Vastakkaisesta kärjestä) ja jaa tuloksena saatu tulo kahdella. Muodossa se näyttää tältä:

S = ½ * a * h,

missä:
S on kolmion pinta-ala,
a on sen sivun pituus,
h on tälle puolelle laskettu korkeus.

Sivun pituus ja korkeus on esitettävä samoissa yksiköissä. Tässä tapauksessa kolmion pinta-ala muuttuu vastaaviksi ""-yksiköiksi.

Esimerkki.
20 cm pitkän mittakaavakolmion yhdelle sivulle lasketaan kohtisuora vastakkaisesta kärjestä 10 cm pitkä.
Kolmion pinta-ala vaaditaan.
Päätös.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jos tiedät mittakaavakolmion minkä tahansa kahden sivun pituudet ja niiden välisen kulman, käytä kaavaa:

S = ½ * a * b * sinγ,

jossa: a, b ovat kahden mielivaltaisen sivun pituudet ja γ on niiden välinen kulma.

Käytännössä esimerkiksi mittauksen yhteydessä tontteja, yllä olevien kaavojen käyttö on joskus vaikeaa, koska se vaatii lisärakenteita ja kulmien mittausta.

Jos tiedät skaalautuvan kolmion kaikkien kolmen sivun pituudet, käytä Heronin kaavaa:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c ovat kolmion sivujen pituudet,
р – puolikehä: p = (a+b+c)/2.

Jos kaikkien sivujen pituuksien lisäksi tunnetaan kolmioon merkityn ympyrän säde, käytä seuraavaa kompaktia kaavaa:

missä: r on piirretyn ympyrän säde (p on puolikehä).

Laskeaksesi rajatun ympyrän mittakaavaisen kolmion pinta-alan ja sen sivujen pituuden, käytä kaavaa:

jossa: R on rajatun ympyrän säde.

Jos tunnetaan kolmion yhden sivun ja kolmen kulman pituus (periaatteessa kaksi riittää - kolmannen arvo lasketaan kolmion kolmen kulman summasta - 180º), käytä kaava:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

missä α on sivua a vastakkaisen kulman arvo;
β, γ ovat kolmion kahden muun kulman arvot.

Tarve löytää erilaisia ​​elementtejä, mukaan lukien alue kolmio, ilmestyi monia vuosisatoja ennen aikakauttamme tähtitieteilijöiden keskuudessa Muinainen Kreikka. Neliö kolmio voidaan laskea eri tavoilla käyttämällä erilaisia ​​kaavoja. Laskentamenetelmä riippuu siitä, mitkä elementit kolmio tiedossa.

Ohje

Jos ehdosta tiedämme kahden sivun b, c arvot ja niiden muodostaman kulman?, niin pinta-ala kolmio ABC löytyy kaavasta:
S = (bcsin?)/2.

Jos ehdosta tiedämme kahden sivun a, b arvot ja kulman, jota ne eivät muodosta?, niin pinta-ala kolmio ABC löytyy seuraavasti:
Kulman löytäminen?, synti? = bsin? / a, taulukossa määritämme itse kulman.
Löytääkö kulman? = 180°-?-?.
Etsi itse alue S = (absin?)/2.

Jos ehdosta tiedämme vain kolmen puolen arvot kolmio a, b ja c, sitten alue kolmio ABC löytyy kaavasta:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , missä p on puolikehä p = (a+b+c)/2

Jos ongelman tilasta tiedämme korkeuden kolmio h ja sivu, jolle tämä korkeus on laskettu, sitten alue kolmio ABC kaavan mukaan:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jos tiedämme sivujen arvot kolmio a, b, c ja rajatun säde lähellä annettua kolmio R, sitten tämän alue kolmio ABC määritetään kaavalla:
S = abc/4R.
Jos tunnetaan kolme sivua a, b, c ja sisäänkirjoitetun säde, niin pinta-ala kolmio ABC löytyy kaavasta:
S = pr, missä p on puolikehä, p = (a+b+c)/2.

Jos ABC on tasasivuinen, alue löydetään kaavasta:
S = (a^2v3)/4.
Jos kolmio ABC on tasakylkinen, pinta-ala määritetään kaavalla:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, missä c on kolmio.
Jos kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, pinta-ala määritetään kaavalla:
S = ab/2, missä a ja b ovat jalkoja kolmio.
Jos kolmio ABC on suorakulmainen tasakylkinen kolmio, pinta-ala määritetään kaavalla:
S = c^2/4 = a^2/2, missä c on hypotenuusa kolmio, a=b - jalka.

Liittyvät videot

Lähteet:

• kuinka mitata kolmion pinta-ala

Vinkki 3: Kuinka löytää kolmion pinta-ala, jos tiedät kulman

Vain yhden parametrin (kulman arvon) tunteminen ei riitä alueen löytämiseen tre neliö- . Jos lisämittoja on, voit määrittää alueen valitsemalla yhden kaavoista, joissa kulma-arvoa käytetään myös yhtenä tunnetuista muuttujista. Alla on lueteltu muutamia yleisimmin käytetyistä kaavoista.

Ohje

Jos molempien sivujen muodostaman kulman (γ) lisäksi tre neliö- , tunnetaan myös näiden sivujen (A ja B) pituudet neliö-(S) luvut voidaan määritellä puoliksi sivujen pituuksien ja tämän tunnetun kulman sinin tulosta: S=½×A×B×sin(γ).

Kolmion pinta-ala - kaavoja ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Alla ovat kaavat mielivaltaisen kolmion alueen löytämiseksi jotka sopivat minkä tahansa kolmion alueen löytämiseen sen ominaisuuksista, kulmista tai mitoista riippumatta. Kaavat on esitetty kuvan muodossa, tässä on selityksiä niiden soveltamisesta tai perustelut niiden oikeellisuuteen. Lisäksi erillisessä kuvassa näkyy kaavoissa olevien kirjainsymbolien ja piirustuksen graafisten symbolien vastaavuus.

Huomautus . Jos kolmiolla on erityisiä ominaisuuksia (tasakylkinen, suorakulmainen, tasasivuinen), voit käyttää alla olevia kaavoja sekä lisäksi erikoiskaavoja, jotka pätevät vain kolmioihin, joilla on nämä ominaisuudet:

• "Tasasivuisen kolmion pinta-alan kaavat"

Kolmion pintakaavat

Selitykset kaavoille:
a, b, c- kolmion sivujen pituudet, joiden alueen haluamme löytää
r- kolmioon piirretyn ympyrän säde
R- kolmion ympärillä olevan rajatun ympyrän säde
h- kolmion korkeus, laskettu sivulle
p- kolmion puolikehä, 1/2 sen sivujen summasta (kehä)
α - kolmion vastakkaisen sivun a kulma
β - kolmion b vastakkainen kulma
γ - kolmion vastakkaisen sivun c kulma
h a, h b , h c- kolmion korkeus, laskettu sivulle a, b, c

Huomaa, että yllä oleva merkintä vastaa yllä olevaa kuvaa, jotta todellista geometriatehtävää ratkaistessasi sinun olisi helpompi korvata visuaalisesti oikeita paikkoja kaavat oikeat arvot.

