Reizinātāju atvasinājums. Funkciju summas un starpības atvasinājums. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu

Ja sekojam definīcijai, tad funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas Δ pieauguma koeficienta robeža. y līdz argumenta Δ pieaugumam x:

Šķiet, ka viss ir skaidrs. Bet mēģiniet aprēķināt pēc šīs formulas, teiksim, funkcijas atvasinājumu f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grēks x. Ja visu darīsi pēc definīcijas, tad pēc pāris lappušu aprēķiniem vienkārši aizmigsi. Tāpēc ir vienkāršāki un efektīvāki veidi.

Sākumā mēs atzīmējam, ka tā sauktās elementārās funkcijas var atšķirt no visas funkciju daudzveidības. Tās ir samērā vienkāršas izteiksmes, kuru atvasinājumi jau sen ir aprēķināti un ievadīti tabulā. Šādas funkcijas kopā ar to atvasinājumiem ir pietiekami viegli atcerēties.

Elementāro funkciju atvasinājumi

Elementārās funkcijas ir visas zemāk uzskaitītās. Šo funkciju atvasinājumi ir jāzina no galvas. Turklāt tos nav grūti iegaumēt – tāpēc tie ir elementāri.

Tātad elementāro funkciju atvasinājumi:

Ja elementāru funkciju reizina ar patvaļīgu konstanti, tad arī jaunās funkcijas atvasinājumu var viegli aprēķināt:

(C · f)’ = C · f ’.

Kopumā konstantes var izņemt no atvasinājuma zīmes. Piemēram:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Acīmredzot elementāras funkcijas var pievienot viena otrai, reizināt, dalīt un daudz ko citu. Tā radīsies jaunas funkcijas, kas vairs nav ļoti elementāras, bet arī pēc noteiktiem noteikumiem diferencējamas. Šie noteikumi ir apspriesti tālāk.

Summas un starpības atvasinājums

Ļaujiet funkcijām f(x) un g(x), kuru atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Stingri sakot, algebrā nav jēdziena "atņemšana". Pastāv jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc atšķirība f − g var pārrakstīt kā summu f+ (-1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju summa, tātad:

f ’(x) = (x 2+ grēks x)’ = (x 2)' + (grēks x)’ = 2x+ cosx;

Mēs līdzīgi strīdamies par funkciju g(x). Tikai jau ir trīs termini (no algebras viedokļa):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atbilde:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkta atvasinājums

Matemātika ir loģiska zinātne, tāpēc daudzi cilvēki uzskata, ka, ja summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, tad produkta atvasinājums streikot"\u003e vienāds ar atvasinājumu reizinājumu. Bet vīģes jums! Produkta atvasinājums tiek aprēķināts, izmantojot pavisam citu formulu. Proti:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula ir vienkārša, bet bieži tiek aizmirsta. Un ne tikai skolēni, bet arī studenti. Rezultāts ir nepareizi atrisinātas problēmas.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju reizinājums, tāpēc viss ir vienkārši:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x grēks x)

Funkcija g(x) pirmais reizinātājs ir nedaudz sarežģītāks, taču vispārējā shēma no tā nemainās. Acīmredzot pirmais funkcijas reizinātājs g(x) ir polinoms, un tā atvasinājums ir summas atvasinājums. Mums ir:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atbilde:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x grēks x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ņemiet vērā, ka pēdējā darbībā atvasinājums tiek faktorizēts. Formāli tas nav nepieciešams, taču lielākā daļa atvasinājumu netiek aprēķināti atsevišķi, bet gan, lai izpētītu funkciju. Tas nozīmē, ka tālāk atvasinājums tiks pielīdzināts nullei, tiks noskaidrotas tā zīmes utt. Šādā gadījumā labāk ir, ja izteiksme ir sadalīta faktoros.

Ja ir divas funkcijas f(x) un g(x), un g(x) ≠ 0 uz mums interesējošās kopas, mēs varam definēt jaunu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Šādai funkcijai varat atrast arī atvasinājumu:

Nav vājš, vai ne? No kurienes radās mīnuss? Kāpēc g 2? Bet šādi! Šī ir viena no vissarežģītākajām formulām - bez pudeles to nevar izdomāt. Tāpēc labāk to pētīt ar konkrētiem piemēriem.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Katras daļas skaitītājā un saucējā ir elementāras funkcijas, tāpēc mums ir nepieciešama tikai koeficienta atvasinājuma formula:

Pēc tradīcijas mēs skaitītāju iedalām faktoros - tas ievērojami vienkāršos atbildi:

Sarežģīta funkcija ne vienmēr ir puskilometra gara formula. Piemēram, pietiek ar funkciju f(x) = grēks x un aizstājiet mainīgo x, teiksim, uz x 2+ln x. Izrādās f(x) = grēks ( x 2+ln x) ir sarežģīta funkcija. Viņai ir arī atvasinājums, taču tas nedarbosies, lai to atrastu saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem.

Kā būt? Šādos gadījumos palīdz mainīgā aizstāšana un sarežģītas funkcijas atvasinājuma formula:

f ’(x) = f ’(t) · t', ja x tiek aizstāts ar t(x).

