Sumy kosztowe. Podstawowe tożsamości trygonometryczne, ich sformułowania i wyprowadzenie
Kontynuujemy naszą rozmowę o najczęściej używanych formułach w trygonometrii. Najważniejsze z nich to formuły dodawania.
Definicja 1
Wzory dodawania pozwalają na wyrażenie funkcji różnicy lub sumy dwóch kątów za pomocą funkcji trygonometrycznych tych kątów.
Na początek przedstawimy pełna lista dodaj wzory, następnie je udowodnimy i przeanalizujemy kilka ilustracyjnych przykładów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Podstawowe wzory dodawania w trygonometrii
Istnieje osiem podstawowych wzorów: sinus sumy i sinus różnicy dwóch kątów, cosinusy sumy i różnicy, tangensy i cotangensy sumy i różnicy. Poniżej znajdują się ich standardowe formuły i obliczenia.
1. Sinus sumy dwóch kątów można otrzymać w następujący sposób:
Obliczamy iloczyn sinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego;
Pomnóż cosinus pierwszego kąta przez sinus pierwszego;
Zsumuj otrzymane wartości.
Zapis graficzny wzoru wygląda tak: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Sinus różnicy jest obliczany prawie w ten sam sposób, tylko powstałe produkty nie mogą być dodawane, ale odejmowane od siebie. W ten sposób obliczamy iloczyny sinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego i cosinus pierwszego kąta przez sinus drugiego i znajdujemy ich różnicę. Wzór jest napisany tak: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Cosinus sumy. W tym celu znajdujemy iloczyny cosinusa pierwszego kąta odpowiednio przez cosinus drugiego i sinusa pierwszego kąta przez sinus drugiego i znajdujemy ich różnicę: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Różnica cosinusów: jak poprzednio obliczamy iloczyny sinusów i cosinusów podanych kątów i dodajemy je. Wzór: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangens sumy. Wzór ten jest wyrażony jako ułamek, którego licznikiem jest suma stycznych żądanych kątów, a w mianowniku jednostka, od której odejmuje się iloczyn stycznych żądanych kątów. Wszystko jasno wynika z jej zapisu graficznego: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangens różnicy. Obliczamy wartości różnicy i iloczyny stycznych tych kątów i traktujemy je w podobny sposób. W mianowniku dodajemy do jednego, a nie odwrotnie: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Cotangens sumy. Do obliczeń przy użyciu tego wzoru potrzebujemy iloczynu i sumy cotangensów tych kątów, z którymi postępujemy w następujący sposób: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangens różnicy . Wzór jest podobny do poprzedniego, ale w liczniku i mianowniku - minus, a nie plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Prawdopodobnie zauważyłeś, że te formuły są parami podobne. Używając znaków ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), możemy je pogrupować dla ułatwienia notacji:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
W związku z tym mamy jeden wzór zapisu na sumę i różnicę każdej wartości, tylko w jednym przypadku zwracamy uwagę na górny znak, w drugim - na dolny.
Definicja 2
Możemy wziąć dowolne kąty α i β , a wzory dodawania cosinusa i sinusa będą dla nich działać. Jeżeli potrafimy poprawnie wyznaczyć wartości tangensów i cotangensów tych kątów, to dla nich obowiązują również wzory dodawania dla tangensa i cotangensa.
Jak większość pojęć w algebrze, formuły dodawania można udowodnić. Pierwszą formułą, którą udowodnimy, jest różnica cosinusów. Z tego możesz łatwo wydedukować resztę dowodów.
Wyjaśnijmy podstawowe pojęcia. Potrzebujemy koła jednostkowego. Okaże się, jeśli weźmiemy pewien punkt A i obrócimy wokół środka (punkt O) kąty α i β. Wtedy kąt między wektorami O A 1 → i O A → 2 będzie równy (α - β) + 2 π z lub 2 π - (α - β) + 2 π z (z jest dowolną liczbą całkowitą). Otrzymane wektory tworzą kąt równy α - β lub 2 π - (α - β) lub mogą różnić się od tych wartości o całkowitą liczbę pełnych obrotów. Spójrz na zdjęcie:
Zastosowaliśmy formuły redukcyjne i otrzymaliśmy następujące wyniki:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Konkluzja: cosinus kąta między wektorami O A 1 → i O A 2 → jest równy cosinusowi kąta α - β, zatem cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Przypomnij sobie definicje sinusa i cosinusa: sinus jest funkcją kąta równego stosunkowi ramienia kąta przeciwnego do przeciwprostokątnej, cosinus jest sinusem kąta dodatkowego. Dlatego punkty 1 oraz A2 mają współrzędne (cos α , sin α) i (cos β , sin β) .
Otrzymujemy:
O A 1 → = (cos α , sin α) i O A 2 → = (cos β , sin β)
Jeśli nie jest to jasne, spójrz na współrzędne punktów znajdujących się na początku i na końcu wektorów.
Długości wektorów są równe 1, ponieważ mamy jeden krąg.
Przeanalizujmy teraz iloczyn skalarny wektorów O A 1 → i O A 2 → . We współrzędnych wygląda to tak:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Z tego możemy wywnioskować równość:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
W ten sposób udowodniono wzór na cosinus różnicy.
Teraz udowodnimy następującą formułę - cosinus sumy. Jest to łatwiejsze, ponieważ możemy skorzystać z wcześniejszych obliczeń. Weźmy reprezentację α + β = α - (- β) . Mamy:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
To jest dowód wzoru na cosinus sumy. Ostatnia linia wykorzystuje własność sinusa i cosinusa przeciwnych kątów.
Wzór na sinus sumy można wyprowadzić ze wzoru na cosinus różnicy. Weźmy na to wzór redukcyjny:
postaci sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Więc
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
A oto dowód wzoru na sinus różnicy:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Zwróć uwagę na użycie właściwości sinusa i cosinusa przeciwnych kątów w ostatnim obliczeniu.
Następnie potrzebujemy dowodów wzorów dodawania dla tangensa i cotangensa. Przypomnijmy podstawowe definicje (tangens to stosunek sinusa do cosinusa, a cotangens to vice versa) i weźmy z góry wyprowadzone wzory. Zrobiliśmy to:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mamy złożoną frakcję. Następnie musimy podzielić jego licznik i mianownik przez cos α cos β , zakładając, że cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0 , otrzymujemy:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β
Teraz zmniejszamy ułamki i otrzymujemy wzór w postaci: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Otrzymaliśmy t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . To jest dowód na formułę dodawania stycznych.
Następną formułą, którą udowodnimy, jest formuła różnicy stycznej. Wszystko jest jasno pokazane w obliczeniach:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
W podobny sposób sprawdzane są wzory na cotangens:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Dalej:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
- na pewno będą zadania z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność wkuwania ogromnej ilości trudnych formuł, na których roi się od sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Strona już raz podawała porady, jak zapamiętać zapomnianą formułę, na przykładzie formuł Eulera i Peela.
W tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy dobrze znać tylko pięć prostych wzorów trygonometrycznych, a resztę mieć główny pomysł i wyjmuj je, gdy idziesz. To jak z DNA: nie są przechowywane w cząsteczce kompletne rysunki skończone żywe istoty. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Więc to jest w trygonometrii, poznanie niektórych ogólne zasady, dostaniemy wszystko niezbędne formuły z małego zestawu tych, o których należy pamiętać.
Będziemy opierać się na następujących wzorach:
Ze wzorów na sinus i cosinus sum, wiedząc, że funkcja cosinus jest parzysta, a sinus jest nieparzysta, zastępując -b za b, otrzymujemy wzory na różnice:
- Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechasałata(-b)+sałataagrzech(-b) = grzechasałatab-sałataagrzechb
- różnica cosinusa: sałata(a-b) = sałataasałata(-b)-grzechagrzech(-b) = sałataasałatab+grzechagrzechb
Umieszczając a \u003d b w tych samych wzorach, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus podwójnych kątów:
- Sinus podwójnego kąta: grzech2a = grzech(a+a) = grzechasałataa+sałataagrzecha = 2grzechasałataa
- Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataasałataa-grzechagrzecha = sałata2a-grzech2a
Wzory dla innych kątów wielokrotnych otrzymuje się podobnie:
- Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataa+sałata2agrzecha = (2grzechasałataa)sałataa+(sałata2a-grzech2a)grzecha = 2grzechasałata2a+grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzecha(1-grzech2a)-grzech 3a = 3 grzecha-4grzech 3a
- Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataa-grzech2agrzecha = (sałata2a-grzech2a)sałataa-(2grzechasałataa)grzecha = sałata 3a- grzech2asałataa-2grzech2asałataa = sałata 3a-3 grzech2asałataa = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataa = 4sałata 3a-3 sałataa
Zanim przejdziemy dalej, rozważmy jeden problem.
Biorąc pod uwagę: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus, jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Dlatego , następnie grzecha= 3,a sałataa = 4.
(Z humoru matematycznego)
Tak więc definicja tangensa łączy tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który daje połączenie tangensa tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy podstawową tożsamość trygonometryczną: grzech 2 a+sałata 2 a= 1 i podziel przez sałata 2 a. Otrzymujemy:
Rozwiązaniem tego problemu byłoby więc:
(Ponieważ kąt jest ostry, znak + jest przyjmowany podczas wyciągania korzenia)
Wzór na tangens sumy to kolejna trudna do zapamiętania formuła. Wypiszmy to tak:
natychmiast wyjście i
Ze wzoru cosinusa dla kąta podwójnego można uzyskać wzory sinusa i cosinusa dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru cosinusa podwójnego kąta:
sałata2
a = sałata 2
a-grzech 2
a
dodajemy jednostkę, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2
a = sałata2
a+1
wyrażający sałataa poprzez sałata2
a i dokonując zmiany zmiennych otrzymujemy:
Znak jest przyjmowany w zależności od kwadrantu.
Podobnie, odejmując jeden z lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa z prawej strony, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2
a = 1-sałata2
a
I na koniec, aby przekonwertować sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą sztuczkę. Załóżmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzecha+grzechb. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzecha+grzechb = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech x sałata tak+ sałata x grzech tak+ grzech x sałata y- sałata x grzech y=2 grzech x sałata tak. Wyraźmy teraz x i y w postaci aib.
Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego
Możesz wypłacić natychmiast
- Formuła partycji produkty sinusa i cosinusa w ilość: grzechasałatab = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))
Zalecamy przećwiczenie i wyprowadzenie wzorów do przeliczania iloczynu różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także dzielenia iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń dokładnie opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszej kontroli, olimpiadzie czy testach.
Jedną z gałęzi matematyki, z którą uczniowie radzą sobie z największymi trudnościami, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów za pomocą formuł, upraszczanie wyrażeń, umiejętność posługiwania się liczbą pi w obliczeniach. Ponadto musisz umieć zastosować trygonometrię podczas dowodzenia twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.
Początki trygonometrii
Znajomość tej nauki powinna rozpocząć się od zdefiniowania sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.
Trójkąty prostokątne były historycznie głównym przedmiotem badań w tej części nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia wykonywanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów rozważanej figury za pomocą dwóch stron i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie zauważyli ten schemat i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.
Pierwszy etap
Początkowo mówiono o relacji kątów i boków wyłącznie na przykładzie prawe trójkąty. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic stosowania w Życie codzienne ta gałąź matematyki.
Nauka trygonometrii w szkole zaczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym nabyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów w fizyce i rozwiązywaniu abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, z którymi praca zaczyna się w liceum.
Trygonometria sferyczna
Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Ta sekcja nie jest studiowana w szkole, ale trzeba wiedzieć o jej istnieniu, przynajmniej dlatego, że powierzchnia ziemi, a powierzchnia każdej innej planety jest wypukła, co oznacza, że każde oznaczenie powierzchni będzie miało kształt łuku w przestrzeni trójwymiarowej.
Weź kulę ziemską i wątek. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrała kształtu łuku. Właśnie z takimi formami radzi sobie geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Trójkąt prostokątny
Po zapoznaniu się trochę ze sposobami korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich formuł użyć.
Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów dwóch pozostałych boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwie pozostałe strony, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Dodatkowo musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Definicja
Wreszcie, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwległej nogi (tj. strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Czemu? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa, bez względu na długość nogi będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ich stosunek zawsze będzie wynosił mniej niż jeden. Tak więc, jeśli otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1 w odpowiedzi na problem, poszukaj błędu w obliczeniach lub w rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Wreszcie tangens kąta jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. W ten sposób otrzymujemy taki sam stosunek jak w definicji tangensa.
Cotangens, odpowiednio, jest stosunkiem boku przylegającego do narożnika do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.
Rozważyliśmy więc definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i możemy zajmować się wzorami.
Najprostsze formuły
W trygonometrii nie można obejść się bez formuł - jak znaleźć bez nich sinus, cosinus, tangens, cotangens? I właśnie tego wymaga się przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwsza formuła, którą musisz znać, zaczynając studiować trygonometrię, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale pozwala zaoszczędzić czas, jeśli chcesz poznać wartość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu zadań szkolnych: suma jedynki i kwadratu tangensa kąta równa się jednemu podzielonemu przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone kwadratem cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady konwersji i kilka podstawowe formuły w każdej chwili możesz samodzielnie wyświetlić wymagane, bardziej złożone formuły na kartce papieru.
Formuły podwójnego kąta i dodawanie argumentów
Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Pokazano je na poniższym rysunku. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone oba razy, aw drugim dodawany jest iloczyn par sinusa i cosinusa.
Istnieją również formuły związane z argumentami podwójnego kąta. Wywodzą się one całkowicie z poprzednich – w ramach praktyki postaraj się je zdobyć samodzielnie, biorąc pod uwagę kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zwróć uwagę, że formuły podwójnego kąta można przekonwertować, aby obniżyć stopień sinusa, cosinusa i tangensa alfa.
Twierdzenia
Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie sinus i twierdzenie cosinus. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.
Twierdzenie sinus mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwnego kąta otrzymujemy tę samą liczbę. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom koła opisanego, czyli koła zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta sąsiedniego - otrzymana wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Zatem twierdzenie Pitagorasa okazuje się być szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.
Błędy spowodowane nieuwagą
Nawet wiedząc, co to jest sinus, cosinus i tangens, łatwo popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, zapoznajmy się z najpopularniejszymi z nich.
Po pierwsze, nie należy konwertować zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne do czasu uzyskania końcowego wyniku - odpowiedź można zostawić w formularzu wspólny ułamek chyba że warunek stanowi inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawiać się nowe korzenie, które zgodnie z zamysłem autora należy redukować. W takim przypadku zmarnujesz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to zwłaszcza wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.
Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus dotyczy dowolnego trójkąta, ale nie twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotnie iloczyn boków pomnożony przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz kompletne niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie, nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i na odwrót. Łatwo je pomylić, w wyniku czego nieuchronnie otrzymasz błędny wynik.
Aplikacja
Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej stosowanego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni czy trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Wreszcie
Więc jesteś sinus, cosinus, tangens. Możesz ich używać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.
Cała istota trygonometrii sprowadza się do tego, że nieznane parametry należy obliczyć ze znanych parametrów trójkąta. W sumie jest sześć parametrów: długości trzech boków i wielkości trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Jak znaleźć sinus, cosinus, tangens w oparciu o znane długości nóg lub przeciwprostokątną, już wiesz. Ponieważ terminy te nie znaczą nic więcej niż stosunek, a stosunek jest ułamkiem, główny cel znalezienie pierwiastków równania zwyczajnego lub układu równań staje się problemem trygonometrycznym. A tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.
Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąt ostry. To są podstawy trygonometrii.
Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.
Ostry róg- mniej niż 90 stopni.
Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)
Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.
Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.
Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.
Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.
Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.
Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:
Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):
Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.
Udowodnijmy niektóre z nich.
Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.
Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .
Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?
Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć to wszystko funkcje trygonometryczne według specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.
Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.
Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.
Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.
1. W trójkącie kąt to , . Odnaleźć .
Problem został rozwiązany w cztery sekundy.
Ponieważ , .
2. W trójkącie kąt to , , . Odnaleźć .
Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.
Problem rozwiązany.
Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!
Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.
Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.
Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W UŻYJ opcji w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.
Najczęściej zadawane pytania
Czy można wykonać pieczęć na dokumencie według dostarczonej próbki? Odpowiadać Tak, to możliwe. Wyślij zeskanowaną kopię lub zdjęcie na nasz adres e-mail dobra jakość a my wykonamy niezbędny duplikat.
Jakie rodzaje płatności akceptujecie?
Odpowiadać Za dokument można zapłacić w momencie odbioru przez kuriera, po sprawdzeniu poprawności wypełnienia i jakości dyplomu. Można to również zrobić w biurach firm pocztowych oferujących usługi za pobraniem.
Wszystkie warunki dostawy i płatności dokumentów opisane są w sekcji „Płatność i dostawa”. Jesteśmy również gotowi wysłuchać Państwa sugestii dotyczących warunków dostawy i płatności za dokument.
Czy mogę być pewien, że po złożeniu zamówienia nie znikniesz z moimi pieniędzmi? Odpowiadać Posiadamy dość długie doświadczenie w zakresie produkcji dyplomów. Mamy kilka witryn, które są stale aktualizowane. Nasi specjaliści pracują w różnych częściach kraju, produkując ponad 10 dokumentów dziennie. Na przestrzeni lat nasze dokumenty pomogły wielu osobom rozwiązać problemy z zatrudnieniem lub przenieść się do lepiej płatnej pracy. Zdobyliśmy zaufanie i uznanie wśród klientów, więc nie ma absolutnie żadnego powodu, aby to robić. Co więcej, po prostu nie da się tego zrobić fizycznie: płacisz za zamówienie w momencie otrzymania go do rąk, nie ma przedpłaty.
Czy mogę zamówić dyplom z dowolnej uczelni? Odpowiadać Ogólnie tak. Pracujemy w tym obszarze od prawie 12 lat. W tym czasie powstała prawie kompletna baza dokumentów wydanych przez prawie wszystkie uczelnie w kraju i za granicą. różne lata wydanie. Wystarczy wybrać uczelnię, specjalność, dokument i wypełnić formularz zamówienia.
Co mam zrobić, jeśli znajdę literówki i błędy w dokumencie?
Odpowiadać Odbierając dokument od naszej firmy kurierskiej lub pocztowej zalecamy dokładne sprawdzenie wszystkich szczegółów. W przypadku stwierdzenia literówki, błędu lub nieścisłości masz prawo nie odebrać dyplomu, a stwierdzone braki musisz wskazać kurierowi osobiście lub pisemnie, wysyłając pismo na adres e-mail.
W tak szybko, jak to możliwe Poprawimy dokument i ponownie wyślemy go na wskazany adres. Oczywiście przesyłka zostanie opłacona przez naszą firmę.
Aby uniknąć takich nieporozumień, przed wypełnieniem oryginalnego formularza przesyłamy na pocztę klienta układ przyszłego dokumentu w celu weryfikacji i akceptacji wersji ostatecznej. Przed wysłaniem dokumentu kurierem lub pocztą wykonujemy również dodatkowe zdjęcie i film (również w świetle ultrafioletowym), abyś miał wizualne wyobrażenie o tym, co w końcu dostaniesz.
Co trzeba zrobić, aby zamówić dyplom w swojej firmie?
Odpowiadać Aby zamówić dokument (certyfikat, dyplom, świadectwo akademickie, itp.) należy wypełnić formularz zamówienia online na naszej stronie internetowej lub podać swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać formularz ankiety, którą należy wypełnić i wysłać z powrotem do nas.
Jeśli nie wiesz, co wskazać w którymkolwiek polu formularza zamówienia/ankiety, pozostaw je puste. Dlatego wszystkie brakujące informacje wyjaśnimy telefonicznie.
Najnowsze recenzje
Aleksiej:
Potrzebowałem dyplomu, żeby dostać pracę jako menedżer. A co najważniejsze, mam zarówno doświadczenie, jak i umiejętności, ale bez dokumentu nie mogę, wszędzie znajdę pracę. Kiedy już znalazłem się na waszej stronie, nadal zdecydowałem się na zakup dyplomu. Dyplom ukończony w 2 dni! Teraz mam pracę, o której nigdy wcześniej nie marzyłem!! Dziękuję Ci!