Šeit ir leņķiskais impulss attiecībā pret rotācijas asi, tas ir, projekcija uz leņķiskā momenta asi, kas noteikta attiecībā pret kādu punktu, kas pieder asij (skat. 2. lekciju). - tas ir ārējo spēku moments attiecībā pret griešanās asi, tas ir, ārējo spēku radītā momenta projekcija uz asi, kas noteikta attiecībā pret kādu punktu, kas pieder asij, un šī punkta izvēle uz ass , tāpat kā c gadījumā, nav nozīmes. Patiešām (3.4. att.), kur ir spēka komponents, kas pielikts cietajam ķermenim, kas ir perpendikulārs griešanās asij, ir spēka plecs attiecībā pret asi.

Rīsi. 3.4.

Tā kā ( ir ķermeņa inerces moments attiecībā pret griešanās asi), tad tā vietā mēs varam rakstīt

(3.8)

Vektors vienmēr ir vērsts pa griešanās asi un ir spēka momenta vektora sastāvdaļa gar asi.

Šajā gadījumā mēs attiecīgi iegūstam, un leņķiskais impulss ap asi tiek saglabāts. Tajā pašā laikā pats vektors L, kas definēts attiecībā pret kādu rotācijas ass punktu, var atšķirties. Šādas kustības piemērs ir parādīts attēlā. 3.5.

Rīsi. 3.5.

Stienis AB, kas savienots punktā A, griežas pēc inerces ap vertikālo asi tā, ka leņķis starp asi un stieni paliek nemainīgs. Impulsa vektors L, attiecībā pret punktu A virzās pa konisku virsmu ar pusatvēruma leņķi, tomēr projekcija L uz vertikālās ass paliek nemainīgs, jo gravitācijas moments ap šo asi ir nulle.

Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija un ārējo spēku darbs (rotācijas ass ir nekustīga).

Ķermeņa i-tās daļiņas ātrums

(3.11)

kur ir daļiņas attālums līdz rotācijas asij Kinētiskā enerģija

(3.12)

kā leņķiskais ātrums rotācija visiem punktiem ir vienāda.

Saskaņā ar mehāniskās enerģijas izmaiņu likums Sistēmā visu ārējo spēku elementārais darbs ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas pieaugumu:

izlaidīsim, ka slīpakmens disks griežas pēc inerces ar leņķisko ātrumu, un mēs to apturam, ar nemainīgu spēku piespiežot priekšmetu pret diska malu. Šajā gadījumā uz disku darbosies nemainīga lieluma spēks, kas vērsts perpendikulāri tā asij. Šī spēka darbs

kur kopā ar elektromotora armatūru uzasināta diska inerces moments.

komentēt. Ja spēki ir tādi, ka tie nerada darbu.

brīvas asis. Brīvās rotācijas stabilitāte.

Kad ķermenis griežas ap fiksētu asi, gultņi šo asi notur nemainīgā stāvoklī. Mehānismu nelīdzsvarotajām daļām griežoties, asis (vārpstas) piedzīvo noteiktu dinamisku slodzi, rodas vibrācijas, kratīšana, un mehānismi var sabrukt.

Ja stingrs ķermenis tiek pagriezts ap patvaļīgu asi, stingri savienots ar korpusu, un ass tiek atbrīvota no gultņiem, tad tā virziens telpā, vispārīgi runājot, mainīsies. Lai patvaļīga ķermeņa rotācijas ass nemainītu savu virzienu, tai jāpieliek noteikti spēki. Rezultātā radušās situācijas ir parādītas attēlā. 3.6.

Rīsi. 3.6.

Šeit kā rotējošs korpuss tiek izmantots masīvs viendabīgs stienis AB, kas piestiprināts pie pietiekami elastīgas ass (attēlotas ar dubultām punktētām līnijām). Ass elastība ļauj vizualizēt tās dinamiskās slodzes. Visos gadījumos rotācijas ass ir vertikāla, stingri savienota ar stieni un nostiprināta gultņos; stienis tiek apgriezts ap šo asi un atstāts sev.

Attēlā parādītajā gadījumā. 3.6a, stieņa punktam B rotācijas ass ir galvenā, bet ne centrālā, ass liecas, no ass puses spēks, kas nodrošina tā griešanos, iedarbojas uz stieni (saistītajā NISO ar stieni šis spēks līdzsvaro centrbēdzes inerces spēku). No stieņa puses uz asi iedarbojas spēks, ko līdzsvaro spēki no gultņu puses.

Att. 3.6b, rotācijas ass iet caur stieņa masas centru un ir tam centrālā, bet ne galvenā. Leņķiskais impulss par masas centru O nav saglabājies un apraksta konisku virsmu. Ass tiek deformēta (lūzt) kompleksā veidā, spēki iedarbojas uz stieni no ass puses un kura moments nodrošina pieaugumu (Ar stieni saistītajā NISO elastības spēku moments kompensē momentu centrbēdzes inerces spēki, kas iedarbojas uz vienu un otru stieņa pusi). No stieņa puses spēki iedarbojas uz asi un ir vērsti pretēji spēkiem un Spēku moments un tiek līdzsvaroti ar spēku momentu un rodas gultņos.

