Merkkejä puolisuunnikkaan keskiviivasta. Puolisuunnikkaan mediaaniviiva

Trapetsin keskiviivan käsite

Ensin muistetaan, mitä kuvaa kutsutaan puolisuunnikkaan.

Määritelmä 1

Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia.

Tässä tapauksessa yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kammiksi, ei yhdensuuntaisiksi - puolisuunnikkaan sivuiksi.

Määritelmä 2

Puolisuunnikkaan keskiviiva on jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet.

Puolisuunnikkaan keskiviivalause

Esittelemme nyt lauseen puolisuunnikkaan keskiviivasta ja todistamme sen vektorimenetelmällä.

Lause 1

Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantaan nähden ja on yhtä suuri kuin puolet niiden summasta.

Todiste.

Otetaan meille puolisuunnikkaan $ABCD$ kantakannat $AD\ ja\ BC$. Ja olkoon $MN$ tämän puolisuunnikkaan keskiviiva (kuva 1).

Kuva 1. Puolisuunnikkaan keskiviiva

Osoitetaan, että $MN||AD\ ja\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Tarkastellaan vektoria $\overrightarrow(MN)$. Seuraavaksi käytämme monikulmion sääntöä vektorin lisäämiseen. Toisaalta ymmärrämme sen

Toisella puolella

Kun lisätään kaksi viimeistä yhtälöä, saadaan

Koska $M$ ja $N$ ovat puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet, meillä on

Saamme:

Siten

Samasta yhtälöstä (koska $\overrightarrow(BC)$ ja $\overrightarrow(AD)$ ovat samansuuntaisia ​​ja siksi kollineaarisia), saadaan $MN||AD$.

Lause on todistettu.

Esimerkkejä tehtävistä puolisuunnikkaan keskiviivan käsitteestä

Esimerkki 1

Puolisuunnikkaan sivut ovat $15\cm$ ja $17\cm$. Puolisuunnikkaan ympärysmitta on $52\cm$. Etsi puolisuunnikkaan keskiviivan pituus.

Päätös.

Merkitse puolisuunnikkaan keskiviivaa $n$.

Sivujen summa on

Siksi, koska ympärysmitta on $52\ cm$, kantojen summa on

Tästä syystä saamme lauseen 1 avulla

Vastaus:$10\cm$.

Esimerkki 2

Ympyrän halkaisijan päät ovat sen tangentista $9$ cm ja $5$ cm. Selvitä tämän ympyrän halkaisija.

Päätös.

Annetaan ympyrä, jonka keskipiste on $O$ ja halkaisija $AB$. Piirrä tangentti $l$ ja muodosta etäisyydet $AD=9\ cm$ ja $BC=5\ cm$. Piirretään säde $OH$ (kuva 2).

Kuva 2.

Koska $AD$ ja $BC$ ovat etäisyyksiä tangenttiin, niin $AD\bot l$ ja $BC\bot l$ ja koska $OH$ on säde, niin $OH\bot l$, joten $OH | \left|AD\right||BC$. Kaikesta tästä saadaan, että $ABCD$ on puolisuunnikkaan ja $OH$ on sen keskiviiva. Lauseen 1 perusteella saamme

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, saatamme kerätä erilaisia ​​tietoja mukaan lukien nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn mukaisesti, in oikeudenkäynti ja/tai julkisten pyyntöjen tai lähettäjien pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Jos se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Trapetsin pinta-ala. Terveisiä! Tässä julkaisussa tarkastelemme tätä kaavaa. Miksi se on niin kuin se on ja miten voit ymmärtää sen? Jos on ymmärrystä, sinun ei tarvitse opetella sitä. Jos haluat vain nähdä tämän kaavan ja sen, mikä on kiireellistä, voit vierittää sivua heti alas))

Nyt yksityiskohtaisesti ja järjestyksessä.

Puolisuunnikas on nelikulmio, tämän nelikulmion kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia, kaksi muuta eivät ole. Ne, jotka eivät ole yhdensuuntaisia, ovat puolisuunnikkaan kantat. Kaksi muuta kutsutaan sivuiksi.

Jos sivut ovat yhtä suuret, niin puolisuunnikasta kutsutaan tasakylkiseksi. Jos yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden, tällaista puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi.

Klassisessa muodossa puolisuunnikas on kuvattu seuraavasti - suurempi pohja on vastaavasti alhaalla, pienempi on ylhäällä. Mutta kukaan ei kiellä kuvaamasta sitä ja päinvastoin. Tässä sketsejä:

Seuraava tärkeä käsite.

Puolisuunnikkaan keskiviiva on jana, joka yhdistää sivujen keskipisteet. Mediaaniviiva on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa ja on yhtä suuri kuin niiden puolisumma.

Nyt kaivetaan syvemmälle. Miksi juuri?

Harkitse puolisuunnikkaan kantaa a ja b ja keskiviivalla l, ja suorita joitain lisärakenteita: vedä suoria viivoja pohjan läpi ja kohtisuorat keskiviivan päiden läpi, kunnes ne leikkaavat kantat:

*Pörssien ja muiden pisteiden kirjainmerkintöjä ei syötetä tarkoituksella tarpeettomien merkintöjen välttämiseksi.

Katso, kolmiot 1 ja 2 ovat yhtä suuria kolmioiden toisen yhtäläisyysmerkin mukaan, kolmiot 3 ja 4 ovat samat. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa elementtien yhtäläisyys, nimittäin jalat (ne on merkitty vastaavasti sinisellä ja punaisella).

Nyt huomio! Jos "leikkaamme" henkisesti siniset ja punaiset segmentit alemmasta pohjasta, meillä on segmentti (tämä on suorakulmion sivu), joka on yhtä suuri kuin keskiviiva. Lisäksi, jos "liimaamme" leikatut siniset ja punaiset segmentit puolisuunnikkaan ylempään pohjaan, niin saamme myös segmentin (tämä on myös suorakulmion sivu), joka on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan keskiviiva.

Sain sen? Osoittautuu, että kantojen summa on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kaksi mediaania:

Katso toinen selitys

Tehdään seuraavasti - rakennetaan suora viiva, joka kulkee puolisuunnikkaan alemman pohjan läpi, ja suora, joka kulkee pisteiden A ja B kautta:

Saamme kolmiot 1 ja 2, ne ovat yhtä suuria sivu- ja vierekkäisissä kulmissa (kolmioiden toinen tasa-arvo). Tämä tarkoittaa, että tuloksena oleva segmentti (luonnoksessa se on merkitty sinisellä) on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan ylempi kanta.

Harkitse nyt kolmiota:

*Tämän puolisuunnikkaan keskiviiva ja kolmion mediaaniviiva ovat samat.

Tiedetään, että kolmio on yhtä suuri kuin puolet sen suuntaisesta kantasta, eli:

Okei selvä. Nyt puolisuunnikkaan pinta-alasta.

Puolisuunnikkaan pinta-alan kaava:

He sanovat: puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen kannan ja korkeuden summasta.

Eli käy ilmi, että se on yhtä suuri kuin keskiviivan ja korkeuden tulo:

Olet varmaan jo huomannut, että tämä on ilmeistä. Geometrisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti: jos leikataan henkisesti kolmiot 2 ja 4 puolisuunnikkaan ja laitetaan ne kolmioihin 1 ja 3:

Sitten saamme alalta suorakulmion yhtä suuri kuin pinta-ala meidän puolisuunnikkaan. Tämän suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin keskiviivan ja korkeuden tulo, eli voimme kirjoittaa:

Mutta pointti tässä ei tietenkään ole kirjoittamisessa, vaan ymmärtämisessä.

Lataa (katso) artikkelin materiaali *pdf-muodossa

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander.

Kutsutaan nelikulmiota, jolla on vain kaksi yhdensuuntaista sivua trapetsi.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan sen perusteita, ja niitä puolia, jotka eivät ole yhdensuuntaisia, kutsutaan sivut. Jos sivut ovat yhtä suuret, tällainen puolisuunnikkaan on tasakylkinen. Kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan puolisuunnikkaan korkeudeksi.

Puolisuunnikkaan keskiviiva

Mediaaniviiva on jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet. Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantansa kanssa.

Lause:

Jos suora, joka leikkaa yhden sivun keskipisteen, on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa, niin se puolittaa toisen sivun sivupuoli puolisuunnikkaan muotoinen.

Lause:

Keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin sen kantakohtien pituuksien aritmeettinen keskiarvo

MN keskiviiva, AB ja CD - pohjat, AD ja BC - sivut

MN=(AB+DC)/2

Lause:

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin sen kantaosien pituuksien aritmeettinen keskiarvo.

Päätehtävä: Todista, että puolisuunnikkaan keskiviiva jakaa janan, jonka päät ovat puolisuunnikkaan kannan keskellä.

Kolmion keskiviiva

Janaa, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskipisteet, kutsutaan kolmion keskiviivaksi. Se on yhdensuuntainen kolmannen sivun kanssa ja sen pituus on puolet kolmannen sivun pituudesta.
Lause: Jos suora, joka leikkaa kolmion yhden sivun keskipisteen, on yhdensuuntainen annetun kolmion toisen sivun kanssa, niin se puolittaa kolmannen sivun.

AM = MC ja BN = NC =>

Kolmion ja puolisuunnikkaan keskiviivan ominaisuuksien käyttäminen

Segmentin jakaminen tiettyyn määrään yhtä suuria osia.
Tehtävä: Jaa segmentti AB 5 yhtä suureen osaan.
Päätös:
Olkoon p satunnainen säde, jonka origo on piste A ja joka ei ole suoralla AB. Asetamme syrjään peräkkäin 5 yhtä suurta segmenttiä p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Yhdistämme A 5:n B:hen ja piirrämme kohtien A 4 , A 3 , A 2 ja A 1 läpi viivat, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​A 5 B:n kanssa. Ne leikkaavat AB:n kohdissa B 4 , B 3 , B 2 ja B 1 . Nämä pisteet jakavat segmentin AB 5 yhtä suureen osaan. Todellakin, puolisuunnikkaan BB 3 A 3 A 5 näemme, että BB 4 = B 4 B 3 . Samalla tavalla puolisuunnikkaan B 4 B 2 A 2 A 4 saadaan B 4 B 3 = B 3 B 2

Kun puolisuunnikkaan B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Sitten arvosta B 2 AA 2 seuraa, että B 2 B 1 = B 1 A. Lopuksi saamme:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
On selvää, että jotta jana AB voidaan jakaa toiseen määrään yhtä suuria osia, meidän on projisoitava sama määrä yhtä suuria segmenttejä säteelle p. Ja jatka sitten edellä kuvatulla tavalla.