• Kolmion pinta-ala on puolet kolmion korkeuden ja sen sivun pituuden tulosta, jolle tämä korkeus on laskettu(Formula 1). Tämän kaavan oikeellisuus voidaan ymmärtää loogisesti. Pohjaan laskettu korkeus jakaa mielivaltaisen kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Jos täydennämme niistä jokaisen suorakulmioon, jonka mitat ovat b ja h, niin näiden kolmioiden pinta-ala on ilmeisesti yhtä suuri kuin puolet suorakulmion pinta-alasta (Spr = bh)
• Kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun tulosta ja niiden välisen kulman sinistä(Kaava 2) (katso esimerkki ongelman ratkaisemisesta tätä kaavaa käyttämällä alla). Huolimatta siitä, että se näyttää erilaiselta kuin edellinen, se voidaan helposti muuttaa sellaiseksi. Jos laskemme korkeutta kulmasta B sivulle b, käy ilmi, että sivun a ja kulman γ sinin tulo suorakulmaisen kolmion sinin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin piirretyn kolmion korkeus. meille, mikä antaa meille edellisen kaavan
• Mielivaltaisen kolmion pinta-ala löytyy kautta tehdä työtä puolet ympyrän säteestä, joka on piirretty siihen kaikkien sen sivujen pituuksien summalla(kaava 3), toisin sanoen, sinun on kerrottava kolmion puolikehä piirretyn ympyrän säteellä (on helpompi muistaa näin)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala saadaan jakamalla sen kaikkien sivujen tulo sen ympärille piirretyn ympyrän 4 säteellä (kaava 4)
• Kaava 5 etsii kolmion pinta-alaa sen sivujen pituuksilla ja puolikehän pituudella (puolet sen kaikkien sivujen summasta)
• Heronin kaava(6) on saman kaavan esitys ilman puolikehän käsitettä, vain sivujen pituuksien kautta
• Satunnaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion sivun neliön ja tämän sivun viereisten kulmien sinien tulo jaettuna tämän sivun vastakkaisen kulman kaksoissinillä (kaava 7)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala voidaan löytää kahden sen ympärille piirretyn ympyrän neliön ja sen kunkin kulman sinien tulona. (Formula 8)
• Jos yhden sivun pituus ja kahden viereisen kulman suuruus tunnetaan, niin kolmion pinta-ala löytyy tämän sivun neliönä jaettuna näiden kotangenttien kaksinkertaisella summalla. kulmat (Formula 9)
• Jos tunnetaan vain kolmion kunkin korkeuden pituus (kaava 10), niin tällaisen kolmion pinta-ala on kääntäen verrannollinen näiden korkeuksien pituuteen, kuten Heronin kaavalla
• Kaava 11 antaa sinun laskea kolmion pinta-ala sen kärkipisteiden koordinaattien mukaan, jotka annetaan (x;y)-arvoina kullekin kärjelle. Huomaa, että tuloksena oleva arvo on otettava modulo, koska yksittäisten (tai jopa kaikkien) kärkien koordinaatit voivat olla negatiivisten arvojen alueella

Huomautus. Seuraavassa on esimerkkejä geometrian ongelmien ratkaisemisesta kolmion alueen löytämiseksi. Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota vastaavaa ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Ratkaisuissa symbolin "" sijaan Neliöjuuri" voidaan käyttää funktiota sqrt(), jossa sqrt on neliöjuuren symboli ja radikaalilauseke on merkitty suluissa.Joskus symbolia voidaan käyttää yksinkertaisissa radikaalilausekkeissa √

Tehtävä. Etsi kahdelle sivulle annettu alue ja niiden välinen kulma

Kolmion sivut ovat 5 ja 6 cm, ja niiden välinen kulma on 60 astetta. Etsi kolmion pinta-ala.

Päätös.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme oppitunnin teoreettisen osan kaavaa numero kaksi.
Kolmion pinta-ala löytyy kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin kautta ja se on yhtä suuri kuin
S = 1/2 ab sin γ

Koska meillä on kaikki ratkaisuun tarvittavat tiedot (kaavan mukaan), voimme vain korvata arvot ongelman ehdosta kaavaan:
S=1/2*5*6*sin60

Arvotaulukossa trigonometriset funktiot etsi ja korvaa lausekkeessa sinin arvo 60 astetta. Se on yhtä kuin luvun kolme kertaa kaksi juuria.
S = 15 √3/2

Vastaus: 7,5 √3 (opettajan tarpeista riippuen on luultavasti mahdollista jättää 15 √3/2)

Tehtävä. Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala

Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala, jonka sivu on 3 cm.

Päätös.

Kolmion pinta-ala löytyy Heronin kaavalla:

S = 1/4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Koska a \u003d b \u003d c, tasasivuisen kolmion pinta-alan kaava on muotoa:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastaus: 9 √3 / 4.

Tehtävä. Muuta pinta-alaa, kun vaihdat sivujen pituutta

Kuinka monta kertaa kolmion pinta-ala kasvaa, jos sivut nelinkertaistuvat?

Päätös.

Koska emme tiedä kolmion sivujen mittoja, ongelman ratkaisemiseksi oletetaan, että sivujen pituudet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin mielivaltaiset luvut a, b, c. Sitten, jotta voimme vastata ongelman kysymykseen, löydämme tämän kolmion alueen ja sitten löydämme kolmion alueen, jonka sivut ovat neljä kertaa suuremmat. Näiden kolmioiden pinta-alojen suhde antaa meille vastauksen ongelmaan.

Seuraavaksi annamme tekstin selityksen ongelman ratkaisusta vaiheittain. Kuitenkin aivan lopussa sama ratkaisu esitetään graafisessa muodossa, joka on helpompi havaita. Halukkaat voivat pudottaa ratkaisun heti alas.

Ratkaisussa käytämme Heron-kaavaa (katso yllä oppitunnin teoreettisessa osassa). Se näyttää tältä:

S = 1/4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan ensimmäinen rivi)

Satunnaisen kolmion sivujen pituudet saadaan muuttujilla a, b, c.
Jos sivuja kasvatetaan 4 kertaa, uuden kolmion c pinta-ala on:

S 2 = 1/4 neliömetriä((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(katso alla olevan kuvan toinen rivi)

Kuten näet, 4 on yleinen tekijä, joka voidaan ottaa pois suluista kaikista neljästä lausekkeesta yleiset säännöt matematiikka.
Sitten

S 2 = 1/4 neliötä(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - kuvan kolmannella rivillä
S 2 = 1/4 neliömetriä(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - neljäs rivi

Numerosta 256 neliöjuuri erottuu täydellisesti, joten otamme sen pois juuren alta
S 2 = 16 * 1/4 neliötä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan viides rivi)

Tehtävässä esitettyyn kysymykseen vastaamiseksi riittää, että jaamme tuloksena olevan kolmion alueen alkuperäisen kolmion pinta-alalla.
Määritämme pinta-alasuhteet jakamalla lausekkeet toisiinsa ja vähentämällä tuloksena olevaa murto-osaa.

Ohje

Juhlat ja kulmia pidetään peruselementteinä a. Kolmion määrittelee kokonaan jokin sen seuraavista peruselementeistä: joko kolme sivua tai yksi sivu ja kaksi kulmaa tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Olemassaoloa varten kolmio kolmen sivun a, b, c määrittelemä on välttämätöntä ja riittävää, että eriarvoisuudet, joita kutsutaan eriarvoisuuksiksi kolmio:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Rakentamiseen kolmio kolmelle sivulle a, b, c janan CB=a pisteestä C on tarpeen piirtää kompassilla ympyrä, jonka säde on b. Piirrä sitten samalla tavalla pisteestä B ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin sivu c. Niiden leikkauspiste A on halutun kolmas kärki kolmio ABC, jossa AB=c, CB=a, CA=b - sivut kolmio. Ongelma on , jos sivut a, b, c täyttävät epäyhtälöt kolmio määritelty vaiheessa 1.

S:n alue rakennettu tällä tavalla kolmio ABC kanssa tunnetut puolueet a, b, c lasketaan Heronin kaavalla:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
missä a, b, c ovat sivuja kolmio, p on puolikehä.
p = (a+b+c)/2

Jos kolmio on tasasivuinen, eli sen kaikki sivut ovat yhtä suuret (a=b=c). kolmio lasketaan kaavalla:
S=(a^2 v3)/4

Jos kolmio on suorakulmainen, eli yksi sen kulmista on 90 ° ja sen muodostavat sivut ovat jalkoja, kolmas sivu on hypotenuusa. Tässä tapauksessa neliö- on yhtä kuin jalkojen tulo jaettuna kahdella.
S=ab/2

Löytää neliö- kolmio, voit käyttää yhtä monista kaavoista. Valitse kaava sen mukaan, mitkä tiedot ovat jo tiedossa.

Tarvitset

• kaavojen tuntemus kolmion alueen löytämiseksi

Ohje

Jos tiedät yhden sivun arvon ja vastakkaisesta kulmasta tälle puolelle lasketun korkeuden arvon, voit löytää alueen seuraavasti: S = a*h/2, missä S on ​Kolmio, a on yksi kolmion sivuista ja h - korkeus, sivun a.

On olemassa tunnettu tapa määrittää kolmion pinta-ala, jos sen kolme sivua tunnetaan. Hän on Heronin kaava. Sen tallennuksen yksinkertaistamiseksi otetaan käyttöön väliarvo - puolikehä: p \u003d (a + b + c) / 2, missä a, b, c - . Silloin Heronin kaava on seuraava: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponentio.

Oletetaan, että tiedät yhden kolmion sivuista ja kolme kulmaa. Sitten on helppo löytää kolmion pinta-ala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), missä β on sivun a vastakkainen kulma ja α ja γ ovat sivun viereisiä kulmia.

Liittyvät videot

Huomautus

Yleisin kaava, joka sopii kaikkiin tapauksiin, on Heronin kaava.

Lähteet:

Vinkki 3: Kuinka löytää kolmion pinta-ala, jossa on kolme sivua

Kolmion alueen löytäminen on yksi yleisimmistä tehtävistä koulun planimetria. Kolmion kolmen sivun tunteminen riittää minkä tahansa kolmion alueen määrittämiseen. Erikoistapauksissa ja tasasivuisissa kolmioissa riittää, että tietää kahden ja yhden sivun pituudet.

Tarvitset

• kolmioiden sivujen pituudet, Heronin kaava, kosinilause

Ohje

Heronin kaava kolmion pinta-alalle on seuraava: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jos maalaat puolikehän p, niin saat: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Voit myös johtaa kolmion pinta-alan kaavan harkinnan perusteella, esimerkiksi soveltamalla kosinilausetta.

Kosinin lain mukaan AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Esitettyä merkintää käyttäen nämä voivat olla myös muodossa: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Tästä syystä cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmion pinta-ala saadaan myös kaavalla S = a*c*sin(ABC)/2 kahden sivun ja niiden välisen kulman kautta. Kulman ABC sini voidaan ilmaista sen termein käyttämällä peruskulmaa trigonometrinen identiteetti: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Korvaamalla sinin alueen kaavaan ja maalaamalla sen, pääset kolmion ABC alueen kaavaan.

Liittyvät videot

varten korjaustyöt saattaa olla tarpeen mitata neliö- seinät. Tarvittava maali- tai tapettimäärä on helpompi laskea. Mittauksiin on parasta käyttää mittanauhaa tai senttimetrinauhaa. Mittaukset tulee tehdä sen jälkeen seinät on kohdistettu.

Tarvitset

• -ruletti;
• -tikapuut.

Ohje

Laskea neliö- seinät, sinun täytyy tietää tarkka korkeus katot sekä mittaamaan pituus lattiaa pitkin. Tämä tehdään seuraavasti: ota senttimetri, aseta se sokkelin päälle. Yleensä senttimetri ei riitä koko pituudelle, joten kiinnitä se nurkkaan ja kelaa se sitten maksimipituuteen. Laita tässä vaiheessa merkki lyijykynällä, kirjoita tulos muistiin ja suorita jatkomittaukset samalla tavalla alkaen viimeinen kohta mittaus.

Tyypilliset vakiokatot - 2 metriä 80 senttimetriä, 3 metriä ja 3 metriä 20 senttimetriä talosta riippuen. Jos talo on rakennettu ennen 50-lukua, niin todennäköisesti todellinen korkeus on hieman ilmoitettua pienempi. Jos lasket neliö- korjaustöihin, pieni marginaali ei haittaa - harkitse standardin perusteella. Jos sinun on vielä tiedettävä todellinen korkeus - ota mittaukset. Periaate on samanlainen kuin pituuden mittaus, mutta tarvitset tikkaat.

Kerro saadut luvut - tämä on neliö- sinun seinät. Totta, maalaustöihin tai sitä varten on vähennettävä neliö- ovien ja ikkunoiden aukot. Aseta tätä varten senttimetri aukkoa pitkin. Jos me puhumme ovesta, jonka aiot myöhemmin vaihtaa, ja suorita sitten oven karmi irrotettuna, ottaen huomioon vain neliö- itse aukko. Ikkunan pinta-ala lasketaan sen kehyksen kehää pitkin. Jälkeen neliö- laskettu ikkuna ja oviaukko, vähennä tulos saadusta huoneen kokonaispinta-alasta.

Huomaa, että huoneen pituuden ja leveyden mittaukset suoritetaan yhdessä, on helpompi kiinnittää senttimetri tai mittanauha ja vastaavasti saada tarkempi tulos. Tee sama mittaus useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat tarkkoja.

Liittyvät videot

Kolmion tilavuuden löytäminen on todellakin ei-triviaali tehtävä. Tosiasia on, että kolmio on kaksiulotteinen kuvio, ts. se sijaitsee kokonaan yhdessä tasossa, mikä tarkoittaa, että sillä ei yksinkertaisesti ole tilavuutta. Ei tietenkään voi löytää sellaista mitä ei ole olemassa. Mutta älkäämme luovuttako! Voimme tehdä seuraavan oletuksen - kaksiulotteisen hahmon tilavuus, tämä on sen pinta-ala. Etsimme kolmion aluetta.

Tarvitset

• paperiarkki, lyijykynä, viivain, laskin

Ohje

Piirrä paperille viivaimella ja lyijykynällä. Tutkimalla kolmiota huolellisesti voit varmistaa, ettei siinä todellakaan ole, koska se on piirretty tasolle. Merkitse kolmion sivut: olkoon toinen puoli sivu "a", toinen puoli "b" ja kolmas sivu "c". Merkitse kolmion kärjet kirjaimilla "A", "B" ja "C".

Mittaa mikä tahansa kolmion sivu viivaimella ja kirjoita tulos muistiin. Palauta sen jälkeen kohtisuora mitattulle sivulle vastakkaisesta kärjestä, tällainen kohtisuora on kolmion korkeus. Kuvassa esitetyssä tapauksessa kohtisuora "h" palautetaan puolelle "c" kärjestä "A". Mittaa saatu korkeus viivaimella ja kirjaa mittaustulos muistiin.

Saattaa käydä niin, että tarkan kohtisuoran palauttaminen on vaikeaa. Tässä tapauksessa sinun tulee käyttää toista kaavaa. Mittaa kolmion kaikki sivut viivaimella. Sen jälkeen laske kolmion "p" puolikehä lisäämällä tuloksena saadut sivujen pituudet ja jakamalla niiden summa puoliksi. Kun käytössäsi on puolikehän arvo, voit käyttää Heron-kaavaa. Tätä varten sinun on otettava neliöjuuri seuraavista: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olet saavuttanut haluamasi kolmion alueen. Kolmion tilavuuden löytämisongelmaa ei ole ratkaistu, mutta kuten edellä mainittiin, tilavuus ei ole . Löydät tilavuuden, joka on pohjimmiltaan kolmio 3D-maailmassa. Jos kuvittelemme, että alkuperäisestä kolmiosta on tullut kolmiulotteinen pyramidi, niin tällaisen pyramidin tilavuus on sen kannan pituuden ja saamamme kolmion pinta-alan tulo.

Huomautus

Laskelmat ovat sitä tarkempia, mitä huolellisemmin mittaat.

Lähteet:

• All-to-All -laskin - Viiteportaali
• kolmion volyymi vuonna 2019

Kolme pistettä, jotka määrittelevät kolmion yksiselitteisesti suorakulmaisessa koordinaatistossa, ovat sen kärjet. Kun tiedät niiden sijainnin suhteessa kuhunkin koordinaattiakseliin, voit laskea minkä tahansa tämän tasaisen kuvan parametrit, mukaan lukien sen kehän rajoittaman parametrin. neliö-. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla.

Ohje

Käytä Heronin kaavaa alueen laskemiseen kolmio. Se sisältää kuvan kolmen sivun mitat, joten aloita laskelmat. Kunkin sivun pituuden on oltava yhtä suuri kuin sen koordinaattiakseleiden projektioiden pituuksien neliöiden summa. Jos merkitsemme koordinaatteja A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), niiden sivujen pituudet voidaan ilmaista seuraavasti: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Laskelmien yksinkertaistamiseksi syötä apumuuttuja - puolikehä (P). Siitä tämä on puolet kaikkien sivujen pituuksien summasta: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Kuten ehkä muistat geometrian koulun opetussuunnitelmasta, kolmio on kuvio, joka muodostuu kolmesta segmentistä, jotka on yhdistetty kolmella pisteellä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Kolmio muodostaa kolme kulmaa, mistä tulee kuvan nimi. Määritelmä voi olla erilainen. Kolmiota voidaan kutsua myös monikulmioksi, jossa on kolme kulmaa, vastaus on yhtä totta. Kolmiot jaetaan kuvien yhtäläisten sivujen lukumäärän ja kulmien koon mukaan. Joten erottele sellaiset kolmiot, kuten tasakyliset, tasasivuiset ja mittakaavaiset, sekä vastaavasti suorakaiteen muotoiset, teräväkulmaiset ja tylppäkulmaiset.

Kolmion pinta-alan laskemiseen on monia kaavoja. Valitse, kuinka etsit kolmion pinta-alan, ts. mitä kaavaa käyttää, vain sinä. Mutta on syytä huomata vain osa merkinnöistä, joita käytetään monissa kaavoissa kolmion pinta-alan laskemiseen. Muista siis:

S on kolmion pinta-ala,

a, b, c ovat kolmion sivut,

h on kolmion korkeus,

R on rajatun ympyrän säde,

p on puolikehä.

Tässä on perusmerkinnät, joista voi olla hyötyä, jos olet unohtanut geometrian kurssin kokonaan. Ymmärrettävimmät ja ei monimutkaisimmat vaihtoehdot kolmion tuntemattoman ja salaperäisen alueen laskemiseksi annetaan alla. Se ei ole vaikeaa ja on hyödyllinen sekä kotitalouden tarpeisiin että lasten auttamiseen. Muistetaan kuinka laskea kolmion pinta-ala yhtä helposti kuin päärynöiden kuoriminen:

Meidän tapauksessamme kolmion pinta-ala on: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 neliöcm. Muista, että pinta-ala mitataan neliösenttimetrinä (sqcm).

Suorakulmainen kolmio ja sen pinta-ala.

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka yksi kulma on 90 astetta (tämän vuoksi sitä kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi). Suora kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta suorasta (kolmiossa kahdesta kohtisuorasta janasta). Suorakulmaisessa kolmiossa voi olla vain yksi suora kulma, koska minkä tahansa kolmion kaikkien kulmien summa on 180 astetta. Osoittautuu, että 2 muun kulman tulisi jakaa loput 90 astetta keskenään, esimerkiksi 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Joten, muistit pääasia, on vielä selvitettävä, kuinka alue löytyy suorakulmainen kolmio. Kuvittele, että edessämme on tällainen suorakulmainen kolmio ja meidän on löydettävä sen alue S.

1. Helpoin tapa määrittää suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

Meidän tapauksessamme suorakulmaisen kolmion pinta-ala on: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 neliöcm.

Periaatteessa ei ole enää tarpeen tarkistaa kolmion pinta-alaa muilla tavoilla, koska jokapäiväisessä elämässä se on hyödyllinen ja vain tämä auttaa. Mutta on myös vaihtoehtoja mitata kolmion pinta-ala terävien kulmien kautta.

2. Muissa laskentamenetelmissä sinulla on oltava kosinit, sinit ja tangentit sisältävä taulukko. Arvioi itse, tässä on joitain vaihtoehtoja laskea suorakulmaisen kolmion pinta-alat, joita voit edelleen käyttää:

Päätimme käyttää ensimmäistä kaavaa ja pienillä täplillä (piirroimme muistikirjaan ja käytimme vanha hallitsija ja astemittari), mutta saimme oikean laskelman:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Saimme tällaiset tulokset 3,6=3,7, mutta kun otetaan huomioon solusiirtymä, voimme antaa tämän vivahteen anteeksi.

Tasakylkinen kolmio ja sen pinta-ala.

Jos kohtaat tehtävän laskea tasakylkisen kolmion kaava, niin helpoin tapa on käyttää pääkaavaa ja, kuten pidetään klassisena kolmion alueen kaavana.

Mutta ensin, ennen kuin löydämme tasakylkisen kolmion alueen, selvitämme, millainen kuva se on. Tasakylkinen kolmio on kolmio, jonka kaksi sivua ovat yhtä pitkiä. Näitä kahta puolta kutsutaan sivuiksi, kolmatta puolta kutsutaan pohjaksi. Älä sekoita tasakylkistä kolmiota tasakylkiseen, ts. tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret. Tällaisessa kolmiossa ei ole erityisiä taipumuksia kulmiin tai pikemminkin niiden kokoon. Tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat kuitenkin yhtä suuret, mutta eroavat yhtäläisten sivujen välisestä kulmasta. Joten, tiedät jo ensimmäisen ja pääkaavan, on vielä selvitettävä, mitä muita kaavoja tasakylkisen kolmion alueen määrittämiseksi tunnetaan:

Kolmio on sellainen geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta suorasta, jotka yhdistyvät pisteissä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Viivojen kytkentäpisteet ovat kolmion kärjet, jotka on merkitty latinalaisilla kirjaimilla(esimerkiksi A, B, C). Kolmion yhdistäviä suoria viivoja kutsutaan segmenteiksi, jotka myös yleensä merkitään latinalaisin kirjaimin. On olemassa seuraavan tyyppisiä kolmioita:

• Suorakulmainen.
• tylppä.
• Teräväkulmainen.
• Monipuolinen.
• Tasasivuinen.
• Tasakylkinen.

Yleiset kaavat kolmion pinta-alan laskemiseen

Kolmion pinta-alan kaava pituudelle ja korkeudelle

S=a*h/2,
missä a on sen kolmion sivun pituus, jonka pinta-ala on löydettävä, h on kantaan vedetyn korkeuden pituus.

Heronin kaava

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
missä √ on neliöjuuri, p on kolmion puolikehä, a,b,c on kolmion kummankin sivun pituus. Kolmion puolikehä voidaan laskea kaavalla p=(a+b+c)/2.

Kolmion pinta-alan kaava janan kulman ja pituuden suhteen

S = (a*b*sin(α))/2,
missä b,c on kolmion sivujen pituus, sin (α) on näiden kahden sivun välisen kulman sini.

Kolmion pinta-alan kaava, jossa on piirretyn ympyrän säde ja kolme sivua

S=p*r,
missä p on sen kolmion puolikehä, jonka pinta-ala on löydettävä, r on tähän kolmioon piirretyn ympyrän säde.

Kolmion pinta-alan kaava, jossa on kolme sivua ja sen ympärille piirretyn ympyrän säde

S= (a*b*c)/4*R,
missä a,b,c on kolmion kummankin sivun pituus, R on kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde.

Kolmion pinta-alan kaava pisteiden suorakulmaisina koordinaatteina

Pisteiden suorakulmaiset koordinaatit ovat koordinaatteja xOy-järjestelmässä, jossa x on abskissa ja y on ordinaatti. Tason suorakulmaista koordinaattijärjestelmää xOy kutsutaan keskenään kohtisuoraksi numeerisiksi akseleiksi Ox ja Oy, joilla on yhteinen vertailupiste pisteessä O. Jos tämän tason pisteiden koordinaatit annetaan muodossa A (x1, y1), B (x2) , y2) ja C (x3, y3 ), voit laskea kolmion pinta-alan seuraavalla kaavalla, joka saadaan kahden vektorin ristitulosta.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
missä || tarkoittaa moduulia.

Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka yksi kulma on 90 astetta. Kolmiolla voi olla vain yksi tällainen kulma.

Kaava suorakulmaisen kolmion pinta-alalle kahdella jalalla

S=a*b/2,
missä a,b on jalkojen pituus. Jalkoja kutsutaan oikean kulman viereisiksi sivuiksi.

Suorakulmaisen kolmion pinta-alan kaava hypotenuusan ja terävän kulman perusteella

S = a*b*sin(α)/2,
missä a, b ovat kolmion haarat ja sin(α) on sen kulman sini, jossa suorat a, b leikkaavat.

Kaava suorakulmaisen kolmion pinta-alalle jalan ja vastakkaisen kulman mukaan

S = a*b/2*tg(β),
missä a, b ovat kolmion haarat, tg(β) on sen kulman tangentti, jossa haarat a, b ovat yhteydessä toisiinsa.

Kuinka laskea tasakylkisen kolmion pinta-ala

Tasakylkinen kolmio on kolmio, jolla on kaksi yhtäläistä sivua. Näitä sivuja kutsutaan sivuiksi ja toinen puoli on pohja. Voit käyttää yhtä seuraavista kaavoista tasakylkisen kolmion alueen laskemiseen.

Peruskaava tasakylkisen kolmion pinta-alan laskemiseksi

S=h*c/2,
missä c on kolmion kanta, h on kolmion korkeus laskettuna kantaan.

Tasakylkisen kolmion kaava sivusivulla ja pohjalla

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
missä c on kolmion kanta, a on tasakylkisen kolmion yhden sivun arvo.

Kuinka löytää tasasivuisen kolmion pinta-ala

Tasasivuinen kolmio on kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tasasivuisen kolmion pinta-alan laskemiseksi voit käyttää seuraavaa kaavaa:
S = (√3*a*a)/4,
missä a on tasasivuisen kolmion sivun pituus.

Yllä olevien kaavojen avulla voit laskea tarvittavan kolmion alueen. On tärkeää muistaa, että kolmioiden etäisyyden laskemiseksi on otettava huomioon kolmion tyyppi ja käytettävissä olevat tiedot, joita voidaan käyttää laskennassa.