Jak znaleźć wierzchołek paraboli wykresu funkcji. Jak znaleźć wierzchołek paraboli: trzy formuły
Każdy wie, czym jest parabola. Ale jak prawidłowo go używać, kompetentnie w rozwiązywaniu różnych praktycznych problemów, zrozumiemy poniżej.
Najpierw oznaczmy podstawowe pojęcia, które algebra i geometria nadają temu terminowi. Rozważ wszystko możliwe typy ten wykres.
Poznajemy wszystkie główne cechy tej funkcji. Rozumiemy podstawy konstruowania krzywej (geometrii). Nauczmy się, jak znaleźć górne, inne podstawowe wartości wykresu tego typu.
Dowiemy się: jak poprawnie skonstruowana jest wymagana krzywa zgodnie z równaniem, na co należy zwrócić uwagę. Zobaczmy główne praktyczne użycie ta wyjątkowa wartość w życiu człowieka.
Czym jest parabola i jak wygląda
Algebra: Termin ten odnosi się do wykresu funkcji kwadratowej.
Geometria: Jest to krzywa drugiego rzędu, która ma kilka specyficznych cech:
Kanoniczne równanie paraboli
Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych (XOY), ekstremum, kierunek rozgałęzienia funkcji rysującej wzdłuż osi odciętej.
Równanie kanoniczne to:
y 2 \u003d 2 * p * x,
gdzie współczynnik p jest ogniskowym parametrem paraboli (AF).
W algebrze zapisuje się to inaczej:
y = a x 2 + b x + c (rozpoznawalny wzór: y = x 2).
Własności i wykres funkcji kwadratowej
Funkcja ma oś symetrii i środek (ekstremum). Domeną definicji są wszystkie wartości osi x.
Zakres wartości funkcji - (-∞, M) lub (M, +∞) zależy od kierunku gałęzi krzywej. Parametr M oznacza tutaj wartość funkcji na górze wiersza.
Jak określić, gdzie skierowane są gałęzie paraboli?
Aby znaleźć kierunek tego typu krzywej z wyrażenia, musisz określić znak przed pierwszym parametrem wyrażenia algebraicznego. Jeśli ˃ 0, to są skierowane w górę. W przeciwnym razie w dół.
Jak znaleźć wierzchołek paraboli za pomocą wzoru
Znalezienie ekstremum jest głównym krokiem w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów. Oczywiście możesz otworzyć specjalne kalkulatory online ale lepiej móc zrobić to samemu.
Jak to zdefiniować? Istnieje specjalna formuła. Gdy b nie jest równe 0, musimy szukać współrzędnych tego punktu.
Formuły na znalezienie szczytu:
- x 0 \u003d -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Przykład.
Istnieje funkcja y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Znajdźmy wierzchołki tej funkcji.
Dla takiej linii:
- x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Otrzymujemy współrzędne wierzchołka (-2, -41).
Przesunięcie paraboli
Klasyczny przypadek ma miejsce, gdy w funkcji kwadratowej y = a x 2 + b x + c, drugi i trzeci parametr mają wartość 0, a = 1 - wierzchołek znajduje się w punkcie (0; 0).
Ruch wzdłuż osi odciętych lub rzędnych jest spowodowany zmianą parametrów odpowiednio b i c. Przesunięcie linii na płaszczyźnie zostanie wykonane dokładnie o liczbę jednostek, która jest równa wartości parametru.
Przykład.
Mamy: b = 2, c = 3.
Oznacza to, że klasyczny widok krzywej przesunie się o 2 segmenty wzdłuż osi odciętej i o 3 wzdłuż osi rzędnych.
Jak zbudować parabolę za pomocą równania kwadratowego
Ważne jest, aby dzieci w wieku szkolnym nauczyły się poprawnie rysować parabolę zgodnie z podanymi parametrami.
Analizując wyrażenia i równania, możesz zobaczyć:
- Punkt przecięcia żądanej prostej z wektorem rzędnych będzie miał wartość równą c.
- Wszystkie punkty wykresu (wzdłuż osi x) będą symetryczne względem głównego ekstremum funkcji.
Ponadto przecięcia z OX można znaleźć znając dyskryminator (D) takiej funkcji:
D \u003d (b 2 - 4 * a * c).
Aby to zrobić, musisz zrównać wyrażenie z zero.
Obecność korzeni paraboli zależy od wyniku:
- D ˃ 0, a następnie x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D \u003d 0, następnie x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
- D ˂ 0, to nie ma punktów przecięcia z wektorem OX.
Otrzymujemy algorytm konstruowania paraboli:
- określić kierunek gałęzi;
- znajdź współrzędne wierzchołka;
- znajdź przecięcie z osią y;
- znajdź przecięcie z osią X.
Przykład 1
Biorąc pod uwagę funkcję y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Konieczne jest zbudowanie paraboli. Działamy zgodnie z algorytmem:
- a \u003d 1, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
- współrzędne skrajne: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- przecina się z osią y przy wartości y = 4;
- znajdź wyróżnik: D = 25 - 16 = 9;
- szukam korzeni
- X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
- X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (dziesięć).
Przykład 2
Dla funkcji y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 musisz zbudować parabolę. Działamy według powyższego algorytmu:
- a \u003d 3, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
- współrzędne skrajne: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- z osią y przetnie się przy wartości y \u003d -1;
- znajdź dyskryminator: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Więc korzenie:
- X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
- X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).
Z uzyskanych punktów możesz zbudować parabolę.
Directrix, ekscentryczność, ognisko paraboli
Na podstawie równanie kanoniczne, ognisko F ma współrzędne (p/2, 0).
Linia prosta AB to kierownica (rodzaj paraboli o określonej długości). Jej równanie to x = -p/2.
Mimośród (stała) = 1.
Wniosek
Rozważaliśmy temat, na którym studiują studenci Liceum. Teraz już wiesz, patrząc na kwadratową funkcję paraboli, jak znaleźć jej wierzchołek, w jakim kierunku będą skierowane gałęzie, czy istnieje przesunięcie wzdłuż osi, a mając algorytm konstrukcji, możesz narysować jej wykres.
Funkcja postaci , gdzie nazywa się funkcja kwadratowa.
Wykres funkcji kwadratowej − parabola.
Rozważ przypadki:
PRZYPADEK I, KLASYCZNA PARABOLA
Tj , ,
Aby zbudować, wypełnij tabelę, podstawiając wartości x do wzoru:
Zaznacz punkty (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na płaszczyźnie współrzędnych (im mniejszy krok przyjmujemy wartości x (w tym przypadku krok 1), a im więcej przyjmujemy wartości x, tym krzywa gładsza) otrzymujemy parabolę:
Łatwo zauważyć, że jeśli weźmiemy przypadek , , , czyli otrzymamy parabolę symetryczną względem osi (wół). Łatwo to zweryfikować, wypełniając podobną tabelę:
II PRZYPADEK „A” INNY OD JEDNEGO
Co się stanie, jeśli weźmiemy , , ? Jak zmieni się zachowanie paraboli? Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Pierwszy rysunek (patrz wyżej) wyraźnie pokazuje, że punkty z tabeli dla paraboli (1;1), (-1;1) zostały przekształcone w punkty (1;4), (1;-4), czyli przy tych samych wartościach rzędna każdego punktu jest mnożona przez 4. To się stanie ze wszystkimi kluczowymi punktami oryginalnej tabeli. Podobnie argumentujemy w przypadku zdjęć 2 i 3.
A kiedy parabola „staje się szersza” parabola:
Podsumujmy:
1)Znak współczynnika odpowiada za kierunek gałęzi. Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Całkowita wartość współczynnik (moduł) odpowiada za „rozciąganie”, „ściskanie” paraboli. Im większa , im węższa parabola, im mniejsza |a|, tym szersza parabola.
PRZYPADEK III, POJAWIA SIĘ „C”
Teraz weźmy w grę (to znaczy rozważmy przypadek, w którym ), rozważymy parabole postaci . Łatwo się domyślić (zawsze można odnieść się do tabeli), że parabola będzie przesuwać się w górę lub w dół wzdłuż osi, w zależności od znaku:
PRZYPADEK IV, POJAWI SIĘ „b”
Kiedy parabola „oderwie się” od osi i wreszcie „będzie chodzić” wzdłuż całej płaszczyzny współrzędnych? Kiedy przestaje być równy.
Tutaj, aby skonstruować parabolę, potrzebujemy wzór na obliczenie wierzchołka: , .
Więc w tym momencie (jak w punkcie (0; 0) nowy system współrzędnych) zbudujemy parabolę, która jest już w naszej mocy. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem, to od góry odstawiamy jeden odcinek w prawo, jeden w górę - otrzymany punkt jest nasz (podobnie krok w lewo, krok w górę jest naszym punktem); jeśli mamy do czynienia np. to od góry odkładamy jeden pojedynczy segment w prawo, dwa – w górę itd.
Na przykład wierzchołek paraboli:
Najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że w tym wierzchołku zbudujemy parabolę zgodnie z szablonem paraboli, ponieważ w naszym przypadku.
Podczas konstruowania paraboli po znalezieniu współrzędnych wierzchołka jest bardzoWygodnie jest wziąć pod uwagę następujące punkty:
1) parabola musi przejść przez punkt . Rzeczywiście, podstawiając x=0 do wzoru, otrzymujemy . To znaczy rzędna punktu przecięcia paraboli z osią (oy), to jest. W naszym przykładzie (powyżej) parabola przecina oś y w , ponieważ .
2) oś symetrii parabole jest linią prostą, więc wszystkie punkty paraboli będą względem niej symetryczne. W naszym przykładzie od razu bierzemy punkt (0; -2) i budujemy parabolę symetryczną wokół osi symetrii, otrzymujemy punkt (4; -2), przez który parabola będzie przechodzić.
3) Przyrównując do , znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (wół). Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie. W zależności od dyskryminatora otrzymamy jeden (, ), dwa ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . W poprzednim przykładzie mamy pierwiastek z dyskryminatora - nie jest to liczba całkowita, budując go, nie ma dla nas sensu znajdowanie pierwiastków, ale wyraźnie widać, że będziemy mieli dwa punkty przecięcia z (oh) oś (od title = "(!LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Więc poćwiczmy
Algorytm konstruowania paraboli, jeśli jest podana w postaci
1) określić kierunek gałęzi (a>0 - w górę, a<0 – вниз)
2) znajdź współrzędne wierzchołka paraboli według wzoru , .
3) znajdujemy punkt przecięcia paraboli z osią (oy) przez wyraz wolny, budujemy punkt symetryczny względem zadanego względem osi symetrii paraboli (należy zauważyć, że zdarza się, że jest nieopłacalne np. zaznaczenie tego punktu, bo wartość jest duża... pomijamy ten punkt...)
4) W znalezionym punkcie - wierzchołku paraboli (jak w punkcie (0; 0) nowego układu współrzędnych) budujemy parabolę. Jeśli title="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (oy) (jeśli same jeszcze nie „wypłynęły”), rozwiązując równanie
Przykład 1
Przykład 2
Uwaga 1. Jeśli parabola zostanie nam początkowo podana w postaci , gdzie są jakieś liczby (np. ), to będzie jeszcze łatwiej ją zbudować, bo już dane nam były współrzędne wierzchołka . Czemu?
Weźmy trójmian kwadratowy i wybierzmy z niego pełny kwadrat: Spójrz, tutaj mamy , . Wcześniej nazywaliśmy szczyt paraboli, czyli teraz.
Na przykład, . Na płaszczyźnie zaznaczamy szczyt paraboli, rozumiemy, że gałęzie są skierowane w dół, parabola jest rozszerzona (względnie). Oznacza to, że wykonujemy kroki 1; 3; 4; 5 z algorytmu konstruowania paraboli (patrz wyżej).
Uwaga 2. Jeśli parabola jest podana w formie podobnej do tej (czyli reprezentowanej jako iloczyn dwóch czynników liniowych), to od razu widzimy punkty przecięcia paraboli z osią (x). W tym przypadku - (0;0) i (4;0). Resztę postępujemy zgodnie z algorytmem, otwierając nawiasy.
Parabola to wykres funkcji kwadratowej. Ta linia ma znaczący wartość fizyczna. Aby ułatwić znalezienie szczytu paraboli, musisz go narysować. Wtedy możesz łatwo zobaczyć jego szczyt na wykresie. Ale aby zbudować parabolę, musisz wiedzieć, jak znaleźć punkty paraboli i jak znaleźć współrzędne paraboli.
Znajdowanie punktów i wierzchołków paraboli
W główny pomysł funkcja kwadratowa ma następującą postać: y = ax 2 + bx + c. harmonogram podane równanie jest parabolą. Gdy wartość a > 0 jego gałęzie są skierowane w górę, a gdy wartość a ‹ 0 - w dół. Aby zbudować parabolę na wykresie, musisz znać trzy punkty, jeśli przebiega ona wzdłuż osi y. W przeciwnym razie muszą być znane cztery punkty konstrukcyjne.
Przy znajdowaniu odciętej (x) należy wziąć współczynnik przy (x) z podanego wzoru wielomianowego, a następnie podzielić przez dwukrotność współczynnika przy (x 2), a następnie pomnożyć przez liczbę - 1.
Aby znaleźć rzędną, musisz znaleźć dyskryminator, a następnie pomnożyć go przez - 1, a następnie podzielić przez współczynnik przy (x 2), po pomnożeniu przez 4.
Następnie, zastępując wartości liczbowe, obliczany jest wierzchołek paraboli. Do wszystkich obliczeń zaleca się korzystanie z kalkulatora inżynierskiego, a podczas rysowania wykresów i parabol należy używać linijki i lumografu, co znacznie zwiększy dokładność obliczeń.
Rozważ poniższy przykład, aby pomóc nam zrozumieć, jak znaleźć wierzchołek paraboli.
x 2 -9=0. W tym przypadku współrzędne wierzchołków są obliczane w następujący sposób: punkt 1 (-0/(2*1); punkt 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Zatem współrzędne wierzchołka są wartościami (0; 9).
Znalezienie odciętej wierzchołka
Kiedy już wiesz, jak znaleźć parabolę i możesz obliczyć jej punkty przecięcia z osią X, możesz łatwo obliczyć odciętą wierzchołka.
Niech (x 1) i (x 2) będą pierwiastkami paraboli. Korzenie paraboli to punkty jej przecięcia z osią x. Wartości te unieważniają następujące równanie kwadratowe: ax 2 + bx + c.
Ponadto |x 2 | > |x 1 |, to wierzchołek paraboli znajduje się pośrodku między nimi. Można go zatem znaleźć za pomocą następującego wyrażenia: x 0 \u003d ½ (|x 2 | - |x 1 |).
Znalezienie obszaru figury
Aby znaleźć obszar figury na płaszczyźnie współrzędnych, musisz znać całkę. Aby go zastosować, wystarczy znać pewne algorytmy. Aby znaleźć obszar ograniczony parabolami, konieczne jest wykonanie jego obrazu w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Najpierw, zgodnie z opisaną powyżej metodą, określa się współrzędną wierzchołka osi (x), a następnie oś (y), po której znajduje się wierzchołek paraboli. Teraz konieczne jest określenie granic integracji. Z reguły są one wskazywane w opisie problemu za pomocą zmiennych (a) i (b). Wartości te należy umieścić odpowiednio w górnej i dolnej części całki. Następnie wpisz w ogólny widok wartość funkcji i pomnóż ją przez (dx). W przypadku paraboli: (x 2)dx.
Następnie musisz ogólnie obliczyć pierwotną wartość funkcji. Aby to zrobić, użyj specjalnej tabeli wartości. Zastępując tam granice integracji, stwierdza się różnicę. Tą różnicą będzie obszar.
Jako przykład rozważmy układ równań: y \u003d x 2 +1 i x + y \u003d 3.
Znaleziono odcięte punkty przecięcia: x 1 \u003d -2 i x 2 \u003d 1.
Uważamy, że y 2 \u003d 3 i y 1 \u003d x 2 + 1 podstawiamy wartości w powyższym wzorze i otrzymujemy wartość równą 4,5.
Teraz nauczyliśmy się, jak znaleźć parabolę, a także na podstawie tych danych obliczyć obszar liczby, którą ona ogranicza.
W matematyce istnieje cały cykl tożsamości, wśród których znaczące miejsce zajmują równania kwadratowe. Podobne równania można rozwiązywać zarówno osobno, jak i przy kreśleniu wykresów na osi współrzędnych. równania są punktami przecięcia paraboli i linii wół.
Forma ogólna
Ogólnie ma następującą strukturę:
W roli „x” można uznać zarówno poszczególne zmienne, jak i całe wyrażenia. Na przykład:
(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.
W przypadku, gdy wyrażenie działa jako x, należy je przedstawić jako zmienną i znaleźć Następnie przyrównać do nich wielomian i znaleźć x.
Tak więc, jeśli (x + 7) \u003d a, równanie przyjmuje postać a 2 + 3a + 2 \u003d 0.
D=3 2 -4*1*2=1;
i 1 \u003d (-3-1) / 2 * 1 \u003d -2;
i 2 \u003d (-3 + 1) / 2 * 1 \u003d -1.
Przy pierwiastkach równych -2 i -1 otrzymujemy:
x+7=-2 i x+7=-1;
Pierwiastki są wartością współrzędnej x punktu przecięcia paraboli z osią x. W zasadzie ich wartość nie jest tak istotna, jeśli zadaniem jest tylko znalezienie wierzchołka paraboli. Ale w przypadku spiskowania korzenie odgrywają ważną rolę.
Wróćmy do pierwotnego równania. Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć wierzchołek paraboli, musisz znać następujący wzór:
gdzie x vp jest wartością współrzędnej x żądanego punktu.
Ale jak znaleźć wierzchołek paraboli bez wartości współrzędnej y? Otrzymaną wartość x podstawiamy do równania i znajdujemy wymaganą zmienną. Na przykład rozwiążmy następujące równanie:
Znajdź wartość współrzędnej x dla wierzchołka paraboli:
x VP \u003d -b / 2a \u003d -3 / 2 * 1;
Znajdź wartość współrzędnej y dla wierzchołka paraboli:
y \u003d 2x 2 + 4x-3 \u003d (-1,5) 2 + 3 * (-1,5) -5;
W rezultacie otrzymujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych (-1,5; -7,25).
Parabola to połączenie punktów, które ma linię pionową, dlatego sama jej budowa nie jest trudna. Najtrudniejsze jest wykonanie prawidłowych obliczeń współrzędnych punktów.
Warto zapłacić Specjalna uwaga na współczynnikach równania kwadratowego.
Współczynnik a wpływa na kierunek paraboli. W przypadku, gdy ma negatywne znaczenie, gałęzie będą skierowane w dół, a ze znakiem dodatnim - w górę.
Współczynnik b pokazuje, jak szerokie będzie ramię paraboli. Im większa jego wartość, tym szerszy będzie.
Współczynnik c wskazuje przemieszczenie paraboli wzdłuż osi y względem początku.
Nauczyliśmy się już, jak znaleźć wierzchołek paraboli, a aby znaleźć pierwiastki, powinniśmy kierować się następującymi wzorami:
gdzie D jest wyróżnikiem potrzebnym do znalezienia pierwiastków równania.
x 1 \u003d (-b + V - D) / 2a
x 2 \u003d (-b-V - D) / 2a
Otrzymane wartości x będą odpowiadały zerowym wartościom y, ponieważ są to punkty przecięcia z osią x.
Następnie zaznaczamy uzyskane wartości w górnej części paraboli. Więcej szczegółowa grafika trzeba znaleźć jeszcze kilka punktów. Aby to zrobić, wybieramy dowolną wartość x, która jest dozwolona w dziedzinie definicji i podstawiamy ją do równania funkcji. Wynikiem obliczeń będzie współrzędna punktu na osi y.
Aby uprościć proces kreślenia, możesz narysować linię pionową przechodzącą przez górę paraboli i prostopadłą do osi x. Będzie to za pomocą którego, mając jeden punkt, możesz wyznaczyć drugi, równoodległy od narysowanej linii.
Wiele technicznych, ekonomicznych i problemy społeczne przewidywane za pomocą krzywych. Najczęściej używanym typem wśród nich jest parabola, a raczej jej połowa. Ważnym elementem każdej krzywej parabolicznej jest jej wierzchołek, którego określenie dokładnych współrzędnych czasami odgrywa kluczową rolę nie tylko w wyświetlaniu samego procesu, ale także dla późniejszych wniosków. Jak znaleźć jego dokładne współrzędne, zostanie omówione w tym artykule.
W kontakcie z
Rozpocznij wyszukiwanie
Zanim przejdziemy do znalezienia współrzędnych wierzchołka paraboli, zapoznajmy się z samą definicją i jej właściwościami. W klasycznym sensie parabola to taki układ punktów, który odległe w tej samej odległości od określonego punktu(fokus, punkt F), a także z linii prostej, która nie przechodzi przez punkt F. Rozważ ta definicja bardziej szczegółowo na rysunku 1.
Rysunek 1. Klasyczny widok paraboli
Rysunek przedstawia klasyczną formę. Ognisko znajduje się w punkcie F. W tym przypadku kierownica będzie uważana za linię prostą osi Y (podświetloną na czerwono). Z definicji można mieć pewność, że absolutnie każdy punkt krzywej, nie licząc ogniska, ma po drugiej stronie podobny, odsunięty w tej samej odległości od osi symetrii, co on sam. Ponadto odległość od dowolnego z punktów na paraboli równa odległości do kierownicy. Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że środek funkcji nie musi znajdować się w początku, a gałęzie mogą być skierowane w różnych kierunkach.
Parabola, jak każda inna funkcja, ma swój własny zapis w postaci formuły:
W tym wzorze litera „s” oznacza parametr paraboli, który jest równy odległości od ogniska do kierownicy. Istnieje również inna forma zapisu, wskazana przez GMT, która ma postać:
Taka formuła stosowana jest w rozwiązywaniu problemów z zakresu analizy matematycznej i jest stosowana częściej niż tradycyjna (ze względu na wygodę). W przyszłości skupimy się na drugiej płycie.
To interesujące!: dowód
Obliczanie współczynników i głównych punktów paraboli
Wśród głównych parametrów zwyczajowo uwzględnia się położenie wierzchołka na osi odciętej, współrzędne wierzchołka na osi rzędnych oraz parametr kierowniczy.
Wartość liczbowa współrzędnej wierzchołka na osi x
Jeżeli równanie paraboli podane jest w postaci klasycznej (1), to wartość odciętej w żądanym punkcie będzie równa połowie wartości parametru s(połowa odległości między kierownicą a ogniskiem). Jeżeli funkcja jest prezentowana w postaci (2), to zero x oblicza się ze wzoru:
To znaczy, patrząc na ten wzór, można argumentować, że wierzchołek będzie w prawej połowie względem osi y, jeśli jeden z parametrów a lub b jest mniejszy od zera.
Równanie kierownicze jest podane przez następujące równanie:
Wartość wierzchołka na osi y
Liczbową wartość położenia wierzchołka dla wzoru (2) na osi y można znaleźć za pomocą następującego wzoru:
Z tego możemy wywnioskować, że jeśli a<0, то wierzchołek krzywej znajdzie się w górnej półpłaszczyźnie, w przeciwnym razie na dole. W tym przypadku punkty paraboli będą miały te same właściwości, które zostały wspomniane wcześniej.
Jeśli podano notację klasyczną, to bardziej racjonalne byłoby obliczenie wartości położenia wierzchołka na osi odciętej, a przez to kolejnej wartości rzędnej. Zauważ, że dla zapisu (2) oś symetrii paraboli w klasycznej reprezentacji pokrywa się z osią y.
Ważny! Rozwiązując zadania za pomocą równania paraboli, przede wszystkim zaznacz główne wartości, które są już znane. Ponadto przydałoby się określenie brakujących parametrów. Takie podejście da więcej „pole manewru” z wyprzedzeniem i bardziej racjonalne rozwiązanie. W praktyce spróbuj użyć notacji (2). Łatwiej to zrozumieć (nie trzeba „odwracać współrzędnych Kartezjusza”), ponadto zdecydowana większość zadań jest przystosowana specjalnie do tej formy zapisu.
Konstrukcja krzywej typu parabolicznego
Używając wspólnej notacji, przed skonstruowaniem paraboli należy znaleźć jej wierzchołek. Mówiąc najprościej, musisz wykonać następujący algorytm:
- Znajdź współrzędną wierzchołka na osi X.
- Znajdź współrzędną położenia wierzchołka na osi Y.
- Podstawiając różne wartości zmiennej zależnej X, znajdź odpowiadające wartości Y i wykreśl krzywą.
Tych. algorytm nie jest niczym skomplikowanym, główny nacisk kładziony jest na znalezienie wierzchołka paraboli. Dalszy proces budowy można uznać za mechaniczny.
Pod warunkiem podania trzech punktów, których współrzędne są znane, należy najpierw sformułować równanie samej paraboli, a następnie powtórzyć opisaną wcześniej procedurę. Ponieważ w równaniu (2) są 3 współczynniki, następnie korzystając ze współrzędnych punktów obliczamy każdy z nich:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
We wzorach (5.1), (5.2), (5.3) używane są odpowiednio te punkty, które są znane (na przykład A (, B (, C (. W ten sposób znajdujemy równanie paraboli w 3 punktach). Z praktycznego punktu widzenia takie podejście nie należy do najprzyjemniejszych, ale daje wyraźny wynik, na podstawie którego następnie budowana jest sama krzywa.
Konstruując parabolę, zawsze musi istnieć oś symetrii. Wzór osi symetrii do pisania (2) będzie wyglądał tak:
Tych. nie jest trudno znaleźć oś symetrii, do której wszystkie punkty krzywej są symetryczne. Dokładniej, jest równa pierwszej współrzędnej wierzchołka.
ilustrujące przykłady
Przykład 1. Załóżmy, że mamy równanie paraboli:
Wymagane jest znalezienie współrzędnych wierzchołka paraboli, a także sprawdzenie, czy punkt D (10; 5) należy do danej krzywej.
Rozwiązanie: Przede wszystkim sprawdzamy, czy wspomniany punkt należy do samej krzywej
Skąd wnioskujemy, że określony punkt nie należy do danej krzywej. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli. Ze wzorów (4) i (5) otrzymujemy następującą sekwencję:
Okazuje się, że współrzędne na górze, w punkcie O, są następujące (-1,25; -7,625). Oznacza to, że nasze parabola pochodzi z trzeciego kwadrantu układu kartezjańskiego współrzędne.
Przykład 2. Znajdź wierzchołek paraboli, znając trzy punkty do niej należące: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Korzystając ze wzorów (5.1), (5.2), (5.3), znajdujemy współczynniki równania paraboli. Otrzymujemy:
Korzystając z otrzymanych wartości otrzymujemy następujące równanie:
Na rysunku dana funkcja będzie wyglądać tak (Rysunek 2):
Rysunek 2. Wykres paraboli przechodzącej przez 3 punkty
Tych. wykres paraboli, który przechodzi przez trzy podane punkty, będzie miał wierzchołek w pierwszej ćwiartce. Jednak gałęzie tej krzywej skierowane są w dół; istnieje przesunięcie paraboli od początku. Taką konstrukcję można było przewidzieć, zwracając uwagę na współczynniki a, b, c.
W szczególności, jeśli a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 krzywa zostanie rozciągnięta, a jeśli mniej niż 1 zostanie skompresowana.
Stała c odpowiada za „ruch” krzywej wzdłuż osi y. Jeśli c>0, to parabola „pełza” w górę, w przeciwnym razie w dół. W odniesieniu do współczynnika b można określić stopień wpływu tylko poprzez zmianę postaci równania, sprowadzając je do postaci:
Jeżeli współczynnik b>0, to współrzędne wierzchołka paraboli zostaną przesunięte w prawo o b jednostek, jeśli mniej, to o b jednostek w lewo.
Ważny! Zastosowanie metod wyznaczania przemieszczenia paraboli na płaszczyźnie współrzędnych czasami pomaga zaoszczędzić czas przy rozwiązywaniu problemów lub dowiedzieć się o ewentualnym przecięciu paraboli z inną krzywą jeszcze przed budową. Zwykle patrzą tylko na współczynnik a, ponieważ to on daje jasną odpowiedź na postawione pytanie.
Przydatne wideo: jak znaleźć wierzchołek paraboli
Przydatne wideo: jak łatwo napisać równanie paraboli z wykresu
Wniosek
Taki proces algebraiczny, jak wyznaczanie wierzchołków paraboli, nie jest trudny, ale jednocześnie dość pracochłonny. W praktyce starają się stosować drugą formę zapisu, aby ułatwić zrozumienie rozwiązania graficznego i rozwiązania jako całości. Dlatego zdecydowanie zalecamy użycie właśnie takiego podejścia, a jeśli nie pamiętasz formuł współrzędnych wierzchołków, to przynajmniej miej ściągawkę.