znalezione ekstrema funkcji $u(x)$ są pożądanymi ekstremami warunkowymi funkcji $z(x,y)$.

Odpowiedź: w punkcie $(0;0)$ funkcja ma warunkowe minimum, $z_(\min)=0$. W punkcie $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcja ma warunkowe maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Rozważmy jeszcze jeden przykład, w którym poznajemy naturę ekstremum wyznaczając znak $d^2F$.

Przykład #3

Znajdź maksymalne i minimalne wartości funkcji $z=5xy-4$, jeśli zmienne $x$ i $y$ są dodatnie i spełniają równanie ograniczające $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Utwórz funkcję Lagrange'a: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Znajdź punkty stacjonarne funkcji Lagrange'a:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(wyrównany) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Wszystkie dalsze przekształcenia są przeprowadzane z uwzględnieniem $x > 0; \; y > 0$ (jest to określone w warunku problemu). Z drugiego równania wyrażamy $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i podstawiamy znalezioną wartość do pierwszego równania: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$, 4y^2-x^2=0$, x=2y$. Podstawiając $x=2y$ do trzeciego równania, otrzymujemy: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Ponieważ $y=1$, to $x=2$, $\lambda=-10$. Charakter ekstremum w punkcie $(2;1)$ określa się ze znaku $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Ponieważ $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, to:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

W zasadzie można tu od razu podstawić współrzędne punktu stacjonarnego $x=2$, $y=1$ oraz parametr $\lambda=-10$, otrzymując w ten sposób:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Jednak w innych problemach dla ekstremum warunkowego może być kilka punktów stacjonarnych. W takich przypadkach lepiej jest przedstawić $d^2F$ w postaci ogólnej, a następnie do otrzymanego wyrażenia podstawić współrzędne każdego ze znalezionych punktów stacjonarnych:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Zastępując $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, otrzymujemy:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Ponieważ $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odpowiedź: w punkcie $(2;1)$ funkcja ma warunkowe maksimum, $z_(\max)=6$.

W dalszej części rozważymy zastosowanie metody Lagrange'a dla funkcji większej liczby zmiennych.

Warunek wystarczający dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych

1. Niech funkcja będzie ciągle różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu i ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu (czyste i mieszane).

2. Oznacz przez wyznacznik drugiego rzędu

funkcja wykładu zmiennej ekstremum

Twierdzenie

Jeżeli punkt ze współrzędnymi jest dla funkcji punktem stacjonarnym, to:

A) Kiedy jest to punkt lokalnego ekstremum, a przy lokalnym maksimum - lokalne minimum;

C) gdy punkt nie jest lokalnym ekstremum;

C) jeśli, może jedno i drugie.

Dowód

Piszemy wzór Taylora dla funkcji, ograniczając się do dwóch członków:

Ponieważ zgodnie z warunkiem twierdzenia punkt jest stacjonarny, pochodne cząstkowe drugiego rzędu są równe zeru, tj. oraz. Następnie

Oznaczać

Wówczas przyrost funkcji przyjmie postać:

Ze względu na ciągłość pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (czystych i mieszanych) zgodnie z warunkiem twierdzenia w punkcie możemy napisać:

Gdzie lub; ,

1. Niech i, czyli lub.

2. Mnożymy przyrost funkcji i dzielimy przez, otrzymujemy:

3. Uzupełnij wyrażenie w nawiasach klamrowych do pełnego kwadratu sumy:

4. Wyrażenie w nawiasach klamrowych jest nieujemne, ponieważ

5. Zatem jeśli i stąd, i wtedy i dlatego zgodnie z definicją punkt jest punktem minimum lokalnego.

6. Jeśli i oznacza a, to zgodnie z definicją punkt o współrzędnych jest lokalnym punktem maksymalnym.

2. Rozważ trójmian kwadratowy, jego wyróżnik .

3. Jeśli, to istnieją takie punkty, że wielomian

4. Całkowity przyrost funkcji w punkcie zgodnie z wyrażeniem uzyskanym w I, piszemy w postaci:

5. Ze względu na ciągłość pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, z warunku twierdzenia w punkcie możemy napisać, że

dlatego istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu trójmian kwadratowy jest większy od zera:

6. Rozważ - sąsiedztwo punktu.

Wybierzmy dowolną wartość, więc o to chodzi. Zakładając, że we wzorze na przyrost funkcji

Co otrzymujemy:

7. Od tego czasu.

8. Podobnie argumentując za pierwiastkiem, dowiadujemy się, że w każdym sąsiedztwie punktu znajduje się punkt, dla którego zatem w sąsiedztwie punktu nie zachowuje znaku, a więc w punkcie nie ma ekstremum.

Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

Podczas poszukiwania ekstremów funkcji dwóch zmiennych często pojawiają się problemy związane z tzw. ekstremum warunkowym. Pojęcie to można wyjaśnić na przykładzie funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcja i prosta L będą podane na płaszczyźnie 0xy. Zadanie polega na znalezieniu takiego punktu P (x, y) na prostej L, w którym wartość funkcji jest największa lub najmniejsza w porównaniu z wartościami tej funkcji w punktach prostej L, położonych w pobliżu punkt P. Takie punkty P nazywane są warunkowymi punktami ekstremalnymi funkcje na linii L. W przeciwieństwie do zwykłego punktu ekstremalnego wartość funkcji w warunkowym punkcie ekstremalnym jest porównywana z wartościami funkcji nie we wszystkich punktach niektórych z jego sąsiedztwa, ale tylko na tych, które leżą na linii L.