Un tikai gadījumā, ja griešanās ass sakrīt ar korpusa galveno centrālo inerces asi (3.6.c att.), stienis, kas nav savīts un atstāts uz sevi, neietekmē gultņus. Šādas asis sauc par brīvajām asīm, jo, ja gultņi tiek noņemti, tie saglabās savu virzienu telpā nemainīgu.

Cita lieta, vai šī rotācija būs stabila attiecībā uz maziem traucējumiem, kas vienmēr notiek reālos apstākļos. Eksperimenti liecina, ka rotācija ap galvenajām centrālajām asīm ar lielāko un mazāko inerces momentu ir stabila, un rotācija ap asi ar inerces momenta starpvērtību ir nestabila. Par to var pārliecināties, izmetot ķermeni paralēlskaldņa formā, kas nav savīts ap vienu no trim savstarpēji perpendikulārām galvenajām centrālajām asīm (3.7. att.). Ass AA" atbilst lielākajam, ass BB" — vidējam, bet ass CC" — paralēlskaldņa mazākajam inerces momentam. diezgan stabils. Mēģinājumi likt ķermenim griezties ap asi BB "nedod panākumus. - ķermenis kustas sarežģīti, lidojumā krītot.

- stingrs korpuss - Eilera leņķi

Skatīt arī:

Darbs un jauda stingra korpusa rotācijas laikā.

Atradīsim izteiksmi darbam ķermeņa rotācijas laikā. Ļaujiet spēku pielikt punktā, kas atrodas attālumā no ass - leņķis starp spēka virzienu un rādiusa vektoru . Tā kā ķermenis ir absolūti stingrs, šī spēka darbs ir vienāds ar darbu, kas tiek patērēts visa ķermeņa pagriešanai. Kad ķermenis griežas bezgalīgi mazā leņķī, pielietošanas punkts šķērso ceļu, un darbs ir vienāds ar pārvietošanās virziena spēka projekcijas reizinājumu ar pārvietojuma lielumu:

Spēka momenta modulis ir vienāds ar:

tad mēs iegūstam šādu formulu darba aprēķināšanai:

Tādējādi darbs stingra ķermeņa rotācijas laikā ir vienāds ar darbības spēka momenta un griešanās leņķa reizinājumu.

Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija.

Inerces moments mat.t. sauca fiziskais vērtība ir skaitliski vienāda ar paklāja masas reizinājumu.t. ar kvadrātu no šī punkta attāluma līdz rotācijas asij W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i cieta ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu mat.t I=S i m i r 2 i cieta ķermeņa inerces momentu sauc. fiziskā vērtība vienāda ar produktu summu mat.t. pēc attāluma no šiem punktiem līdz asij kvadrātiem. W i -I i W 2 / 2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki inerces moments rotācijas kustības laikā yavl. masas analogs translācijas kustībā. I=mR 2/2

21. Neinerciālās atskaites sistēmas. Inerces spēki. Ekvivalences princips. Kustības vienādojums neinerciālās atskaites sistēmās.

Neinerciāla atskaites sistēma- patvaļīga atskaites sistēma, kas nav inerciāla. Neinerciālu atskaites sistēmu piemēri: kadrs, kas kustas taisnā līnijā ar pastāvīgu paātrinājumu, kā arī rotējošs rāmis.

Apsverot ķermeņa kustības vienādojumus neinerciālā atskaites sistēmā, ir jāņem vērā papildu inerces spēki. Ņūtona likumi ir spēkā tikai inerciālās atskaites sistēmās. Lai atrastu kustības vienādojumu neinerciālā atskaites sistēmā, ir jāzina spēku un paātrinājumu transformācijas likumi pārejā no inerciālas sistēmas uz jebkuru neinerciālu.

Klasiskā mehānika postulē šādus divus principus:

laiks ir absolūts, tas ir, laika intervāli starp jebkuriem diviem notikumiem ir vienādi visos patvaļīgi kustīgajos atskaites rāmjos;

telpa ir absolūta, tas ir, attālums starp jebkuriem diviem materiālajiem punktiem ir vienāds visos patvaļīgi kustīgajos atskaites rāmjos.

Šie divi principi ļauj pierakstīt materiāla punkta kustības vienādojumu attiecībā pret jebkuru neinerciālu atskaites sistēmu, kurā Ņūtona pirmais likums nepastāv.

Materiāla punkta relatīvās kustības dinamikas pamatvienādojumam ir šāda forma:

kur ir ķermeņa masa, ir ķermeņa paātrinājums attiecībā pret neinerciālo atskaites sistēmu, ir visu ārējo spēku summa, kas iedarbojas uz ķermeni, ir ķermeņa pārnēsājamais paātrinājums, ir ķermeņa Koriolisa paātrinājums ķermenis.

Šo vienādojumu var uzrakstīt pazīstamajā Ņūtona otrā likuma formā, ieviešot fiktīvus inerces spēkus:

Pārnēsājams inerces spēks

Koriolisa spēks

inerces spēks- fiktīvs spēks, ko var ieviest neinerciālā atskaites sistēmā, lai mehānikas likumi tajā sakristu ar inerciālo sistēmu likumiem.

Matemātiskajos aprēķinos šī spēka ieviešana notiek, pārveidojot vienādojumu

F 1 +F 2 +…F n = ma uz formu

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Kur F i ir faktiskais spēks, un –ma ir “inerces spēks”.