Parasti situācija ar šīs formulas izpratni ir vēl bēdīgāka nekā ar koeficienta atvasinājumu. Tāpēc arī labāk to izskaidrot ar konkrētiem piemēriem, detalizēti aprakstot katru soli.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grēks ( x 2+ln x)

Ņemiet vērā, ka, ja funkcijā f(x) 2. izteiksmes vietā x+3 būs viegli x, tad iegūstam elementāru funkciju f(x) = e x. Tāpēc mēs veicam aizstāšanu: pieņemsim 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mēs meklējam sarežģītas funkcijas atvasinājumu pēc formulas:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Un tagad - uzmanību! Apgrieztās aizstāšanas veikšana: t = 2x+ 3. Mēs iegūstam:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tagad apskatīsim funkciju g(x). Acīmredzot ir jānomaina. x 2+ln x = t. Mums ir:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grēks t)’ · t' = cos t · t ’

Apgrieztā nomaiņa: t = x 2+ln x. Pēc tam:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Tas ir viss! Kā redzams no pēdējās izteiksmes, visa problēma ir samazināta līdz summas atvasinājuma aprēķināšanai.

Atbilde:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Ļoti bieži savās nodarbībās termina “atvasinājums” vietā lietoju vārdu “insults”. Piemēram, summas gājiens ir vienāds ar sitienu summu. Vai tas ir skaidrāk? Nu tas ir labi.

Tādējādi atvasinājuma aprēķins ir saistīts ar atbrīvošanos no šiem tiešiem sitieniem saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Kā pēdējo piemēru atgriezīsimies pie atvasinātā jaudas ar racionālu eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Tikai daži to zina lomā n var būt daļskaitlis. Piemēram, sakne ir x 0,5 . Bet ko darīt, ja zem saknes ir kaut kas viltīgs? Atkal izrādīsies sarežģīta funkcija - viņiem patīk dot šādas konstrukcijas ieskaitēs un eksāmenos.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Vispirms pārrakstīsim sakni kā pakāpju ar racionālu eksponentu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tagad mēs veicam aizstāšanu: ļaujiet x 2 + 8x − 7 = t. Mēs atrodam atvasinājumu pēc formulas:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Mēs veicam apgrieztu aizstāšanu: t = x 2 + 8x− 7. Mums ir:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Visbeidzot, atpakaļ pie saknēm:

Kalkulators aprēķina visu elementāro funkciju atvasinājumus, sniedzot detalizētu risinājumu. Diferenciācijas mainīgais tiek noteikts automātiski.

Funkcijas atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Šādas problēmas noveda pie atvasinājuma parādīšanās, piemēram, punkta momentāno ātruma aprēķināšana laika momentā, ja ceļš ir zināms atkarībā no laika, problēma par funkcijas pieskares atrašanu punktā. .

Visbiežāk funkcijas atvasinājums tiek definēts kā funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, ja tāda pastāv.

Definīcija.Ļaujiet funkcijai definēt kādā punkta apkārtnē. Tad funkcijas atvasinājumu punktā sauc par robežu, ja tāda pastāv

Kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu?

Lai iemācītos atšķirt funkcijas, ir jāmācās un jāsaprot diferenciācijas noteikumi un uzziniet, kā lietot atvasinājumu tabula.

Diferencēšanas noteikumi

Ļaut un būt patvaļīgas diferencējamas reāla mainīgā funkcijas un būt kādai reālai konstantei. Tad

ir noteikums funkciju produkta diferencēšanai

ir koeficienta funkciju diferencēšanas noteikums

0 height=33 width=370 style="vertical-align: -12px;"> — funkcijas diferencēšana ar mainīgu eksponentu

- sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikums

ir jaudas funkcijas diferenciācijas noteikums

Funkcijas atvasinājums tiešsaistē

Mūsu kalkulators ātri un precīzi aprēķinās jebkuras funkcijas atvasinājumu tiešsaistē. Programma nepieļaus kļūdas, aprēķinot atvasinājumu, un palīdzēs izvairīties no ilgiem un nogurdinošiem aprēķiniem. Tiešsaistes kalkulators noderēs arī gadījumā, ja ir nepieciešams pārbaudīt sava risinājuma pareizību un, ja tas ir nepareizs, ātri atrast kļūdu.

Matemātikā ir absolūti neiespējami atrisināt fizikālās problēmas vai piemērus bez zināšanām par atvasinājumu un tā aprēķināšanas metodēm. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāda ir tā fiziskā un ģeometriskā nozīme, kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme

Lai ir funkcija f(x) , dots kādā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Argumenta maiņa - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinātā definīcija:

Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.

Citādi to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Bet kurš:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.

Atvasinājuma fiziskā nozīme: ceļa laika atvasinājums ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.

Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir privāts ceļš. x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums noteiktā laika periodā:

Lai uzzinātu kustības ātrumu vienā reizē t0 jums jāaprēķina limits:

Pirmais noteikums: izņemiet konstanti

Konstanti var izņemt no atvasinājuma zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, parasti ņemiet - ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet .

Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Lēmums:

Šeit ir svarīgi teikt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteiksmi:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms jāņem vērā ārējās funkcijas atvasinājums attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam jāreizina ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums

Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:

Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā izklausās, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā mēs palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko kontroli un tikt galā ar uzdevumiem, pat ja jūs nekad iepriekš neesat nodarbojies ar atvasinājumu aprēķināšanu.