Jest całkiem jasne, że punkt zwykłego ekstremum (mówi się też, że bezwarunkowe ekstremum) jest również punktem warunkowego ekstremum dla każdej linii przechodzącej przez ten punkt. Oczywiście nie jest odwrotnie: warunkowy punkt ekstremum może nie być konwencjonalnym punktem ekstremum. Zilustrujmy to, co zostało powiedziane, przykładem.

Przykład 1. Wykres funkcji to górna półkula (ryc. 2).

Ryż. 2.

Ta funkcja ma maksimum w punkcie początkowym; odpowiada wierzchołkowi M półkuli. Jeżeli prosta L jest prostą przechodzącą przez punkty A i B (jej równanie), to geometrycznie jasne jest, że dla punktów tej prostej maksymalna wartość funkcji jest osiągnięta w punkcie leżącym pośrodku pomiędzy punktami A i B. Jest to warunkowe ekstremum (maksymalne) funkcje punktowe na tej prostej; odpowiada on punktowi M 1 na półkuli, a z rysunku widać, że nie może być tu mowy o żadnym zwykłym ekstremum.

Zauważmy, że w końcowej części zadania znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji w obszarze zamkniętym należy znaleźć wartości ekstremalne funkcji na granicy tego obszaru, tj. w pewnym wierszu, a tym samym rozwiąże problem dla warunkowego ekstremum.

Definicja 1. Mówią, że gdzie ma warunkowe lub względne maksimum (minimum) w punkcie, który spełnia równanie: jeśli dla dowolnego, który spełnia równanie, nierówność

Definicja 2. Równanie postaci nazywa się równaniem więzów.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje i są różniczkowalne w sposób ciągły w sąsiedztwie punktu, a pochodna cząstkowa i punkt są punktem ekstremum warunkowego funkcji względem równania więzów, to wyznacznik drugiego rzędu jest równy zero:

Dowód

1. Skoro, zgodnie z warunkiem twierdzenia, pochodną cząstkową i wartością funkcji, to w jakimś prostokącie

zdefiniowana funkcja niejawna

Złożona funkcja dwóch zmiennych w punkcie będzie miała więc ekstremum lokalne, lub.

2. Rzeczywiście, zgodnie z niezmienniczością wzoru różniczkowego pierwszego rzędu

3. Równanie połączenia można przedstawić w tej postaci, co oznacza

4. Pomnóż równanie (2) przez i (3) przez i dodaj je

Dlatego kiedy

arbitralny. c.d.

Konsekwencja

Poszukiwanie warunkowych punktów ekstremów funkcji dwóch zmiennych w praktyce realizuje się poprzez rozwiązanie układu równań

Tak więc w powyższym przykładzie nr 1 z równania komunikacji mamy. Stąd łatwo sprawdzić, co osiąga maksimum przy . Ale potem z równania komunikacji. Otrzymujemy punkt P, znaleziony geometrycznie.

Przykład #2. Znajdź warunkowe punkty ekstremów funkcji w odniesieniu do równania więzów.

Znajdźmy pochodne cząstkowe danej funkcji i równanie połączenia:

Zróbmy wyznacznik drugiego rzędu:

Zapiszmy układ równań do znajdowania warunkowych punktów ekstremów:

stąd istnieją cztery warunkowe ekstrema funkcji o współrzędnych: .

Przykład #3. Znajdź ekstrema funkcji.

Przyrównując pochodne cząstkowe do zera: , znajdujemy jeden punkt stacjonarny - początek. Tutaj,. Dlatego punkt (0, 0) również nie jest punktem ekstremum. Równanie jest równaniem paraboloidy hiperbolicznej (ryc. 3), rysunek pokazuje, że punkt (0, 0) nie jest punktem ekstremum.

Ryż. 3.

Największa i najmniejsza wartość funkcji w obszarze zamkniętym

1. Niech funkcja będzie zdefiniowana i ciągła w ograniczonej domenie D.

2. Niech funkcja ma skończone pochodne cząstkowe w tym obszarze, z wyjątkiem poszczególnych punktów obszaru.

3. Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa w tym obszarze znajduje się punkt, w którym funkcja przyjmuje największe i najmniejsze wartości.

4. Jeżeli te punkty są punktami wewnętrznymi obszaru D, to jest oczywiste, że będą miały maksimum lub minimum.

5. W tym przypadku interesujące nas punkty należą do podejrzanych punktów na ekstremum.

6. Jednak funkcja może również przyjąć wartość maksymalną lub minimalną na granicy obszaru D.

7. Aby znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w obszarze D, należy znaleźć wszystkie punkty wewnętrzne podejrzane o ekstremum, obliczyć w nich wartość funkcji, a następnie porównać z wartością funkcji w punkty graniczne obszaru, a największa ze wszystkich znalezionych wartości będzie największa w obszarze zamkniętym D.

8. Metoda znajdowania lokalnego maksimum lub minimum została omówiona wcześniej w Rozdziale 1.2. oraz 1.3.

9. Pozostaje rozważyć metodę znalezienia maksymalnych i minimalnych wartości funkcji na granicy regionu.

10. W przypadku funkcji dwóch zmiennych obszar zwykle okazuje się ograniczony krzywą lub kilkoma krzywymi.

11. Wzdłuż takiej krzywej (lub kilku krzywych) zmienne i albo zależą od siebie, albo obie zależą od jednego parametru.

12. Zatem na granicy funkcja okazuje się zależna od jednej zmiennej.

13. Wcześniej omówiono metodę znajdowania największej wartości funkcji jednej zmiennej.

14. Niech granicę obszaru D dadzą równania parametryczne:

Wtedy na tej krzywej funkcja dwóch zmiennych będzie złożoną funkcją parametru: . Dla takiej funkcji wartość największą i najmniejszą określa się metodą wyznaczania wartości największej i najmniejszej dla funkcji jednej zmiennej.

Przykład

Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem, że X oraz w są powiązane stosunkiem: . Geometrycznie problem oznacza: na elipsie
samolot
.

Problem ten można rozwiązać w następujący sposób: z równania
znajdować
X:

pod warunkiem że
sprowadzony do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej na odcinku
.

Geometrycznie problem oznacza: na elipsie uzyskane przez skrzyżowanie cylindra
samolot
, wymagane jest znalezienie maksymalnej lub minimalnej wartości aplikacji (rys. 9). Problem ten można rozwiązać w następujący sposób: z równania
znajdować
. Podstawiając znalezioną wartość y do równania płaszczyzny, otrzymujemy funkcję jednej zmiennej X:

Tak więc problem ze znalezieniem ekstremum funkcji
pod warunkiem że
, sprowadzone do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej na odcinku.

Więc, problem ze znalezieniem ekstremum warunkowego jest problem ze znalezieniem ekstremum funkcji celu
, pod warunkiem, że zmienne X oraz w podlega ograniczeniu
nazywa równanie połączenia.

Powiemy, że kropka
, spełniające równanie więzów, jest punktem lokalnego warunkowego maksimum (minimum) jeśli jest sąsiedztwo
tak, że dla dowolnych punktów
, którego współrzędne spełniają równanie więzów, nierówność jest zachowana.

Jeżeli z równania komunikacji można znaleźć wyrażenie na w, następnie zastępując to wyrażenie funkcją pierwotną, zamieniamy to drugie w złożoną funkcję jednej zmiennej X.

Ogólna metoda rozwiązywania warunkowego problemu ekstremów to Metoda mnożnika Lagrange'a. Stwórzmy funkcję pomocniczą, gdzie ─ jakiś numer. Ta funkcja nazywa się Funkcja Lagrange'a, a ─ Mnożnik Lagrange'a. W ten sposób problem znalezienia ekstremum warunkowego został sprowadzony do znalezienia lokalnych punktów ekstremów dla funkcji Lagrange'a. Aby znaleźć punkty możliwego ekstremum, konieczne jest rozwiązanie układu 3 równań z trzema niewiadomymi x, y oraz.

Następnie należy zastosować następujący warunek dostateczny ekstremum.

TWIERDZENIE. Niech punkt będzie punktem możliwego ekstremum funkcji Lagrange'a. Zakładamy, że w pobliżu punktu
istnieją ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji oraz . Oznaczać

A następnie, jeśli
, następnie
─ warunkowy punkt ekstremum funkcji
w równaniu więzów
tymczasem, jeśli
, następnie
─ warunkowy punkt minimalny, jeśli
, następnie
─ punkt warunkowego maksimum.

§osiem. Gradient i pochodna kierunkowa

Niech funkcja
zdefiniowane w jakiejś (otwartej) domenie. Rozważ dowolny punkt
ten obszar i każda skierowana linia prosta (oś) przechodząc przez ten punkt (ryc. 1). Zostawiać
- jakiś inny punkt tej osi,
- długość odcinka pomiędzy
oraz
, ze znakiem plus, jeśli kierunek
pokrywa się z kierunkiem osi i ze znakiem minus, jeśli ich kierunki są przeciwne.

Zostawiać
zbliża się w nieskończoność
. Limit

nazywa pochodna funkcji
w kierunku (lub wzdłuż osi ) i jest oznaczone w następujący sposób:

.

Ta pochodna charakteryzuje „szybkość zmian” funkcji w punkcie
w kierunku . W szczególności zwykłe pochodne cząstkowe ,mogą być również traktowane jako pochodne „w odniesieniu do kierunku”.

Załóżmy teraz, że funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe w rozważanym regionie. Niech oś tworzy kąty z osiami współrzędnych
oraz . Przy przyjętych założeniach pochodna kierunkowa istnieje i wyraża się wzorem

.

Jeśli wektor
ustawiony przez jego współrzędne
, to pochodna funkcji
w kierunku wektora
można obliczyć za pomocą wzoru:

.

Wektor ze współrzędnymi
nazywa wektor gradientu Funkcje
w punkcie
. Wektor gradientu wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w danym punkcie.

Przykład

Dana funkcja , punkt A(1, 1) i wektor
. Znajdź: 1) stopień z w punkcie A; 2) pochodna w punkcie A w kierunku wektora .

Pochodne cząstkowe danej funkcji w punkcie
:

;
.

Wtedy wektor gradientu funkcji w tym punkcie to:
. Wektor gradientu można również zapisać za pomocą rozwinięcia wektora oraz :

. Pochodna funkcji w kierunku wektora :

Więc,
,
.◄

Definicja1: Mówi się, że funkcja ma lokalne maksimum w punkcie, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) spełniona jest nierówność: . W tym przypadku, tj. przyrost funkcji< 0.

Definicja2: Mówi się, że funkcja ma lokalne minimum w punkcie, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) spełniona jest nierówność: . W tym przypadku, czyli przyrost funkcji > 0.

Definicja 3: Lokalne minimum i maksimum są nazywane punkty ekstremalne.

Ekstrema warunkowe

Przy poszukiwaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych często pojawiają się problemy związane z tzw ekstremum warunkowe. Pojęcie to można wyjaśnić na przykładzie funkcji dwóch zmiennych.

Niech zostanie podana funkcja i linia L na powierzchni 0xy. Zadaniem jest linia L znajdź taki punkt P(x, y), w którym wartość funkcji jest największa lub najmniejsza w porównaniu z wartościami tej funkcji w punktach prostej L położony w pobliżu punktu P. Takie punkty P nazywa warunkowe punkty ekstremalne funkcje linii L. W przeciwieństwie do zwykłego punktu ekstremum, wartość funkcji w warunkowym punkcie ekstremum jest porównywana z wartościami funkcji nie we wszystkich punktach jej sąsiedztwa, ale tylko w tych, które leżą na linii L.

Jest całkiem jasne, że chodzi o zwykłe ekstremum (mówią też: bezwarunkowe ekstremum) jest również warunkowym punktem ekstremum dla dowolnej linii przechodzącej przez ten punkt. Oczywiście nie jest odwrotnie: warunkowy punkt ekstremum może nie być konwencjonalnym punktem ekstremum. Wyjaśnię to na prostym przykładzie. Wykres funkcji to górna półkula (dodatek 3 (ryc. 3)).

Ta funkcja ma maksimum w punkcie początkowym; odpowiada górze M półkule. Jeśli linia L przez punkty przechodzi linia ALE oraz W(jej równanie x+y-1=0), to geometrycznie jasne jest, że dla punktów tej prostej maksymalna wartość funkcji jest osiągana w punkcie leżącym pośrodku między punktami ALE oraz W. Jest to punkt warunkowego ekstremum (maksimum) funkcji na danej linii; odpowiada on punktowi M 1 na półkuli, a z rysunku widać, że nie może być tu mowy o żadnym zwykłym ekstremum.

Zauważmy, że w końcowej części problemu znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji w obszarze zamkniętym, musimy znaleźć wartości ekstremalne funkcji na granicy tego obszaru, tj. w pewnym wierszu, a tym samym rozwiąże problem dla warunkowego ekstremum.

Przejdźmy teraz do praktycznego poszukiwania punktów ekstremum warunkowego funkcji Z= f(x, y) pod warunkiem, że zmienne x i y są powiązane równaniem (x, y) = 0. Ta relacja będzie zwany równaniem wiązania. Jeśli z równania połączenia y można wyrazić wyraźnie w kategoriach x: y \u003d (x), otrzymujemy funkcję jednej zmiennej Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Po znalezieniu wartości x, przy której funkcja ta osiąga ekstremum, a następnie wyznaczeniu odpowiednich wartości y z równania połączenia, otrzymamy pożądane punkty ekstremum warunkowego.

Tak więc w powyższym przykładzie z równania komunikacji x+y-1=0 mamy y=1-x. Stąd

Łatwo sprawdzić, czy z osiąga maksimum przy x = 0,5; ale potem z równania połączenia y = 0,5 i otrzymujemy dokładnie punkt P, znaleziony z rozważań geometrycznych.

Problem ekstremów warunkowych rozwiązuje się w bardzo prosty sposób, nawet jeśli równanie ograniczeń może być reprezentowane przez równania parametryczne x=x(t), y=y(t). Podstawiając wyrażenia na x i y do tej funkcji, ponownie dochodzimy do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.

Jeśli równanie więzów ma bardziej złożoną postać i nie możemy ani jednoznacznie wyrazić jednej zmiennej w kategoriach innej, ani zastąpić jej równaniami parametrycznymi, to problem znalezienia ekstremum warunkowego staje się trudniejszy. Będziemy nadal zakładać, że w wyrażeniu funkcji z= f(x, y) zmienna (x, y) = 0. Całkowita pochodna funkcji z= f(x, y) jest równa:

Gdzie jest pochodna y`, znaleziona zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji uwikłanej. W punktach ekstremum warunkowego znaleziona pochodna całkowita musi być równa zeru; to daje jedno równanie odnoszące się do x i y. Ponieważ muszą one również spełniać równanie więzów, otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Przekształćmy ten układ na znacznie wygodniejszy, zapisując pierwsze równanie jako proporcję i wprowadzając nową niewiadomą pomocniczą:

(dla wygody z przodu umieszczono znak minus). Z tych równości łatwo przejść do następującego systemu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

które wraz z równaniem więzów (x, y) = 0, tworzy układ trzech równań z niewiadomymi x, y, i.

Te równania (*) najłatwiej zapamiętać stosując następującą zasadę: w celu znalezienia punktów, które mogą być punktami warunkowego ekstremum funkcji

Z= f(x, y) z równaniem więzów (x, y) = 0, musisz utworzyć funkcję pomocniczą

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdzie jest pewna stała i napisz równania, aby znaleźć ekstrema tej funkcji.

Określony układ równań dostarcza z reguły tylko niezbędne warunki, tj. nie każda para wartości x i y, która spełnia ten system, jest koniecznie warunkowym punktem ekstremum. Nie podam wystarczających warunków dla warunkowych punktów ekstremum; bardzo często konkretna treść samego problemu sugeruje, jaki jest znaleziony punkt. Opisana technika rozwiązywania problemów dla ekstremum warunkowego nazywana jest metodą mnożników Lagrange'a.

Niech funkcja z - f(x, y) będzie zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D i niech Mo(xo, y0) będzie punktem wewnętrznym tej dziedziny. Definicja. Jeżeli istnieje taka liczba, że ​​dla wszystkich spełniających warunki nierówność jest prawdziwa, to punkt Mo(xo,yo) nazywamy punktem lokalnego maksimum funkcji f(x,y); jeżeli jednak dla wszystkich Dx, Du spełnia warunki | wtedy punkt Mo(x0, y0) nazywany jest drobnym minimum lokalnym. Innymi słowy, punkt M0(x0,y0) jest punktem maksimum lub minimum funkcji f(x,y), jeśli istnieje 6-sąsiedztwo punktu A/o(x0,y0) takie, że w ogóle punktów M(x, y) tego sąsiedztwa, przyrost funkcji zachowuje znak. Przykłady. 1. Dla funkcji punkt jest punktem minimalnym (rys. 17). 2. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest punktem maksymalnym (rys. 18). 3. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest lokalnym punktem maksymalnym. 4 Rzeczywiście, istnieje sąsiedztwo punktu 0 (0, 0), na przykład okrąg o promieniu j (patrz rys. 19), którego w dowolnym punkcie, innym niż punkt 0 (0, 0), wartość funkcji f(x, y) mniejsza niż 1 = Rozważymy tylko punkty ścisłego maksimum i minimum funkcji, gdy ścisła nierówność lub ścisła nierówność zachodzi dla wszystkich punktów M(x) y) z jakiegoś przebitego 6-sąsiedztwa punkt Mq. Wartość funkcji w punkcie maksimum nazywamy maksimum, a wartość funkcji w punkcie minimum nazywamy minimum tej funkcji. Punkty maksimum i minimum funkcji nazywane są ekstremami funkcji, a maksima i minima samej funkcji nazywane są ekstremami. Twierdzenie 11 (warunek konieczny ekstremum). Funkcja if Ekstremum funkcji wielu zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające dla ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych mają ekstremum w punkcie wtedy w tym punkcie każda pochodna cząstkowa i u albo znika, albo nie istnieje. Niech funkcja z = f(x) y) ma ekstremum w punkcie M0(x0,y0). Nadajmy zmiennej y wartość yo. Wtedy funkcja z = /(x, y) będzie funkcją jednej zmiennej x\ Ponieważ przy x = xo ma ekstremum (maksimum lub minimum, rys. 20), to jej pochodna względem x = „o, | (*o,l>)" jest równe zero lub nie istnieje. Podobnie weryfikujemy, że) lub jest równe zero lub nie istnieje. Punkty, w których = 0 i u = 0 lub nie istnieją są nazywane punkty krytyczne funkcji z = Dx, y).Punkty, w których $£ = u = 0 nazywamy również punktami stacjonarnymi funkcji.Twierdzenie 11 wyraża tylko warunki konieczne dla ekstremum, które nie są wystarczające. 18 Ryc.20 Pochodne immt, które znikają o godz. Ale ta funkcja jest raczej słaba w imvat „straumum”. Rzeczywiście, funkcja jest równa zero w punkcie 0(0,0) i przyjmuje punkty M(x,y), tak blisko punktu 0(0,0),kkk wartości dodatnich i ujemnych. W tym celu, a więc w punktach w punktach (0, y) dla dowolnie małych, punkt 0 (0, 0) tego typu nazywamy punktem mini-maksowym (rys. 21). Warunki dostateczne dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych wyraża poniższe twierdzenie. Twierdzenie 12 (warunki dostateczne dla ekstremum zmiennych rozmytych). Niech punkt Mo(xo,y0) będzie punktem stacjonarnym funkcji f(x,y), a w pewnym sąsiedztwie punktu / włączając sam punkt Mo funkcja f(r,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do góry do drugiego rzędu włącznie. Wtedy "1) w punkcie Mq(xq, V0) funkcja f(x, y) ma maksimum jeśli wyznacznik jest w tym punkcie 2) w punkcie Mo(x0, V0) funkcja f(x, y) ma minimum, jeśli w punkcie Mo(xo, yo) funkcja f(x, y) nie ma ekstrema, jeśli D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) ekstremum funkcji f(x, y) może być, ale nie musi. W takim przypadku wymagane są dalsze badania. Ograniczamy się do udowodnienia twierdzeń 1) i 2) twierdzenia. Napiszmy wzór Taylora drugiego rzędu dla funkcji /(i, y): gdzie. Z założenia, stąd jest jasne, że znak przyrostu D/ jest określony przez znak trójmianu po prawej stronie (1), czyli znak drugiej różniczki d2f. Oznaczmy dla zwięzłości. Wtedy równość (l) można zapisać następująco: Niech w punkcie MQ(so,y0) mamy sąsiedztwo punktu M0(s0,yo). Jeżeli warunek (w punkcie A/0) jest spełniony, a ze względu na ciągłość pochodna /,z(s,y) zachowa swój znak w pewnym sąsiedztwie punktu Af0.W obszarze, w którym A ∆ 0, mamy 0 w pewnym sąsiedztwie punktu M0(x0) y0), to znak trójmianu AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 pokrywa się ze znakiem A w punkcie C nie może mieć różnych znaków). Ponieważ znak sumy AAs2 + 2BAxAy + CAy2 w punkcie (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) wyznacza znak różnicy, dochodzimy do następującego wniosku: jeśli funkcja f(s, y) w punkcie punkt stacjonarny (s0, yo) spełnia warunek, to dla dostatecznie małych || nierówność się utrzyma. Zatem w punkcie (sq, y0) funkcja /(s, y) ma maksimum. Ale jeśli warunek jest spełniony w punkcie stacjonarnym (s0, yo), to dla wszystkich wystarczająco małych |Ar| i |Zrób| nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że ​​funkcja /(s, y) ma minimum w punkcie (więc, yo). Przykłady. 1. Zbadaj funkcję 4 dla ekstremum Korzystając z warunków koniecznych dla ekstremum, szukamy stacjonarnych punktów funkcji. Aby to zrobić, znajdujemy pochodne cząstkowe u i przyrównujemy je do zera. Otrzymujemy układ równań skąd - punkt stacjonarny. Użyjmy teraz Twierdzenia 12. Mamy Stąd istnieje ekstremum w punkcie Ml. Bo to jest minimum. Jeśli przekształcimy funkcję g do postaci, to łatwo zauważyć, że prawa strona (")" będzie minimalna, gdy jest absolutnym minimum tej funkcji. 2. Zbadaj funkcję dla ekstremum Znajdujemy punkty stacjonarne funkcji, dla której składamy układ równań Stąd tak, aby punkt był stacjonarny. Ponieważ na mocy Twierdzenia 12 nie ma ekstremum w punkcie M. * 3. Zbadaj funkcję ekstremum Znajdź punkty stacjonarne funkcji. Z układu równań otrzymujemy to, aby punkt był nieruchomy. Dalej mamy tak, że Twierdzenie 12 nie daje odpowiedzi na pytanie o obecność lub brak ekstremum. Zróbmy to w ten sposób. W przypadku funkcji o wszystkich punktach innych niż punkt, tak że z definicji w punkcie A/o(0,0) funkcja r ma absolutne minimum. Przez analogiczne suszenie ustalamy, że funkcja ma w punkcie maksimum, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Niech funkcja zmiennych niezależnych będzie różniczkowalna w punkcie Punkt Mo nazywamy punktem stacjonarnym funkcji if Twierdzenie 13 (warunki dostateczne ekstremum). Niech funkcja będzie zdefiniowana i ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym sąsiedztwie prostej Mc(xi..., która jest subtelną funkcją stacjonarną, jeśli postać kwadratowa (druga różniczka funkcji f w funkcji drobnej punkt jest dodatnio określony (ujemno-określony), punkt minimum (odpowiednio, drobnego maksimum) funkcji f jest w porządku Jeśli postać kwadratowa (4) jest zmienna znakowo, to nie ma ekstremum w drobnym LG0. 15.2 Warunkowe ekstremum Do tej pory zajmowaliśmy się znajdowaniem ekstremów lokalnych funkcji w całej dziedzinie jej definicji, gdy argumenty funkcji nie są związane żadnymi dodatkowymi warunkami. Niech funkcja z \u003d / (x, y) zostanie zdefiniowana w obszarze D. Załóżmy, że krzywa L jest podana w tym obszarze i konieczne jest znalezienie tylko ekstremów funkcji f (x> y) wśród tych z jej wartości, które odpowiadają punktom krzywej L. Te same ekstrema nazywane są ekstremami warunkowymi funkcji z = f(x) y) na krzywej L. Definicja Mówi się, że w punkcie leżącym na krzywej L funkcja f(x, y) ma warunkowe maksimum (minimum) jeśli nierówność jest spełniona odpowiednio we wszystkich punktach M (s, y) krzywa L należąca do jakiegoś sąsiedztwa punktu M0 (x0, Yo) i różne od punktu M0 (Jeżeli krzywa L jest podana równaniem, to problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji r - f (x, y) na krzywej! można sformułować w następujący sposób: znajdź ekstrema funkcji x = /(z, y) w obszarze D, pod warunkiem, że wyznaczając ekstrema warunkowe funkcji z = y), argumenty zn nie mogą być dłużej brane pod uwagę jako zmienne niezależne: są one połączone relacją y ) = 0, którą nazywamy równaniem więzów. Aby wyjaśnić różnicę między m «* D y jako bezwarunkowym i warunkowym ekstremum, spójrzmy na inny przykład, bezwarunkowe maksimum funkcji (ryc. 23) jest równy jeden i osiągany jest w punkcie (0,0). Odpowiada dokładnie M - wierzchołkowi pvvboloidu. Dodajmy równanie więzów y = j. Wtedy warunkowe maksimum będzie oczywiście równe.Osiąga się go w punkcie (o, |) i odpowiada wierzchołkowi Afj pvvboloidu, który jest linią przecięcia pvvboloidu z płaszczyzną y = j. W przypadku bezwarunkowego minimum s mamy najmniejsze zastosowanie spośród wszystkich eksplikatów powierzchni * = 1 - n;2 ~ y1; Warunek slumvv - tylko wśród wszystkich punktów pvrboloidv, odpowiadających punktowi * linii prostej y \u003d j nie na płaszczyźnie xOy. Jedna z metod znajdowania ekstremum warunkowego funkcji w obecności i połączeniu jest następująca. Niech równanie połączenia y)-0 definiuje y jako jednowartościową różniczkowalną funkcję argumentu x: Podstawiając funkcję zamiast y do funkcji, otrzymujemy funkcję jednego argumentu, w której warunek połączenia został już uwzględniony . Ekstremum (bezwarunkowe) funkcji jest pożądanym ekstremum warunkowym. Przykład. Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem Ekstremum funkcji wielu zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające dla ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych A \u003d 1 - punkt krytyczny ;, co zapewnia warunkowe minimum funkcji r (ryc. 24). Wskażmy inny sposób rozwiązania problem ekstremum warunkowego, zwany metodą mnożnika Lagrange'a.Niech będzie punkt warunkowego ekstremum funkcji w obecności połączenia.Załóżmy, że równanie połączenia definiuje jednoznaczną, ciągle różniczkowalną funkcję w pewnym sąsiedztwie punktu xi. Zakładając, że otrzymujemy, że pochodna po x funkcji /(r, ip(x)) w punkcie xq musi być równa zero lub, co jest równoważne temu, różniczka z f (x, y ) w punkcie Mo „O) Z równania połączenia mamy (5) Następnie, ze względu na arbitralność dx, otrzymujemy Równania (6) i (7) wyrażają warunki konieczne dla bezwarunkowego ekstremum w punkcie funkcji zwanej funkcją Lagrange'a. Zatem punkt ekstremum warunkowego funkcji / (x, y), if, jest koniecznie punktem stacjonarnym funkcji Lagrange'a, gdzie A jest jakimś współczynnikiem liczbowym. Stąd otrzymujemy regułę znajdowania ekstremów warunkowych: aby znaleźć punkty, które mogą być punktami ekstremum absolutnego funkcji w obecności połączenia, 1) tworzymy funkcję Lagrange'a, 2) zrównując pochodne i W tej funkcji do zera i dodając równanie połączenia do otrzymanych równań, otrzymujemy układ trzech równań, z których znajdujemy wartości A oraz współrzędne x, y możliwych punktów ekstremalnych. Pytanie o istnienie i naturę ekstremum warunkowego rozwiązuje się na podstawie badania znaku drugiej różniczki funkcji Lagrange'a dla rozważanego układu wartości x0, Yo, A, otrzymanego z (8) pod warunkiem że Jeśli, to w punkcie (x0, Yo) funkcja f(x, y ) ma warunkowe maksimum; jeśli d2F > 0 - to minimum warunkowe. W szczególności, jeśli w punkcie stacjonarnym (xo, J/o) wyznacznik D dla funkcji F(x, y) jest dodatni, to w punkcie (®o, V0) występuje warunkowe maksimum funkcji /( x, y) if i warunkowe minimum funkcji /(x, y), if Przykład. Przejdźmy ponownie do warunków z poprzedniego przykładu: znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem, że x + y = 1. Rozwiążemy problem metodą mnożnika Lagrange'a. Funkcja Lagrange'a w tym przypadku ma postać Aby znaleźć punkty stacjonarne, składamy układ Z dwóch pierwszych równań układu otrzymujemy, że x = y. Następnie z trzeciego równania układu (równanie sprzężenia) znajdujemy, że x - y = j - współrzędne punktu możliwego ekstremum. W tym przypadku (wskazano, że A \u003d -1. Zatem funkcja Lagrange'a jest warunkowym punktem minimalnym funkcji * \u003d x2 + y2 pod warunkiem, że nie ma bezwarunkowego ekstremum dla funkcji Lagrange'a. P ( x, y) nie oznacza jeszcze braku ekstremum warunkowego dla funkcji /(x, y) w obecności połączenia Przykład: Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem y 4 Tworzymy funkcję Lagrange'a i wypisujemy układ wyznaczania A i współrzędne możliwych punktów ekstremalnych: Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy x + y = 0 i dochodzimy do układu y = A = 0. Zatem odpowiadająca jej funkcja Lagrange'a ma postać W punkcie (0 , 0), funkcja F(x, y; 0) nie ma ekstremum bezwarunkowego, ale ekstremum warunkowe funkcji r = xy. Gdy y = x, istnieje „Rzeczywiście, w tym przypadku r = x2. tutaj jest jasne, że w punkcie (0,0) istnieje warunkowe minimum. „Metodę mnożników Lagrange'a przenosimy na przypadek funkcji o dowolnej liczbie argumentów / Niech ekstremum funkcji będzie poszukiwane w obecności równania połączenia Sostaalyaem funkcja Lagrange'a gdzie A|, Az,..., A„, - nie pewne stałe czynniki. Przyrównując do zera wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji F i dodając do otrzymanych równań równania połączeń (9), otrzymujemy układ n + m równań, z których wyznaczamy Ab A3|..., Am i współrzędne x\) x2) . » xn możliwych punktów ekstremum warunkowego. Pytanie, czy punkty znalezione metodą Lagrange'a są rzeczywiście warunkowymi punktami ekstremami, często można rozstrzygnąć na podstawie rozważań natury fizycznej lub geometrycznej. 15.3. Maksymalne i minimalne wartości funkcji ciągłych Niech będzie wymagane znalezienie maksymalnej (najmniejszej) wartości funkcji z = /(x, y) ciągłej w jakiejś rozszerzonej, ograniczonej dziedzinie D. Według Twierdzenia 3, w tym obszarze znajduje się punkt (xo, V0), w którym funkcja przyjmuje największą (najmniejszą) wartość. Jeżeli punkt (xo, y0) leży wewnątrz dziedziny D, to funkcja / ma w sobie maksimum (minimum), tak że w tym przypadku interesujący nas punkt jest zawarty między punktami krytycznymi funkcji /(x , y). Jednak funkcja /(x, y) może również osiągnąć swoją maksymalną (najmniejszą) wartość na granicy regionu. Dlatego, aby znaleźć największą (najmniejszą) wartość przyjętą przez funkcję z = /(x, y) w ograniczonym obszarze domkniętym 2), konieczne jest znalezienie wszystkich maksimów (minimów) funkcji osiągniętej w tym obszarze , a także największą (najmniejszą) wartość funkcji na granicy tego obszaru. Największa (najmniejsza) ze wszystkich tych liczb będzie pożądaną maksymalną (najmniejszą) wartością funkcji z = /(x, y) w obszarze 27. Pokażmy, jak to się robi w przypadku funkcji różniczkowalnej. Prmr. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji obszaru 4. Znajdujemy krytyczne punkty funkcji w obszarze D. Aby to zrobić, tworzymy układ równań, stąd otrzymujemy x \u003d y \u003e 0 , tak aby punkt 0 (0,0) był punktem krytycznym funkcji x. Od Znajdźmy teraz największe i najmniejsze wartości funkcji na granicy Г regionu D. Na części granicy mamy tak, że y \u003d 0 jest punktem krytycznym, a ponieważ \u003d wtedy w tym momencie wskaż, że funkcja z \u003d 1 + y2 ma minimum równe jeden. Na końcach odcinka G”, w punktach (, mamy. Wykorzystując względy symetrii, uzyskujemy te same wyniki dla innych części granicy. Na koniec otrzymujemy: najmniejszą wartość funkcji z \u003d x2 + y2 w obszar „B” jest równy zero i osiągany jest w punkcie wewnętrznym obszaru 0( 0, 0), a maksymalna wartość tej funkcji, równa dwa, jest osiągnięta w czterech punktach granicy (rys. 25) Rys.25 Zadania funkcji: Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i ich różniczki całkowite: Znajdź pochodne funkcji zespolonych: 3 Znajdź J. Ekstremum funkcji wielu zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji wielu zmiennych Warunki konieczne i wystarczające dla an extremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych 34. Korzystanie ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej dwie zmienne, znajdź i funkcje: 35. Korzystanie ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej w dwóch zmiennych znajdź |J i funkcje: Znajdź jj niejawne funkcje: 40. Znajdź nachylenie krzywej stycznej w punkcie przecięcia z prostą x = 3. 41. Znajdź punkty, w których styczna krzywej x jest równoległa do osi x. . W następujących zadaniach znajdź i Z: Napisz równania płaszczyzny stycznej i normalnej powierzchni: 49. Napisz równania płaszczyzn stycznych powierzchni x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, równolegle do płaszczyzny x + 4y + 6z \u003d 0. Znajdź pierwsze trzy do czterech składników rozwinięcia za pomocą wzoru Taylora : 50. y w sąsiedztwie punktu (0, 0). Korzystając z definicji ekstremum funkcji, zbadaj następujące funkcje dla ekstremum:). Korzystając z wystarczających warunków dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych, zbadaj ekstremum funkcji: 84. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji z \u003d x2 - y2 w zamkniętym okręgu 85. Znajdź największą i najmniejszą wartości funkcji * \u003d x2y (4-x-y) w trójkącie ograniczonym liniami x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Określ wymiary prostokątnego otwartego basenu o najmniejszej powierzchni, pod warunkiem, że jego objętość jest równa V. 87. Znajdź wymiary prostokątnego równoległościanu o danej całkowitej powierzchni 5 maksymalnej objętości. Odpowiedzi 1. i | Kwadrat utworzony przez odcinki linii x wraz z jego bokami. 3. Rodzina pierścieni koncentrycznych 2= 0,1,2,... .4. Cała płaszczyzna z wyjątkiem punktów prostych y. Część samolotu znajdująca się nad parabolą y \u003d -x?. 8. Okrągłe punkty x. Cała płaszczyzna z wyjątkiem linii prostych x Wyrażenie pierwiastkowe jest nieujemne w dwóch przypadkach j * ^ lub j x ^ ^, co jest odpowiednikiem nieskończonej serii nierówności.Domeną definicji są zacienione kwadraty (ryc. 26) ; l co jest równoważne szeregowi nieskończonemu Funkcja jest zdefiniowana w punktach. a) Linie równoległe do linii x b) Koncentryczne okręgi wyśrodkowane na początku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | Samoloty xc. 13.Prim - jednojamowe hiperboloidy obrotu wokół osi Oz; ponieważ i są dwuwarstwowymi hiperboloidami obrotowymi wokół osi Oz, obie rodziny powierzchni są oddzielone stożkiem; Granicy nie ma, b) 0,18. Niech y = kxt potem z lim z = -2, tak aby dana funkcja w punkcie (0,0) nie miała granic. 19. a) Punkt (0,0); b) punkt (0,0). 20. a) Linia przerwania - okrąg x2 + y2 = 1; b) linia przerwania jest linią prostą y \u003d x. 21. a) Linie przerwania - osie współrzędnych Ox i Oy; b) 0 (zestaw pusty). 22. Wszystkie punkty (m, n), gdzie i n są liczbami całkowitymi