Starp inerces spēkiem ir šādi:

vienkārši inerces spēks;

centrbēdzes spēks, kas izskaidro ķermeņu tendenci aizlidot no centra rotējošās atskaites sistēmās;

Koriolisa spēks, kas izskaidro ķermeņu tendenci novirzīties no rādiusa radiālās kustības laikā rotējošās atskaites sistēmās;

No vispārējās relativitātes viedokļa, gravitācijas spēki jebkurā punktā ir inerces spēki noteiktā Einšteina izliektās telpas punktā

Centrbēdzes spēks- inerces spēks, kas tiek ievadīts rotējošā (neinerciālā) atskaites sistēmā (lai piemērotu Ņūtona likumus, kas aprēķināti tikai inerciālajiem FR) un ir vērsti no rotācijas ass (tātad nosaukums).

Smaguma un inerces spēku līdzvērtības princips- heiristiskais princips, ko Alberts Einšteins izmantoja vispārējās relativitātes teorijas atvasināšanā. Viens no viņa prezentācijas variantiem: “Gravitācijas mijiedarbības spēki ir proporcionāli ķermeņa gravitācijas masai, savukārt inerces spēki ir proporcionāli ķermeņa inerciālajai masai. Ja inerciālā un gravitācijas masa ir vienāda, tad nav iespējams atšķirt, kurš spēks iedarbojas uz doto ķermeni - gravitācijas vai inerces spēks.

Einšteina formulējums

Vēsturiski relativitātes principu Einšteins formulēja šādi:

Visas parādības gravitācijas laukā notiek tieši tāpat kā attiecīgajā inerciālo spēku laukā, ja šo lauku stiprumi sakrīt un sākotnējie nosacījumi sistēmas ķermeņiem ir vienādi.

22. Galileja relativitātes princips. Galilejas transformācijas. Klasiskā ātruma saskaitīšanas teorēma. Ņūtona likumu nemainība inerciālās atskaites sistēmās.

Galileja relativitātes princips- tas ir inerciālo atskaites sistēmu fiziskās vienlīdzības princips klasiskajā mehānikā, kas izpaužas tajā, ka mehānikas likumi visās šādās sistēmās ir vienādi.

Matemātiski Galileja relativitātes princips izsaka mehānikas vienādojumu invarianci (konstantību) attiecībā uz kustīgu punktu (un laika) koordinātu transformācijām pārejā no viena inerciālā rāmja uz otru – Galileja transformācijām.
Lai ir divas inerciālās atskaites sistēmas, no kurām vienu, S, vienosimies uzskatīt par miera stāvoklī esošu; otrā sistēma S", pārvietojas attiecībā pret S ar nemainīgu ātrumu u, kā parādīts attēlā. Tad Galilejas transformācijām materiāla punkta koordinātām sistēmās S un S" būs forma:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(gruntētie lielumi attiecas uz S rāmi, neapstrādātie lielumi attiecas uz S.) Tādējādi laiks klasiskajā mehānikā, kā arī attālums starp jebkuriem fiksētiem punktiem tiek uzskatīts par vienādu visos atskaites rāmjos.
No Galileo transformācijām var iegūt attiecības starp punkta ātrumiem un tā paātrinājumiem abās sistēmās:
v" = v - u, (2)
a" = a.
Klasiskajā mehānikā materiāla punkta kustību nosaka otrais Ņūtona likums:
F = ma, (3)
kur m ir punkta masa un F ir visu tam pielikto spēku rezultants.
Šajā gadījumā spēki (un masas) klasiskajā mehānikā ir invarianti, t.i., lielumi, kas nemainās, pārejot no viena atskaites sistēmas uz otru.
Tāpēc, izmantojot Galilejas transformācijas, vienādojums (3) nemainās.
Tā ir Galilejas relativitātes principa matemātiskā izteiksme.

GALILEO TRANSFORMĀCIJAS.

Kinemātikā visi atskaites rāmji ir vienādi, un kustību var aprakstīt jebkurā no tiem. Kustību izpētē dažreiz ir jāpāriet no vienas atskaites sistēmas (ar koordinātu sistēmu OXYZ) uz citu - (О`Х`У`Z`). Aplūkosim gadījumu, kad otrais atskaites rāmis pārvietojas attiecībā pret pirmo vienmērīgi un taisni ar ātrumu V=const.

Lai atvieglotu matemātisko aprakstu, pieņemam, ka atbilstošās koordinātu asis ir paralēlas viena otrai, ātrums ir vērsts pa X asi un ka sākotnējā brīdī (t=0) abu sistēmu sākumi sakrīt viens ar otru. Izmantojot klasiskajā fizikā taisnīgo pieņēmumu par vienādu laika plūsmu abās sistēmās, var pierakstīt attiecības, kas savieno kāda punkta A(x, y, z) un A (x`, y) koordinātas. `, z`) abās sistēmās. Šādu pāreju no vienas atskaites sistēmas uz otru sauc par Galilejas transformāciju:

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Paātrinājums abās sistēmās ir vienāds (V = const). Galileo transformāciju dziļā nozīme tiks noskaidrota dinamikā. Galileo ātruma transformācija atspoguļo pārvietojumu neatkarības principu, kas notiek klasiskajā fizikā.

Ātrumu pievienošana SRT

Klasiskais ātrumu saskaitīšanas likums nevar būt spēkā, jo tas ir pretrunā apgalvojumam par gaismas ātruma noturību vakuumā. Ja vilciens brauc ar ātrumu v un vagonā vilciena virzienā izplatās gaismas vilnis, tad tā ātrums attiecībā pret Zemi ir nekustīgs c, bet ne v+c.

Apskatīsim divas atsauces sistēmas.

Sistēmā K 0 ķermenis pārvietojas ar ātrumu v viens . Kas attiecas uz sistēmu K tas pārvietojas ar ātrumu v 2. Saskaņā ar likumu par ātrumu pievienošanu SRT:

Ja v<<c un v 1 << c, tad terminu var neņemt vērā, un tad iegūstam klasisko ātrumu saskaitīšanas likumu: v 2 = v 1 + v.

Plkst v 1 = cātrumu v 2 vienāds c, kā to prasa relativitātes teorijas otrais postulāts:

Plkst v 1 = c un plkst v = cātrumu v 2 atkal ir vienāds ar ātrumu c.

Ievērojams saskaitīšanas likuma īpašums ir tas, ka jebkurā ātrumā v 1 un v(ne vairāk c), iegūtais ātrums v 2 nepārsniedz c. Reālu ķermeņu kustības ātrums ir lielāks par gaismas ātrumu, tas nav iespējams.

Ātrumu pievienošana

Apsverot sarežģītu kustību (tas ir, kad punkts vai ķermenis pārvietojas vienā atskaites sistēmā, un tas pārvietojas attiecībā pret otru), rodas jautājums par ātrumu attiecību 2 atskaites sistēmās.

klasiskā mehānika

Klasiskajā mehānikā punkta absolūtais ātrums ir vienāds ar tā relatīvo un translācijas ātrumu vektoru summu:

Vienkāršā valodā: Ķermeņa ātrums attiecībā pret fiksētu atskaites sistēmu ir vienāds ar šī ķermeņa ātruma vektoru summu attiecībā pret kustīgu atskaites sistēmu un mobilākā atskaites sistēmas ātrumu attiecībā pret fiksētu kadru.

Kinētiskā enerģija- vērtība ir aditīva. Tāpēc patvaļīgi kustīga ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar visu ķermeņa kinētisko enerģiju summu. P materiālie punkti, kuros šo ķermeni var garīgi sadalīt: Ja ķermenis griežas ap fiksētu asi z ar leņķisko ātrumu 1 m I 1 ...
(FIZIKA. MEHĀNIKA)

Rotējoša cieta ķermeņa kinētiskā enerģija

Ķermeņa kinētiskā enerģija, kas pārvietojas patvaļīgi, ir vienāda ar visu ķermeņa kinētisko enerģiju summu P materiāli punkti (daļiņas), kuros šo ķermeni var mentāli sadalīt (6.8. att.) Ja ķermenis griežas ap fiksēto asi Oz ar leņķisko ātrumu ω, tad jebkuras /-tās daļiņas lineārais ātrums, ...
(KLASISKĀ UN RELATIVISTISKĀ MEHĀNIKA)

Rīsi. 6.4 Tāda ķermeņa kustība, kurā jebkuri divi tā punkti (BET un AT att. 6.4) palikt nekustīgi sauc par rotāciju ap fiksētu asi. Var parādīt, ka šajā gadījumā jebkurš ķermeņa punkts, kas atrodas uz taisnes, kas savieno punktus Ak, W. Ass,...
(TEORĒTISKĀ MEHĀNIKA.)

Ķermeņa rotācija ap fiksētu asi

Ļaujiet cietajam ķermenim laikā sk veica bezgalīgi mazu rotāciju pa leņķi s/f attiecībā pret fiksēto asi dotajā atskaites sistēmā. Šis rotācijas leņķis c/cp ir ķermeņa stāvokļa maiņas mērs, kas rotē ap fiksētu asi. Pēc analoģijas ar c/r mēs sauksim c/f leņķisko nobīdi....
(FIZIKA: MEHĀNIKA, ELEKTROENERĢIJA UN MAGNĒTISMS)

Analoģija starp translācijas un rotācijas kustību

Šī analoģija tika apspriesta iepriekš un izriet no translācijas un rotācijas kustību pamatvienādojumu līdzības. Tāpat kā paātrinājumu dod ātruma laika atvasinājums un otrs nobīdes atvasinājums, tā leņķisko paātrinājumu dod leņķiskā ātruma laika atvasinājums un leņķiskās nobīdes otrs atvasinājums....
(FIZIKA)

Translācijas un rotācijas kustība

Translācijas kustība Translācijas kustība ir stingra ķermeņa kustība, kurā jebkura taisna līnija, kas novilkta šajā ķermenī, kustas, paliekot paralēla sākotnējai pozīcijai. Translācijas kustības īpašības nosaka šāda teorēma: ķermeņa translācijas kustībā ...
(LIETIETO MEHĀNIKAS)

Apsveriet stingru ķermeni, kas var griezties ap telpā fiksētu rotācijas asi.

Pieņemsim, ka F i ir ārējs spēks, kas pielikts kādai elementārai masai ∆m i stingrs korpuss un izraisa rotāciju. Īsā laika posmā elementārā masa pārvietosies uz un līdz ar to darbs tiks veikts ar spēku

kur a ir leņķis starp spēka virzienu un pārvietojumu. Bet līdzvērtīgi F t ir spēka projekcijas masas kustības trajektorijas pieskarei un vērtība. Līdz ar to

Ir viegli redzēt, ka produkts ir spēka moments ap noteiktu rotācijas asi z un iedarbojoties uz ķermeņa elementu D m i. Tāpēc spēka paveiktais darbs būs

Summējot visiem ķermeņa elementiem pielikto spēku momentu darbu, iegūstam elementāri mazu enerģiju, kas iztērēta elementāri nelielai ķermeņa rotācijai. d j:

, (2.4.27)

kur ir visu ārējo spēku radītais moments, kas iedarbojas uz stingru ķermeni attiecībā pret doto rotācijas asi z.

Strādāt uz noteiktu laiku t

. (2.4.28)

Leņķiskā impulsa un telpas izotropijas saglabāšanas likums

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir rotācijas kustības dinamikas pamatlikuma sekas. Sistēmā no P mijiedarbojošās daļiņas (ķermeņi), visu iekšējo spēku vektora summa un līdz ar to arī spēku momenti, ir vienāda ar nulli, un momentu diferenciālvienādojumam ir forma

kur – visas sistēmas kopējais leņķiskais impulss ir ārējo spēku radītais moments.

Ja sistēma ir aizvērta

no kurienes tas izriet

kas ir iespējams ar

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums: Slēgtas daļiņu (ķermeņu) sistēmas leņķiskais impulss paliek nemainīgs.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir telpas izotropijas īpašības sekas, kas izpaužas faktā, ka slēgtas sistēmas fizikālās īpašības un kustības likumi nav atkarīgi no koordinātu asu virzienu izvēles. inerciālās atskaites sistēmas.

Slēgtā sistēmā ir trīs fiziski lielumi: enerģija, impulss un leņķiskais impulss(kas ir koordinātu un ātrumu funkcijas) tiek saglabātas. Šādas funkcijas sauc kustību integrāļi. Sistēmā no P ir 6 daļiņas n–1 kustības integrālis, bet tikai trim no tiem ir aditivitātes īpašība - enerģija, impulss un leņķiskais impulss.

Žiroskopiskais efekts

Tiek saukts masīvs simetrisks ķermenis, kas rotē ar lielu leņķisko ātrumu ap simetrijas asi žiroskops.

Žiroskops, griežoties, tiecas nemainīt savas ass virzienu telpā, kas ir izpausme leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. Jo stabilāks ir žiroskops, jo lielāks ir griešanās leņķiskais ātrums un jo lielāks ir žiroskopa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi.

Ja tomēr rotējošam žiroskopam tiek pielikti pāris spēki, tiecoties pagriezt to ap asi, kas ir perpendikulāra žiroskopa rotācijas asij, tad tas sāks griezties, bet tikai ap trešo asi, perpendikulāri pirmajam divi (21. att.). Šo efektu sauc žiroskopiskais efekts. Iegūto kustību sauc par precesijas kustību vai precesija.

Jebkurš ķermenis, kas rotē ap kādu asi, precesē, ja uz to iedarbojas spēku moments, kas ir perpendikulārs rotācijas asij.

Precesijas kustības piemērs ir bērnu rotaļlietas, ko sauc par griežamo vai topiņu, uzvedība. Zeme precesē arī Mēness gravitācijas lauka ietekmē. Spēku momentu, kas iedarbojas uz Zemi no Mēness puses, nosaka Zemes ģeometriskā forma - sfēriskās simetrijas neesamība, t.i. ar savu "saplacinātību".

Žiroskops*

Apskatīsim precesijas kustību sīkāk. Šāda kustība tiek realizēta ar masīvu disku vertikāli ass, ap kuru tas griežas. Diskam ir leņķiskais impulss, kas virzīts pa diska rotācijas asi (22. att.).

Pie žiroskopa, kura galvenais elements ir disks D, griežoties ar ātrumu ap horizontāli cirvji OO"Būs griezes moments par punktu C un leņķiskais impulss ir vērsts pa diska rotācijas asi D.

Žiroskopa ass punktā ir eņģes C. Ierīce ir aprīkota ar pretsvaru K. Ja pretsvars ir uzstādīts tā, lai punkts C ir sistēmas masas centrs ( m ir žiroskopa masa; m 0 - pretsvara masa Uz; stieņa masa ir niecīga), tad bez berzes mēs rakstām:

tas ir, uz sistēmu iedarbojošo spēku radītais moments ir nulle.

Tad ir spēkā leņķiskā impulsa saglabāšanas likums:

Citiem vārdiem sakot, šajā gadījumā const; kur Dž ir žiroskopa inerces moments, ir žiroskopa iekšējais leņķiskais ātrums.

Tā kā diska inerces moments ap tā simetrijas asi ir nemainīga vērtība, arī leņķiskā ātruma vektors paliek nemainīgs gan lielumā, gan virzienā.

Vektors ir vērsts pa rotācijas asi saskaņā ar labās skrūves likumu. Tādējādi brīvā žiroskopa ass saglabā savu pozīciju telpā nemainīgu.

Ja lai līdzsvarotu Uz pievieno vēl vienu ar masu m 1 , tad sistēmas masas centrs nobīdīsies un attiecībā pret punktu parādīsies griezes moments C. Saskaņā ar momenta vienādojumu,. Šī griezes momenta ietekmē leņķiskā impulsa vektors saņems pieaugumu, kas sakrīt virzienā ar vektoru:

Gravitācijas vektori un ir vērsti vertikāli uz leju. Tāpēc vektori , un , atrodas horizontālajā plaknē. Pēc kāda laika žiroskopa leņķiskais impulss mainīsies par vērtību un kļūs vienāds ar

Tādējādi vektors maina virzienu telpā, visu laiku paliekot horizontālajā plaknē. Ņemot vērā, ka žiroskopa leņķiskā momenta vektors ir vērsts pa rotācijas asi, vektora rotācija par kādu leņķi da laikā dt nozīmē pagriezt griešanās asi par tādu pašu leņķi. Rezultātā žiroskopa simetrijas ass sāks griezties ap fiksētu vertikālo asi BB" ar leņķisko ātrumu:

Tādu kustību sauc regulāra precesija, un vērtība ir precesijas leņķiskais ātrums. Ja sākuma brīdī ass OO"Žiroskops nav uzstādīts horizontāli, tad precesijas laikā tas aprakstīs konusu telpā attiecībā pret vertikālo asi. Berzes spēku klātbūtne noved pie tā, ka pastāvīgi mainīsies žiroskopa ass slīpuma leņķis. Šo kustību sauc par nutācija.

Noskaidrosim žiroskopa precesijas leņķiskā ātruma atkarību no sistēmas galvenajiem parametriem. Projicēsim vienādību (123) uz horizontālo asi, kas ir perpendikulāra OO"

No ģeometriskiem apsvērumiem (skat. 22. att.) pie maziem griešanās leņķiem , tad , un precesijas leņķiskais ātrums tiek izteikts:

Tas nozīmē, ka, ja žiroskopam tiek pielikts pastāvīgs ārējais spēks, tas sāks griezties ap trešo asi, kas nesakrīt virzienā ar rotora galveno rotācijas asi.

Precesija, kuras lielums ir proporcionāls iedarbojošā spēka lielumam, notur ierīci orientētu vertikālā virzienā, un var izmērīt slīpuma leņķi attiecībā pret atbalsta virsmu. Kad ierīce ir pagriezta, tai ir tendence pretoties izmaiņām tās orientācijā leņķiskā impulsa dēļ. Šis efekts fizikā ir pazīstams arī kā žiroskopiskā inerce. Ārējas ietekmes pārtraukšanas gadījumā precesija beidzas uzreiz, bet rotors turpina griezties.

Uz disku iedarbojas gravitācija, radot spēka momentu ap atbalsta punktu O. Šis brīdis ir virzīts perpendikulāri diska rotācijas asij un ir vienāds ar

kur l 0- attālums no diska smaguma centra līdz atbalsta punktam O.

Pamatojoties uz rotācijas kustības dinamikas pamatlikumu, spēka moments radīs laika intervālā dt leņķiskā impulsa izmaiņas

Vektori un ir vērsti pa vienu taisnu līniju un ir perpendikulāri rotācijas asij.

No att. 22 parāda, ka vektora beigas laikā dt pāriet uz stūri

Šajā saistībā aizstājot vērtības L, dL un M, saņemam

. (2.4.43)

Tādējādi vektora gala nobīdes leņķiskais ātrums :

un diska rotācijas ass augšējais gals aprakstīs apli horizontālā plaknē (21. att.). Tādu ķermeņa kustību sauc precesionāls un pats efekts žiroskopiskais efekts.

CIETĀ ĶERMEŅA DEFORMĀCIJAS

Reāli ķermeņi nav absolūti elastīgi, tāpēc, aplūkojot reālas problēmas, ir jārēķinās ar iespēju mainīt to formu kustības procesā, t.i., jārēķinās ar deformācijām. Deformācija- tās ir cieto ķermeņu formas un izmēra izmaiņas ārējo spēku ietekmē.

Plastiskā deformācija- tā ir deformācija, kas saglabājas ķermenī pēc ārējo spēku darbības pārtraukšanas. Deformāciju sauc elastīgs, ja pēc ārējo spēku darbības pārtraukšanas ķermenis atgriežas sākotnējā izmērā un formā.

Visu veidu deformācijas (spriegojums, saspiešana, liece, vērpes, bīdes) var reducēt līdz vienlaikus notiekošām stiepes (vai saspiešanas) un bīdes deformācijām.

spriegumsσ ir fizikāls lielums, kas skaitliski vienāds ar elastīgo spēku uz ķermeņa šķērsgriezuma laukuma vienību (mēra Pa):

Ja spēks ir vērsts pa normālu uz virsmu, tad spriegums normāli, ja - tangenciāli, tad spriegums tangenciāls.

Relatīvā deformācija- kvantitatīvs rādītājs, kas raksturo deformācijas pakāpi un ko nosaka absolūtās deformācijas attiecība Δ x uz sākotnējo vērtību x kas raksturo ķermeņa formu vai izmēru: .

- relatīvās garuma izmaiņasl stienis(gareniskā deformācija) ε:

- relatīvais šķērsspriegums (saspiešana)ε', kur d- stieņa diametrs.

Deformācijām ε un ε' vienmēr ir dažādas zīmes: ε' = −με kur μ ir pozitīvs koeficients, kas ir atkarīgs no materiāla īpašībām un tiek saukts Puasona koeficients.

Mazām deformācijām relatīvā deformācija ε ir proporcionāla spriegumam σ:

kur E- proporcionalitātes koeficients (elastības modulis), skaitliski vienāds ar spriegumu, kas rodas pie relatīvā deformācijas, kas vienāda ar vienību.

Vienpusējas spriedzes (saspiešanas) gadījumā tiek saukts elastības modulis Younga modulis. Younga moduli mēra Pa.

Pierakstījis , saņemam - Huka likums:

stieņa pagarinājums elastīgās deformācijas apstākļos ir proporcionāls spēkam, kas iedarbojas uz stieni(šeit k- elastības koeficients). Huka likums ir spēkā tikai nelielām deformācijām.

Atšķirībā no cietības faktora k, kas ir tikai ķermeņa īpašība, Janga modulis raksturo matērijas īpašības.

Jebkuram ķermenim, sākot no noteiktas vērtības, deformācija pārstāj būt elastīga, kļūstot plastiska. Kaļamie materiāli ir materiāli, kas nesabrūk, ja spriegums ievērojami pārsniedz elastības robežu. Pateicoties plastiskumam, metāli (alumīnijs, varš, tērauds) var tikt pakļauti dažādai mehāniskai apstrādei: štancēšanai, kalšanai, locīšanai, stiepšanai. Ar turpmāku deformācijas palielināšanos materiāls tiek iznīcināts.

Stiepes izturība - maksimālais spriegums, kas rodas ķermenī pirms tā iznīcināšanas.

Spiedes un stiepes stiprības robežu atšķirība ir izskaidrojama ar atšķirību molekulu un atomu mijiedarbības procesos cietās vielās šo procesu laikā.

Janga modulis un Puasona koeficients pilnībā raksturo izotropa materiāla elastības īpašības. Visas pārējās elastīgās konstantes var izteikt kā E un μ.

Daudzi eksperimenti liecina, ka pie mazām deformācijām spriegums ir tieši proporcionāls relatīvajam pagarinājumam ε (sadaļa OA diagrammas) - Huka likums ir izpildīts.

Eksperiments parāda, ka nelielas deformācijas pilnībā izzūd pēc slodzes noņemšanas (novēro elastīgu deformāciju). Mazām deformācijām ir izpildīts Huka likums. Tiek izsaukts maksimālais spriegums, pie kura joprojām darbojas Huka likums proporcionalitātes robeža σ p Tas atbilst punktam BET diagrammas.

Ja turpināsit palielināt stiepes slodzi un pārsniegt proporcionālo robežu, tad deformācija kļūst nelineāra (līnija ABCDEK). Taču ar nelielām nelineārām deformācijām pēc slodzes noņemšanas praktiski atjaunojas korpusa forma un izmēri (sadaļa AB grafikas māksla). Tiek saukts maksimālais spriegums, pie kura nav manāmas paliekošās deformācijas elastības robeža σ iepakojums. Tas atbilst punktam AT diagrammas. Elastības robeža pārsniedz proporcionālo robežu ne vairāk kā par 0,33%. Vairumā gadījumu tos var uzskatīt par līdzvērtīgiem.

Ja ārējā slodze ir tāda, ka ķermenī rodas spriegumi, kas pārsniedz elastības robežu, tad deformācijas raksturs mainās (sadaļa BCDEK). Pēc slodzes noņemšanas paraugs neatgriežas iepriekšējos izmēros, bet paliek deformēts, lai gan ar mazāku pagarinājumu nekā slodzes gadījumā (plastiskā deformācija).

Pārsniedz elastības robežu pie noteiktas sprieguma vērtības, kas atbilst punktam Ar diagrammas, pagarinājums palielinās gandrīz nepalielinot slodzi (sadaļa CD diagrammas ir gandrīz horizontālas). Šo fenomenu sauc materiāla plūsma.

Turpinot palielināt slodzi, spriegums palielinās (no punkta D), pēc kā vismazāk izturīgajā parauga daļā parādās sašaurināšanās (“kakls”). Sakarā ar šķērsgriezuma laukuma samazināšanos (punkts E) turpmākai pagarināšanai ir nepieciešams mazāks spriegums, bet galu galā notiek parauga iznīcināšana (punkts Uz). Tiek saukts maksimālais spriegums, ko paraugs var izturēt, nesalūstot stiepes izturība - σ pc (tas atbilst punktam E diagrammas). Tās vērtība ir ļoti atkarīga no materiāla veida un tā apstrādes.

Apsveriet bīdes deformācija. Lai to izdarītu, mēs ņemam viendabīgu ķermeni ar taisnstūra paralēlskaldni un pieliekam tā pretējām virsmām spēkus, kas vērsti paralēli šīm virsmām. Ja spēku darbība ir vienmērīgi sadalīta pa visu atbilstošās sejas virsmu S, tad jebkurā posmā, kas ir paralēls šīm skaldnēm, radīsies tangenciāls spriegums

Pie nelielām deformācijām korpusa tilpums praktiski nemainīsies, un deformācija sastāv no tā, ka paralēlskaldņa "slāņi" tiek nobīdīti viens pret otru. Tāpēc šo deformāciju sauc bīdes deformācija.

Bīdes deformācijas gadījumā jebkura taisna līnija, kas sākotnēji ir perpendikulāra horizontālajiem slāņiem, griezīsies noteiktā leņķī. Tas apmierinās attiecības

,

kur - bīdes modulis, kas ir atkarīgs tikai no ķermeņa materiālajām īpašībām.

Bīdes deformācija attiecas uz viendabīgām deformācijām, t.i., kad visi bezgalīgi mazie ķermeņa tilpuma elementi tiek deformēti vienādi.

Tomēr ir neviendabīgas deformācijas - locīšana un pagriešana.

Ņemsim viendabīgu vadu, nofiksēsim tā augšējo galu un pieliksim apakšējo galu ar griezes spēku, radot griezes momentu M attiecībā pret stieples garenisko asi. Vads griezīsies - katrs tā apakšējās pamatnes rādiuss griezīsies ap garenasi par leņķi. Šo deformāciju sauc par vērpi. Huka likums vērpes deformācijai ir uzrakstīts kā

kur ir konstanta vērtība noteiktam vadam, ko sauc par to vērpes modulis. Atšķirībā no iepriekšējiem moduļiem tas ir atkarīgs ne tikai no materiāla, bet arī no stieples ģeometriskajiem izmēriem.

Rotācijas darbs. Spēka mirklis

Apsveriet darbu, kas veikts materiāla punkta rotācijas laikā ap apli, iedarbojoties uz nobīdi (spēka tangenciālā komponente) iedarbojošā spēka projekcija. Saskaņā ar (3.1) un att. 4.4, pārejot no translācijas kustības parametriem uz rotācijas kustības parametriem (dS = Rdcp)

Šeit kā spēka reizinājums tiek ieviests spēka momenta jēdziens ap griešanās asi OOi F s uz spēka pleca R:

Kā redzams no attiecības (4.8), spēka moments rotācijas kustībā ir analogs spēkam translācijas kustībā, jo abi parametri tiek reizināti ar analogiem dcp un dS dot darbu. Acīmredzot spēka moments ir jānorāda arī vektoriski, un attiecībā uz punktu O tā definīcija tiek dota caur vektora reizinājumu, un tam ir forma

Visbeidzot: darbs rotācijas kustības laikā ir vienāds ar spēka momenta un leņķiskās nobīdes skalāro reizinājumu:

Kinētiskā enerģija rotācijas kustības laikā. Inerces moments

Apsveriet absolūti stingru ķermeni, kas rotē ap fiksētu asi. Sadalīsim šo ķermeni garīgi bezgala mazos gabaliņos ar bezgala maziem izmēriem un masām mi, m2, Shz..., kas atrodas R b R 2 , R3 ... attālumā no ass. Mēs atrodam rotējoša ķermeņa kinētisko enerģiju kā tā mazo daļu kinētisko enerģiju summu

kur Y ir stingra ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu asi OOj.

Salīdzinot translācijas un rotācijas kustību kinētiskās enerģijas formulas, var redzēt, ka inerces moments rotācijas kustībā ir analogs masai translācijas kustībā. Formula (4.12) ir ērta, lai aprēķinātu inerces momentu sistēmām, kas sastāv no atsevišķiem materiāliem punktiem. Lai aprēķinātu cieto ķermeņu inerces momentu, izmantojot integrāļa definīciju, (4.12) varam pārveidot formā

Ir viegli redzēt, ka inerces moments ir atkarīgs no ass izvēles un mainās līdz ar tās paralēlo translāciju un rotāciju. Mēs piedāvājam dažu viendabīgu ķermeņu inerces momentu vērtības.

No (4.12) redzams, ka materiāla punkta inerces moments vienāds

kur t- punktu masa;

R- attālums līdz rotācijas asij.

Ir viegli aprēķināt inerces momentu dobs plānsienu cilindrs(vai īpašs cilindra korpuss ar mazu augstumu - plāns gredzens) rādiuss R ap simetrijas asi. Šāda ķermeņa visu punktu attālums līdz rotācijas asij ir vienāds, vienāds ar rādiusu, un to var izņemt no summas zīmes (4.12):

ciets cilindrs(vai īpašs cilindra korpuss ar mazu augstumu - disks) rādiuss R, lai aprēķinātu inerces momentu ap simetrijas asi, nepieciešams integrāļa (4.13.) aprēķins. Masa šajā gadījumā vidēji ir koncentrēta nedaudz tuvāk nekā doba cilindra gadījumā, un formula būs līdzīga (4.15), bet tajā parādīsies koeficients, kas mazāks par vienu. Atradīsim šo koeficientu.

Lai cietam cilindram ir blīvums R un augstums h. Sadalīsim to

dobie cilindri (plānas cilindriskas virsmas) biezi dr(4.5. att.) parādīta projekcija, kas ir perpendikulāra simetrijas asij). Šāda doba rādiusa cilindra tilpums G ir vienāds ar virsmas laukumu, kas reizināts ar biezumu: svars: un brīdis

inerce saskaņā ar (4.15): Kopējais moments

Cieta cilindra inerces vērtību iegūst, integrējot (summējot) dobu cilindru inerces momentus:

. Ņemot vērā, ka cietā cilindra masa ir saistīta ar

blīvuma formula t = 7iR 2 zs mums beidzot ir cieta cilindra inerces moments:

Līdzīgi meklēts tieva stieņa inerces moments garums L un masām t, ja griešanās ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā vidu. Sadalīsim šādu stieni saskaņā ar att. 4.6

biezos gabalos dl.Šāda gabala masa ir dm = m dl/l, un inerces moments saskaņā ar Pāvilu

Plāna stieņa jauno inerces momentu iegūst, integrējot (summējot) gabalu inerces momentus: