Trzy kąty trójkąta są równe. Suma kątów trójkąta. Twierdzenie o sumie kątów

Twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym.

Weź trójkąt ABC (ryc. 208). Oznaczmy jego kąty wewnętrzne przez 1, 2 i 3. Udowodnijmy, że

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Przeciągnijmy przez jakiś wierzchołek trójkąta, na przykład B, prostą MN równoległą do AC.

W wierzchołku B mamy trzy kąty: ∠4, ∠2 i ∠5. Ich suma jest kątem prostym, dlatego jest równa 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ale ∠4 \u003d ∠1 to wewnętrzne krzyżujące się kąty z równoległymi liniami MN i AC oraz sieczną AB.

∠5 = ∠3 są wewnętrznymi kątami leżącymi krzyżowo z równoległymi liniami MN i AC oraz sieczną BC.

Stąd ∠4 i ∠5 można zastąpić ich równymi ∠1 i ∠3.

Dlatego ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Twierdzenie zostało udowodnione.

2. Własność kąta zewnętrznego trójkąta.

Rzeczywiście, w trójkącie ABC (rys. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ale także ∠BCD, kąt zewnętrzny tego trójkąta, nieprzylegający do ∠1 i ∠2, również jest równy 180° - ∠3.

Zatem:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Dlatego ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Wyprowadzona własność kąta zewnętrznego trójkąta doprecyzowuje treść uprzednio udowodnionego twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta, w którym stwierdzono tylko, że kąt zewnętrzny trójkąta jest większy niż każdy kąt wewnętrzny trójkąta, który jest nie przylega do niego; teraz ustalono, że kąt zewnętrzny jest równy sumie obu kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują.

3. Własność trójkąta prostokątnego o kącie 30°.

Wpuść trójkąt prostokątny Kąt DIA B wynosi 30° (Rys. 210). Wtedy jego drugi kąt ostry będzie wynosił 60°.

Udowodnijmy, że odnoga AC jest równa połowie przeciwprostokątnej AB. Kontynuujemy odnogę AC poza wierzchołek prosty kąt C i odłóż na bok segment SM, równy segmentowi AC. Łączymy punkt M z punktem B. Otrzymany trójkąt BCM równy trójkątowi DIA. Widzimy, że każdy kąt trójkąta AVM jest równy 60°, dlatego ten trójkąt jest równoboczny.

Odnoga AC jest równa połowie AM, a ponieważ AM jest równe AB, ramię AC będzie równe połowie przeciwprostokątnej AB.

Łatwo zapamiętać, że „Suma kątów dowolnego trójkąta w geometrii euklidesowej wynosi 180 stopni”. Jeśli zapamiętywanie nie jest łatwe, możesz przeprowadzić kilka eksperymentów dla lepszego zapamiętywania.

Eksperyment pierwszy

Narysuj dowolne trójkąty na kartce papieru, na przykład:

• z dowolnymi stronami;
• Trójkąt równoramienny;
• trójkąt prostokątny.

Pamiętaj, aby skorzystać z linii. Teraz musisz wyciąć powstałe trójkąty, robiąc to dokładnie wzdłuż narysowanych linii. Pokoloruj rogi każdego trójkąta kolorowym ołówkiem lub pisakiem. Na przykład w pierwszym trójkącie wszystkie rogi będą czerwone, w drugim - niebieskim, trzecim - zielonym. http://bit.ly/2gY4Yfz

Z pierwszego trójkąta odetnij wszystkie 3 rogi i połącz je w jednym punkcie z wierzchołkami, tak aby najbliższe boki każdego rogu były połączone. Jak widać, trzy kąty trójkąta utworzyły kąt prosty, który jest równy 180 stopniom. Zrób to samo z pozostałymi dwoma trójkątami - wynik będzie taki sam. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperyment drugi

Rysujemy dowolny trójkąt ABC. Wybieramy dowolny wierzchołek (na przykład C) i rysujemy przez niego prostą DE, równoległą do przeciwnej strony (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Otrzymujemy:

1. Kąty BAC i ACD są równe, ponieważ krzyżują się wewnętrznie względem AC;
2. Kąty ABC i BCE są równe, ponieważ przecinają się wewnętrznie względem BC;
3. Widzimy, że kąty 1, 2 i 3 - kąty trójkąta, połączone w jednym punkcie, utworzyły kąt rozwinięty DCE, równy 180 stopni.

Twierdzenie o sumie trójkątów mówi, że suma wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi 180°.

Niech wewnętrzne kąty trójkąta wyniosą a, b i c, wtedy:

a + b + c = 180°.

Z tej teorii możemy wywnioskować, że suma wszystkich zewnętrznych kątów dowolnego trójkąta wynosi 360 °. Ponieważ kąt zewnętrzny przylega do kąta wewnętrznego, ich suma wynosi 180°. Niech wewnętrzne kąty trójkąta wynoszą a, b i c, a zewnętrzne kąty przy tych kątach wynoszą 180° - a, 180° - b i 180° - c.

Znajdź sumę zewnętrznych kątów trójkąta:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odpowiedź: suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°; suma kątów zewnętrznych trójkąta wynosi 360°.

Twierdzenie to zostało również sformułowane w podręczniku L.S. Atanasiana. oraz w podręczniku Pogorelov A.V. . Dowody tego twierdzenia w tych podręcznikach nie różnią się znacząco, dlatego przedstawiamy jego dowód na przykład z podręcznika Pogorelova A.V.

Twierdzenie: suma kątów trójkąta wynosi 180°

Dowód. Niech ABC będzie danym trójkątem. Narysuj linię przez wierzchołek B równolegle do linii AC. Zaznacz na nim punkt D tak, aby punkty A i D leżały po przeciwnych stronach linii BC (rys. 6).

Kąty DBC i ACB są równe wewnętrznemu krzyżowaniu, utworzonemu przez sieczną BC z równoległymi liniami prostymi AC i BD. Dlatego suma kątów trójkąta na wierzchołkach B i C jest równa kątowi ABD. A suma wszystkich trzech kątów trójkąta jest równa sumie kątów ABD i BAC. Ponieważ kąty te są wewnętrzne jednostronne dla równoległych AC i BD oraz siecznej AB, ich suma wynosi 180 °. Twierdzenie zostało udowodnione.

Ideą tego dowodu jest: linia równoległa oraz oznaczenie równości pożądanych kątów. Odtwarzamy ideę takiej dodatkowej konstrukcji, udowadniając to twierdzenie za pomocą koncepcji eksperymentu myślowego. Dowód twierdzenia za pomocą eksperymentu myślowego. Zatem przedmiotem naszego eksperymentu myślowego są kąty trójkąta. Ustawmy go mentalnie w takich warunkach, aby jego istota mogła się objawić ze szczególną pewnością (etap 1).

Takimi warunkami będzie taki układ rogów trójkąta, w którym wszystkie trzy ich wierzchołki zostaną połączone w jednym punkcie. Taka kombinacja jest możliwa, jeśli dopuścimy możliwość „przesuwania” rogów za pomocą ruchu boków trójkąta bez zmiany kąta nachylenia (rys. 1). Takie ruchy są w istocie kolejnymi przemianami mentalnymi (etap 2).

Dokonując oznaczenia kątów i boków trójkąta (ryc. 2), kątów uzyskanych podczas „ruchu”, formujemy w ten sposób mentalnie środowisko, system połączeń, w którym umieszczamy nasz przedmiot myśli (etap 3).

Prosta AB „poruszająca się” po prostej BC i nie zmieniająca do niej kąta nachylenia, przekłada kąt 1 na kąt 5, a „poruszająca się” po prostej AC, przekłada kąt 2 na kąt 4. Ponieważ z takim „ruchem” prosta AB nie zmienia kąta nachylenia do prostych AC i BC, to wniosek jest oczywisty: promienie a i a1 są równoległe do AB i przechodzą przez siebie, a promienie b i b1 są kontynuacją boków BC i AC, odpowiednio. Ponieważ kąt 3 i kąt między promieniami na i na 1 są pionowe, są sobie równe. Suma tych kątów jest równa rozszerzeniu kąta aa1 - co oznacza 180 °.

WNIOSEK

W Praca dyplomowa Przeprowadzono „skonstruowane” dowody niektórych szkolnych twierdzeń geometrycznych, wykorzystując strukturę eksperymentu myślowego, co było potwierdzeniem postawionej hipotezy.

Przedstawione dowody opierały się na takich idealizacjach wizualno-zmysłowych: „ściskanie”, „rozciąganie”, „przesuwanie”, co pozwalało w szczególny sposób przekształcić pierwotny obiekt geometryczny i podkreślić jego istotne cechy charakterystyczne dla myśli eksperyment. W której eksperyment myślowy działa jako pewne „narzędzie twórcze”, które przyczynia się do pojawienia się wiedzy geometrycznej (na przykład o Środkowa linia trapez lub o kątach trójkąta). Takie idealizacje pozwalają uchwycić ideę dowodu jako całości, ideę przeprowadzenia „dodatkowej konstrukcji”, co pozwala mówić o możliwości bardziej świadomego rozumienia przez uczniów procesu formalnego dedukcyjny dowód twierdzeń geometrycznych.

Eksperyment myślowy jest jedną z podstawowych metod uzyskiwania i odkrywania twierdzeń geometrycznych. Konieczne jest wypracowanie metodyki przekazania metody uczniowi. Otwarta pozostaje kwestia wieku ucznia, który jest akceptowalny do „akceptacji” metody. skutki uboczne przedstawionych w ten sposób dowodów.

Te pytania wymagają dalszych badań. Ale w każdym razie nie ma wątpliwości: eksperyment myślowy rozwija teoretyczne myślenie u uczniów, jest jego podstawą, a zatem umiejętność eksperymentowania umysłowego musi zostać rozwinięta.

Twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta

Suma kątów trójkąta wynosi 180°.

Dowód:

• Podano trójkąt ABC.
• Narysuj linię DK przez wierzchołek B równolegle do podstawy AC.
• \angle CBK= \angle C jako wewnętrzne leżące poprzecznie z równoległymi DK i AC oraz sieczną BC.
• \angle DBA = \angle A wewnętrzna poprzecznie leżąca w DK \parallel AC i sieczna AB. Kąt DBK jest prosty i równy
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Ponieważ kąt prosty wynosi 180 ^\circ , a \angle CBK = \angle C i \angle DBA = \angle A , otrzymujemy 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Twierdzenie sprawdzone

Konsekwencje z twierdzenia o sumie kątów trójkąta:

1. Suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi 90°.
2. W trójkącie równoramiennym każdy kąt ostry wynosi 45°.
3. W trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi 60°.
4. W każdym trójkącie albo wszystkie kąty są ostre, albo dwa kąty są ostre, a trzeci jest rozwarty lub prawy.
5. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują.

Twierdzenie o zewnętrznym kącie trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych kątów trójkąta, które nie sąsiadują z tym kątem zewnętrznym.

Dowód:

• Podano trójkąt ABC, gdzie BCD jest kątem zewnętrznym.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Z równości kąt \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• dostajemy \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Cele i zadania:

Edukacyjny:

• powtórzyć i uogólnić wiedzę o trójkącie;
• udowodnić twierdzenie o sumach trójkątów;
• praktycznie zweryfikować poprawność sformułowania twierdzenia;
• nauczyć się stosować zdobytą wiedzę w rozwiązywaniu problemów.

Rozwijanie:

• rozwijać myślenie geometryczne, zainteresowanie tematem, poznawcze i działalność twórcza studenci, mowa matematyczna, umiejętność samodzielnego zdobywania wiedzy.

Edukacyjny:

• rozwijać się cechy osobiste uczniów, takich jak celowość, wytrwałość, dokładność, umiejętność pracy w zespole.

Ekwipunek: projektor multimedialny, trójkąty wykonane z kolorowego papieru, materiały dydaktyczne „Live Mathematics”, komputer, ekran.

Etap przygotowawczy: Nauczyciel instruuje ucznia, aby przygotował odniesienie historyczne o twierdzeniu o sumie trójkątów.

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Pozdrowienia. Psychologiczne podejście uczniów do pracy.

II. Rozgrzać się

Z figurą geometryczną „trójkąt” spotkaliśmy się na poprzednich lekcjach. Powtórzmy, co wiemy o trójkącie?

Studenci pracują w grupach. Mają możliwość komunikowania się ze sobą, każdy do samodzielnego budowania procesu poznania.

Co się stało? Każda grupa przedstawia swoje sugestie, a nauczyciel zapisuje je na tablicy. Wyniki są omawiane:

Obrazek 1

III. Formułujemy zadanie lekcji

Tak więc wiemy już dużo o trójkącie. Ale nie wszystko. Każdy z was ma na biurku trójkąty i kątomierze. Jak myślisz, jakie zadanie możemy sformułować?

Uczniowie formułują zadanie lekcji - znaleźć sumę kątów trójkąta.

IV. Wyjaśnienie nowego materiału

Część praktyczna(przyczynia się do aktualizacji wiedzy i umiejętności samopoznania) Zmierz kąty kątomierzem i znajdź ich sumę. Zapisz wyniki w zeszycie (posłuchaj otrzymanych odpowiedzi). Dowiadujemy się, że suma kątów okazała się różna dla każdego (może się tak zdarzyć, ponieważ kątomierz został źle przyłożony, obliczenia zostały wykonane niedbale itp.).

Złóż wzdłuż przerywanych linii i dowiedz się, jaka jeszcze suma kątów trójkąta jest równa:

a)
Rysunek 2

b)
Rysunek 3

w)
Rysunek 4

G)
Rysunek 5

mi)
Rysunek 6

Po wykonaniu zadań praktycznych uczniowie formułują odpowiedź: Suma kątów trójkąta jest równa miara stopnia rozszerzony kąt, tj. 180°.

Nauczyciel: Z matematyki praktyczna praca umożliwia jedynie wypowiedzenie się, ale trzeba to udowodnić. Twierdzenie, którego ważność ustala się na podstawie dowodu, nazywa się twierdzeniem. Jakie twierdzenie możemy sformułować i udowodnić?

Studenci: Suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni.

Odniesienie do historii: Własność sumy kątów trójkąta została ustalona w Starożytny Egipt. Dowód podany we współczesnych podręcznikach można znaleźć w komentarzach Proclusa na temat elementów Euklidesa. Proclus twierdzi, że dowód ten (ryc. 8) został odkryty przez pitagorejczyków (V wiek p.n.e.). W pierwszej księdze Elements Euklides przedstawia kolejny dowód twierdzenia o sumie kątów trójkąta, który można łatwo zrozumieć za pomocą rysunku (ryc. 7):

Rysunek 7

Cyfra 8

Rysunki są wyświetlane na ekranie za pomocą projektora.

Nauczyciel oferuje udowodnienie twierdzenia za pomocą rysunków.

Następnie dowód przeprowadzany jest za pomocą CMD „Live Mathematics”. Nauczyciel na komputerze projektuje dowód twierdzenia.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta: „Suma kątów trójkąta wynosi 180°”

Rysunek 9

Dowód:

a)

Rysunek 10

b)

Rysunek 11

w)

Rysunek 12

Uczniowie w zeszycie dokonują krótkiego zapisu dowodu twierdzenia:

Twierdzenie: Suma kątów trójkąta wynosi 180°.

Rysunek 13

Dany:ΔABC

Udowodnić: A + B + C = 180°.

Dowód:

Co trzeba było udowodnić.

V. Fiz. minuta.

VI. Wyjaśnienie nowego materiału (ciąg dalszy)

Konsekwencję twierdzenia o sumie kątów trójkąta wyprowadzają sami uczniowie, co przyczynia się do rozwoju umiejętności formułowania własnego punktu widzenia, wyrażania go i argumentowania:

W dowolnym trójkącie albo wszystkie kąty są ostre, albo dwa ostre rogi, a trzeci tępy lub prosty.

Jeśli wszystkie kąty w trójkącie są ostre, nazywa się to ostry kąt.

Jeśli jeden z kątów trójkąta jest rozwarty, nazywa się to rozwarty.

Jeśli jeden z kątów trójkąta jest prawy, nazywa się to prostokątny.

Twierdzenie o sumie trójkątów pozwala klasyfikować trójkąty nie tylko według boków, ale także według kątów. (W trakcie wprowadzania typów trójkątów uczniowie wypełniają tabelkę)

Tabela 1

Widok trójkąta	Równoramienny	Równoboczny	Wszechstronny
Prostokątny
rozwarty
ostry kąt

VII. Konsolidacja badanego materiału.

1. Rozwiązuj problemy ustnie:

(Rysunki są wyświetlane na ekranie przez projektor)

Zadanie 1. Znajdź kąt C.

Rysunek 14

Zadanie 2. Znajdź kąt F.

Rysunek 15

Zadanie 3. Znajdź kąty K i N.

Rysunek 16

Zadanie 4. Znajdź kąty P i T.

Rysunek 17

1. Sam rozwiąż problem nr 223 (b, d).
2. Rozwiąż problem na tablicy iw zeszytach ucznia nr 224.
3. Pytania: Czy trójkąt może mieć: a) dwa kąty proste; b) dwa kąty rozwarte; c) jeden kąt prosty i jeden rozwarty.
4. (wykonywane ustnie) Karty na każdym stole pokazują różne trójkąty. Określ naocznie kształt każdego trójkąta.

Rysunek 18

1. Znajdź sumę kątów 1, 2 i 3.

Rysunek 19

VIII. Podsumowanie lekcji.

Nauczyciel: Czego się nauczyliśmy? Czy twierdzenie dotyczy dowolnego trójkąta?

IX. Odbicie.

Dajcie mi swoje nastroje chłopaki! Z Odwrotna strona trójkąt przedstawia Twoją mimikę.

Rysunek 20

Zadanie domowe: s.30 (część 1), pytanie 1 rozdz. IV strona 89 podręcznika; nr 223 (a, c), nr 225.