Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W problemach kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prawy w tej formie,

i w takich

i w takich

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż… przede wszystkim są wyjątkowe piękne imiona za jego strony.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie myl: nogi - dwie, a przeciwprostokątna - tylko jedna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów dotyczących: trójkąt prostokątny. Pitagoras udowodnił to doskonale odwieczny czas, i od tego czasu przyniosła wiele korzyści tym, którzy ją znają. A najlepsze w niej jest to, że jest prosta.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Pitagorejskie spodnie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te bardzo pitagorejskie spodnie i spójrzmy na nie.

Czy to naprawdę wygląda jak szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a dokładniej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. I tak to sformułował:

"Suma powierzchnia placów, zbudowany na nogach, jest równy kwadratowy obszar zbudowany na przeciwprostokątnej.

Czy to nie brzmi trochę inaczej, prawda? I tak, kiedy Pitagoras narysował stwierdzenie swojego twierdzenia, właśnie taki obraz się wyszedł.

Na tym rysunku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej zapamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o pitagorejskich spodniach.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było… algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak straszne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami??! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, aby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadraty nóg.

Cóż, omówiono najważniejsze twierdzenie o trójkącie prostokątnym. Jeśli interesuje Cię, jak to jest udowodnione, przeczytaj kolejne poziomy teorii, a teraz przejdźmy dalej... w mroczny las... trygonometrii! W celu okropne słowa sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwej” definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcesz, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego chodzi o róg? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak wypowiedzi 1 - 4 są napisane słowami. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy jest noga przeciwna do rogu, czyli przeciwna (do rogu) noga? Oczywiście, że masz! To jest cewnik!

Ale co z kątem? Przypatrz się. Która noga przylega do narożnika? Oczywiście kot. Tak więc dla kąta noga przylega do siebie i

A teraz uwaga! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to wspaniałe:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensa.

Jak teraz ubrać to w słowa? Jaka jest noga w stosunku do narożnika? Naprzeciwko oczywiście - "leży" naprzeciw rogu. A cewnik? Przylega do rogu. Więc co dostaliśmy?

Widzisz, jak zamieniono licznik i mianownik?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że wielokrotnie już używałeś twierdzenia Pitagorasa, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe. Jak byś to udowodnił? Zróbmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Widzisz, jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki długości i!

Teraz połączmy zaznaczone punkty

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na zdjęcie i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jaka jest powierzchnia większego placu? Prawidłowo . A co z mniejszą powierzchnią? Na pewno, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy dwie z nich i oparliśmy się o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Tak więc obszar „sadzonek” jest równy.

Połączmy to teraz.

Przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - udowodniliśmy jego twierdzenie w starożytny sposób.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące relacje:

Zatoka kąt ostry równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

I jeszcze raz wszystko to w formie talerza:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Na dwóch nogach

II. Według nogi i przeciwprostokątnej

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i pod kątem ostrym

a)

b)

Uwaga! Tutaj bardzo ważne jest, aby nogi „odpowiadały”. Na przykład, jeśli wygląda to tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała lub w obu - przeciwnie.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Spójrz na temat „i zwróć uwagę na fakt, że do równości „zwykłych” trójkątów potrzebujesz równości ich trzech elementów: dwóch boków i kąta między nimi, dwóch kątów i boku między nimi lub trzech boków. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiadające sobie elementy. To świetnie, prawda?

W przybliżeniu taka sama sytuacja z oznakami podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Ostry róg

II. Na dwóch nogach

III. Według nogi i przeciwprostokątnej

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Rozważ cały prostokąt zamiast trójkąta prostokątnego.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

A co z tego wynika?

Tak się złożyło, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że odwrotność również jest prawdziwa.

Co można zyskać z faktu, że mediana przyciągana do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przypatrz się. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzy szczyty trójkąty są równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, odległości, od których prawie wszystkie trzy wierzchołki trójkąta są równe, i to jest opisany CENTRUM OKRĘGU. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „poza…”.

Spójrzmy na ja.

Ale w podobnych trójkątach wszystkie kąty są równe!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jaki pożytek można czerpać z tego „potrójnego” podobieństwa.

Cóż, na przykład - dwie formuły na wysokość trójkąta prostokątnego.

Piszemy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Obie te formuły trzeba bardzo dobrze zapamiętać i tę, która jest wygodniejsza w aplikacji. Zapiszmy je ponownie.

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg:.

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• na dwóch nogach:
• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej: lub
• wzdłuż ramienia i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwnego kąta ostrego: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:.

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym mediana wyciągnięta z wierzchołka prosty kąt, jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Obszar trójkąta prostokątnego:

• przez cewniki:

Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek naprzeciwko cewnik do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: sin α.

Cosinus kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: cos α.

Tangens kąt ostry α to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej nogi.
Oznaczono go następująco: tg α.

Cotangens kąt ostry α to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej.
Jest oznaczony następująco: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.

Zasady:

Główny tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:

(α - kąt ostry naprzeciw nogi b i przylegające do nogi a . Strona z - przeciwprostokątna. β - drugi kąt ostry).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Wraz ze wzrostem kąta ostregosinα iwzrost tg α, icos α maleje.

Dla dowolnego kąta ostrego α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Przykład wyjaśniający:

Niech w trójkącie prostokątnym ABC
AB = 6,
pne = 3,
kąt A = 30º.

Znajdź sinus kąta A i cosinus kąta B.

Decyzja .

1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: ponieważ w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90º, a następnie kąt B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Oblicz sin A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwprostej nogi do przeciwprostokątnej. W przypadku kąta A przeciwległa noga to bok BC. Więc:

BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz obliczamy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. W przypadku kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC na AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.

grzech 30º = cos 60º = 1/2.

Z tego wynika, że ​​w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego jest równy cosinusowi innego kąta ostrego - i na odwrót. Dokładnie to oznaczają nasze dwie formuły:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Sprawdźmy to jeszcze raz:

1) Niech α = 60º. Podstawiając wartość α do wzoru na sinus, otrzymujemy:
grzech (90º - 60º) = cos 60º.
grzech 30º = cos 60º.

2) Niech α = 30º. Podstawiając wartość α do wzoru cosinus, otrzymujemy:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Więcej informacji na temat trygonometrii znajduje się w sekcji Algebra)

Wykład: Sinus, cosinus, tangens, cotangens dowolnego kąta

Sinus, cosinus dowolnego kąta

Aby zrozumieć, co jest funkcje trygonometryczne, zwracamy się do okręgu o promieniu jednostkowym. Dany krąg jest wyśrodkowany w początku na płaszczyźnie współrzędnych. Do wyznaczenia podanych funkcji posłużymy się wektorem promienia LUB, który zaczyna się w środku okręgu, a punkt R jest punktem na kole. Ten wektor promienia tworzy kąt alfa z osią OH. Ponieważ okrąg ma promień równy jeden, to LUB = R = 1.

Jeśli z punktu R upuść prostopadłą na oś OH, to otrzymujemy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną równą jeden.

Jeśli wektor promienia porusza się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to ten kierunek nazywa się negatywny, ale jeśli porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara - pozytywny.

Sinus kąta LUB, jest rzędną punktu R wektory na okręgu.

Oznacza to, że aby uzyskać wartość sinusa danego kąta alfa, konieczne jest określenie współrzędnej Na na powierzchni.

Jak podana wartość został odebrany? Ponieważ wiemy, że sinus dowolnego kąta w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, otrzymujemy to

A ponieważ R=1, następnie sin(α) = y 0 .

W okręgu jednostkowym wartość rzędnej nie może być mniejsza niż -1 i większa niż 1, co oznacza, że

Sinus akceptuje wartość dodatnia w pierwszej i drugiej ćwiartce koła jednostkowego, a ujemne w trzeciej i czwartej.

Cosinus kąta dany okrąg utworzony przez wektor promienia LUB, jest odciętą punktu R wektory na okręgu.

Oznacza to, że aby uzyskać wartość cosinusa danego kąta alfa, konieczne jest wyznaczenie współrzędnej X na powierzchni.

Cosinus dowolnego kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej, otrzymujemy to

A ponieważ R=1, następnie cos(α) = x 0 .

W okręgu jednostkowym wartość odciętej nie może być mniejsza niż -1 i większa niż 1, co oznacza, że

Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce koła jednostkowego, a ujemny w drugiej i trzeciej.

tangensdowolny kąt obliczany jest stosunek sinusa do cosinusa.

Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt prostokątny, to jest to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej. Jeśli rozmawiamy o okręgu jednostkowym, to jest to stosunek rzędnej do odciętej.

Sądząc po tych relacjach, można zrozumieć, że styczna nie może istnieć, jeśli wartość odciętej wynosi zero, to znaczy pod kątem 90 stopni. Tangens może przyjmować wszystkie inne wartości.

Styczna jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce koła jednostkowego, a ujemna w drugiej i czwartej.

Dane odniesienia dla tangensa (tg x) i cotangensa (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica tangensów i kotangensów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów. Wyrażenia poprzez złożone zmienne. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwprostokątnej |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwległej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie n- cały.

W literatura zachodnia styczna jest zdefiniowana w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjęto również następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Domeny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- liczba całkowita).

	y= tg x	y= ctg x
Zakres i ciągłość
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Ekstrema	-	-
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji :
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną > > > ; dla cotangensa > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa w potęgach x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w seria mocy dla funkcji grzech x oraz bo x i podziel te wielomiany na siebie , . Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do tangensa i cotangensa to odpowiednio arcus tangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arc tangens, arcctg

, gdzie n- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2012.

W tym artykule przyjrzymy się kompleksowo . Podstawowe tożsamości trygonometryczne to równości, które ustalają związek między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta i umożliwiają znalezienie dowolnej z tych funkcji trygonometrycznych poprzez znaną inną.

Natychmiast wymieniamy główne tożsamości trygonometryczne, które przeanalizujemy w tym artykule. Zapisujemy je w tabeli, a poniżej podajemy wyprowadzenie tych formuł i podajemy niezbędne wyjaśnienia.

Nawigacja po stronach.

Związek między sinusem i cosinusem jednego kąta

Czasami mówią nie o głównych tożsamościach trygonometrycznych wymienionych w powyższej tabeli, ale o jednej pojedynczej podstawowa tożsamość trygonometryczna uprzejmy . Wyjaśnienie tego faktu jest dość proste: równości otrzymuje się z podstawowej tożsamości trygonometrycznej po podzieleniu obu jej części przez i odpowiednio oraz równości oraz wynikają z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Omówimy to bardziej szczegółowo w kolejnych akapitach.

Oznacza to, że szczególnie interesująca jest równość, której nadano nazwę głównej tożsamości trygonometrycznej.

Zanim udowodnimy podstawową tożsamość trygonometryczną, podajemy jej sformułowanie: suma kwadratów sinusa i cosinusa jednego kąta jest identycznie równa jeden. Teraz udowodnijmy to.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna jest bardzo często używana w transformacja wyrażeń trygonometrycznych. Pozwala to na zastąpienie sumy kwadratów sinusa i cosinusa jednego kąta przez jeden. Nie rzadziej podstawową tożsamość trygonometryczną stosuje się w odwrotnej kolejności: jednostkę zastępuje suma kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego kąta.

Tangens i cotangens przez sinus i cosinus

Tożsamości łączące tangens i cotangens z sinusem i cosinusem jednego kąta formy i wynikają bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Rzeczywiście, z definicji sinus jest rzędną y, cosinus jest odciętą x, tangens jest stosunkiem rzędnej do odciętej, czyli , a cotangens to stosunek odciętej do rzędnej, czyli .

Ze względu na tę oczywistość tożsamości i często definicje tangensa i cotangensa podaje się nie poprzez stosunek odciętej do rzędnej, ale poprzez stosunek sinusa do cosinusa. Więc tangens kąta jest stosunkiem sinusa do cosinusa tego kąta, a cotangens jest stosunkiem cosinusa do sinusa.

Na zakończenie tej sekcji należy zauważyć, że tożsamości i trzymaj się wszystkich takich kątów, dla których zawarte w nich funkcje trygonometryczne mają sens. Czyli wzór obowiązuje dla każdego innego niż (w przeciwnym razie mianownik będzie wynosił zero, a nie zdefiniowaliśmy dzielenia przez zero) i wzór - dla wszystkich , różne od , gdzie z jest dowolnym .

Związek między styczną i cotangens

Jeszcze bardziej oczywistą tożsamością trygonometryczną niż dwie poprzednie jest tożsamość łącząca styczną i cotangens jednego kąta formy . Oczywiste jest, że ma to miejsce dla dowolnych kątów innych niż , w przeciwnym razie tangens lub cotangens nie są zdefiniowane.

Dowód formuły bardzo prosta. Z definicji i skąd . Dowód mógł zostać przeprowadzony w nieco inny sposób. Od i , następnie .

Tak więc tangens i cotangens jednego kąta, pod którym mają sens, to.