Այն, ինչ կոչվում է զուգահեռական: խորանարդաձեւ

Սահմանում

բազմանիստմենք կանվանենք փակ մակերես, որը կազմված է բազմանկյուններից և սահմանում է տարածության որոշ մասը:

Այն հատվածները, որոնք այս բազմանկյունների կողմերն են, կոչվում են կողիկներբազմանկյուն, և հենց իրենք՝ բազմանկյունները. դեմքեր. Բազմանկյունների գագաթները կոչվում են բազմանկյունների գագաթներ։

Մենք կդիտարկենք միայն ուռուցիկ պոլիէդրանները (սա բազմանիստ է, որը գտնվում է իր դեմքը պարունակող յուրաքանչյուր հարթության մի կողմում):

Բազմանկյունները, որոնք կազմում են բազմանկյունը, կազմում են նրա մակերեսը։ Տիեզերքի այն հատվածը, որը սահմանափակված է տվյալ բազմաեզրով, կոչվում է դրա ինտերիեր:

Սահմանում: պրիզմա

Դիտարկենք երկու հավասար բազմանկյուններ \(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\), որոնք տեղակայված են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ հատվածները \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)զուգահեռ են։ Բազմանկյուններ, որոնք ձևավորվում են \(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\) բազմանկյուններով, ինչպես նաև զուգահեռագծերով \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), կոչվում է (\(n\)-ածուխ) պրիզմա.

\(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\) բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, զուգահեռագիծ. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- կողային դեմքեր, հատվածներ \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- կողային կողիկներ.
Այսպիսով, պրիզմայի կողային եզրերը զուգահեռ են և հավասար են միմյանց։

Դիտարկենք մի օրինակ՝ պրիզմա \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), որի հիմքը ուռուցիկ հնգանկյուն է։

ԲարձրությունՊրիզման ուղղահայաց է մի հիմքի ցանկացած կետից մյուս հիմքի հարթությանը:

Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքին, ապա այդպիսի պրիզմա կոչվում է թեք(նկ. 1), հակառակ դեպքում - ուղիղ. Ուղիղ պրիզմայի համար կողային եզրերը բարձրություն են, իսկ կողային երեսները՝ հավասար ուղղանկյուններ։

Եթե ​​ուղիղ պրիզմայի հիմքում ընկած է կանոնավոր բազմանկյուն, ապա պրիզմա կոչվում է ճիշտ.

Սահմանում. ծավալի հասկացություն

Ծավալի միավորը միավորի խորանարդն է (խորանարդը՝ \(1\times1\times1\) չափերով միավոր\(^3\) , որտեղ միավորը չափման ինչ-որ միավոր է):

Կարելի է ասել, որ բազմանիստի ծավալը այն տարածության քանակն է, որը սահմանափակում է այս բազմանիստը: Հակառակ դեպքում, սա է արժեքը թվային արժեքորը ցույց է տալիս, թե միավոր խորանարդը և նրա մասերը քանի անգամ են տեղավորվում տրված բազմաեզրության մեջ:

Ծավալն ունի նույն հատկությունները, ինչ տարածքը.

1. Հավասար թվերի ծավալները հավասար են։

2. Եթե բազմանիստը կազմված է մի քանի չհատվող բազմանիստից, ապա դրա ծավալը. հավասար է գումարինայս պոլիեդրների հատորները։

3. Ծավալը ոչ բացասական արժեք է:

4. Ծավալը չափվում է սմ\(^3\) (խորանարդ սանտիմետր), m\(^3\) ( Խորանարդ մետր) և այլն:

Թեորեմ

1. Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին։
Կողային մակերեսի մակերեսը պրիզմայի կողային երեսների մակերեսների գումարն է։

2. Պրիզմայի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին. \

Սահմանում: տուփ

ԶուգահեռաբարԱյն պրիզմա է, որի հիմքը զուգահեռագիծ է։

Զուգահեռագծի բոլոր երեսները (դրանց \(6\) : \(4\) կողային երեսները և \(2\) հիմքերը) զուգահեռական են, իսկ հակառակ երեսները (միմյանց զուգահեռ) հավասար զուգահեռներ են (նկ. 2):

Տուփի անկյունագիծըմի հատված է, որը կապում է զուգահեռաբարձի երկու գագաթները, որոնք գտնվում են նույն դեմքի վրա (դրանց \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)և այլն):

խորանարդաձեւուղղանկյուն ուղղանկյուն է իր հիմքում:
Որովհետեւ ուղղաձիգ զուգահեռագիծ է, ապա կողային երեսները ուղղանկյուն են։ Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են:

Խորանարդի բոլոր անկյունագծերը հավասար են (սա բխում է եռանկյունների հավասարությունից \(\եռանկյուն ACC_1=\եռանկյուն AA_1C=\եռանկյուն BDD_1=\եռանկյուն BB_1D\)և այլն):

Մեկնաբանություն

Այսպիսով, զուգահեռականն ունի պրիզմայի բոլոր հատկությունները։

Թեորեմ

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է \

Քառակուսի ամբողջական մակերեսուղղանկյուն զուգահեռանիպեդը հավասար է \

Թեորեմ

Խորանարդի ծավալը հավասար է մեկ գագաթից դուրս եկող նրա երեք եզրերի արտադրյալին (խորանարդի երեք չափսերը). \

Ապացույց

Որովհետեւ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի համար կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին, ապա դրանք նաև նրա բարձրություններն են, այսինքն՝ \(h=AA_1=c\) հիմքը ուղղանկյուն է \(S_(\text(հիմնական))=AB\cdot AD=ab\). Այստեղից է գալիս բանաձեւը.

Թեորեմ

Խորանարդի \(d\) անկյունագիծը որոնվում է բանաձևով (որտեղ \(a,b,c\) խորանարդի չափերն են)\

Ապացույց

Դիտարկենք Նկ. 3. Որովհետև հիմքը ուղղանկյուն է, ապա \(\եռանկյունը ABD\) ուղղանկյուն է, հետևաբար, Պյութագորասի թեորեմով \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Որովհետեւ բոլոր կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա \(BB_1\perp (ABC) \Աջ սլաք BB_1\)այս հարթության ցանկացած ուղղին ուղղահայաց, այսինքն. \(BB_1\perp BD\) . Այսպիսով, \(\եռանկյունը BB_1D\) ուղղանկյուն է: Հետո Պյութագորասի թեորեմով \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), րդ.

Սահմանում: խորանարդ

Cubeուղղանկյուն զուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար քառակուսի են։

Այսպիսով, երեք չափերը հավասար են միմյանց՝ \(a=b=c\) . Այսպիսով, ճիշտ են հետևյալը

Թեորեմներ

1. \(a\) եզրով խորանարդի ծավալը \(V_(\text(cube))=a^3\) է:

2. Խորանարդի անկյունագիծը որոնվում է \(d=a\sqrt3\) բանաձևով:

3. Խորանարդի ընդհանուր մակերեսը \(S_(\տեքստ (լրիվ խորանարդի կրկնություններ))=6a^2\).

Զուգահեռապատկերը երկրաչափական պատկեր է, որի բոլոր 6 երեսները զուգահեռագիծ են։

Կախված այս զուգահեռագծերի տեսակից՝ առանձնանում են զուգահեռականների հետևյալ տեսակները.

• ուղիղ;
• հակված;
• ուղղանկյուն.

Ուղիղ զուգահեռականագիծը քառանկյուն պրիզմա է, որի եզրերը հիմքի հարթության հետ կազմում են 90 ° անկյուն:

Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը քառանկյուն պրիզմա է, որի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են: Խորանարդը քառանկյուն պրիզմայի տեսակ է, որի բոլոր երեսներն ու եզրերը հավասար են:

Ֆիգուրի առանձնահատկությունները կանխորոշում են նրա հատկությունները: Դրանք ներառում են հետևյալ 4 հայտարարությունները.

Վերոնշյալ բոլոր հատկությունները հիշելը պարզ է, դրանք հեշտ է հասկանալ և ստացվում են տրամաբանորեն՝ հիմնվելով տեսակի և առանձնահատկությունների վրա երկրաչափական մարմին. Այնուամենայնիվ, պարզ հայտարարությունները կարող են աներևակայելի օգտակար լինել USE-ի տիպիկ առաջադրանքները լուծելիս և կխնայեն թեստն անցնելու համար պահանջվող ժամանակը:

Parallelepiped բանաձեւեր

Խնդրի պատասխանները գտնելու համար բավական չէ իմանալ միայն գործչի հատկությունները։ Հնարավոր է, որ ձեզ անհրաժեշտ լինեն որոշ բանաձևեր երկրաչափական մարմնի մակերեսն ու ծավալը գտնելու համար:

Հիմքերի տարածքը նույնպես հայտնաբերվում է որպես զուգահեռագծի կամ ուղղանկյունի համապատասխան ցուցիչ: Դուք կարող եք ինքներդ ընտրել զուգահեռագծի հիմքը: Որպես կանոն, խնդիրներ լուծելիս ավելի հեշտ է աշխատել պրիզմայի հետ, որը հիմնված է ուղղանկյունի վրա։

Զուգահեռաբարի կողային մակերեսը գտնելու բանաձևը կարող է անհրաժեշտ լինել նաև թեստային առաջադրանքներում:

Տիպիկ USE առաջադրանքների լուծման օրինակներ

Վարժություն 1.

Տրված է 3, 4 և 12 սմ չափերով խորանարդ:
Անհրաժեշտ էԳտե՛ք նկարի հիմնական անկյունագծերից մեկի երկարությունը:
ԼուծումԵրկրաչափական խնդրի ցանկացած լուծում պետք է սկսվի ճիշտ և հստակ գծագրի կառուցմամբ, որի վրա կնշվի «տրված» և ցանկալի արժեքը: Ստորև բերված նկարը օրինակ է ճիշտ դիզայնառաջադրանքի պայմանները.

Հաշվի առնելով արված գծագիրը և հիշելով երկրաչափական մարմնի բոլոր հատկությունները, մենք հասնում ենք այն լուծելու միակ ճիշտ ձևին: Կիրառելով զուգահեռականի 4 հատկությունը՝ ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Պարզ հաշվարկներից հետո ստանում ենք b2=169 արտահայտությունը, հետևաբար՝ b=13։ Առաջադրանքի պատասխանը գտնվել է, այն փնտրելու և նկարելու համար պետք է տևի ոչ ավելի, քան 5 րոպե։

Դասի նպատակները.

1. Ուսումնական:

Ներկայացրե՛ք զուգահեռականի հասկացությունը և դրա տեսակները.
- ձևակերպել (օգտագործելով զուգահեռագծի և ուղղանկյունի հետ անալոգիան) և ապացուցել զուգահեռականի և ուղղանկյուն զուգահեռանիստի հատկությունները.
- կրկնել տարածության մեջ զուգահեռության և ուղղահայացության հետ կապված հարցեր:

2. Զարգացող.

Շարունակել ուսանողների մոտ այնպիսի ճանաչողական գործընթացների զարգացումը, ինչպիսիք են ընկալումը, ըմբռնումը, մտածողությունը, ուշադրությունը, հիշողությունը.
- նպաստել աշակերտների տարրերի զարգացմանը ստեղծագործական գործունեությունորպես մտածողության որակներ (ինտուիցիա, տարածական մտածողություն);
- ուսանողների մոտ ձևավորել եզրակացություններ անելու կարողություն, այդ թվում՝ անալոգիայով, որն օգնում է հասկանալ երկրաչափության ներառարկայական կապերը։

3. Ուսումնական:

Նպաստել կազմակերպության կրթությանը, սովորություններին համակարգված աշխատանք;
- նպաստել գրառումների պատրաստման, գծագրերի կատարման գեղագիտական ​​հմտությունների ձևավորմանը.

Դասի տեսակը՝ դասաուսումնական նոր նյութ (2 ժամ).

Դասի կառուցվածքը.

1. Կազմակերպչական պահ.
2. Գիտելիքների ակտուալացում.
3. Նոր նյութի ուսուցում.
4. Տնային առաջադրանքների ամփոփում և սահմանում:

Սարքավորումներ՝ ապացույցներով պաստառներ (սլայդներ), տարբեր երկրաչափական մարմինների մոդելներ, այդ թվում՝ բոլոր տեսակի զուգահեռականների, գրաֆիկական պրոյեկտոր։

Դասերի ժամանակ.

1. Կազմակերպչական պահ.

2. Գիտելիքների ակտուալացում.

Դասի թեմայի զեկուցում, սովորողների հետ նպատակների և խնդիրների ձևակերպում, թեմայի ուսումնասիրության գործնական նշանակությունը ցույց տալիս, այս թեմային առնչվող նախկինում ուսումնասիրված հարցերի կրկնում.

3. Նոր նյութի ուսուցում.

3.1. Parallelepiped և դրա տեսակները.

Ցուցադրվում են զուգահեռականների մոդելները՝ դրանց հատկանիշների նույնականացմամբ, որոնք օգնում են ձևակերպել զուգահեռականի սահմանումը՝ օգտագործելով պրիզմա հասկացությունը։

Սահմանում:

ԶուգահեռաբարԱյն պրիզմա, որի հիմքը զուգահեռագիծ է, կոչվում է:

Գծված է զուգահեռ գծապատկեր (Նկար 1), զուգահեռականի տարրերը թվարկված են որպես պրիզմայի հատուկ դեպք։ Սլայդ 1-ը ցուցադրված է:

Սահմանման սխեմատիկ նշում.

Սահմանումից եզրակացություններ են արվում.

1) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 պրիզմա է, իսկ ABCD-ը զուգահեռագիծ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 է. զուգահեռաբարձ.

2) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – զուգահեռաբարձ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա է, իսկ ABCD-ը՝ զուգահեռագիծ:

3) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա չէ կամ ABCD-ը զուգահեռագիծ չէ, ապա
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ոչ զուգահեռաբարձ.

չորս): Եթե ​​ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 չէ զուգահեռաբարձ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա չէ կամ ABCD-ը զուգահեռագիծ չէ:

Այնուհետև դասակարգման սխեմայի կառուցմամբ դիտարկվում են զուգահեռականի հատուկ դեպքեր (տե՛ս նկ. 3), ցուցադրվում են մոդելներ և առանձնանում ուղիղ և ուղղանկյուն զուգահեռականի բնութագրական հատկությունները, ձևակերպվում դրանց սահմանումները։

Սահմանում:

Զուգահեռակետը կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին:

Սահմանում:

Զուգահեռականը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին, իսկ հիմքը ուղղանկյուն է (տես նկար 2):

Սահմանումները սխեմատիկ ձևով գրելուց հետո ձևակերպվում են դրանցից եզրակացությունները:

3.2. Զուգահեռաձիգների հատկությունները.

Փնտրեք պլանաչափական պատկերներ, որոնց տարածական անալոգներն են զուգահեռատիպ և ուղղանկյուն զուգահեռատիպ (զուգահեռանկյուն և ուղղանկյուն): Այս դեպքում գործ ունենք ֆիգուրների տեսողական նմանության հետ։ Օգտագործելով եզրակացության կանոնը անալոգիայով, աղյուսակները լրացվում են:

Եզրակացության կանոն անալոգիայի միջոցով.

1. Ընտրեք նախկինում ուսումնասիրվածներից թվեր գործիչնման է այսին:
2. Ձևակերպե՛ք ընտրված գործչի հատկությունը:
3. Ձևակերպե՛ք սկզբնական գործչի նմանատիպ հատկությունը:
4. Ապացուցեք կամ հերքեք ձեւակերպված հայտարարությունը.

Հատկությունների ձևակերպումից հետո դրանցից յուրաքանչյուրի ապացուցումն իրականացվում է հետևյալ սխեմայով.

• ապացույցների պլանի քննարկում;
• սլայդի ապացույցի ցուցադրում (սլայդներ 2-6);
• ուսանողների կողմից ապացույցների գրանցումը տետրերում.

3.3 Խորանարդը և նրա հատկությունները:

Սահմանում. Խորանարդը բոլոր երեք չափսերով հավասար խորանարդ է:

Զուգահեռապատիկի անալոգիայով ուսանողներն ինքնուրույն կազմում են սահմանման սխեմատիկ գրառումը, դրանից բխում հետևանքներով և ձևակերպում խորանարդի հատկությունները:

4. Տնային առաջադրանքների ամփոփում և սահմանում:

Տնային աշխատանք:

1. Օգտագործելով դասի ուրվագիծը, ըստ 10-11-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքի, Լ.Ս. Աթանասյանը և ուրիշներ, ուսումնասիրել գլ.1, §4, էջ 13, գլ.2, §3, էջ 24:
2. Ապացուցե՛ք կամ հերքե՛ք աղյուսակի 2-րդ կետի զուգահեռականի հատկությունը:
3. Պատասխանել անվտանգության հարցերին.

Թեստային հարցեր.

1. Հայտնի է, որ զուգահեռականի միայն երկու կողային երեսներն են ուղղահայաց հիմքին: Ինչպիսի՞ զուգահեռականի:

2. Ուղղանկյուն ձևի քանի՞ կողային երես կարող է ունենալ զուգահեռաբարձը:

3. Հնարավո՞ր է զուգահեռաբար ունենալ միայն մեկ կողային դեմքով.

1) հիմքին ուղղահայաց.
2) ունի ուղղանկյան ձև.

4. Աջ զուգահեռականում բոլոր անկյունագծերը հավասար են: Արդյո՞ք այն ուղղանկյուն է:

5. Ճի՞շտ է, որ աջ զուգահեռականի հատվածում անկյունագծային հատվածներն ուղղահայաց են հիմքի հարթություններին:

6. Ուղղանկյուն զուգահեռականի անկյունագծի քառակուսու թեորեմի հակառակ թեորեմ ձևակերպե՛ք:

7. Ի՞նչ լրացուցիչ հատկանիշներով են տարբերվում խորանարդը խորանարդից:

8. Արդյո՞ք խորանարդը կլինի զուգահեռ գագաթ, որի բոլոր եզրերը հավասար են գագաթներից մեկում:

9. Ձևակերպե՛ք թեորեմ ուղղանկյուն զուգահեռականի շեղանկյունի քառակուսու վրա՝ խորանարդի դեպքի համար:

Կամ (համարժեք) վեց երես ունեցող պոլիէդրոն և դրանցից յուրաքանչյուրը. զուգահեռագիծ.

Տուփերի տեսակները

Զուգահեռաբարձերի մի քանի տեսակներ կան.

• Խորանարդը խորանարդ է, որի դեմքերը բոլորն ուղղանկյուն են:
• Ուղղաձիգ զուգահեռագիծը 4 կողային երեսներով, որոնք ուղղանկյուն են:
• Թեք տուփը այն տուփն է, որի կողային երեսները ուղղահայաց չեն հիմքերին:

Հիմնական տարրեր

Զուգահեռաբարի երկու երեսները, որոնք չունեն ընդհանուր եզր, կոչվում են հակառակ, իսկ ընդհանուր եզր ունեցողները՝ կից: Զուգահեռապարկի երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին, կոչվում են հակադիր: Հակառակ գագաթները միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է զուգահեռականի անկյունագիծ։ Ընդհանուր գագաթ ունեցող խորանարդի երեք եզրերի երկարությունները կոչվում են դրա չափեր։

Հատկություններ

• Զուգահեռագիծը սիմետրիկ է իր անկյունագծի միջնակետի նկատմամբ:
• Զուգահեռապատիկի մակերեսին պատկանող և նրա շեղանկյունի միջով անցնող ծայրերով ցանկացած հատված բաժանվում է դրա վրա կիսով չափ. մասնավորապես զուգահեռականի բոլոր անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում այն:
• Զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:
• Խորանարդի անկյունագծի երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին։

Հիմնական բանաձևեր

Աջ զուգահեռական

Կողային մակերեսի տարածքը S b \u003d R o * h, որտեղ R o-ը հիմքի պարագիծն է, h-ը բարձրությունն է

Ընդհանուր մակերեսը S p \u003d S b + 2S o, որտեղ S o-ը բազայի տարածքն է

Ծավալը V=S o *h

խորանարդաձեւ

Կողային մակերեսի տարածքը S b \u003d 2c (a + b), որտեղ a, b-ը հիմքի կողմերն են, c-ն ուղղանկյուն զուգահեռականի կողային եզրն է

Ընդհանուր մակերեսը S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Ծավալը V=abc, որտեղ a, b, c խորանարդի չափերն են:

Cube

Մակերեսը: $S=6a^2$
Ծավալը: $V=a^3$, որտեղ $ա$- խորանարդի եզրը:

Կամայական տուփ

Ծավալը և հարաբերակցությունները շեղ վանդակում հաճախ սահմանվում են վեկտորային հանրահաշիվով: Զուգահեռապարկի ծավալը հավասար է երեք վեկտորների խառը արտադրյալի բացարձակ արժեքին, որը սահմանվում է մեկ գագաթից բխող զուգահեռականի երեք կողմերով։ Զուգահեռականի կողմերի երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյունների հարաբերությունը տալիս է այն պնդումը, որ այս երեք վեկտորների Գրամ որոշիչը հավասար է նրանց խառը արտադրյալի քառակուսուն՝ 215:

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ՝ n-չափ ուղղանկյուն զուգահեռականի տակ $Բ$հասկանալ շատ կետեր $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$բարի $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Գրեք ակնարկ «Պարալլեպիպեդ» հոդվածի վերաբերյալ

Նշումներ

Հղումներ

ճիշտ ճիշտ ոչ ուռուցիկ ուռուցիկ բանաձևեր, թեորեմներ, տեսություններ Այլ

Պարալելեպիպեդը բնութագրող հատված

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine ... [Ասում են, որ մրցակիցները հաշտվել են այս հիվանդության շնորհիվ:]
Անգինե բառը մեծ հաճույքով կրկնվեց.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux։ [Հին կոմսը շատ հուզիչ է, ասում են։ Նա երեխայի պես լաց էր լինում, երբ բժիշկը։ ասաց այդ վտանգավոր դեպքը։]
Oh, ce serait une perte սարսափելի է: C "est une femme ravissante: [Օ՜, դա մեծ կորուստ կլիներ: Այսպիսի սիրուն կին:]
— Vous parlez de la pauvre comtesse,— ասաց Աննա Պավլովնան՝ բարձրանալով։ - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - ասաց Աննա Պավլովնան ժպտալով իր խանդավառությունից: - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m «empeche pas de l» estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Դուք խոսում եք խեղճ կոմսուհու մասին... Ես ուղարկել եմ նրա առողջության մասին իմանալու։ Ինձ ասացին, որ նա մի փոքր ավելի լավ է։ Օ,, անկասկած, սա աշխարհի ամենագեղեցիկ կինն է։ Մենք տարբեր ճամբարների ենք պատկանում, բայց դա ինձ չի խանգարում հարգել նրան ըստ իր արժանիքների։ Նա այնքան դժբախտ է:] Աննա Պավլովնան ավելացրեց.
Կարծելով, որ այս խոսքերով Աննա Պավլովնան թեթևակի բարձրացրեց կոմսուհու հիվանդության գաղտնիության վարագույրը, մի անզգույշ երիտասարդ իրեն թույլ տվեց զարմանք հայտնել, որ իրենց չեն կանչել. հայտնի բժիշկներ, բայց կոմսուհուն բուժում է մի շառլատան, որը կարող է վտանգավոր դեղամիջոցներ տալ։
«Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes», - Աննա Պավլովնան հանկարծակի հարձակվեց անփորձի վրա. երիտասարդ տղամարդ. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C «est le medecin intime de la Reine d» Espagne. [Ձեր լուրը կարող է ավելի ճշգրիտ լինել, քան իմը... բայց ես եմ լավ աղբյուրներԵս գիտեմ, որ այս բժիշկը շատ գիտուն և հմուտ մարդ է։ Սա Իսպանիայի թագուհու կյանքի բժիշկն է:] - Եվ այդպիսով ոչնչացնելով երիտասարդին, Աննա Պավլովնան դիմեց Բիլիբինին, որը մեկ այլ շրջապատում, վերցնելով մաշկը և, ըստ երևույթին, պատրաստվում էր լուծարել այն, ասել է un mot, խոսեց. ավստրիացիների մասին.
- Je trouve que c "est charmant! [Ինձ դա հմայիչ եմ համարում:], - ասաց նա մի դիվանագիտական ​​թղթի մասին, որի տակ Վիտգենշտեյնի կողմից վերցրած ավստրիական պաստառներն ուղարկվեցին Վիեննա, le heros de Petropol [Պետրոպոլիսի հերոսը] (ինչպես նա): կոչվել է Պետերբուրգում):
-Ինչպե՞ս, ինչպե՞ս է։ Աննա Պավլովնան շրջվեց դեպի նա՝ լռություն առաջացնելով՝ լսելով այն, որ նա արդեն գիտեր։
Եվ Բիլիբինը կրկնեց իր կազմած դիվանագիտական ​​առաքելության հետևյալ իսկական խոսքերը.
- L «Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens», - ասաց Բիլիբինը, «drapeaux amis et egares qu» il a trouve hors de la route, [Կայսրը ուղարկում է ավստրիական պաստառներ, բարեկամական և ապակողմնորոշված ​​պաստառներ, որոնք նա գտել է դրսում։ իրական ճանապարհ.] ավարտեց Բիլիբինը, թուլացնելով մաշկը։
- Հմայիչ, հմայիչ, [Հմայիչ, հմայիչ,] - ասաց արքայազն Վասիլին:
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Սա Վարշավայի ճանապարհն է, գուցե:] - բարձր և անսպասելի ասաց արքայազն Իպոլիտը: Բոլորը նայեցին նրան, չհասկանալով, թե ինչ էր ուզում ասել դրանով: Արքայազն Իպոլիտը նույնպես նայեց շուրջը: ուրախ զարմանք իր շուրջը։ Նա, ինչպես մյուսները, չէր հասկանում, թե ինչ են նշանակում իր ասած խոսքերը։ Իր դիվանագիտական ​​կարիերայի ընթացքում նա մեկ անգամ չէ, որ նկատել է, որ հանկարծ այսպես ասված խոսքերը շատ սրամիտ են ստացվել, և ամեն դեպքում՝ նա «Գուցե շատ լավ ստացվի»,— մտածեց նա,— բայց եթե դուրս չգա, այնտեղ կդասավորեն։ Իսկապես, մինչ տիրում էր մի անհարմար լռություն, այդ անբավարար հայրենասեր դեմքը. որին Աննա Պավլովնան, և նա, ժպտալով և մատը թափահարելով Իպոլիտի վրա, հրավիրեց արքայազն Վասիլիին սեղանի մոտ և, բերելով նրան երկու մոմ և մի ձեռագիր, խնդրեց սկսել։

Այս դասին բոլորը կկարողանան ուսումնասիրել «Ուղղանկյուն տուփ» թեման։ Դասի սկզբում մենք կկրկնենք, թե ինչ են կամայական և ուղիղ զուգահեռականներ, հիշենք դրանց հակադիր դեմքերի և զուգահեռանիստի անկյունագծերի հատկությունները: Այնուհետև մենք կքննարկենք, թե ինչ է խորանարդը և կքննարկենք նրա հիմնական հատկությունները:

Թեմա՝ Ուղիների և հարթությունների ուղղահայացություն

Դաս՝ խորանարդ

Երկու հավասար ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 և չորս ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 զուգահեռականներից կազմված մակերեսը կոչվում է. զուգահեռաբարձ(նկ. 1):

Բրինձ. 1 Զուգահեռաբար

Այսինքն՝ մենք ունենք երկու հավասար զուգահեռականներ ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 (հիմքեր), դրանք ընկած են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 կողային եզրերը զուգահեռ են։ Այսպիսով, զուգահեռագծից կազմված մակերեսը կոչվում է զուգահեռաբարձ.

Այսպիսով, զուգահեռականի մակերեսը զուգահեռաբար կազմող բոլոր զուգահեռագրերի գումարն է։

1. Զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

(թվերը հավասար են, այսինքն, դրանք կարող են համակցվել ծածկույթով)

Օրինակ:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (ըստ սահմանման հավասար զուգահեռներ),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (քանի որ AA 1 B 1 B և DD 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (քանի որ AA 1 D 1 D և BB 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են):

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսում են այդ կետը:

Զուգահեռաբար AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B անկյունագծերը հատվում են մեկ O կետում, և յուրաքանչյուր անկյունագիծ կիսով չափ բաժանվում է այս կետով (նկ. 2):

Բրինձ. 2 Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատում և կիսում են հատման կետը:

3. Զուգահեռապատիկի հավասար և զուգահեռ եզրերի երեք քառապատիկ կա 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1:

Սահմանում. Զուգահեռակետը կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին:

Թող AA 1 եզրը ուղղահայաց լինի հիմքին (նկ. 3): Սա նշանակում է, որ AA 1 ուղիղը ուղղահայաց է AD և AB ուղիղներին, որոնք ընկած են հիմքի հարթության վրա։ Եվ, հետևաբար, ուղղանկյունները ընկած են կողային երեսներում: Իսկ հիմքերը կամայական զուգահեռներ են։ Նշեք, ∠BAD = φ, անկյունը φ կարող է լինել ցանկացած:

Բրինձ. 3 Աջ տուփ

Այսպիսով, աջ տուփը այն տուփն է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են տուփի հիմքերին:

Սահմանում. Զուգահեռագիծը կոչվում է ուղղանկյուն,եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին. Հիմքերը ուղղանկյուն են։

Զուգահեռաձիգ АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 ուղղանկյուն է (նկ. 4), եթե.

1. AA 1 ⊥ ABCD (կողային եզրը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, այսինքն՝ ուղիղ զուգահեռաբարձ):

2. ∠BAD = 90°, այսինքն՝ հիմքը ուղղանկյուն է:

Բրինձ. 4 խորանարդ

Ուղղանկյուն տուփն ունի կամայական տուփի բոլոր հատկությունները:Բայց կան լրացուցիչ հատկություններ, որոնք բխում են խորանարդի սահմանումից:

Այսպիսով, խորանարդաձեւզուգահեռաբարձ է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին: Խորանարդի հիմքը ուղղանկյուն է.

1. Խորանարդի մեջ բոլոր վեց դեմքերը ուղղանկյուն են:

ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուններ են ըստ սահմանման:

2. Կողային կողիկներն ուղղահայաց են հիմքին. Սա նշանակում է, որ խորանարդի բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են։

3. Խորանարդի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են:

Դիտարկենք, օրինակ, AB եզրով ուղղանկյուն զուգահեռականի երկևրային անկյունը, այսինքն՝ ABB 1 և ABC հարթությունների միջև երկնիստ անկյունը:

AB-ն եզր է, A 1 կետը գտնվում է մի հարթության վրա՝ ABB 1 հարթության վրա, իսկ D կետը մյուսում՝ A 1 B 1 C 1 D 1 հարթության վրա: Այնուհետև դիտարկվող երկփեղկ անկյունը կարելի է նշանակել նաև հետևյալ կերպ՝ ∠А 1 АВD։

Վերցրեք A կետը AB եզրին: AA 1-ն ուղղահայաց է AB եզրին ABB-1 հարթությունում, AD-ն ուղղահայաց է AB եզրին ABC հարթության մեջ: Հետևաբար, ∠A 1 AD-ը տրված երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։ ∠A 1 AD \u003d 90 °, ինչը նշանակում է, որ AB եզրին երկփեղկ անկյունը 90 ° է:

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°:

Նմանապես ապացուցված է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ցանկացած երկանկյուն անկյուն ուղիղ է:

Խորանարդի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին։

Նշում. Խորանարդի նույն գագաթից բխող երեք եզրերի երկարությունները խորանարդի չափերն են: Նրանք երբեմն կոչվում են երկարություն, լայնություն, բարձրություն:

Տրված է` ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ուղղանկյուն զուգահեռ գծապատկեր (նկ. 5):

Ապացուցել.

Բրինձ. 5 խորանարդ

Ապացույց:

CC 1 ուղիղը ուղղահայաց է ABC հարթությանը, հետևաբար՝ AC ուղղին: Այսպիսով, CC 1 A եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյուն ABC. Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Բայց BC և AD ուղղանկյան հակառակ կողմերն են: Այսպիսով, մ.թ.ա. = մ.թ. Ապա.

Որովհետեւ , ա , ապա. Քանի որ CC 1 = AA 1, ապա այն, ինչ պահանջվում էր ապացուցել:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծերը հավասար են:

Եկեք նշանակենք զուգահեռականի ABC-ի չափերը որպես a, b, c (տես նկ. 6), ապա AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =